Rèn luyện và phát triển tư duy logic cho học sinh tiểu học qua giải bài toán hình học

PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phát triển trí tuệ cho HS Tiểu học là một trong những vấn đề được quan
tâm hàng đầu của hầu hết các quốc gia, của nhà trường, của các bậc cha mẹ và
các thầy cô giáo. Cùng với tất cả các môn học trong chiến lược “Giáo dục
toàn diện”, có thể nói toán học đóng vai trò hết sức quan trọng. Chính vì vậy
nội dung toán học ở Tiểu học được xây dựng nhằm góp phần hình thành và
phát triển những cơ sở ban đầu rất quan trọng của nhân cách con người. Các
kiến thức, kĩ năng của toán có rất nhiều ứng dụng trong đời sống. Toán học
giúp HS nhận biết mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế
giới hiện thực. Nhờ đó HS nhận biết một số mặt của thế giới xung quanh và
biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống. Đồng thời, môn toán góp
phần vào việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, suy luận, giải quyết vấn đề,
góp phần phát triển trí thông minh, cách suy ngĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo.
Nó đóng góp vào việc hình thành các phẩm chất quan trọng của người lao
động như: cần cù, cẩn thận, chính xác, có ý thức vượt khó, làm việc có kế
hoạch, có nề nếp và tác phong khoa học.
Như vậy, môn toán ở Tiểu học không chỉ rèn luyện cho các em đơn
thuần là khả năng tính toán, mà chủ yếu rèn cho các em năng lực tư duy.
Chính bởi sự tư duy sâu sắc mà các em mới có thể nhạy bén hơn trong quá
trình học tập nhiều môn học khác và khi tham gia các hoạt động thực tế. Rèn
luyện toán học không có nghĩa đơn giản là rèn luyện cho các em trở thành
những nhà Toán học, những bậc thầy trong giải toán mà đơn giản chính là rèn
luyện tư duy để các em trở nên linh hoạt hơn khi tiếp cận những vấn đề trong
đời sống hằng ngày.
Mặt khác, nội dung hình học ở Tiểu học là bộ phận cấu thành có khả
năng phát triển năng lực trí tuệ và năng lực tư duy mạnh mẽ nhất cho HS tiểu

1

học. Mà chủ yếu các nội dung này được đặc biệt qua tâm ở các lớp cuối cấp
(lớp 4, lớp 5). Cụ thể là thông qua các bài toán nâng cao, bồi dưỡng mang nội
dung hình học.
Với cương vị là một giáo viên Tiểu học trong tương lai, xuất phát từ
những lí do trên, tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát triển tư duy logic cho
học sinh Tiểu học qua giải bài toán hình học.”
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận phép suy luận, suy diễn, chứng minh trong
toán học.
- Nghiên cứu cơ sở thực tiễn về giải toán ở Tiểu học.
- Nghiên cứu việc vận dụng phép suy luận toán học phù hợp với thực
tiễn vào giải toán hình học.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Các bài toán hình học ở tiểu học
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán lớp 4, 5.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: nghiên cứu SGK, STK, một số đề thi
HSG liên quan.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

2


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Cơ sở lí luận
1.1. Suy luận là gì?
a, Khái niệm
- Suy luận là quá trình suy nghĩ từ một hay nhiều mệnh đề rút ra mệnh
đề mới. Mỗi mệnh đề đã có gọi là tiền đề suy luận. Mệnh đề mới gọi là kết

luận hay hệ quả logic.
- Ta kí hiệu:
X X 2 ……X n ⇒Y là một suy luận rút ra từ mệnh đề lớn; Y là kết luận.

 Nếu X X 2 ……X n ⇒Y là hằng đúng thì ta bảo đó là hợp logic, Y được
1

1

gọi là kết luận logic hay hệ quả logic.
Từ định nghĩa ta thấy: Nếu X X 2 ……X n =1 và suy luận là hợp logic
1

thì Y=1
Nếu X X 2 ……X n = 0 và suy luận là hợp logic thì ta chưa thể có kết
1

luận gì về Y. Kết luận được rút ra có thể đúng và cũng có thể là sai.
Nếu tồn tại bộ giá trị của (X X 2 ……X n , Y) mà X X 2 ……X n ⇒Y
1

1

nhận giá trị 0 thì ta bảo suy luận không phù hợp logic hay suy luận sai.
 Một suy luận hợp logic là một quy luật logic thường kí hiệu là
X 1 X 2 ....... X n
Y

hay :

X1
X 2
Xn
Y

3


 Ví dụ:
Nếu kí hiệu:
X 1 : số tự nhiên chia hết cho 6
X : số tự nhiên chia hết cho 9
2

Y: số tự nhiên chia hết cho 3
Thì định lí được viết: X 1 ∪ X 2 ⇒ Y. Ta có thể hiểu rằng một số chia hết cho 3
hoặc chia hết cho 6 thì chia hết cho 9.
Đây là một suy luận không hợp logic.
b. Phân loại suy luận
b.1 Căn cứ vào số lượng các tiền đề trong mệnh đề lớn
- Suy luận chỉ có 1 tiền đề (n =1) là suy luận trực tiếp.
- Suy luận mà tiền đề lớn có nhiều hơn 1 (n > 1) là suy luận dán tiếp.
- Ví dụ:
+ Suy luận dán tiếp:

(X  Y)X
Y

+ Suy luận trực tiếp:

A
A

b.2 Căn cứ vào tính chất đúng sai của mệnh đề mới
- Suy luận theo quy tắc chung, tổng quát xuất phát từ các tiền đề đúng
được gọi là suy luận chứng minh. Kết luận của suy luận chứng minh chắc
chắn đúng.
- Suy luận mà kết luận rút ra chỉ có tính ước đoán gọi là suy luận có lí.
Bao gồm: suy luận quy nạp không hoàn toàn, phép tương tự hoá, khái quát
hoá.
b.3 Căn cứ vào kết luận hay tính chất suy luận
Dựa vào kết luận (hay tính chất suy luận) của các mệnh đề, ta phân ra
loại suy luận suy diễn và suy luận suy đoán (phép quy nạp).

4


- Suy diễn: là suy luận theo quy tắc, đi từ cái chung tổng quát đến cái
riêng, cái cần chứng minh.
- Suy luận quy nạp: đi từ cái riêng, cụ thể đến cái chung. Kết luận của
suy luận quy nạp chỉ mang tính chất ước đoán. Người ta thường gọi các suy
luận này là phép suy đoán.
Ta xét hai phép suy luận được áp dụng phổ biến trong dạy học toán ở
bậc Tiểu học là suy luận suy diễn và suy luận quy nạp.
1.2 Hai loại suy luận, suy đoán và suy diễn
a. Suy luận suy đoán (phép quy nạp)
a.1 Khái niệm
Người ta gọi phép suy đoán là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết
luận chung, từ cái ít tổng quát tới cái tổng quát hơn; phép suy luận không tuân
theo quy tắc chung cho quá trình suy luận mà chỉ dựa trên cơ sở quan sát và

thực nghiệm.
a.2 Đặc điểm
- Quá trình rút ra kết luận luôn tuân theo quy tắc logic.
- Nếu suy luận xuất phát từ một tiền đề đúng thì sẽ rút ra một kết luận
đúng.
- Phép quy nạp được ứng dụng rộng rãi trong trình bày toán học, trong
thực tiễn dạy và học ở trường phổ thông.
a.3 Phân loại
Có 2 loại quy nạp: quy nạp không hoàn toàn và quy nạp hoàn toàn.
(1) Quy nạp không hoàn toàn
Định nghĩa:

5


Quy nạp không hoàn toàn là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung
được rút ra chỉ dựa vào một số trường hợp cụ thể được xét đến. Kết luận của
phép quy nạp không hoàn toàn chỉ có tính chất ước đoán, vì vậy còn gọi là
các giả thiết.
Sơ đồ
A 1 , A 2 ,….A n là B (hoặc có tính chất B)
A 1 , A 2 ,….A n là những phần tử thuộc A
Kết luận: Mọi phần tử của A là B (hoặc có tính chất B)
Chú ý: Trong sơ đồ trên, A 1 chỉ là các phần tử thuộc A, không phải là tất cả.
Các ví dụ:
Trong toán 4, trong khi tính toán thì ta thấy:
18  3, 27  3, 36  3...
Mà : 18  9, 27  9, 36  9...
Ta rút ra kết luận : “ Mọi số tự nhiên chia hết cho 3 thì chia hết cho 9”(1)
Trong dạy học toán 4, dựa vào một số trường hợp riêng như: 5  5, 15  5, 25 

5, 35  5…nếu ta rút ra kết luận : “Mọi số tự nhiên có tận cùng là 5 đều chia
hết cho 5” thì có nghĩa là ta đã dùng phép suy luận không hoàn toàn.(2)
Trong dạy học toán 5, khi học về số thập phân; dựa vào một số trường
hợp cụ thể như:
3 : 0,5 = 6
7 : 0,5 = 14
9 : 0,5 = 18
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh nhận xét “Thương gấp đôi số bị
chia”. Từ đó rút ra quy tắc chung : “Muốn chia một số cho 5 ta chỉ cẩn gấp
đôi số đó”. Như thế là ta đã dạy học sinh “Quy tắc chia nhẩm một số cho
0,5”(3)

6


Ở ví dụ (1), các tiền đề là hằng đúng, tuy nhiên kết luận không hợp
logic vì kết luận được rút ra khi chưa khảo sát tất cả các trường hợp. Vì vậy
suy luận là chưa đúng (giá trị của Y bằng 0).
Trong ví dụ (2) (3) các tiền đề là hằng đúng và có kết luận hợp logic đi
từ các hằng đúng cụ thể đến kết luận tổng quát (có giá trị bằng 1) nên suy luận
là một suy đoán hợp logic.
(2) Quy nạp hoàn toàn
Định nghĩa:
Quy nạp hoàn toàn là phép suy luận trong đó kết luận tổng quát được
rút ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp riêng. Vì kết luận được rút
ra trên cơ sở đã khảo sát tất cả các trường hợp nên kết luận của phép quy nạp
hoàn toàn có độ chính xác cao hơn so với phép quy nạp không hoàn toàn.
Các ví dụ:
Từ ví dụ (1) nếu ta rút ra kết luận : “Trong phạm vi 50 số tự nhiên đầu
tiên, các số có tận cùng là 5 đều chia hết cho 5” thì ta đã dùng phép quy nạp

hoàn toàn. Và đây là một suy đoán hợp logic.
a.4 Vai trò của phép suy luận quy nạp trong dạy Toán ở Tiểu học
Trong dạy học ở Tiểu học, phép suy đoán quy nạp, đặc biệt là quy nạp
không hoàn toàn được sử dụng phổ biến và hiệu quả. Vì những lí do sau:
- Mặc dù kết luận của phép suy luận không hoàn toàn không chắc chắn
đúng song trong việc dạy Toán ở Tiểu học phép quy nạp không hoàn toàn vẫn
đóng vai trò quan trọng.
- Vì học sinh Tiểu học còn nhỏ, trình độ hiểu biết còn non nớt, các vấn
đề giảng dạy đều phải qua thực nghiệm nên đây là phương pháp chủ yếu nhất,
đơn giản nhất, dễ hiểu nhất đối với học sinh.
- Tuy phép suy luận này chưa cho phép ta chứng minh chân lí mới,
nhưng nó cũng giúp ta đưa các em thật sự đến gần các chân lí ấy; nó giải thích

7


được ở một mức độ nào đó các kiến thức mới, tránh tình trạng bắt buộc thừa
nhận kiến thức mới một cách hình thức, hời hợt.
Đặc đểm tư duy của học sinh Tiểu học là tính cụ thể. Các em có tư duy
trừu tượng được thì cũng phải dựa trên các ví dụ, những sự vật cụ thể, rõ ràng;
dựa trên những kiến thức sẵn có.
Vì vậy, nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có thể giúp các em tự
tìm ra kiến thức một cách chủ động, tích cực và nắm kiến thức một cách rõ
ràng, có ý thức, chắc chắn. Trong dạy học toán ở Tiểu học, chúng ta thường
dùng phương pháp quy nạp không hoàn toàn để dạy bài mới.
* Ta xét một ví dụ trong một bài toán hình cụ thể sau:
Ở lớp 3, để dạy cho học sinh quy tắc tính diện tích hình chữ nhật, giáo
viên có thể làm như sau:
- Xét một hình chữ nhật cụ thể có chiều dài 4 cm, chiều rộng 3 cm, rồi
chia thành các ô vuông 1 cm 2 .

- Sau đó hướng dẫn học sinh nhận xét như sau:
+ Mỗi hàng có 4 ô vuông
+ Có 3 hàng, vậy có tất cả: 4 × 3 = 12 (ô vuông)
Vậy diện tích hình chữ nhật là: 12 cm 2
12 là tích của: chiều dài nhân chiều rộng và bằng:
3 × 4 = 12 (cm 2 )
- Vì 4 cm là chiều dài, 3 cm là chiều rộng của hình chữ nhật nên từ ví
dụ trên ta hướng dẫn cho học sinh tự rút ra quy tắc (chung) : “Muốn tính diện
tích hình chữ nhật ta lấy chiều dài nhân với chiều rộng.”(cùng đơn vị đo)
⇒Như vậy ta đã sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn để dạy học
sinh “Quy tắc tính diện tích hình chữ nhật.”
Ngoài phép quy nạp (hoàn toàn và không hoàn toàn) trong toán học còn
hay sử dụng các phép suy đoán như: phép tương tự, phép khái quát hóa.

8


b. Suy diễn
b.1 Định nghĩa: Suy diễn là suy luận hợp logic, đi từ cái đúng chung đến kết
luận cho cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát.
b.2 Đặc trưng
- Đặc trưng của suy diễn là việc rút ra mệnh đề mới từ các mệnh đề
đúng đã có được thực hiện theo các quy tắc logic.
- Kết luận có tính ước đoán, có thể đúng, có thể sai.
- Suy luận tuân theo các quy tắc, khẳng định rằng nếu tiền đề mà đúng
thì kết luận cũng đúng. Trong trường hợp đó phép suy luận gọi là suy luận
chứng minh.
- Là phép suy luận có ý nghĩa to lớn trong sáng tạo toán học, trong dạy
và học ở trường phổ thông.
Ta đi xét 2 trường hợp đặc biệt của suy diễn, đó là 2 phép chứng minh

trực tiếp : chứng minh tổng hợp và chứng minh phân tích đi lên.
b.3 Hai phương pháp chứng minh toán học ở Tiểu học
1) Phương pháp chứng minh tổng hợp
i. Định nghĩa: Phương pháp chứng minh tổng hợp là phương pháp chứng
minh đi từ điều đã cho trước hoặc điều đã biết nào đó đến điều cần tìm, cần
chứng minh.
Phương pháp chứng minh tổng hợp được hình thành trên cơ sở quy tắc
logic kết luận (tam đoạn luận khẳng định)

( A  B), A
B

ii. Sơ đồ
A ⇒ B ⇒ C ⇒ ……⇒ Y ⇒ X
Trong đó: A là mệnh đề cho trước đã biết, B là hệ quả logic của A, C là
hệ quả logic của B….,X là hệ quả logic của Y.

9


Phép chứng minh tổng hợp còn gọi là phép đi xuôi.
iii. Vai trò của phương pháp chứng minh tổng hợp trong dạy học toán
- Phương pháp chứng minh tổng hợp dễ gây khó khăn đột ngột, không
tự nhiên vì mệnh đề được chọn làm mệnh đề xuất phát nếu là mệnh đề đúng
đã biết nào đó thì nó hoàn toàn phụ thuộc vào năng lực của từng học sinh.
Tuy nhiên đây là phương pháp ngắn gọn vì thường từ mệnh đề tiền đề
ta dễ suy luận trực tiếp ra một hệ quả logic của nó.
- Phương pháp chứng minh tổng hợp được sử dụng rộng rãi trong trình
bày chứng minh toán học, trong việc dạy và học toán ở trường tiểu học cũng
như ở trường phổ thông.

Các ví dụ
Ví dụ 1: Ta xét một bài toán lớp 5: “Một tổ kĩ thuật cấy lúa trên một
thửa ruộng hình thang có đáy nhỏ dài 50 m, đáy lớn dài hơn đáy nhỏ 28 m và
chiều cao bằng

1
của tổng độ dài hai đáy. Cứ 1 dam 2 thì thu được 36 kg thóc
4

khô. Tính xem thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu thóc?”
Với bài toán trên, ta có thể hướng dẫn học sinh suy luận theo lối tổng
hợp sau:
- Bài toán cho đáy nhỏ dài 50 m, đáy lớn dài hơn đáy nhỏ 28 m, vậy
ta có thể suy ra độ dài đáy lớn là : 50 m + 28 m.
- Bài toán cho chiều cao bằng

1
tổng độ dài hai đáy. Biết đáy nhỏ,
4

tính đáy lớn rồi ta sẽ tìm được tổng hai đáy rồi suy ra suy ra chiều cao.
- Đã có độ dài hai đáy và chiều cao, vậy ta có thể tìm được diện tích
- Bài toán đã cho 1 dam 2 thì thu được 36 kg thóc, vậy ta tính được sản
lượng thóc (theo diện tích vừa tính được).

10


* Nói cách khác ta có thể giải bài toán đã cho và trình bày theo đường lối
tổng hợp như sau:

Bài giải:
Đáy lớn thửa ruộng hình thang dài : 50 + 28 = 78 (m)
Chiều cao là :

50  70
= 32 (m)
4

Diện tích thửa ruộng là:
(70  57)  32
 32 = 2048 (m 2 ) hay 20,48 dam 2
2

Số thóc thu hoạch được là:
20,48 × 36 = 737,28 (kg)
Đáp số : 737,28 kg thóc
2) Phép chứng minh phân tích đi lên
i, Định nghĩa: Phương pháp chứng minh phân tích đi lên là phương pháp
chứng minh suy diễn đi ngược lên từ điều cần tìm, điều cần chứng minh đến
điều đã cho trước hoặc đã biết nào đó.
ii, Sơ đồ:
X ⇐ Y ⇐……..⇐B ⇐ A
Trong đó: X là mệnh đề cần chứng minh, Y là tiền đề logic của X,…..
A là tiền đề logic của B, A là mệnh đề cho trước.
iii, Vai trò của phương pháp phân tích đi lên
- Phương pháp chứng minh phân tích đi lên tự nhiên, thuận tiện vì
mệnh đề chọn là mệnh đề xuất phát là mệnh đề cần tìm, cần chứng minh, hay
mệnh đề kết luận.
Khi cần suy nghĩ để tìm cách giải một bài toán thì đây là phương pháp
hay dùng nhất.

11


- Tuy nhiên phương pháp này khá dài dòng, mất nhiều thời gian vì
thường từ mệnh đề đã chọn làm mệnh đề kết luận ta có thể tìm ra nhiều mệnh
đề khác nhau làm tiền đề logic của nó.
- Phương pháp chứng minh phân tích đi lên được sử dụng rộng rãi
trong phân tích tìm ra đường lối chứng minh toán học, trong việc dạy và học
toán ở trường tiểu học cũng như các trường phổ thông.
Các ví dụ
- Ta lại xét ví dụ bài toán về tìm sản lượng thóc. Cũng bài toán này,
thay bằng chứng minh tổng hợp – nếu hướng dẫn học sinh làm theo hướng
phân tích đi lên thì giáo viên sẽ làm như sau:
+ Bài toán hỏi số thóc thu được ở thửa ruộng hình thang. Muốn tìm sản
lượng thóc ta phải biết năng suất và diện tích. Đề bài toán đã cho năng suất là
36 kg mỗi dam 2 nhưng chưa cho diện tích.
+ Muốn tìm diện tích hình thang ta phải biết đáy nhỏ, đáy lớn và chiều
cao. Đề bài toán cho độ dài đáy nhỏ (50 m) nhưng chưa cho độ dài đáy lớn và
chiều cao.
+ Muốn tìm đáy lớn, biết đáy lớn dài hơn đáy nhỏ 28 m, ta làm phép
cộng.
+ Muốn tìm chiều cao, biết chiều cao bằng

1
tổng độ dài hai đáy. Ta
4

tính tổng độ dài 2 đáy rồi chia cho 4.
- Từ phân tích trên có thể biểu diễn dưới dạng sơ đồ sau:

Tính sản lượng thóc

⇑
Tính diện tích thửa ruộng

⇑
Tính chiều cao

12


⇑
Tính độ dài đáy lớn
Bài giải:
Đáy lớn dài : 50 + 28 = 78 (m)
Chiều cao là :

50  70
= 32 (m)
4

Diện tích thửa ruộng là:
(70  57)  32
 32 = 2048 (m 2 ) hay 20,48 dam 2
2

Số thóc thu hoạch được là:
20,48 × 36 = 737,28 (kg)
Đáp số : 737,28 kg thóc
3) Mối quan hệ giữa phương pháp tổng hợp và phương pháp phân tích

So sánh hai phương pháp, ta thấy:
- Phương pháp tổng hợp rõ ràng, sáng sủa, gọn gàng và có hệ thống tốt
hơn. Các chứng minh trong sách thường được trình bày theo hướng này.
Tuy nhiên, phương pháp tổng hợp có nhược điểm là không nêu rõ lí do
của mỗi việc làm. Khi theo dõi bài giảng (trình bày theo đường lối tổng hợp)
thì các em sẽ không rõ mục đích của mỗi việc làm.
- Còn phương pháp phân tích thì ngược lại, học sinh luôn hiểu rõ lí do
của mỗi việc mình làm (vì sao phải chọn phép tính này mà không chọn phép
tính kia?). Như vậy, suy nghĩ luôn có phương hướng xác định, tính tích cực,
chủ động được phát huy. Tuy nhiên, bài giảng thường dài hơn, tốn nhiều thời
gian hơn.
- Vì các ưu nhược điểm trên nên giáo viên phải khéo léo kết hợp để bảo
đảm sự cân đối giữa hai phương pháp trong lúc giảng dạy.

13


+ Khi muốn suy nghĩ để tìm ra cách giải thì ta thường dùng lối phân
tích.
+ Khi đã tìm ra cách giải rồi, muốn trình bày hoặc viết bài giải của bài
toán ra thì thường dùng lối tổng hợp.
2. Cơ sở thực tiễn
2.1 Đặc điểm tư duy của HS Tiểu học
Nhìn chung, ở HS Tiểu học nhất là học sinh lớp dưới hệ thống tín hiệu
thứ nhất còn chiếm ưu thế so với hệ thống tín hiệu thứ hai, do đó các em rất
nhạy cảm với các tác động bên ngoài, điều này phản ánh trong nhiều hoạt
động nhận thức của học sinh Tiểu học.
Khả năng phân tích kém nên các em thường tri giác tổng thể. Tri giác
không gian chịu nhiều tác động của trường tri giác, gây ra các “biến dạng”,
các “ảo giác”. Tri giác thời gian của học sinh lớp dưới thường mang tính trực

giác. Về sau các hoạt động tri giác phát triển và được hướng dẫn bởi các hoạt
động nhận thức nên chính xác dần.
Sự chú ý không chủ động còn chiếm ưu thế ở HS Tiểu học. Sự chú ý
này không bền vững, nhất là với những đối tượng ít thay đổi. Do thiếu khả
năng phân tích, tổng hợp nên các em dễ bị phân tán, dễ bị lôi cuốn vào cảm
giác trực quan, gợi cảm. Sự chú ý của các em thường hướng ra ngoài vào
hành động chứ không hướng vào bên trong, vào tư duy.
Trí nhớ trực quan hình tượng và trí nhớ máy móc phát triển hơn trí nhớ
logic, hiện tượng hình ảnh cụ thể dễ nhớ hơn các câu chữ khô khan. Trí nhớ
tưởng tượng có phát triển nhưng còn tản mạn, ít có tổ chức và còn chịu nhiều
tác động của hứng thú, kinh nghiệm sống và các mẫu hình đã biết.
Với các đặc điểm của tư duy HS tiểu học đã nêu lựa chọn các thức dạy
học nào đó trong quá trình giải toán để đạt hiệu quả cao, làm sao thu hút được

14


sự chú ý của các em, giúp các em hiểu được bản chất bài toán để giải bài toán
một cách khoa học, logic qua đó phát triển khả năng tư duy của các em.
2.2 Một số đặc điểm về tư duy toán học
Nếu như ở mức độ cảm tính, con người chỉ phản ánh được những thuộc
tính bên ngoài của các mối quan hệ về không gian và trạng thái vận động của
của sự vật, hiện tượng thì tư duy được hiểu là sự phản ánh những thuộc tính
bên trong, bản chất, những mối liên hệ mang tính quy luật của sự vật hiện
tượng. Nhờ tư duy mà mà con người nhận biết tri thức, tư duy mang tính sang
tạo và có mối liên hệ mật thiết với ngôn ngữ. Do vậy tư duy có tính trừu
tượng và khái quát.
Toán học không nghiên cứu một dạng riêng biệt nào của hoạt động vật
chất, nó gạt bỏ tất cả các tính chất có thể cảm thụ bằng các giác quan của sự
vật hiện tượng, chỉ giữ lại cái chung, tồn tại khách quan. Chính vì thế, môn

toán nói chung và hình học nói riêng rất có ích trong việc phát triển tư duy
của học sinh.
Cũng giống như các hình thức tư duy khác, tư duy toán học cũng được
thực hiện thông qua các thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng
hóa, khái quát hóa. Các thao tác này vừa tách bạch, vừa bổ sung cho nhau,
thống nhất với nhau trong một quá trình tư duy.
2.3 Việc dạy và học hình học ở Tiểu học
Các kiến thức hình học ở Tiểu học được phát triển dần qua từng thời kì;
từ việc quan sát trực quan đến việc nghiên cứu không gian vật lí của các hình
hình học đó. Do vậy, ở Tiểu học, khi học hình học vẫn dựa trên cơ sở trực
giác, chưa đòi hỏi phải có lập luận chặt chẽ. Các em vẫn cần phải được thao
tác trên đồ vật, thu thập thông tin thông qua các giác quan, sau đó mô tả lại.
Tất nhiên, vẫn phải yêu cầu học sinh nhận ra được các tính chất để nhận dạng
nhưng không nhất thiết phải thiết lập được mối quan hệ giữa các yếu tố với

15


nhau. Liền với đó cũng yêu cầu HS phải nắm được hệ thống đo lường và
những cách tính chu vi, diện tích, thể tích của các hình. Như vậy, việc dạy các
yếu tố hình học ở Tiểu học mới chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho HS những
hiểu biết cần thiết về hình dạng, vị trí, kích thước của các vật trong không
gian, đồng thời chuẩn bị cho việc học hình học ở các lớp trên.
Các bài tập hình học ở Tiểu học rất đa dạng và phong phú. Có nhiểu bài
nhằm rèn luyện khả năng tính toán chu vi, diện tích, thể tích…dựa vào những
công thức có sẵn; và cũng có những bài toán khó giúp HS có điều kiện phát
triển trí thông minh, óc sáng tạo, phát triển tư duy logic. Đối với học sinh khá
giỏi, để tạo điều kiện cho các em phát huy hết khả năng của mình thông qua
các bài toán hình học nâng cao là một việc làm hết sức cần thiết.
Dạy học các yếu tố hình học nói chung bao gồm các mảng kiến thức

sau:
- Hình thành biểu tượng hình hình học (các biểu tượng góc, hai đường
thẳng song song, biểu tượng về các hình bình hành, hình tam giác...)
- Rèn các kĩ năng thực hành như: vẽ hình hình học, đo lường hình học
và tính toán hình học.
- Dạy học các đại lượng hình học như: công thức tính chu vi, diện tích,
thể tích…một số hình hình học đã được học.
- Dạy học giải toán có “nội dung” hình học.
2.4 Nội dung, mục tiêu và ý nghĩa chương trình Toán 4, Toán 5
 Nội dung dạy học của các YTHH lớp 4, 5 bao gồm các đối tượng hình
học, các quan hệ hình học và các đại lượng hình học cụ thể sau:
- Nội dung dạy học mạch kiến thức về các YTHH trong trong Toán 4
được phân phối trong chương trình lớp 4 có 14 tiết, chiếm 8,5% tổng số tiết
có trong chương trình môn toán (tính cả phần ôn tập nội dung các YTHH

16


trong chương trình môn toán lớp 4 thì gồm có 16 tiết, chiếm gần 9% tổng số
chương trình môn Toán 4).
- Nội dung dạy học mạch kiến thức về các YTHH trong môn toán 5
được phân phối nhiều hơn so với mạch các YTHH trong toán 4. Cụ thể, mạch
kiến thức này được phân phối 37 tiết, chiếm tới 21,4% tổng thời lượng dạy
học môn Toán 5. Nếu tính cả phần ôn tập về các YTHH của chương 5 thì tổng
thời lượng dạy học các YTHH lên đến gần 23,5%.
 Dạy học các YTHH trong Toán 4, Toán 5 nhằm giúp HS:
- Nhận biết: góc nhọn, góc tù, góc bẹt; hai đường thẳng vuông góc, hai
đường thẳng song song, hình bình hành, hình thoi. (Toán 4).
- Nhận biết: hình tam giác, hình thang, hình tròn, hình hộp chữ nhật,
hình lập phương, hình trụ và hình cầu. (Toán 5)

- HS biết: vẽ hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song,
vẽ hình chữ nhật, hình vuông; biết tính diện tích hình bình hành, diện tích
hình thoi. (Toán 4)
- HS biết: Tính diện tích hình tam giác, diện tích hình thang, tính chu vi
và diện tích hình tròn; tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích
hình hộp chữ nhật, hình lập phương. (Toán 5)
 Ý nghĩa của việc dạy học các YTHH trong Toán 4, Toán 5
- Toán 4 cung cấp cho học sinh một số kiến thức và kĩ năng cơ bản về
các YTHH phẳng tạo tiền đề cho học sinh bước vào giai đoạn học tập ở mức
cao hơn. Kiến thức về các YTHH giúp HS nhận thức thế giới xung quanh,
giải quyết các vấn đề liên quan thường gặp trong cuộc sống tốt hơn.
- Mạch kiến thức về các YTHH trong môn Toán 5 cung cấp cho học
sinh những kiến thức, kĩ năng về hình học phẳng và một số các kiến thức mở
đầu về hình khối. Từ đó HS nhìn khái quát, toàn diện về các YTHH trong
toàn cấp để chuẩn bị bước vào cấp học cao hơn.

17


- Nội dung của cả hai mạch kiến thức về các YTHH trong Toán 4, Toán
5 đều có sự hỗ trợ tích cực cho nội dung của các mảng kiến thức khác trong
toán học. Mảng các YTHH cùng với các mảng kiến thức số học, đại lượng và
đo đại lượng, giải toán có lời văn tạo sự thống nhất chặt chẽ trong môn toán.
+ Ví dụ như khi vận dụng các công thức để tính chu vi, diện tích các
hình, HS được củng cố các kiến thức về biểu thức có chứa chữ và kĩ năng
thực hiện phép tính.
+ Hoặc khi giải các bài toán có nội dung hình học các em được củng cố
kĩ năng về các số đo đại lượng (đổi các số đo, thực hiện phép tính trên các số
đo). Mặt khác, các em còn được rèn luyện kĩ năng giải toán và trình bày bài
toán có lời văn.

- Về nội dung, mạch kiến thức về các YTHH trong toán 4 vẫn là các
yếu tố về “hình học phẳng - trực quan” nhưng có sự logic, trừu tượng hơn giai
đoạn đầu các lớp 1, lớp 2, lớp 3. Do vậy mà khả năng phát triển tư duy, diễn
đạt ngôn ngữ (nói - viết) cũng theo đó mà phát triển hơn các lớp đầu cấp. Nội
dung và mạch kiến thức có trong môn toán lớp 5 phong phú và trừu tượng
hơn. Giúp học sinh hình thành và phát triển các năng lực về tư duy, trí tưởng
tượng không gian hay khả năng diễn đạt về ngôn ngữ cũng theo đó mà đa
dạng, phong phú và vững chắc hơn.
- Mạch kiến thức về các YTHH có trong Toán 4, Toán 5 còn góp phần
vào việc hình thành cũng như rèn luyện các phẩm chất, tính cách của người
lao động trong xã hội mới.
2.5 Việc giải toán có nội dung hình học
Bài tập hình học ở Tiểu học bao gồm các bài tập về kĩ năng nhận dạng
hình, bài tập vận dụng các công thức tính các đại lượng hình học, giải các bài
toán có nội dung hình học…

18


Trong phạm vi ngiên cứu của đề tài, tôi không tìm hiểu các bài toán có
nội dung hình học thuần túy (bài tập về vẽ hình, cắt ghép hình) mà tập trung
đi sâu vào các bài tập có nội dung về chu vi và diện tích các hình. Trong các
bài tập này, tôi không xét các bài toán đơn giản chỉ cần áp dụng công thức để
làm bài, hay bài tập hình học có liên quan nhiều đến kiến thức đại số mà chủ
yếu tập trung đi hướng dẫn học sinh giải toán theo sơ đồ phân tích đi lên với
các bài toán hình học nâng cao sử dụng chủ yếu phương pháp diện tích để giải
toán. Qua đó rèn tư duy logic cho HS tiểu học.
Nội dung chủ yếu của các bài toán có nội dung hình học thường là toán
về chu vi và diện tích các hình đã học.
- Nội dung này trong Toán 4 bao gồm: các bài toán về chu vi và diện

tích các hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành và hình thoi.
- Trong Toán lớp 5 nội dung các bài toán về tính chu vi, diện tích các
hình tròn (hay các hình vuông, hình chữ nhật được học ở các lớp dưới), hình
tam giác, hình thang; bài toán về diện tích xung quanh và diện tích toàn phần,
thể tích của hình hộp chữ nhật, hình lập phương.
Lưu ý
- Khi giải các bài toán có “nội dung hình học” ta cũng phải qua các
bước giải như giải một bài toán có lời văn. Tuy nhiên do đặc thù là những
bài toán “có nội dung hình học” mà khi hướng dẫn học sinh giải toán giáo
viên cần lưu ý một số đặc điểm sau:
+ Đối với các bài toán hình học khi giải chỉ chỉ cần áp dụng công thức
để tính (chu vi, diện tích, thể tích của hình) thì không cần phải vẽ hình đó vào
bài làm.
+ Đối với các bài toán có minh họa kèm theo (để làm rõ đề bài giúp HS
tưởng tượng thuận lợi hơn khi làm bài) thì học sinh không phải vẽ vào bài làm
mà chỉ cần quan sát để làm bài, vì đó thường là những hình vẽ khó.

19


+ Đối với một số bài toán yêu cầu vẽ hình thì HS bắt buộc phải vẽ hình
vào bài làm.
+ HS không phải viết các bước tính trung gian (sau câu giải của bài
toán) trong khi giải hay áp dụng công thức tính các đại lượng hình hình học
cũng như tính giá trị biểu thức.
+ Giáo viên cũng cần lưu ý cho HS thói quen chuyển đổi về cùng một
đơn vị đo trước khi áp dụng công thức tính chu vi, diện tích, thể tích và xem
kĩ yêu cầu đề bài ứng với kết quả tính phù hợp.
Các bài toán có nội dung hình học không giống bất cứ dạng toán cơ bản
nào, các bài toán này được giải và trình bày theo cách riêng. Khi GV hướng

dẫn HS giải toán “có nội dung hình học” cần nhận thấy các nét riêng của
mạch kiến thức này để hướng dẫn HS làm bài cho đúng.
Mỗi một đề toán đã cho gồm cái đã cho và cái phải tìm. Tìm lời giải
cho bài toán chính là xác lập mối quan hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm. Vì
vậy thủ thuật thường gặp trong giải toán là phân tích và tổng hợp. Để tìm lời
giải của một bài toán ta dùng phương pháp phân tích (hay còn gọi là phân tích
đi lên). Để trình bày lời giải của một bài toán ta thường sử dụng phương pháp
tổng hợp. Đường lối tổng hợp là đường lối suy nghĩ đi xuôi từ những cái đã
cho đến cái phải tìm hay yêu cầu trong đề toán (tổng hợp là phương pháp
ngược của phương pháp phân tích).
Khi tìm lời giải của bài toán, ta có thể biến đổi đưa bài toán về bài toán
đã có cách giải (bài toán điển hình) hoặc các bài toán đơn. Bước này thường
được thể hiện qua việc đưa ra hệ thống câu hỏi xuất phát từ điều phải tìm cho
đến điều đã biết tương ứng với nó là sơ đồ phân tích đi lên.
Nói chung ở Tiểu học, đứng trước một bài toán ta thường dung lối phân
tích để hướng dẫn học sinh suy nghĩ, tìm cách giải sau đó dùng tổng hợp để
trình bày lời giải.

20


2.6 Một số phương pháp cơ bản trong giải toán hình học ở Tiểu học.
Phương pháp diện tích
Khi giải các bài toán, HS không chỉ cần phải nắm vững các kiến thức
mang tính công cụ mà còn phải biết tới các phương pháp giải toán để lựa chọn
được các phương pháp phù hợp cho từng bài.
Đối với các bài toán diện tích đa giác thì sử dụng hầu hết các phương
pháp giải toán, trong đó có một số phương pháp được sử dụng nhiều hơn như:
phương pháp diện tích, phương pháp suy luận, phương pháp dùng đơn vị quy
ước, phương pháp sơ đồ diện tích.

Trong giới hạn nghiên cứu của đề tài, tôi xin đi sâu vào phương pháp
có thể áp dụng một cách triệt để hướng phân tích đi lên trong giải toán, đó là
phương pháp diện tích.
Phương pháp diện tích là phương pháp giải các bài tập liên quan tới
diện tích các hình. Khi giải các bài tập dạng này ta thường:
- Vận dụng công thức tính diện tích các hình bằng cách: áp dụng trực
tiếp công thức tính diện tích diện tích khi đã biết độ dài các đoạn thẳng là các
thành phần của công thức tính diện tích hoặc nhờ công thức tính diện tích mà
tính độ dài của một đoạn thẳng là yếu tố của hình.
- Dùng tỉ số: trong một bài toán diện tích đa giác, người ta có thể dung tỉ
số các số đo đoạn thẳng, tỉ số các số đo diện tích như một phương tiện để giải
toán, giải tích, lập luận cũng như trong thao tác so sánh các giá trị về độ dài
đoạn thẳng, về diện tích. Điều này thường được thể hiện dưới các hình thức
sau (đối với hình tam giác):
+ Khi diện tích không đổi thì chiều cao và hai đáy là hai đại lượng tỉ lệ
nghịch với nhau.
+ Khi độ dài đáy không đổi thì chiều cao và dện tích là hai đại lượng tỉ lệ
nhịch với nhau.

21


+ Khi chiều cao không đổi thì diện tích và độ dài đáy tỉ lệ thuận với
nhau.
Đối với một số hình đa giác khác tam giác ta cũng có thể dung tỉ số dưới
những biểu hiện tương tự.
- Thực hiện phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích tổng
hợp trên hình.
Có những bài toán diện tích đa giác đòi hỏi phải biết vận dụng các thao
tác phân tích, tổng hợp trên hình đồng thời với việc tính toán trên số đo diện

tích. Điều nàyđược thể hiện như sau:
+ Nếu một hình được chia làm nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình
bằng tổng diện tích các hình nhỏ được chia.
+ Hai hình có diện tích bằng nhau mà có phần chung thì hai phần còn
lại sẽ có diện tích bằng nhau.
+ Nếu ghép thêm một hình vào hai hình có diện tích bằng nhau thì sẽ
được hai hình mới có diện tích bằng nhau.
- Phương pháp diện tích trong trường Tiểu học không chỉ được sử dụng
trong thực hành giải toán mà còn được sử dụng trong dạy bài mới với các kiến
thức về hình thành biểu tượng về diện tích, xây dựng diện tích các hình.

CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG TRONG DẠY HỌC TOÁN
1. Các công thức cơ bản
+ Công thức tính chu vi hình vuông cạnh a

22


P = a× 4
+ Công thức tính chu vi hình chữ nhật cạnh a, b
P = (a + b) × 2
+ Công thức tính chu vi hình tròn có bán kính r
C = r × 2 × 3,14
+ Công thức tính diện tích tam giác có cạnh đáy bằng a và chiều cao h
S = (a × h) : 2
+ Công thức tính diện tích hình chữ nhật cạnh a, b
S=a×b
+ Công thức tính diện tích hình vuông cạnh a
S=a×a
+ Công thức tính diện tích hình thang có đáy lớn là a, đáy nhỏ là b, chiều cao

h
S = (a + b) × h : 2
Chú ý: Trong mỗi công thức tính diện tích như trên, các đại lượng được tính
trên cùng một hệ thống đơn vị đo.
2. Hệ thống bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích 24

2

và cạnh AB dài 16m, cạnh AC

dài 10m. Kéo dài hai cạnh AB và AC về phía B và C, trên đó lấy BM = CN =
2m. Tính diện tích tam giác AMN?

N

K

2m
C
10 m

A

16 m

H

B 2m

23

M


Ta hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo sơ đồ sau:
Tính

S AMN = ?
⇑

Tính

KM = ?
⇑

Tính

S ACM = ?
⇑

Tính

CH = ?

Đến đây ta dễ dàng tính được chiều cao của ta giác ABC khi biết diện
tích và cạnh đáy tương ứng.(S ABC = 24

2

, AB = 16m)

Bài giải:
Chiều cao CH của hình tam giác ABC là:
(24 ×2) : 16 = 3 (m)
Cạnh AM bằng: 16 + 2 = 18 (m)
Diện tích tam giác ACM bằng:
(18 × 3) ∶ 2 = 27 (m)
Chiều cao MK của hình tam giác ACM bằng:
(27× 2) ∶ 10 = 5,4 (m)
Cạnh AN bằng: 10 + 2 = 12 (m)
Diện tích tam giác AMN bằng:
(12 × 5,4) ∶ 2 = 32,4(

2

)

Đáp số: 32,4 (m 2 )
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích 25cm 2 . Kéo dài AB một đoạn
, BC một đoạn

=

và AC một đoạn

24

=

=

. Tính diện tích MNP?


P

A

B

C

N

M

Ta hướng dẫn học sinh suy nghĩ theo sơ đồ sau:
Tính

S MNP = ?
⇑

Tính

S APM = ?, S PCN = ?, S BMN = ?

(Vì S MNP = S APM + S PCN + S BMN + S ABC . Mà S ABC = 25cm 2 )
⇑
Tính các diện tích:S APB = ?; S PMM = ?; S PNA = ?; S ANC = ?; S BMC = ?; S MNC = ?

(Vì S PMB = S APB + S PMM , S PCN = S PNA + S ANC ; S BMN = S BMC + S MNC )

Đến đây ta dễ dàng tính được diện tích các tam giác: S APB ; S PMM ;
S PNA ; S ANC ;
(S ABC = 25cm

S BMC ; S MNC dựa trên sự tương quan về tỉ số với ta giác ABC

2

Bài giải:
Ta có:
S APB = S ABC (Vì chung đường cao hạ từ B, và đáy AP = AC)
S APB = S PBM (Vì chung đường cao hạ từ P, và đáy AP = AM)
⇒ S APB = S ABC = S PBM = 25cm 2

25