Phương pháp toạ độ trong không gian và bài tập hình học

Khoá luận tốt nghiệp

LI CM N
Bnkhúalunnylbcutiờnemlmquenvivicnghiờncu
khoahc.
Trongthigiannghiờncuvhonthnhkhúalunttnghipemó
nhncsgiỳpnhittỡnhcacỏcthycụtrongtphngphỏpvcỏc
bnsinhviờntrongkhoa.cbit,emgilicmnsõusctithy giỏo
Bựi Vn Bỡnh, thy ó trc tip ging dy, giỳp , hng dn em hon
thnhkhúalun.
Doiukinhnchvthigiancngnhkinthc,nnglccabn
thõnnờnkhoỏlunkhútrỏnhkhinhngthiusút.Kớnhmongnhncs
ch bo nhn xột úng gúp ca thy cụ cng nh bn bố sinh viờn khoỏ
lunnychonthinhn.
Em xin chõn thnh cm n!

H Ni, thỏng 5 nm 2012.
Sinhviờn

V Th Võn









Vũ Thị Vân

K34A Giáo dục Tiểu học


Khoá luận tốt nghiệp

LI CAM OAN
Emxincamoankhoỏlunnychonthnhldoscgng,n
lctỡmhiucabnthõncựngvisgiỳpcacỏcthycụ,cbitlthy
Bựi Vn Bỡnh.
Khoỏlunnyldoemvitvnhngkinthcdntrongkhoỏlunl
trungthc.

H Ni, thỏng 5 nm 2012.
Sinhviờn

V Th Võn

Vũ Thị Vân

K34A Giáo dục Tiểu học


Kho¸ luËn tèt nghiÖp

MỤC LỤC
Trang
Phần I: MỞ ĐẦU ......................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ......................................................................................... 1 
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 1 
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2 
4. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 2 
5. Cấu trúc khoá luận ...................................................................................... 2 
Phần II: NỘI DUNG .................................................................................... 3 
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN VÀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ 
TRONG KHÔNG GIAN ................................................................................ 3 
A. Các khái niệm ........................................................................................... 3 
1. Định nghĩa .................................................................................................. 3 
2. Tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ ............................................................. 4 
3. Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ .............................................................. 4 
4. Các tính chất ............................................................................................... 4 
B. Dấu hiệu nhận biết một bài toán hình học không gian bằng phương pháp 
toạ độ……………. ......................................................................................... 8 
C. Phương pháp toạ độ trong không gian ...................................................... 9 
1. Nội dung chính ........................................................................................... 9 
2.  Mục  đích  yêu  cầu  của  việc  giảng  dạy  “Phương  pháp  toạ  độ  trong  không 
gian”............................................................................................................... 9 

3. Phương pháp giải toán bằng tọa độ ........................................................... 10 
D. Cách chọn hệ tọa độ đối với mỗi lại hình ............................................... 11 
CHƯƠNG 2: HỆ THỐNG BÀI TẬP ........................................................... 22 
A. Bài tập cơ bản .......................................................................................... 22 
B. Bài tập nâng cao ...................................................................................... 33 

Vò ThÞ V©n

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
C. Một số ví dụ ............................................................................................. 47 
Phần III: KẾT LUẬN ................................................................................ 52 
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 53

Vò ThÞ V©n

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp

PHẦN I: MỞ ĐẦU
 

1. Lí do chọn đề tài
Hình  học  là  một  môn  khó  có  tính  hệ  thống,  chặt  chẽ,  lôgic  và  trừu 
tượng hoá cao. Đặc biệt là phần hình học không gian (HHKG). Để giải một 
bài toán HHKG đòi hỏi học sinh phải có nhiều kĩ năng nắm được kiến thức 

thật chắc và vững. Với một bài toán nói chung và bài toán HHKG nói riêng 
thì  có  nhiều  cách  giải  khác  nhau,  có  thể  là  phương  pháp  tổng  hợp  (PPTH), 
phương pháp vectơ (PPVT) hay phương pháp toạ độ…trong đó có một phần 
lớn  các  bài  toán  HHKG  có  thể  giải  bằng  phương  pháp  toạ  độ  (PPTĐ).  Với 
những bài toán đó thì PPTĐ cho ta cách giải rất nhanh chóng và dễ dàng hơn 
nhiều so với PPTH. PPTĐ cho ta lời giải một cách chính xác, tránh được các 
yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của PPTH và là phương tiện hiệu quả 
để giải các bài toán hình học. Vì vậy, trong những năm gần đây PPTĐ được 
xem là nội dung trọng tâm của chương trình toán trung học phổ thông. 
Xuất  phát  từ  bản  thân  muốn  học  hỏi,  tìm  tòi,  nghiên  cứu  sâu  hơn  về 
HHKG, với mong muốn có được kiến thức vững hơn về phần này để chuẩn bị 
tốt cho việc giảng dạy sau này, cùng với sự giúp đỡ của thầy Bùi Văn Bình mà 
em chọn đề tài: “Phương pháp toạ độ trong không gian và bài tập hình học”. 
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài “Phương pháp toạ độ trong không gian và bài tập hình học”
được nghiên cứu với mục đích: 
 Cho  học  sinh  thấy  được  sự  tương  đương  giữa  HHKG  và  hình  học 
giải tích trong không gian. 
 Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để giải một bài toán HHKG. 
 Nghiên cứu sâu hơn về HHKG làm tài liệu tham khảo cho học sinh 
và giáo viên. 

Vò ThÞ V©n

1

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài được nghiên cứu với hai nhiệm vụ: 
a) Nghiên cứu lí luận chung: Cơ sở của không gian và phương pháp toạ 
độ trong không gian. 
b) Hệ thống bài tập. 
4. Phương pháp nghiên cứu
Đề tài được nghiên cứu với phương pháp nghiên cứu lí luận các tài liệu 
có liên quan đến đề tài. 
Phương pháp nghiên cứu lí luận là dựa vào những tài liệu sẵn có, những 
thành tựu của nhân loại trên những lĩnh vực khác nhau để vận dụng vào môn 
phương pháp dạy học môn toán. 
Quan  sát  điều tra  là những  phương  pháp  tri  giác  một  hiện  tượng  giáo 
dục nào đó để thu lượm những số liệu, sự kiện cụ thể, đặc trưng cho quá trình 
diễn biến của hiện tượng. 
Tổng kết kinh nghiệm là đánh giá và khái quát kinh nghiệm, từ đó phát 
hiện ra những vấn đề cần nghiên cứu. 
5. Cấu trúc khoá luận
Khoá luận bao gồm 2 phần: 
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung, bao gồm hai chương:
Chương 1: Cơ sở của không gian và phương pháp toạ độ trong
không gian
Chương 2: Hệ thống bài tập
Phần III: Kết luận
 
 
 

Vò ThÞ V©n

2

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1
CƠ SỞ CỦA KHÔNG GIAN
VÀ PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. Các khái niệm
1, Định nghĩa
1.1. Trục tọa độ 
Khái  niệm:  Trục  tọa  độ  là  một  đường  thẳng  trên  đó  đã  xác  định  một 


điểm O gọi là gốc và một véctơ đơn vị  e . 


Ta kí hiệu trục đó là (O;  e ) 


Cho 3 điểm M, A, và B trên trục (O;  e ). Khi đó: 


+  Có  duy  nhất  một  số  k  sao  cho  OM  ke .  Ta  gọi  số  k  là  tọa  độ  của 
điểm M đối với trục đã cho. 


+ Có  duy  nhất  một số  a  sao  cho AB  ae .  Ta  gọi số  a là  độ  dài số  của 
AB  đối với trục đã cho và kí hiệu là a = AB . 

1.2, Hệ trục tọa độ
 





Hệ trục tạo độ  O; i ; j  gồm hai trục  O; i  và  O; j   vuông góc với nhau. 


Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục  O; i  được gọi là trục 


hoành và kí hiệu là Ox. Trục  O; j   gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ 

 

i  và  j  là các vectơ đơn vị trên Ox, Oy và  i  j  1 . 

1.3, Tọa độ của vectơ




Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ   u  tùy ý. Vẽ  OA  u  và gọi A1, A2 
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox và Oy. 




Ta có:  OA  OA1  OA2  và cặp số duy nhất (x, y) để  OA1  xi ; OA2  yj . 






Như vậy:  u =  xi  yj . 

Vò ThÞ V©n

3

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
2, Toạ độ của vectơ đối với hệ tọa độ


  

Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc cho vectơ tuỳ ý  v . Vì 3 vectơ  i ,  j ,  k  




không đồng phẳng nên tồn tại duy nhất bộ số (x, y, z) sao cho v = x. i  + y. j  + 








z. k  thì (x, y, z) được gọi là tọa độ của  v . Kí hiệu:  v  = (x, y, z) hoặc  v (x, y, z). 
3, Tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ
Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc cho điểm M bất kì. Khi đó:




Tọa độ của  OM  cũng là tọa độ của điểm M. Như vậy nếu  OM  = (x, y, 








z) tức là  OM  = x. i  + y. j  + z. k  thì bộ ba số (x, y, z) là tọa độ của điểm M. 
Kí hiệu:  M = (x, y, z) hoặc M(x, y, z). 
4, Ta có các tính chất:


 







1. Cho  a ≠  0 ,  b  cùng phương  a     k sao cho   b = k a . 
 







2. Cho  a ,  b  không cùng phương,  c  đồng phẳng với  a và   b   k,l sao cho:  



 c  = k a  + l  b . 
  

3. Cho  a ,   b ,   c  không cùng phương với  d . Khi đó tồn tại duy nhất (x, y, z) 




sao cho:    d  = x a + y  b + z  c . 

4. G là trọng tâm   ABC: 




 GA  +  GB  +  GC  =  0  


1
3







Với mọi O thì  OG  =    ( OA  +  OB  +  OC ) 
5. G là trọng tâm tứ diện ABCD thì: 





GA  +  GB  +  GC  +  GD  =  0  


1 
4







Với mọi O thì  OG  =  ( OA  +  OB  +  OC  +  OD ) 
6. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1) thì: 


MA  = k MB  



Với mọi O thì  OM  = 

Vò ThÞ V©n

OA  kOB
 
1 k

4

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp




7. Cho  u  = (x; y; z) và  v  = (x’; y’; z’) với k   R ta có: 








 u  =  v  x = x’; y = y’; z = z’ 
 u    v  = (x   x’; y    y’; z    z’) 


 k u  = (kx; ky; kz) 
 

 u . v  = x. x’ + y. y’+ z. z’ 


    u 2 = x2 + y2 + z2 


Do đó:   u =  x 2  y 2  z 2  
 

 Cos ( u ; v ) =




xx ' yy ' zz '
x 2  y 2  z 2  x '2  y '2  z '2

 

 

 u  v  u . v = 0    xx’ + yy’+ zz’= 0. 
 





 





 

Tích có hướng của 2 vectơ [ u ; v ] =  c  c  v ,  c  u  và  c = [ u ; v ] = 
 
 
u , v  cùng phương   [ u ; v ] = 0. 
 


 
 a,b   =  a . b . sin( a ,  b ). 
 
  
  
a ,  b , c  đồng phẳng   [ a ,  b ].  c  = 0 
1
2

 

S  ABC =  | [ AB , AC ] | 




8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz nếu vectơ  a  và   b  là hai vectơ không 
cùng phương và các đường thẳng chứa chúng song song với một mặt phẳng 
(  ) thì vectơ: 
 

n = [ a ,  b ] là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( 

) 

 



 

Nếu  a ,  b  là một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (  ) thì  n = [ a ,  b ] 
là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (  ) 
9. Phương trình mặt phẳng: 
a, Phương trình tổng quát có dạng: 
Ax + By + Cz + D = 0 (A2 + B2 + C2     0) 


trong đó  n  = (A;B;C) là vectơ pháp tuyến của nó. 

Vò ThÞ V©n

5

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
b, Phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng có dạng: 
x
y
z
 +   +   = 1 
a
b
c

Mặt  phẳng  đó  cắt  các  chục  Ox,  Oy,  Oz  lần  lượt  tại  các  điểm  (a;0;0), 
(0;b;0), (0;0;c) 

10, Phương trình đường thẳng: 
a. Phương trình tổng quát 
ìï Ax + By + Cz = 0
ïï
ïí A ' x + B ' y + C ' z + D ' = 0         với   ìïïí A : B : C ¹ A ' : B ' : C '  
ïïî A2 + B 2 + C 2 ¹ 0
ïï
2
2
2
ïïî A ' + B ' + C ' ¹ 0

   
         b. Phương trình tham số của đường thẳng: 

 x  x0  at

2 
2 
2
 y  y0  bt       với   a + b + c    0           
 z  z  ct
0


 

Với (xo,  yo,  zo) là toạ độ của một đường thẳng và  u  = (a; b; c) là vecter 
chỉ phương của đường thẳng. 
c. Phương trình chính tắc của đường thẳng: 

x   x o
y  yo
z  zo
   =  
 = 
                    (a2 + b2 + c2   0) 
a
b
c

11. Khoảng cách: 
a. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng: 
Cho Mo  (xo; yo; zo) và (a) : Ax + By + Cz + D = 0 
d(Mo, (a)) = 

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

 

b. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng: 
Cho M1 (x; y; z) và    : 

x   x o
y  yo
z  zo
 = 
 
   =  
a

b
c

 
 M 0 M1, u 
d(M1,   ) =      
u


u (a; b; c) là vectơ chỉ phương của   ; M0(xo; yo; zo) , M0       

Vò ThÞ V©n

6

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
c. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: 
Cho  : 

x   x o
y  yo
z  zo

 = 
  = 
  có  vectơ  chỉ  phương  là  u   =  (a;  b;  c);  
a

b
c

M0(xo; yo; zo) và 
 ’: 

x   x'o
y  y'o
z  z'o 
 = 
;  u '  = (a’; b’; c’) là vectơ chỉ phương của  
  = 
a'
b'
c'
 

’ với  M’o (x’o; y’o; z’o), M’o    ’. 
 
u ,u ' M 0 M '0


d(  ,  ’ ) = 
 

u,u '



12. Góc 

a. Gọi    là góc giữa hai đường thẳng   và   ’ thì: 
 
u.u
aa ' bb ' cc '
cos   =    =  2 2 2
 
u.u
a  b  c . a '2  b '2  c '2

b. Gọi    là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng (a) thì: 
Aa + Bb + Cc

sin    = 

2

2

2

2

2

A  B C . a b c

2

    

00        900 



u (a; b; c) là vectơ chỉ phương của  ;  n (A; B; C) là vectơ pháp tuyến 

của (a). 
 
c. Gọi    là góc giữa 2 mặt phẳng (a) : Ax + By + Cz + D = 0 
và (a’)   A’x + B’y + C’z + D’= 0,  (A’2 + B’2 + C’2   0) 
 
n.n '
AA ' BB ' CC '
thì: cos   =     =  2 2 2
 
n . n'
A  B  C . A '2  B '2  C ' 2





Trong đó  n  và  n '  lần lượt là vectơ pháp tuyến của (a) và (a’) 
13. Phương trình mặt cầu: 
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2 có tâm I(a, b, c); bán kính R. 
Hoặc: x2 + 2Ax + y2 + 2By + z2 + 2Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 – D > 0 
Có tâm I’(-A; -B; -C) bán kính R =  A2  B 2  C 2  D  

Vò ThÞ V©n

7

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Khoá luận tốt nghiệp
*Vtrớtngigiamtcu:
Chomtcu(S)vmtphng(P)cú
(S):(xa)2+(yb)2+(zc)2=R2v(P):Ax+By+Cz+D=0
Mtcu(S)cútõmI(a,b,c)vbỏnkớnhR.Tacúcỏctrnghpsau:
a,d I; P >R:(P)khụngct(S)
b,d I; P =R:(P)tipsỳcvi(S)
c,d I; P ỡù (x - a )2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2
ù

ớ
ùù Ax + By + Cz + D = 0
ợ

ngtrũn(C)cútõmHlhỡnhchiuvuụnggúccaIlờnmtphng
(P)vbỏnkớnhR=IH=d I; P .
B) Du hiu nhn bit mt bi toỏn hỡnh hc khụng gian bng phng
phỏp to
TronghtoờcỏcvuụnggúcOxyzvicstrcchun(i;j;k)
Nhng bi toỏn hỡnh hc khụng gian cú phn gi thit nhng dng
khỏcsaucúthdựngphngphỏptogii:
Hỡnhóchocúmtnhltamdinvuụng.
Hỡnhchúpcúmtcnhbờnvuụnggúcviỏyvỏylcỏctamgiỏc
vuụng,tamgiỏcu,hỡnhvuụng,hỡnhchnht,

Hỡnhlpphng,hỡnhchnht,..
Hỡnh ó cho cú mt ng thng vuụng gúc vi mt phng, trong
mtphngúcúnhngagiỏccbit:tamgiỏcvuụng,tamgiỏcu,hỡnh
thoi,
Khihỡnhu:hỡnhchúpu,lngtru,
Cỏcdngkhỏcnhaumcúthtoccỏctamdinvuụngnh:nu
haingthngchộonhaumvuụnggúc,haimtphngvuụnggúc.

Vũ Thị Vân

8

K34A Giáo dục Tiểu học


Khoá luận tốt nghiệp
C. Phng phỏp to trong khụng gian
1, Ni dung chớnh
+Phngtrỡnhtngquỏtcamtphng:
Ax+By+Cz+D=0(1)(viA2+B2+C2 0)


VTPTcamtphngl n =(A;B;C)


+PhngtrỡnhngthngiquaMo=(xo;yo;zo)viVTPT u =(a;
b;c)
Phngtrỡnhthamsl:
ùỡù x = x o + at
ùù

ớ y = y o + bt (t R)
ùù
ùùợ z = z o + ct

Phngtrỡnhchớnhtcl:
x x o y yo z zo
=
=
(a,b,c 0)
a
b
c

+Phngtrỡnhmtcu:
x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0(*)(a2+b2+c2>d)
lphngtrỡnhmtcucútõmI=(-a;-b;-c)vbỏnkớnhR= a 2 b2 +c2 d
2, Mc ớch yờu cu ca ca vic ging dy: Phng phỏp to trong
khụng gian
a,V kin thc:
- Chng 3 nhm cung cp cho hc sinh nhng kin thc c bn v
khỏinim,vthỏitrongkhụnggianvngdngcanú.
+Tovectvtoim.
+Biuthctocacỏcphộptoỏnvect.
+Phngtrỡnhmtcu.
-Giithiuvphngtrỡnhmtcutrongkhụnggian:
+Vectphỏptuyncamtphng.
+Phngtrỡnhtngquỏtcamtphng
Vũ Thị Vân

9

K34A Giáo dục Tiểu học


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
+ Điều kiện để 2 mặt phẳng song song, vuông góc. 
+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 
- Phương trình đường thẳng trong không gian: 
+ Phương trình tham số của đường thẳng. 
+ Điều kiện để hai đường thẳng song song. 
+ Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau. 
+ Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau. 
b, Về kĩ năng: 
- Xác định được các vectơ trong không gian. 
- Vận dụng các tính chất để giải bài tập. 
-  Chứng minh được hai mặt phẳng song song và vuông góc. 
-  Lập được các phương trình đường thẳng, mặt phẳng. 
-  Xác định được vị trí tương đối. 
c, Về thái độ: 
Học xong chương trình này học sinh sẽ liên hệ được với nhiều với nhiều 
vấn đề hình học đã học ở lớp dưới, mở ra một cách nhìn mới về hình học. Từ đó 
các em có thể sáng tạo ra nhiều bài toán hoặc nhiều dạng toán mới. 
Kết luận: 
Khi học xong chương trình này, học sinh cần làm tốt các bài tập trong 
sách giáo khoa và các bài kiểm tra trong chương. 
3, Phương pháp giải toán bằng toạ độ
PPTĐ trong không gian là phương pháp giải các bài toán HHKG mà ở 
đó  ta  quy  định  việc  giải  chúng  về  khảo  sát  nhiều  phương  trình  (hệ  phương 
trình). 
Các bước giải bài toán HHKG bằng PPTĐ: 

 Bước 1: Chọn hệ toạ độ thích hợp 
 Bước 2: Chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ. 

Vò ThÞ V©n

10

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
 Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức toạ độ 
 Bước 4:  Phiên  dịch các kết quả từ ngôn  ngữ toạ  độ sang  ngôn  ngữ 
hình học 
Một vài ví dụ về cách chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ. 
 3  điểm  A,  B,  C  phân  biệt  thẳng  hàng  tương  đương  một  điểm  thoả 




mãn phương trình đường thẳng đi qua hai điểm kia hoặc  AB  = k  AC . 


 4  điểm  A,  B,  C,  D  phân  biệt  đồng  phẳng  tương  đương  [ AB , 
 
AC ] AD  = 0 hoặc tọa độ của một điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng 

đi qua 3 điểm kia. 
Xác  định  khoảng  cách,  góc  giữa  các  yếu  tố  trong  không  gian  khi 
chuyển sang phương pháp tọa độ chủ yếu là dùng các công thức tính khoảng 

cách, góc giữa các yếu tố. 
D. Cách chọn hệ tọa độ đối với mỗi loại hình
1. Hình chóp tam giác
1.1 Hình chóp đều 
Cho hình chóp đều SABC, có 3 cách chọn hệ tọa độ là: 
z 
S 

Cách1:  
    O trùng với tâm đáy             
    Tia Ox    OA tia Oy 
trùng tai qua O và có 
cùng phương chiều với tia 
CB 
    Tia Oz    OS 

x 
A 

C 
O 

 

y 
B 

 

Vò ThÞ V©n

11

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
z 
S 

x 

A 

Cách 2:                                                          
O    M – trung điểm BC                               
tia Ox    MA                         
tia Oy    MB                                                 
tia Oz    tia qua M và có 
cùng  phương chiều với 
tia O’S. 

C 
O 
M  O 
B 

 

y 

 
z 

Cách 3:  
O    A 
Tia Ox    Ax 
trong  đó  Ax     (ABC)  và 
vuông góc với AC. 
Tia Oy    AC, tia Oz     tia 
qua A và có cùng phương 
chiều với tia O’S. 

S 

A  O 

C 
y 

O 
x 

M 

 

B 

 

1.2, Hình chóp SABC có đáy SA vuông góc với đáy ABC
Các trường hợp của đáy: 
 
z 

* Trường hợp 1: Đáy là 
tam giác vuông tại A. 
  Cách chọn hệ tọa độ là: 
  O    A  tia Ox    AB 
               tia Oy    AC,  
               tia Oz    AS                                       

S 

B 

A 

C 

y 

 

x
x 

Vò ThÞ V©n

 

12

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Trường hợp 2: đáy là tam giác cân tại A. 
Có hai cách chọn hệ tọa độ: 
z 
S 

C 

O  A 

y 

Cách 1: 
O    A, tia Ox    Ax 
Ax    (ABC) và tia Ax  AC. 
tia Oy    AC, Oz    AS, 
    Cách này cũng áp dụng cho 
trường hợp   ABC đều hoặc 
cân tại C. 
 

x 

B 

 

 
 
z 

Cách 2: 
                                                                        
O    A, tia O x    A x,                                         
Ax    (ABC) và Ax  AI;                                    
I - là trung điểm BC     
tia Oy    AI                                                         
tia Oz    AS. 

S 
C 

O  A 

y 

x 

I 
B 

 
 
* Trường hợp 3: đáy là tam giác đều hay tam giác cân tại C. 

Cách chọn hệ tọa độ giống cách 1 của trường hợp đáy là tam giác cân 
tại A 
* Trường hợp 4: đáy là tam giác vuông tại B. 
Có 2 cách chọn hệ tọa độ là: 

Vò ThÞ V©n

13

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
z 

Cách 1: 
     O    A, tia Ox    Ax 
      Tia Oy    AB 
      Tia Oz    AS. 
      Ax    (ABC) và 
      Ax  AB. 

S 
B 

O  A 
y 

x 
C 

 

 
Cách 2: 

z 
S 

O    B. tia Ox    BC; 
tia Oy    BA 
tia Oz    tia qua B và có cùng 

A 

O  B 

phương chiều với tia AS. 

y 
C 

 

 
x 

2. Hình chóp tứ giác 
2.1, Hình chóp đều SABCD
Cách chọn hệ tọa độ là: 

Cách 1:   
 O    tâm đáy, 
Tia Ox    tia qua O và có cùng  
phương, chiều với tia DC. 
Tia Oy    tia qua O và có cùng 
 phương,chiều với tia AD. 
Tia Oz    SO. 
 

 
 

Vò ThÞ V©n

14

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp

 Cách 2:  
O    tâm đáy                                                
tia Ox    OB 
tia  Oy    OC 
tia Oz     OS 

 
 
2.2, Hình chóp SABCD có SA  (ABCD)

Có các trường hợp của đáy là: 
 

z 
S 

A 

D 

a, Đáy là hình chữ nhật hoặc 
hình vuông: 
   cách chọn hệ trục tọa độ: 
  O    A 
 tia Ox    AB 
 tia Oy    AD 
y   tia Oz    AS 

B 

 
C 

x 

 
 
z 
S 

A 

D 
y 

B 
x 

C 

  b, Đáy là hình thang vuông tại 
A và B  
(tương tự tại C và D). 
Cách chọn hệ tọa độ: 
  O    A; tia Ox    AB 
  tia Oy    AD 
  tia Oz   AS 
 

 

Vò ThÞ V©n

15

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
 

z 

c, Đáy là nửa lục giác đều. 
Cách chọn hệ tọa độ: 
  O    A; tia Ox    Ax 
  tia Oy    AD 
  tia Oz   AS 
  Ax    (ABCD) và Ax  AD 

S 

D 

O    A 

y 
B 

x 

 

C 

 
 
z 

d, Đáy là hình thoi. 
O    A; tia Ox    Ax 

  tia Oy    AC 
  tia Oz   AS 
  Ax    (ABC) và Ax  AC 

S 
D 
C 

O    A 

 

y 
x 

B 

 
2.3, Hình chóp SABCD có đáy ABCD, tâm O, SO  (ABCD) 
+ Nếu ABCD là hình vuông thì có 3 cách chọn tọa độ: 
Cách 1:   
 O    tâm đáy, 
tia Ox    tia qua O và có cùng  
phương, chiều với tia DC. 
Tia Oy    tia qua O và có cùng 
 phương, chiều với tia BC. 
 

Tia Oz    SO. 

 

Vò ThÞ V©n

16

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
z 
S 

Cách 2:                                            
Chọn gốc O    A,                                                       
Tia Ox    AB, Oy    AD;                                           
tia Oz    tia qua O và có cùng                                    
phương, chiều với tia SO. 

D 

A 

y 
O 

B 

C 

x 

z 
S 

Cách 3:  
O    tâm đáy 
tia Ox    OB 
tia Oy    OC 
tia Oz   OS 

D 

A 
O 

B 

 

C 
x 

y 

3, Hình lăng trụ 
3.1, Hình lăng trụ tam giác
Lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ 
Các trường hợp của đáy: 
z 

A’ 

a, Đáy là tam giác vuông tại A 
Cách 2 chọn hệ tọa độ là: 
        O    A; tia Ox    AB 
        tia Oy    AC 
        tia Oz    AA’ 

C’ 

B’ 
A 

C 
y 

B 
x 

Vò ThÞ V©n

17

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp

z 
C’ 

A’ 
B’ 
C 

A 

y 
B 

x 

        b, Đáy là tam giác cân tại 
A. 
    Có 2 cách chọn tọa độ: 
  Cách 1: 
          O    A, tia Ox    tia Ax, 
          tia Oy    AI;  
           I - là trung điểm BC 
          Ax    (ABC) và Ax   AI 
           tia Oz    AA’. 
 

 
 
z 
B’ 

Cách 2: 
                                                                              
O    B, tia Ox    tia Ax,                                        

tia Oy    BC;                                                 
Bx    (ABC) và Bx  BC                                       
tia Oz    BB’. 

C’ 
A’ 

B 

C 
y 

x 

A 

 

 

z 
A’ 

C’ 

B’ 
C 

A 
O 

x 

B 

y 

c, Đáy là tam giác đều. 
      Có 3 cách chọn tọa độ: 
cách 1 và cách 2 giống trường 
hợp b. 
Cách 3: 
      O    tâm đáy, 
tia Ox    OB; 
tia Oy    tia qua O và có cùng  
phương, chiều với tia AC. 
tia Oz    tia qua O và có cùng 
phương, chiều với tia AA’ 
 

 
Vò ThÞ V©n

18

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
3.2, Lăng trụ tứ giác
Lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ 

Các trường hợp của đáy: 
a, Đáy là hình chữ nhật. 
Có 2 cách chọn hệ tọa độ là: 
 
z 
A’ 

D’ 

B’ 

C’ 
D 

A 

y 

Cách 1:                                                        
O    A;  
tia Ox    AB                 
tia Oy    AD                                                
tia Oz   AA’ 

B 
C 
x 

 
 

z 
A 
B 

D 
C 

A’ 
O 
B’ 

Cách 2: 
      O    tâm đáy, 
tia Ox    tia qua O và có cùng  
phương, chiều với tia D’C’ 
tia Oy    tia qua O và có cùng 
D’ 
phương, chiều với tia B’C’. 
y  tia Oz    tia qua O và có cùng 
phương, chiều với tia AA’ 
 

C’ 
x 

 
 

Vò ThÞ V©n

19

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
b, Đáy là hình thoi: 
z 
A’ 

B’ 
O’ 

O    tâm đáy ABCD; 
 tia Ox    OD;   
 tia Oy    OC 
 tia Oz   OO’ 
O – là tâm của 
A’B’C’D’ 

C’ 

D’ 

B 

A 
O 

 

x 

C 

D 
y 

 
 
c, Đáy là hình lập phương (khi đó ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương) 
Có 3 cách chọn tọa độ, gồm 2 trường hợp a và b: 
 
d, Đáy là hình thang vuông tại A và B (tương tự tại C và D). 
z 
A’ 

D’ 

B’ 
C’ 
A 

D 

y 

    Cách chọn: 
      O    A; tia Ox    AB 
      tia Oy    AD 

      tia Oz   AA’ 
 

B 
C 

 

x 

 
 
 
 
 

Vò ThÞ V©n

20

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc


Kho¸ luËn tèt nghiÖp
e, Đáy là hình thang cân có đáy AB. 
z 

Cách chọn: 
O    A, 
tia Ox    tia Ax, 

tia Oy    tia AB;  
Ax    (ABCD) và Ax  AB 
tia Oz    AA’. 

A’ 
C’ 

D’ 
B’ 

A 

B 
y 
D 

x 

C 

 

Vò ThÞ V©n

21

K34A – Gi¸o dôc TiÓu häc