10 câu khảo sát hàm số

10 CÂU KHẢO SÁT HÀM SỐ ÔN THI TỐT NGHIỆP TUẦN 31 NĂM HỌC 2011-2012
x−2
có đồ thị (C)
x −1

Câu 1. Cho hàm số y =

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
ĐÁP ÁN
1. (C) cắt trục tung tại điểm ( 0; 2 ) và trục hoành tại điểm ( 2; 0 ) .
y

2
1
0

1

2

x

2. Gọi A = (C) ∩ Oy. Khi đó A(0; 2), y ' ( 0 ) = 1 , Do đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
điểm A là: y = x + 2.
Câu 2. Cho hàm số y = − x 3 − 3x 2 + 4 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình x 3 + 3x 2 + m − 4 = 0 .
ĐÁP ÁN
1.
8

y

7
6
5
4
3
2

y=-x - x +

1

x
-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1
-2

m

y=m

-3
-4

2.

-5

* Ta có : x 3 + 3x 2 + m − 4 = 0 ⇔ m = − x 3 − 3x 2 + 4 .


*Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = − x 3 − 3x 2 + 4 và
đường thẳng y = m .
*Dựa vào đồ thị, ta suy ra kết quả biện luận về số nghiệm của phương trình (1) như sau:
+ m < 0 ∨ m > 4 : Phương trình (1) có 1 nghiệm.
+ 0: Phương trình (1) có 3 nghiệm.
m = 0

+ 
m = 4

: Phương trình (1) có 2 nghiệm.

Câu 3 Cho hàm số y = − x + 3x − 1
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
3

2

1
(d) : y = x − 2011 .
9
ĐÁP ÁN
1.

2) (1 điểm)
Tiếp tuyến của (C) có dạng y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) .Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của (C) là:
 y = −9 x − 6
 y = −9 x + 26


Câu 4 (3đ) Cho hàm số: y = x 3 − 3x 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới đồ thị (C) ; trục Ox.
ĐÁP ÁN
2.
Giải pt x 3 − 3 x 2 = 0 ⇔ x =0 hoặc x =3
3

Ta có: S D =∫
0

3

3

x4
27
f ( x ) dx = ∫( x −3 x )dx = ( − x 3 ) =

4
4
0
0
3

2


2x + 5
x −1
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2.Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = 2 x + m luôn cắt (C) tại hai điểm
phân biệt.
Câu 5. Cho hàm số y =

ĐÁP ÁN

2x + 5
= 2 x + m có nghiệm với mọi m
x −1
2 x 2 + ( m − 4 ) x − m − 5 = 0 (*)
2x + 5
= 2x + m ⇔ 
Ta có :
x −1
 x ≠ 1
Xét pt (*), ta có : ∆ = m 2 + 56 > 0, ∀m và x = 1 không thỏa (*) nên pt luôn có 2 nghiệm khác 1.

2.Giải : (C) luôn cắt d nếu phương trình

Vậy (C) và d luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt.
CÂU 6

Cho hàm số y = f ( x) =

x+2
có đồ thị (C)
1− x

1/. Khảo sát sự biến thiên và vẽ (C).
2/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến này song song với đường thẳng:
y =3 x +1 .
ĐÁP ÁN
2.

 x0 = 0
x0 2 − 2 x0 + 1 = 1 ⇔ 
 x0 = 2

x0 = 0 ⇒ y0 = 2, phương trình tiếp tuyến: y = 3x + 2
x0 = 2 ⇒ y0 = −4, phương trình tiếp tuyến: y = 3x − 10

CÂU 7

Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2, có đồ thị là ( C )
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 3x2 - x3 = m có duy nhất một nghiệm.
ĐÁP ÁN
1.

2) x3 – 3x2 + 2 =2-m. Số nghiệm của pt đã cho bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường
thẳng y=2-m
* Phương trình có duy nhất 1 nghiệm ⇔ đường thẳng y=2-m cắt đồ thị tại 1 điểm
⇔ m< 0 hoặc m>4
CÂU 8 Cho hàm số y =

x
.
x +1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và đường thẳng x = 1.
ĐÁP ÁN
1
1
1
x
dx = = x − l n x + 1 = 1 − ln 2
2. S = ∫
0
0
x +1
0
CÂU 9.Cho hàm số y = -x3 + 3x + 2.
1/ Khảo sát sự biến thiên vàvẽ đồ thị hàm số (C).
2/ Tìm m để phương trình x3 – 3x = m có 3 nghiệm thực phân biệt.
ĐÁP ÁN
1.

2. + x3 – 3x = m ↔ -x3 + 3x + 2=2-m.
+ pt có 3 nghiệm khi (C) và (d) y=2-m cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
+ Đưa được điều kiện 0<2-m<4
+ giải được -2CÂU 10 Cho hàm số y =

x +1
có đồ thị (C).
x−2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt.
ĐÁP ÁN
1
y

1
-1

I
O

2

-1/2

x

x +1

= mx + 1 (1)
x−2
Biến đổi (1) về dạng: mx 2 − 2mx − 3 = 0 (2)

2. Lập phương trình hoành độ giao điểm:


Ycbt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
 m 2 + 3m > 0
 m < −3
⇔ 2
⇔
 m.2 − 2m.2 − 3 ≠ 0
m > 0