ĐỀ TÀI CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

MỤC LỤC

A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Như chúng ta biết Cơ học lượng tử là một lý thuyết Vật lý nghiên cứu sự vận
động của vật chất trong thế giới vi mô, các hạt trong thế giới đó gọi là vi hạt. Vấn đề ở
đây là các quy luật vận động của vi hạt không tuân theo các quy luật cổ điển. Chỉ có
cơ học lượng tử mới giải quyết một cách sâu sắc các quy luật và chính xác các
hiện tượng này.
Tuy nhiên bên cạnh đó nội dung cơ sở lý thuyết cũng như bài tập vận dụng của
Cơ học lượng tử tương đối khá phức tạp, chỉ có một số ít bài toán có lời giải chính xác
cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: Bài toán hạt trong
hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hiđrô (chuyển động
của hạt trong trường xuyên tâm). Nhưng trong đó Dao động tử điều hòa là bài toán cơ


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

bản nhất, có lời giải chính xác không những trong cổ điển mà cả trong cơ học lượng tử
và đây cũng là bài toán giải được chính xác trong cơ học lượng tử. Vì vậy em chọn đề
tài này để nghiên cứu.
II. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Trong Cơ học lượng tử, kiến thức về cơ sở lý thuyết khá rộng được phân bổ thành
nhiều chương. Nhưng ở đây ta chỉ xét phần “Dao động tử điều hòa”. Cụ thể là nghiên
cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa lượng tử 1 chiều và 3 chiều và các dạng
toán liên quan đến dao động tử điều hòa.
III. MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU
Tìm hiểu về Dao động tử điều hòa: khái niệm, các loại Dao động tử điều hòa, ứng
dụng giải các bài tập.

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Ở đây ta đi nghiên cứu về năng lượng của dao động tử điều hòa.
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Thu thập thông tin, tài liệu từ các nguồn: Internet, tài liệu khác.
- Phân tích và tổng hợp tài liệu.
- Dựa trên kiến thức lĩnh hội được trong quá trình học và các lý thuyết sẵn có.
- Đưa ra các bài tập vận dụng.

B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
I.1. Khái niệm Dao động tử điều hòa
Trong cơ học cổ điển, dao động tử điều hòa là một hệ thống cơ học thực hiện dao
động mà chuyển động của có thể mô tả bởi những hàm số điều hòa của thời gian, mà
cụ thể ở đây thường là hàm sin và cosin. Năng lượng của dao động tử điều hòa có thể
nhận các giá trị liên tục và tần số bức xạ trùng với tần số dao động cơ học của dao
động tử điều hòa. Ví dụ như dao động của con lắc đơn, con lắc lò xo quanh vị trí cân
bằng.
Trong cơ học lượng tử, dao động điều hòa là khi một vi hạt thực hiện dao động nhỏ
điều hòa xung quanh vị trí cân bằng. Năng lượng của các dao động tử điều hòa có giá

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 2


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

trị gián đoạn (khác với lý thuyết cổ điển). Ví dụ như dao động của nguyên tử trong

phân tử, dao động của các ion xung quanh nút mạng tinh thể v.v…
Chuyển động của dao động tử điều hòa gọi là dao động điều hòa. Nó là một hiện
tượng rất quan trọng của vật lý nói chung và cơ học lượng tử nói riêng.
I.2. Dao động tử điều hòa 1 chiều
Xét một hạt có khối lượng m chuyển động trên trục x chịu tác dụng của một lực F
tỉ lệ với x và trái dấu với x:
F = -kx
 Theo cơ học cổ điển:
Hạt sẽ dao động quanh vi trí cân bằng x = 0 vì thế ta gọi nó là dao động tử điều
hòa. Phương trình của dao động tử điều hoà theo cơ học cổ điển là:
F = mx&& = m

d 2x
dt 2

hay là
d2x k
+ x=0
dt 2 m

trong đó

k
là một số dương, ta đặt:
m

Nghiệm của phương trình, có dạng:

ω2 =

k
m

x = A sin ωt + Bcosωt
x = a cos(ωt + ϕ )

Động năng của hạt tính bằng công thức:
mx& 2 ma 2ω 2 sin 2 (ωt + ϕ )
T=
=
2
2

Thế năng bằng: F = −

∂U
dU
=−
cho rằng hàm F tác dụng theo phương x
∂x
dx

x

x

0

0

U = − ∫ Fdx = − ∫ (−kx)dx = k

x 2 ma 2ω 2 cos 2 (ωt + ϕ )
=
2
2

Năng lượng toàn phần của hạt bằng: E = T + U =

ma 2ω 2
2

Ứng với một giá trị ω , năng lượng có thể có những giá trị liên tục, tỉ lệ thuận với a.
 Theo cơ học lượng tử:
2

Ta có toán tử động năng:

∧
m  x' ÷
h2 d 2
T ( xˆ ) =   = −
2
2m dx 2

Nếu xét bài toán trong cơ học lượng tử tức là viết phương trình Schrodinger cho
dao động tử ta phải viết toán tử thế năng ở dạng:

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 3


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh
∧

∧

k x 2 mω 2 x 2 mω 2 x 2
ˆ
U ( x) =
=
=
2
2
2
∧

trong đó toán tử x 2 = x 2 là một phép nhân bình thường.
Vậy phương trình Schrodinger có dạng:

 h2 d 2 mω 2 2 
+
x ÷un ( x) = Enun ( x)
−
2
2
 2m dx


2

1   h d 
2
+
(
m
ω
x
)

 un ( x) = En un ( x)
2m   i dx 


Lưu ý ta dùng chỉ số n để kí hiệu thứ tự của mức năng lượng (n là số nguyên), u n(x)
là nghiệm ứng với mức năng lượng En. Giải phương trình này ta có thể tìm thấy
nghiệm un(x) dưới dạng chuỗi lũy thừa, chuỗi này phải thỏa mãn một số điều kiện. Từ
các điều kiện có thể suy ra giá trị của năng lượng En.
Đế giải bài toán này ta xem hai toán tử a+, a_ có dạng là:
a± =

1 h d

± imω x 

2m  i dx


Ta tính giao hoán tử của hai toán tử đó bằng cách dung một hàm f(x):
(a− a+ ) f ( x ) =

1 h d
 h d

− imω x  
+ imω x  f ( x)

2m  i dx
  i dx


=

1 h d
  h df

− imω x  
+ imω xf ( x) 

2m  i dx
  i dx


=


1  2 d2 f
d

df
−h
+ hmω ( x. f ) − hmω x + (mω x) 2 f ( x ) 

2
2m 
dx
dx
dx


2

1
 1   h d 
2
=
+
(
m
ω
x
)
+
h
m
ω

 f ( x ) = ( Hˆ + hω ) f ( x)
÷

÷
2
 2m   i dx 


như vậy:

1
1
(a− a+ ) = ( Hˆ +
hω ) → Hˆ = (a− a+ ) − hω
2m
2

(*)

tương tự:

1
1
(a+ a− ) = ( Hˆ −
hω ) → Hˆ = ( a+ a− ) + hω
2m
2

(**)

Lấy (*) – (**) ta được:
1
1

(a− a+ ) − (a+ a− ) = ( Hˆ + hω ) − ( Hˆ − hω ) = hω
2
2

Ta dùng phương trình (**) để viết lại phương trình Schrodinger:
ˆ ( x) = (a a ) + 1 hω  u ( x ) = E u ( x)
Hu
n
+ −
n
n n
2 


SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 4


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

Đến đây ta chứng minh nếu U(x) là nghiệm riêng nào đó thỏa mãn phương trình
Schrodinger với trị riêng E thì hàm a+U ( x ) cũng thỏa mãn phương trình Schrodinger
với năng lượng riêng là E + hω
 Xét:

1 
1


Hˆ (a+U ) = ( a+ a− ) + hω  a+U = a+ a− a+U + hω (a+U )
2 
2

1 
1



= a+ ( a− a+ ) + hω U = a+ ( a− a+ ) − hω + hω U
2 
2



= Hˆ (a U ) = a Hˆ + hω U = ( E + hω )(a U )
+

+

{

}

+

Tương tự ta cũng chứng minh nếu U(x) là nghiệm riêng nào đó thỏa mãn phương
trình Schrodinger với trị riêng E thì hàm a−U ( x ) cũng thỏa mãn phương trình
Schrodinger với năng lượng riêng là E − hω

 Xét:

1 
1

Hˆ (a−U ) = (a− a+ ) − hω  a−U = a− a+ a−U − hω (a−U )
2 
2

1 
1



= a− ( a+ a− ) − hω U = a− ( a+ a− ) + hω − hω U
2 
2



= Hˆ (a U ) = a Hˆ − hω U = ( E − hω )(a U )
−

−

{

}

−

Kết luận: Khi tác dụng toán tử a+ lên một trạng thái uk(x) có mức năng lượng Ek
nào đó ta được một trạng thái uk +1 ( x) có mức năng lượng Ek + hω còn khi tác dụng toán
tử a− lên một trạng thái uk(x) có mức năng lượng E k nào đó ta được một trạng thái
uk −1 ( x) có mức năng lượng Ek - hω . Các toán tử a+, a_ được gọi là toán tử tăng và toán

tử giảm.
Nếu cứ tác dụng liên tục toán tử a - lên một trạng thái nào đó thì trị riêng năng
lượng sẽ giảm dần và có lúc sẽ nhỏ hơn không. Như vậy chắc chắn sẽ có một trạng
thái thấp nhất gọi là trạng thái cơ bản u0(x) sao cho: a_u0(x) = 0
Dựa vào biểu thức a−u0 ( x) =
→

1 h d

− imω x  u0 ( x) = 0

2m  i dx


du0 ( x )
du ( x)
mω
mω
=−
x.u0 ( x) → ∫ 0
=−
x.dx
dx
h

u0 ( x )
h ∫

→ ln u0 ( x) = −

mω 2
 mω 2 
x + const → u0 ( x) = A0 exp  −
x ÷
2h
 2h 

Để tìm ra trị riêng năng lượng ở trạng thái cơ bản ta sử dụng (**)
ˆ ( x) = ( a a ) + 1 hω  u ( x ) = E u ( x) = 1 hωu ( x )
Hu
0
0 0
0
 + − 2  0
2

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 5


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh
1

2

Như vậy: E0 = hω . Đây chính là giá trị năng lượng ở mức cơ bản.
Các mức năng lượng cao hơn được tìm thấy bằng cách tác dụng toán tử tăng lên
trạng thái cơ bản liên tục thì trị riêng của các trạng thái cao hơn (gọi là trạng thái kích
thích). Như vậy năng lượng của các dao động tử điều hòa có giá trị gián đoạn (khác
1
2

với lý thuyết cổ điển) và có giá trị nhỏ nhất bằng Emin = hω năng lượng này được gọi



1

là năng lượng không. Các mức năng lượng kích thích là: Ek =  k + ÷hω (***)
2


trong đó k là các số nguyên dương hoặc bằng không k = 0,1,2,3…
1

4
Từ (***) nếu dung điều kiện chuẩn hóa có thể tính được: A0 =  mω ÷
 hπ 

Ta có thể tìm được biểu thức của hàm song biểu diễn cho dao động tử điều hòa
uk(x) ứng với mức năng lượng thứu k là:
1

 mω  4
 mω 2 
u0 ( x ) = 
x ÷
÷ exp  −
 hπ 
 2h 
1

 mω  4
 mω 2 
uk ( x) = (a+ ) u0 ( x ) = (a+ ) 
x ÷
÷ exp  −
 hπ 
 2h 
K

K

Năng lượng cơ bản liên quan chặt chẻ với dao động không của dao động tử, nghĩa
là khi nhiệt độ T tiến về không, dao động tử vẫn dao động với mức năng lượng
Emin =

1
hω . Điều này đã được thực nghiệm xác nhận bằng thí nghiệm tán xạ của tia X
2

qua tinh thể khi ở nhiệt độ thấp. Tia X bị tán xạ là do các dao động nguyên tử trong
mạng tinh thể gây ra.

Theo cơ học cổ điển, khi nhiệt độ càng giảm, biên độ dao động của các nguyên tử
giảm dần đến 0, do đó sự tán xạ của ánh sang phải biến mất.
Nhưng thực nghiệm chứng tỏ, khi nhiệt độ giảm, cường độ tán xạ tiến tới một giới
hạn nào đó. Điều đó có nghĩa là, ngay cả khi nhiệt độ tiến về không, sự tán xạ ánh
sang vẫn xảy ra và các nguyên tử trong mạng tinh thể vẫn dao động, tương ứng với
năng lượng E0 nào đó.Như vậy thực nghiệm về tán xạ của tia X qua tinh thể ở nhiệt độ
thấp đã chứng tỏ sự đúng đắn của cơ học lượng tử.
Sự tồn tại của “năng lượng không” cũng phù hợp với những hệ thức bất định
Heisenberg. Thực vậy, nếu mức năng lượng thấp nhất của dao động bằng 0, như thế có
nghĩa là hạt đứng yên và vận tốc và tọa độ của vi hạt được xác định đồng thời (đều
bằng 0), điều này mâu thuẫn với hệ thức bất định. Sự tồn tại của mức năng lượng
SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 6


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

"không" của dao động điều hòa là một trong những biểu hiện đặt trưng của lưỡng tính
sóng hạt của vi hạt.
I.3. Dao động tử điều hòa lượng tử 3 chiều
1
2

1
2

1

2

2 2
2 2
2 2
Ta có thế năng: U ( x, y, z ) = mω x x + mω y y + mω z z

Phương trình Schrodinger ba chiều:
Hˆ ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )

Nghiệm của phương trình là:
ψ n n n ( x, y, z ) = ψ n ( x)ψ n ( y )ψ n ( z )
x y z

x

y

z

3
3


Enx ny nz =  nx + n y + nz + ÷hω =  n + ÷hω
2
2



II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho một dao động tử điều hòa một chiều.
a) Xuất phát từ hệ thức bất định, xác định mức năng lượng thấp nhất có thể có của dao
động tử điều hòa.
b) Tính các giá trị trung bình x, x 2 của dao động tử điều hòa ở trạng thái cơ bản (trạng
thái có mức năng lượng thấp nhất) ψ 0 ( x ) .
2

a − ax
mω
ψ 0 ( x) = 4 e 2 , a =
π
h

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 7


Cơ Học Lượng Tử
+∞

Cho

∫e

− ax 2

dx =

−∞

GV: Lê Thị Hồng Thanh

π
.
a

Bài giải
∧

2
2
a) Ta có: Hˆ = p + mω x 2
2m
2

Năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa được xác định bằng công thức:
 ∧2

px mω 2 2 ÷
p 2 mω 2 2

ˆ
E = ∫ψ * Hψ dx = ∫ψ *
+
x ψ dx =
+
x (1)
 2m

÷
2
2m
2
÷



Theo hệ thức bất định ta có:

( )
( )

 p 2 = p 2 + ∆p 2


2
 x 2 = x + ∆x 2


Thay vào (1) ta được:

( )

∆p 2 + p

E=

E ≥

2m

mω 2  2
x + ∆x 2 


2 

( )

h2
4∆x 2

ta có:

h2
mω 2 2
+
∆x
8m∆x 2
2

( )

f ∆x 2 = Emin =



+

∆p 2 mω 2 2
+
∆x
2m
2

2
Áp dụng hệ thức bất định ∆px ≥

E≥

2

h2
8m∆x 2

+

f ( a) =

h2
mω 2
+
a;
8ma
2

f ' ( a) =

−h2 mω 2

+
=0
8ma 2
2

mω 2 2
∆x
2
a = ∆x 2

mω 2
h2
2h2
h
2
=
a
=
→a=

2
2 2
2
8ma
8m ω
2mω

2
2
 h  h ( 2mω ) mω h hω

f
=
+
=
  2mω ÷
8mh
2.2mω
2


Vậy mức năng lượng thấp nhất có thể có của dao động tử điều hòa một chiều là:
hω
Emin =
.
2

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 8


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh
+∞

* n
b) Ta có: x = ∫ ψ 0 x ψ 0 dx n = 1, 2, 3, 4.
n

−∞

mω
a − ax
ψ 0 ( x) = 4 e 2 ; a =
h
π
2

+∞

*
* x = ∫ ψ 0 xˆψ 0 dx
−∞

=

2

+∞

∫

4

−∞

2

+∞

a − ax2 4 a − ax2
a
− ax 2
e x
e dx =
xe
dx
∫
π
π
x −∞
+∞

∫ xe

Ta có hàm số f(x) =

− ax 2

dx là hàm lẻ vì f(-x) = -f(x), mà cận chạy từ −∞ → +∞

−∞

là cận đối xứng nên f(x) = 0.
x=

a
.0 = 0
x

+∞

∧
2

* x = ∫ ψ x ψ 0 dx =
2

*
0

−∞

2

+∞

∫

4

−∞

2

+∞

2
a − ax2 2 4 a − ax2

a
e x
e dx =
x 2e − ax dx
∫
π
π
x −∞

Cách 1:
I1 =

Ta có:

+∞

− ax
∫ e dx =
2

−∞

+∞
2
π
∂I1
π
I
=
−

=
x 2 e − ax dx =
; 2
∫
a
∂a −∞
2 a3

+∞

2
∂I
3 π
I 3 = − 2 = ∫ x 4e − ax dx =
∂a −∞
4 a5

⇒ x2 =

a 1
1
1
h
. π.
=
=
3
π 2
2a 2mω
a

+∞

∧

3
* 3
* x = ∫ ψ 0 x ψ 0 dx =
−∞

+∞

∫

+∞

x3

−∞

2
a − ax 2
a
e dx =
x 3e − ax dx = 0 .
∫
π
x −∞

Vì hàm f ( x ) = x 3e − ax là hàm lẻ và cận đối xứng.

2

+∞

∧

* x 4 = ∫ ψ 0* x 4 ψ 0 dx =
−∞

+∞

∫

−∞

+∞

x4

2
a − ax 2
a
a 3
e dx =
x 4e − ax dx =
π
∫
π
x −∞
π 4

1
a5

2

=

3
3 h 
= 
÷
2
4a
4  mω 

Cách 2:
+∞

a
2 − ax 2
x
* x =
∫ e dx
x −∞
2

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 9

Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

u = x → du = dx

2
Đặt 
e − ax
− ax 2
 dv = xe dx → v =
−2 a

a  e − ax
⇒x =
 x.
π  −2a
2

+∞

2

−∞

+∞

1

a 1 π
1
h
− ax 2
+
e
dx
=
=
=
∫
2a −∞
π 2a a 2a 2mω


+∞

2
a
x 4 e − ax dx
* x =
∫
x −∞

4

u = x 3 → du = 3x 2 dx

2
Đặt 

e − ax
− ax 2
 dv = xe dx → v =
−2 a

a
⇒x =
π
4

 3 e − ax
x .
 −2a
2

+∞

+
−∞

2
+∞

3
3
3 h 
2 − ax 2
x
e
dx

=
=


÷
2
∫
2a −∞
4  mω 
 4a

Bài 2: Thế năng của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:
U ( x, y , z ) =

1
1
1
mω12 x 2 + mω22 y 2 + mω32 z 2
2
2
2

trong đó: m, ω1 , ω2 , ω3 là các hằng số.
Tìm hàm sóng và các mức năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều.
Bài giải
Phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa ba chiều có dạng:
 h2  ∂ 2

∂2
∂2  m 2 2

Hˆ ψ ( x, y, z ) = −
+
+
+ ( ω1 x + ω22 y 2 + ω32 z 2 ) ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
 2
2
2 ÷
 2m  ∂x ∂y ∂z  2


Đặt ψ ( x, y, z ) = ψ ( x ) ψ ( y ) ψ ( z ) và thay vào phương trình trên rồi chia cả hai vế của
phương trình vừa nhận được cho ψ ( x ) ψ ( y ) ψ ( z ) ta có:


1  −h2 ∂ 2ψ ( x) 1
1  −h2 ∂ 2ψ ( y ) 1
2 2
+
m
ω
x
ψ
(
x
)
+
+ mω22 y 2ψ ( y ) 




1
2
2
ψ ( x)  2m ∂x
2
2
 ψ ( y )  2m ∂y


1  −h2 ∂ 2ψ ( z ) 1
+
+ mω32 z 2ψ ( z )  = E = const

2
ψ ( z )  2m ∂x
2


Ta suy ra:
h2 ∂ ψ ( x ) 1
+ mω12 x 2ψ ( x ) = E1ψ ( x )
2
2m ∂x
2
2
2
h ∂ ψ ( y) 1
−
+ mω22 y 2ψ ( y ) = E2ψ ( y )
2m ∂y 2

2
2

−

h2 ∂ ψ ( z ) 1
+ mω32 z 2ψ ( z ) = E3ψ ( z )
2
2m ∂z
2
2

−

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 10


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

với E1, E2, E3 bằng const và E = E1 + E2 + E3. Các hàm sóng ψ ( x ) ,ψ ( y ) ,ψ ( z ) là các
phương trình dao động tử điều hòa một chiều.
Đặt X =

mω3
mω1
mω2

x, Y =
y, Z =
z ta có:
h
h
h

ψ n1 ( X ) = An1 e
ψ n2 (Y ) = An2 e

ψ n3 ( Z ) = An3 e

−

X2
2




1

H n ( X ) , En = hω1  n1 + 2 ÷
1

1



−

Y2
2

1

H n2 (Y ) , En2 = hω2  n2 + 2 ÷


−

Z2
2

1

H n3 ( Z ) , En3 = hω3  n3 + 2 ÷


với n1, n2, n3 = 0, 1, 2, 3… và An , An , An là các hệ số chuẩn hóa hàm sóng:
1

1

 mω1  4
An1 = 
÷
 hπ 

2

3

1

 mω2  4
An2 = 
,
÷
 hπ 
2n1 n1 !
1

1
2n2 n2 !

1

,

 mω3  4
An3 = 
÷
 hπ 

1
n3

2 n3 !

Hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều được xác định như sau:
ψ n n n ( x, y, z ) = ψ n ( x)ψ n ( y )ψ n ( z )
1 2 3

1

2

3

ω + ω2 + ω3 

En1n2 n3 = En1 + En2 + En2 = h ω1n1 + ω2 n2 + ω3 n3 + 1
÷
2



với n1, n2, n3 = 0, 1, 2, 3,…
Hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa ba chiều được xác định như
sau:
ψ n1 , n2 , n3 ( x, y , z ) = ψ n1 ( x ) ψ n2 ( y ) ψ n ( z )

ω + ω 2 + ω3 

En1 , n2 , n3 = En1 + En2 + En3 = h ω1n1 + ω2 n2 + ω3n3 + 1
÷
2



với n1 , n2 , n3 = 0,1, 2,3...

Bài 3: Viết toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong biểu diễn
xung lượng.Tìm hàm riêng và trị riêng của nó trong biểu diễn xung lượng.
Bài giải
ur

Toán tử Hamintơn của dao động tử điều hòa một chiều trong p - biểu diễn có dạng:
2

2
p 2 mω 2  ∂ 
p2
∂2
2 mω
ˆ
H=
+
−h
 ih ÷ =
2m
2  ∂p 
2m
2 ∂p 2

Phương trình hàm riêng và trị riêng của Hˆ :
Hˆ ϕ ( p ) = Eϕ ( p )

Đưa vào thông số không thứ nguyên ξ =

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

p
2E
và đặt λ =
, ta có:
mhω
hω

Trang 11


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

d 2ϕ (ξ )
+ ( λ −ξ 2 ) ϕ (ξ ) = 0
2
dξ
ξ2

−
Nghiệm ϕ ( ξ ) được tìm dưới dạng: ϕ ( ξ ) = e 2 y ( ξ )

Khi đó hàm y ( ξ ) thỏa mãn phương trình:
d2y
dy
− 2ξ

+ 2ny = 0 , 2n = λ − 1
2
dξ
dξ
n

k
Nghiệm y ( ξ ) được tìm dưới dạng: y ( ξ ) = ∑ ak ξ
k =0

ak + 2 =

2( n − k )
a , n = 0, 1, 2…
( k + 1) ( k + 2 ) k
1

En = hω  n + ÷
2

ξ2

Hàm ϕ ( ξ ) có thể viết dưới dạng: ϕn ( ξ ) = An e − 2 H n ( ξ )

( )

d n −ξ 2
H n ( ξ ) = ( −1) e
e
,

dξ n
n

ξ2

1

 mω  4
An = 
÷
 hπ 

1
2n n !

Bài 4: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với dao động tử điều
hòa ở trạng thái cơ bản
1

1


2
2  2 −α 2 x 2
với α =  mω ÷
ψ ( x) = α
÷ e
 2h 
 π

Bài giải
Hàm sóng trong biểu diễn xung lượng ϕ ( p ) được xác định bằng công thức:
+∞

ϕ ( p ) = ∫ ψ ( x )ψ *p ( x )dx =
−∞

+∞

i
−α x 2 + px
A
h
e
dx
∫
2π h −∞

+∞

2
A
−( α x + β ) + β 2
ϕ ( p) =
e
dx
∫
2π h −∞

1


2
Trong đó A =  α 2 ÷ ;
 π 

1

 mω  2 ;
α =
÷
 2h 

β=

ip
2hα

Thực hiện phép tính tích phân ta có:
ϕ ( p) =

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

1

α h 2π

e

−

p2
4 h2α 2

Trang 12


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

Bài 5: a) Tính vị trí và toán tử xung lượng Xˆ H (t ) và PˆH (t ) trong bức tranh
Heisenberg cho dao động tử điều hòa một chiều.
b) Tìm phương trình chuyển động Heisenberg cho Xˆ H (t ) và PˆH (t ) .
Bài giải
a) Hàm Hamilton của dao động tử điều hòa có dạng
∧

∧
p2 1
Hˆ =
+ mω 2 X 2
2m 2

Giao hoán tử

1  ∧2 ∧ 
ih ˆ
 Hˆ , Xˆ  =


 2m  P , X  = − m P



(1)

∧
∧
1
 Hˆ , pˆ  = mω 2  X 2 , P  = ihmω 2 Xˆ

 2



(2)

ˆ os(ωt ) + 1 Pˆ sin(ωt )
Xˆ H (t ) = Xc
mω
ˆ
ˆ
PH (t ) = Pcos(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt )

Ta tính được:

b) Để tìm được phương trình chuyển động của Xˆ H (t ) và PˆH (t ) ta sử dụng phương
dAˆ H (t ) 1  ˆ ˆ 
=  AH , H  kết hợp với (1) và (2) ta tính được
dt

ih

trình Heisenberg:

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
dXˆ H (t ) 1 ˆ
1 itHh  ˆ ˆ  − itHh
1 ih itHh ˆ − ihhH
ˆ


=  X H (t ), H  = e  X , H  e
=
e Pe
dt
ih
ih
ih m
ˆ
ˆ
ˆ
itHˆ
−
dPˆH (t ) 1
1 itH
(−ihmω 2 ) itHh ˆ − ihhH
=  pˆ H (t ), Hˆ  = e h  Pˆ , Hˆ  e h =

e Xe
dt
ih
ih
ih

Hay
dXˆ H (t ) 1
dPˆH (t )
= pˆ H (t ) ;
= − mω 2 Xˆ H (t )
dt
m
dt
Bài 6: Cho Xˆ (t ) và Pˆ (t ) , hãy tính các giao hoán tử cho dao động tử điều hòa sau.
H

H

 Xˆ H (t1 ), PˆH (t2 )  ;



 Xˆ H (t1 ), Xˆ H (t2 )  ;



 PˆH (t1 ), PˆH (t2 ) 



Bài giải
ˆ os(ωt ) +
Sử dụng: Xˆ H (t ) = Xc

1 ˆ
ˆ os(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt ) theo
P sin(ωt ) và PˆH (t ) = Pc
mω

hệ thức giao hoán  Xˆ , Pˆ  = ih và  Xˆ , Xˆ  =  Pˆ , Pˆ  = 0 , ta có.



ˆ os(ωt ) +
  Xˆ H (t1 ), PˆH (t2 )  =  Xc
1

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

1 ˆ
ˆ os(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt ) 
P sin(ωt1 ), Pc
2
2 
mω


Trang 13

Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh
=  Xˆ , Pˆ  cos(ωt1 )cos(ωt2 ) −  Pˆ , Xˆ  sin(ωt1 )sin(ωt2 )
= ih[ cos(ωt1 )cos(ωt2 ) + sin(ωt1 )sin(ωt2 ) ]

Hoặc
 Xˆ H (t1 ), PˆH (t2 )  = ihcos [ ω (t1 − t2 )]



Tương tự



ˆ os(ωt ) +
  Xˆ H (t1 ), Xˆ H (t2 )  =  Xc
1

1 ˆ
ˆ os(ωt ) + 1 Pˆ sin(ωt ) 
P sin(ωt1 ), Xc
2
2 
mω
mω


1  ˆ ˆ

1 ˆ ˆ
X , P  cos(ωt1 )sin(ωt2 ) +
P, X  sin(ωt1 )cos(ωt2 )

mω
mω 
ih
=
[ cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) − sin(ωt1 )cos(ωt2 ) ]
mω
=

Hoặc
ih
 Xˆ H (t1 ), Xˆ H (t2 )  = −
sin [ ω (t1 − t2 ) ]


mω
ˆ os(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt ), Pc
ˆ os(ωt ) − mω Xˆ sin(ωt ) 
  PˆH (t1 ), PˆH (t2 )  =  Pc
1
1
2
2 
= −mω  Pˆ , Xˆ  cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) − mω  Xˆ , Pˆ  sin(ωt1 )cos(ωt2 )
= −ihmω [ sin(ωt1 )cos(ωt2 ) − cos(ωt1 ) sin(ωt2 ) ]

Hoặc

 PˆH (t1 ), PˆH (t2 )  = −ihmω sin [ ω (t1 − t2 ) ]



C. KẾT LUẬN
Qua quá trình tìm hiều, ta thấy dao động tử điều hòa mô tả đúng lý thuyết năng
lượng của hạt và bài toán có lời giải chính xác trong cơ học lượng tử, nhưng quá trình
tính toán tương đối hơi phức tạp, đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết của phương trình
Schrodinger. Nếu vận dụng một cách nhuần nhuyễn các phương pháp để giải ta sẽ hiểu
rõ hơn về các tính chất của hạt như vị trí, năng lượng…
Trong quá trình làm tiểu luận này, do kiến thức còn hạn chế nên bài làm không
tránh khỏi những thiếu sót, mong rằng cô sẽ có những góp ý để đề tài được hoàn thiện
hơn.
SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 14


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

D. TÀI LIỆU THAM KHẢO
/>%C4%91i%E1%BB%81u_h%C3%B2a
Vũ Văn Hùng, Cơ học lượng tử, NXB ĐH Sư Phạm,2009
Nguyễn Duy Hưng, Giáo trình cơ học lượng tử, 1998
Cơ học lượng tử nâng cao

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 15


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

E. NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 16


Cơ Học Lượng Tử

GV: Lê Thị Hồng Thanh

................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................

................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................
................................................................................................................................

SVTH: Nguyễn Văn Hòa

Trang 17