Bài giảng và bài tập Toán cao cấp B3

CHƯƠNG 5 : PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
5.1 Hàm nhiều biến :
5.1.1 Khái niệm
1. Định nghĩa : Cho D ⊂ Rn, ánh xạ f : D Æ R là một hàm nhiều biến
xác định trên D
f: D Æ R
M a u = f(M) với M (x1,x2,…, xn ) ∈ D
• D : miền xác định của f
• f(D) ⊂ R : miền giá trị của f
2. Ví dụ : Tìm miền xác định
a) f : D Æ R ( D ⊂ R 2 )
(x,y ) a u = f(x,y) =

4 − x2 − y2

b)f : D Æ R ( D ⊂ R2 )
(x,y ) a u = f(x,y) với u = ln ( 6 - 6x2 – 3y2)

5.1.2 Giới hạn – Liên tục :
1. Giới hạn :
Cho hàm số f : D Æ R với
D ⊂ Rn, Mo∈ D
M a f(M)
M (x1, x2,…,xn) ∈ D
• Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M Æ Mo nếu :
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 sao cho M − M o < δ ⇒ f ( M ) − L < ε
Ký hiệu lim f ( M ) = L
M → Mo

• Số L được gọi là giới hạn của hàm f(M) khi M Æ Mo nếu :
Mọi dãy { Mn } : { Mn }ÆMo ⇒ { f(Mn) }ÆL

Ghi chú :
• Khoảng cách giữa 2 điểm M(x1,x2,…,xn) và N(y1,y2,…,yn) trong Rn :
d(M,N) = M − N = ( x1 − y1 ) 2 + ( x 2 − y 2 ) 2 + ... + ( x n − y n ) 2
• M Æ Mo ⇔ M − M o Æ 0
2. Liên tục :
• f(M) liên tục tại Mo ⇔ lim f ( M ) = f ( M o )
M →M o

(1)

• f(M) liên tục trên D nếu f(M) liên tục tại mọi điểm của D

1


(D ⊂ R2 )

Ví dụ 1 : Cho hàm số f : D Æ R
(x,y ) a f(x,y) =

x2 y
x2 + y2

Tìm lim f ( x, y )
x →0
y →0

(D ⊂ R2 )

Ví dụ 2 : Cho hàm số f : D Æ R

(x,y ) a f(x,y) =

xy
x + y2
2

CMR lim f ( x, y ) không tồn tại .
x →0
y →0

(D ⊂ R2 )

Ví dụ 3 : Cho hàm số f : D Æ R
⎧ x2 y
⎪
f(x,y) = ⎨ x 2 + y 2
⎪0
⎩

khi ( x, y ) ≠ (0, 0)
khi ( x, y ) = (0, 0)

Xét tính liên tục của hàm số f tại (0,0) .
5.2 Đạo hàm riêng và vi phân toàn phần :
5.2.1 Đạo hàm riêng :
Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R2, Mo(xo,yo)∈ D .
Nếu lim

Δx → 0

f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 )
tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được
Δx

gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm f(x,y) tại điểm (xo,yo) , ký
hiệu : f’x(xo,yo) hoặc

∂f
( x0 , y 0 )
∂x

Tương tự ,ta có đạo hàm riêng theo biến y của hàm f(x,y) là :
f’y(xo,yo) hoặc

∂f
( x0 , y 0 )
∂y

Ghi Chú : Tính đạo hàm riêng của hàm nhiều biến thực chất là tính đạo
hàm theo một biến còn các biến kia không đổi .
Ví dụ 1 : Cho f(x,y) = x2 + 3xy + 2y2 + 4x -5y +10. Tìm
Ví dụ 2 : Cho z =excosy .Tìm

∂z ∂z
,
∂x ∂y

Ví dụ 3 : Cho f(x,y,z) = xsin(yz+z3). Tìm

2

∂f ∂f ∂f
, , .
∂x ∂y ∂z

∂f ∂f
,
∂x ∂y


5.2.2 Vi phân toàn phần :
Cho hàm số u = f (x,y) xác định trên miền D ⊂ R2, Mo(xo,yo)∈ D.
Vi phân tòan phần của f(x,y) tại (xo,yo) :
df(xo,yo) = f’x(xo,yo) dx + f’y(xo,yo)dy
df(x,y) = f’x(x,y) dx + f’y(x,y)dy hay
df = f’x dx + f’ydy
Tổng quát : u = f(x1, x2,…, xn)
du =

∂f
∂f
∂f
dx1 +
dx2 +…+
dxn
∂x1
∂x2
∂xn

Ví dụ : Tìm vi phân toàn phần của hàm số :

a) f(x,y) = x4 + 3xy + 2y2 + arctgx
b) f(x,y) = arctg

x+ y
x− y

Đạo hàm và vi phân cấp cao :
1. Đạo hàm riêng cấp cao :
Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một.
Hàm hai biến z = f(x,y)có các đạo hàm riêng cấp hai sau :
∂ ∂f
∂2 f
( ) = 2 = f xx'' = f x''2
∂x ∂x
∂x

∂ ∂f
∂2 f
( )=
= f xy''
∂y ∂x
∂x∂y

∂ ∂f
∂2 f
( )=
= f yx''
∂x ∂y
∂y∂x

∂ ∂f
∂2 f
( ) = 2 = f yy'' = f y''2
∂y ∂y
∂y

Ví dụ : Tìm đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm
a) f(x,y) = xlny
b) f(x,y) = ln(x2 + y2)
Ghi chú : f(x,y) là hàm xác định trên D ⊂ R2 và có các đạo hàm riêng cấp 2
∂2 f
∂2 f
( x, y ) và
( x, y ) trong lân cận của (xo,yo) ∈ D. Nếu chúng liên tục tại
∂x∂y
∂y∂x

(xo,yo) thì

∂2 f
∂2 f
( x0 , y 0 ) =
( x0 , y0 )
∂x∂y
∂y∂x

2. Vi phân cấp cao :
df =

∂f

∂f
dx + dy
∂x
∂y

3


⎛ ∂f

∂f

⎞

d2f = d(df) = d ⎜⎜ dx + dy ⎟⎟
∂y ⎠
⎝ ∂x
∂2 f 2
= 2 dx +
∂x

∂2 f
∂2 f
∂2 f
dydx +
dxdy +
dy 2
2
∂y∂x
∂x∂y

∂y

Nếu đạo hàm hỗn hợp bằng nhau thì ta có :
∂2 f
∂2 f
∂2 f 2
dxdy +
d f = 2 dx + 2
dy 2
2
∂x∂y
∂y
∂x
2

Ví dụ : Cho f(x,y) = x2ey . Tìm vi phân cấp 2 .
5.3 CỰC TRỊ :
5.3.1 Cực trị tự do:
1/ Định nghĩa :
Cho hàm f(x,y) xác định trên D ⊂ R2. Điểm Mo(xo, yo) gọi là điểm cực đại
(hoặc điểm cực tiểu) nếu f(M) ≤ f(M0) (hoặc f(M) ≥ f(M0) ) với mọi M(x,y) trong
lân cận Mo .
2/ Định lý 1 (điều kiện cần)
Nếu hàm f(x,y) đạt cực trị tại Mo(xo, yo) mà tại đó hàm có các đạo hàm
riêng

∂f ∂f
∂f
∂f
tồn tại thì

(xo, yo) = 0 và
(xo, yo)= 0 .
,
∂x ∂y
∂x
∂y

3/ Định nghĩa : Nếu

∂f
∂f
(xo, yo) = 0 và
(xo, yo) = 0 thì Mo (xo, yo) được
∂x
∂y

gọi là điểm dừng của hàm f(x, y).
Ghi chú : Điểm cực trị là điểm dừng nhưng ngược lại chưa chắc đúng.
Phản ví dụ : Cho f (x, y) = x2 - y2 xác định trên R2 .
Ta thấy p = q = 0 tại Mo (0,0) nhưng Mo (0,0) không phải là điểm cực trị vì
f(x, 0) = x2 ≥ 0 = f (0,0) còn f (0, y) = - y2 ≤ 0 = f(0,0)
4/ Định lý 2 (điều kiện đủ)
Giả sử điểm Mo (xo, yo) là điểm dừng của hàm số f(x,y).
∂2 f
∂2 f
∂2 f
(xo, yo) , C =
(xo, yo)
Đặt A = 2 (xo, yo) , B =
∂x∂y

∂y 2
∂x

* AC – B2 > 0 : M0 (xo, yo) là điểm cực trị
4


• A > 0 : Mo(xo, yo) là điểm cực tiểu
• A < 0 : Mo(xo, yo) là điểm cực đại
* AC – B2 < 0 : M0 (xo, yo) không phải là điểm cực trị
* AC – B2 = 0 : Chưa kết luận được .
Tìm cực trị :
Ví dụ 1: Cho hàm f(x, y) = x3 + y3 + 3xy
HD : Hàm f(x, y) có hai điểm dừng là Mo (0, 0) và M1 ( - 1, - 1)
* Tại Mo(0,0)

: AC – B2 = - 9 < 0 : Mo (0, 0) không phải là điểm
cực trị

* Tại M1(-1, -1) : AC – B2 = 27 > 0 : M1 (-1, -1) là điểm cực trị
Ví dụ 2: Cho hàm g(x, y) = x2 + xy + y2 – 3x – 6y
Ví dụ 3 : Cho hàm f(x, y) = x2 + y4
HD : Ta thấy AC – B2 = 0 nên không kết luận được , cần xét cụ thể f(x,y).
Ví dụ 4 : Cho hàm f(x, y) = x3 + y4
5.3.2 Cực trị có điều kiện :
* Cho hàm 2 biến u = f(x,y) . Cực trị của hàm f(x,y) thỏa điều kiện
φ(x,y) = 0 được gọi là cực trị có điều kiện .
* Phương pháp tìm cực trị có điều kiện :
1.Trường hợp 1 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta suy ra được y = y(x) thì
thay vào hàm u=f(x,y) ta được hàm một biến u=f(x,y(x)) .Từ đó ,ta tìm

cực trị của hàm một biến thông thường .
Ví dụ : Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) =

1 − x 2 − y 2 với điều kiện

x+y–1=0
2.Trường hợp 2 : Nếu từ điều kiện φ(x,y) = 0 ta không suy ra được
= y(x) thì ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange như sau :
• Tìm các điểm dừng Mo(xo,yo) bằng cách giải hệ phương trình :

5

y


∂ϕ
⎧ ∂f
⎪ ∂x + λ ∂x = 0
⎪⎪ ∂f
∂ϕ
=0
⎨ +λ
∂
∂
y
y
⎪
⎪ ϕ ( x, y ) = 0
⎪⎩

( λ : nhân tử Lagrange)

• Lập hàm Lagrange : L(x,y, λ ) = f(x,y) + λ φ(x,y)
Xét vi phân toàn phần cấp 2 của hàm Lagrange :
∂2L
∂2L 2
∂2L 2
d L = 2 dx + 2
dxdy + 2 dy tại các điểm dừng Mo(xo,yo) .
∂x∂y
∂x
∂y
∂ϕ
Chú ý điều kiện :
(xo,yo) = 0 .
∂x
ƒ d2L ≥ 0 : Mo(xo,yo) là điểm cực tiểu
ƒ d2L ≤ 0 : Mo(xo,yo) là điểm cực đại
2

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm f(x,y) = x + 2y với điều kiện
φ(x,y) = x2 + y2 - 5 = 0

6


CHƯƠNG 6 : PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
6.1. TÍCH PHÂN KÉP :
6.1.1 Khái niệm tích phân kép :
1. Định nghĩa tích phân kép :

Cho hàm số f(x,y) xác định trên miền đóng, bị chặn D.
• Chia miền D một cách tùy ý thành n mảnh nhỏ có diện tích
ΔS i (i = 1, n)

• Trong mỗi mảnh, lấy 1 điểm tùy ý Mi (xi,yi) (i = 1, n)
• Tổng In =

n

∑ f ( x , y )ΔS
i

i =1

i

i

được gọi là TỔNG TÍCH PHÂN của hàm

số f(x,y) trong miền D.
• Nếu lim I n tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miền D và cách
d →0

lấy điểm Mi trong mỗi mảnh thì nó được gọi là TÍCH PHÂN KÉP
của hàm số f(x,y) trong miền D và ký hiệu
I=

∫∫ f ( x, y)dS
D

o D : miền lấy tích phân
o f(x,y) : hàm dưới dấu tích phân
o dS : yếu tố diện tích
Ghi chú :
• Tích phân kép tồn tại thì hàm số f(x,y) gọi là khả tích trên miền D.
• Nếu chia miền D bằng 2 họ đường thẳng song song với các trục tọa độ thì
dS = dxdy nên :
I= ∫∫ f ( x, y )dxdy
D

2.Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị đóng và bị chặn D thì f(x,y)
khả tích trên miền D
3.Tính chất :
(1)

∫∫ [ f ( x, y) + g ( x, y)]dxdy = ∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ g ( x, y)dxdy
D

(2)

D

D

∫∫ kf ( x, y)dxdy = k ∫∫ f ( x, y)dxdy
D

D

(3) Nếu D có thể chia thành 2 miền D1 và D2 thì :

∫∫ f ( x, y)dxdy =∫∫ f ( x, y)dxdy + ∫∫ f ( x, y)dxdy
D

D1

D2

1


(4) Nếu f(x,y) ≤ g(x,y) , ∀( x, y ) ∈ D thì

∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ ∫∫ g ( x, y)dxdy
D

D

(5) Nếu m ≤ f(x,y) ≤ M, ∀( x, y ) ∈ D , m và M là hằng số thì
mS ≤

∫∫ f ( x, y)dxdy ≤ MS với S là diện tích của miền D.
D

(6) Nếu f(x,y) liên tục trong miền bị chặn D thì trong D có ít nhất một điểm
( x, y ) sao cho

∫∫ f ( x, y)dxdy =

f ( x, y ).S với S là diện tích của miền D.

D

6.1.2 Cách tính tích phân kép :
1. Trong tọa độ Đề-Các :
a/ Miền lấy tích phân là hình chữ nhật có các cạnh song song với
các trục tọa độ
Tính I =

∫∫

D

{

f ( x, y )dxdy với D = ( x, y ) ∈ R 2 / a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d

}

b
d
d
b
⎡d
⎤
f
(
x
,

y
)
dy
dx
=
dx
f
(
x
,
y
)
dy
=
dy
f ( x, y )dx
⎥
∫
∫
∫
∫
I= ∫ ⎢ ∫
a ⎣c
a
c
c
a
⎦
b

Ví dụ 1 : Tính I =

∫∫

D

f ( x, y )dxdy với D với f(x,y) = xy + x +3 , D xác định

bởi : 1 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 2. ĐS: 28.
Ví dụ 2 : Tính I =

∫∫ x

3

y 2 dxdy với D , D xác định bởi : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2.

D

32
.
3
dxdy
Ví dụ 3 : I = ∫∫
với D là hình vuông xác định bởi : 1 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2 .
D ( x + y) 2

ĐS:

ĐS: ln

9
8

b/ Miền lấy tích phân là miền bất kỳ :
™ D= {( x, y ) ∈ R 2 / a ≤ x ≤ b , y1 ( x) ≤ y ≤ y 2 ( x)} với y1 (x) và y2(x) liên tục
trên [a,b]
I=

b

y2 ( x )

a

y1 ( x )

∫ dx ∫

f ( x, y )dy

™ D= {( x, y ) ∈ R 2 / c ≤ y ≤ d , x1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y )} với x1(y) và x2(y) liên tục
trên [c,d]
I=

∫

d

c

dy ∫

x2 ( y )

x1 ( y )

f ( x, y )dx

™ D giới hạn trong hình chữ nhật có các cạnh xác định bởi a ≤ x ≤ b ,
c≤y≤d.
)
)
MNP : y = y1 (x) , MQP : y = y2(x)
2


)
)
NMQ : x= x1(y) , NPQ : x = x2(y)

∫

I=

b

a

dx ∫

y1 ( x )

∫∫

Ví dụ 1 : Tính I =

y2 ( x )

f ( x, y )dy =

∫

d

c

dy ∫

x2 ( y )

x1 ( y )

f ( x, y )dxdy với D là miền xác định bởi x = 1 , x = 2,

D

1
2

y = x 2 , y = x 2 và f(x,y) =xy . ĐS:

∫∫

Ví dụ 2 : Tính I =

f ( x, y )dx

63
.
16

f ( x, y )dxdy với D là miền xác định bởi y = x ,y = x+1,

D

y = 1, y = 3 và f(x,y) = xy

ĐS:

20
.
3

x2
Ví dụ 3 : Tính I = ∫∫ 2 dxdy với D là miền giới hạn bởi các đường y = x ,
D y
1
9
y = và x = 2. ĐS: .

x
4

Ghi chú :

b

∫ dx ∫

Ví dụ : I =

a

d

c

1

∫ dx ∫
0

b

d

a

c

f ( x).g ( y )dy = ∫ f ( x)dx ∫ g ( y )dy
2

1

xy 2 dy

c/Đổi biến số trong tích phân kép :

∫∫

Cho tích phân kép

D

f ( x, y )dxdy. Giả sử tồn tại hàm 2 biến x = x(u,v) và

y =y(u,v) có các đạo hàm riêng liên tục trên miền D’ của mpO’uv sao cho
tương ứng (u,v) a (x,y) là một song ánh từ D’ đến D và định thức Jacobi
khác 0 . Định thức Jacobi :
J=

xu'

xv'

y u'

y v'

Ta có công thức đổi biến số trong tích phân kép :

∫∫

D

f ( x, y )dxdy = ∫∫ f [ x(u , v), y (u , v)] / J / dudv

Ví dụ 1 : Tính I =

D'

∫∫ ( x + y)dxdy với D giới hạn bởi các đường : y = -x ,
D

y = -x+3, y = 2x-1, y = 2x+1.
HD: Đặt u = y+x ( 0 ≤ u ≤ 3 ) , v = y-2x ( -1 ≤ v ≤ 1)
Ví dụ 2 : Tính I =

∫∫ (3x
D

2

+ 4 xy )dxdy với D là hình bình hành giới hạn

bởi các đường thẳng x + 2y = 2 , x+2y = 4 , 3x-y = 0 và 3x –y = 3.
HD: Đặt u = x+2y ( 2 ≤ u ≤ 4 ) , v = 3x-y ( 0 ≤ v ≤ 3 )
3

2. Trong tọa độ tọa độ cực :
• Tọa độ cực :

M(x,y)
r

ϕ

r = | OM |
ϕ = ( Ox , OM )

• Công thức liên hệ giữa tọa độ Đề-các và tọa độ cực
cos ϕ
sin ϕ

Định thức Jacobi : J =

⎧ x = r cos ϕ
⎨
⎩ y = r sin ϕ

− r sin ϕ
=r≠0
r cos ϕ

Xem x, y như hàm 2 biến theo r và ϕ ta áp dụng công thức đổi biến số :
I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdrdϕ
D

D'

Nếu D’ được xác định bởi α ≤ ϕ ≤ β và r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ ), ta có:
I=

∫∫

D

Ví dụ 1 : Tính I =

β

f ( x, y )dxdy = ∫ dϕ ∫
α

∫∫

D

ydxdy với D là

r 2 (ϕ )

r1(ϕ )

f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr

1
hình tròn tâm O bán kính R nằm

4

trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ .
Ví dụ 2 : Tính I =

∫∫ ( x
D

2

+ y 2 )dxdy với D giới hạn bởi đường tròn

x 2 + y2 = 2ax (a > 0)
Ví dụ 3 : Tính I =

∫∫ ln(1 + x

và 0 ≤ y ≤

D

2

+ y 2 )dxdy với D xác định bởi 0 ≤ x ≤ R

R2 − x2 .

6.1.3 Ứng dụng của tích phân kép :
1) Ứng dụng hình học :
a/ Tính thể tích của vật thể :

4


Thể tích của vật thể hình trụ m mặt xung quanh l mặt trụ có đường sinh
song song với Oz, đáy là miền D trong mặt phẳng Oxy, phía trên giới hạn
bởi mặt cong z =f(x,y) , f (x,y) ≥ 0 và liên tục trên D cho bởi công thức :
V=

∫∫

f ( x, y )dxdy

D

Ví dụ 1 : Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt x2 + y2 = 1
nằm trong mặt cầu x2+y2+z2 = 4.
Ví dụ 2 : Tính thể tích V của phần hình trụ giới hạn bởi mặt x2 + y2 = 2x
nằm trong mặt cầu x2+y2+z2 = 4.
b/ Tính diện tích hình phẳng :
S=

∫∫

D

dxdy

Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2
và x + y – 2 = 0
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y 2 = 4x

và y = 2x
c/ Tính diện tích của mặt :
Phương trình của mặt là z = f(x,y)

D =

∫∫

1 + p 2 + q 2 dxdy

D

D : là hình chiếu của mặt lên mặt phẳng Oxy và p =

∂f
∂f
,q=
∂y
∂x

Ví dụ : Tính diện tích phần của mặt cầu x 2 + y2 + z2 = 4 nằm bên trên
mp Oxy .
2) Ứng dụng cơ học :
a) Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất :
m=

∫∫ ρ ( x, y)dxdy
D

ρ (x,y ) : khối lượng riêng của bản phẳng tại M(x,y)

Ví dụ : Tính khối lượng của bản phẳng choán miền D xác định bởi :
x2 + y2 –R2 ≤ 0, x≥ 0, y≥ 0 biết rằng khối lượng riêng là ρ(x,y ) = xy.
5


b) Moment quán tính của bản phẳng :

∫∫ y ρ ( x, y)dxdy
Iy = ∫∫ x ρ ( x, y )dxdy
Io= ∫∫ ( x + y ) ρ ( x, y )dxdy
2

Ix =

D

2

D

2

2

D

Ví dụ 1 : Tính moment quán tính đối với gốc O của miền tròn D xác
định bởi x2 +y2-2Rx ≤ 0, biết khối lượng riêng ρ(x,y) = x 2 + y 2
Ví dụ 2 : Tính moment quán tính đối với trục 0y của miền D xác định bởi
x2 y2

+
≤ 1 biết rằng ρ(x,y) ≡ 1
a2 b2

c) Trọng tâm của bản phẳng :
Nếu bản phẳng D có khối lượng riêng là hàm liên tục ρ(x,y) thì tọa độ trọng
tâm :
xG =

∫∫ xρ ( x, y)dxdy
∫∫ ρ ( x, y)dxdy

,yG=

∫∫ yρ ( x, y)dxdy
∫∫ ρ ( x, y)dxdy

Nếu bản phẳng đồng chất thì ρ không đổi ,ta có :
xG =

1
xdxdy
S ∫∫
D

, yG=

1
ydxdy
S ∫∫

D

( S là diện tích của miền D ).
6.2 Tích phân bội ba :
6.2.1. Khái niệm tích phân bội ba :
1. Định nghĩa :
Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, giới nội V của không gian
Oxyz.
* Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ có thể tích là ΔVi (i = 1, n )
* Trong mỗi miền nhỏ Δ Vi lấy một điểm tuỳ ý Mi (xi, yi, zi)
* Tổng In =

n

∑ f ( x , y , z ).ΔV
i =1

i

i

i

i

được gọi là tổng tích phân của hàm f(x, y, z)

trên miền V.
* Nếu lim I n tồn tại không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách lấy
n→∞

6


điểm Mi thì nó được goi là TÍCH PHÂN BỘI BA của hàm f(x, y, z)
trên miền V.

∫∫∫ f ( x, y, z )dV

Ký hiệu :

V

Ghi chú :
* Nếu tích phân bội ba tồn tại, ta nói hàm f(x, y, z) khả tích trên miền V.
* Nếu chia miền V bằng những họ mặt phẳng song song với các mặt phẳng
tọa độ thì dV = dxdydz nên ta có :

∫∫∫

f ( x, y, z ) dV = ∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz

v

V

* Tích phân bội ba cũng có các tính chất tương tự như tích phân kép.
2. Định lý : Nếu f(x, y, z) liên tục trên miền đóng, bị chặn V thì khả
tích trên miền đó .
6.2.2 Cách tính tích phân bội ba :

1. Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề Các :

∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz
V

• Nếu miền V được giới hạn bởi các mặt z = z1(x, y), z = z2 (x, y) trong đó
z1, z2 là những hàm liên tục trong miền D, D là hình chiếu của miền V trên
mặt phẳng Oxy thì ta có :
z2 ( x , y )

I=

∫∫ dxdy ∫ f ( x, y, z ) dz
z1 ( x , y )

D

• Nếu miền D được giới hạn bởi các đường y = y1 (x), y = y2 (x) trong đó
y1, y2 là những hàm liên tục trên đoạn [a, b] thì ta có :
b

I = ∫ dx
a

Ví Dụ 1 : Tính I =

y2 ( x )

∫

y1 ( x )

z2 ( x , y )

dy

∫ f ( x, y, z )dz

z1 ( x , y )

∫∫∫ dxdydz

trong đó V là hình lăng trụ tam giác giới hạn

V

bởi các mặt z=1,z=3 và hình chiếu D của V trên mpOxy là tam giác OAB
với A(1,0) và B(0,1) .
Ví Dụ 2 : Tính I =

dxdydz

∫∫∫ (1 + x + y + z )

3

trong đó V là miền giới hạn bởi các mặt

V

phẳng tọa độ và mặt phẳng x + y + z = 1 .
7


Ví Dụ 3 : Tính I =

∫∫∫ zdxdydz với V là nửa hình cầu giới hạn bởi mặt phẳng
V

R2 − x2 − y2

z = 0 và mặt z =

2. Đổi biến số trong tích bội ba :
I =

∫∫∫ f ( x, y, z ) dxdydz
V

x = x (u, v, w)
y = y (u, v, w)
z = z (u, v, w)

trong đó

Giả sử :
* Các hàm x, y, z theo 3 biến u, v, w là những hàm số liên tục cùng với đạo
hàm riêng cấp 1 của chúng trong miền đóng V’ của không gian O’uvw.
* Các công thức trên được xác định một song ánh từ miền V’ lên miền V
của không gian Oxyz.

Định thức Jacobi :
∂x
∂u
D ( x, y , z )
∂y
=
I=
D (u , y , w)
∂u
∂z
∂u

∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v

∂x
∂w
∂y
≠ 0 trong miền V’ trừ một số hữu hạn điểm.
∂w
∂z
∂w

Khi đó ta có công thức đổi biến số :
I=

∫∫∫

f [x(u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w)] ⎜J⎜ dudvdw

V'

3. Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ :

Toạ độ trụ của điểm M (x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba (r, ϕ, z).
Trong đó (r,ϕ) là tọa độ cực của hình chiếu vuông góc M’ của M trên mặt phẳng
Oxy, z là tọa độ M theo trục z.
z

x = r cos ϕ
y = r sin ϕ
z=z

M (x, y, z)
y
x

ϕ

r

M’
8


cos ϕ

− r sin ϕ

Định thức Jacobi : J = sin ϕ

0

r cos ϕ
0

0

0 =r≠0
1

Tích phân bội ba trong tọa độ trụ :
I=

∫∫∫

f(r cos ϕ, rsin ϕ, z) r drdϕdz

V'

∫∫∫

Ví dụ : Tính I =
2

(x2 + y2)z dxdydz trong đó V giới hạn bởi mặt trụ

V

2

x + y = 1 và 2 mặt phẳng z = 0 và z = 2.
4.Tích phân bội ba trong tọa độ cầu :
Tọa độ cầu của điểm M(x, y, z) trong không gian Oxyz là bộ ba số (r, θ, ϕ)
trong đó r = OM, ϕ = (Ox, OM ') , θ = (Oz, OM ) , M’ l hình chiếu vuơng góc
của M lên mặt phẳng Oxy.
r ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ θ ≤ π
⎧r sin θ cos ϕ
⎪
Công thức liên hệ giữa tọa độ Đề các và tọa độ cầu : ⎨ r sin θ sin ϕ
⎪ r cos θ
⎩
sin θ cos ϕ

r cos θ cos ϕ

− r sin θ sin ϕ

Định thức Jacobi : J = sin θ sin ϕ
cos θ

r cos θ sin ϕ
− r sin θ

r sin θ cos ϕ
0

= r2sin θ

Tích phân bội ba trong tọa độ cầu :
I = ∫∫∫ f(r sinθ cosϕ, r sinθ sinϕ, r cosθ) r2sinθ drdθdϕ
V

Ví dụ : Tính I =

∫∫∫ z

2

dxdydz trong đó V là miền xác định bởi

V

1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4và z ≥ 0 .
6.2.3. Ứng dụng của tích phân bội ba :
1. Ứng dụng trong hình học :
Thể tích V của vật thể :

V=

∫∫∫
V

9

dxdydz

Ví dụ : Tính thể tích của khối giới hạn bởi các mặt parabolôit
z = x2 + y2 , z=0 , z=2 và nằm trong góc phần tám thứ nhất của
không gian tọa độ Oxyz .
2. Ứng dụng cơ học :
a/ Khối lượng của vật thể V:

∫∫∫ ρ (x,y,z)dxdydz

m=

V

ρ(x, y, z) là khối lượng riêng tại M(x, y, z)
b/ Tọa độ trọng tâm G của vật thể :
xG =

1
xρ ( x, y, z )dxdydz
m ∫∫∫
V

yG =

1
yρ ( x, y, z )dxdydz
m ∫∫∫
V

zG =

1
zρ ( x, y, z )dxdydz
m ∫∫∫
V

Nếu vật thể đồng chất thì ρ không đổi, ta có :
xG =
yG =
zG =

1
V

∫∫∫ xdxdydz

1
V

∫∫∫ ydxdydz

1
V

∫∫∫ zdxdydz

V

V

V

Ví Dụ :Xác định trọng tâm của vật thể đồng chất giới hạn bởi mặt nón
z2 – x2 – y2 = 0 (z>0) và mặt cầu x2 + y2 + z2 = 1 .

10


CHƯƠNG 7 : TÍCH PHÂN ĐƯỜNG –TÍCH PHÂN MẶT
7.1.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LỌAI 1 :
7.1.1. ĐỊNH NGHĨA :
Cho hàm số f(x, y) xác định trên 1 cung phẳng AB
* Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm A = A0, A1, ..., An = B.
Gọi độ dài cung Ai-1Ai là Δsi
*Trên cung nhỏ Ai-1Ai lấy 1 điểm tuỳ ý Mi(xi, yi)
* Lập tổng tích phân In =

n

∑ f ( x , y )Δs
i

i =1

i

i

* Nếu lim I n tồn tại mà không phụ thuộc cách chia cung AB và cách chọn

n→∞

điểm Mi thì nó được gọi là TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 của hàm số
f(x, y) theo cung AB
Ký hiệu :

I=

∫

f ( x, y )ds

AB

Ghi chú :
* Nếu hàm số f (x, y) có tích phân đường loại I theo cung AB ta nói hàm số
f(x, y) khả tích trên cung AB .
* Cung AB cho bởi phương trình : y = y(x) với a ≤ x ≤ b được gọi là cung
trơn nếu hàm số y = y(x) có đạo hàm liên tục trên [a,b]
⎧ x = x(t )
( t1 ≤ t ≤ t2 ) được gọi
⎩ y = y (t )

* Cung AB cho bởi phương trình tham số ⎨

là cung trơn nếu hai hàm số x = x(t) và y = y (t) có đạo hàm liên tục trên
đoạn [ t1, t2 ].
* Định lý : Nếu hàm số f(x, y) liên tục trên cung trơn AB thì nó khả tích
trên cung này.

7.1.2. Các tích phân đường loại 1 :
1


1. Nếu cung AB trơn ,được cho bởi phương trình y = y(x), a ≤ x ≤ b và
f(x, y) liên tục trên AB thì :

∫

b

f ( x, y )ds =

AB

∫ f ( x, y( x)).

1 + ( y '( x)) 2 dx

a

⎧ x = x(t )
⎩ y = y (t )

2. Nếu cung AB trơn , được cho bởi phương trình tham số ⎨
( t1 ≤ x ≤ t2 ) và hàm f(x, y) liên tục trên AB thì :

∫

t2

f ( x, y )ds =

∫ f ( x(t ), y(t )).

( x '(t )) 2 + ( y '(t )) 2 dt

t1

AB

VD 1 : Tính I =

∫x

2

OA

ds
với OA là đoạn thẳng nối điểm O và điểm
+ y2 + 5

A(1, 2).
VD 2 : Tính I =

∫ (x

2

− y 2 )ds với AB là một phần tám đường tròn tâm

AB

O,bán kính R nằm trong góc tọa độ thứ nhất và giới hạn bởi 2 đường y = 0
và y = x
VD 3 : Tính I =

∫ ( x + y)ds

với AB là đoạn thẳng nối điểm A(0,1) và điểm

AB

B(1, 3).

VD 4 : Tính ∫ xyds với L là một phần của elip
L

x2
+ y 2 = 1 với x ≥ 0, y ≥ 0 .
4

7.2.TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LỌAI 2 :
7.2.1. Định nghĩa : Cho 2 hàm số P(x, y) và Q(x, y) xác định trên cung AB
* Chia cung AB thành n cung nhỏ bởi các điểm : A = A0, A1, ....., An = B
uuuuur

* Gọi hình chiếu của vectơ Ai −1 Ai trên 2 trục Ox và Oy là Δxi và Δyi
* Trên cung Ai-1 Ai lấy 1 điểm Mi ( α i , βi ) tùy ý

* Lập tổng tích phân :
In =

n

∑
i =1

[P( α i , βi )Δxi + Q( α i , βi )Δyi]
2


* Nếu lim I n tồn tại không phụ thuộc cách chia cung AB và cách chọn Mi
n→∞

thì được gọi là TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 của các hàm số P(x, y) và Q(x, y)
dọc theo cung AB .

∫

Ký hiệu :

P(x, y) dx + Q(x, y) dy

AB

Ghi chú :
• Định lý : Nếu P(x, y) và Q(x, y) liên tục trên cung Ox, Oy tích phân
đường loại 2 tồn tại.
• Chiều của đường lấy tích phân :

∫
AB

Pdx + Qdy = - ∫ Pdx + Qdy
BA

7.2.2. Cách tính tích phân đường lọai 2 :
Giả sử AB là cung trơn và các hàm P(x, y), Q(x, y) liên tục trên cung AB.
* Nếu cung AB được cho bởi phương trình : y = y(x), a là hoành độ của A,
b là hoành độ của B thì :

∫

AB

P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∫

b

a

[P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) . y’(x)] dx

được cho bởi phương trình tham số {

x = x (t )

* Nếu cung AB

y = y (t )

với các đầu

mút A, B theo thứ tự ứng với các giá trị tA, tB của các tham số thì :

∫

tB

P(x, y) dx + Q(x, y) dy =

∫ [ P( x(t ), y(t )) x '(t ) + Q( x(t ), y(t )) y '(t )]dt

tA

AB

VD 1: Tính

∫

(x+y)dx +(2x-y)dy với AB là cung parabol y = x2 trong đó

AB

A(1,1) và B(2,4)
VD 2:

∫

AB

x2 y2
(-y)dx + xdy với AB là cung elip
+
= 1 trong đó A(3,0) và
9
4

B(0,2)

3


VD 3: Tính I =

∫

(x-y) dx + (x+y)dy với L là đường nối điễm O(0,0) với

L

điểm A(1,1) biết rằng đường L có phương trình :
b) y = x2

a) y = x

c) y =

x

Ghi chú :
*Tích phân đường loại 1 : chiều của đường lấy tích phân không quan trọng .
* Tích phân đường loại 2 : phải chú ý chiều của đường lấy tích phân.
* Trong trường hợp , L là đường cong khép kín , ta tính tích phân đường lọai 2
theo chiều dương của L .
*Qui ước : Chiều dương của đường cong kín là chiều mà đi theo chiều đó ,ta
thấy miền giới hạn ở bên trái.
Ký hiệu :

∫ Pdx + Qdy
L

7.2.3. Công thức Green:
Cho hai hàm P(x,y) và Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trong miền D và L
là biên của D, ta có công thức Green:

∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy

∫∫ (Q

=

L

'
x

− Py' )dxdy

D

Hệ quả : Nếu L là đường biên kín của miền D thì diện tích S của miền D
cho bởi công thức :

S=

1
2

∫ xdy − ydx
L

VD 1: Tính ∫ 2( x 2 + y 2 )dx + ( x + y ) 2 dy bằng cách sử dụng công thức Green
L

trong đó L là chu tuyến của tam giác ABC với A(1,1) , B (2,2) và C (1,3) . Hãy
kiểm tra kết quả bằng cách lấy trực tiếp tích phân.
VD 2: Tính diện tích hình elip giới hạn bởi elip :
VD 3 : Sử dụng công thức Green tính:
4

x2 y2
+
=1
a2 b2


I = ∫ (− x 2 y )dx + xy 2 dy trong đó L là đường tròn x2+ y2 = R2.

L

7.2.4. Sự độc lập đối với đường lấy tích phân:
Định Lý : Tích phân đường

∫ P(x, y) dx + Q(x, y) dy

chỉ phụ thuộc vào 2

AB

đầu mút A,B mà không phụ thuộc vào đường lấy tích phân từ A đến B khi và chỉ
khi : Py’ = Qx’

∫ 6 xe

VD 1: Chứng minh tích phân I =

y

dx + (3x 2 + y + 1) e y dy không phụ

AN

thuộc vào đường lấy tích phân.
VD 2: Chứng minh tích phân I = ∫ ( x − y )dx + ( x + y )dy phụ thuộc vào
AB

đường lấy tích phân
VD 3: Tính I = ∫ ( x + 3 y )dx + ( y + 3x)dy với A (1,1), B(2,3).

AB

7.3. Tích phân mặt loại 1.
7.3.1. Định nghĩa:
Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên một mặt S
* Chia mặt S thành n mãnh nhỏ có diện tích là ΔSi (i= 1, n )
* Trên mỗi mảnh nhỏ chọn 1 điềm tùy ý Mi (xi , yi , zi)
* Lập tổng tích phân: In =

n

∑ f (M )ΔS
i

i =1

* Nếu

lim I n

i

tồn tại mà không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách

n− >∞

chọn điểm Mi thì nó được gọi là tích phân mặt loại 1 của hàm số f (x,y,z)
trên mặt S.

Ký hiệu :

I=

∫∫ f ( x, y, z )dS
S

Ghi chú:
* Định lý : Nếu mặt S trơn (nghĩa là mặt S liên tục và có pháp tuyến biến
thiên liên tục) và hàm số f(x,y,z) liên tục trên S thì tích phân mặt loại 1 tồn tại.
* Tích phân mặt loại I có các tính chất giống tích phân kép.
7.3.2. Cách tính tích phân mặt loại 1 :
5


Giả sử mặt S cho bởi pt z = z(x,y) trong đó z(x,y) liên tục, có các đạo hàm
riêng z’x và z’y liên tục trong miền đóng bị chặn D với D là hình chiếu của S
xuống mặt phẳng Oxy .
Nếu f (x,y,z) liên tục trên S thì ta có:

∫∫ f ( x, y, z )dS

=

∫∫ f ( x, y, z ( x, y))

1 + p 2 + q 2 dxdy

D

S

trong đó : p=zx’ , q=zy’
VD 1: Tính I = ∫∫
S

x
x + y2
2

dS trong đó S là 1 phần tám mặt cầu tâm O, bán

kính R trong góc tọa độ thứ nhất của không gian tọa độ Oxyz .
VD 2: Tính I =

∫∫ x

2

yzdS trong đó S là phần mặt phẳng x + y + z = 1 nằm

S

trong góc tọa độ thứ nhất của không gian tọa độ Oxyz .
7.3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 1:
1. Diện tích mặt:
S=

∫∫ dS
S

VD: Tính diện tích phần mặt nón S: z = x 2 + y 2 nằm giữa các mặt z = 0
và z = 1.
2. Khối lượng của mặt:
m=

∫∫ ρ ( x, y, z )dS
S

3.Tọa độ trọng tâm của mặt:
xG =

1
x ρ ( M )dS
m ∫∫
S

yG =

1
y ρ ( M )dS
m ∫∫
S

zG =

1
z ρ ( M )dS
m ∫∫
S

Nếu mặt S đồng phẳng thì :
6

với ρ ( x, y, z ) là khối lượng riêng.


xG =

1
xdS ,
S ∫∫
S

yG =

1
1
ydS , zG = ∫∫ zdS
∫∫
S S
S S

VD 1: Tính khối lượng của mặt cầu bán kính R nếu khối lượng riêng tại
mỗi điểm bằng bình phương khỏang cách từ đó đến một đường kính cố định nào
đó của mặt cầu . ( ρ ( M ) = R 2 − x 2 )
VD 2: Tính tọa độ trọng tâm của phần mặt phẳng z= x giới hạn bởi các mặt
phẳng x + y = 1, y = 0, x = 0.

7.4 . Tích phân mặt loại 2:
7.4.1. Định nghĩa : Nếu hàm P(x,y,z), Q (x,y,z), R (x,y,z) liên tục trên mặt

S có định hướng thì tích phân mặt loại 2 của bộ ba hàm số đó là :

∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
S

Ghi chú:

* Nếu đổi hướng của mặt S thì tích phân đổi dấu.
* Tích phân mặt loại 2 có các tính chất giống tích phân kép.
7.4.2 Cách tính tích phân mặt loại 2.

Việc tính tích phân mặt loại 2 đưa về việc tính tích phân kép.
Giả sử mặt S có phương trình z = z (x,y) liên tục, xác định trên D1 là hình
chiếu của S trên mặt phẳng Oxy ta có:

∫∫ Rdxdy = ∫∫ R( x, y, z( x, y))dxdy
S

Các tích phân

D1

∫∫ Pdydz , ∫∫ Qdzdx cũng tính tương tự :
S

S

∫∫ Pdydz = ∫∫ P( x( y, z), y, z)dydz
S

D2

;

∫∫ Qdzdx = ∫∫ Q( x, y( x, z ), z)dzdx
S

D3

VD 1: Tính I = ∫∫ xdydz + dzdx + xz 2 dxdy trong đó S là phần mặt cầu tâm O,
S

bán kính 1, nằm trong góc phần tám thứ nhất và có pháp vectơ hướng ra
ngoài.
7


VD 2: Tính I = ∫∫ xydydz + yzdzdx + xzdxdy trong đó S là mặt của hình chóp
S

OABC với A(1,0,0) , B(0,1,0) , C(0,0,1) .

7.4.3 Định lý Stokes :
Giả sử các hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục và có đạo hàm
riêng liên tục trên một mặt định hướng S có biên là một đuờng cong kín L.
Ta có công thức Stokes :

∫∫

D

⎛ ∂Q ∂P ⎞
⎛ ∂R ∂Q ⎞
⎛ ∂P ∂R ⎞
⎟⎟dxdy = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
⎟⎟dydz + ⎜
⎜⎜
−
−
−
⎟dxdz + ⎜⎜
⎝ ∂z ∂x ⎠
⎝ ∂x ∂y ⎠
⎝ ∂y ∂z ⎠
L

VD: Tính

∫

y2dx+z2dy+x2dz trong đó L là chu tuyến tam giác ABC với

L

A(a,o,o), B(o,a,o), C(o,o,a) lấy theo chiều dương .

8


VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN

1. Tìm miền xác định :
a) f(x,y) =
c)

ln( x 2 + y 2 − 1)
4− x − y
2

b) f(x,y) =

2

y + ln(1–x2–y2)

f(x,y) =

y ln x

d) f(x,y) = ln(36 – 4x2 – 9y2)

2. Tìm giới hạn :
a) f(x,y) =

x− y
x+ y

khi (x,y) → (0,0)

b) f(x,y) =

x+ y
x − xy + y 2

khi (x,y) → (∞, ∞)

2

3. Xét sự liên tục của các hàm số sau đây tại điểm (0,0) :

⎧ x2 y
⎪
khi ( x, y ) ≠ (0,0)
f(x,y) = ⎨ x 2 + y 2
⎪⎩ 0
khi ( x, y ) = (0,0)
4. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 :
a) f(x,y) = x3+y3+x2y+xy2+xy
c) f(x,y) = arcsin(x+3y)

b) f(x,y) = sinxcosy
d) f(x,y) = arctg

y
x

5. Tính vi phân toàn phần cấp 1 :
x

x
y

a) u = e (cosy + xsiny)

b) u = e

c) u = x4+ y4+xy3+x3y

d) u = xey + yez + zex

6. Tính các đạo hàm riêng cấp 2 :
a) f(x,y) = xy2 + y x

b) f(x,y) = xln(x +y)

c) f(x,y) = sin(xy)

d) f(x,y) = x2+xy+y2 – lnx – lny

7. Tìm cực trị của các hàm số :
a) f(x,y) = (x – 1)2 + 2y2 .

b) f(x,y) = x3 – 3xy + y3

c) f(x,y) = x2 + y2 – 2xy + 2x – 2y

d) f(x,y) = x4 + y4 – 2x2 + 4xy – 2y2

8. Tìm cực trị có điều kiện :
a) f(x,y) = xy

với điều kiện x + y = 1

b) f(x,y) = x2 + y2 với điều kiện

x y
+ =1
2 3