Đường thẳng trong không gian tọa độ ba chiều

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một bộ phận cấu thành nên Toán học. Hình học là một môn
học có tính hệ thống chặt chẽ, tính logic và tính trừu tượng hóa cao. Vì vậy
hình học là một môn học tương đối khó với học sinh.
Ngay từ khi các em đặt chân đến trường, từ các bậc học: Tiểu học,
Trung học cơ sở các em đã được làm quen và nhận biết về đường thẳng, các
khái niệm liên quan về đường thẳng … Đó là những kiến thức cơ bản giúp
các em có thể học tiếp chương trình toán học nói chung và hình học nói riêng
ở các cấp học tiếp theo. Và những kiến thức này có ứng dụng thiết thực trong
thưc tế cuộc sống.
Đến với cấp học Trung học phổ thông các em được tìm hiểu sâu hơn về
đường thẳng. Ở các lớp đầu cấp 10, 11 các em được học về đường thẳng trong
mặt phẳng, ở lớp 12 các em được tìm hiểu về một khía cạnh kiến thức mới về
đường thẳng: Đường thẳng trong không gian.Với mong muốn các em học
sinh có được cách nhìn mới về hình học và vấn đề giải quyết các dạng bài tập
liên quan đến đường thẳng trong không gian một cách thuận lợi nhất cùng với
lòng say mê của bản thân và được sự giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của thầy Bùi
Văn Bình em đã mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Đường thẳng trong không gian
tọa độ ba chiều” làm khóa luận tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu.
Qua các dạng toán, các ví dụ minh họa và hệ thống các bài tập vận
dụng sẽ giúp học sinh có được cách suy nghĩ mới mẻ về hình học và giúp cho
các em giải quyết các bài tập liên quan đến kiến thức về đường thẳng trong
không gian một cách dễ dàng và thuận lợi nhất .
3. Đối tượng nghiên cứu
Là đường thẳng trong không gian tọa độ ba chiều Oxyz.Và việc vận

dụng các kiến thức liên quan vào việc giải các bài tập hình học.
Nguyễn Thị Yên

1

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

4. Phạm vi nghiên cứu
Do khuôn khổ thời gian có hạn đề tài chỉ đề cập đến vấn đề: Đường
thẳng trong không gian và giải các bài tập có liên quan.
Với đối tượng là học sinh Trung học phổ thông, chuẩn bị thi Đại học,
Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu hệ thống những kiến thức về đường thẳng trong không gian:
Phương trình đường thẳng, vị trí tương đối của hai đường thẳng, vị trí tương
đối của đường thẳng với mặt phẳng, góc giữa hai đường thẳng, góc giữa
đường thẳng với mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng…
trong không gian và vận dụng kiến thức đường thẳng trong không gian để giải
các bài tập hình học có liên quan.
6. Cấu trúc khóa luận
Mở đầu
Nội dung
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản có liên quan
Chương 2: Một số bài tập cơ bản và nâng cao
Kết luận

Nguyễn Thị Yên

2

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CÓ LIÊN QUAN
1.1. CÁC KHÁI NIỆM
1.1.1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Định nghĩa: Hệ gồm 3 trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là
hệ trục tọa độ trong không gian.
Kí hiệu: Oxyz hoặc ( O, i , j , k ) với i , j , k là các vectơ đơn vị lần
lượt nằm trên 3 trục đó.
z

Điểm O được gọi là gốc tọa độ
Trục x’Ox được gọi là trục hoành

y’

x
’

Trục y’Oy được gọi là trục tung
i

Trục z’Oz được gọi là trục cao

y
z

x

Ta chú ý rằng:
2

2
i = j =k

2

’

=1 và i . j = j . k = k . i = 0

1.1.2. Tọa độ của một vectơ đối với hệ tọa độ
Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxyz và một vectơ

z

tùy ý. Vì bộ ba vectơ i , j , k không đồng phẳng, nên
có duy nhất bộ ba x, y, z sao cho:

z

v = x. i + y. j + z. k . Bộ ba (x, y, z) được gọi

v (x; y; z)

y
x

là tọa độ của vectơ v , kí hiệu là v (x, y, z). Số x
được gọi là hoành độ, số y được gọi là tung độ, số z

r

y

x

được gọi là cao độ của vectơ v .

Nguyễn Thị Yên

3

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Các tính chất:
Cho hệ tọa độ Oxyz, nếu có hai vectơ v1 ( x1 ; y1 ; z1 ) và v 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 )
thì:
i, v1 + v 2 = ( x1 + x2 ; y1 + y 2 ; z1 + z 2 )
ii, v1 - v2 =  x1  x 2 ; y1  y 2 ; z1  z 2 
iii,

k. v1  x1 ; y1 ; z1  = (k. x1 , k. y1 , k. z1 ) , k R

1.1.3. Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ
Định nghĩa: Cho hệ tọa độ Oxyz và một điểm M bất kì. Tọa độ của
vectơ OM cũng được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ đó. Như vậy,
nếu OM (x; y; z) nghĩa là:

z
M’’’

OM = x i + y j + z k

Thì bộ ba (x, y, z) được gọi là tọa độ của

z

điểm M, kí hiệu là M(x; y; z).

M (x; y; z)
r
M’’

y

y

Số x được gọi là hoành độ, số y được gọi là
x

tung độ, số z được gọi là cao độ của điểm M.

M’

Tính chất: Cho hệ tọa độ Oxyz, nếu có hai điểm

M1

x

M 1 M 2 =  x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 
1.2. Phương trình đường thẳng trong không gian
Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa: vectơ a là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d)
 a  0 và a // (d)

Nhận xét: a là vectơ chỉ phương của đường thẳng (d) thì mọi vectơ k . a đều
là vtcp của đường thẳng đó.
Bắt đầu từ đây ta sẽ dùng kí hiệu: vtcp (vectơ chỉ phương).

Nguyễn Thị Yên

4

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1.2.1. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Đường thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt
phẳng P1  và P2  nào đó nên phương trình tổng quát của (d) có dạng:
 A x  B1 y  C1 z  D1  0 (1)
(d):  1
, A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C 2
A
x

B
y

C
z

D

0
(
2
)
 2

2
2
2

Trong đó (1), (2) theo thứ tự là phương trình của mặt phẳng P1  và P2  . Khi
đó, một vtcp a của đường thẳng đó được xác định bởi:
 B
a =  1
 B2

C1
C2

;

C1

A1

C2

A2

;

A1
A2

B1 


B2 

1.2.2. Phương trình tham số của đường thẳng
Định lí: Trong không gian Oxyz, đường thẳng (d) đi qua điểm

M 0 ( x0 ; y0 ; z 0) và có vtcp aa1 ; a2 ; a3  có phương trình:
 x  x0  a1 t

 y  y0  a2 t , t R
z   t
z 0 a3


(d):

(1)

Qua M 0  x0 ; y0 ; z 0 
Vậy, ta được: (d): 
 (d):
Vtcp a a1 ; a2 ; a3 
2

 x  x0  a1t

 y  y0  a 2 t , t  R
z  z  a t
0
3


2

2

Trong phương trình (1) với điều kiện a1  a2  a3 > 0 được gọi là
phương trình tham số của đường thẳng.
1.2.3. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng (d) có phương trình tham số cho bởi (1) suy ra:
x  x0
y  y0
z  z0


a1
a2
a3

(2)
2

2

2

Phương trình (2) với điều kiện a1  a2  a3 > 0 được gọi là phương
trình chính tắc của đường thẳng.
Nguyễn Thị Yên

5

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Qua M 0  x0 ; y0 ; z 0 
x  x0
y  y0
z  z0
Vậy, ta được: (d): 


 (d):
a1
a2
a3
Vtcp a a1 ; a2 ; a3 

1.2.4. Các dạng toán thường gặp
1.2.4.1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Bài toán: Tìm một vtcp của đường thẳng (d) cho trước.
Phương pháp chung:
+ Nếu đường thẳng cho trước dưới dạng tham số:
 x  x0  a1t

d):  y  y0  a2 t , t  R
z  z  a t
0

3


Thì một vtcp là:
+ Nếu đường thẳng cho dưới dạng chính tắc:
(d):

x  x0 y  y 0 z  z 0


a1
a2
a3

Thì một vtcp là: aa1 ; a2 ; a3 
+ Nếu đường thẳng cho dưới dạng tổng quát:
 A x  B1 y  C1 z  D1  0 (1)
(d):  1
; A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C 2
A
x

B
y

C
z

D


0
(
2
)
 2
2
2
2

Thì một vtcp được xác định bởi:
 B
a =  1
 B2

C1 C1
,
C2 C2

A1

,

A1

A2 A2

B1 

B2 

Ngoài ra nếu biết tọa độ hai điểm khác nhau A,B  (d) thì một vtcp của
(d) là AB .
1.2.4.2. Chuyển dạng phương trình đường thẳng
- Chuyển phương trình tổng quát của đường thẳng về dạng tham số,
chính tắc.

Nguyễn Thị Yên

6

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Phương pháp chung:
Với (d) cho dưới dạng tổng quát:
 A x  B1 y  C1 z  D1  0 (1)
(d):  1
, A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C 2
 A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0 (2)

Để chuyển (d) về dạng tham số, chính tắc ta lựa chọn một trong hai
cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định vtcp của đường thẳng (d)
Gọi a là vtcp của đường thẳng (d), a được xác định như sau:
 B

a =  1
 B2

C1 C1
;
C2 C2

A1

;

A1

A2 A2

B1 

B2 

Bước 2: Tìm điểm M 0 ( x0 , y0 , z 0)  (d)
Qua M 0  x0 ; y0 ; z 0 
Bước 3: Vậy, ta được: (d): 
Vtcp a a1 ; a2 ; a3 

Từ đó ta viết được:
 Phương trình tham số của (d)
 Phương trình chính tắc của (d)
Cách 2: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm hai điểm A,B  (d)
Qua A

Bước 2: Vậy, ta được: (d): 
Vtcp AB

Từ đó ta có được:
 Phương trình tham số của (d)
 Phương trình chính tắc của (d)

Nguyễn Thị Yên

7

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

* Chú ý: với yêu cầu xác định phương trình tham số của đường thẳng
(d) chúng ta có thể thực hiện đơn giản hơn bằng cách đặt x = t (hoặc y = t
hoặc z = t) từ đó suy ra y và z theo t.
- Chuyển phương trình tham số của đường thẳng sang dạng tổng quát, chính
tắc.
Phương pháp chung:
 x  x0  a1t (1)

Với (d) cho dưới dạng tham số: (d):  y  y0  a2 t (2)
 z  z  a t (3)
0
3



, t R

Để chuyển phương trình của đường thẳng (d) từ dạng tham số sang dạng tổng
quát ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Rút t từ phương trình (1)
Bước 2: Thay giá trị của t vào (2) ta được (4)
Bước 3: Thay giá trị của t vào (3) ta được (5)
Bước 4: Hệ tạo bởi (4), (5) là phương trình tổng quát của đường thẳng
(d) có dạng:
a2 x  a2 x0  a1 y  a1 y0 ( 4)
(d): 
a3 y  a3 y0  a2 z  a2 z 0 (5)

Để chuyển phương trình đường thẳng (d) từ dạng tham số sang dạng chính tắc
bằng cách: Rút t từ hệ, ta sẽ nhận được phương trình chính tắc của đường
thẳng (d) cụ thể :
 x  x0
 a t
 1
 y  y0
t
(d): 
 a2
 z  z0
t

a
 3

Nguyễn Thị Yên

 (d):

x  x0 y  y 0 z  z 0


a1
a2
a3

8

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

- Chuyển phương trình chính tắc của đường thẳng sang dạng tổng quát,
tham số.
Phương pháp chung:
Với (d) cho dưới dạng chính tắc:
(d):

x  x0 y  y 0 z  z 0



a1
a2
a3

(1)

* Đơn giản phương trình (1) ta nhận được phương trình tổng quát của
đường thẳng (d), cụ thể:
a2 x  a2 x0  a1 y  a1 y 0
(d): 
a3 y  a3 y 0  a 2 z  a 2 z 0

Đó chính là phương trình tổng quát của đường thẳng (d).
* Bằng việc sử dụng tham số trung gian t ta nhận được phương trình
tham số của đường thẳng (d), cụ thể:

(d):

x  x0 y  y 0 z  z 0


a1
a2
a3

 x  x0
 a t
 1
 y  y0
t

 (d): 
 a2
 z  z0
t

a
 3

 x  x0  a1t

, t R
 (d):  y  y 0  a 2 t
z  z  a t
0
3

Đó chính là phương trình tham số của đường thẳng (d).

1.2.4.3. Lập phương trình đường thẳng
Phương pháp chung:
Để xác định phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của
đường thẳng (d) ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định một điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )  (d)
Nguyễn Thị Yên

9

K35A - Giáo dục Tiểu học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Bước 2: Xác định vtcp a ( a1 ; a2 ; a3 ) của (d)
Bước 3: Khi đó:
+ Phương trình tham số của đường thẳng (d) có dạng:
 x  x0  a1t

(d):  y  y0  a2 t
z  z  a t
0
3


, t R

+ Phương trình chính tắc của (d) có dạng:
(d):

x  x0 y  y 0 z  z 0


a1
a2
a3

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng (d)
* Để xác định phương trình tổng quát của đường thẳng (d) ta có thể lựa
chọn một trong ba cách sau:

Cách 1:
Coi (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Ta đi xác định
phương trình tổng quát của (P) và (Q).
Cách 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định phương trình tham số của (d).
Bước 2: Khử t giữa x, y, z của phương trình tham số suy ra phương
trình tổng quát.
Cách 3: Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định phương thình chính tắc của (d)
Bước 2: Từ phương trình chính tắc suy ra phương trình tổng quát.
* Chú ý: Một đường thẳng có vô số phương trình tham số, phương trình
chính tắc và phương trình tổng quát.
* Một số dạng bài toán thường gặp về lập phương trình đường
thẳng:
1: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và có vtcp a
Nguyễn Thị Yên

10

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai
đường thẳng d1  và d 2  .
3: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và song song với
đường thẳng (  ).

4: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt
phẳng (P).
5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường
thẳng d1  và d 2  cho trước.
6: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A, B.
7: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng

d  và d  chéo nhau cho trước.
1

2

8: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với
đường thẳng d1  và cắt đường thẳng d 2  cho trước.
9: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với
đường thẳng d1  và cắt đường thẳng d 2  cho trước.
Và một số dạng bài toán khác.
1.3.Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
1.3.1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng
Đến đây cho phép dùng kí hiệu: vtpt (vectơ pháp tuyến)
Cho đường thẳng (d) có một vtcp a và mặt phẳng (P) có một vtpt n
và cặp vtcp a1 , a2 .
Căn cứ vào số điểm chung của (d) và (P) ta có ba trường hợp sau đây:
Trường hợp 1: Đường thẳng (d) và (P) không có điểm chung, ta nói:
(d) // (P). Vậy (d) // (P) khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
i, Hệ phương trình tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng vô nghiệm.
ii, a vuông góc với n  a . n  0
Nguyễn Thị Yên

11

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

iii, a là một vtcp của (P).
*Chú ý: Khoảng cách từ mặt phẳng (P) đến đường thẳng (d) song song với nó
bằng khoảng cách từ điểm A  (d) đến mặt phẳng (P).
Trường hợp 2: Đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có hai điểm chung phân
biệt, ta nói (d)  (P) ( hoặc mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d). Vậy (d) 
(P) khi một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
i, Hệ phương trình tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng vô số
nghiệm.
ii, (P) đi qua hai điểm phân biệt A, B  (d).
iii, (P) đi qua điểm A  (d) và nhận a làm một vtcp.
Trường hợp 3: Đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có một điểm chung, ta nói:
(d)  (P) = { A}
Vậy (d)  (P) = { A}  Hệ phương trình tạo bởi (d) và (P) có duy
nhất một nghiệm.
Trường hợp đặc biệt: Đường thẳng (d) vuông góc với mp (P)  a // n
hoặc a  a1 và a  a2 .
1.3.2. Các dạng bài tập thường gặp
1.3.2.1. Xét vị trí tương đối của dường thẳng và mặt phẳng
Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) xét vị trí tương đối của chúng.
Phương pháp chung: dựa vào điều kiện của các trường hợp đã xét trên.
1.3.2.2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng.
Phương pháp chung: chúng ta lựa chọn phương pháp thực hiện tùy

thuộc vào vị trí tương đối của (d) và (P), cụ thể:
1. Nếu (d)  (P) thì hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là (d).
2. Nêú (d) vuông góc với (P) thì hình chiếu vuông góc của (d) lên (P)
chính là giao điểm của (d) và (P).

Nguyễn Thị Yên

12

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

3. Nếu (d) // (P) thì ta sẽ thực hiện theo cách giải sau:
Cách 1: Các bước thực hiện:
Bước 1: Lấy điểm A  (d), từ đó xác định điểm H là hình chiếu vuông
góc của A lên (P).
Bước 2: Phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là
đường thẳng (d’) được cho bởi:
Qua H

d  : 
'

'
( d ) // (d )

Cách 2: Các bước thực hiện:
Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d) và vuông góc với (P).
Bước 2: Khi đó hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là giao
tuyến của hai mặt phẳng(Q) và (P).
4. Nếu (d) cắt (P) thì có cách giải như sau:
Cách 1: Các bước thực hiện:
Bước 1: Xác định tọa độ điểm I của (d) và (P).
Bước 2: Lấy điểm A  (d), từ đó xác định tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A lên (P).
Bước 3: Phương trình hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là
đường thẳng d ' được cho bởi:
Qua A

d : 
'

Vtcp IH

Cách 2: Thực hiện như ở cách 2 ý 3.
*Trong cả hai trường hợp 3, 4 ta thường lựa chọn cách 2 để giải.
1.4. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
1.4.1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng (d) và d ' :
+ Đường thẳng (d) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z 0 ) và có vtcp là
Nguyễn Thị Yên

13

K35A - Giáo dục Tiểu học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp
a ( a1 ; a2 ; a3 )

+ Đường thẳng (d’) đi qua điểm M’( x0 ; y 0 ; z 0 ) và có vtcp
'

'

'

'

'

'

,
a ( a1 ; a 2 ; a3 )

Hai đường thẳng trong không gian có các trường hợp như sau:
1. Hai đường thẳng song song
2. Hai đường thẳng cắt nhau
3. Hai đường thẳng trùng nhau
4. Hai đường thẳng chéo nhau
Cụ thể:
Điều kiện để hai đường thẳng song song
Ta có:

d  // d 
'

a  k . a '
khi và chỉ khi: 
M  d '

Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình

t , t ' sau:
 x0  a1t  x'0  a1 't

'
'
 y0  a2t  y0  a2 t

'
'
 z 0  a3t  z 0  a3 t

(I) có đúng một nghiệm.

*Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm ( t 0 ; t 0' ) để tìm giao điểm M 0 của

d  và d ta có thể thay
'

'

t 0 vào phương trình tham số của (d) hoặc thay t 0 vào

phương trình tham số của d ' .
Điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau


d  và d  trùng nhau khi và chỉ khi a  k. a
'

'

M  d '

Nguyễn Thị Yên

14

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau
Ta biết hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng phương và
không cắt nhau, do vậy:
Hai đường thẳng chéo nhau khi và chỉ khi a và a ' không cùng phương
và hệ phương trình:

 x0  a1t  x'0  a1 't

'
'
 y 0  a2 t  y 0  a2 t vô nghiệm

'
'
 z 0  a3t  z 0  a3 t

Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi: a . a ' = 0
1.4.2.Các dạng bài tập thường gặp
1.4.2.1. Xác định tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.
Phương pháp chung: Để xác định giao điểm của ( d1 ) và ( d 2 ) ta chia
làm ba trường hợp:
Trường hợp 1: Cả hai phương trình đều có dạng tham số.
Bước 1: Viết lại phương trình của ( d1 ) theo ( x1 ; y1 ; z1 ) và tham số t1 và
phương trình của ( d 2 ) theo ( x2 ; y 2 ; z 2 ) và tham số t 2 .
Bước 2: Tìm t1 , t 2 bằng cách lập hệ hai phương trình ( d1 ) và ( d 2 ) theo
hai ẩn t1 ,t 2 .
Bước 3: Thay t1 ,t 2 vào phương trình của ( d1 ) và ( d 2 ) tương ứng. Nếu
x1  x2 ; y1  y 2 ; z1  z , thì ( x1 ; y1 ; z1 ) là tọa độ giao điểm.
2

Trường hợp 2: Một phương trình có dạng tham số, phương trình còn
lại có dạng tổng quát.

Nguyễn Thị Yên

15

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Bước 1: Thay ( x; y; z) ở dạng tham số của một đường thẳng vào
phương trình tổng quát của đường thẳng còn lại, ta được một hệ hai phương
trình theo t.
Bước 2: Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì hai đường thẳng đó cắt nhau.
Bước 3: Thay t vào phương trình tham số của đường thẳng ta được toạ
độ giao điểm.
Trường hợp 3: Cả hai phương trình đều có dạng tổng quát.
Bước 1: Lập hệ 3 phương trình với 3 ẩn x, y, z từ 4 phương trình của
hai đường thẳng.
Bước 2: Nếu hệ có nghiệm duy nhất ( x, y, z) thì thay chúng vào
phương trình còn lại, nếu ( x, y, z) nghiệm đúng phương trình này thì ( x, y, z)
là tọa độ giao điểm.
1.4.2.2. Viết phương trình mặt phẳng chứa 2 đường thẳng
Cho hai đường thẳng phân biệt ( d1 ) và ( d 2 ) đồng phẳng. Viết phương
trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ).
Phương pháp chung: Ta biết rằng hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) đồng
d  // d 2 
phẳng   1
( d 1 )  ( d 2 )  M

Vậy, để xác định (P) chứa hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) ta lựa chọn một

trong hai cách sau:
Cách 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chọn hai điểm A, B theo thứ tự thuộc ( d1 ), ( d 2 ).
Qua A
Bước 2: Tìm một vtcp a1 của (d1), khi đó: (P) : 
 Hai vtcp a1 và AB

Từ đó ta có được phương trình tham số của mặt phẳng (P)

Nguyễn Thị Yên

16

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

A

(d1)
(d2)
B

P

Đặc biệt: ( d1 )  ( d 2 ) = M( x M ; y M ). Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Xác định vtcp a2 ; a 2 của ( d1 ) và ( d 2 ).

qua A
Bước 2: Phương trình (P) được xác định bởi: (P) : 
 Hai vtcp a1 và AB

Từ đó ta có được phương trình tham số của mặt phẳng (P).

a1
P

(d1)

(d2)

a2

M

Cách 2: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chọn điểm A ( d1 ) và  ( d 2 ).
Bước 2: Xác định mặt phẳng (P) thuộc chùm tạo bởi trục (d2) và đi qua
điểm A.
*Chú ý: Nếu ( d1 ) và ( d 2 ) đồng phẳng ( thuộc mặt phẳng (P)) thì
phương trình hình chiếu song song của (d1) theo phương ( d 2 ) lên mặt phẳng
(Q) chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
1.4.2.3.Chứng minh 2 đường thẳng chéo nhau
Cho 2 đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ). Chứng minh rằng ( d1 ) và ( d 2 ) chéo nhau.
Phương pháp chung :
Ta biết rằng trong không gian hai đường thẳng chéo nhau là hai đường
thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Nguyễn Thị Yên

17

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Vậy để chứng minh hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) chéo nhau ta lựa chọn
một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng tích hỗn tạp.
Cách 2: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Chứng minh hệ phương trình tạo bởi hai đường thẳng đó vô
nghiệm.
Bước 2: Chứng minh hai vtcp của ( d1 ) và ( d 2 ) không cùng phương.
1.4.2.4.Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo
nhau.
Cho hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) chéo nhau. Viết phương trình đường
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
Phương pháp chung:
Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định vtcp a1 , a2 của ( d1 ) và ( d 2 )
Gọi a là vtcp chung của (d) ( (d) là đường vuông góc chung của ( d1 )
và ( d 2 ), suy ra:

a  a1
 a  a1 , a2


a  a2





Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng P1  chứa d  và d1  .
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng P2  chứa d  và d2  .
Phương trình (d) chính là giao tuyến của hai mặt phẳng P1 và P2  .
*chú ý: Nếu ( d1 ) và ( d 2 ) đều cho dưới dạng tham số,ta nên lựa chọn
phương pháp sau:

Nguyễn Thị Yên

18

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Bước 1: Gọi AB là đoạn vuông góc chung của ( d1  và d2 
( A  d1 , B  d 2  ). Khi đó tọa độ của A, B theo thứ tự thỏa mãn phương trình
tham số của ( d1 ) và ( d 2 ). Từ đó suy ra tọa độ AB .

 AB  d 1
Bước 2: Từ điều kiện 

, ta xác định được tọa độ điểm A, B.
 AB  d 2 
Bước 3: Khi đó (AB) chính là phương trình đường vuông góc chung
của ( d1 ) và ( d 2 ).
1.5. Góc giữa hai đường thẳng
Cho đường thẳng ( d1 ) có vtcp là a ( a1 ; a 2 ; a3 ) và đường thẳng có d 2 
vtcp là b ( b1 ; b2 ; b3 ).
Gọi  là góc tạo bởi hai đường thẳng ( d 1 ) và ( d 2 ). ( 0   


2

).

Ta có công thức:
a. b

cos  =

=
a .b

a1b1  a2 b2  a3b3
2

2

a1  a 2  a3

2

.

2

2

b1  b2  b3

2

(1)

Phương pháp chung: Xác định góc giữa hai đường thẳng.
Bước 1: Tìm vtcp a ( a1 ; a2 ; a3 ) và b ( b1 ; b2 ; b3 ) của đường thẳng ( d1 )
và ( d 2 ).
Bước 2: Áp dụng công thức (1).
*Chú ý: Từ (1) cho ta điều kiện cần và đủ để là d1   d 2  cos  = 0
hay a1b1  a 2 b2  a3b3 = 0.
1.6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Cho mặt phẳng (P) có vtpt n ( n1 ; n2 ; n3 ) và đường thẳng (d) có vtcp
a ( a1 ; a2 ; a3 ). Gọi  là góc tạo bởi mặt phẳng (P) và (d).
Nguyễn Thị Yên

19

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng (d) và đường thẳng chứa vtpt




n  0   ,    thì      sin   cos  , ta có:
2
2

a1n1  a2 n2  a3 n3

sin  =

(2)

2
1

a  a2 2  a32 . n12  n2 2  n32

Phương pháp chung: Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: 2
bước:
Bước 1: Tìm vtcp a ( a1 ; a2 ; a3 ) của đường thẳng (d) và vtpt
n ( n1 ; n2 ; n3 ) của mặt phẳng (P).

Bước 2: Áp dụng công thức (2).
*Chú ý: Từ (2) cho ta điều kiện để (d) // (P) ( hoặc (d)  (P)) là sin  =

0 khi và chỉ khi a1 n1  a2 n2  a3 n3  0
1.7. Khoảng cách
1.7.1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho điểm M và đường thẳng (d) có vtcp a ( a1 ; a 2 ; a3 ) và đi qua điểm
M 0 . Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) được cho bởi công

thức: d( M, (d)) =

( MM 0 , a )
a

1.7.2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Cho hai đường thẳng (d) và (d’):
+ Đường thẳng (d) đi qua điểm M( x0 ; y0 ; z 0 ) và có vtcp là
a ( a1 ; a2 ; a3 ).



+ Đường thẳng (d’) đi qua điểm M ' x0 ; y0 ; z 0



'

'

a ' a1 ; a 2 ; a3

'

'

'

'



và có vtcp



Nguyễn Thị Yên

20

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Ta có (d) và (d’) chéo nhau, khi đó khoảng cách giữa (d) và (d’) được
  
( a , a ' ) . MM '
cho bởi: d ( d  ,  d ' ) 
 
( a , a' )

1.7.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Cho đường thẳng (d) có vtcp a ( a1 ; a 2 ; a3 ) đi qua điểm M( x M ; y M ; z M )
và mặt phẳng (P) có phương trình:(P):




Ax + By + Cz + D = 0 ở đó n = (A; B; C)  a

Khi đó khoảng cách từ đường thẳng (d) tới mặt phẳng (P) chính là
khoảng cách từ điểm một thuộc đường thẳng (d) tới mặt phẳng (P). Hay chính
là khoảng cách từ điểm M  (d) tới mặt phẳng (P).
Ta có:
d ( (d), (P) ) = d ( M, (P) ) =

AxM  By M  Cz M  D
2
2
2
A  B C

*Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng khi biết (d) // (P) hoặc (d)
 (P).

Nguyễn Thị Yên

21

K35A - Giáo dục Tiểu học

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 2
MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
A. Một số bài tập cơ bản
2.1. Bài tập về phương trình đường thẳng
2.1.1. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho đường thẳng (d) có phương trình:
2 x  y  z  3  0
(d): 
x  y  z  1  0

Hãy viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng đó.
Giải
Cách 1:
Gọi a là vtcp củ đường thẳng (d),ta có:
 1 1 1 2 2 1 
  2;  3; 1
a  
;
;

1
1
1
1

1
1


M 0 (0; 2;  1)  d 

Vậy phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
 x  2t

(d):  y  2  3t , t  R
z   1  t


Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là:
(d):

x y  2 z 1


2
3
1

Cách 2:
Chọn 2 điểm A(0; 2;-1) và B(2; -1; 0)  d 

Nguyễn Thị Yên

22

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Khi đó vectơ AB chính là vtcp của đường thẳng (d), ta có: AB  (2;  3; 1)
Qua A(0; 2;  1)
Vậy (d): 
Vtcp AB( 2;  3; 1)

nên

 x  2t

Phương trình tham số của đường thẳng (d) là: (d):  y  2  3t , t  R
z   1  t


Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là: (d):

x y  2 z 1


2
3
1

Ví dụ 2:

Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M 0 1; 1; 1 nhận a (1; 2; 3) làm
vtcp.
Giải
Ta có:
Qua M 0 1; 1; 1
(d): 
Vtcp a 1; 2; 3

Phương trình vectơ. Điểm M  d    t  R , M 0 M  t. a
Phương tình tham số có dạng:
x  1  t
d  :  y  1  2t
 z  1  3t


,tR

Phương trình chính tắc có dạng:

d  : x  1  y  1  z  1
1

2

3

Ví dụ 3:
Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát đường thẳng (d) đi qua
điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 4 = 0.

Nguyễn Thị Yên

23

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Giải
Mặt phẳng (P) có vtpt n 2;  3; 5 và đường thẳng (d) vuông góc với mp
(P) nên (d) nhận vtpt của mặt phẳng (P) làm vtcp.
Đường thẳng (d) thỏa mãn:
Qua A2; 0;  3

Vtcp n 2;  3; 5

d  :

+ Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
 x  2  2t
d  :  y   3t
 z   3  5t


, tR

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là: d  :

x2
y
z3


2
3
5

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là:
3x  2 y  6  0

d  : 

5 y  3 z  9  0

Ví dụ 4:
Trong không gian Oxyz lập phương trình tham số, chính tắc, tổng quát của
đường thẳng (d) đi qua điểm A(2; 0; -3) và song song với đường thẳng   có
phương trình:

  :

2 x  y  z  3  0

x  y  z  1  0

Giải
Gọi a là vtcp của đường thẳng   , ta có:

1 1 1 2 2 1 
  2;  3; 1
a  
;
;

1 1 1 1 1 1 

Nguyễn Thị Yên

24

K35A - Giáo dục Tiểu học


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Qua A2; 0;  3
Vậy đường thẳng (d) thỏa mãn: (d): 
Vtcp a 2;  3; 1

+ Phương trình tham số của đường thẳng (d) là:
 x  2  2t
d  :  y  3t
 z  3  t


,tR

+ Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là:

d  : x  2 
2

y
z 3

3
1

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) là:
3x  2 y  6  0

d  : 

 y  3z  9  0

Ví dụ 5:
Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường thẳng (d) đi
qua điểm A(2; 0; -3) và vuông góc với 2 đường thẳng:
x  y 1 0
4 y  z  1  0

d  : 
1

3x  y  4 z  1  0
2 x  3 y  z  7  0

d  : 
2

Giải
Gọi a , a1 , a2 lần lượt là vtpt của đường thẳng d , d1 , d 2  , ta có:

a1  


a2  


1 0 0 1 1 1 
  1;  1; 4 
;
;
4 1 1 0 0 4 
1 4 4 3 3 1 
   13; 5; 11
;
;
3 1 1 2 2 3 

a  a1
d   d1 
nên 
Ta có: 
a  a2
d   d 2 

Suy ra:

Nguyễn Thị Yên

25

K35A - Giáo dục Tiểu học