Bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 5 thông qua dạng toán chuyển động đều

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tới ThS.
GVC. Dương Thị Hà người trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình giúp tôi
trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới tất cả các thầy cô giáo trong khoa Giáo
dục Tiểu học đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp này.
Khóa luận được hoàn thành, song không tránh khỏi những hạn chế,
thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng góp ý kiến từ phía thầy cô và
các bạn để bài viết của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013
Tác giả khoá luận

Nguyễn Thị Thuỳ

3


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của
tôi dưới sự hướng dẫn của ThS. GVC. Dương Thị Hà. Kết quả thu được là
hoàn toàn trung thực và không trùng với kết quả nghiên cứu của những tác
giả khác.

Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2013
Tác giả khoá luận

Nguyễn Thị Thuỳ

4


MỤC LỤC
Trang
Mở đầu………………………………………………………………………...7
1. Lí do chọn đề tài……………………………………………………………7
2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….8
3. Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………8
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu………………………………………….8
5. Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………...9
6. Cấu trúc luận văn…………………………………………………………...9
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn……………………………………...10
1.1. Cơ sở lí luận…………………………………………………………….10
1.1.1. Năng lực học toán của học sinh……………………………………….10
1.1.2. Phát triển những năng lực học toán ở học sinh……………………….11
1.1.3. Bài toán chuyển động trong chương trình sách giáo khoa tiểu học…..12
1.1.3.1. Nội dung toán chuyển động đều trong chương trình Toán 5………..12
1.1.3.2. Các dạng toán chuyển động đều…………………………………….13
1.1.3.3. Các phương pháp thường sử dụng khi giải các bài toán về chuyển
động đều……………………………………………………………………..13
1.1.3.4. Quy trình giải một bài toán………………………………………….25
1.1.4. Bài toán chuyển động trong bồi dưỡng học sinh giỏi…………………31
1.1.4.1. Bồi dưỡng học sinh giỏi…………………………………………….31
1.1.4.2. Quan điểm khi xây dựng chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi của
giáo viên……………………………………………………………………..33
1.1.4.3. Nhận thức của giáo viên khi bồi dưỡng dạng toán chuyển động…...34
1.1.4.4. Lưu ý khi bồi dưỡng học sinh giỏi………………………………….34

1.2. Cơ sở thực tiễn…………………………………………………………..35
Kết luận chương 1…………………………………………………………...38

5


Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập về toán chuyển động nhằm bồi
dưỡng học sinh giỏi lớp 5…………………………………………………..39
2.1. Hệ thống bài tập về toán chuyển động nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp
5……………………………………………………………………………...39
2.1.1. Các bài toán chỉ có một chuyển động tham gia……………………….39
2.1.2. Các bài toán có hai chuyển động ngược chiều………………………..47
2.1.3. Các bài toán có hai chuyển động cùng chiều…………………………54
2.1.4. Các bài toán về vật chuyển động trên dòng nước……………………..60
2.1.5. Các bài toán về vật chuyển động có chiều dài đáng kể……………….66
2.1.6. Một số bài toán chuyển động khác……………………………………70
2.2. Một số sai lầm học sinh thường gặp khi giải các bài toán về chuyển động
đều…………………………………………………………………………...73
2.2.1. Chưa biết chú ý vào dấu hiệu bản chất, dễ bị lôi cuốn bởi các yếu tố gây
nhiễu của đề bài……………………………………………………………...73
2.2.2. Thường nhầm lẫn giữa khoảng thời gian và thời điểm……………….75
2.2.3. Sai lầm trong việc chuyển đổi đơn vị đo……………………………...76
2.2.4. Chưa chú ý đến sự hợp lí trong khi giải bài toán……………………..77
Kết luận chương 2…………………………………………………………...79
KẾT LUẬN…………………………………………………………………80
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………...81

6

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong hệ thống giáo dục quốc dân, giáo dục Tiểu học được xem là nền
tảng. Cũng như xây một ngôi nhà, cái nền các chắc chắn ngôi nhà mới vững.
Như vậy, Tiểu học là bậc học đóng vai trò đặt cơ sở ban đầu cho việc hình
thành nhân cách, đặt nền tảng vững chắc cho giáo dục phổ thông và cho toàn
bộ hệ thống giáo dục quốc dân.
Trong các môn học ở Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có
vai trò hết sức quan trọng. Các kiến thức, kĩ năng của môn Toán ở Tiểu học
có nhiều ứng dụng trong cuộc sống; chúng rất cần thiết cho người lao động,
cần thiết để học tốt các môn học khác ở Tiểu học và chuẩn bị cho việc học tốt
môn Toán ở bậc Trung học. Các kiến thức toán học được đưa vào chương
trình Tiểu học theo các mạch kiến thức sau: Số học, Đại lượng và đo Đại
lượng, một số yếu tố Hình học và Giải toán.
Trong đó giải toán có vai trò vô cùng quan trọng. Đó là quá trình các
em vận dụng những kiến thức đã học để giải các bài toán cũng như giải quyết
các tình huống toán học từ thực tế cuộc sống. Trong đó giải toán về chuyển
động đều được coi là một dạng khó, các em chỉ bắt đầu được học từ chương
trình lớp 5. Các tình huống trong toán chuyển động đều hết sức đa dạng với
các mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc, thời gian lúc ẩn, lúc hiện, biến
hóa khôn lường. Do đó, việc giải các bài toán chuyển động có tác dụng rất tốt
trong việc phát triển tư duy, rèn trí thông minh, óc sáng tạo cho học sinh.
Cũng chính vì vậy, dạng toán này được sử dụng nhiều trong các đề thi học
sinh giỏi.
Từ trước tới nay có rất nhiều công trình nghiên cứu, các chuyên đề
nghiên cứu về dạng toán chuyển động đều. Nhưng tôi nhận thấy chưa có
nhiều công trình đi sâu vào nghiên cứu các dạng toán chuyển động đều trong

7

việc bồi dưỡng học sinh giỏi, vì vậy tôi lựa chọn đề tài “Bồi dưỡng học sinh
giỏi lớp 5 thông qua dạng toán chuyển động đều” nhằm đi sâu nghiên cứu về
các dạng toán chuyển động đều trong các đề thi học sinh giỏi từ đó đưa ra các
giải pháp nhằm nâng cao việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán nói riêng và bồi
giỏi nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống hóa một số dạng toán chuyển động đều góp phần nâng cao
chất lượng bồi dưỡng hoc sinh giỏi lớp 5 thông qua dạng toán chuyển động
đều ở Tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực của đề tài.
- Nghiên cứu nội dung toán chuyển động trong chương trình Toán 5.

- Nghiên cứu các dạng toán chuyển động đều thường gặp trong các đề
thi học sinh giỏi ở Tiểu học để phân loại, xắp xếp chúng thành hệ thống nhằm
bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
- Khảo sát, đánh giá thực trạng về bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 trên
địa bàn huyện Hưng Hà – tỉnh Thái Bình.
- Tìm hiểu những sai lầm học sinh thường gặp khi giải các bài toán về
chuyển động đều.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5 thông qua dạng toán chuyển động đều.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Do thời gian có hạn, đề tài chỉ tập chung nghiên cứu bồi dưỡng học
sinh giỏi lớp 5 thông qua dạng toán chuyển động đều tại Huyện Hưng HàTỉnh Thái Bình.

8

5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp quan sát – điều tra.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương 2: Xây dựng hệ thống bài tập về dạng toán chuyển động đều
nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 5

9


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Năng lực học toán của học sinh
Năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước
hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt
động học tập toán học và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là
nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán
học với tư cách là môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu
sắc những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học.
Để vạch ra cấu trúc các năng lực học toán của học sinh, có rất nhiều
công trình nghiên cứu tâm lí được tiến hành trong đó đặc biệt và tiêu biểu
nhất là công trình của V. A. Krrutexxki. Ông đã tiến hành phân tích quá trình
giải bài tập của các học sinh thực nghiệm có trình độ phát triển năng lực toán

học khác nhau. Từ đó ông rút râ kết luận: Ở lứa tuổi học sinh thì cấu trúc các
năng lực toán học bao gồm những thành phần sau:
+ Về mặt thu nhận những thông tin toán học: đó là năng lực tri giác
hình thức hóa các tài liệu toán học, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của
bài toán.
+ Về mặt chế biến các thông tin toán học, đó là:
 Năng lực tư duy lôgic trong phạm vi các quan hệ số lượng và các
quan hệ không gian, các kí hiệu dấu và các kí hiệu số; năng lực suy nghĩ với
các kí hiệu toán học.
 Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ,
các phép toán của toán học.
 Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép
toán tương ứng; năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn.
10


 Tính mềm dẻo của các quá trình tư duy trong hoạt động toán học.
 Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính
hợp lúc của lời giải.
 Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư
duy thuận chuyển qua tư duy ngược.
+ Về mặt lưu trữ các thông tin toán học đó là trí nhớ toán học.
+ Về thành phần tổng hợp chung thì đó là khuynh hướng toán học trí tuệ.
Các thành phần trên có liên hệ chặt chẽ với nhau, có ảnh hưởng lẫn
nhau tạo thành một hệ thống duy nhất, một cấu trúc hoàn chỉnh, một tư chất
của toán học trí tuệ (người ta gọi là năng khiếu toán học).
1.1.2. Phát triển những năng lực học toán ở học sinh
Phát triển những năng lực học toán ở học sinh là nhiệm vụ đặc biệt
quan trọng của người thầy giáo, cô giáo bởi vì:
- Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa

học, kĩ thuật và sự nghiệp cách mạng cần thiết có một đội ngũ những người
có năng lưc toán học.
- Nghị quyết Đại hội Đảng Cộng sản Việt Nam lần thứ IV đã ghi rõ:
“Trên cơ sở những đòi hỏi tất yếu của cuộc sống cộng đồng, của quyền làm
chủ tập thể” phải “đảo bảo sự phát triển phong phú của nhân cách và phát huy
sở trường, năng khiếu của cá nhân”. Nhà trường là nơi cung cấp cho học sinh
những cơ sở đầu tiên của toán học, không ai khác chính thầy (cô) giáo là
những người hoặc chăm sóc cho vun xới cho những mầm mống năng khiếu
Toán học ở học sinh hoặc làm thui chột chúng.
Ở nước ta, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán đã được đưa vào nề
nếp. Chúng ta đã có những lớp chuyên toán, lớp năng khiếu nhằm bồi dưỡng
phát triển năng lực học toán cho các em học sinh có năng khiếu. Hằng năm có
các cuộc thi học sinh giỏi toán ở các trường Tiểu học, ở từng địa phương và
11


phạm vi toàn quốc được tổ chức đều đặn. Và đặc biệt trong những năm gần
đây nước ta còn cử những đại biểu học sinh ưu tú đi thi tài tại các kì thi quốc
tế và đã đạt được những thành tích đáng tự hào. Tuy nhiên để công tác phát
triển năng lực học toán cho học sinh đạt hiệu quả hơn nữa chúng ta còn rất
nhiều vấn để cần bàn luận thêm.
1.1.3. Bài toán chuyển động trong chương trình sách giáo khoa tiểu học
1.1.3.1. Nội dung toán chuyển động đều trong chương trình Toán 5
Toán chuyển động đều là dạng toán mà vật chuyển động có vận tốc
không thay đổi trong suốt quãng đường. Nhưng trên thực tế không diễn ra
một chuyển động nào như vậy. Do đó, để phù hợp với trình độ nhận thức của
học sinh lớp 5 người ta chỉ xem xét, nghiên cứu các chuyển động thẳng đều,
coi vận tốc như là vận tốc trung bình.
Trong chương trình dạy học môn Toán ở Tiểu học, các bài toán
chuyển động đều được đưa vào dạy ở cuối lớp 5 và được sắp xếp vào một

chương riêng: “Chương IV: Số đo thời gian – Toán chuyển động đều”.
Chương này được chia làm hai phần: phần một dạy học về số đo thời gian,
phần hai dạy về toán chuyển động đều. Phần toán chuyển động đều bao gồm
ba bài dạy lý thuyết: bài vận tốc, bài quãng đường, bài thời gian. Sau mỗi bài
lý thuyết đều có bài luyện tập, cuối cùng có ba bài luyện tập chung.
Các bài tập toán chuyển động được đưa vào sách giáo khoa là những
bài tập hết sức cơ bản chủ yếu áp dụng công thức nhằm luyện tập củng cố
kiến thức mới. Bài toán chuyển động đều có chứa ba đại lượng: quãng đường
(s), vận tốc (v), thời gian (t). Cụ thể như sau:
- Bài toán về vận tốc: Qua tình huống thực tế và những kiến thức về
toán trung bình cộng, học sinh nhận biết về vận tốc trung bình, từ đó Toán 5
giới thiệu cho học sinh khái niệm về vận tốc, công thức tính vận tốc theo các
đơn vị đo khác nhau:

v=s:t
12


Qua những bài tập cụ thể giúp học sinh thực hành luyện tập tính vận
tốc theo các đơn vị đo khác nhau như: km/giờ, m/phút, m/giây.
- Bài toán về quãng đường: Tương tự bài toán về vận tốc, thông qua
cách giải bài toán cụ thể giúp học sinh có thể tính quãng đường theo công
thức:

s=vxt
- Bài toán về thời gian: Cách tính thời gian cũng được giới thiệu bằng
bài toán cụ thể, mối quan hệ giữa các đại lượng tiếp tục được hoàn chỉnh:

t=s:v
1.1.3.2. Các dạng toán chuyển động đều

Có nhiều cách phân loại khác nhau nhưng về cơ bản các bài toán về
chuyển động đều bao gồm:
- Các bài toán có một chuyển động tham gia.
- Các bài toán về hai chuyển động cùng chiều.
- Các bài toán về hai chuyển động ngược chiều.
- Vật chuyển động trên dòng nước.
- Vật chuyển động có chiều dài đáng kể.
1.1.3.3. Các phương pháp thường sử dụng khi giải các bài toán về chuyển
động đều
Để có thể giải được một bài toán, ngoài việc nắm vững các kiến thức
làm công cụ còn cần có khả năng lựa chọn các phương pháp thích hợp cho
từng bài toán và phối hợp các phương pháp đó trong khi giải.
Khi giải các bài toán có nội dung về chuyển động đều ta có thể sử dụng
hầu hết các phương pháp giải toán. Trong đó có một số phương pháp thường
được sử dụng nhiều như: phương pháp sơ đồ đoạn thẳng, phương pháp giả
thiết tạm, phương pháp rút về đơn vị, phương pháp suy luận lôgic, phương
pháp khử, phương pháp sơ đồ diện tích.
13


1.1.3.3.1. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Khi phân tích một đề toán cần lập được mối liên hệ và phụ thuộc giữa
các đại lượng đã cho trong bài toán. Muốn làm được việc này ta thường sử
dụng các đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm) trong các bài
toán để minh họa các mối quan hệ đó.
Ta cần phải chọn độ dài của các đoạn thẳng và cần phải sắp xếp các
đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối liên hệ và
phụ thuộc giữa các đại lượng tạo một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ, tìm tòi
cách giải bài toán.
Nhờ sơ đồ đoạn thẳng mà các các khái niệm và các quan hệ trừu tượng

của số học như các phép tính và các quan hệ được biểu thị trực quan hơn. Sơ
đồ đoạn thẳng giúp chúng ta “trực quan hóa” các suy luận. Ưu thế về tính trực
quan khiến cho các sơ đồ trở thành một phương tiện giải toán thường xuyên
được sở dụng ở tiểu học.
Ví dụ:
Bác Hùng đi xe đạp từ nhà lên thị xã (phải qua xã A và xã B) hết 3 giờ.
Quãng đường từ nhà bác đến xã A dài 11km và thời gian bác đi từ nhà đến xã
A lâu hơn thời gian bác đi từ xã A đến xã B là 15 phút và ít hơn thời gian đi
từ xã B đến thị xã là 15 phút. Tính vận tốc của bác Hùng.
Phân tích:
Ta vẽ sơ đồ thể hiện mối quan hệ về thời gian đi của bác trên 3 quãng
đường và tổng thời gian đi. Sau đó tính thời gian đi từ xã A đến xã B (thời
gian ít nhất) dựa vào cách tính của dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu
của hai số đó. Lúc này ta sẽ tính được thời gian đi từ nhà đến xã A và tìm
được vận tốc của bác Hùng.

14


Lời giải
Đổi: 3 giờ = 180 phút.
Ta có sơ đồ sau:
15 phút

Thời gian đi từ nhà đến xã A:

180 phút

Thời gian đi từ xã A đến xã B:
Thời gian đi từ xã B đến thị xã:

15 phút
Thời gian đi từ xã A đến xã B là:
(180 – 15 – 15 x 2) : 3 = 45 (phút).
Thời gian đi từ nhà đến xã A là:
45 + 15 = 60 (phút).
Đổi: 60 phút = 1 giờ.
Vận tốc của bác Hùng là:
11 : 1 = 11 (km/giờ).

Đáp số: 11 km/giờ.
1.1.3.3.2. Phương pháp giả thiết tạm
Phương pháp này thường sử dụng đối với bài toán trong đó đề cập tới
hai đối tượng có tính chất biểu thị bằng hai số lượng chênh lệch nhau, chẳng
hạn hai chuyển động có vận tốc khác nhau. Khi giải bài toán bằng phương
pháp này ta thử đặt ra một trường hợp không xảy ra, không phù hợp với điều
kiện của bài toán, một khả năng không có thật, thậm chí một tình huống vô lí
(chính vì vậy mà phương pháp này đòi hỏi người giải toán phải có óc tưởng
tượng phong phú, óc suy luận linh hoạt). Tất nhiên giả thiết ấy chỉ tạm thời
nhưng phải tìm được giả thiết ấy nhằm đưa bài toán về một tình huống quen
thuộc, đã biết cách giải hoặc dựa trên cơ sở đó để tiến hành lập luận mà suy ra
được cái phải tìm. Để giải bài toán bằng phương pháp này ta tiến hành như sau:

15


Thay một giả thiết bằng một giả thiết tạm vượt ra ngoài dữ kiện nào đó
của bài toán nhưng vẫn tốt trong dữ kiện khác của bài toán.
Từ dữ kiện hay giả thiết thay đổi đó dẫn đến các dữ kiện liên quan tới
nó (theo điều kiện cuả bài toán cũng có).
Phân tích sự thay đổi đó rồi đối chiếu với dữ kiện của bài toán, phát

hiện nguyên nhân của sự thay đổi và tìm ra phương pháp của sự thay đổi thích
hợp để đáp ứng toàn bộ điều kiện.
Đối với các bài toán chuyển động nhiều khi giả thiết mới đưa ra không
những không vượt ra ngoài dữ kiện nào của bài toán, không làm thay đổi dự
kiện mà còn phù hợp rất tốt với giả thiết được thay thế.
Ví dụ:
Hằng ngày cứ đúng giờ quy định, Hoa đi với vận tốc không đổi để đến
trường học cho kịp giờ vào lớp. Một hôm, vẫn đúng giờ ấy nhưng Hoa đi với
vận tốc 50 m/phút nên đến trường chậm giờ vòa lớp mất 2 phút. Hoa tính rằng
nếu đi được 60 m/phút thì lại đến sớm được 1 phút. Tính thời gian cần thiết
mà thường ngày Hoa vẫn đi từ nhà đến trường và khoảng cách từ nhà đến
trường?
Phân tích:
A

C

B

D

Hoa đi từ nhà (điểm A) với vận tốc 50 m/phút thì đi hết thời gian cần
thiết thì Hoa mới đi được tới điểm C chứ chưa đi được đến trường (điểm B),
từ C đến B Hoa còn phải đi mất 2 phút với vận tốc 50 m/phút nữa, như vậy
Hoa còn cách trường: 2 x 50 = 100 (m). Nếu Hoa đi từ A với vận tốc 60
m/phút thì Hoa đến B sớm hơn được 1 phút, nghĩa là khi Hoa đến trường mà
không dừng lại và đi tiếp 1 phút với vận tốc này thì Hoa đến B cách trường:
50 x 1 = 50 (m).
16

Để giải bài toán một cách đơn giản ta có thể giả sử có 2 người bạn của
Hoa xuất phát từ C và D lần lượt với vận tốc 50 m/phút và 60 m/phút đi về
phía A. Hai bạn của Hoa đi hết một khoảng thời gian cần thiết và gặp nhau tại
A. Như vậy ta đã đưa bài toán trở về dạng hai vật chuyển động cùng chiều,
đuổi nhau giữa hai người bạn.
Bài giải
Giả sử khi đi với vận tốc 60 m/phút, Hoa đến trường sớm hơn 1 phút
nhưng không dừng lại ở trường mà đi tiếp cho đến khi hết thời gian đã định
thì Hoa đi quá trường là:
60 x 1 = 60 (m).
Khi đi với vận tốc 50 m/phút thì Hoa bị chậm mất 2 phút, tức là còn
cách trường:
50 x 2 = 100 (m).
Quãng đường chênh lệch nhau là:
60 + 100 = 160 (m).
Vận tốc 2 lần đi chênh lệch nhau là:
60 – 50 = 10 (m/phút).
Vậy thời gian cần thiết để Hoa đi từ nhà đến trường là:
160 : 10 = 16 (phút).
Khoảng cách từ nhà đến trường là:
50 x (16 + 2) = 90 (m).
Đáp số: 16 phút; 900m.
1.1.3.3.3. Phương pháp rút về đơn vị
Trong các bài toán chuyển động, các yếu tố đã cho và các yếu tố cần
tìm thường xoay quanh mối quan hệ giữa ba đại lượng: vận tốc, thời gian,
quãng đường. Ba đại lượng này đôi một có quan hệ tỉ lệ với nhau (hoặc tỉ lệ
thuận, hoặc tỉ lệ nghịch).
17

Một số bài toán này người ta cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất
và một của đại lượng thứ hai. Bài toán đòi hỏi phải tìm giá trị chưa biết của
đại lượng thứ hai. Để tìm được giá trị đó, ở tiểu học thường sở dụng phương
pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số.
* Phương pháp rút về đơn vị
Khi giải bài toán theo phương pháp này ta thực hiện lần lượt theo hai
bước:
- Bước 1: Ta tìm xem một đơn vị của đại lượng thứ nhất ứng với giá trị
nào của đại lượng thứ hai (hay ngược lại), ta thực hiện phép chia hoặc phép
nhân (nhân khi hai đại lượng tỉ lệ nghịch và chia khi hai đại lượng tỉ lệ thuận).
- Bước 2: Có bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ nhất thì sẽ có bấy
nhiêu lần giá trị tương ứng vừa tìm được của đại lượng thứ hai, ta tiến hành
phép nhân hoặc chia (nhân khi hai đại lượng tỉ lệ nghịch và chia khi hai đại
lượng tỉ lệ thuận).
Ví dụ:
An ngồi trên xe điện thấy bạn Bình đi bộ ngược chiều qua trước mặt
mình. Sau đó 1 phút, xe điện đỗ lại, An quay lại đuổi theo bạn Bình. Hỏi sau
bao lâu (kể từ lúc xe điện đỗ lại) thì An sẽ gặp Bình, biết rằng vận tốc đi bộ
của An bằng một nửa vận tốc xe điện và gấp rưỡi vận tốc của Bình.
Phân tích:
Biểu thị quãng đường của Bình đi trong 1 phút là 2 phần thì quãng
đường An đi trong 1 phút là 3 phần và quãng đường xe điện đi trong 1 phút
là: 3 x 2 = 6 (phần). Do đó vận tốc xe điện gấp 3 lần vận tốc của Bình. Suy ra
trong 1 phút xe điện đi được quãng đường gấp 3 lần quãng đường Bình đi
được. Vậy khi xe điện đỗ lại, An đã cách Bình một khoảng bằng 4 lần quãng
đường Bình đi được trong 1 phút. Mà ta đã biết vận tốc của An hơn vận tốc
của Bình là bao nhiêu. Suy ra ta sẽ tìm được thời gian để An đuổi kịp Bình
18

(dựa theo cách tính bài toán: tính thời điểm gặp nhau của hai đại lượng
chuyển động cùng chiều xuất phát ở hai điểm khác nhau).
Lời giải:
Vì vận tốc của An bằng một nửa vận tốc xe điện và gấp rưỡi vận tốc
của Bình nên vận tốc của xe điện sẽ gấp vận tốc của Bình số lần là:
2 x 1,5 = 3 (lần).
Suy ra quãng đường xe điện đi trong 1 phút sẽ bằng 3 lần quãng đường
Bình đi được trong 1 phút.
Do đó, khi xe điện đỗ lại, An đã cách Bình một khoảng cách bằng:
3 + 1 = 4 (lần quãng đường Bình đi được trong 1 phút).
Trong 1 phút, vận tốc của An hơn vận tốc của Bình là:
1,5 – 1 = 0,5 (lần vận tốc của Bình).
Để đuổi kịp Bình, An phải đi trong:
4 : 0,5 = 8 (phút).
Đáp số: 8 phút.
* Phương pháp tỉ số
Khi giải bài toán theo phương pháp này ta thực hiện lần lượt theo hai
bước:
- Bước 1: So sánh hai giá trị của đại lượng thứ nhất (hoặc hai giá trị của
đại lượng thứ hai) xem số này gấp số kia mấy lần (bằng cách thực hiện phép
chia).
- Bước 2: Giá trị đã biết của đại lượng thứ hai (hoặc thứ nhất) cũng
được tăng hay giảm đúng bằng số lần vừa tìm được ở bước thứ nhất. Kết quả
tìm được đúng là số phải tìm trong bài toán.
Ví dụ:
Xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 36 km/giờ thì hết 4 giờ. Nếu đi từ A
đến B hết 6 giờ thì ô tô đi với vận tốc bao nhiêu km/giờ?
19

Phân tích:
Ta so sánh hai giá trị của đại lượng thứ nhất xem chúng gấp kém nhau
bao nhiêu lần (6 giờ gấp 4 giờ mấy lần). Khi ấy giá trị đã biết của đại lượng
thứ hai (36 km/giờ) giảm đi đúng bằng số lần tìm được ở trên.
Bài giải
6 giờ gấp 4 giờ số lần là:
6:4=

3
(lần).
2

Nếu đi từ A đến B hết 6 giờ thì ô tô phải đi với vận tốc là:
36 :

3
= 24 (km/ giờ).
2

Đáp số: 24 km/giờ.
1.1.3.3.4. Phương pháp suy luận lôgic
Là phương pháp giải toán mà học sinh phải biết suy luận đúng đắn,
chặt chẽ trên cơ sở vận dụng những kiến thức cơ bản và kinh nghiệm sống
phong phú của mình.
Để giải các bài toán bằng phương pháp này, học sinh cần tập luyện
cách quan sát, cách lập luận, cách xem xét vấn đề, khả năng bao quát tất cả
các trường hợp xảy ra của vấn đề và vận dụng kiến thức đã học vào trong
những tình huống cụ thể. Đôi khi chỉ những kến thức toán học đơn giản để
giải những bài toán này nhưng lại đòi hỏi khả năng chọn lọc trường hợp và

suy luận chặt chẽ, chính xác.
Ví dụ:
Hai người một trẻ, một đứng tuổi, một cưỡi ngựa, một đi xe máy. Họ
khởi hành cùng một lúc từ địa điểm A để đến địa điểm B. Sau khi đi được
một thời gian, người đứng tuổi nhận thấy rằng: nếu mình đi được một quãng
đường lớn gấp ba quãng đường đã đi thì chỉ còn phải đi một nửa quãng đường
còn lại. Người trẻ tuổi nhận thấy rằng nếu mình đi một quãng đường bằng nửa
20


quãng đường đã đi thì còn phải đi một quãng đường dài gấp ba lần quãng
đường còn lại. Đoán xem ai là người cưỡi ngựa?
Phân tích:
Người đứng tuổi đi:
quãng đường còn lại phải đi

quãng đường đã đi

quãng đường nếu đi gấp 3 lần quãng đường đã đi
Người trẻ tuổi đi:
quãng đường đã đi

quãng đường còn lại

qđ còn lại gấp 3 lần qđ thực tế còn lại

qđ nếu đi bằng 1/2 qđ đã đi
Quan sát sơ đồ ta thấy:
Người đứng tuổi đi được
Người trẻ tuổi đi được

1
quãng đường.
5

4
quãng đường.
5

Do đi ngựa chậm hơn đi xe máy nên ai đi chậm hơn thì người đó đi
ngựa.
Vậy người đứng tuổi là người đi ngựa.

21


1.1.3.3.5. Phương pháp khử
Là phương pháp giải các bài toán nói về mối quan hệ giữa nhiều đại
lượng mà cặp gồm hai giá trị tương ứng của một đại lượng giống nhau và phải
tìm một giá trị chưa biết.
Để giải bài toán bằng phương pháp khử, ta điều chỉnh cho hai giá trị của
một đại lượng trong hai cặp là như nhau. Dựa vào sự chênh lệch giữa hai đại
lượng còn lại, ta tìm được giá trị tương ứng với một đơn vị của đại lượng này.
Ví dụ:
Một vận động viên tập xe đạp trên đoạn đường dài 120km. Đường gồm
một đoạn lên dốc và một đoạn xuống dốc. Thời gian đi hết 3 giờ 30 phút. Biết
rằng, quãng đường nếu đi 1 giờ lên dốc và 2 giờ xuống dốc là 110km. Nếu đi
1 giờ lên dốc và 1 giờ xuống dốc là 65km. Tính:
a) Vận tốc xuống dốc.
b) Vận tốc lên dốc.

c) Thời gian lên dốc.
Phân tích:
qđ 1 giờ lên dốc

quãng đường 2 giờ xuống dốc

110 km
qđ 1 giờ lên dốc

qđ 1 giờ xuống dốc

65 km
Với bài tập này, ta sử dụng phương pháp khử để tính quãng đường đi
trong 1 giờ xuống dốc (vận tốc xuống dốc) từ đó tính được quãng đường đi
được trong 1 giờ lên dốc (vận tốc lên dốc).
22


Đến đây ta sử dụng phương pháp giả thiết tạm để giải tiếp bài toán. Giả
sử người đó xuống dốc cả 3 giờ 30 phút thì quãng đường đi được sẽ dài hơn
quãng đường đi thật. Có sự chênh lệch này là do ta đã thay 1 giờ lên dốc bằng
1 giờ xuống dốc. Từ đó ta tính được thời gian lên dốc.
Lời giải:
Quãng đường người đó đi trong 1 giờ xuống dốc là:
110 – 65 = 45 (km/giờ).
Vận tốc xuống dốc là 45 km/ giờ.
Quãng đường người đó đi trong 1 giờ lên dốc là:
65 – 45 = 20 (km/giờ).
Vận tốc lên dốc là 20 km/giờ.
Giả sử người đó xuống dốc cả 3 giờ 30 phút (3,5 giờ) thì quãng đường

đi được là:
45 x 3,5 = 157,5 (km).
Như vậy sẽ dài hơn quàng đường thật đi là:
157,5 – 120 = 37,5 (km).
Hiệu vận tốc giữa lên dốc và xuống dốc là:
45 – 20 = 25 (km).
Thời gian lên dốc là:
37,5 : 25 = 1,5 (giờ).
1,5 giờ = 1 giờ 30 phút.
Đáp số: 45 km/giờ; 20 km/giờ; 1 giờ 30 phút.
1.1.3.3.6. Phương pháp diện tích
Phương pháp sơ đồ diện tích được dùng để giải các bài toán có nội
dung đề cập đến ba đại lượng. Giá trị của một trong ba đại lượng bằng tích
các giá trị của hai đại lượng còn lại. Dùng phương pháp sơ đồ diện tích chúng
ta giải được nhanh các bài toán đó vì đã đưa về bài toán trực quan là bài toán
diện tích hình chữ nhật.
23


Ba đại lượng thường thấy trong toán chuyển động là: vận tốc, thời gian,
quãng đường. Trong đó:
Quãng đường = vận tốc x thời gian
Do đó, ta có thể sử dụng phương pháp sơ đồ diện tích để giải một số bài
toán về chuyển động.
Ví dụ:
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 30 km/giờ, sau đó đi từ B quay về A
với vận tốc 40 km/giờ. Thời gian đi từ B về A ít hơn thời gian đi từ A đến B
là 40 phút. Tính độ dài quãng đường AB?
Phân tích:
Vì quãng đường AB (s = v x t) không đổi, nên ta có thể xem như vận

tốc (v) là chiều rộng của hình chữ nhật và thời gian (t) là chiều dài của hình
chữ nhật đó. Từ đó ta vẽ được sơ đồ:

P

N
40
N’

S1

10

I

P’

30

S2

M
S3

Q

Q’

Do quãng đường AB bằng vận tốc nhân thời gian, trên hình vẽ số đo
quãng đường AB được biểu thị bằng số đo diện tích của hình chữ nhật MNPQ

hay MN’P’Q’. Do quãng đường AB không đổi và cùng với sự biểu diễn ở
trên nên diện tích MNPQ bằng diện tích MN’P’Q’.

24


Vì hai hình chữ nhật MNPQ và MN’P’Q’ có chung nhau phần MNIQ
có diện tích là S3 nên S1= S2. Ta dễ dàng tính được S2. Cũng từ đây ta tính
được cạnh NP của hình chữ nhật NPIN’ có diện tích bằng S1, NP có giá trị
bằng thời gian đi hết quãng đường AB với vận tốc 40km/giờ, từ đó ta tìm
được đáp số của bài toán.
Bài giải
Ta có 40 phút =

2
giờ.
3

Nếu ô tô đi từ B về A với vận tốc 30km/giờ thì sau khoảng thời gian dự
định đi từ B về A, ô tô còn cách A một quãng đường là:
30 x

2
= 20 (km).
3

Sở dĩ có khoảng cách này là vì vận tốc xe giảm đi:
40 – 30 = 10 (km/giờ).
Thời gian dự định ô tô đi từ B về A là:
20 : 10 = 2 (giờ).

Quãng đường AB dài là:
40 x 2 = 80 (km).
Đáp số: 80km.
Trên đây là một số phương pháp giải toán thường thấy khi giải các bài
toán chuyển động ở tiểu học. Song các phương pháp này đưa ra một cách độc
lập chỉ mang tính chất tương đối, bởi trên thực tế khi giải bài toán chúng ta
không chỉ sử dụng một phương pháp riêng rẽ mà phối hợp một cách chặt chẽ
các phương pháp mới đem lại hiệu quả cao trong giải toán.
1.1.3.4. Quy trình giải một bài toán
Khi giải một bài toán cụ thể, nhất là các bài toán bồi dưỡng học sinh
giỏi, để giải bài toán tốt, ngoài việc nắm chắc từng phương pháp giải toán đơn
lẻ còn phải rèn luyện năng lực phối hợp các phương pháp. Nghiên cứu quá
25


trình giải toán ở phần này chúng ta sẽ nhận rõ hơn bản chất của sự phối hợp
nói trên.
Trong lí luận về giải toán, tùy theo mục đích nghiên cứu, người ta đưa
ra những quy trình giải toán khác nhau. Nhưng một trong những quy trình
được sử dụng nhiều nhất đó là giải toán theo bốn bước:
- Bước 1: Tìm hiểu bài toán.
- Bước 2: Lập kế hoạch giải.
- Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải.
- Bước 4: Kiểm tra, đánh giá cách giải.
1.1.3.4.1. Tìm hiểu bài toán
Đây thực chất là bước học sinh đọc thật kĩ đề bài toán, xác định đâu là
cái đã cho, đâu là cái phải tìm. Giáo viên cần tập cho học sinh thói quen tự
tìm hiểu đề bài toán, từ nào chưa hiểu hết ý nghĩa thì phải tìm hiểu hết ý nghĩa
của nó.
Học sinh cũng cần phân biệt rõ những gì thuộc về bản chất của đề toán,

những gì không thuộc về bản chất của đề toán để hướng sự chú ý của mình
vào những chỗ cần thiết, để làm rõ mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm,
có thể tóm tắt bằng sơ đồ, hình vẽ hoặc ngôn ngữ, kí hiệu ngắn gọn.
1.1.3.4.2. Lập kế hoạch giải
Nói dễ hiểu lập kế hoạch giải là đi tìm hướng giải cho bài toán.
Ở tiểu học, con đường đi tìm hướng giải như sau:
Đầu tiên xét xem loại toán cần giải có thuộc bài toán điển hình hay
không. Nếu không thì xét xem bài toán cần giải có tương tự với bài toán nào
mà người giải đã biết cách giải hay không.
Nếu không thì tìm cách phân tích bài toán cần giải thành các bài toán
thành phần mà người giải đã biết cách giải (sự phân tích tận cùng của một bài
toán hợp để đẫn đến các bài toán đơn. Tuy nhiên không cần đi đến sự phân
26


tích tận cùng này mà chỉ cần phân tích bài toán cần giải thành những bài toán
đơn giản hơn mà ta đã biết cách giải). Sự phân tích có thể tiến hành theo
nhiều cấp: phân tích bài toán ban đầu thành một số bài toán đơn giản hơn, sau
đó lại phân tích mỗi bài toán này thành các bài toán đơn giản hơn nữa.
Để giải các bài toán thành phần, chúng ta áp dụng các phương pháp giải
toán đã học, các bài toán thành phần khác nhau ta giả bằng các phương pháp
khác nhau. Như vậy để giải một bài toán chúng ta phải phối hợp nhiều
phương pháp giải. Điều đó có nghĩa là năng lực lập kế hoạch giải các bài toán
cũng chính là năng lực phối hợp các phương pháp giải trong giải toán.
1.1.3.4.3. Thực hiện kế hoạch giải
Dựa vào kết quả phân tích bài toán ở bước xuất phát, những điều đã
cho trong bài toán lần lượt thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số.
1.1.3.4.4. Kiểm tra, đánh giá cách giải
Về nguyên tắc, bước này không phải là bước bắt buộc khi trình bày lời
giải bài toán và học giải toán. Bước này có mục đích:

- Kiểm tra, rà soát lại công việc giải.
- Tìm các cách giải khác và so sánh các cách giải.
- Khai thác bài toán (bước này dành cho học sinh khá giỏi).
Dưới đây là một ví dụ minh họa cho quy trình giải một bài toán:
Ví dụ:
Một ô tô dự kiến đi từ A đến B với vận tốc 45 km/giờ, do trời trở gió
nên mỗi giờ đi được 35 km/giờ và tới B chậm mất 40 phút so với dự kiến.
Tính quãng đường AB.
- Bước 1: Tìm hiểu bài toán
Yếu tố đã cho: Dự kiến xe đi với vận tốc dự kiến (Vdk) = 45 km/giờ.
Thực tế xe đi với vận tốc thực tế (Vtt) = 35 km/giờ.
Yếu tố cần tìm: Quãng đường AB.
27