Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

VŨ THỊ LAN HƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP SƠ ĐỒ ĐOẠN THẲNG
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TUỔI Ở TIỂU HỌC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Văn Hào
Chuyên ngành: Toán Tiểu học

Hà Nội – 2013


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các giảng viên trong
khoa Giáo dục Tiểu học và các bạn sinh viên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất
cho em trong quá trình làm khóa luận này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm
ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
để em hoàn thành khóa luận.
Trong khi thực hiện đề tài này, do thời gian nghiên cứu và năng lực của em có
hạn nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế. Vì vậy, em rất mong
nhận được sự tham gia đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn bè để khóa luận
của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Vũ Thị Lan Hương

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan đề tài: “Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài
toán tuổi ở Tiểu học” là kết quả mà em đã trực tiếp nghiên cứu, tìm tòi thông
qua sự hướng dẫn của thầy cô, sự giúp đỡ của bạn bè.
Trong quá trình nghiên cứu, em có sử dụng tài liệu của một số nhà nghiên
cứu, một số tác giả đã được trích dẫn đầy đủ. Tuy nhiên, đó chỉ là cơ sở để em
rút ra những vấn đề cần tìm hiểu ở đề tài của mình.
Khóa luận này là kết quả của riêng cá nhân em, không trùng với các kết quả
của các tác giả khác. Những điều em nói ở trên là hoàn toàn đúng sự thật.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên

Vũ Thị Lan Hương


MỤC LỤC
Nội dung

Trang

Mở đầu

1

1. Lí do chọn đề tài

1

2. Mục đích nghiên cứu

2

3. Nhiệm vụ nghiên cứu

2

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

2

5. Phương pháp nghiên cứu

2

6. Dự đoán kết quả nghiên cứu

3

Chương 1. Cơ sở lý luận

4

1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học

4

1.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

6

1.2.1. Khái quát phương pháp giải toán ở tiểu học

6

1.2.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

7

1.2.2.1. Khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

7

1.2.2.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán ở tiểu học

7

1.2.2.3. Các bước tiến hành và cách trình bày lời giải bài toán sử

8

dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
1.2.2.4. Các dạng bài toán sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

9


1.3. Vấn đề chung về bài toán

13

1.3.1. Quan niệm về bài toán

13

1.3.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán

13

1.3.3. Lời giải của bài toán

14

1.3.4. Ý nghĩa của việc giải toán

14

1.3.5. Phân loại bài toán

14

1.3.6. Phương pháp tìm lời giải bài toán

15

1.4. Bài toán tuổi ở môn Toán Tiểu học

17

1.4.1. Kiến thức chung để giải dạng bài toán về tuổi

17

1.4.2. Phân loại bài toán về tuổi ở tiểu học

17

1.4.3. Một số bài toán về tuổi trong chương trình SGK tiểu học

18

1.4.4. Phương pháp thường dùng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học

20

1.4.4.1. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng

20

1.4.4.2. Các phương pháp khác

21

Chương 2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán

22

tuổi ở tiểu học
2.1. Phương pháp giải các bài toán đơn về tính tuổi

2.1.1. Khái quát chung
2.1.2. Một số ví dụ

22
22


2.2. Các bài toán hợp về tính tuổi và cách giải chúng

24

2.2.1. Khái quát các bài toán hợp về tính tuổi

24

2.2.2. Bài toán tuổi cho biết tổng và tỉ số tuổi của hai người

25

2.2.3. Các dạng bài toán cho biết hiệu và tỉ số tuổi của hai người

29

2.2.3.1. Dạng trực tiếp của bài toán hiệu và tỉ số tuổi của hai người

29

2.2.3.2. Dạng bài toán phải giải một bài toán phụ để tìm hiệu số tuổi

32

của hai người
2.2.3.3. Dạng bài toán cho biết tỉ số tuổi của hai người ở hai thời

36

điểm khác nhau
40
2.2.4. Bài toán cho biết tổng và hiệu số tuổi của hai người
42
2.2.5. Các bài toán tính tuổi với số thập phân
44
2.2.6. Một số bài toán khác
45
2.2.7. Nhận xét

Phụ lục. Một số bài toán tuổi sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn

46

thẳng
Kết luận

49

Tài liệu tham khảo

50

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài. Với 9 môn học thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, học sinh
tiểu học được đào tạo nhằm phát triển toàn diện cả trí thức, đạo đức, lao động,
thể thao, mĩ học. Giáo dục Tiểu học góp phần đào tạo những con người đủ
đức, đủ tài để phục vụ xã hội. Trong hệ thống các môn học đó, môn Toán là
một môn học cơ bản, nó chiếm nhiều thời lượng giảng dạy của giáo viên và
thời gian học tập của học sinh. Có được sự đánh giá đó bởi môn Toán giúp
trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức về khoa học tự nhiên, cơ bản làm
nền tảng để học sinh hiểu biết và giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn. Hơn nữa,
với các kiến thức căn bản, Toán học còn góp phần quan trọng giúp các em có
thể học tập tốt các môn học khác trong nhà trường Tiểu học cũng như ở các
cấp học sau.
Nội dung môn Toán ở tiểu học được chia thành các mạch kiến thức cơ bản là
số học, đại lượng, hình học và giải toán có lời văn. Giải bài toán có lời văn là
một mạch khó về kiến thức và phong phú về thể dạng mà học sinh được học
tập trong suốt toàn bộ bậc học Tiểu học. Vì vậy, việc định hướng cho học sinh
xác định được dạng bài và lựa chọn phương pháp giải phù hợp là việc làm vô
cùng quan trọng. Qua việc định hình các phương pháp và sự luyện tập giải bài
giúp học sinh phát triển tư duy, rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo trong quá trình giải
toán.
Cùng với một số dạng toán có lời văn khác, các bài toán về tính tuổi là nội
dung quan trọng, khá quen thuộc và gần gũi với học sinh bậc Tiểu học. Tuy
nhiên, việc giải các bài toán dạng tính tuổi như thế nào và lựa chọn phương
pháp giải ra sao là vấn đề đã được các thế hệ giáo viên và học sinh cùng quan
tâm. Xuất phát từ đặc điểm nhận thức của học sinh, căn cứ vào hệ thống
phương pháp giải toán ở Tiểu học và đặc trưng của dạng bài toán tính tuổi mà


nhiều thế hệ các nhà giáo nhận thấy rằng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng có
những hiệu lực nhất định trong việc giải các bài toán dạng này.

Vì những lí do trên, được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào em mạnh
dạn chọn đề tài: “Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi
ở tiểu học”, để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Sư phạm chuyên
ngành toán Tiểu học.
2. Mục đích nghiên cứu. Mục đích nghiên cứu của đề tài là làm rõ cơ sở lý
luận và thực tiễn của việc ứng dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải
các bài toán về tuổi trong nhà trường Tiểu học. Qua đó, góp phần nâng cao
hiệu quả của việc dạy và học giải toán ở tiểu học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đề tài nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề: Ứng dụng
phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán tuổi ở tiểu học.
- Phân loại các bài toán về tính tuổi thường gặp ở tiểu học.
- Nghiên cứu phương pháp sơ đồ đoạn thẳng và nghiên cứu phương pháp
chung để giải các dạng toán về tuổi. Giải các bài toán cơ bản và nâng cao về
tính tuổi, cụ thể là dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp sơ đồ đoạn thẳng và
ứng dụng của phương pháp này để giải các bài toán tính tuổi ở tiểu học.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán tuổi trong chương trình Tiểu học.
5. Phương pháp nghiên cứu


- Tham khảo, học tập kinh nghiệm các thầy cô giáo có nhiều kinh
nghiệm giảng dạy bậc Tiểu học.
- Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và các sách chuyên khảo
nâng cao.
- Kiểm nghiệm qua thực tế giảng dạy trong đợt thực tập Sư phạm.
6. Dự đoán kết quả nghiên cứu. Sau quá trình nghiên cứu, đề tài góp phần
phân rõ được các dạng toán dùng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng và ứng dụng
của phương pháp này để giải các bài toán tính tuổi trong từng dạng bài của

toán tính tuổi.


Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN
1.1. Đặc điểm nhận thức của học sinh tiểu học. Đời sống tâm lí của học
sinh tiểu học có những biến đổi và làm nên “chất tiểu học” trong mỗi học
sinh. Trong ba mặt của đời sống tâm lí con người gồm nhận thức, tình cảm,
hành động thì nhận thức là tiền đề của hai mặt kia và chúng có mối quan hệ
biện chứng với nhau cũng như các hiện tượng tâm lí khác. Hoạt động nhận
thức là hoạt động mà kết quả của nó con người có được các tri thức, hiểu biết
về thế giới xung quanh, về bản thân mình để tỏ thái độ và tiến hành các hoạt
động khác một cách có hiệu quả.
Nhận thức của học sinh tiểu học được chia thành hai giai đoạn lớn là nhận
thức cảm tính và nhận thức lí tính. Nhìn chung ở học sinh tiểu học, hệ thống
tín hiệu thứ nhất còn chiếm ưu thế, các em rất nhạy cảm với các tác động bên
ngoài. Tuy nhiên, ở giai đoạn cuối bậc Tiểu học thì hệ thống tín hiệu thứ hai
đã phát triển nhưng còn ở mức độ thấp.
Tri giác của học sinh tiểu học mang tính không chủ định, tính xúc cảm và tính
chất đại thể. Khả năng tri giác của học sinh tiểu học phụ thuộc vào chính đối
tượng, cái trực quan, cái rực rỡ, cái sinh động được tri giác rõ ràng hơn những
hình ảnh tượng trưng sơ lược. Sự phân tích một cách có mục đích, có tổ chức
và sâu sắc ở các em còn yếu. Ở các lớp đầu tiểu học, tri giác của các em
thường gắn với hành động và hoạt động thực tiễn. Tri giác không gian và thời
gian của các em còn hạn chế. Tuy nhiên, tri giác của các em phát triển trong
quá trình học tập, sự phát triển này diễn ra theo hướng ngày càng chính xác
hơn, đầy đủ hơn, mang tính mục đích và có phương hướng rõ ràng bởi được
hướng dẫn bằng các hoạt động nhận thức khác.
Đặc điểm nổi bật trong tư duy của học sinh tiểu học là chuyển từ trực quan cụ

thể sang trừu tượng khái quát. Đó là kết quả của quá trình học sinh tiếp xúc
với thực tế, trao đổi xã hội và học tập, đặc biệt là hoạt động học tập trong nhà
trường. Các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát


hóa của học sinh được hình thành và phát triển. Khả năng lĩnh hội khái niệm
phát triển, tư duy cụ thể ít mang tính trực tiếp đã tách nhiều ra khỏi tri giác
trực tiếp và dần mang tính trừu tượng.
Tưởng tượng của học sinh tiểu học được hình thành và phát triển trong hoạt
động học tập và các hoạt động khác của các em. Khuynh hướng tưởng tượng
ở học sinh là tiến dần đến phản ánh một cách đúng đắn và đầy đủ hiện thực
khách quan trên cơ sở những tri thức tương ứng. Hình ảnh tưởng tượng trở
nên trọn vẹn hơn, phân biệt hơn bởi số lượng chi tiết nhiều hơn và sự sắp xếp
chúng càng chặt chẽ hơn, có lí hơn.
Trí nhớ trực quan - hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ logic
- từ ngữ. Các em ghi nhớ, gìn giữ và nhớ lại các hiện tượng, hình ảnh tốt hơn
là các câu chữ, hình tượng khô khan. Dưới ảnh hưởng của hoạt động học tập,
trí nhớ có chủ định, trí nhớ từ ngữ - logic xuất hiện và phát triển nhưng không
biệt lập với trí nhớ máy móc, trí nhớ trực quan - hình tượng.
Chú ý không chủ định được phát triển mạnh và chiếm ưu thế ở học sinh tiểu
học. Chú ý của học sinh chưa bền vững, nhất là học sinh lớp đầu tiểu học. Do
thiếu khả năng tổng hợp nên sự chú ý của học sinh còn phân tán, lại thiếu khả
năng phân tích nên dễ bị lôi cuốn vào hình ảnh trực quan gợi cảm. Sự chú ý
của học sinh thường hướng ra hoạt động bên ngoài chứ không có khả năng
hướng vào bên trong, vào tư duy và hoạt động trí óc. Chú ý có chủ định được
phát triển cùng với sự phát triển của động cơ học tập mang tính chất xã hội
cao và sự phát triển của ý thức đối với kết quả học tập.
Như vậy, khả năng nhận thức của học sinh tiểu học luôn hình thành, biến đổi
và phát triển qua từng lớp của cấp học. Vì vậy trong dạy học nói chung và dạy
học toán nói riêng, để đạt được kết quả giáo dục tối ưu nhất ta cần căn cứ vào

đặc điểm nhận thức của học sinh đã nêu trên và con đường nhận thức chân lí
mà Lê-nin đã nêu: “ Từ trực quan sinh động tới tư duy trừu tượng, từ tư duy
trừu tượng quay trở lại thực tiễn”. Quá trình hướng dẫn học sinh giải toán cần
sử dụng phương pháp trực quan hợp lí để thu hút sự chú ý của học sinh, giúp


học sinh hiểu được bản chất của bài toán, biết giải các bài toán một cách khoa
học, logic và phát triển khả năng tư duy của học sinh.
Do vậy, các bài toán dạng tính tuổi cần sử dụng cách tóm tắt bài toán một
cách hợp lí để diễn đạt một cách trực quan các điều kiện của bài toán và cách
tốt nhất là sơ đồ hóa bài toán dạng đoạn thẳng. Qua đó, học sinh có thể loại bỏ
được dấu hiệu không bản chất để tập trung vào cái bản chất toán học, tìm ra
mối liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm để tìm ra cách giải quyết bài toán.
1.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
1.2.1. Khái quát phương pháp giải toán ở tiểu học. Trong hoạt động giải
toán, học sinh tiểu học cần có các kĩ năng cơ bản là nhận dạng bài toán và lựa
chọn phương pháp giải phù hợp. Các bài toán khác nhau ở tiểu học được lựa
chọn và sử dụng các phương pháp giải khác nhau. Thông thường, phương
pháp được lựa chọn sẽ là phương pháp tối ưu nhất trong hệ thống phương
pháp giải toán ở tiểu học.
Hiện nay, có rất nhiều ý kiến khác nhau về số lượng các phương pháp giải
toán ở tiểu học. Về mặt cơ bản, người ta thống nhất được là có 16 phương
pháp giải các bài toán có lời văn đối với diện học sinh đại trà cũng như nâng
cao ở tiểu học. Trong 16 phương pháp trên thì việc sử dụng phương pháp nào
để giải bài tập là phụ thuộc vào dạng của bài toán. Cá biệt có những bài toán
sử dụng phối hợp nhiều phương pháp để giải và hầu hết mỗi bài toán có nhiều
cách giải khác nhau để dẫn tới một kết quả chung.
Trong giải toán ở tiểu học, phương pháp sơ đồ đoạn thẳng giữ một vai trò
quan trọng và được sử dụng phổ biến trong giải toán. Phương pháp sơ đồ
đoạn thẳng giúp học sinh giải được nhiều dạng toán khác nhau, từ bài dễ tới

bài khó, từ dạng đơn giản tới dạng phức tạp và giúp học sinh dễ hiểu, nhớ lâu
kiến thức hơn các phương pháp khác. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng là một
hình thức trực quan trong giải toán, đáp ứng được nhu cầu tăng mức độ trừu
tượng trong việc cung cấp kiến thức toán. Qua đó, trực quan hóa các mối


quan hệ, dữ kiện của bài toán, trực quan hóa các suy luận để tìm ra lời giải
của bài toán.
1.2.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
1.2.2.1. Khái niệm về phương pháp sơ đồ đoạn thẳng. Phương pháp sơ đồ
đoạn thẳng là một phương pháp giải toán ở tiểu học. Trong đó, mối quan hệ
giữa đại lượng đã cho và đại lượng phải tìm trong bài toán được biểu diễn bởi
các đoạn thẳng.
Việc lựa chọn độ dài các đoạn thẳng để biểu diễn các đại lượng và sắp thứ tự
của các đoạn thẳng trong sơ đồ hợp lý sẽ giúp cho học sinh tìm được lời giải
một cách tường minh. Học sinh dễ dàng thấy được mối quan hệ và phụ thuộc
giữa các đại lượng, tạo ra hình ảnh cụ thể để giúp học sinh suy nghĩ, tìm tòi
đưa đến cách giải bài toán.
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng dùng để giải nhiều dạng toán khác nhau,
chẳng hạn: các bài toán đơn, các bài toán hợp và một số bài toán có lời văn
điển hình.
1.2.2.2. Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng để giải các bài toán ở Tiểu học.
Để giải được bài toán, học sinh cần thực hiện được thao tác phân tích mối liên
hệ và phụ thuộc trong bài toán đó. Muốn làm được việc này thì ta thường
dùng các hình thức vẽ thay cho các số để minh họa các quan hệ của bài toán.
Ta phải chọn, sắp xếp các hình vẽ một cách hợp lý để dễ dàng thấy được mối
liên hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy
ra cách giải.
Việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng trong giải toán có tác dụng rất lớn. Nhìn vào
sơ đồ, học sinh sẽ định ra được cách giải, có khi nhận thấy ngay kết quả của

bài toán. Vì lẽ đó mà phương pháp sơ đồ đoạn thẳng được sử dụng phổ biến,
làm chỗ dựa cho kế hoạch giải toán của học sinh.
Phương pháp sơ đồ đoạn thẳng trực quan, sinh động và phù hợp với tâm sinh
lí học sinh tiểu học. Và sử dụng phương pháp này sẽ tránh được những lý luận


không phù hợp với học sinh, quan trọng là sẽ tránh được việc lập phương
trình như sẽ học ở Trung học cơ sở và Trung học phổ thông.
Đây là phương pháp hữu hiệu trong việc dùng để giải nhiều dạng toán ở tiểu
học như giải toán có lời văn, giải toán có yếu tố hình học, giải toán có yếu tố
đại số hay được sử dụng trong giảng dạy lý thuyết.
Vì vậy, trong quá trình dạy giải toán, giáo viên cần sử dụng triệt để phương
pháp sơ đồ đoạn thẳng để giúp các em nắm chắc bản chất của mỗi dạng toán,
nhận dạng nhanh và phát huy được tính tích cực, chủ đạo của học sinh.
1.2.2.3. Các bước tiến hành và cách trình bày lời giải bài toán sử dụng
phương pháp sơ đồ đoạn thẳng
Bước 1: Tìm hiểu đề toán.
Ở bước này, giáo viên đặt các câu hỏi để tập trung chú ý của học sinh như:
Bài toán đã cho gì? Bài toán hỏi gì? Khi đó, các câu hỏi do giáo viên đặt ra rất
quan trọng, bởi học sinh thường bị phân tán vào các từ ngữ không quan trọng
của đề bài.
Bước 2: Phân tích các điều kiện của đề toán, biểu diễn các đại lượng đã cho
trên sơ đồ đoạn thẳng.
Bước 3: Dựa vào sơ đồ, lập kế hoạch giải.
Bước 4: Thực hiện các thao tác giải và trình bày bài giải.
Bước 5: Kiểm tra, đánh giá lời giải. Ở bước này, các yêu cầu đạt được khi
giải bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng gồm:
Học sinh được luyện tập, thực hành vẽ sơ đồ đoạn thẳng thông qua các bài
toán điển hình. Từ các đề toán đã cho, học sinh dùng sơ đồ đoạn thẳng thay
cho các số, các đại lượng của bài toán. Nhờ đó, học sinh có thể nói rõ cách vẽ

sơ đồ đoạn thẳng của mình và giải thích rõ tại sao, học sinh có thể từ quan sát
sơ đồ đoạn thẳng tự đặt đề toán và giải thích bài toán đó.


Học sinh có óc phán đoán, suy luận nhanh, có tư duy và cách khái quát cao,
rút ra được những kinh nghiệm cho bản thân trong quá trính giải toán.
1.2.2.4. Các dạng bài toán sử dụng sơ đồ đoạn thẳng
Dạng bài toán đơn. Bài toán đơn là các bài toán khi giải chỉ dùng một bước
tính (còn gọi là một phép tính). Các bài toán đơn ở tiểu học được phân làm
bốn dạng. Trong đó:
(i ) Các bài toán đơn giải bằng một phép tính cộng. Bài toán đơn với một

phép tính cộng xuất hiện ở tất cả các lớp ở bậc Tiểu học. Căn cứ vào cấu trúc
của sơ đồ đoạn thẳng trong lời giải của bài toán, ta có thể chia bài toán dạng
này thành ba mẫu sau:
Mẫu 1. Sơ đồ có dạng nhiều hơn, ít hơn
……

Hoặc

……
… ?

…?

Mẫu 2. Sơ đồ dạng “hỏi tất cả bao nhiêu?”
……
?...
…...
….

…

Hoặc
…?

Mẫu 3. Sơ đồ có dạng:


…

…

…?
Bằng hệ thống câu hỏi phát vấn, giáo viên dẫn dắt học sinh đến với đề toán
theo các văn cảnh khác nhau.
+ Theo sơ đồ thì bài toán trên giải bằng phép tính gì?
+ Trong bài toán giải bằng phép tính cộng thì câu lời giải là gì?
(ii ) Bài toán đơn giải bằng một phép tính trừ. Bài toán đơn giải bằng một

phép tính trừ xuất hiện trong tất cả các lớp của bậc Tiểu học. Căn cứ vào cấu
trúc của sơ đồ đoạn thẳng trong lời giải của bài toán, ta có thể phân chia các
bài toán dạng này thành bốn mẫu sau:
Mẫu 1. Sơ đồ có dạng
…
……
…?

…

……
Mẫu 2. Sơ đồ có dạng
…
……

…?

……
…
Mẫu 3. Sơ đồ có dạng


…

?...

…
Mẫu 4. Sơ đồ có dạng
…

?...

(iii ) Các bài toán đơn giải bằng một phép tính nhân. Căn cứ vào cấu trúc của

sơ đồ đoạn thẳng dùng trong lời giải, ta có thể phân chia các bài toán đơn giải
bằng một phép tính nhân thành hai mẫu sau:
Mẫu 1. Sơ đồ có dạng sau
.....
….
?...

Mẫu 2. Sơ đồ có dạng
….

?...
Khi giải các bài toán bằng một phép tính nhân, sơ đồ đoạn thẳng được biểu
diễn bằng số phần bằng nhau tương ứng với mỗi đại lượng.
(iv ) Bài toán giải bằng một phép tính chia. Tương tự như bài toán giải bằng

một phép tính nhân, các bài toán giải bằng một phép tính chia gồm có các
mẫu sơ đồ


Mẫu 1. Sơ đồ có dạng sau
…..
….

…

Mẫu 2. Sơ đồ có dạng
…..

?...
Các bài toán hỗn hợp sử dụng sơ đồ đoạn thẳng
(i ) Các bài toán hợp giải bằng hai phép tính cộng và trừ.

Mẫu a + (a - b) sơ đồ có dạng

?...

Mẫu a + (a + b) sơ đồ có dạng

?...

(ii ) Bài toán hợp giải bằng hai phép tính cộng và nhân.

Mẫu a + a ´ c sơ đồ có dạng


…..

?...

…..
(iii ) Bài toán giải bằng hai phép tính cộng và chia.

Mẫu a + a : c sơ đồ có dạng

?...

1.3. Vấn đề chung về bài toán
1.3.1. Quan niệm về bài toán. Theo nghĩa rộng, bài toán là bất cứ vấn đề nào
của khoa học hay cuộc sống cần được giải quyết. Theo G.Polya, bài toán là
việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp
để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt
được ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.Polya cho ta thấy rằng: Bài toán là sự
đòi hỏi đạt tới mục đích nào đó. Như vậy, bài toán có thể đồng nhất với một
số quan niệm khác nhau về bài toán như đề toán, bài tập…
1.3.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán. Theo định nghĩa trên, ta thấy một bài
toán gồm hai yếu tố chính hợp thành

- Bài toán cho biết gì? (là những gì bài toán đã cho)
- Bài toán yêu cầu tìm gì? (là mục đích của bài toán)


1.3.3. Lời giải của bài toán. Lời giải của bài toán được hiểu là tập sắp thứ tự
các thao tác cần thực hiện để đạt tới mục đích đã đặt ra. Ta thống nhất giữa lời
giải, cách giải, bài giải của bài toán.
Một bài toán có thể có một lời giải, không có lời giải hoặc có nhiều lời giải.
Giải được một bài toán là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một lời giải của bài
toán trong trường hợp bài toán có lời giải hoặc lí giải tại sao bài toán là không
giải được trong trường hợp nó không có lời giải. Nhưng ở tiểu học, một bài
toán thường có một hay nhiều lời giải, trường hợp không có lời giải thường
không có.
1.3.4. Ý nghĩa của việc giải toán. Giải toán có ý nghĩa to lớn và đóng vai trò
quan trọng trong quá trình học toán của học sinh tiểu học, cụ thể:
- Giải toán củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh.
- Rèn luyện, phát triển tư duy và kĩ năng vận dụng kiến thức của học
sinh.
- Bồi dưỡng và phát triển nhân cách cho học sinh.
1.3.5. Phân loại bài toán. Người ta phân loại bài toán theo nhiều cách khác
nhau để đạt được mục đích nhất định, thường là sử dụng nó thuận lợi. Ta có
một số cách phân loại bài toán như sau:
(i ) Phân loại theo hình thức của bài toán. Dựa vào kết luận của bài toán đã

cho hay chưa để phân bài toán ra thành hai loại: Bài toán chứng minh và bài
toán tìm tòi.
Bài toán chứng minh là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách
rõ ràng trong đề bài toán.
Bài toán tìm tòi là bài toán trong đó kết luận của nó vẫn chưa có sẵn trong đề
bài toán.

(ii ) Phân loại theo phương pháp giải bài toán gồm hai loại


Bài toán có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một
thuật toán chung nào đó, được mang tính chất angorit nào đó.
Bài toán không có angorit giải: là bài toán mà phương pháp giải của nó không
theo một thuật toán nào hoặc không mang tính chất thuật toán nào.
(iii ) Phân loại theo nội dung bài toán. Bài toán số học; Bài toán chuyển động

đều; Bài toán về tuổi; Bài toán trồng cây; Bài toán cấu tạo số;…
(iv ) Phân loại theo ý nghĩa giải toán

Bài toán củng cố kĩ năng: là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học
một hay một vài kiến thức cũng như kĩ năng nào đó.
Bài toán phát triển tư duy: là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến
thức cũng như kĩ năng nào đó đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích,
tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
(v ) Phân loại theo phép tính sử dụng trong bài giải. Các bài toán ở tiểu học

được chia làm hai loại gồm bài toán đơn và bài toán hợp.
Bài toán đơn là bài toán được giải bằng một phép tính.
Bài toán hợp là bài toán giải bằng hai phép tính trở lên. Bài toán hợp chứa
đựng trong nó những bài toán đơn theo một cấu trúc, số phải tìm trong bài
toán đơn này lại là số cho trước của bài toán đơn khác hay kết quả của phép
tính trong bài toán đơn này sẽ trở thành một phần phép tính trong bài toán đơn
tiếp sau đó.
1.3.6. Phương pháp tìm lời giải của bài toán. Theo G.Polya, quy trình giải
một bài toán gồm bốn bước:
Bước 1: Hướng dẫn học sinh tìm hiểu nội dung bài toán. Trước khi giải
một bài toán, ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội

dung của bài toán. Bước này gồm các hoạt động sau:


- Phân biệt yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm của bài toán. Tức là tìm hiểu
những cái gì đã biết? Cái gì chưa biết của bài toán ?
- Giải thích các thuật ngữ có trong đề bài.
- Phân biệt những yếu tố thuộc về bản chất và không phải là bản chất.
- Mối liên hệ giữa phần đã cho và phần cần tìm. Ta có thể biểu diễn
mối quan hệ đó bằng cách tóm tắt hoặc nhắc lại bài toán.
Bước 2: Tìm tòi lập kế hoạch giải toán. Hoạt động này gắn với việc phân
tích các dữ kiện và các yếu tố phải tìm của bài toán, nhằm xác lập mối quan
hệ giữa chúng và tìm được phép tính số học thích hợp. Bước này cũng gồm
các thao tác:
- Minh họa bài toán bằng cách tóm tắt, thường là dùng sơ đồ đoạn thẳng.
- Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trật tự giải quyết của phép tính
số học.
Trong giải toán, đây là bước quyết định và cũng là bước khó khăn nhất. Bước
này đòi hỏi học sinh biết huy động kiến thức đã biết để nhận xét, so sánh, bác
bỏ, từ đó mới tiếp cận được lời giải của bài toán.
Bước 3: Thực hiện giải toán. Đây là bước tập hợp lại của bước xây dựng
chương trình giải, ta dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết
của bài toán, các mệnh đề toán học đã biết ta suy dẫn tới kết luận của bài toán.
Thực hiện giải toán là thực hiện các phép tính đã nêu trong kế hoạch giải toán
và trình bày bài giải đó. Trong chương trình Tiểu học hiện nay, học sinh có
thể áp dụng một trong những cách riêng biệt hoặc trình bày dưới dạng biểu
thức gồm một vài phép tính.
Bước 4: Kiểm tra và đánh giá lời giải. Việc kiểm tra nhằm phân tích cách
giải đúng hoặc sai, phát hiện sai ở đâu và sửa lại cho đúng, ghi đáp số. Ngoài

ra, tìm hiểu việc trình bày lời giải đã đầy đủ chưa, kiểm tra tính hợp lí của lời
giải.
1.4. Bài toán tuổi ở môn toán tiểu học
1.4.1. Kiến thức chung để giải dạng bài toán về tuổi. Các bài toán về tính
tuổi thuộc dạng toán có lời văn điển hình. Trong chương trình toán bậc Tiểu
học, các bài toán về tính tuổi được đưa vào từ lớp 2 tới lớp 5 .
Đối tượng được nói đến trong các bài toán dạng này là tuổi tác. Các bài toán
đưa ra tình huống có vấn đề với nội dung chính là tuổi tác của các đối tượng
rất gần gũi với học sinh như tuổi của ông, bà, cha, mẹ, anh, chị, em… của học
sinh đó. Các bài toán này có thể được đưa ra dạng tường minh hoặc dạng ẩn.
Việc giải các bài toán dạng này cũng giống như các dạng toán về tìm số.
Khi giải các bài toán về tính tuổi cần lưu ý:
Dùng sơ đồ đoạn thẳng để biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng tuổi
trong từng thời kì (trước đây, hiện nay, sau này).
Hiệu số tuổi giữa hai người không thay đổi theo thời gian.
Trong các bài toán về tính tuổi, ta thường gặp các đại lượng sau:
+ Tuổi của A và B
+ Tổng (Hiệu) số tuổi của A và B .
+ Tỉ số tuổi của A và B .
Các thời điểm tính tuổi của A và B (trước đây, hiện nay, sau này).
Mỗi năm thì mỗi người tăng thêm một tuổi. Tổng số tuổi của hai người
thay đổi trước hoặc sau 1 , 2 ... năm là 2 , 4 …năm.
1.4.2. Phân loại bài toán về tuổi ở tiểu học. Ta có thể phân loại bài toán về
tuổi như sau:


Các bài toán đơn về tính tuổi: là các bài toán mà học sinh thực hiện một
phép tính để giải trong một bài toán. Đây là những bài toán tuổi nằm trong
chương trình toán lớp 2 , 3 .
Các bài toán hợp về tính tuổi: là các bài toán mà việc giải nó đòi hỏi

học sinh phải thực hiện từ hai phép tính trở lên. Đây chính là các bài toán có
lời văn điển hình, gồm các loại bài sau:
+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó.
+ Bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số của hai số đó.
+ Bài toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó.
+ Bài toán có số thập phân.
+ Một số bài toán khác.
1.4.3. Một số bài toán về tuổi trong chương trình SGK tiểu học
1.4.3.1. Lớp 2 và lớp 3. Gồm các bài toán giải bằng một phép tính.
Ví dụ 1. Anh 7 tuổi, anh hơn em 5 tuổi. Hỏi anh bao nhiêu tuổi?
(SGK Toán 2 - Tr 26)
Ví dụ 2. Hãy giải bài toán theo tóm tắt:
Anh:

16 tuổi

Em kém anh: 5 tuổi
Em:……..…….. tuổi?
(SGK Toán 2 - Tr31)
Ví dụ 3. Năm nay bà 65 tuổi, mẹ kém bà 7 tuổi. Hỏi năm nay mẹ bao nhiêu
tuổi?
(SGK Toán 2 - Tr 90)


Ví dụ 4. Năm nay ông 70 tuổi, bố kém ông 32 tuổi. Hỏi năm nay bố bao
nhiêu tuổi?
(SGK Toán 2 - Tr33)
Ví dụ 5. Năm nay em 5 tuổi, tuổi chị gấp 2 lần tuổi em. Hỏi năm nay chị bao
nhiêu tuổi?
(SGK Toán 3 – Tr 33)

Ví dụ 6. Mẹ 30 tuổi, con 6 tuổi. Hỏi tuổi con bằng một phần mấy tuổi mẹ?
(SGK Toán 3 -Tr 61)
1.4.3.2. Lớp 4 và lớp 5. Gồm các bài toán giải bằng hai phép tính trở lên.
Ví dụ 7. Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi
bố bao nhiêu tuổi? Con bao nhiêu tuổi?
(SGK Toán 4 - Tr 47)
Ví dụ 8. Tuổi chị và tuổi em cộng lại được 36 tuổi. Em kém chị 8 tuổi. Hỏi
em bao nhiêu tuổi? Chị bao nhiêu tuổi?
(SGK Toán 4 - Tr 48)
Ví dụ 9. Mẹ hơn con 25 tuổi. Tuổi con bằng

2
tuổi mẹ. Hãy tìm tuổi của
7

mỗi người?
(SGK Toán 4 - Tr 151)
Ví dụ 10. Năm nay tuổi con ít hơn tuổi bố 35 tuổi và bằng

2
tuổi bố. Hỏi
9

năm nay con bao nhiêu tuổi?
(SGK Toán 4 - Tr 153)