Lý thuyết và bài tập toán cao cấp a2

CHƯƠNG I
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
(Trọng tâm – 5điểm)
* MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN:
1. Hàm 2 biến:
Cho không gian vector:
2
= {(x, y); x, y } và tập D
2
Định nghĩa : Ánh xạ: f: D
(x, y) f(x, y)
Được gọi là hàm hai biến xác định trên tập D.
- D là tập xác định của f
- x, y là 2 biến tự do
- z = f(x, y) là biến phụ thuộc vào (x, y)
- f(x, y) là giá trị của hàm số f tại điểm (x, y) D
Lưu ý: Khi cho hàm hai biến, ta phải cho ánh xạ f và tập xác định D. Tuy nhiên, trên thực
tế ta gặp các hàm số được cho bởi công thức mà không đề cập đến tập xác định. Khi đó, ta
cần quy ước tập xác định D chính là tập hợp các giá trị làm cho f có nghĩa.
VD1: cho hàm số : z = f(x, y) = x
2
– y
2
+ 1 với tập xác định D =
2
.
• Với (x, y) = (1, 2) z = f(1, 2) = 1
2
– 2
2
+ 1 = – 2

• Với (x, y) = (– 2, 5) z = f((– 2, 5) = (– 2)
2
– 5
2
+ 1 = – 20
VD2: Cho hàm số xác định bởi công thức: z = f(x, y) = .
Lúc này ta hiểu tập xác định của D như sau:
D = {(x, y); y – x
2
0}
Vẽ tập xác định D trên mặt phẳng Oxy, ta có:
y = x
2
là một Parabol
Xét điểm M(0, 1) ta thấy:
– = 1 – 0
2
= 1 > 0 M(0, 1) D
Như vậy, tập xác định D là tập hợp các điểm
nằm phía trên Parabol (kể cả các điểm thuộc
Parabol)
2. Hàm 3 biến:
Page 1
-2
2
4
M 1
x
y
y = x

2
0
●
●
Tương tự như hàm hai biến, ta có quy tắc về tập xác định D (nếu bài toán không cho
trước)
VD: Xét hàm : f(x, y, z) = ln(z – x
2
– y
2
)
Ta quy ước tập xác định D là: D = {(x, y, z)
3
: z – x
2
– y
2
> 0}
Vẽ hình minh họa cho D, trước hết ta vẽ mặt cong:
z = x
2
+ y
2
(phương trình mặt cong trong không gian 3 chiều)
* Xét trong mp(Oxy), x=0, ta có:
y
2
là một parabol
* Xét trong mp z = c (với c>0 bất kì) thì :
x

2
+ y
2
= c là phương trình đường tròn
tâm (O, O, C) bán kính . (x, y, z)
* Mặt cong ta vừa vẽ được gọi là paraboloic
* Xét điểm M(0, 0, 1), ta có:
– = 1 – 0 – 0 = 1 > 0
M(0, 0, 1) D
Vậy tập xác định D là tập hợp các điểm thuộc không gian R
3
nằm phía trên paraboloic
(loại bỏ các điểm thuộc paraboloic)
3. Hàm nhiều biến:
Xét không gian
n
= {(x
1
, x
2
, …, x
n
): x
i

n
} và D ⊂
n
Định nghĩa : Ánh xạ: f: D R
(x

1
, x
2
, …, x
n
) f(x
1
, x
2
, …, x
n
)
Được gọi là n biến xác định trên tập D.
VD: Cho hàm số: f(x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = x
1
.x
2
+ x
3
– x
4
với tập xác định D =

4
Lúc này, với:
• (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (1, 0, 2, – 1) f(1, 0, 2, – 1) = 1.0 + 2 –(– 1) = 3
• (x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) = (2, 1, – 1, 0) f(2, 1, – 1, 0) = 2.1– 1 – 0 = 1
* KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
n
:
Cho các điểm: A(x
1
, x
2
, …, x
n
); B(y

1
, y
2
, …, y
n
)
Khoảng cách giữa A và B là:
Page 2
x
y
0
● C
z
d(A, B) = =
VD: Trong
3
thì: d(A, B) =
* HÌNH CẦU MỞ - HÌNH CẦU ĐÓNG TRONG R
n
:
Xét điểm M
0
(x
01
, x
o2
, …, x
0n
)
n

+ Tập hợp B(M
0
, r) (Ball(M
0
, r))
= {M(x
1
, x
2
, …, x
n
)
n
: d(M, M
0
) < r}
Được gọi là hình cầu mở tâm M
0
, bán kính r. (bỏ phần bên ngoài)
+ Tập hợp B(M
0
, r)
= {M(x
1
, x
2
, …, x
n
)
n

: d(M, M
0
) r}
Được gọi là hình cầu đóng tâm M
0
, bán kính r. (lấy cả phần bên ngoài)
Lưu ý: Trong
2
, hình cầu mở/đóng được gọi là hình tròn mở/đóng.
Hình tròn mở Hình tròn đóng
* ĐẠO HÀM RIÊNG:
Xét hàm số 2 biến: f(x, y)
Để tính đạo hàm riêng theo 1 biến, ta xem biến còn lại là một hằng số rồi tính đạo hàm
như quy tắc tính đạo hàm 1 biến.
Làm tương tự cho biến còn lại.
Lưu ý: - Đối với đạo hàm 3 biến, ta vẫn áp dụng quy tắc này.
- Hàm có bao nhiêu biến thì ta có bấy nhiêu đạo hàm riêng (cấp 1)
Kí hiệu: ; hay ;
Một số công thức tính đạo hàm cấp 1:

Page 3
M
0
r
M
M
0
r
• M
(Tính đạo hàm theo biến x)

(Tính đạo hàm theo biến y)




VD1: Cho hàm số f(x, y) như sau:
f(x, y) = x
3
y
7
– ln(xy
2
) + cosxsiny
Lúc này ta có các đạo hàm riêng:
⇒
VD2: Cho hàm số f(x, y) = e
2xy
+ arcsinx – tgy +
⇒
Page 4
-sinx
sinx
-cosx
cosx
Do: và
VD3: Cho hàm số: f(x, y) = xy + cos(2xy
2
) – e
x
+ 2

⇒
Đạo hàm riêng cấp 2
* ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO:
Khi tính các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm nhiều biến, ta thấy chúng cũng là hàm nhiều
biến. Do đó các đạo hàm riêng này lại có đạo hàm riêng của mình. Ta gọi đạo hàm riêng
của đạo hàm riêng cấp 1 là đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số ban đầu.
Xét hàm 2 biến: f(x, y)
Giả sử có hai đạm hàm riêng cấp 1 là và .
Lúc này, = = : Đạo hàm riêng cấp 2 theo x 2 lần
= = : Đạo hàm riêng cấp 2 theo y 2 lần
= : Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp
= : Đạo hàm riêng cấp 2 hỗn hợp
Lưu ý: đối với hàm sơ cấp thì:
Tính chất này vẫn đúng đối với hàm số 3 hay nhiều biến (khi hàm f sơ cấp), nghĩa
là:
VD: Cho hàm số: f(x, y, z) = x
2
yz
3
– xy
4
z
5
+ y
3
zx
7
⇒ (*)
Page 5
(*) ⇒

(*) ⇒
(*) ⇒
⇒
Từ (1) và (2) ⇒
Từ (3) và (4) ⇒
Từ (5) và (6) ⇒
* VI PHÂN:
Là vi phân của f tại (x
0
, y
0
) với số gia và (độ lệch của x
0
, y
0
= 0,01; 0,001; …)
Hay:
với
1. Ứng dụng vi phân tính gần đúng giá trị của một bểu thức :
f(x
0
+ , y
0
+ ) f(x
0
, y
0
) + df(x
0
, y

0
)
Page 6
(1)
(3)
(2)
(5)
(4)
(6)
(6)
VD: Tính gần đúng: bằng vi phân. Sau đó so sánh với kết quả
của máy tính để đánh giá sai số.
Giải
Đặt f(x, y) =
⇒
Lúc này, ta chọn
⇒
& f(x
0
, y
0
) = = = 5
Đồng thời:
⇒
= .( + .( ) =
⇒ = f(x
0
, y
0
) + df(x

0
, y
0
)
= 5 – 0,022 = 4,978
So sánh với kết quả của máy tính ta có sai số là (0,0000001607), là bé hơn nhiều
lần so với =
2. Vi phân cấp cao :
Xét hàm: z = f(x, y) có vi phân cấp 1 là df.
Lúc này vi phân của vi phân cấp 1 là vi phân cấp 2, kí hiệu:
Page 7
Tổng quát, ta có vi phân cấp n của f là :
Lưu ý:
+ Vi phân cấp 2 được tính như sau: (tính như (a+b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
))
+ Vi phân cấp 3 được tính như sau: (tính như (a+b)
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+b
3

))
BÀI TẬP:
1. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
2. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ; (tính theo )
3. Cho hàm f(x, y) = .Tìm ;
4. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
5. Cho hàm f(x, y) = . Tìm ;
6. Cho hàm:
f(x, y) = .
Tìm ; ; (bài làm 15 phút nộp ở lớp)
7. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng: A = sin31
o
.tg43
o
.
Giải:
Ta đặt hàm f(x, y) = sinx.tgy
Lúc này:
Page 8
⇒
&
Ta có:
f(x, y) = sinx.tgy
• = cosx.tgy
⇒
•
⇒
⇒
=
⇒ A

8. Dùng vi phân cấp 1, tính gần đúng giá trị các biểu thức sau:
a. B = cos29
o
.tg137
o
b. C = sin32
o
.cotg133
o
c. D = cos28
o
.cotg136
o
9. Tìm hàm f(x, y) khi biết rằng: (thi một câu tương tự)
Ta có:
⇒
= (3) (*)
Lấy đạo hàm (3) ở hai vế theo y, ta có:
(4)
Page 9
(1)
(2)
Từ (2) & (4) ⇒ =
⇒ =
⇒ =
Kết luận: Hàm số cần tìm là:
(*)
g(y)
Ghi chú: đạo hàm theo y = 0

(
* CỰC TRỊ HÀM NHIỀU BIẾN:
1. Cực trị tự do:
Xét hàm f(x, y) có miền xác định D. M
0
(x
0
, y
0
) là một điểm thuộc D.
+ M
0
được gọi là điểm cực tiểu trên D của f khi và chỉ khi:
•
+ M
0
được gọi là điểm cực đại trên D của f khi và chỉ khi:
•
Điểm cực tiểu và cực đại được gọi chung là cực trị.
2. Phương pháp tìm cực trị tự do của hàm f :
• Bước 1: Tìm điểm dừng của f bằng cách giải hệ:
+ Nếu hệ này vô nghiệm: k⇒ ết luận: hàm f không có cực trị.
+ Nếu hệ có các cặp nghiệm (x
1
, y
1
), (x
2
, y
2

), … thì ta có các điểm đừng tương ứng
là:
• Bước 2: Tính các đạo hàm riêng cấp 2:
• Bước 3: Xét tại từng điểm dừng:
Tại :
Ta đặt:
Page 10
và tính:
Nếu: +
+
+ P
1
không là cực trị.
+ (*)
(*) > 0 P
1
: là điểm cực tiểu
(*) < 0 P
1
: là điểm cực đại
(*) không xác định được là > 0 hay < 0, , nghĩa là
dấu của (*) thay đổi tùy ý thì kết luận: P
1
không là cực trị của f.
• Bước 4: Lặp lại bước 3 cho tất cà các điểm dừng.
VD1: Khảo sát cực trị hàm số: (thi một câu tương tự)
với D =
2
Ta có:
Do vậy:

Lưu ý: biểu thức chỉ có nghĩa là một số luôn dương nên trong khi giải ta không cần tính giá
trị của biểu thức này.
Giải hệ ta được:
Như vậy, f có 1 điểm dừng là: P(0, 1) (do > 0, )
Tiếp theo ta tính các đạo hàm riêng cấp 2:
Do vậy, tại điểm dừng P(0, 1):
Page 11
= B
2
– AC = < 0
Mà A = < 0
Kết luận: P(0, 1) là điểm cực đại với f
max
= f(0, 1) =
VD2: Khảo sát cực trị hàm số: f (x, y) = 3
Giải:
Ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
Không có trị nào thỏa điều kiện nên chuyển sang xét hiệu f(x, y) – f(0, 0) (do điểm (0,
0) làm cho đạo hàm riêng không tồn tại).
f(x, y) – f(0, 0) = 3 (3 – )
= < 0, ( (x, y) (0, 0))
Kết luận: P(0, 0) là điểm cực đại của f với f
max
=f(0, 0) = 3 = 3
VD3: Khảo sát cực trị hàm số: f (x, y) = x
4
+ y
4
–2x
2

– 4xy – 2y
2
với điều kiện: x
2
+ y
2
> 0 (nghĩa là (x, y) (0, 0) hay nói cách khác là không đồng
thời bằng 0)
Giải:
Ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:


Page 12
nghiệm là: hay (loại x = 0, y = 0 theo đk)
Vậy hàm số có 2 điểm dừng là: P
1
( ; P
2
(
Tính đạo hàm riêng cấp 2:
• Tại P
1
( ), ta đặt:
= B
2
– AC = < 0
mà A = > 0
Kết luận: P
1
( ) là điểm cực tiểu.

• Tại P
1
( ), ta đặt:
= B
2
– AC = < 0
mà A = > 0
Kết luận: P
1
( ) là điểm cực tiểu.
BÀI TẬP:
Khảo sát cực trị tự do của hàm số f(x, y) với:
1. f(x, y) = 2 +
2. f(x, y) = xy
2
(2 – x – y) với
3. f(x, y) =
* CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN
Page 13
VD: từ 12m
2
bìa cứng, cắt ra một hình hộp chữ nhật sao cho có thể tích đạt lớn nhất,
biết rằng hộp không có nắp.
V = x.y.z → Max ?
với điều kiện: xy + 2xz + 2 yz = 12
(diện tích 5 mặt hình hộp CN)
Cách 1: dùng bất đẳng thức cauchy:
4 =
4
3

4x
2
y
2
z
2
4
3
4V
2
4
2
V
2
4 V
Vậy: V
Max
= 4 khi xy = 2xz = 2yz
Cách 2: Rút z ra từ điều kiện: z = rồi thế vào thể tích V = x.y.z để khảo sát tìm
cực đại V
max
.
Phương pháp tìm cực trị hàm:
f(x, y) với
• Bước 1: lập hàm Lagrange: L(x, y) = f(x, y) +
• Bước 2: Tìm điểm dừng bằng cách giải hệ: (*)
o Trường hợp 1: nếu hệ (*) vô nghiệm thì kết luận: hàm số không có cực trị.
o Trường hợp 2: nếu hệ (*) có nghiệm (x
1
, y

1
,
1
); (x
2
, y
2
,
2
); … thì ta có các
điểm dừng tương ứng là:
 P
1
(x
1
, y
1
) ứng với (x
1
, y
1
,
1
)
 P
1
(x
2
, y
2

) ứng với (x
2
, y
2
,
2
)
 …
Chuyển sang bước 3.
Page 14
z
y
x
o Trường hợp 3: nếu hệ (*) có nghiệm (x
0
, y
0
) mà giá trị (x
0
, y
0
) làm cho đạo hàm
riêng và (hay và ) không tồn tại thì ta xét hiệu:
f(x, y) – f(x
0
, y
0
) ()
 Nếu () < 0 thì ta kết luận: P(x
0

, y
0
) là điểm cực tiểu với f
min
= f(x
0
, y
0
)
 Nếu () > 0 thì ta kết luận: P(x
0
, y
0
) là điểm cực đại với f
max
= f(x
0
, y
0
)
 Nếu () không xác định thì ta kết luận: P(x
0
, y
0
) không là điểm cực trị của f.
• Bước 3: Tính đạo hàm riêng cấp 2: ; ;
• Bước 4: Xét tại từng điểm dừng:
o P
1
(x

1
, y
1
) ứng với
1
:
d
2
L(P
1
) = (x
1
, y
1
)dx
2
+ 2 (x
1
, y
1
)dxdy + (x
1
, y
1
)dy
2
 Nếu d
2
L(P
1

) > 0 thì kết luận: P(x
1
, y
1
)) là điểm cực tiểu của f.
 Nếu d
2
L(P
1
) < 0 thì kết luận: P(x
1
, y
1
)là điểm cực đại của f.
 Nếu d
2
L(P
1
) không xác định dấu thì ta dùng điều kiện =0 bằng
cách lấy đạo hàm 2 vế của phương trình này rồi tính dx theo dy (hay dy
theo dx), sau đó thế vào d
2
L(P
1
). Xét tiếp dấu của d
2
L(P
1
):
+ Nếu d

2
L(P
1
) > 0 thì kết luận: P(x
1
, y
1
) là điểm cực tiểu của f.
+ Nếu d
2
L(P
1
) < 0 thì kết luận: P(x
1
, y
1
) là điểm cực đại của f.
+ Nếu d
2
L(P
1
) không xác định dấu thì kết luận P(x
1
, y
1
) không là cực trị
của f.
• Bước 5: Lặp lại bước 4 cho tất cả các điểm dừng tìm được.
VD1: Khảo sát cực trị hàm số:
f(x, y) = 3 – 3x – 4y với điều kiện: x

2
– 8y
2
= 8
Giải:
• Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:
L(x, y) = f(x, y) +
= 3 – 3x – 4y

+ (x
2
– 8y
2
– 8)
• Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
(*)
(1)
thế vào (3) ta được:
Page 15
* Ứng với
1

Điểm dừng (ứng với
1

* Ứng với
2

Điểm dừng (ứng với
2

• Bước 3: Tiếp theo tính các đạo hàm riêng cấp 2: ; ;
• Bước 4: Xét tại từng điểm dừng:
* Tại điểm dừng: với
1
=
d
2
L(P
1
) = (x
1
, y
1
)dx
2
+ 2 (x
1
, y
1
)dxdy + (x
1
, y
1
)dy
2
= 2
1
dx
2

+ 2 dxdy
1
).dy
2
= . dx
2
2 .dy
2
()
Đến đây vẫn chưa xét được dấu nên ta dùng tiếp điều kiện:
x
2
– 8y
2
= 8 (lấy đạo hàm 2 vế)
2xdx – 16ydy = 0 (*)
Thế tọa độ P
1
vào (*), ta có:
2. .dx – 16. .dy = 0
.dx + .dy = 0
dx = dy (**)
Thế (**) vào () ta có:
d
2
L(P
1
) = . .dy
2
Page 16

= . dy
2
.dy
2
= . dy
2
.dy
2
= . dy
2
< 0
Kết luận: P
1
là điểm cực đại
* Tại điểm dừng: với
1
=
d
2
L(P
2
) = (x
2
, y
2
)dx
2
+ 2 (x
2
, y

2
)dxdy + (x
2
, y
2
)dy
2
= 2
2
dx
2
+ 2 dxdy
1
).dy
2
= . dx
2
2 .dy
2
()
Thế tọa độ P
2
vào (*), ta có:
2. .dx – 16. .dy = 0
.dx .dy = 0
dx = dy (***)
Thế (***) vào () ta có:
d
2
L(P

2
) = . .dy
2
= . dy
2
.dy
2
= . dy
2
.dy
2
= . dy
2
< 0
Kết luận: P
2
là điểm cực đại
Page 17
VD2: Khảo sát cực trị hàm số:
f(x, y, z) = x.y.z với điều kiện: xy + 2xz + 2yz = 12
Giải:
• Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:
L(x, y, z) = x.y.z + (xy + 2xz + 2yz 12)
• Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
(*)
Nhân 2 vế của (1) với x, nhân 2 vế của (2) với y.
Sau đó kết hợp với nhau ta có: x = y = 2z =
Vậy hàm f(x, y, z) có 1 điểm dừng là: P(2, 2, 1) ứng với =
• Bước 3: Tiếp theo tính các đạo hàm riêng cấp 2:
Tại điểm dừng P(2, 2, 1) ứng với =

d
2
L(P) = (P)dx
2
(P)dy
2
+ (P)dy
2

+

+ 2 (P)dxdy + 2 (P)dxdz + 2 (P)dydz
d
2
L(P) = dxdy

= 2. dxdy + 2
= dxdy + 2dxdz + 2dydz ()
Ta sử dụng điều kiện: . Đạo hàm 2 vế ta được:
0 = xdy + ydx + 2xdz + 2zdx + 2ydz + 2zdy (*)
Thế x = 2, y = 2, z = 1 vào (*), ta có:
2dy + 2dx + 2.2dz + 2.1dx + 2.2dz + 2.1dy = 0
4dx + 4dy + 8dz = 0
Page 18
(1)
(2)
(3)
(4)
4dx + 4dy + 8dz = 0
dz = (**)

Thế (**) vào () ta suy ra: d
2
L(P) = dxdy + 2dx + 2dy
= dxdy + (–dx – dy)(dx + dy)
= dxdy –(dx + dy)
2
=
Kết luận: P(2, 2, 1) là điểm cực đại với f
max
= f(2, 2, 1) = 2.2.1 = 4
VD3: Khảo sát cực trị hàm số:
f(x, y) = 6 – 5x – 4y với điều kiện: x
2
– y
2
– 9 = 0
Giải:
• Bước 1: Trước hết ta lập hàm Lagrange:
L(x, y) = 6 – 5x – 4y + (x
2
+ y
2
– 9)
• Bước 2: Tiếp theo ta tìm điểm dừng bằng cách giải hệ:
x = 5; y = 4;
Hay: x = 5; y = 4;
Vậy hàm f(x, y) có 2 điểm dừng là:
P
1
(5, – 4) ứng với =

P
2
(–5, 4) ứng với =
• Bước 3: Tiếp theo tính các đạo hàm riêng cấp 2:
* Ứng với = ; P
1
(5, – 4), ta có:
d
2
L(P
1
) = (P
1
)dx
2
(P
1
)dxy

+ (P
1
)dy
2

Page 19
= 2. dx
2
+ dy
2
= dx

2
– dy
2
Mà: x
2
+ y
2
– 9 = 0 2xdx – 2ydy = 0
Thế x = 5; y = – 4 vào, ta có: 2.5dx – 2.( – 4)dy = 0
10dx + 8dy = 0
dx =
d
2
L(P
1
) =
Kết luận: P(5, 4) là điểm cực đại.
* Tương tự, ứng với = ; P
2
(–5, 4) là điểm cực tiểu.
BÀI TẬP:
Khảo sát cực trị hàm số:
1. f(x, y) = 2x
2
+ 12xy + y
2
với điều kiện: x
2
+ 4y
2

= 25
2. f(x, y) = x
2
+ 12xy + 2y
2
với điều kiện: 4x
2
+ y
2
= 25
Page 20
CHƯƠNG II
TÍCH PHÂN BỘI
(Thi 1 câu – 2điểm)
I. TÍCH PHÂN KÉP:
1. Định nghĩa: (SGK trang 34)
2. Cách tính:
• Định lí Fubini :
a) Nếu D xác định bởi :
b) Nếu D xác định bởi :
Page 21
D
f
2
(x)
f
1
(x)
a
b

d
c
g
1
(y) g
2
(y)D
y = x
2
với D là miền phẳng xác định bởi:
D:
nên:
=
với D là tam giác OAB: O(0, 0); A(1, 1); B(2, 0)
• Cách 1: D:
Tách D = D
1
D
2
D
1
: (pt của OA)
D
2
: (pt của AB)
Page 22
– 2
1
y = 2 – x
A

B
O 2
1
D
1
D
2
• Cách 2: D:
Như vậy:
Miền D là: D:
Chuyển thành: D:
3. Phương pháp đổi biến:
a) Tọa độ cực :
(r, ) là tọa độ của M
Đặt:
Page 23
A
B
O 2
1
D
1
D
2
y
M
(chiều quay của ngược chiều kim đồng hồ)
VD: Từ phương trình: xác định miền D ??
Ta có: (nhân r 2 vế)
(do )

là phương trình của D (phương trình đường tròn
tâm O, bán kính )
• Trường hợp tổng quát :
D:
(r phụ thuộc vào góc )
Lưu ý: ta áp dụng phương pháp này khi D có dạng hình tròn (hoặc một phần hình tròn)
Với D:
Đổi biến: D:
Lúc này: D:
Page 24
x
(x
2
+

y
2
= r
2
)
Với D:
• Cách xác định góc ứng với
Ta có:
= =
Vậy: D:
Với D:
Page 25