Phương pháp giả thiết tạm giải một số bài toán ở tiểu học

LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo Khoa Giáo dục Tiểu
học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong
suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã hướng dẫn, tận tình chỉ bảo và
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.

Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh
khỏi những hạn chế và thiếu sót nhất định. Em rất mong nhận được sự đóng
góp, chỉ bảo của các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của
em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thùy Hương

1


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa luận
tốt nghiệp “Phương pháp giả thiết tạm giải một số bài toán ở Tiểu học”
được hoàn thành không trùng với bất kỳ khóa luận nào khác.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thùy Hương

2


MỤC LỤC
NỘI DUNG
MỞ ĐẦU

TRANG
5

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Phương pháp giải toán có lời văn ở Tiểu học

7
7

1.1.1.Bài toán có lời văn
1.1.2.Các bước giải một bài toán có lời văn
1.1.3 Một số phương pháp giải toán có lời văn
1.2. Phương pháp giả thiết tạm ở Tiểu học
1.2.1.Thế nào là giả thiết tạm?
1.2.2.Phương pháp giả thiết tạm
1.2.3.Các bước giải một bài toán bằng phương pháp giả thiết
tạm
1.3. Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm trong giải toán ở
Tiểu học

7
7
8

9
9
9
11
11

1.3.1. Đặc điểm tư duy của học sinh tiểu học Tiểu học
1.3.2. Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở Tiểu học

11
12

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ KHI GIẢI

15

CÁC BÀI TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM
2.1. Một số bài toán về chuyển động
2.2. Một số bài toán trong hình học
2.3. Các bài toán về công việc chung

15
15
16

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG
PHÁP GIẢ THIẾT TẠM
3.1. Các bài toán hai đại lượng
3.1.1. Bài toán về chuyển động đều
3.1.2. Bài toán hình học

3.1.3. Bài toán tính tuổi

3

17
17
17
20
24


3.1.4. Bài toán về công việc chung
3.1.5. Bài toán phân số, tỉ số phần trăm
3.1.6. Bài toán cổ, toán vui
3.2. Bài toán ba đại lượng

25
28
30
32

3.3. Bài toán bốn đại lượng

35

PHỤ LỤC: MỘT SỐ BÀI TOÁN THAM KHẢO

40

KẾT LUẬN

47

TÀI LIỆU THAM KHẢO

48

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài. Bậc Tiểu học là một bậc học quan trọng, nó được coi là
một bậc học nền tảng trong hệ thống giáo dục quốc dân, với mục tiêu nhằm
giúp cho học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn,
lâu dài về trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ, kỹ năng cơ bản để các em tiếp tục học
Trung học cơ sở. Để thực hiện được mục tiêu đó của nền giáo dục, các trường
phổ thông nói chung, bậc Tiểu học nói riêng đã có sự đổi mới mạnh mẽ: Nội
dung ngày càng hiện đại, tính hệ thống ngày càng cao, vấn đề đưa ra ngày
càng sâu rộng còn phương pháp dạy học ngày càng phong phú, đa dạng theo
hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh.
Cho đến nay, năm học 2012 – 2013, các khối lớp của bậc Tiểu học đã sử dụng
chương trình sách giáo khoa 2000 ở tất cả các môn học để phù hợp với việc
đổi mới giáo dục hiện nay, trong đó có môn Toán. Các kiến thức của môn
Toán có nhiều ứng dụng trong đời sống và rất cần thiết cho người lao động.
Môn Toán đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển trí tuệ,
tư duy lôgic, sáng tạo, bồi dưỡng trí thông minh cho học sinh. Đồng thời, nó
góp phần hình thành các phẩm chất cần thiết của người lao động: cần cù, kiên
trì, có ý chí vượt khó.
Ở Tiểu học, mức độ khó của bài toán được nâng cao dần cho phù hợp với
trình độ của các em, giúp cho các em làm quen được với nhiều dạng bài khác

nhau từ dễ đến khó. Có rất nhiều phương pháp giải toán và có những bài toán
được giải bằng nhiều phương pháp khác nhau, nhưng cũng có bài phải dùng
phương pháp đặc trưng thì mới giải được.
Phương pháp giả thiết tạm là một trong những phương pháp điển hình, một
thuật toán, một công cụ có hiệu quả để giải những bài toán có lời văn ở lớp
4,5. Khi giải bằng phương pháp này đòi hỏi người học phải có trí tưởng tượng
phong phú và phải biết vận dụng một cách linh hoạt.
Cùng với việc nâng cao chất lượng giáo dục thì việc bồi dưỡng học sinh giỏi
ở Tiểu học rất quan trọng. Để trình độ tư duy, óc sáng tạo, trí lực học tập, trí
thông minh của học sinh đặc biệt là học sinh lớp 4, 5 phát triển các thầy cô
5


giáo phải tìm cho mình các phương pháp bồi dưỡng học sinh hợp lý, trong đó
không thể không kể đến phương pháp giả thiết tạm. Tuy nhiên, phương pháp
này hiện nay chưa được quan tâm, tìm hiểu và vận dụng một cách linh hoạt
trong dạy học. Theo tôi, phương pháp này giúp học sinh phát huy cao độ trí
tưởng tượng và tư duy lôgic. Hơn nữa, là một giáo viên trong tương lai, tôi
thấy việc nghiên cứu các phương pháp giải toán, đặc biệt là phương pháp giả
thiết tạm và những bài toán có thể giải bằng phương pháp giả thiết tạm rất có
ý nghĩa, vì nó giúp tôi hiểu rõ phương pháp này có thể giúp cho học sinh của
mình vận dụng linh hoạt trong việc giải toán. Do vậy, tôi quyết định chọn đề
tài “Phương pháp giả thiết tạm giải một số bài toán ở Tiểu học”.
2. Mục đích nghiên cứu. Nghiên cứu đề tài này để tìm ra phương pháp dạy
học có hiệu quả và những dạng bài toán áp dụng phương pháp giả thiết tạm.
Từ đó, vận dụng linh hoạt trong việc giải toán có lời văn, góp phần nâng cao
chất lượng dạy và học môn Toán.
3. Đối tượng nghiên cứu. Một số bài toán giải bằng phương pháp giả thiết
tạm ở Tiểu học.
4. Phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu thông qua những bài toán có lời văn ở

Tiểu học.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Tìm hiểu phương pháp giả thiết tạm trong giải Toán ở Tiểu học
- Nghiên cứu các dạng bài có thể áp dụng phương pháp giả thiết tạm.
6. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp tổng hợp
- Phương pháp phân tích
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

6


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Phương pháp giải toán có lời văn ở Tiểu học
1.1.1. Bài toán có lời văn. Nội dung chương trình môn Toán ở Tiểu học bao
gồm 4 mạch kiến thức chính là: số học, đại lượng và đo đại lượng cơ bản, một
số yếu tố hình học và giải toán có lời văn. Ngoài ra, còn một số yếu tố thống
kê miêu tả được dạy lồng ghép trong nội dung số học. Các kiến thức cơ bản
này giúp cho học sinh hình thành kĩ năng học toán và dần làm quen với kiến
thức toán học cao hơn. Trong đó, giải toán có lời văn là một phần rất quan
trọng của môn Toán Tiểu học. Nó góp phần vào việc củng cố, luyện tập các
kiến thức về số học, đại lượng, hình học và nâng cao kĩ năng giải toán, cũng
như năng lực tư duy ở học sinh.
Trong giải toán có lời văn chúng ta luôn quan tâm đến một phần rất cơ bản đó
là bài toán có lời văn. Thực chất, bài toán có lời văn là một tình huống gợi
vấn đề thường gặp trong môi trường học tập hoặc trong cuộc sống xung
quanh của học sinh, các tình huống này được diễn đạt bằng ngôn ngữ. Do đó,
các bài toán dạng này gọi là bài toán có lời văn.
Các bài toán có lời văn đơn giản có thể áp dụng ngay công thức, quy tắc là có

thể giải ra. Nhưng cũng có những bài toán phức tạp hơn không thể chỉ áp
dụng ngay công thức hay quy tắc để tính mà phải có các bước suy luận từ cái
đã biết để suy ra cái cần tìm.
Để giải một bài toán có lời văn thông thường thì theo Pôlya trong cuốn “Giải
toán ở Tiểu học như thế nào?” có nêu 4 bước giải cơ bản sau:
- Tìm hiểu kĩ đề bài
- Lập kế hoạch giải
- Thực hiện kế hoạch giải
- Kiểm tra, nghiên cứu sâu lời giải
1.1.2. Các bước giải một bài toán có lời văn
Bước 1: Tìm hiểu kĩ đề bài. Thực chất đây là bước học sinh tìm hiểu kĩ đề
bài, hiểu rõ đề bài, xác định đâu là yếu tố phải tìm. Khi đọc bài toán phải hiểu
thật kĩ một số từ, thuật ngữ quan trọng chỉ rõ tình huống toán học được diễn
7


đạt theo ngôn ngữ thông thường ví dụ “bay đi”, “thưởng hai bút chì”,…. Nếu
bài toán có thuật ngữ nào mà học sinh chưa hiểu rõ, giáo viên cần hướng dẫn
để học sinh hiểu được nội dung và ý nghĩa của từ đó ở trong bài toán đang
làm. Sau đó, học sinh “thuật lại” vắn tắt bài toán mà không cần phải đọc
nguyên văn bài toán đó.
Bước 2: Lập kế hoạch giải toán. Bước này gắn liền với việc phân tích các dữ
kiện và yếu tố phải tìm của bài toán nhằm xác lập mối quan hệ giữa chúng để
phát hiện ra các phép tính cần thực hiện. Hoạt động này thường diễn ra như
sau:
- Minh họa bài toán bằng tóm tắt sơ đồ đoạn thẳng, dùng hình vẽ hay
dùng biểu đồ.
- Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trình tự giải quyết thực hiện
các phép tính số học, có hai hình thức: đi từ câu hỏi của bài toán đến các số
liệu hay đi từ các số liệu đến các câu hỏi của bài toán.

Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải toán. Dựa vào kết quả phân tích bài toán ở
bước lập kế hoạch giải toán, thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số của bài
toán có kèm theo lời giải.
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải. Về nguyên tắc, bước này không
phải là bước bắt buộc khi trình bày lời giải bài toán và học giải bài toán, bước
này có mục đích:
- Kiểm tra, rà soát lại công việc giải toán
- Tìm các cách giải khác và so sánh các cách giải
- Khai thác bài toán: tạo ra bài toán ngược với bài toán đã cho rồi giải
bài toán ngược đó.
Tuy nhiên đây chỉ là các bước giải một bài toán cơ bản. Trong thực tế, khi học
toán học sinh gặp rất nhiều bài toán khó dễ khác nhau không thể tuần tự 4
bước trên mà giải ngay được. Khi gặp các bài toán như vậy cần phải có một
phương pháp giải toán cụ thể để giải. Và qua tìm hiểu nghiên cứu, các chuyên
gia toán học đã thấy rằng trong toán Tiểu học có rất nhiều phương pháp giải
toán có lời văn khác nhau.
1.1.3. Một số phương pháp giải toán có lời văn
8


- Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
- Phương pháp rút về đơn vị - Phương pháp tỉ số
- Phương pháp tỉ lệ
- Phương pháp thử chọn
- Phương pháp khử
- Phương pháp giả thiết tạm
- Phương pháp thay thế
- Phương pháp ứng dụng nguyên lý Dirichlet.
- Phương pháp diện tích
- Phương pháp tính ngược từ cuối

- Phương pháp dùng chữ thay số
- Phương pháp lập bảng
- Phương pháp biểu đồ Ven
- Phương pháp suy luận đơn giản
- Phương pháp lựa chọn tình huống
Mỗi phương pháp trên đều có những đặc điểm riêng, phạm vi áp dụng và ưu
điểm, nhược điểm riêng. Cho nên trong quá trình dạy học, giáo viên cần giới
thiệu đầy đủ cho học sinh về các phương pháp này để các em có thể vận dụng
vào giải toán một cách linh hoạt, hợp lí và có hiệu quả hơn. Đồng thời, những
phương pháp này được coi là những công cụ để giải toán rất hữu hiệu, đặc
biệt là phương pháp giả thiết tạm.
1.2 . Phương pháp giả thiết tạm ở Tiểu học
1.2.1. Thế nào là giả thiết tạm. Theo Từ điển Tiếng Việt [10, 482] giải nghĩa
“giả thiết” là điều cho trước trong một định lí hay của một bài toán, từ đó
phân tích, suy luận để tìm ra kết luận của định lí hay để giải bài toán. Nó khác
với “giả thuyết” là điều nêu ra trong khoa học để giải thích một hiện tượng tự
nhiên nào đó và tạm được chấp nhận, chưa được kiểm nghiệm, chứng minh.
Hay theo cuốn Lôgic học đại cương của Vương Tất Đạt, Nxb ĐHQGHN,
định nghĩa “giả thuyết” là những giả định có căn cứ khoa học về nguyên nhân
hay các mối liên hệ có tính quy luật của hiện tượng hay dữ kiện nào đó của tự
nhiên, xã hội và tư duy.
9


Còn chữ “tạm” trong chữ “giả thiết tạm” có nghĩa là tạm thời, là nhất thời. Từ
đó, ta hiểu “giả thiết tạm” là điều không có trong dữ kiện của bài toán, được
tạm thời đưa ra để làm điểm xuất phát cho lập luận nhằm tìm tòi lời giải của
bài toán. Giả thiết tạm là một phương pháp để giải toán ở Tiểu học khi học
sinh chưa được học giải toán bằng cách lập phương trình.
Bên cạnh đó, một số nhà nghiên cứu, họ cho rằng “giả thiết tạm trong một bài

toán” là quá trình giải bài toán ở Tiểu học nhiều khi ta phải dùng đến mẹo để
làm. Cái mẹo này chính là sự suy luận, biến đổi bài toán từ khó đến dễ, từ
phức tạp trở thành đơn giản. “Giả thiết tạm” chính là việc người làm toán giả
thiết ra tình huống trong bài toán nhiều khi không đúng yêu cầu đề ra, không
đúng với thực tế cuộc sống. Ta chỉ giả thiết tạm nếu nó xảy ra để giải quyết
bài toán.
1.2.2. Phương pháp giả thiết tạm. Phương pháp giả thiết tạm là phương
pháp mà ta tưởng tượng ra các tình huống vô lí với thực tế, các tình huống
không có thật trong cuộc sống nhằm đưa bài toán về dạng cơ bản đã biết cách
giải. Phương pháp này thường được dùng với bài toán có 2, 3, 4 đối tượng
(người, vật,…) có những đặc điểm biểu thị bằng 2, 3, 4 số lượng chênh lệch
nhau. Chẳng hạn, hai công cụ lao động năng suất khác nhau, ba giá tiền khác
nhau, hai chuyển động có hai vận tốc khác nhau,….
Phương pháp chung khi giải bài toán này: ta thử đặt ra trường hợp cụ thể nào
đó không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng thậm
chí tình huống vô lý trong cuộc sống. Tất nhiên, tình huống ấy chỉ là tạm thời
nhưng phải tìm ra giả thiết ấy nhằm đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết
cách giải hay dựa trên cơ sở nào đó để tiến hành lập luận mà suy ra cái phải
tìm. Chính vì vậy, phương pháp này đòi hỏi người học phải có óc sáng tạo, trí
tưởng tượng phong phú, linh hoạt.
Những bài toán giải bằng phương pháp giả thiết tạm đôi khi có thể giải được
bằng phương pháp khác. Tuy nhiên, có bài toán giải bằng phương pháp giả
thiết tạm sẽ ngắn gọn hơn, dễ hiểu hơn (bài toán cổ, bài toán hình học,…)
Ngoài ra trong quá trình học số học, tôi thấy phương trình Đi-ô-phăng bậc
nhất hai ẩn (a x + b y = c với a, b, c là hệ số; x, y là ẩn) có ứng dụng trong giải
10


toán giả thiết tạm. Điều này cho thấy khi giải toán bằng phương pháp giả thiết
tạm có thể giúp các em học sinh rèn luyện kĩ năng và làm quen với kiến thức

mới (phương trình bậc nhất hai ẩn ở THCS).
1.2.3. Các bước giải một bài toán bằng phương pháp giả thiết tạm. Để
dùng phương pháp giải một bài toán thông thường thực hiện theo các bước
sau
Bước 1: Thay một giả thiết bằng một giả thiết tạm vượt ra ngoài dữ kiện nào
đó của bài toán nhưng vẫn tôn trọng các điều kiện của bài.
Bước 2: Từ dữ kiện thay đổi đó dẫn đến các dữ kiện liên quan đến nó cũng
thay đổi theo điều kiện của đề bài.
Bước 3: Phân tích sự thay đổi đó, rồi đối chiếu với các điều kiện của bài toán
phát hiện ra nguyên nhân thay đổi và tìm phương pháp điều chỉnh thích hợp
để đáp ứng toàn các điều kiện của bài.
1.3. Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm trong giải toán ở Tiểu học
1.3.1. Đặc điểm tư duy của học sinh Tiểu học
(i ) Giai đoạn thứ nhất bậc Tiểu học. Tư duy cụ thể vẫn tiếp tục phát triển
nhưng ở trình độ cao hơn. Do yêu cầu học tập, nội dung bài học là tri thức
khái quát học sinh muốn tiếp thu được loại tri thức này phải dựa vào vật thực,
vật tượng trưng hay các hình ảnh trực quan.
Tư duy trừu tượng bắt đầu được hình thành. Tuy nhiên, loại tư duy này còn
non yếu cần có tổ chức điều khiển của giáo viên. Bởi vì nội dung bài học,
khái niệm là những tri thức khái quát, muốn tiếp thu được loại tri thức này
phải có tư duy trừu tượng. Tuy nhiên, tư duy trừu tượng ở giai đoạn này phải
dựa vào tư duy cụ thể.
Tư duy còn bị cái tổng thể chi phối, tư duy phân tích bắt đầu được hình thành
nhưng còn non yếu. Do đó, học sinh dễ nhầm lẫn khi giải bài tập.
Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau từng phần và thực hiện với từng bộ
phận. Học sinh chưa hình dung ra được cùng một lúc các tổ hợp có thể có, do
đó yếu tố mò mẫm vẫn tồn tại.
Về đặc điểm khái quát hóa: học sinh căn cứ vào dấu hiệu bề ngoài để khái
quát hóa thành khái niệm.
11

Đặc điểm phán đoán và suy luận:
+ Học sinh khó chấp nhận những giả thiết không thật, tư duy còn gắn
liền với thực tế hay kinh nghiệm.
+ Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả dễ dàng
hơn từ kết quả đến nguyên nhân.
(ii ) Giai đoạn thứ hai bậc Tiểu học

Tư duy cụ thể vẫn tiếp tục phát triển.
Tư duy trừu tượng đang dần chiếm ưu thế, nghĩa là học sinh sử dụng các khái
niệm được thay thế bằng ngôn ngữ, ký hiệu để tiếp thu khái niệm mới.
Các thao tác tư duy đã liên kết với nhau thành những cấu trúc tương đối ổn
định và trọn vẹn.
Đặc điểm khái quát hóa: học sinh biết căn cứ vào dấu hiệu bản chất của đối
tượng để khái quát thành khái niệm.
Đặc điểm phán đoán và suy luận: ở giai đoạn này học sinh không chỉ xác lập
mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả mà còn xác lập từ kết quả ra nhiều
nguyên nhân.
1.3.2. Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở Tiểu học. Môn Toán ở
Tiểu học là một môn học thống nhất không chia thành các phân môn. Gồm 4
mạch kiến thức: số học, đại lượng và đo đại lượng, yếu tố hình học và giải
toán có lời văn. Trong đó giải toán có lời văn là một trong những nội dung
quan trọng chiếm tỷ lệ khá nhiều trong môn Toán ở Tiểu học. Nó góp phần
củng cố, luyện tập các kiến thức như số học, đại lượng và hình học. Giải toán
có lời văn được xây dựng xuyên suốt từ lớp 1 đến lớp 5 nhưng được giới thiệu
ở các mức độ khác nhau. Thông qua việc giải toán có lời văn, giáo viên giới
thiệu học sinh các phương pháp giải toán.
Phương pháp giả thiết tạm là một trong những phương pháp giải toán hữu
hiệu, một công cụ, một thuật toán để giải các bài toán điển hình, bài toán nâng

cao. Để biết rõ việc sử dụng phương pháp này ở các lớp Tiểu học ta đi tìm
hiểu cụ thể từng lớp.
(i ) Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở lớp 1, 2, 3

12


Lớp 1. Đây là lớp đầu Tiểu học cũng là lớp đầu của giai đoạn thứ nhất của
các lớp 1, 2, 3. Các em mới được làm quen với các kiến thức cơ bản, nền tảng
của môn Toán ở Tiểu học. Nội dung dạy học giải Toán có lời văn được đưa
vào trong Toán 1 và nó chia thành hai giai đoạn:
+ Giai đoạn 1: giai đoạn “chuẩn bị” học giải toán có lời văn. Học sinh
được làm quen với các “tình” huống qua tranh vẽ. Từ đó nêu thành “bài toán
có lời văn” (nêu miệng đề bài toán) bước đầu có hướng giải bài toán (ở mức
độ nêu phép tính giải thích hợp).
+ Giai đoạn 2: “Chính thức” học bài toán có lời văn. Học sinh được biết
thế nào là giải toán có lời văn, biết cách giải và trình bày bài giải toán có lời
văn (ở mức độ tương đối hoàn chỉnh gồm câu lời giải, phép tính và đáp số).
Hay nói cách khác lớp 1 tập trung học sinh chủ yếu làm quen với bài toán có
lời văn, biết giải các bài toán đơn giản một phép tính bằng phép tính cộng,
trừ. Học sinh chưa gặp các bài toán phức tạp để phải sử dụng đến các phương
pháp giải mà chỉ hướng dẫn học sinh qua bốn bước giải thông thường.
Lớp 2. Học sinh tiếp tục được học giải toán có lời văn, tiếp tục ôn tập các bài
toán đã học ở lớp 1 và có những bài toán phức tạp hơn. Nội dung phong phú
hơn, thêm phần bài toán có nội dung hình học. Tuy nhiên do đặc điểm tư duy
trừu tượng của học sinh lớp 2 chưa phát triển, tư duy cụ thể vẫn chiếm ưu thế
nên việc giới thiệu phương pháp giả thiết tạm là chưa được tiến hành. Bởi học
sinh sẽ khó hình dung ra các giả thiết không thực.
Lớp 3. Đây là giai đoạn cuối của các lớp 1, 2, 3. Giai đoạn thực hiện việc ôn
tập, hệ thống hóa các kiến thức của lớp 1, 2, 3 và chuẩn bị kiến thức cho lớp

4, 5. Các em được làm quen với các bài toán phức tạp hơn, nội dung phong
phú hơn, đề cập nhiều đến thực tế xung quanh.
Ở giai đoạn này, tư duy trừu tượng của học sinh bắt đầu phát triển, học sinh
đã biết hình dung ra những giả thiết không thực.
Tuy nhiên, hiện nay dạy học đang theo hướng giảm tải cho học sinh. Do vậy,
chương trình học cũng không quá khó đối với học sinh và phù hợp với lứa
tuổi học sinh.

13


Lớp 3, học sinh mới được làm quen với các dạng bài tìm thành phần chưa
biết. Khi giải học sinh giả sử x là số cần tìm và dựa vào bài toán để xác lập
mối quan hệ của x với các thành phần khác. Từ đó, tìm ra lời giải của bài
toán.
Ví dụ. Tìm số có hai chữ số. Biết rằng khi nhân số đó với 2 , rồi lại cộng thêm
1 thì được một số lớn nhất có hai chữ số.
Bài giải. Giả sử x (x > 0) là số phải tìm. Theo bài ra ta có:

x ´ 2 + 1 = 99
x ´ 2 = 98
x = 49
Vậy số phải tìm là 49 .
Như vậy, ở lớp 3 học sinh chỉ làm quen với các bài giả sử ở mức độ đơn giản
làm nền tảng cho việc giải toán lớp 4, 5, chứ chưa đề cập đến bài toán giả
thiết tạm.
(ii ) Việc sử dụng phương pháp giả thiết tạm ở lớp 4,5. Đây là giai đoạn thứ

hai. Nếu giai đoạn các lớp 1, 2, 3 là giai đoạn học tập cơ bản và đơn giản, thì
giai đoạn này là giai đoạn học tập sâu các kiến thức, kỹ năng bắt đầu trừu

tượng hơn. Tư duy trừu tượng cũng bắt đầu phát triển. Trình độ nhận thức của
học sinh cũng bắt đầu được nâng cao.
Tuy nhiên, phương pháp giả thiết tạm là một phương pháp khó, đòi hỏi người
học phải có óc sáng tạo, trí tưởng tượng phong phú. Do vậy, trong thực tế
giảng dạy, việc áp dụng phương pháp này vào giải toán có lời văn ở Tiểu học
là rất hạn chế, chủ yếu giới thiệu cho học sinh khá giỏi.

14


CHƯƠNG 2
MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP GIẢ THIẾT TẠM
Phương pháp giả thiết tạm được sử dụng trong rất nhiều dạng bài toán khác
nhau. Cũng như khi giải bằng các phương pháp khác học sinh cần chuẩn bị
những kiến thức có liên quan tới dạng bài tập đó. Dưới đây là những kiến
thức học sinh cần chuẩn bị cho từng dạng bài tập.
2.1. Một số bài toán về chuyển động
2.1.1. Mối liên quan giữa quãng đường, vận tốc và thời gian của một
chuyển động
s
s
,t =
t
v
2.1.2. Chuyển động ngược chiều. Hai chuyển động ngược chiều với vận tốc
s = v ´ t, v =

lần lượt là v1 và v2 , xuất phát cùng một lúc và cách nhau một quãng đường s
thì thời gian để chúng gặp nhau là:

t gn =

s
( v1 + v 2 )

2.1.3. Chuyển động cùng chiều. Hai chuyển động cùng chiều từ hai vị trí
cách nhau một quãng đường s , với vận tốc lần lượt là v1 và v2 (v1 > v2 ) ,
xuất phát cùng một lúc và thì thời gian để chúng đuổi kịp nhau là:
t gn =

s
( v1 - v 2 )

2.2. Một số bài toán trong hình học. Một số công thức tính chu vi, diện tích
của các hình cơ bản
Công thức tính chu vi hình vuông cạnh a là:

P = a´ 4
Công thức tính chu vi hình chữ nhật cạnh a, b (cùng đơn vị đo) là:
P = (a + b) ´ 2

15


Công thức tính chu vi hình tròn bán kính r là:
P = r ´ 2 ´ 3,14
Công thức tính diện tích hình vuông cạnh a là:

S = a´ a
Công thức tính diện tích hình chữ nhật cạnh a, b (cùng đơn vị đo) là:

S = a´ b
Công thức tính diện tích hình tam giác cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng h
(cùng đơn vị đo) là:
S = a´ h :2
Công thức tính diện tích hình bình hành có cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng
h (cùng đơn vị đo) là:

S = a´ h
Công thức tính diện tích hình thoi có hai đường chéo là m và n là:
S = m´ n :2
Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn bằng a , đáy nhỏ bằng b và
chiều cao bằng h (cùng đơn vị đo) là:
S = (a + b) ´ h : 2

Công thức tính diện tích hình tròn bán kính r là:
S = r ´ r ´ 3,14
2.3. Các bài toán về công việc chung. Khi giải các bài toán dạng này, ta
thường phải quy ước một đại lượng là đơn vị. Trong các bài tập về việc làm
đồng thời, thường có vấn đề “làm chung, làm riêng”. Trong các bài tập đó, giá
trị phải tìm có thể không phụ thuộc vào một đại lượng nào đó.
2.3.1. Áp dụng trong bài toán về phân số, tỉ số phần trăm. Kí hiệu phân số
a
; trong đó: a là tử số, b là mẫu số ( a, b là số tự nhiên, b khác 0 ). Để giải
b
các bài toán dạng này ta cần lưu ý cho học sinh các vấn đề sau

- Thành thạo các phép toán về cộng, trừ, nhân, chia phân số.
- Cách tìm tỉ số phần trăm của hai số
+ Tìm thương của hai số đó rồi viết thương dưới dạng số thập
phân.

16


+ Nhân thương đó với 100 (chuyển dấu phảy sang bên phải hai
chữ số) rồi viết thêm kí hiệu % vào bên phải tích vừa tìm được.
- Cộng hai tỉ số phần trăm: muốn tính tổng của hai tỉ số phần trăm, ta
tính tổng các số đó rồi viết thêm kí hiệu % vào bên phải tổng vừa tìm được.
- Trừ hai tỉ số phần trăm: muốn tính hiệu của hai tỉ số phần trăm, ta tính
hiệu các số đó rồi viết thêm kí hiệu % vào bên phải hiệu vừa tìm được.
2.3.2. Đối với bài toán về tính tuổi. Một điều cần ghi nhớ trong những bài
toán tính tuổi đó là hiệu số tuổi của hai người không đổi theo thời gian.

17


CHƯƠNG 3
MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP
GIẢ THIẾT TẠM
3.1. Các bài toán hai đại lượng
3.1.1. Bài toán về chuyển động đều
Bài toán 1. Hai người đi bộ cùng một lúc từ A tới B . Quãng đường A B dài
40 km, vận tốc người thứ nhất là 10 km/giờ. Vận tốc người thứ hai là 14
km/giờ. Hỏi sau bao lâu quãng đường còn lại của người thứ nhất gấp 3 lần
quãng đường còn lại tới B của người thứ hai.
Bài giải. Giả sử có người thứ ba khởi hành cùng một lúc từ một địa điểm A ¢
( A ¢ cách B gấp 3 lần A B ) với vận tốc gấp 3 lần vận tốc người thứ hai. Như
vậy, trong suốt quá trình chuyển động khoảng cách tới B của người thứ ba
luôn gấp 3 lần khoảng cách tới B của người thứ hai. Do đó để tìm đáp số bài
toán ta chỉ việc tìm thời gian để người thứ ba đuổi kịp người thứ nhất.
Khoảng cách của người thứ ba và người thứ nhất là:

40 ´ 2 = 80 (km).
Vận tốc của người thứ ba là:
14 ´ 3 = 42 (km/giờ).
Hiệu vận tốc của người thứ nhất và người thứ ba là:
42 - 10 = 32 (km/giờ).
Thời gian họ đuổi kịp nhau là:

80 : 32 = 2, 5 (giờ).
Vậy sau 2, 5 giờ thì khoảng cách tới B của người thứ nhất gấp 3 lần
khoảng cách tới B của người thứ hai.
Đáp số: 2, 5 giờ
Bài toán 2. Lúc 8 giờ 45 phút một đơn vị hành quân từ doanh trại đến điểm
hẹn dài 24 km với vận tốc bằng 4 km/giờ. Hôm sau lúc 10 giờ 15 phút, đơn
vị đó theo hướng cũ từ điểm hẹn về doanh trại với vận tốc là 5 km/ giờ. Cả đi
lẫn về đều qua một trạm gác vào cùng một thời điểm trong ngày. Tính thời
điểm đó.

18


Bài giải. Giả sử có hai đơn vị bộ đội cùng hành quân trên đường đi ngược
chiều nhau cách nhau 24 km. Thời gian khởi hành của 2 đơn vị chênh lệch
nhau là:
10 giờ 15 phút – 8 giờ 45 phút = 1 giờ 30 phút.
(Đổi 1 giờ 30 phút = 1, 5 giờ).
Lúc 10 giờ 30 phút đơn vị thứ nhất đi được một quãng đường dài:

4 ´ 1, 5 = 6 (km).
Lúc đó hai đơn vị cách nhau là:
24 - 6 = 18 (km).

Tổng vận tốc của hai đơn vị đi là:

4 + 5 = 9 (km).
Thời gian hai đơn vị gặp nhau là:
18 : 9 = 2 (giờ)
Tức là vào lúc 10 giờ 15 phút + 2 giờ = 12 giờ 15 phút.
Như vậy cả đi lẫn về đơn vị bộ đội lúc ban đầu đều qua điểm B vào lúc 12
giờ 15 phút.
Đáp số: 12 giờ 15 phút
Bài toán 3. Hòa được bố đèo đi bằng xe máy đến thị xã để thi HSG với vận
tốc là 40 km/giờ. Một giờ rưỡi sau, anh của Hòa đi xe đạp đến thị xã với vận
tốc 16 km/giờ. Anh Hòa đến thị xã sau 3 giờ. Hỏi Hòa đi từ nhà tới thị xã
mất bao nhiêu thời gian?
Bài giải. Giả sử anh Hòa đi trước Hòa 3 giờ thì lúc đó cả Hòa và anh Hòa
cùng đến thị xã vào một thời điểm. Do đó, thời gian mà anh Hòa đi trước Hòa
là:

3 - 1, 5 = 1, 5 (giờ)
Quãng đường mà anh Hòa đi được trong 1, 5 giờ là:

16 ´ 1, 5 = 24 (km)
Giả sử, bố Hòa đi sau anh Hòa 3 giờ, nghĩa là anh Hòa đi được 3 giờ thì Hòa
mới bắt đầu đi. Vận tốc chênh lệch giữa xe máy và xe đạp là:
40 - 16 = 24 (km/giờ)
Thời gian hai xe gặp nhau là:
19


24 : 24 = 1 (giờ)
Vậy Hòa đi từ nhà đến thị xã mất 1 giờ.

Đáp số: 1 giờ
3.1.2. Bài toán hình học
Bài toán 1. Một vườn hoa hình chữ nhật dài 60 m , rộng 30 m ; người ta chia
làm bốn luống hoa bằng nhau hình chữ nhật. Xung quanh các luống hoa đều
có đường đi rộng 3 m . Tính diện tích các đường đi trong vườn hoa?
Bài giải.

60 m

3m ´ 3

Hình a

Hình b

Giả sử các luống hoa xếp đặt như hình a. Ta tưởng tượng các luống hoa đều
được di dời đến một góc vườn hoa và ghép sát vào nhau như hình b. Vậy, bốn
luống hoa có thể ghép lại thành hình chữ nhật có chiều rộng là:
30 - 3 ´ 3 = 21 (m )
Chiều dài là:

60 - 3 ´ 3 = 51 (m )
Vậy diện tích cả 4 luống hoa là:

51 ´ 21 = 1071 (m 2 )
Diện tích cả vườn hoa là:

60 ´ 30 = 1800 (m 2 )

20

Diện tích lối đi là:
1800 - 1071 = 729 (m 2 )

60 m

3m ´ 5

3mx2

Hình c

Hình d

Nếu các luống hoa được xếp đặt như hình c thì sau khi tưởng tượng dời chúng
vào các góc vườn như hình d thì chiều rộng của cả bốn luống hoa sẽ là:

30 - 3 ´ 2 = 24 (m )
Chiều dài của bốn luống hoa là:

60 - 3 ´ 5 = 45 (m )
Diện tích của bốn luống hoa là:
1800 - 1080 = 720 (m 2 )

Diện tích lối đi là:

1800 - 1080 = 720 (m 2 )
Vậy, nếu xếp như hình a thì đáp số là 729 m 2 ; nếu xếp như hình c thì đáp số
là 720 m 2.

Bài toán 2. Một vườn hoa hình chữ nhật, ở chính giữa là một đài phun nước
có nền là hình vuông, có các cạnh song song với các cạnh hình chữ nhật và
cách cạnh dài của hình chữ nhật là 26, 5 m , cách cạnh ngắn của hình chữ nhật
là 21, 5 m . Diện tích còn lại của vườn hoa là 2759 m 2.
a) Tính chu vi của vườn hoa?
21


b) Tính diện tích của vườn hoa?
Bài giải.

21, 5 m

2
26,5 m
3

1

Giả sử đài phun nước được xây ở góc của vườn hoa, khi đó phần đất còn lại
của vườn hoa được chia làm 3 hình chữ nhật ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ).
Hình chữ nhật (1) có chiều dài là:
26, 5 ´ 2 = 53 (m )
Chiều rộng là:

21, 5 ´ 2 = 43 (m )
Diện tích hình ( 1 ) là:

53 ´ 43 = 2279 (m 2 )
Diện tích hình ( 2 ) và ( 3 ) là:

2759 - 2279 = 480 (m 2 )

Giả sử ta ghép hình ( 2 ), ( 3 ) theo chiều rộng thì được một hình chữ nhật có
chiều rộng là cạnh của đài phun nước và chiều dài là:
43 + 53 = 96 (m )
Vậy cạnh đài phun nước là:
480 : 96 = 5 (m )
Chiều dài vườn hoa là:
53 + 5 = 58 (m )
Chiều rộng vườn hoa là:
43 + 5 = 48 (m )
Chu vi vườn hoa là:

(58 + 48) ´ 2 = 212 (m )
22


Diện tích vườn hoa là:
58 ´ 48 = 2784 (m 2 )

Đáp số: a) 212 m
b) 2784 m 2
Bài toán 3. Trong trang trại nuôi cá sấu Đồng Tâm có một hồ nước hình
vuông, chính giữa hồ là một đảo hình vuông cho cá sấu bò lên phơi nắng.
Phần mặt nước còn lại rộng 2400 m 2 . Tổng chu vi mặt nước và chu vi đảo là
240 m .Tính cạnh của hồ nước và cạnh của đảo?

Hình 1

Hình 2

Bài giải. Giả sử ta chuyển “đảo cá sấu” vào góc hồ như hình 2 . Khi đó, phần
còn lại của hồ nước bao gồm hai hình thang vuông bằng nhau.
Diện tích của một hình thang vuông là:

2400 : 2 = 1200 (m 2 )
Tổng hai đáy của hình thang này chính là tổng của cạnh “đảo” và cạnh của hồ
nước. Tức là cạnh hình vuông lớn có được là:
240 : 4 = 60 (m )
Chiều cao của mỗi hình thang là:
1200 ´ 2 : 60 = 40 (m )
Chiều cao này chính là hiệu của cạnh hồ nước và cạnh của đảo. Do đó, cạnh
của hồ nước là:
(60 + 40) : 2 = 50 (m )

23


Cạnh đảo cá sấu là:
50 - 40 = 10 (m )
Đáp số: Cạnh của hồ nước: 50 m
Cạnh của đảo: 10 m
3.1.3. Bài toán tính tuổi
Bài toán 1. Tuổi ông hơn tuổi cháu là 66 tuổi. Biết rằng, tuổi ông gồm bao
nhiêu năm thì tuổi cháu gồm bấy nhiêu tháng. Hãy tính tuổi ông và tuổi cháu?
Bài giải. Giả sử ông 12 tuổi (tức 12 năm) thì tuổi cháu là 12 tháng (tức 1
tuổi).
Lúc đó, ông hơn cháu là:
12 - 1 = 11 (tuổi)
Nhưng thực tế, ông hơn cháu 66 năm, tức tuổi ông gấp 6 lần tuổi cháu

( 66 : 11 = 6 ). Do vậy, thực tế tuổi ông là:
12 ´ 6 = 72 (tuổi)
Tuổi cháu là:
1 ´ 6 = 6 (tuổi)
Đáp số: Ông: 72 tuổi
Cháu: 6 tuổi
Thử lại: Ông 72 tuổi
Cháu 6 tuổi. Tức 12 ´ 6 = 72 tháng
Ông hơn cháu: 72 - 6 = 66 tuổi
Vậy tất cả đều phù hợp
đáp số đúng.
Bài toán 2. Hiện nay mẹ 30 tuổi, con gái 6 tuổi, con trai 3 tuổi. Hỏi sau đây
bao nhiêu năm thì tuổi mẹ gấp đôi tổng số tuổi hai con?
Bài giải. Giả sử người cha trong gia đình cũng 30 tuổi. Thế thì hiệu số tuổi
của cả cha lẫn mẹ và tuổi của hai con là:
(30 + 30) - 9 = 51 (tuổi)

Cứ sau một năm thì tuổi của cả cha lẫn mẹ tăng 2 tuổi và hai con tăng 2 tuổi
nên hiệu số không đổi. Đến khi tuổi mẹ gấp đôi tuổi cả hai con thì tuổi cả cha
và mẹ gấp 4 lần tuổi của hai con. Ta có sơ đồ sau:
24


Tuổi cha và mẹ:
Tuổi cả hai con:
51 tuổi
Tuổi của hai con lúc đó là:
51 : 3 = 17 (tuổi)
Số năm sau sẽ là:

(17 - 9) : 2 = 4 (năm)
Đáp số: 4 năm
Bài toán 3 ([4] trang 105 , bài tập 4) . Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con.
Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi con lúc đó. Tính tuổi cha hiện nay?
Bài giải. Giả sử tuổi cha trước đây 6 năm cũng vẫn gấp 4 lần tuổi con lúc
đó, như vậy trước đây 6 năm tuổi cha phải bớt đi là: 6  4  24 (tuổi). Nhưng
6 năm trước đây tuổi cha chỉ bớt 6 tuổi nên hiệu hai số đó là:

24  6  18 (tuổi)
Vì 13  4  9 , nên 9 lần tuổi con trước đây 6 năm biểu thị cho 18 tuổi. Do
đó, tuổi con trước đây 6 năm là:
18 : 9  2 (tuổi)
Vậy hiện nay tuổi con là:
2  6  8 (tuổi)
Hiện nay, tuổi cha là:
8 ´ 4 = 32 (tuổi)
Đáp số: Cha 32 tuổi
3.1.4. Bài toán về công việc chung
Bài toán 1( [4] trang 153 , bài tập 10 ). Kiên và Hiền làm cùng một công việc
có thể hoàn thành trong 10 ngày. Sau 7 ngày cùng làm thì Kiên nghỉ việc, còn
Hiền phải làm phần còn lại trong 9 ngày nữa. Hãy tính xem mỗi người làm
riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Bài giải. Coi toàn bộ công việc là 10 phần bằng nhau, Kiên và Hiền làm
được 7 phần thì còn lại: 10 - 7 = 3 (phần) là 3 phần Hiền phải làm tiếp
trong 9 ngày nữa.
Vậy một phần làm trong:
9 : 3 = 3 (ngày)
25