CÁC TÍNH CHẤT VẬN CHUYỂN CỦA ĐIỆN TỬ TRONG GIẾNG LƯỢNG TỬ InP/In1-xGaxAs/InP

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

MAI THÁNH HUYỀN

CÁC TÍNH CHẤT VẬN CHUYỂN CỦA ĐIỆN TỬ TRONG
GIẾNG LƯỢNG TỬ InP/In1-xGaxAs/InP

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số:

604401

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN QUỐC KHÁNH

Tp. Hồ Chí Minh, Năm 2012


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin đặc biệt tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Quốc Khánh, người
thầy đã hướng dẫn tận tình và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn thành
bản luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy trong bộ môn Vật lý Lý thuyết, những
người đã truyền thụ những kiến thức cơ bản của ngành Lý thuyết cũng như tư duy
Vật lý cho tôi.
Tôi xin cảm ơn những người bạn của tôi, những người đã giúp đỡ và động
viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến cha mẹ và anh em

trong gia đình của tôi, gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi học tập, gia
đình là chỗ dựa tinh thần lớn nhất của tôi.

Tp.Hồ Chí Minh, tháng 03 năm 2012
Mai Thánh Huyền


i

MỤC LỤC
KÝ HIỆU VIẾT TẮT

iii

CÁC BẢNG BIỂU

iv

DANH SÁCH HÌNH VẼ

v

MỞ ĐẦU

1

CHƯƠNG 1: ĐẶC TÍNH CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU

3

1.1. Cấu trúc lớp ............................................................................................... 3
1.2. Hệ điện tử hai chiều trong từ trường ......................................................... 6

CHƯƠNG 2: THỜI GIAN HỒI PHỤC VÀ CÁC HIỆN TƯỢNG ĐỘNG
HỌC

8

2.1. Thời gian hồi phục .................................................................................... 8
2.2. Quy tắc Mathiessen ................................................................................. 12
2.3. Hiệu ứng chắn và hàm điện môi ............................................................. 13
2.3.1. Hiệu ứng chắn ............................................................................... 13
2.3.2. Hàm điện môi ................................................................................ 14
2.4. Hiệu chỉnh trường cục bộ ........................................................................ 20
CHƯƠNG 3: CÁC CƠ CHẾ TÁN XẠ VÀ ĐỘ LINH ĐỘNG

25

3.1. Tán xạ trên các tạp chất ion hóa .............................................................. 25
3.1.1. Pha tạp xa ...................................................................................... 26
3.1.2. Pha tạp nền đồng nhất ................................................................... 26
3.2. Tán xạ lên bề mặt .................................................................................... 27
3.3 Tán xạ do mất trật tự hợp kim .................................................................. 28
3.4. Độ linh động của khí điện tử hai chiều ................................................... 28
3.5. Hiện tượng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện ........................ 33
CHƯƠNG 4: KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN

35

4.1. Kết quả số cho độ linh động và điện trở suất .......................................... 35

4.2. Kết quả số cho hiện tượng chuyển pha giữa kim loại và chất cách điện 40


ii

4.3 Kết luận .................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO

44

PHỤ LỤC A: MẬT ĐỘ HẠT TẢI VÀ HÓA THẾ HAI CHIỀU PHỤ
THUỘC NHIỆT ĐỘ VÀ TỪ TRƯỜNG NGOÀI
PHỤ LỤC B: CÁC THỪA SỐ CẤU TRÚC

46
49


iii

KÝ HIỆU VIẾT TẮT
 RPA: Random phase approximation (gần đúng pha ngẫu nhiên)
 MIT: Metal-Insulation transition (sự chuyển tiếp kim loại-cách điện)
 MSE: Multiple-scattering effects (hiệu ứng đa va chạm)
 LFC: Local Field Correction (hiệu chỉnh trường cục bộ)


iv

CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1. Tham số C2i  rs  , i  1, 2,3 của hiệu chỉnh trường cục bộ cho hệ hai chiều
và điện tử không phân cực ( g s  2 ). ........................................................ 23
Bảng 2.2. Tham số C2i  rs  , i  1, 2,3 của hiệu chỉnh trường cục bộ cho hệ hai chiều
và điện tử phân cực ( g s  1 ). .................................................................... 24


v

DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Giếng lượng tử InP / InGaAs / InP . ............................................................. 4
Hình 1.2. Độ phân cực spin    n  n  /  n  n  là hàm của từ trường cho
n  1.5 1011 cm2 và ứng với các nhiệt độ khác nhau. ................................. 7

Hình 2.1. Mối liện hệ trong không gian k giữa vectơ sóng q và góc tán xạ của
điện tử với tạp chất  . .............................................................................. 10
Hình 2.2. Hàm điện môi ứng với các giá trị khác nhau của qTF /  2kF  . .................. 17
Hình 2.3. Hàm phân cực cho hệ InP/In1-xGaxAs/InP trong các từ trường ngang khác
nhau (a) cho B  0 và B  2 Bs , và (b) cho B  Bs . Ở đây
N F 0  2 N F  gv m /  là mật độ trạng thái của hệ không phân cực và

kF   2kF 0 . .............................................................................................. 19

Hình 4.1. Độ linh động ở nhiệt độ T = 0, (a) B = 0 và (b) B = Bs do các cơ chế tán
o

xạ theo mật độ hạt tải đối với bề rộng giếng thế a = 150  cho cho ba
trường hợp G(q) = 0 ( đường nhạt), G(q) = GH(q) ( đường đậm) và G(q)
= GGA(q) ( đường đậm nhiều). ................................................................ 36
Hình 4.2. Tỷ lệ điện trở  ( Bs ) /  ( B  0) ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ theo
o

mật độ hạt tải đối với bề rộng giếng thế a = 150  cho cho ba trường
hợp G(q) = 0 ( đường nhạt), G(q) = GH(q) ( đường đậm) và G(q) =
GGA(q) ( đường đậm nhiều) ...................................................................... 36
Hình 4.3. Điện trở ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ theo từ trường đối với bề
o

rộng giếng thế a = 150  cho hai trường n = 5.1010 cm-2 và n = 5.1011
cm-2 (đường đậm) ứng với G(q) = 0........................................................ 37


vi

Hình 4.4. Điện trở ở nhiệt độ T = 0, (a) B = 0 và (b) B = Bs do các cơ chế tán xạ
theo bề rộng giếng thế cho hai trường G(q) = GH(q) và G(q) = GGA(q)
( đường đậm). .......................................................................................... 38
Hình 4.5. Điện trở do các cơ chế tán xạ theo nhiệt độ T, (a) B = 0 và (b) B = Bs đối
o

với bề rộng giếng thế a = 150  , cho hai trường G(q) = GH(q) và G(q)
= GGA(q) ( đường đậm). .......................................................................... 38
Hình 4.6. Điện trở do các cơ chế tán xạ theo nhiệt độ T, (a) n = 1010 cm-2 và (b)
o

n = 1011 cm-2 đối với bề rộng giếng thế a = 150  ứng với B = 0 cho
hai trường G(q) = GH(q) và G(q) = GGA(q) ( đường đậm). ..................... 39
Hình 4.7. Điện trở do các cơ chế tán xạ theo nhiệt độ T, (a) n = 1010 cm-2 và (b)
o

n = 1011 cm-2 đối với bề rộng giếng thế a = 150  ứng với B = Bs cho

hai trường G(q) = GH(q) và G(q) = GGA(q) ( đường đậm). ...................... 40
Hinh 4.8. Độ linh động  ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ theo mật độ hạt tải
o

đối với bề rộng giếng thế a = 150  cho hai trường hợp từ trường B = 0
và B = Bs ( đường đậm ). ......................................................................... 41
Hình 4.9. Thời gian hồi phục vận chuyển của hệ khí điện tử có tính đến MSE ở
nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ theo mật độ hạt tải đối với bề rộng
o

giếng thế a = 150  cho hai trường hợp từ trường B = 0 và B = Bs
( đường đậm ) ........................................................................................... 42
Hình 4.10. Thời gian hồi phục cho một hạt ở nhiệt độ T = 0 do các cơ chế tán xạ
o

theo mật độ hạt tải đối với bề rộng giếng thế a = 150  cho hai trường
hợp từ trường B = 0 và B = Bs ( đường đậm ). ...................................... 42


1

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, tiến bộ của vật lý chất rắn được đặc trưng bởi sự
chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các khối tinh thể sang các màng mỏng
và cấu trúc nhiều lớp. Nên việc nghiên cứu và ứng dụng các cấu trúc với khí điện tử
hai chiều đã phát triển hết sức nhanh chóng và đã chiếm một vị trí chủ đạo trong vật
lý chất rắn hiện đại.
Trong cấu trúc khí điện tử hai chiều, chuyển động của hạt dẫn theo phương x
và y là chuyển động tự do, còn chuyển động dọc theo phương z bị giới hạn trong
một vùng không gian rất hẹp có bề dày so sánh được với chiều dài bước sóng de

Broglie của hạt dẫn. Như vậy hạt tải điện tự do trong cấu trúc này sẽ thể hiện tính
chất giống như một hạt chuyển động trong giếng thế, khi đó các trạng thái lượng tử
của các hạt tải điện trong vật rắn bắt đầu có hiệu lực. Đặc trưng cơ bản nhất của hệ
lượng tử là phổ năng lượng sẽ trở nên gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn.
Tính chất lượng tử này của điện tử chính là nguồn gốc của rất nhiều hiệu ứng vật lý
quan trọng trong cấu trúc khí điện tử hai chiều, làm biến đổi hầu hết các tính chất
điện tử của hệ và mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện làm việc theo các
nguyên lý hoàn toàn mới.
Ngày nay do yêu cầu phát triển mạnh của công nghệ điện tử nên việc nghiên
cứu và ứng dụng chế tạo các linh kiện bán dẫn nano, đặc biệt là các bán dẫn có cấu
trúc lớp có độ linh động cao đã được quan tâm bởi nhiều nhà nghiên cứu [3-12]. Ta
biết rằng độ linh động được quyết định bởi các cơ chế tán xạ của các hạt tải như tán
xạ tạp chất ion hóa, bề mặt nhám, độ mất trật tự hợp kim, phonon vv… Tùy thuộc
vào vật liệu, cấu trúc, nhiệt độ, độ pha tạp… mà tầm quan trọng của từng cơ chế tán
xạ có thể thay đổi. Do đó chúng ta tập trung nghiên cứu các tính chất vận chuyển
của các điện tử trong giếng lượng tử ở nhiệt độ bất kỳ và đặt trong từ trường song
song với lớp, đặc biệt là độ linh động và điện trở suất trở nên cấp thiết và khả năng
ứng dụng của nó cho các linh kiện điện tử.


2

Trong đề tài này chúng tôi sử dụng lý thuyết vận chuyển Boltzmann để
nghiên cứu độ linh động, điện trở của khí điện tử hai chiều trong giếng lượng tử
InP/In1-xGaxAs/InP ở nhiệt độ hữu hạn và đặt trong từ trường song song bất kỳ.
Chúng tôi xét các điều kiện nồng độ hạt tải, nồng độ tạp chất và bề dày lớp sao cho
cơ chế tán xạ tạp chất ion hóa và mất trật tự hợp kim là các cơ chế tán xạ chủ yếu.
Chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc của độ linh động, điện trở vào mật độ hạt tải, bề
dày lớp, từ trường và nhiệt độ. Chúng tôi sử dụng qui tắc tổng ba tham số của gần
đúng tự hợp STLS (Singwi, Tosi, Landand và Sjolander) để xét đến hiệu ứng hệ

nhiều hạt. Chúng tôi thảo luận hiệu ứng đa va chạm và mật độ tới hạn của sự
chuyển tiếp giữa kim loại và chất cách điện.
Bố cục của luận văn được trình bày như sau:
Trong chương 1, chúng tôi trình bày cấu trúc lớp của điện tử trong giếng
lượng tử vuông có chiều sâu vô hạn và hệ điện tử hai chiều trong từ trường.
Trong chương 2, chúng tôi dẫn ra công thức cho thời thời gian hồi phục và
trình bày các hiệu ứng chắn trong khí điện tử hai chiều.
Trong chương 3, chúng tôi trình bày lý thuyết cho các cơ chế tán xạ, dẫn
công thức tính cho độ linh động trong hệ hai chiều và giới thiệu hiện tượng chuyển
pha giữa kim loại và chất cách điện.
Trong chương 4, chúng tôi sử dụng ngôn ngữ lập trình C++ để tính toán kết
quả số và đồng thời dựa trên những kết quả số này để đưa ra những kết luận và
hướng phát triển của đề tài.


3

Chƣơng 1
CẤU TRÚC CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ HAI CHIỀU
Hệ hai chiều là hệ mà trong đó các điện tử có thể di chuyển tương đối tự do
trong hai chiều còn một chiều bị hạn chế. Trong hệ hai chiều thuần tuý thì chiều bị
hạn chế có kích thước bằng không, nghĩa là điện tử thực sự chỉ có thể chuyển động
trong hai chiều. Tuy nhiên, hệ hai chiều thuần tuý chỉ là một mô hình lý tưởng
không có trong thực tế. Việc nghiên cứu các hệ hai chiều trong thực tế đòi hỏi phải
có những bổ chính thích hợp vì các điện tử ít nhiều vẫn có thể chuyển động trong
chiều thứ ba, làm cho hệ hai chiều không còn là hai chiều nữa mà là giả hai chiều.

1.1. Cấu trúc lớp
Ta khảo sát mẫu có kích thước rất lớn theo các phương x và y , nhưng kích
thước a của nó theo phương z chỉ vào cỡ vài chục nanomet. Như vậy, các điện tử

có thể vẫn chuyển động hoàn toàn tự do trong mặt phẳng  xy  , nhưng chuyển động
của chúng theo phương z bị giới hạn. Hệ như thế tạo thành hệ điện tử giả hai chiều.
Khi kích thước của vật rắn giảm xuống vào cỡ nanomet thì hạt tải điện tự do trong
cấu trúc này sẽ thể hiện tính chất giống như một hạt chuyển động trong giếng thế
V  z  . Để đơn giản ta giả sử V(z) có dạng giếng thế sâu vô hạn [4],
 0, 0  z  a
V  z  
, z  0  z  a

(1.1)

Phương trình Schrödinger của điện tử trong giếng thế V  z  có dạng:
2
2


 2
2 
2 
 


V
z


  *  2  2  
   x, y, z   E  x, y, z 

2

  2m  x y  2mz z 




(1.2)


4

trong đó m* là khối lượng hiệu dụng của điện tử trong mặt phẳng  xy  , và mz là
khối lượng hiệu dụng của điện tử theo phương z .
Thế năng V  z  chỉ phụ thuộc vào z , nên điện tử được xem như chuyển động
tự do trong mặt phẳng  xy  và hàm sóng của điện tử theo trục x và y sẽ là sóng
phẳng. Khi đó, hàm sóng của điện tử được viết lại như sau:
  x, y, z   eikx x e y   z 
ik y

(1.3)

z
InP

a

InGaAs
ionized impurity + + + + + +
InP

0

zi

Hình 1.1. Giếng lượng tử InP / InGaAs / InP .

Thay (1.3) vào (1.2) và đơn giản các thừa số thì ta thu được phương trình
sau:
2



  2 2 

2
2 

V
z

z

E

k

k




 



x
y

  z 
2
2m*
  2mz z 










(1.4)

Đặt
2

2

k2
  E  * (k  k )  E 
2m
2m*

2
x

2
y

(1.5)

với k   k x , k y  là vectơ sóng hai chiều và phương trình (1.4) được viết lại như sau:


5

  2  2 

 V  z    z     z 
 
2 
  2mz z 


(1.6)

Phương trình (1.6) là phương trình Schrödinger một chiều và việc giải
phương trình này trở nên đơn giản cho các trường hợp thế khác nhau.
Phương trình Schrödinger cho điện tử bên trong giếng thế V  z   0 :
 2 2 

  z     z      z   k 2  z   0
2 

 2mz z 

với k 2 

(1.7)

2mz
2

Nghiệm của phương trình (1.7) có dạng
  z   A sin  kz   B cos  kz 

(1.8)

Từ các điều kiện biên   0     a   0 , hàm sóng (1.8) được viết lại như sau:
 nz z 

 a 

 n  z   A sin 
z

với k 

(1.9)

nz 
a


Từ điều kiện chuẩn hóa

   z

2

dz  1 , ta có:



a

   z
0

 A

2

n z
dz  A  sin 2  z  dz  1
 a 
0
a

2

2
a

Vậy, hàm sóng và năng lượng tương ứng của điện tử trong giếng lượng tử

 0  z  a  là:


6

 2
n z
sin  z  , 0  z  a

 nz  z    a
 a 

0, z  0  z  a

n 2 2 2
 nz  z 2 ,  nz  1, 2,3...
2mz a

 nz  1, 2,3...
(1.10)

1.2. Hệ điện tử hai chiều trong từ trƣờng
Khi có một từ trường song song tác dụng vào hệ, mật độ hạt tải n cho spin
lên và spin xuống là không bằng nhau với mật độ hạt tải tổng cộng n  n  n không
đổi [2]. Mật độ phân cực spin sinh ra là do sự dịch chuyển mức năng lượng trong
dải năng lượng của spin lên và xuống thông qua hiệu ứng Zeeman trong từ trường
ngoài B .
Tại T  0 , ta có:

n
B
n  1   ,
2  Bs 
n  n, n-  0,

B  Bs

(1.11)

B  Bs

trong đó, Bs được gọi là trường bão hoà (hay trường phân cực spin) được xác định
bởi g B Bs  2EF , với g là thừa số spin của điện tử và  B là mageton Bohr.
Khi T  0 , n được xác định từ hàm phân bố Fermi của hạt tải ứng với spin

   được cho bởi:
f    



1

1  exp   - T  



(1.12)

với    kBT  và

1

 

1



ln  1  exp   EF   

(1.13)


7

là hoá thế cho trạng thái cho spin lên và spin xuống (tương ứng với mức năng lượng
Fermi là EF  ) ở một nhiệt độ T xác định (xem phụ lục A về việc dẫn ra công thức
cho mật độ và hoá thế của hệ hai chiều phụ thuộc trường ngoài và nhiệt độ), ta có:

1  e2 x / t 
n

n  2 .t.ln

n  n  n

e

2x/ t

 1  4e 2 2 x  / t
2

(1.14)

2

trong đó x  B / Bs và t  T / TF là các tham số không thứ nguyên. Khi không có
trường ngoài, độ suy biến spin là 2 và không có sự phân cực spin, vì vậy
n  n  n / 2 ở mọi nhiệt độ.

1,0
0,8



0,6
T
0
K
0.1 K
0.15 K
0.2 K

0,4
0,2
0,0
0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

B/BS

Hình 1.2. Độ phân cực spin    n  n  /  n  n  là hàm của từ trường cho
n  1.5 1011 cm2 và ứng với các nhiệt độ khác nhau.

Trên hình 1.2 chúng tôi trình bày các kết quả tính được cho độ phân cực spin


n  n
trong từ trường ở các nhiệt độ khác nhau. Ở T  0 , hệ phân cực hoàn
n  n

toàn khi B  Bs . Khi nhiệt độ tăng lên, độ phân cực tại B  Bs giảm do dao động
nhiệt. Trong khoảng nhiệt độ mà ta quan tâm, hệ phân cực hoàn toàn khi B  Bs .


8

Chƣơng 2
THỜI GIAN HỒI PHỤC VÀ CÁC HIỆN TƢỢNG ĐỘNG HỌC
2.1. Thời gian hồi phục
Thời gian hồi phục trong chuyển động của điện tử được tính theo tiết diện
tán xạ với tạp chất. Xét điện tử tự do trong mặt phẳng hai chiều. Giả sử mặt phẳng

hai chiều là một hình vuông có diện tích A . Giả sử trạng thái đầu và trạng thái cuối
là các sóng phẳng:
i  A1/2 exp(ik . r )
 f  A1/2 exp[i (k  q ). r ]

(2.1)

trong đó điện tử thu thêm động lượng q sau tán xạ. Thành phần ma trận của thế
năng V  r  do tạp chất gây ra là:
V fi   *f Vˆi
1  i ( k  q ).r
e
V (r )eik .r d 2 r

A
1
  V (r )eiq .r d 2 r
A
V q

A


(2.2)

trong đó V (q ) là ảnh Fourier hai chiều của thế tán xạ.
Từ qui tắc vàng Fermi, ta có thể tính xác suất dịch chuyển của điện tử bị tán
xạ từ trạng thái có động lượng là k đến trạng thái có động lượng k  q là:
Wk  q ,k 

2
1 2
V (q ) [(k  q )  (k )]
2
A

(2.3)


9

Hàm delta đảm bảo rằng năng lượng trạng thái cuối phải bằng năng lượng
của trạng thái đầu, vì tán xạ là tuyệt đối đàn hồi và điều đó thỏa định luật bảo toàn
năng lượng. Gần đúng mà trong đó xác xuất dịch chuyển tỉ lệ với bình phương
modul ảnh Fourier của thế tán xạ được gọi là gần đúng Born.
Xét xác suất dịch chuyển toàn phần cho một điện tử, tức là xác suất dịch
chuyển từ trạng thái ban đầu k đến một trạng thái cuối bất kì. Hàm này được kí
hiệu là 1/  (vì nó cũng chính là nghịch đảo thời gian hồi phục) và được hiểu là hàm
của k . Xác suất dịch chuyển tổng cộng do một tạp chất gây ra được tính bằng cách
lấy tổng các xác suất trong (2.3) theo tất cả các vectơ sóng.
1
( )1.imp  Wk  q ,k
i
q

(2.4)

Tổng theo q có thể chuyển thành tích phân bằng cách dùng:



q



A
d2q
(2)2 

(2.5)

không có thừa số 2 cho spin ở trạng thái cuối vì thế năng tương tác được giả sử là
không làm đảo spin của điện tử, vì vậy mà ta không biết được spin của trạng thái
cuối.
Trong một mẫu chất thực tế sẽ không có duy nhất một tạp chất mà là có rất
2D
nhiều. Nếu số tạp chất trung bình trên một đơn vị diện tích là nimp
thì tổng số tạp
2D
2D
 Animp
chất trong diện tích A của mẫu chất là Nimp
. Về nguyên tắc, chúng ta không

thể kết hợp tán xạ do nhiều tạp chất gây ra, bởi vì các điện tử là sóng và sẽ có sự
nhiễu xạ giữa các sóng do tán xạ với các tạp chất nằm gần nhau. Trên thực tế chúng
ta có thể bỏ qua sự nhiễu xạ và giả sử là tán xạ do mỗi tạp chất độc lập với nhau.
Xác suất tổng cộng được tính bằng cách cộng tất cả các xác suất gây bởi các tạp
2D
chất, tức là nhân xác suất của một tạp chất cho Nimp
.

10

1
A
(2 D )
 [ Animp
]
i
(2) 2
n

(2 D )
imp

2

1 2

A

2

2

V (q ) [(k  q )  (k )]d 2 q

(2.6)

d 2q
V
(
q
)

[

(
k

q
)


(
k
)]

(2) 2
2

Thời gian sống của một hạt  i không mang ý nghĩa là thời gian trong cách
tính độ dẫn điện hoặc độ linh động của điện tử, mà trong cách tính đó thời gian
chính là thời gian sống truyền qua  tr , chẳng hạn như   etr / m . Sự khác biệt
giữa  i và  tr nằm ở trọng số của các va chạm khác nhau. Hình 2.1 chỉ ra dạng hình
học của quá trình tán xạ, và mối liên hệ giữa vectơ sóng q và góc tán xạ của điện tử
 . Sự bảo toàn năng lượng đòi hỏi các vectơ sóng trước và sau tán xạ có cùng độ

lớn, k  q  k , vì thế các vectơ nằm trong một đường tròn thuộc không gian - k .

Trạng thái cuối

q
k q



Trạng thái đầu
k
Hình 2.1. Mối liện hệ trong không gian k giữa vectơ sóng q và góc tán xạ của điện tử với
tạp chất  .

Từ hình 2.1, ta có:
q  2k sin


2

(2.7)

Thời gian sống một hạt (2.6) chứa một tổng lấy qua tất cả các quá trình tán
xạ. Điều này có nghĩa rằng, sự đóng góp của tán xạ dưới mọi góc tán xạ  là như
nhau, ví dụ khi điện tử tán xạ dưới một góc rất nhỏ và dưới một góc lớn là như


11

nhau, hay như khi điện tử không thay đổi nhiều hướng chuyển động và khi điện tử
bị bắn ngược trở lại (góc tán xạ    ). Trên thực tế, điều đó không thể xảy ra, vì sự

tán xạ ngược sẽ có hiệu ứng mạnh hơn lên mật độ dòng so với tán xạ dưới một góc
nhỏ. Thành phần chuyển động của điện tử dọc theo chiều chuyển động ban đầu là
cos  , hiệu suất của tán xạ sẽ phụ thuộc vào giá trị đó, tức là vào 1  cos  . Phương

trình (2.7) chứng tỏ rằng 1  cos   q 2 /  2k 2  , vì thế tốc độ tán xạ truyền qua được
đưa ra như sau:
2
1
q2
d 2q
(2 D ) 2
 nimp
V
(
q
)

[

(
k

q
)


(
k
)]
 2k 2

tr
(2)2

(2.8)

Tán xạ được gọi là đẳng hướng nếu V  q  không phụ thuộc vào q , thì trọng
số góc không ảnh hưởng nên  tr   i . Tán xạ loại này xảy ra ở các thế tán xạ có
tương tác tầm ngắn. Còn nếu như V  q  giảm nhanh khi q tăng thì  tr   i . Tán xạ
loại này xảy ra đối với các tạp chất tích điện trong các hệ thấp chiều.
Ở trạng thái cuối của tán xạ k   k  q nên:
k  k
1
(2 D ) 2
 nimp
 2k 2
tr


(2 D ) 
imp

n

2

2



 d  k dk 





V k  k
k  k

0

2k 2

2



2

d 2k 
  k    k 

 (2) 2



   

V k  k



2

(2.9)

2 2
 2 k 2
k 



*
2m* 
 2m

Từ hình 2.1 theo định lý cosin:
2

k   k  k 2  k 2  2kk  cos 

(2.10)

Hàm  từ công thức (2.9) đòi hỏi k   k nên:
1 
k   k  2k sin     q
2 

(2.11)

12

Do đó, (2.9) được viết lại như sau:


*
1

 1 
(2 D ) m
 nimp
V  2k sin    
3 
tr
 0 
 2 

2

1  cos  d 

(2.12)

  
với q  k  k ' , đổi biến tích phân   q, ta viết lại (2.12)
1
2m*
(2 D )
 nimp
tr

2 3 k 2

Đặt U  q 

2

2D
 nimp
V (q )

2

2k

 V (q )
0

2

q 2 dq
4k 2  q 2

(2.13)

và đưa vào hiệu ứng chắn (được khảo sát chi tiết

trong phần 2.3), ta viết lại (2.13) như sau:
*

1

2m

tr 2 3k 2

Sử dụng E 

2

2k


0

U q

2

q 2 dq

  q  

2

4k 2  q 2

(2.14)

k 2 /  2m*  , ta viết (2.14) thu gọn lại như sau:

1

1

tr 2 E

2k


0

U q

2

q 2 dq

  q  

2

4k 2  q 2

(2.15)

Chúng ta có thể tính ra công thức cho thời gian hồi phục một hạt bằng cách
sử dụng công thức (2.6) và tính toán tương tự như tính toán cho thời gian hồi phục
vận chuyển, ta có:
1

s



1
2 E

2k

U q

0

  q  



2

2k 2 dq
2

4k 2  q 2

(2.16)


13

2.2. Quy tắc Matthiessen
Khí điện tử hai chiều chịu tác động đồng thời của nhiều nguồn tán xạ như:
tạp chất ion hóa ( pha tạp nền (B), pha tạp xa (R)), độ nhám bề mặt (S), mất trật tự

hợp kim (A). Thế tán xạ tổng cộng tác dụng lên điện tử khi đó có dạng:
U q   U B q   U R q   U S q   U A q 

(2.17)

Giả sử rằng các cơ chế tán xạ là độc lập với nhau. Hàm tự tương quan tổng
cộng có dạng:
 U q   U B q     U R q     U S q     U A q  
2

2

2

2

2

(2.18)

Thời gian hồi phục tổng cộng được xác định theo quy tắc Matthiessen.
1

 tot



1

B



1

R



1

S



1

A

(2.19)

Quy tắc Matthiessen dựa trên sự tuyến tính nằm trong gần đúng yếu cho tán
xạ. Khi gần đúng này không còn đúng thì quy tắc Matthiessen cũng vậy.

2.3. Hiệu ứng chắn và hàm điện môi
2.3.1. Hiệu ứng chắn
Một tập hợp các điện tích nếu phân bố đều trong toàn không gian thì không
tạo ra được trường thế, bởi vì thế tĩnh điện ở mỗi điểm là như nhau. Để hệ này sinh
ra trường thì phải có một nguồn kích thích nào đó. Khi có mặt nguồn ngoài (trường
chính) nào đó và do tương tác Coulomb (hút hoặc đẩy) thì các điện tử cảm ứng

trong hệ sẽ phân bố lại (phân bố theo khuynh hướng không đều nên hệ bị phân cực)
và tạo thành một lớp màn chắn xung quanh nguồn ngoài, do đó làm giảm cường độ
ảnh hưởng và bán kính tác dụng (bán kính chắn) của các trường ngoài.
Khi các điện tử tham gia vào hiệu ứng chắn mà vẫn không di chuyển (định
xứ tại chỗ), sự phân bố lại ở các điện tử này là do sự định hướng lại các lưỡng cực


14

điện tại chỗ. Hiệu ứng chắn này được gọi là hiệu ứng chắn tĩnh, ảnh hưởng của nó
là làm giảm cường độ trường chính (trường ngoài) nhưng không làm thay đổi bán
kính tác dụng. Người ta mô tả chắn tĩnh bằng hằng số điện môi L và giá trị của nó
được đo bằng thực nghiệm.
Ngược lại, khi các phần tử tham gia vào hiệu ứng chắn là các điện tích di
động. Dưới tác dụng của một nguồn nào đó (điện tích thử, donor, acceptor,...) các
điện tích di động phân bố lại làm hệ bị phân cực tạo ra một trường phụ có xu hướng
chống lại nguyên nhân sinh ra nó (trường chính) theo định luật Lenz và đồng thời
trường phụ này lại làm yếu nguồn ban đầu. Điều kiện để có hiệu ứng chắn động là:
(i) Các điện tích di động, sự di động của các điện tử này phụ thuộc vào trạng
thái và loại tương tác (hút hoặc đẩy) của hạt chắn tham gia.
(ii) Các điện tích di động phải tương tác với nhau: tương tác Coulomb, tương
tác trao đổi.
Độ cơ động của các điện tích di động sẽ quyết định tính chắn động. Nghĩa là
điện tử dễ di chuyển dẫn đến điện tử dễ phân bố lại, hệ điện tử dễ bị phân cực, tính
chắn tăng.
Tính chắn trong hệ ba chiều mạnh hơn trong hệ hai chiều vì tính cơ động của
các điện tích di động trong hệ ba chiều cao hơn. Tính chắn trong hệ hai chiều phụ
thuộc vào cấu trúc giếng lượng tử chứa các khí điện tử hai chiều. Ngoài ra tính chắn
còn phụ thuộc vào nguyên lý loại trừ Pauli: hiệu ứng trao đổi làm hạn chế điện tử
khó di chuyển, dẫn đến tính chắn giảm.

Tóm lại, tất cả các tương tác làm thay đổi phân bố của khí điện tử đều bị chắn
động.


15

2.3.2. Hàm điện môi
Hệ khí điện tử hai chiều dưới tác dụng của nguồn ngoài sẽ phân bố lại không
đều nên hệ bị phân cực tạo ra một trường phụ ngược với trường chính. Kết quả là
làm giảm cường độ cũng như bán kính tác dụng của các thế tán xạ. Khi ấy khí điện
tử hai chiều sẽ không còn chịu tác dụng của thế U  q  ban đầu nữa, mà thay vào đó
là một thế bị chắn U scr  q  .
U  q   U scr  q  

U q
q

(2.20)

với   q  là hàm điện môi định lượng cho hiệu ứng chắn phụ thuộc vào độ cơ động
của hạt tham gia vào hiệu ứng chắn, các loại tương tác mà hạt tham gia chắn bị ảnh
hưởng.
Xét trường hợp chắn đơn vùng con, chỉ có một loại chuyển dời cho điện tử
(trên cùng một mức năng lượng) làm xung lượng hai chiều thay đổi và tham gia
dịch chuyển trong mặt phẳng  xy  . Trong gần đúng pha ngẫu nhiên (RPA) biểu
thức hàm điện môi có dạng sau [4]:
  q   1  V  q  1  G  q  0  q 

(2.21)

trong đó  0  q  là hàm phân cực tĩnh của khí điện tử hai chiều, có dạng như sau [6]
2


 2k F 
g m* 

 q 
1

1


q

2
k




F

 2 
q




0

(2.22)

trong đó G  q  là số hạng hiệu chỉnh trường cục bộ (LFC) để tính đến tương tác
tương quan - trao đổi giữa các điện tử với nhau. Hàm G  q  trong LFC được tính
toán chi tiết trong bài báo của A. Gold [8, 9] (xem mục 2.4) và các kết quả này sẽ


16

được chúng tôi sửa dụng trong các tính toán của mình. Nếu chỉ xét đến tương tác
trao đổi ta có biểu thức của hàm G  q  theo gần đúng Hubbard [10]:
GH (q) 

1
g s gv

q

(2.23)

q 2  kF2

với g s và g v là thừa số suy biến spin và suy biến valley. Đối với hệ không phân
cực g s  2 và đối với hệ phân cực hoàn toàn g s  1 .
V  q  là ảnh Fourier của các tương tác điện tử – điện tử. Nếu mặt phẳng mà

các điện tử chuyển động nằm trong chân không thì V  q   2 e2 / q . Trong hệ thực
tương tác Coulomb giữa một cặp điện tử nằm ở hai điểm  r , z  và  r , z  được cho
bởi:

V  r  r , z , z   

e2 
2
2 1/2
r  r    z  z 


L 

2 e2 iq  r  r   q z  z

e
e
q L q

(2.24)

Thế năng hiệu dụng sẽ có dạng sau:
V q 

2 e2 1
FC  q 
L q

(2.25)

Thừa số cấu trúc chắn FC  q  phụ thuộc vào tương tác giữa hai điện tử dọc
theo phương z , được xác định qua biểu thức sau:
FC  q  







dz   z 

2



 dz   z

2

e

 q z  z

(2.26)



Thay hàm sóng (1.10) vào (2.26) ta thu được kết quả sau (xem phụ lục B):
FC  q  


1

8 2 32 4 1  e aq 
3
aq




4 2  a 2 q 2 
aq a 2 q 2 4 2  a 2 q 2 

(2.27)


17

Xét trường hợp G  q   0 , FC  q   1 , và   q  
0

g m*



2

, chúng ta thu được

hiệu ứng chắn Thomas – Fermi cho khí điện tử hai chiều
q  1

với qTF

qTF
q

(2.28)

2 g m*e2

tham số chắn.
L 2

Như vậy, hàm điện môi tĩnh cho khí điện tử hai chiều đồng nhất với phổ
2

k2
năng lượng Ek 
và vectơ sóng Fermi k F :
2m*



q  
1  qTF

q


1

qTF

, q  2k F
q

2

1  1   2k F   , q  2k F

 q  



(2.29)

Hình 2.2 vẽ cho   q  phụ thuộc vào q /  2kF  ứng với những giá trị khác
nhau của qTF /  2kF  .

200

(q)

150

qTF/2kF

100

10.15
7.18
4.54
3.21

50

0

0

1

q/2kF

2

3

Hình 2.2. Hàm điện môi ứng với các giá trị khác nhau của qTF /  2kF  .