Cơ sở toán học của dạy học nội dung phân số ở tiểu học

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài: Trong mọi nhà trường Tiểu học, việc nâng cao chất
lượng dạy và học của giáo viên, học sinh bao giờ cũng là mối quan tâm hàng
đầu, bao trùm chi phối mọi hoạt động khác. Trong tất cả các môn học ở Tiểu
học, môn Toán có số tiết tương đối lớn (5 tiết trong 1 tuần). Qua việc học
Toán, học sinh bước đầu nắm được kiến thức Toán học cơ bản, có cơ sở để học
tốt các môn khác.
Trong chương trình môn Toán ở bậc Tiểu học, số học là nội dung trọng tâm, là
hạt nhân của quá trình dạy học Toán. Một trong những đặc điểm nổi bật của
môn Toán lớp 4 là: “Bổ sung tổng kết quá trình dạy học số tự nhiên và chính
thức dạy học phân số”. Việc dạy học phân số chiếm một vị trí rất quan trọng
trong nội dung của Toán Tiểu học, thể hiện: ở chương trình Toán 4, phân số
được học bắt đầu từ học kỳ II, dạy học phân số chiếm 60% thời lượng dạy học
Toán của kỳ II, chiếm 29,75% tổng thời lượng dạy học Toán 4. Về cấu trúc nội
dung dạy học về phân số bao gồm: khái niệm ban đầu về phân số và một số nội
dung liên quan như: phân số bằng nhau; rút gọn phân số; quy đồng mẫu số
các phân số; so sánh các phân số …
Học tốt về phân số giúp học sinh học tốt các mạch kiến thức: đo lường, yếu tố
hình học, giải toán có lời văn.
Dạy học tốt nội dung phân số còn góp phần:
-

Rèn luyện phẩm chất cần thiết cho người lao động trong xã hội hiện đại.

-

Hình thành nhân cách của người học sinh dưới mái trường Xã Hội Chủ

Nghĩa.

1

-

Giúp học sinh phát triển tư duy trừu tượng, học sinh không chỉ nắm

vững kiến thức cơ bản mà còn có thể giải toán nâng cao, giải quyết các vấn đề
nảy sinh trong cuộc sống hàng ngày.
Khác với những năm trước đây, trong chương trình học mới, phân số trở thành
một trong những mục tiêu dạy học số học, được dành thời lượng thích hợp hơn.
Tuy nhiên, việc dạy học phân số lại là một vấn đề khó vì nó mở rộng hệ thống
số tự nhiên và là một tiền đề để hình thành khái niệm số hữu tỉ ở Trung học cơ
sở. Bên cạnh đó, học sinh cũng có nhiều khó khăn trong nắm bắt khái niệm
phân số .
Chương trình Toán ở Tiểu học bao gồm rất nhiều tuyến kiến thức từ số học đến
hình học. Nội dung dạy học được hình thành bởi 175 bài học trong đó có 19 bài
về dạy học phân số, chiếm khoảng 1/3 thời lượng của học kỳ II, lớp 4. Đây là
nội dung mới đối với học sinh. Ở lớp 2 và lớp 3 học sinh được làm quen với
“phân số” dạng

1
(với n là các số từ 2  9 ) còn việc dạy học chính thức và có
n

hệ thống về phân số được thực hiện chủ yếu tập trung trong kỳ học của lớp 4.
Đây là sự đổi mới trong cấu trúc và chương trình dạy học Toán lớp 4  5 so với
chương trình cải cách Giáo dục (chương trình cũ phân số chỉ được dạy đơn
giản, mẫu số thường là số có 2 chữ số và phân số lớn hơn hoặc bằng 0 ).
Đầu học kỳ II lớp 4, học sinh còn được học về dấu hiệu chia hết cho 2, 3,5, 9
để làm tiền đề cho việc rút gọn phân số, quy đồng mẫu số cho hai phân số. Từ

đó ta có thể thấy việc dạy học phân số ở Tiểu học là cần thiết, đặc biệt là ở lớp
4 khi đã bước đầu dạy học chuyên sâu.
Thực tế đòi hỏi giáo viên phải có cách truyền thụ phù hợp để học sinh hiểu và
tiếp thu bài tốt, việc hình thành khái niệm phân số là công việc khó, vì vậy giáo

2


viên cần phải tổ chức hướng dẫn cho học sinh hoạt động học tập với sự trợ
giúp đúng mức của sách giáo khoa, và đồ dùng học tập. Giáo viên phải hướng
dẫn học sinh tự chiếm lĩnh kiến thức. Có nhiều phương pháp để giúp học sinh
hình thành khái niệm phân số, nhưng phải hướng đến tính tích cực hoạt động
của học sinh.
2. Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu cơ sở Toán học của dạy học nội dung
phân số ở Tiểu học nhằm góp phần nâng cao hiệu quả hoạt động dạy học
môn Toán ở Tiểu học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
-

Đối tượng nghiên cứu: nghiên cứu cơ sở Toán học của dạy học nội dung

phân số.
-

Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu cơ sở Toán học của dạy học phân số ở

Tiểu học.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
4.1. Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của dạy học nội dung phân số ở Tiểu
học

4.2. Tìm hiểu cơ sở Toán học của dạy học nội dung phân số ở Tiểu học
5. Giả thuyết khoa học: Nếu xác định đúng cơ sở Toán học của dạy học nội
dung phân số sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán ở Tiểu học.
6. Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp điều tra, khảo sát, phỏng vấn, đàm
thoại.

3


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
1.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1.1. Cơ sở tâm lí
Những biểu hiện tư duy của học sinh Tiểu học trong học Toán
1.1.1.1. Sự phát triển tư duy của học sinh Tiểu học
Nhìn chung, ở học sinh Tiểu học hệ thống tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế
hơn so với hệ thống tín hiệu thứ hai. Do đó, các em rất nhạy cảm với các tác
động bên ngoài qua hình ảnh trực giác, thường gặp khó khăn trong khi diễn
đạt, điều này phản ánh trong nhiều hoạt động nhận thức của trẻ từ 6 đến 9 tuổi.
Ở giai đoạn này, do thiếu khả năng tổng hợp nên sự chú ý không chủ định ở trẻ
còn chiếm ưu thế, sự chú ý này chưa bền vững, nhất là đối với các đối tượng ít
thay đổi. Mặt khác, do thiếu khả năng phân tích, các em dễ bị lôi cuốn vào cái
trực quan, gợi cảm. Sự chú ý của các em thường hướng ra bên ngoài, hướng
vào hành động, chưa có khả năng hướng vào bên trong, vào tư duy. Để giúp
học sinh mau chóng tập trung vào đối tượng ta cần sử dụng lợi thế màu sắc để
hỗ trợ cho hình thức bề ngoài; để rèn luyện sự chú ý cho học sinh ta cần tạo ra
những đối tượng tương tự về hình thức để học sinh khi nhận dạng và phân biệt
cần hướng vào những đặc điểm bên trong – tư duy bản chất.
Trí nhớ trực quan hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ lôgic,
hiện tượng, hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ trừu tượng, khô khan.

Trí tưởng tượng tuy có phát triển nhưng còn tản mạn, ít có tổ chức, chịu tác
động nhiều của hứng thú, kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết.
1.1.1.2. Một số giai đoạn phát triển tư duy của học sinh Tiểu học

4


Giai đoạn 4  5 tuổi (trước tuổi đến tường): Ở trẻ đã hình thành thao tác logic
của tư duy. Trẻ dần hình thành công cụ nhận thức mới: Từ tư duy với hành
động trực tiếp ở bên ngoài chuyển thành tư duy bên trong (trong óc). Các hành
động lúc đầu còn rời rạc dần dần được kết hợp thành hệ thống, được thực hiện
theo hai chiều thuận nghịch. Đó chính là các thao tác logic tổng quát của tư
duy.
Giai đoạn 6 - 11 tuổi: Đây là giai đoạn phát triển mới của tư duy. Ở lứa tuổi
này, nhận thức đã có nhiều tiến bộ so với lứa tuổi trước nhưng vẫn còn những
hạn chế. Các thao tác tư duy còn dựa trực tiếp vào các đồ vật, chưa tác động tốt
đến lời nói và các giả thiết bằng lời. Sự tiến bộ thể hiện là các thao tác tư duy
đã liên kết với nhau thành tổng thể nhưng sự liên kết đó chưa hoàn toàn tổng
quát, mặc dù vậy, bước đầu chúng đã gắn bó với nhau bằng tính thuận nghịch.
Tuy nhiên, hạn chế của tư duy ở giai đoạn này là việc tổ hợp các thao tác mới
được thực hiện dần dần, với từng bộ phận, trẻ chưa hình dung được cùng một
lúc toàn bộ các tổ hợp có thể có, vì vậy, yếu tố mò mẫm vẫn có vai trò quan
trọng trong nhận thức.
Về cuối giai đoạn này (khoảng 10  11 tuổi), các em đã đạt được những tiến bộ
nhất định về lĩnh vực nhận thức không gian. Nói cách khác, ngoài việc nhận
thức được các mối quan hệ trong nội bộ các đối tượng (như giai đoạn đầu), lúc
này các em còn có thể nhận thức được các quan hệ giữa các đối tượng với
nhau.
1.1.2. Cơ sở Giáo dục
Hệ thống nguyên tắc dạy học ở Tiểu học:

1.1.2.1. Nguyên tắc đảm bảo tính khoa học: Thể hiện trong phương pháp dạy
học mang tính khoa học, nghệ thuật và nghề nghiệp dựa vào mục đích, nội

5


dung và qui luật phát triển tâm lí lứa tuổi, tác động tích cực đến nhận thức và
việc hình thành, phát triển nhân cách của học sinh.
1.1.2.2. Nguyên tắc đảm bảo tính Giáo dục
-

Thuộc tính bản chất của quá trình dạy học.

-

Giáo dục nhân cách toàn diện cho học sinh.

1.1.2.3. Nguyên tắc đảm bảo tính tương quan
-

Nắm vững kiến thức qua quan sát thực tế khách quan, sinh động.

-

Hình thành kĩ năng trực quan, làm cho học sinh trở thành người nắm

vững lí thuyết và thực tiễn cuộc sống.
1.1.2.4. Nguyên tắc đảm bảo tính vừa sức
-

Tập thể học sinh được sử dụng như một phương tiện để tổ chức chương

trình học tập tích cực nhất cho từng cá nhân.
-

Chú ý đến xuất hiện hướng.

-

Chú ý đến hứng thú và năng lực của học sinh.

1.1.2.5. Nguyên tắc đảm bảo tính hệ thống
-

Hệ thống hóa nội dung dạy học với hệ thống các biện pháp Sư phạm.

-

Phát triển nội dung dạy học dựa vào khả năng tiếp thu của học sinh.

1.1.2.6. Nguyên tắc phát huy tính chủ động, tích cực và sáng tạo của học sinh
Chủ thể tích cực, chủ động, sáng tạo.
1.1.2.7. Nguyên tắc chủ đạo của giáo viên
Giáo viên là chủ thể của tổ chức, điều khiển quá trình dạy học.
1.1.2.8. Nguyên tắc thống nhất giữa dạy học lí thuyết và kĩ năng
Để học sinh vận dụng được lí thuyết vào cuộc sống.
1.1.2.9. Nguyên tắc thống nhất giữa lối dạy học tập thể và cá biệt hóa hoạt
động học tập của từng học sinh

6

1.1.3. Cơ sở Toán học
(Vai trò của phân số trong chương trình môn Toán ở Tiểu học)
Về phương diện lịch sử, phân số đã được sử dụng lần đầu tiên cho những số
lượng bé hơn đơn vị nguyên vẹn. Phân số ngày nay là sự phát triển mở rộng
khái niệm phân số ban đầu và bao gồm cả các phân số lớn hơn hay bằng 1.
Phân số thông thường là phân số được biểu diễn dưới dạng

a
; a gọi là tử số,
b

b là mẫu số; trong đó mẫu số là cái toàn thể được chia ra, tử số là số phần bằng
nhau của toàn thể đang được quan tâm. Do đó a và b là số tự nhiên; b không
thể bằng 0 , vì điều đó có nghĩa là không có đơn vị cơ sở để so sánh với các
phần chia khác.
Phân số thực sự là phân số được biểu diễn dưới dạng

a
(trong đó a ; b là số tự
b

nhiên, b khác 0 và tử số a lớn hơn mẫu số b ).
Ví dụ:

2
5
7
và là phân số thực sự; không phải là phân số thực sự.

3
6
4

Phân số không thực sự là phân số biểu thị một tỉ số

a
; trong đó tử số lớn hơn
b

mẫu số (a > b ).
Hỗn số là một số biểu diễn bởi một tổng của một số nguyên và một phân số
thực sự: a 
Ví dụ: 2 +

b
( a , b thuộc số tự nhiên không âm, b < c ).
c

1
1
viết gọn 2
3
3

Phân số thập phân là các phân số có mẫu số là lũy thừa của 10.

7

Trong phạm vi môn Toán, nếu trước đây, nội dung phân số hầu như bị cắt bỏ
cho phù hợp với chương trình phổ cập Trung học cơ sở thì hiện nay, phân số là
một trong các mục tiêu cần đạt được trong các nội dung ở Tiểu học và “dành
thời gian chủ yếu của Toán 4 để dạy học phân số”. Điều này được lí giải là do
phân số và số thập phân thuộc hệ thống số thông dụng, có giá trị thực tiễn cao,
nhất là mặt thực hành. Chẳng hạn, để biểu diễn số đo các đại lượng trong đời
sống hàng ngày, phân số và số thập phân là những công cụ rất quan trọng.
Chúng ta muốn đảm bảo tính độc lập về nội dung dạy học của một bậc học,
muốn giúp cho học sinh Tiểu học có được kiến thức, kĩ năng cơ bản trên tập số
thập phân thì việc trang bị những kiến thức về phân số là hết sức cần thiết.
Phân số là một trong ba nội dung trọng tâm của số học trong chương trình
Toán Tiểu học. Đưa nội dung phân số vào chương trình Tiểu học là nhu cầu
của thực tiễn.
-

Về mặt Toán học: Tập hợp các phân số và số thập phân là một loại số

mới được xây dựng trên cơ sở mở rộng các số tự nhiên, nhằm đáp ứng yêu cầu
của bản thân Toán học: viết thương (đúng) của phép tính chia hai số tự nhiên
(số chia khác 0 ).
-

Về mặt thực tiễn: Các phân số (và nhất là các số thập phân) được sử

dụng hàng ngày trong hầu hết các hoạt động thực tiễn, nên có thể coi các khái
niệm này là những khái niệm chìa khóa về mối quan hệ giữa Toán học và thực
tiễn. Vì vậy, trong dạy học phần này cần coi trọng và sử dụng “vốn sống” của
học sinh trong việc hình thành khái niệm; coi trọng việc thực hành, áp dụng
vào thực tiễn và trong lĩnh vực thực tế.

8


-

Về mặt Sư phạm: Có mối quan hệ khăng khít giữa việc đo đại lượng và

sử dụng phân số, nhất là số thập phân. Trong dạy học phần này việc đo đại
lượng có thể cho là chỗ dựa để xây dựng khái niệm trên.
Muốn dạy học phân số để chuẩn bị cho việc hình thành khái niệm số thập phân
thì khái niệm phân số, phân số thập phân phải được ưu tiên nhấn mạnh là một
trong những mục tiêu chính của việc dạy học phân số ở Tiểu học.
Xét theo một số nội dung khác trong khi dạy học số thập phân như: số thập
phân bằng nhau; so sánh và sắp thứ tự số thập phân; các phép tính cộng và
nhân số thập phân, không nhất thiết phải thông qua đổi xuôi, đổi ngược các
đơn vị đo (vừa dài dòng, vừa làm học sinh dễ hiểu lầm về số thập phân là một
dạng của số tự nhiên do đổi đơn vị đo mà có). Chẳng hạn:


Nội dung thứ nhất: tính chất bằng nhau của số thập phân trong bài “Số

thập phân bằng nhau”, sách giáo khoa Toán 5 , trang 61 có đưa ra hai nhận
xét:
(1) “Nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải phần thập phân của một số thập
phân thì được một số thập phân bằng nó”.
(2) “Nếu số thập phân có chữ số 0 tận cùng bên phải phần thập phân thì khi
bỏ chữ số 0 đó đi ta được một số thập phân bằng nó”.
Để lí giải hai nhận xét trên, chúng ta có thể tận dụng triệt để mối liên hệ với
phân số và giải quyết trực tiếp như sau:
- Thông qua mối liên hệ với phân số:

Ví dụ: cho hai số thập phân 0, 8 và 0, 80
Ta nhận thấy 0, 8 = 0, 80
Thật vậy, theo sự liên hệ với phân số, ta có:

9


0, 8 =

8
80
; 0, 80 =
10
100

Theo tính chất của phân số ta có:
8
80
nên 0, 8 = 0, 80
=
10
100

+ Đưa ra nhận xét 1
+ Đưa ra nhận xét 2.
- Thông qua mỗi đơn vị đo (sách giáo khoa hiện hành).
Ví dụ: 8dm = 80cm
Mà 8dm =

8

80
m ; 80cm =
m
100
10

8dm = 0, 8m ; 80cm = 0, 80m
Vậy: 0, 8 = 0, 80
+ Đưa ra nhận xét 1
+ Đưa ra nhận xét 2.
Việc so sánh trực tiếp hai số thập phân thuần túy thông qua hai phân số thập
phân rõ ràng tổng quát hơn việc so sánh hai phân số thập phân phụ thuộc chặt
chẽ vào đơn vị đo của một đại lượng cụ thể. Ngoài ra cách so sánh trực tiếp
cũng tạo cơ hội cho học sinh ôn tập kiến thức cũ về phân số. Đó là một trong
các nguyên tắc dạy học ở Tiểu học.


Nội dung thứ hai: so sánh sắp thứ tự số thập phân

Vấn đề so sánh và sắp thứ tự số thập phân, tác giả đã phân tích và đưa ra 2 qui
tắc so sánh các số thập phân có tính chất thực hành như sau:
(1) Qui tắc 1:

10


-

Bước 1: So sánh các phần nguyên, số nào có phần nguyên lớn hơn là số

lớn hơn.
-

Bước 2: Nếu các phần nguyên bằng nhau thì so sánh các hàng phần

mười (chữ số thứ nhất bên phải dấu phẩy), số nào có chữ số thứ nhất bên phải
dấu phảy lớn hơn là số lớn hơn.
-

Bước 3: Nếu phần nguyên và chữ số thứ nhất bên phải dấu phẩy như

nhau thì so sánh các hàng phần trăm (chữ số thứ hai bên phải dấu phảy); số nào
có chữ số này lớn hơn là số lớn hơn … cứ tiếp tục với các hàng sau.
(2) Qui tắc 2:
-

Bước 1: Làm cho số chữ số trong phần thập phân (của hai số cần so

sánh) bằng nhau.
-

Bước 2: Bỏ dấy phẩy trong hai số đó để có hai số tự nhiên tương ứng.

-

Bước 3: So sánh hai số tự nhiên mới tạo thành. Số tự nhiên lớn hơn ứng

với số thập phân lớn hơn.
Ở qui tắc 1 (qui tắc đang được sách giáo khoa Toán 5 sử dụng): so sánh hai số
thập phân dựa vào sự phân tích hai số thập phân thành các phần nguyên và các

hàng phần mười, các hàng phần trăm, hàng phần nghìn … để so sánh các số
nguyên hoặc các số thập phân có cùng mẫu số.
Ở qui tắc 2: bước 1 áp dụng tính chất bằng nhau của hai số thập phân; bước 2
thực chất là đưa hai số thập phân về hai phân số thập phân có cùng mẫu số;
bước 3 là so sánh hai tử số (là hai số tự nhiên) mà rút ra kết luận.
Từ đó rút ra kết luận thứ hai: để chuẩn bị cơ sở cho việc học tính chất bằng
nhau của hai số thập phân, sự sắp thứ tự các số thập phân thì tính chất cơ sở
của phân số, so sánh các phân số cùng mẫu là một trong các mục tiêu chính khi
dạy học phân số cho học sinh Tiểu học.

11


 Nội dung thứ 3: các phép tính trên số thập phân
Nghiên cứu cơ sở thực hiện các phép tính cộng (trừ), hay phép tính nhân (chia)
các số thập phân thuần túy (không gắn với việc đổi đơn vị đo đại lượng cụ thể
nào), chúng ta một lần nữa thấy các thủ thuật đều dựa trên cơ sở các phép tính
về phân số hoặc dựa vào tính chất cơ bản của phân số. Chẳng hạn, đối với phép
tính chia hai số thập phân dựa vào việc phân tích số thập phân rồi đưa về phép
tính cộng các phân số:
2 1, 4 2 1  3, 7 0 5 3  7 , 4

= 21 

4
2
1
7
5
3

4


 3


7
10 100 1000
10 1000 10000
10

Hay
21, 421  3, 7053  7, 4

21421 37053 74


1000 10000 10
214210 37053 74000



10000 10000 10000

Phép tính nhân hai số thập phân cũng tương tự.
Từ đó rút ra kết luận thứ ba: Để chuẩn bị cho việc học các phép tính đối với số
thập phân thì phép tính cộng (trừ) các phân số cùng mẫu và phép tính nhân hai
phân số là một trong các mục tiêu chính khi dạy học phân số cho học sinh Tiểu
học.
Tóm lại: trên cơ sở phân tích các vấn đề về dạy học số thập phân ở cả bốn nội

dung (hình thành khái niệm số thập phân, tính chất bằng nhau của hai số thập
phân, sắp thứ tự các số thập phân và các phép tính trên số thập phân) chúng ta
đều thấy mối quan hệ khăng khít có bản chất toán học giữa phân số và số thập
phân. Việc dạy học phân số cho học sinh Tiểu học khá hoàn chỉnh tạo được

12


những tiền đề quan trọng và cần được tận dụng triệt để trong việc dạy học số
thập phân ở lớp 5, điều đó rất có ý nghĩa trong việc thực hiện mục đích chung
là trang bị những kiến thức cơ sở ban đầu về số học cho học sinh Tiểu học.
Từ lớp 1 đến lớp 4 (hết học kì I), học sinh được học về số tự nhiên. Việc đưa
phân số vào dạy học ở học kỳ II, lớp 4 sẽ giúp cho học sinh mở rộng kiến thức
về số hữu tỉ.
Việc dạy học nội dung phân số ở Tiểu học là cần thiết, nó giúp các em phát
triển tư duy, ứng dụng vào bài toán hình học, giải toán có lời văn được dễ dàng
hơn, từ đó làm phong phú hơn về nội dung dạy học Toán ở Tiểu học.
1.2. CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.2.1. Nội dung dạy học phân số ở Tiểu học một số nước trong khu vực và
trên thế giới
Phân số là một trong các nội dung cơ bản của chương trình số học ở Tiểu học.
Bao gồm các nội dung:
 Hình thành khái niệm phân số;
 Mối liên hệ với số tự nhiên và với số thập phân;
 Tính chất cơ bản của phân số;
 Rút gọn phân số;
 So sánh phân số;
 Cộng, trừ, nhân, chia phân số;
 Giải toán ứng dụng phân số.
Theo nhận định chung của các nhà nghiên cứu dạy học phân số là một vấn đề

khó bởi một số lí do cơ bản sau:
-

Học sinh trong nhà trường Tiểu học từ 6 – 11 tuổi, hoạt động nhận thức

cảm tính chiếm ưu thế, nhận thức lí tính mới bắt đầu hình thành và chưa phát

13


triển. Trong khi đó khái niệm số nói chung và khái niệm phân số nói riêng rất
trừu tượng, khó nhận thức vì tính khái quát cao. Phân số là loại số mới, mở
rộng hơn ý nghĩa của khái niệm số (tự nhiên). Phân số cho phép ghi lại cả
những lượng nhỏ hơn đơn vị và thấy được mối tương quan với đơn vị (cái toàn
thể). Như vậy, với phân số tính chất khái quát và trừu tượng tăng thêm. Cấu tạo
của phân số mới mẻ so với cấu tạo “thập phân” của số tự nhiên.
-

Trong quá trình học số tự nhiên, học sinh làm quen với cách ghi số theo

vị trí và cấu tạo thập phân (hàng, lớp). Nhưng phân số lại gồm hai phần: tử số
và mẫu số. Do đó một số học sinh sẽ cho rằng phân số là hai số và chưa hiểu
được ý nghĩa biểu thị số lượng của phân số.
-

Ngoài ra, một số tính chất của phân số khác hẳn số tự nhiên. Ví dụ: học

sinh sẽ thấy khó hiểu khi những phân số viết rất khác nhau như

1

6
và
lại
2
12

được coi là bằng nhau. Hơn nữa, khi nhân hai số tự nhiên khác 0 thì tích tìm
được bao giờ cũng lớn hơn hoặc bằng một trong hai thừa số. Trong khi đó tích
của hai phân số thực sự luôn nhỏ hơn một trong hai phân số.
Việc dạy học các nội dung Toán học nói chung và phân số nói riêng đòi hỏi sự
chính xác, nhưng ở Tiểu học lại phải tuân theo qui luật nhận thức của trẻ. Tất
cả điều đó cho thấy, tính chất và mức độ khó khăn của việc dạy và học phân số
ở Tiểu học.
Dạy học phân số có ưu điểm là: phù hợp với sự phát triển tự nhiên của hệ
thống số, giúp học sinh thấy rõ hơn phân số và số thập phân là loại số mới; mở
rộng tác dụng, vai trò so với số tự nhiên; khái niệm số thập phân, các tính chất
và các phép tính trên số thập phân có thể được lí giải thông qua phân số không
bị lệ thuộc vào đơn vị đo của một đại lượng cụ thể nào.

14


Dạy học phân số trước rõ ràng có nhiều lợi ích:


Một là: có sự chuẩn bị tốt về cơ sở cho việc học số thập phân.



Hai là: trong quá trình học số thập phân, kiến thức cơ sở về phân số sẽ

được ôn tập củng cố và nhắc lại nhiều lần. Kí hiệu

m
( n ¹ 0 ) vừa được hiểu
n

là một cặp sắp thứ tự (tức là một trong các kí hiệu hình thức để biểu diễn một
số hữu tỉ không âm khi dạy học cách đọc, cách viết, tính chất cơ bản, rút gọn
phân số…); mặt khác vừa được hiểu là một số hữu tỉ nên có thể so sánh, tính
toán.
Nội dung và phương pháp dạy học phân số trong nước từ năm 1992 đến nay:
Quan điểm chỉ đạo trong giai đoạn này là trên cơ sở mục tiêu mới của Giáo dục
Tiểu học, mọi hoạt động dạy học đều hướng tới việc góp phần đào tạo những
người “lao động tự chủ, sáng tạo” (Nghị quyết Trung ương 4 ). Hoạt động dạy
học phải coi mỗi học sinh như một cá nhân, đồng thời mỗi cá nhân lại có sự
khác nhau về mức độ phát triển riêng và có một sở trường nào đó. Sở trường
của mỗi cá nhân chỉ có thể bộc lộ và phát huy đúng mức nếu cá nhân có môi
trường học tập phù hợp. Dạy học cá thể hóa và tạo điều kiện cho học sinh được
hoạt động học tập trong môi trường thuận lợi là con người thích hợp để phát
triển cá nhân học sinh. Hiệu quả cao của việc giảng dạy là giúp người học hoạt
động tích cực để tự mình phát hiện ra tư tưởng khái quát nhất của bài học,
chuyển hóa kiến thức đã học thành năng lực của mình.
Với những yêu cầu của phổ cập Giáo dục Tiểu học hướng tới năm 2000 , việc
thiếu tính hoàn chỉnh về nội dung số học của một bậc học (cụ thể là thiếu kiến
thức về phân số và thiếu thời gian rèn luyện kĩ năng trên phân số và số thập
phân) đã làm cho việc dạy học các nội dung khác ở Tiểu học cũng có ảnh

15

hưởng nhất định. Chẳng hạn, nó ảnh hưởng đến việc đọc, viết các số đo đại
lượng, hạn chế các kĩ năng về phân số và số thập phân. Học sinh sẽ vấp phải
những khó khăn trong các đơn giản đặt ra trong cuộc sống cộng đồng. Vì vậy,
phân số chính thức được đưa vào dạy học ở lớp 4 và hoàn chỉnh bốn phép tính
(cộng, trừ, nhân, chia) ở lớp 5.
1.2.2. Mức độ trình bày phân số ở Tiểu học


Hình thành khái niệm: khái niệm phân số được đưa vào chương trình

Tiểu học từ những ví dụ đơn giản, gần gũi, quen thuộc và phù hợp với nhận
thức của các em.


Các phép tính: các phép tính cộng, trừ ban đầu được thực hiện với các

phân số cùng mẫu sau đó mới thực hiện các phép tính cộng, trừ với các phân số
khác mẫu. Phép tính nhân, chia phân số chỉ thực hiện với các phân số có tử số
và mẫu số là những số tự nhiên, có mẫu số khác 0 và tử số khác 0 đối với phép
tính chia.
Yếu tố phân số được đưa vào chương trình Tiểu học ở lớp 2 dưới dạng “các
phần bằng nhau của đơn vị”.
1.2.3. Các giai đoạn của sự phát triển nội dung dạy học phân số trong
chương trình Toán Tiểu học:
-

Giai đoạn 1: (học kì II, lớp 2 và lớp 3)



Làm quen yếu tố phân số

1 1 1 1
; ; ; ;
2 3 4 5



Làm quen yếu tố phân số

1
( n £ 10 ).
n

-

Giai đoạn 2: (ở học kì II, lớp 4)



Hình thành khái niệm phân số;

16




Tính chất bằng nhau của phân số;



Rút gọn phân số và qui đồng mẫu số các phân số;



Bốn phép tính về phân số và tính chất cơ bản của các phép tính (cộng,

trừ, nhân và chia phân số);


Ứng dụng vào giải toán về tỉ lệ bản đồ.

-

Giai đoạn 3: (ở đầu học kì I, lớp 5)



Chuyển đổi hỗn số ra phân số và ngược lại để tính, giải toán ứng dụng;



Ôn tập các kiến thức về phân số;

1.2.4. Thực trạng dạy học phân số theo sách giáo khoa
Sách giáo khoa Toán 4 và Toán 5 theo chương trình mới chỉ là một giải pháp
tình thế nhằm tiến tới sự hoàn chỉnh tương đối về nội dung số học của một bậc
học. Đó là sự đổi mới từng phần trong chủ trương chung: đổi mới đồng bộ nội
dung và phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học. Để việc dạy học phân số trong

bậc Tiểu học phổ cập và tương đối hoàn chỉnh cần đặt ra và làm sáng tỏ nhiều
câu hỏi: Học sinh hiểu khái niệm phân số đến mức độ nào? Học sinh có được
kĩ năng thực hiện 4 phép tính về phân số hay chưa? Giáo viên có nhận thức
như thế nào về tầm quan trọng của nội dung dạy học phân số? Giáo viên đã sử
dụng các cách tiếp cận khái niệm phân số nào trong quá trình giảng dạy học?
Giáo viên đã hiểu sâu sắc cơ sở nào để vận dụng các cách tiếp cận cũng như
phương pháp dạy học nội dung phân số chưa?
Để giải đáp những câu hỏi trên chúng tôi đã tìm hiểu việc dạy học phân số
thuộc hai trường: Trường Tiểu học Liên Minh – Thành phố Vĩnh Yên; Trường
Tiểu học Thế giới Trẻ em – Thành phố Hà Nội.
Dự kiến tìm hiểu như sau:

17


- Trên cơ sở các bài kiểm tra về nội dung phân số mà học sinh đã thực hiện
đưa ra nhận xét về mức độ đạt được các kĩ năng thực hiện 4 phép tính liên
quan tới phân số của học sinh.
- Tìm hiểu các cách dạy học khái niệm phân số của giáo viên.
- Tìm hiểu mối quan tâm của giáo viên về dạy học nội dung phân số.

18


CHƯƠNG 2: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA DẠY HỌC NỘI DUNG PHÂN
SỐ Ở TIỂU HỌC
2.1. Các khái niệm
2.1.1. Tập hợp:
Tập hợp là một trong các khái niệm của Toán học. Khái niệm tập hợp không
được định nghĩa mà được mô tả qua các ví dụ như: Tập hợp các học sinh của

một lớp học, tập hợp các cuốn vở trên giá, tập hợp số tự nhiên … Các đối
tượng cấu thành một tập hợp được gọi là các phần tử của tập hợp đó. Người ta
thường kí hiệu các tập hợp bởi các chữ A , B ,C , X ,Y , Z ... và các phần tử của
các tập hợp là các chữ a, b, c, x , y, z ...
Nếu a là một phần tử của tập hợp A thì ta viết a Î A (đọc là a thuộc tập
hợp A )
Nếu a không phải là một phần tử của tập hợp A thì ta viết a Ï A (đọc là a
không thuộc tập hợp A )
Một trong các cách xác định một tập hợp là: nêu lên một số tính chất chung của
các phần tử tập hợp, nhờ đó có thể nhận biết được các phần tử của tập hợp và
các đối tượng không phải phần tử của nó.
Ví dụ: Cho tập hợp B là các ước của 12. Khi đó 1, 2, 3, 4, 6,12 là các phần tử
của B còn các số 5, 7, 9, 10, 11 không phải phần tử của B . Người ta thường
viết: B = {x ; x là ước của 12}
Đọc: B là tập hợp các phần tử x sao cho x là ước của 12; x biểu thị mỗi phần
tử của tập hợp B .
Tập con của một tập hợp: tập hợp A được gọi là một tập hợp con của tập hợp

X nếu mọi phần tử của A đều là những phần tử của X .

19


Cái bộ phận: Chỉ số đối tượng được quan tâm trong tập hợp.
Cái toàn thể: Chỉ số đối tượng của cả tập hợp.
2.1.2. Tập hợp tương đương
Ta nói tập hợp A tương đương với tập hợp B , và viết A : B , nếu có một
song ánh f từ A đến B
Như vậy: A : B Û tồn tại song ánh f : A ® B
2.1.3. Số nguyên tố cùng nhau

2.1.3.1. Ước chung lớn nhất của nhiều số
* Giả sử a 1 , a 2 , ...a n là n (n ³ 2) số nguyên khác nhau.
Số nguyên d đồng thời là ước của các số này thì d được gọi là một ước chung
của chúng.
* Cũng như đối với trường hợp hai số, ta thấy tập hợp các ước chung của m số
nguyên khác 0 là một tập rỗng và bị chặn trên, do đó có số lớn nhất.
* Số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a 1 , a 2 , ...a n được gọi là ước
chung lớn nhất của các số này và kí hiệu là ƯCLN (a 1 , a 2 , ...a n ).
2.1.3.2. Số nguyên tố cùng nhau: Các số nguyên a 1 , a 2 , ...a n được gọi là các
số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1.
2.1.4. Số hữu tỉ
2.1.4.1. Số hữu tỉ
Số hữu tỉ là số có thể biểu diễn như một thương (hay phân số) của phép tính
chia một số nguyên cho một số tự nhiên khác 0 . Thường

m
là diễn tả việc
n

chia một khối lượng nào đó thành n phần bằng nhau và chọn lấy m phần. Hai

20


phõn s khỏc nhau cú th biu din cho cựng mt s, chng hn

1
2
v l nh
2

4

nhau. Nu giỏ tr tuyt i ca m ln hn n thỡ giỏ tr tuyt i ca phõn s
ln hn 1. Phõn s cú th dng, õm hoc bng 0 .
Trong Toỏn hc, s hu t l cỏc s thc x cú th biu din di dng phõn s

a
, trong ú a v b l cỏc s nguyờn, vi b ạ 0 .
b
Khi biu din s hu t theo h ghi c s 10 (dng thp phõn), s hu t cú th
(thng)

l s thp phõn hu hn hoc s thp phõn vụ hn tun hon.
Dóy cỏc ch s lp li trong biu din thp phõn ca cỏc s thp phn vụ hn
tun hon c gi l chu k, v s cỏc ch s trong chu k ny cú th chng
minh c rng khụng vt qua giỏ tr tuyt i ca b . Tp hp s hu t l
tp hp m c.
2.1.4.2. S hu t khụng õm
* Xõy dng s hu t khụng õm
Cho Ơ l tp s t nhiờn v Ơ * = Ơ \ {0}
Mi cp s th t (a;b), trong ú a ẻ Ơ v b ẻ Ơ * ta gi l mt phõn s. Tp
hp tt c cỏc phõn s ta kớ hiu l P. Nh vy: P = Ơ Ơ *
Ta s s dng kớ hiu

a
ch phõn s (a;b) trong ú a gi l t s, b l mu
b

ùỡ a
ùỹ

s. Nh vy : P = ùớ | a ẻ Ơ , b ẻ Ơ * ùý
ùùợ b
ùùỵ

Trờn P ta nh ngha quan h hai ngụi : nh sau:

21


a c
a c
, Î P; :
khi và chỉ khi a ´ d = b ´ c
b d
b d
Ta dễ dàng chỉ ra rằng: quan hệ “ : ” là quan hệ tương đương trên P . Áp dụng
định lí về phép chia lớp theo quan hệ tương đương, ta có thể phân chia tập P
theo quan hệ tương đương “ : ” và nhận được tập thương P / : , kí hiệu là
¤

+

. Mỗi phần tử của ¤

+

ta gọi là một số hữu tỉ không âm. Tập ¤

+

gọi là các

số hữu tỉ không âm.
Chú ý:
1. Khái niệm phân số hình thành trên trên đây đồng nhất với khái niệm phân
số hình thành trong trường phổ thông.
2. Rõ ràng là quan hệ tương đương “~” đồng nhất với quan hệ bằng nhau
giữa các phân số (được xây dựng ở phổ thông) nhưng không đồng nhất với
quan hệ bằng nhau giữa các cặp thứ tự.
Tuy nhiên, tập hợp các số hữu tỉ không hoàn toàn đồng nhất với tập hợp các
phân số

p
, vì mỗi số hữu tỉ có biểu diễn bằng nhiều phân số khác nhau. Chẳng
q

hạn các phân số
3. Vì ¤

+

1 2 2
, , … cùng biểu diễn một số hữu tỉ.
3 6 9

= P / : cho nên mỗi số hữu tỉ không âm là một lớp những phân

số tương đương với nhau. Vì vậy, theo chú ý 2, mỗi số hữu tỉ không âm là một
lớp những phân số bằng nhau. Mỗi phân số thuộc lớp các phân số bằng nhau
đó gọi là một đại diện của số hữu tỉ không âm ấy.

æ3 ö

3

9

12

÷ là lớp các phân số: ;
Chẳng hạn, số hữu tỉ không âm r = C çç ÷
;
….
÷
çè 4 ÷
4 12 16
ø

22


Như vậy, mỗi phân số:

3
6
9
12
hoặc hoặc
hoặc
…là một đại diện của
4

8
12
16

4. Để cho gọn, ta viết r =

r.

a
a
thay cho r = C ( ) để chỉ số hữu tỉ đại diện là
b
b

a
. Trong các đại diện của r , tồn tại duy nhất một đại diện là phân số tối giản
b

p
, ở đây p, q nguyên tố cùng nhau. Vì vậy, nói đến đại diện của số hữu tỉ r , ta
q
thường hiểu là phân số tối giản

p
đó.
q

5. Giữa tập hợp hữu tỉ không âm ¤

+

với tập các phân số tối giản tồn tại phép

tương ứng một – một. Hay nói cách khác, mỗi số hữu tỉ không âm một mặt có
thể hiểu là một lớp các phân số bằng nhau, mặt khác có thể là một phân số tối
giản.
6. Mỗi số tự nhiên n có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1. Vì vậy:
¥ Ì ¤ .

2.1.5. So sánh các khái niệm: tỉ lệ, tỉ số (của hai số tự nhiên) và phân số
Đặc điểm chung của tỉ lệ và tỉ số (của hai số tự nhiên): hai chỉ số này đều là
phân số (tức là mỗi chỉ số đều có tử số và mẫu số).
Khác biệt về ý nghĩa giữa các chỉ số này chính là phần mẫu số: Tỉ số là một
phân số mà tử số có thể không liên quan gì đến mẫu số. Tỉ số có giá trị từ 0
đến vô hạn.
Tỉ lệ là một dạng tỉ số, nhưng cấu trúc của tỉ lệ khác với tỉ số ở phần tử số.
Trong tỉ số, tử số có thể khác đơn vị đo nhưng tử số của một tỉ lệ là một phần
của phân số. Tỉ lệ có thể nhân 100 để thành tỉ số phần trăm. Chính vì thế, giá

23


trị của tỉ lệ chỉ dao động từ 0 đến 1 (nếu diễn tả bằng phần trăm thì dao động
từ 0 đến 100 ).
2.1.6. Phép chia hai số tự nhiên
2.1.6.1. Phép chia hết
Cho hai số tự nhiên a, b; b ¹ 0 . Nếu có số tự nhiên q sao cho a = b ´ q thì
ta nói a chia hết cho b. Số q gọi là thương của a và b, và kí hiệu là:
q = a ¸ b hay q =

a
b

Qui tắc tìm thương của hai số gọi là phép chia.
2.1.6.2. Định nghĩa phép chia có dư
Số q và r thỏa mãn đẳng thức: a = b ´ q + r , (0 £ r < b) được gọi tương ứng
là thương và số dư trong phép chia của a cho b . Việc tìm q và r gọi là thực
hiện phép chia có dư của a cho b .
Khi r = 0 thì phép chia có dư trở thành phép chia hết. Như vậy, phép chia hết
là một trường hợp đặc biệt của phép chia có dư.
2.2. Cở sở toán học của dạy học khái niệm phân
2.2.1. Sự xuất hiện của phân số
2.2.1.1. Phân số xuất hiện từ quan hệ giữa cái bộ phận với cái toàn thể
Khi so sánh một bộ phận của một tập hợp với toàn bộ tập hợp đó người ta
dùng khái niệm phân số. Như vậy, khái niệm phân số được đưa ra như là một
phần của một nhóm các đối tượng. Các đối tượng có thể giống nhau hoặc
không giống nhau.

24


Phân số

a
có mẫu số b chỉ số đối tượng của cả tập hợp, tử số a chỉ số đối
b

tượng được quan tâm trong tập hợp đó.
Mối quan hệ này cũng có thể được xây dựng như sau: số biểu thị một cặp số tự
nhiên (a;b), trong đó b chỉ số phần bằng nhau của một đơn vị và a chỉ số phần

bằng nhau lấy ra (nếu a = 1 sẽ xuất hiện phân số đơn vị

và bé hơn b thì xuất hiện phân số

dưới dạng

1
; nếu a lớn hơn 1
b.

a
), được gọi là phân số. Số đó được biểu thị
b

a
.
b

2.2.1.2. Phân số xuất hiện từ phép chia hai số tự nhiên
Trong tập hợp số tự nhiên, phép chia không phải lúc nào cũng thực hiện được.
Để phép chia luôn thực hiện được, cần dạng số mới - Đó là phân số. Phân số
biểu diễn thương đúng của các số tự nhiên (với số chia khác 0).
Cho hai số tự nhiên a và b khác 0 . Phép chia số tự nhiên a cho số tự nhiên b
được viết dưới dạng

a
a
(trong đó a là số bị chia, b là số chia),
được gọi là
b

b

phân số. Ta có thể biểu diễn như sau: a ¸ b =

a
b

Trong phép chia có dư a ¸ b
 a có thể lớn hơn b , thương tìm được là một số lớn hơn 1. Lúc đó phân
số

a
sẽ lớn hơn 1.
b

25