Phương pháp xác suất để giải một số bài toán khác nhau

▼ô❝ ❧ô❝
▲ê✐ ♠ë ➤➬✉ ✸
❈❤➢➡♥❣ ✶ ❑✐Õ♥ t❤ø❝ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✈Ò ➤å t❤Þ ✺
✶✳✶ ❈➳❝ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺
✶✳✷ ❈➳❝ ➜➢ê♥❣✱ ❱ß♥❣ ✈➭ ❈➞② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷
✶✳✸ ❈➳❝ ❱ß♥❣ ❍❛♠✐❧t♦♥ ✈➭ ❈❤✉ tr×♥❤ ❊✉❧❡r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
❈❤➢➡♥❣ ✷ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❈➡ ❜➯♥ ✷✷
✷✳✶ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❳➳❝ s✉✃t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✷ ▲ý t❤✉②Õt ➜å t❤Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹
✷✳✸ ❚æ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼
✷✳✹ ▲ý t❤✉②Õt ❙è ❚æ ❤î♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵
✷✳✺ ❈➳❝ ❝➷♣ rê✐ ♥❤❛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵
❈❤➢➡♥❣ ✸ ❙ù t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ñ❛ ❦ú ✈ä♥❣ ✸✷
✸✳✶ ❈➡ së ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷
✸✳✷ ❈➳❝ ➤å t❤Þ t➳❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸
✸✳✸ ❍❛✐ ❦Õt q✉➯ ♥❤❛♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺
✸✳✹ ❱❡❝t➡ ❝➞♥ ❜➺♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✻
✸✳✺ ➜❒♥ ♥❤✃♣ ♥❤➳② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✽
❈❤➢➡♥❣ ✹ ❇æ ➤Ò ➜Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✹✵
✹✳✶ ❇æ ➤Ò ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵
✹✳✷ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ❇ ✈➭ ❝➳❝ t❐♣ ➤❛ s➽❝ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè t❤ù❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸
✶
✹✳✸ ❈❐♥ ❞➢í✐ ❝❤♦ ❝➳❝ sè ❘❛♠s❡② ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✹
✹✳✹ ▼ét ❦Õt q✉➯ ❤×♥❤ ❤ä❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✻
✹✳✺ ❙è ❛r❜♦r✐❝✐t② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝ñ❛ ➤å t❤Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼
✹✳✻ ❇➢í❝ ❝❤✉②Ó♥ ▲❛t✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷
✹✳✼ ❑❤Ý❛ ❝➵♥❤ ❣✐➯✐ t❤✉❐t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹
❈❤➢➡♥❣ ✺ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➜Þ♥❤ ❧ý ❲❡✐❡rstr❛ss t❤❡♦ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❳➳❝ s✉✃t ✺✽
✺✳✶ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ①➳❝ s✉✃t ❝➡ së ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✽
✺✳✷ ➜Þ♥❤ ❧ý ①✃♣ ①Ø ❲❡✐❡rstr❛ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶
✺✳✸ ▼ét ➤➳♥❤ ❣✐➳ ✈Ò tè❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❇❡r♥st❡✐♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹

❑Õt ❧✉❐♥ ✻✽
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✻✾
✷
ờ ở
P st t trể trở t ột tr ữ
ụ ợ ù ữ ệ rộ r ể ứ ụ tổ ợ ột tr
ữ ý í tr sự t trể trò q trọ ủ sự
tr ý tết ọ tí ĩ ự ộ
ự ủ ề t tổ ợ
ự t ộ q ữ ờ r ọ tí ột
tt tr tì tò ề P st tr ổ ợ ột số
ề ớ ợ trì tr t ệ ệ ì ồ sự
ứ ũ ệ ứ
ụ tr ó t ột số ý tở ề tt ó r ú
t sẽ ủ ế tì ể ề t
P st ó tể ợ t s ứ
sự tồ t ủ ữ trú tổ ợ ớ ữ tí t ó
ú t ự ột st ợ ý trú ó ỉ r
r ữ tí t ố tồ t ớ st P
ợ ở ồ ở P rs ờ ó ó rt ề sự t trể
ủ ó tr q ờ ợ ý ọ ó P
rs ữ ó ó ủ ỉ số ết q s
s tr ủ ề ò ở ề t ự tú ị ề ò ỏ
ề t ết ứ tr ĩ ự
ờ tể ết ột qể s ề
st q ề ết q ữ st ú t
ệt tt ú ề ủ ú t ề
ú t ì ố t ữ ý tở
r ữ ết q tốt t ó tể ế ệ qết q ò ỏ ề
ĩ tt ữ ết q tr ét s ệ ề ề

ết q tệ ú t ù ữ q ớ tệ s
f g ú t ết f = O(g) ế f cg ọ trị ủ ớ ủ
ế ủ ở c ột số ú t ết f = (g) ế
g = O(f) ết f = (g) ế f = O(g) f = (g) ế tỷ số f/g

tớ ế ủ tớ ù t ết f = o(g) ố
ù f g í ệ f = (1 + o(1))g ĩ f/g tớ 1 ế
tớ ù
ồ t trì ữ ế tứ
sở ề ồ tị ú t ù st ể ột số
t q ế ồ tị s ữ t ụ tể
trì ờ ột số t rõ
st ụ ớ t ù ế ỳ ọ
ủ ế ố trì ờ ột ớ t
ù ổ ề ị ú t t ợ ề ết q rt tú ị
ố ù trì ụ ĩ tt st ể ứ ị ý
rstrss
ệ ủ t ọ ể t ệ ủ ế tế
tr qể s [1], [2] trì t tế ệt ù t
ố t ò ế tr q trì tự ệ
tr ỏ ữ tế sót ợ sự ó
ó ý ế ủ t ứ ữ q t ế

ố ù t tỏ ò ết t s s tớ
ễ ế ề sự ớ ỉ ú ỡ t tì t
ề ệ t t ũ t
ệ rờ ọ ọ ự ọ ố
ộ ủ ệ t ộ
ủ trờ ệ rờ P
ú ỡ t ề ệ t ợ tr sốt tờ ọ t q trì

t
ộ t




ế tứ ị ề ồ tị
ị ĩ
ột ồ tị G ột ó tứ tự t ợ rờ (V, E) s E
t ủ t ồ ó tứ tự ủ V rừ ó ợ
tờ t ú t ỉ ét ữ ồ tị ữ ó V
E ữ V t ỉ t E t ế G
ột ồ tị tì V = V (G) t ỉ E = E(G) t ột
{x, y} ợ ó ố ỉ x, y í ệ ở xy xy yx
ể tị ù ột ỉ x y ọ ỉ ố ủ
ế xy E(G) tì x y ỉ ề ớ
ỉ x y tộ ớ xy ề ế ú ó ú
ột ỉ ố
ú t tờ ĩ ồ tị ột ó tứ tự ột t
ỉ ột số ỉ ợ ố ớ ở
ú t ó r G

= (V

, E

) ồ tị ủ G ế V

V
E

E r trờ ợ t ết G

G ế ọ ủ G ố
ỉ ủ V

ề ứ tr G

tì t ó G

ồ tị s ủ G
ết G

= G[V

] ột ồ tị ủ G ứ ọ ỉ ủ G ọ
ồ tị t ủ G ột tử ủ G
ú t ũ tờ t ữ ồ tị ớ từ ữ ồ tị ũ
ó t ỉ ế W V (G) tì G W =
G[V \ W ] ồ tị ủ ợ ó W tt
tộ ớ ỉ ủ ó tự ế E

E(G) tì
G E

= (V (G), E(G) \ E

) ế W = {w} E

= {xy} tì

í ệ ết G w G xy tự ế x y
ỉ ề ủ G tì G + xy từ G ố x y

ế x ột ỉ ủ ồ tị tì ú t ết x G t
x V (G) ố tứ tự ủ G số ỉ ủ G í ệ ớ |G| í ệ
ũ ù số tử ủ ột t ợ |X| ể tị số
tử ủ t X |G| = |V (G)| ỡ ủ G số ủ G ó ợ
í ệ ở e(G) ú t ết G
n
ột ồ tị tù ý ó tứ tự n
tự G(n, m) í ệ ột ồ tị tù ý ó tứ tự n ỡ m
t rờ U W ủ t ỉ ủ ột ồ tị ú t ết
E(U, W ) t ủ U W ó t ố ỗ ỉ ủ
U ớ ột ỉ ủ W ũ e(U, W ) = |E(U, W )| số
ủ U W ế ú t ố ồ tị ủ ú t
G tì t t E
G
(U, W ) e
G
(U, W )
ồ tị ế ó ột ữ t ỉ ủ ú
t tí tộ G = (V, E) ọ ớ G

= (V

, E

)
ế ó ột s : V V

s ế xy ột ủ G tì
(x)(y) ột ủ G

õ r ồ tị tì ó ù tứ
tự ỡ tờ ú t ệt ữ ồ tị trừ
ú t ét ữ ồ tị ó t ỉ ợ í ụ
ồ tị từ ột ồ tị q ớ ế G H ồ tị
tì ú t ết G

=
H G = H
ỡ ủ ột ồ tị tứ tự n ít t 0 ề t

n
2

õ r ớ ỗ
m 0 m

n
2

ó ột ồ tị G(n, m) ột ồ tị ó tứ tự n ớ ỡ

n
2

ợ ọ nồ tị ủ í ệ ở K
n
ột nồ tị rỗ E

n
ó
tứ tự n r K
n
ọ ỉ ề ề tr ớ E
n
ó ỉ ề ồ tị K
1
= E
1
ọ t tờ
ì E
n
ố ớ í ệ t ủ ồ tị ú t tờ ù
í ệ K
n
t rỗ ớ tứ tự n ú ý r ó ù ủ ồ tị
ủ ổ qt ớ ồ tị G = (V, E) ù ủ G ồ tị G =
(V, V
(2)
E) ỉ ề tr G ế ỉ ế ó
ề tr G
ỉ ề ủ x G ủ x ợ ý ệ ở (x)
ú t ó (x) ở ủ x (x) {x} ó
ủ x ũ x y ế x ỉ ề ủ y y (x), x
(y), x y, y x t ỗ ột tr ú ể tị xy ột

ủ x d(x) = |(x)| ế ú t ố r ồ
tị G tì ú t ết
G

(x) d
G
(x) q ớ t tự ù
ột ụ tộ ồ tị G ế x H = G[W ] tì

H
(x) = {y H : xy E(H)} =
G
(x) W.
ỏ t ủ ồ tị G ợ í ệ ở (G) ớ t ợ í ệ
ở (G) ột ỉ 0 ợ ọ ỉ ế (G) = (G) = k
ó ọ ỉ ủ G ó k tì G ợ ó kí q í q
k ột ồ tị í q ế ó kí q ớ k ó ột ồ tị
3í q ợ ó ế ột tử ủ G ọ ỉ ủ
ó ó r tì t ọ ó ột r tử ủ G 1 tử ột
ồ tị t ủ G ọ ỉ ủ ó ó 1
ế V (G) = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} tì {d(x
i
)}
n
i=1
ủ G ờ
ú t ế ỉ t ợ t ệ
t ệ í ụ (G) = d(x

1
) . . . d(x
n
) = (G)
ỗ ó ỉ ố tổ ủ í số
n

1
d(x
i
) = 2e(G).
ệt tổ ủ
n

1
d(x
i
) 0 (mod 2).
ét ố ợ ọ ổ ề r t ó ể tị r tổ số
r t (2) t ể r tổ số ỉ
ú t t từ (1) r (G) 2e(G)/n (G)
2e(G)/n ở x í ệ số ớ t ớ x
x = x í ệ số ỏ t ỏ x
ột ờ ột ồ tị P ó
V (P ) = {x
0
, x
1
, . . . , x
l

}, E(P ) = {x
0
x
1
, x
1
x
2
, . . . , x
l1
x
l
}.
ờ P tờ ợ í ệ ở x
0
x
1
. . . x
l
ỉ ọ ỉ
ố ủ P l ọ ộ ủ P ú t ó r P ột ờ từ x
0
tớ

x
l
ột ờ x
0
x
l

ĩ P ũ ột ờ từ x
l
ế x
0

ờ x
l
x
0
ể r P ợ ét từ x
0
ú t
ọ x
0
ỉ x
l
ỉ ố ủ P ột ờ ớ ỉ x ọ
ột xờ
t ữ ộ sẽ ợ ù tr ệ ớ ỉ ờ
ủ ột ồ tị ột t ủ ỉ ọ ộ ế ó
tử ủ ó ề ũ W V (G) ồ ỉ ộ
ế G(W ) ột ồ tị rỗ ột t ờ ộ ế
ờ tù ý ỗ ỉ tộ ờ ể ố ủ
P
1
, P
2
, . . . , P
k
ờ x y ộ ế V (P

i
) V (P
j
) = {x, y}
ớ i = j ờ P
i
ũ ợ ó tự rờ ó ệ
q ế ờ ủ ột ồ tị ột ộ W ủ ột ồ tị ột
ỉ x
0
, e
1
, x
1
, e
2
, . . . , e
l
, x
l
ở e
i
= x
i1
x
i
, 0 < i l
tt ữ tr W ột ộ x
0
x

l
ợ í ệ ở x
0
x
1
. . . x
l

ộ ủ W l W ợ ọ ột ệt ế ọ ủ ề
ệt ú ý r ột ờ ột ộ ớ ỉ ệt ột ệt
ỉ ố ủ ó trù ột ệt ó ợ ọ ột trì
õ ột trì ột ệt ó ệt ỉ ố
ớ í ụ t ớ ột ỉ t r trì ớ
s ế ột ộ W = x
0
x
1
. . . x
l
ớ l 3, x
0
= x
l
x
i

0 < i < l ệt x
0
tì W ợ ọ ột ò ể
ò ợ í ệ x

1
x
2
. . . x
l
ú ý r í ệ ớ ột
ờ ở ỗ x
l
x
1
ũ ột ủ ò ột ò ó ỉ t
ũ ớ x
1
x
2
. . . x
l
x
l
x
1
. . . x
l1
x
2
x
3
. . . x
1
ù

í ệ ột ò
ú t tờ ù P
l
ể í ệ ột ờ C
l
ể í ệ ột
ò ú t ọ C
3
ột t C
4
ột tứ C
5
ột ũ
C
l
ợ ọ ột lò ột ò ế ộ ủ ó

ẽ ít r rố ế ù P
l
C
l
ữ ờ ò tổ qt ò
ữ ờ ò ụ tể t ù P
1
, P
2
, . . . , C
1
, C
2

, . . .
t t ù ỉ số ớ ợ rộ r ú t ũ
ọ ỉ số ớ ọ r ữ q ớ sẽ ế ể


rớ tế tụ ị ĩ ú t r ết q ố ớ
ò t ở
ị ý ỉ ủ ột ồ tị ó tể t ò
ế ỉ ế ọ ỉ ó
ứ ề ệ rõ r ế ột ồ tị ợ ủ
ò ó ỉ tì ột ỉ ứ tr k ò
ó 2k ò ỗ ỉ ó 0
sử r ỗ ỉ ủ ồ tị ề ó e(G) > 0 tế
ú t ó tể tì ợ ột ò tr G x
0
x
1
. . . x
l
ột ờ
ó ộ ớ t l tr G x
0
x
1
e(G) ú t ó d(x
0
) 2
tế tì ó ột y x
1
t ữ ú t

ó y = x
i
ớ x
i
ó 2 i l ế tì yx
0
x
1
. . . x
l
sẽ
ột ờ ó ộ l + 1 ừ ó ú t tì ợ ột ò x
0
x
1
. . . x
i

ì t ột ò ọ C
1
ệ ú t tủ tụ
tế tế ữ ể tết ề t G
1
= G tế C
1
ột ò
tr G
1
ị G
2

= G
1
E(C
1
) ỗ ỉ tộ G
2
ó
E(G
2
) = G
2
ứ ột ò C
2
ế tụ t
ú t tì ợ ò ó C
1
, C
2
, . . . , C
s
tỏ
E(G) =
s
i=1
E(C
i
)
ể ứ ết q tứ ột ị ý ẹ ủ t từ ú
t sẽ ù ét t tứ
ị ý ỗ ồ tị tứ tự n ớ ỡ ớ n

2
/4 ứ ột t
ứ sử ứ r G ột ồ tị tứ tự n
ứ ột t ế tì (x) (y) = ớ ỗ xy E(G)

d(x) + d(y) n.
ộ t tứ tt e(G) xy ủ G ú t ợ

xG
d(x)
2
ne(G).

(1) t tứ
(2e(G))
2
= (

xG
d(x))
2
n(

xG
d(x)
2
).
t (3)
(2e(G))
2

n
2
e(G),
ứ tỏ r e(G) n
2
/4.
ủ ết q t ễ tốt t ó tể ợ ị
ý ủ t ợ ở rộ ớ ở r ị ý ủ r
ể t ủ ý tết ồ tị ự trị
ỉ x, y ủ ú d(x, y) ộ t ủ
ờ x y ế ó ờ x y tì d(x, y) =
ột ồ tị ọ t ế ọ ỉ ệt {x, y} ề
ó ột ờ từ x ế y ú ý r ột ồ tị t ủ ít t
ỉ tể ứ ột ỉ ột ồ tị t ớ t tứ
ó ột ồ tị t ứ ó tự sự ột t tố
ủ ồ tị ột ỉ t ột ỉ sự ó ỏ ó t số t
tố ủ ồ tị tự ột ột sự ó ỏ ó t số
t tố ủ ồ tị ột ột ế sự ó ỏ ó t
tí t ủ ồ tị ột ồ tị ứ ò ột rừ
ột ồ tị ò ột ột rừ t ố q ệ ữ
rừ ớt ợ ế t t r ột rừ ột t ồ
rờ ó ột rừ ột ồ tị ỗ t tố ủ ó
ột ột ồ tị G ột ồ tị ớ ớ ỉ V
1
V
2
ế
V (G) = V
1
V

2
, V
1
V
2
= ọ ố ột ỉ ủ V
1
ớ ột
ỉ ủ V
2
ũ ó r G ó (V
1
, V
2
) tự t ó G
r ớ ớ ỉ V
1
, V
2
, . . . , V
r
r (V
1
, V
2
, . . . , V
r
)
ế V (G) = V
1

V
2
. . .V
r
V
i
V
j
= 1 i < j r ó
ố ỉ ủ ù ột ớ í ệ K(n
1
, . . . , n
r
)ù ột
ồ tị r ủ ó ứ n
i
ỉ tr ớ tứ i ỉ t ì tr
ớ ệt ề ợ ố ớ ể ú t tờ ết
K
p,q
t tế K(p, q) K
r
(t) t tế K(t, . . . , t) ú t sẽ
ết G H = (V (G) V (H), E(G) E(H)) kG ợ ủ k

s rờ ủ G ú t ợ ồ tị ố G+H từ GH
t tt ữ G H ó K
2,3
= E
2

+ E
3
= K
2
+ K
3
K
r
(t) = E
t
+ . . . + E
t
= K
t
+ . . . + K
t

ó ột ồ tị ợ ó tớ ề ột s ồ tị ột
(V, E) s V E = E t ủ t P(V ) t ủ V
ó t ồ tt t ủ V ự tế ó ột t ứ
1 1 ữ ớ s ồ tị ớ ồ tị ớ ớ ỉ
V, E tr ó x V ợ ố ớ s S E ế x S
ột ọ = {A
1
, A
2
, . . . , A
m
} t ủ ột t X ột t
ồ m tử ỗ từ ỗ A

i
ợ ọ t ệ ệt ủ
ọ ệ t tự ị ột ồ tị 2 ớ ớ ỉ V
1
=
V
2
= X tr ó A
i
ố ớ ột số x X ứ tr A
i
ó r ó
ột t ứ từ V
1
ế V
2

ị ĩ ột ồ tị ứ ột út ột ố ột ỉ
ớ í ó ó ũ ứ ó ột ố ù
ỉ r ột ồ tị út ợ é ột út
ột ệt ó ữ ề ể ồ tị ợ ọ
ồ tị ú t sẽ ủ ế ệ ớ ồ tị
ế ị ớ ủ ỉ tì ú t ợ ồ
tị ó ớ ồ tị ó ớ ột ó tứ tự (a, b) ợ ọ ột
ớ từ a ế b ột t từ a ết tú t b ợ
í ệ

ab ab ệ ợ ị ồ tị ễ
ể q ồ tị ồ tị ó ớ ồ tị ó ớ
ột ệt ó ớ tr ột ồ tị ó ớ ột ẽ ỉ

x
0
, e
1
, x
1
, e
2
, . . . , e
l
, x
l
s e
i
t t x
i1
ết tú t
x
i
ũ ột ỉ x ủ ột ồ tị ó ớ ó ột ột
tr d
+
(x) số t từ x tr d

(x)
số ết tú t x
ột ồ tị ị ớ ột ồ tị ó ớ ợ từ ột ồ tị
ị ớ ỗ ủ ó ó ab ớ

ab

ba
ột ồ tị ị ớ ột ồ tị ó ớ tr ó ề t ột
tr trờ ợ

ab

ba r

ú ý r ị ý ó ột sự ế ồ tự ồ tị ó ớ
s ủ ột ồ tị ó ớ ó tể t ữ
ò ó ớ ế ỉ ế ọ ỉ ó ù tr ó
d
+
(x) = d

(x)ớ ọ ỉ x ể t ề ệ ủ ề ú t ú
ý trớ ế ồ tị ủ ú t ó ột tì ó ó ột ò
ó ớ
ờ ò
ớ ữ ệ ị ĩ ớ ú t ó tể t r
ết q ề ồ tị ù ữ ết q ó ú t ũ
ọ ó ữ ị ý
ị ý x ột ỉ ủ ồ tị G ọ W ột t tố ủ ồ
tị G ứ x ị s ú
W = {y G : G ứ ột ờ x y}
W = {y G : G ứ ột ệt x y}
W = {y G : d(x, y) < }
u, v V = V (G) t uRv ế uv E(G) t

R q ệ
t ỏ t tr V ứ R ế tì W ột ớ t ủ x
ết q ỏ ứ tỏ r ỗ ồ tị ột ợ ỉ rờ ủ
t tố ủ ó t ỗ ỉ ứ tr ột t tố t
r ỗ ột ế ó ứ tr ột ò
ị ý ột ồ tị ế ỉ ế ó ứ ột ò
ứ sử G ớ ớ ỉ V
1
, V
2
t x
1
x
2
. . . x
l
ột ò tr G ú t ó tể sử r x
1
V
1
ế tì x
2

V
2
, x
3
V
1
ó x

i
V
1
ế ỉ ế i x
l
V
2
ú t
t r l
ờ sử G ứ ột ò ột ồ tị
ế ỉ ế ỗ t tố ủ ó ũ ú t ó tể sử r G
t ột ỉ x V (G) t V
1
= {y G : d(x, y) }

V
2
= V \ V
1
ó ố ỉ ủ ù ột ớ V
i
ế
tì G sẽ ứ ột ò G
ột ồ tị (V
1
, V
2
) ó ề t |V
1
||V

2
| ột ồ tị
tứ tự n ó ề t
k
k(n k) = n
2
/4 trị ớ
t t ợ ứ ớ ồ tị ủ K
n/2,n/2
ị ý n
2
/4
ũ ỡ ớ t ủ ột ồ tị tứ tự n ứ ò ự tế
ú t t tr ị ý ó số tốt t ó tể ể ồ tị
ứ ột t
ị ý ột ồ tị ột rừ ế ỉ ế ỗ {x, y} ủ
ỉ ệt ó ứ ề t ột ờ x y
ứ G ồ tị ó ề t ột ờ ớ ỗ
ỉ ệt ế x
1
x
2
. . . x
l
ột ò tr ồ tị G tì x
1
x
2
. . . x
l

x
1
x
l
ờ ủ G tế G ó ò ột rừ
ợ G ột rừ sử ó P
1
= x
0
x
1
. . . x
l
P
2
=
x
0
y
1
. . . y
k
x
l
ờ x
0
x
l
ệt ủ ồ tị G i + 1 ỉ số
t tỏ x

i+1
= y
i+1
t j ỉ số ỏ t tỏ j i y
j+1
ột ỉ ủ P
1
ó y
j+1
= x
h
ế tì x
i
x
i+1
. . . x
h
y
j
y
j1
. . . y
i+1

ột ò tr G t ứ tỏ G ó ề t ột ờ ớ
ỗ ể ệt
ị ý ị s t ột ồ tị G
G ột
G ột ồ tị t ỏ t ó G t ế xy
E(G) tì G xy t ó G t ỗ

ột
G ồ tị ò ớ t ó G ò ế x y
ỉ ề ủ G tì G + xy ột ồ tị ó ò
ứ sử G ột ỗ xy E(G) ồ tị
G xy tể ứ ột ờ x y ọ xz
1
z
2
. . . z
k
y ế
tì G ứ ột ò xz
1
z
2
. . . z
k
y G xy t
ó G ồ tị t ỏ t tự ế x y ỉ

ề ủ ột G tì G ứ ột ờ x y ọ xz
1
z
2
. . . z
k
y ó
G + xy ứ ột ò xz
1
z

2
. . . z
k
y G + xy ứ ột ò
G ồ tị ò ớ t
ế t sử G ột ồ tị t ỏ t ế G ứ ột ò
xz
1
z
2
. . . z
k
y tì G xy t tr ộ u v t ì
tr G xy ó tể t tế ở ờ xz
1
z
2
. . . z
k
y ì ề
t ớ tí ỏ t ủ G ú t ết r G ò ó
ột
ố ù sử r G ồ tị ò ớ t G ó t
ó ế x y tộ t tố ệ t xy G sẽ
t r ột ò xz
1
z
2
. . . z
k

y ế tì ờ xz
1
z
2
. . . z
k
y
tộ G G tể ó ề ột t tố ó ột
ệ q ọ ồ tị t ứ ột t ó ột ứ
ọ ỉ ủ ồ tị
ứ ột ồ tị t ỏ t ứ ọ ỉ ủ
ồ tị
ó ự ột t ủ ột ồ tị t G
ú t ớ tệ tr số ó
(1) ột ỉ x t V
i
= {y G : d(x, y) = i} i = 0, 1, . . .
ú ý r ế y
i
V
i
i > 0 xz
1
z
2
. . . z
i1
y
i
ột ờ sự tồ t

ủ ó ợ ị ĩ ủ V
i
tì d(x, z
j
) = j ỗ
j, 0 < j < i ệt V
j
= ỗ y V
i
, i > 0 ó ột ỉ
y

V
i1
ố ớ y ĩ ó ỉ y

t
ớ ỗ y = x t ỉ t ột y

t T ồ tị ủ G ớ t
ỉ V t E(T ) = {yy

: y = x} ế tì T t ỗ
ỉ y V {x} ợ ố ớ x ở ột ờ yy

y

. . . x ữ T
ò ế W ột t t ì ủ V ột ỉ tr
W t từ x tì ợ ố ớ ề t ột ỉ tr W T

ột t
ữ tr ỉ r r ế k =
y
d(x, y) ú t ó V
i
=
0 i k V = V (G) =
k
0
V
i
ế ú tt ó ể ỏ q

ệ s G =
x,y
d(x, y) ợ ọ ờ í ủ G
rG =
x

y
d(x, y) ợ ọ í ủ G
ế ú t ọ x G ớ k =
y
d(x, y) = rG tì t
T ũ ó í k
(2) ột ế ổ ẹ ự tr ủ T tế s
x G T
1
ồ tị ủ G ớ ỉ x ế tì T
1

ột sử ú t ự T
1
T
2
. . . T
k
G ở
T
i
ó tứ tự i ế k < n = |G| tì ở sự t ủ G ó ột ỉ
y V (G) \ V (T
k
) ề tr G ớ ột ỉ z T
k
T
k+1

ợ từ T
k
t ó ỉ y yz ế tì T
k+1

t yz tể ột tr T
k
ó ũ ò
T
k+1
ũ ột T
0

T
1
. . . ó tể tế tụ ế T
n

T
n
ó sẽ ột t ủ G
t ự ở tr ó tứ tự n ĩ ỡ
n 1 r ự tứ t ó ột t ứ 1 1 ữ V {x}
E(T ) ở y yy

tr ự tứ e(T
k
) = k 1
ỗ k e(T
1
) = 0 T
k+1
ó ột s ớ T
k
ị ý
ỗ ó ột t t í ó ú t tớ ết
q s ở st
ệ q ột ó tứ tự n ó ỡ n 1 ột rừ ó tứ tự n ớ
k t tố ó ỡ n k
P ủ ệ q ột ể ốt õ ủ ụ tể ột ồ
tị tứ tự n ột ế ỉ ế ó t ó ỡ n 1
ệ q ột tứ tự ít t 2 ó ít t ỉ 1
ứ t d

1
d
2
. . . d
n
ủ ột T tứ
tự n 2 T t (T ) = d
1
1 ế T ó ề t
ột ỉ 1 t (1) ệ q t sẽ ó
2n 2 = 2e(T ) =
n

1
d
i
1 + 2(n 1).

ột t tr ý tết tố ột tì ễ
ột t ủ ột ồ tị ớ ột tí t ệt ó ột
ồ tị G = (V, E) ột trị f ị tr
f : E(G) R
+
tì ột ồ tị t t T = (V, E

) ủ
G ể
f(T ) =

xyE

f(xy)
ỏ t ú t ọ ồ tị t t T tế ột ồ
tị t tế tở tợ ề ể ị ề
r ột t ộ số tự sử ó ợ ố ớ
ột ồ ớ ợ t t ột tr ó ệ tố ờ
ồ ố t t ớ ủ ớ ỗ
ú t ết ờ ố ố ó ọ ờ ố ề
ó tể ợ ú t tì ệ tố ờ ố tế tế
ể t tr ồ tị t G ột ồ tị t
ỉ ủ ó t ỗ xy ột ờ ố ó tể ợ
ể ố x y í ệ ủ ỗ ờ ố f(xy) ế
tì ệ tố ờ ố t ứ ớ ột ồ tị t t
ủ G tứ ột t ủ G ệ tố tế T sẽ
ồ tị t t ỏ t
ồ tị t t T ồ tị t ỏ t ế
tì sẽ ó ột sự ó ỏ ó t tí t ủ
T tế T sẽ ột ồ tị t tế T
ột t tế ủ G ứ ớ ể
ự ủ ột t ú t ó tì ột
t tế ú t sẽ trì ố tr số
(1) G f : E(G) R
+
ú t ọ ột tr ữ r
t ủ G ó ớ ó f () ỏ t ỗ ủ sẽ
ợ ọ từ tr ữ ò r t ỉ ớ ột q t ú
t sẽ ọ tt ủ ù t ì ột ò ó ồ tị
ủ G t ở ợ ọ ò trì ết tú ế
ó tể t t E

ợ ọ t
r ột ò ế tì T
1
= (V (G), E

) ồ tị ò ớ t ủ
G t ị ý tì T
1
í ột t ủ G

(2) P ự tr tự tế r t sẽ ù ột t
ỏ trừ ó ể tí t ủ ồ tị ủ G
ú t ó từ t t sự ó ỏ ó t tí t
ủ ồ tị ò ị ý q trì ết tú tì t ợ
t T
2

(3) ột ỉ x
1
ủ G ọ ột ít t t tộ ớ
ó ọ x
1
x
2
ó ọ ột tr ữ ít t t ó x
i
x
ở 1 i 2 x / {x
1
, x

2
} ớ ỉ ừ tì x
1
, x
2
, . . . , x
k
ột x
i
x
j
, i < j ớ ỗ ỉ x
j
j k ọ ột tr
ữ ít t t ó x
i
x ọ x
i
x
k+1
ở 1 i k
x
k+1
/ {x
1
, x
2
, . . . , x
k
} trì ết tú s ú t ọ ợ

n 1 í ệ ở T
3
t ợ ở
(4) P ỉ ụ ế ó ờ ố ù
ột ể ủ ỗ tự qết ị ợ
ì t ự sẽ
ì ĩ ỗ sẽ t ự ố r t ết tú t
ì ó tể r r x y ù ố xy
tr trờ ợ ọ sẽ ở ữ ết tú ớ ỉ ột ờ
ợ t t từ x ế y ở ố ủ ỗ
ó ợ ố ớ ố t ộ ệ tố ố
t ế s ỗ ó ố ớ ở ố
tì ố r t tớ ột tr ó t ố
ó ủ tụ ố tế ợ ế ợ ột ệ tố
t ố õ r sẽ ờ tt ố
ủ ù ột ò ệ tố ố ố ù sẽ ột t
ị ý ỗ ột tr ố tr s t r ột t
tế ế ó ù tì ó t tế t
ứ ọ ột t tế T ủ G ó ù số
ề t ó tể ớ T
1
ở T
1
t ợ ọ t
t
sử r E(T
1
) = E(T ) ủ T
1
ợ ọ từ ột

xy t ủ T
1
ột ủ T ế tì T ứ
ột ờ xy t ọ P ờ P ó ít t ột ọ
uv tộ T
1
ế tì T
1
sẽ ứ ột ò xy
ợ ọ ột ủ T
1
tì uv ũ sẽ ột ứ ì xy
ợ ọ uv xy tể t uv ó
f(xy) f(uv) ế tì T

= T uv + xy ột t
f(T

) = f(T ) f (uv) + f(xy) f (T ) ớ T

ột t
tế ủ G ĩ t tứ ứ tỏ r f(T

) = f(T )
f(xy) = f(uv) T

ó ề ớ T
1
T t

ớ ọ ủ T T = T
1
T
1
tự sự ột t tế
ự ế ổ ẹ ứ tr sẽ ỉ r r t T
2
T
3
ự t tứ tứ ũ tế
sử r ó ó ù ó f(xy) = f(uv)
ớ xy = uv T
4
ột t ự ở tứ
t T ột t tế sử r T = T
4
xy
t tộ T t ọ T
4
xy ợ ọ
ó r t ủ G ố ột ỉ ủ t F ủ T
4
ớ ột ỉ
F ờ x y tr T ó ột uv ố ột ỉ ủ F ớ ột
ỉ F f(xy) < f(uv) ề tể
T

= T uv + xy ột t ủ G f(T

) < f(T )

T = T
4
ề ỉ r r T
4
tự sự ột t tế
ữ t ự ở tứ t t
t tế t ế ó ó ù ột
ò t trì r
t ị rt ố ớ t t tế ợ
t ở tr t sự t tự ỉ ề ột
ột t q n t ố ố ù trở ề trụ sở t ở
ủ trì ữ t ố t ì ết t
tì ột tt ệ q ị ột ế ó ít t t ì
ú t t ề tt ú t ỏ q tt ữ ệ q
ó ột tt ệ q ế số tí t ột tứ ủ số

ỉ ù ề t ệ ét t tí t q trọ
ụ tr tự ủ ờ ết ết ệ r ó
ột tt ệ q ể tì ột ờ ít t t
r ột ủ t ờ ợ
ột ò ó ợ é q ù ột t ố
trừ t ố ó trụ sở t ết tú tr
ột ò ứ tt ỉ ủ ồ tị ọ ột ò t ủ ồ tị
ồ ố ủ tt ữ ột trò t ở
t sở tr ệ ự ột ò ứ tt
ỉ tộ ồ tị ủ ột ì ờ t ột ờ t ủ ồ
tị ột ờ ứ tt ỉ ủ ồ tị ột ồ tị ứ ột ò
t ọ t
ự tế ờ ò t tr ồ tị ệt ợ tì ể
ĩ trớ t ề ị trò ủ ụ tể ố ề t

ủ q ự tr ột ờ ợ tí s ở r
ột ò t tr ồ tị ỉ ủ ó ủ
ờ tr ó ỉ ề ế q ự ó tể từ ế
ế ế t tr tứ ủ t ị ỗ
ế ữ t ố ỉ ó 1 tì ỏ ệ ó
ột ồ tị ứ ột ò t t ở ớ ế
1 ứ ột ò t í trờ ợ ệt ủ
t ợ ó ột tt ệ q ợ ết
ể ự ột ò t ũ ết ó ột
tt
ế ủ ế ữ t ố t ì ủ
ú t sẽ ó ể tì t ít t t ột é tế t ì ủ
n 1 t ố t ố tứ n ó trụ sở sẽ tỏ tết ột
ột ế ủ ú t ú t
tí K
n
t t ò t rờ ệ r trị ủ
n ó tể K
n
ột (n 1)í q ò t
2í q ột ề ệ n 1 ó n ề ệ
ũ ợ s r từ tí t e(K
n
) =
1
2
n(n 1) ột ò
t ứ n K
n
t ủ

1
2
(n 1) ò t

ờ ú t sử r n n 3 ó ột ỉ ủ K
n
ú
t t r ế K
n
ột t ủ
1
2
(n 1) ò t tì K
n1
ột
t ủ
1
2
(n 1) ờ t t n 1 ế K
n1
ợ ủ ột số ò t ó e(K
n1
) =
1
2
(n 1)(n 2)
ột ờ t tr K
n1
ó n 2 r sự tí ủ
K

n1

1
2
(n 1) ờ t ỗ ỉ ỉ ố ủ í
ột ờ t ự ề ú ớ ỗ sự tí K
n1
t
1
2
(n 1) ờ t rờ ỗ ỉ x ủ K
n1
ó ít t ột ờ t ết tú t x ế
ú t t ột ỉ ớ K
n1
ở rộ ột ờ t tr
K
n1
t ột ò t tr K
n
tì ú t sẽ ợ sự
tí K
n
t
1
2
(n 1) ò t rờ ú t
ừ ứ ết q s
ị ý ớ n 3 ồ tị ủ K
n

tí ợ t ò
t rờ ế ỉ ế n ớ n 2 ồ tị ủ
K
n
tí ợ t ờ t ế ỉ ế n
ết q tr ỉ r r ế n tì ú t ó tể ỗ ò
t ớ ể ợ ột trì ứ tt ủ K
n

ổ qt ột trì ủ G ứ tt ủ E(G) ợ ọ
ột trì r ủ G tự ột ệt ứ tt ọ
ột ệt r
ột ồ tị r ế ó ó ột trì r trì ệt
r ợ t t t r r ờ ứ ồ tị
ứ ú r s t t t Ptrsr ị ố ở
t tr s Pr
ị ý ột ồ tị t t tờ ó ột trì r
ế ỉ ế ọ ỉ ủ ó ó ột ồ tị t ó ột ệt
r từ x ế y = x ế ỉ ế ỉ ó x y ỉ
ứ ề ệ rõ r ế ồ tị G ó ột trì
r x r k tr x
1
, x
2
, . . . , x
m
tì d(x) = 2k

ú t ứ ề ệ ủ ủ ệ ề tứ t q
t số ế ó tì ó ì ứ

ú t tự ệ ớ q tế t
ọ G ột ồ tị t t tờ tr ó ọ ỉ ề ó
e(G) 1 ú t t r (G) 2 t ệ q G
ứ ột ò ọ C ột trì tr G ớ số ớ t sử
C r ì G t C ứ ột ỉ x tộ ột t
tố t tờ H ủ G E(C) ỗ ỉ tộ H ó tr
H t tết q H ứ ột trì r D trì
C D ó rờ ó ột ỉ ú ó tể ết
ể t t ột trì ó ề C ì ề t ớ
sự ớ t ủ e(C) trì C r
ờ sử r G t ỉ ó x, y ỉ ọ G

ồ tị ợ từ G t ó ỉ u ux, uy
ế tì t G

ó ột trì r C

õ r C

u
ột ệt r từ x ế y


P
P st
P st ụ ữ ệ ể ử ý ề ề tr t rờ
r ó tế s ố ứ ột
trú ó ột tí t ố ó ờ t ị ĩ ột
st ợ ý trú s ó ứ tỏ tí t ố
ú tr ớ st P ọ tốt t

q í ụ ột í ụ ố s R(k, l) số
ỏ t n s t ỳ t ủ ồ tị ủ n
ỉ K
n
ở ỏ ũ ó ột K
k
ỏ ồ tị k ỉ ủ
ọ ề ỏ ột K
l
s ỉ r r R(k, l)
ữ ớ t ỳ số k, l ú t ợ ớ số
s é R(k, k).
ệ ề ế

n
k

2
1
(
k
2
)
< 1 tì R(k, k) > n ì R(k, k) >
2
k/2
ớ ọ k 3
ứ ét ột t ủ K
n
ợ

t ỗ ộ ỏ ở trò ỗ
ớ ỗ t ố ị R ó k ỉ ọ A
R
sự ệ ế ố ồ
tị từ K
n
tr R ọ ề ỏ ọ
ề õ r Pr(A
R
) = 2
1
(
k
2
)
ó

n
k

ọ R
st ể ít t ột sự ệ A
R
r ề t

n
k

2
1

(
k
2
)
< 1 ì
ớ st ó sự ệ A
R
r sẽ ó t
K
n
ó K
k
ĩ R(k, k) > n ú ý r
ế k 3 t n = 2
k/2
tì

n
k

2
1
(
k
2
)
<
2
1+
k

2
k!
.
n
k
2
k
2
/2
< 1 ó

R(k, k) > 2
k/2
ọ k 3
í ụ ể tị ốt õ ủ st ể ứ
sự tồ t ủ ột t tốt ú t ớ tệ ột t
tờ ỉ r ự r ó tồ t í ụ t ệ
tr t ệ ủ P rs từ ù ó ứ ụ
st tr ột t tổ ợ r tr ó tr
rs ờ t ể ủ sứ ủ
ứ ụ ó t tr ề t số
ó tể ĩ t ể r st ụ tết ế ủ ứ
ở tr ột ứ t ó tể tỏ ế
ú t ể tr r tổ số t ủ K
n
ớ số
t ó ột K
k

ữ ớ ữ st tr ệ tì ể ữ

t tổ ợ ét tr ữ ệt ụ
ết ữ ứ ụ ủ st t rờ r
tr tự st ốt õ
P st ó ột í tt t tú ị ét í ụ ứ
ủ ệ ề ỉ r r ó ột t ủ K
n
ó K
2 log
2
n
ú t ó tể tì t ì
tổ số t ữ ì ú t ó tể tử tt ú ế
tì ợ ố tủ tụ 2
(
n
2
)
ớ tố rt
ề tờ ớ ỡ =

n
2

ủ t ứ ủ t ỉ r
ột t ờ tốt ệ q ó ì ớ k ớ ế n = 2
k/2

tì

n

k

.2
1
(
k
2
)
<
2
1+k/2
k!
.(
n
2
k/2
)
k

2
1+k/2
k!
1.
ế ột t t ỳ ủ K
n
ờ ứ
K
2 log
2
n

ề ó ó ĩ ì ột ý ó ú t ớ tệ
ột t ủ K
1024
ứ K
20
ú t ó tể t ột t t
ồ t

1024
2

ú t sẽ ợ ột t t
st ể ó ột K
20
ỏ
2
11
20!
ó tr ột trờ
ợ st ự r ột tt ệ q

P st ột ụ ệ q ủ ý tết ồ
tị ổ ợ ó ũ ứ ụ tr ý tết ố tr ì
ọ ổ ợ ó ợ ứ ụ ề tr ệ t trể ĩ tt
tt ệ q tr ệ tì ể ữ t tí
ý tết ồ tị
ột tr t V ủ n ờ ột sự ị ớ T = (V, E)
ủ ủ ồ tị ủ tr t n ỉ ủ V ì ớ ọ
tử x, y ủ V tì (x, y) tộ E (y, x) tộ E
t tự ì ỗ t t (x, y)

tộ E ế x t y
ú t ó T ó tí t S
k
ế ỗ t k ờ ó ột ờ ủ
V tt k ờ í ụ t t T
3
= (V, E) ở
V = {1, 2, 3} E = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} ó tí t S
1
ệ
r ỗ số k sẽ ó T ề k ờ ó tí t
S
k
ý tở tự ế n ủ ớ ột ủ k tì
tr t n ờ ủ V sẽ ó tí t S
k
ột
s ú t r ột T tr V ọ
ớ ỗ 1 i < j n (i, j) (j, i) ở ỗ ột
tr ọ t sử r t ỗ ột tr
tr V ì st ợ ét ố ứ
t ú ý r ú t tờ ù tr ứ ụ ữ
st ố ứ r trờ ợ ú t ữ tử
ủ ữ tử t ụ tể
ố st ì í ụ tr ứ ủ ệ ề ữ
t ủ K
n
ợ ét tì ỗ t ì ớ
tự tr ứ ủ ết q s ú t tì ể ề
tr V

ị ý ế

n
k

(1 2
k
)
nk
< 1 tì ó ột n ỉ ó tí
t S
k

ứ ét ột ủ t V = {1, 2, . . . , n}

ớ ỗ t K ố ị ó k ỉ ủ V t A
K
sự ệ ó ỉ
ọ t ủ K õ r Pr(A
K
) = (1 2
k
)
nk

ì ỗ ỉ ố ị v V K st ể v ọ t
ủ 1 2
k
tt n k ọ ó tể ủ v
ộ é t

Pr(

KV
|K|=k
A
K
)

KV
|K|=k
Pr(A
K
) =

n
k

(1 2
k
)
nk
< 1.
ừ ó ớ st sự ệ A
K
r tứ ó ột
n ỉ ó tí t S
k

ọ f (k) í ệ số ỏ t ó tể ủ ỉ ủ ó tí
t S

k


n
k

< (
en
k
)
k
(1 2
k
)
nk
< e
(nk)/2
k
ị ý
ứ tỏ r f(k) k
2
2
k
(ln 2)(1 + o(1)) ó ể tr r
f(1) = 3 f(2) = 7 ứ ủ rs f(k) c
1
k2
k

ột t trộ ủ ồ tị t G = (V, E) t U V s

ọ v V U ó ít t ột ỉ ề tr U
ị ý G = (V, E) ồ tị n ỉ ỏ t > 1 ế tì
G ó t trộ ớ ề t n
1+ln(+1)
+1
ỉ
ứ p [0, 1] số tỳ ý ọ ột
ộ ỗ ỉ ủ V ớ st p X t tt
ỉ ợ ọ t Y = Y
X
t ọ ỉ tộ V X
ó ỉ ề tr X trị ỳ ọ ủ X rõ r np ớ ỗ ỉ
v V, Pr(v Y ) = Pr(v ỉ ề tr X) (1 p)
+1

ỳ ọ ủ tổ ế tổ ỳ ọ t í
ế ú ộ ế |Y | ó tể ết tổ
ế ỉ số
v
(v V ) ớ
v
= 1 ế v V

v
= 0 ế ú t ết r ì ọ ủ |X| + |Y | ề
t np + n(1 p)
+1
r ó ít t ột ọ ủ X V s
|X| + |Y
X

| np + n(1 p)
+1
U = X Y
X
rõ r t
trộ ự ợ ủ ó ề t số
tr ú ớ p [0, 1] tỳ ý ể ết q ú t