Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (7)

PHÒNG GD&ĐT-THANH OAI
TRƯỜNG THCS KIM AN

ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2015 - 2016
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút

ĐỀ BÀI
Câu 1 (6 điểm)

 6x + 4
  1 + 3 3x 3
3x


 . 
−
−
3
x
Cho P = 
  1 + 3x
3

3
x
+
2
3
x

+
4
 3 3x − 8
 


a, Rút gọn P.
b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (4 điểm)
a, Giải phương trình:
x + 2 x+3 = x + 4
7
b, Cho 00 < α < 900 và sin α + cos α = .
5

Tính tan α

Câu 3 (3 điểm)
a, Cho a, b, c > 0 thỏa mãn biểu thức a + b + c = 1
Chứng minh rằng: a + bc + b + ac + c + ab ≤ 2 .
b, Cho 0 < x < 1. Tìm GTNN của A =

x
5
+ .
1− x x

Câu 4 (6 điểm)
Cho tam giác ABC có ∠A = 1v , kẻ đường cao AH (H thuộc BC).
AH

) nó cắt AB tại P và AC tại Q. Qua P và Q vẽ hai tiếp
2
AH
tuyến với đường tròn ( I;
), chúng cắt BC lần lượt tại E và F.
2

Vẽ đường tròn ( I;

Chứng minh rằng:
a, PE// QF.
b, AB . AP = AQ . AC
c, Cho AB = 5cm; AC = 12cm. Tính EF.
d, Giả sử BC cố định còn A di động nhưng luôn nhìn BC dưới một góc 900.
Tìm vị trí của A để diện tích tam giác APQ lớn nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh rằng không tồn tại x, y là số nguyên thỏa mãn biểu thức:
2012x2015 + 2013y2018 = 2015.
---------------- Hết -------------Người ra đề: Nguyễn Thị Thu Hường
Người kiểm tra đề: Hà Thị Thủy


ĐÁP ÁN CHẤM TOÁN 9
Năm học: 2015 – 2016
Nội dung

Câu
1
 6x + 4
−

(6 điểm) a, P = 
3

Điểm


  1 + 3 3x 3
3x

 . 
−
3
x



3x + 2 3x + 4   1 + 3 x


 3 3x − 8

(

)

x ≥ 0

đk:  4
 x ≠ 3


 6x + 4
  1 + 3x 3
3x




−
−
3
x
P= 
.
3


 3x − 8 3x + 2 3x + 4   1 + 3x

 1 + 3x 1 − 3x + 3x

6 x + 4 − 3x 3 x − 2
− 3 x 
P=
. 
1 + 3x
3 x − 2 3x + 2 3 x + 4 


(

)

(

P=
P=
P=

(
(
(

(

)(

)

(

)

)(

6 x + 4 − 3 x + 2 3x
. (1 3x − 2 3 x + 2 3 x + 4

)(

)

)

3x + 3x -

3x )

3x + 2 3x + 4
. (3x - 2 3x + 1)
3x − 2 3x + 2 3x + 4
2
1
3x − 1
2
. ( 3x - 1) =
3x − 2
3x − 2

)(

)

(

)

)

0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

b, Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

(
P=

)

2

3x − 1
3x − 2

(
=

)

2

(

)

3x − 2 + 2 3x − 2 + 1
Ta có
3x − 2
1
P = ( 3x - 2) + 2 +
3x − 2
1
P = 3x +
3x − 2
3 x ∈ n 2 (n ∈ Z )
Để P có giá trị nguyên thì 
(2)
 3 x − 2 ∈ U (1)
 x = 3(TM )
 3x − 2 = 1
 3x = 3
⇔
⇔
Từ (2) có 
 x = 1 (loai )
 3 x − 2 = −1
 3 x = 1
3


(

)

Vậy với x = 3 thì P có giá trị nguyên.

2
a,
(4 điểm)
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

Giải phương trình:
x + 2 x+3 = x + 4
điều kiện: x ≥ -3
2 x + 4 x + 3 = 2x + 8
2x + 8 - 2 x − 4 x + 3 = 0
(x - 2 x + 1) + x + 3 - 4 x + 3 + 4 = 0
( x − 1) 2 + ( x + 3 − 2) 2 = 0

(
(

)

 x − 1 = 0

2
 x + 3 − 2 = 0
2

)

 x − 1 = 0
⇔ 
⇔ x=1 (thỏa mãn)
 x + 3 − 2 = 0

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0.5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,75đ


b,

7
b, Cho 00 < α < 900 và sin α + cos α = .
5

Vì sin α + cos α =

Tính tan α .

7

7

⇒ sin α =  − cos α 
5
5

2

7

Mà sin α + cos = 1 nên  − cos α  + cos 2 α = 1
5

49 14
⇔
− cos α + cos 2 α + cos 2 α = 1
25 5
⇔ 50 cos 2 α − 7 cos α + 24 = 0
⇔ 25 cos 2 α − 35 cos α + 12 = 0
⇔ 25 cos 2 α − 20 cos α − 15 cos α + 12 = 0
⇔ (5cos α - 4) (5cos α - 3) = 0
2

2

4

cos α = 5

cos α = 3


5

3
3


sin α = 5
 tan α = 4
⇔
⇔ 
⇔ 
sin α = 4
 tan α = 4


3
5
3
4
3
Vậy tan α = nếu cos α = và sin α =
4
5
5
4
3
4
Hoặc tan α = nếu cos α = và sin α =
5

5
3
a, Ta có: a + bc = a..1 + bc − a(a + b + c) + bc = (a + b)(a + c)

3
(3 điểm) Tương tự: b + ac = (b + a)(b + c) và c + ab = (c + a)(c + b)

1
Mà: (a + b)(a + c) ≤ (a + b + a + c)
2
1
(b + a )(b + c ) ≤ (b + a + b + c)
2
1
(c + a)(c + b) ≤ (c + a + c + b)
2
1
Nên a + bc + b + ac + c + ab ≤ (4a + 4b + 4c) = 2(a + b + c) = 2
2
a + b + c = 1
a + b = a + c
1

⇔ a=b=c=
Dấu (=) xảy ra khi 
3
b + a = b + c
c + a = c + b
b, Ta có: 0 < x < 1 ⇒ 1 – x > 0
x

5
x
5 − 5x + 5x
+ =
+
Và A =
.
1− x x 1− x
x
x
5(1 − x) 5 x
x
5(1 − x )
A=
+
+
=
+
+5
1− x
x
x 1− x
x
x
5(1 − x )
x 5(1 − x)
+
≥2
.
=2 5

Vì
1− x
x
1− x
x

0,25đ

0,25đ
0,25đ
0,75đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ

0,25đ
0,5đ

0,25đ
0,25đ
0,25đ


Do đó: A ≥ 2 5 + 5 .

0〈 x 〈1

Dấu (=) xảy ra khi  x

5(1 − x)
1 − x =
x

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của A là (5 + 2 5 ) khi x =

0,25đ

5− 5
4

0,5đ

Vẽ hình đúng được 0,25điểm
A
Q
P

I I K

B
a, Chứng minh được:
E
H
F
+) P, I, Q thẳng hàng
+) PE, QF cùng vuông góc với PQ.
b, +) APHQ là hình chữ nhật
+) góc BAH bằng góc C
+) góc APQ bằng góc BAH

+) tam giác APQ đồng dạng với tam giác ACB (g-g)
c, +) Tính BC = 13cm
+) E là trung điểm của BH; F là trung điểm của HC
+) EF =

1
BC = 6,5cm
2

d, Kẻ AK ⊥ PQ ta có SAPQ=

1
1
AK . PQ = AK . AH
2
2

1
1
Vì AK ≤ AH nên SAPQ ≤ AH2 ⇔ SAPQ lớn nhất ⇔ AH lớn

2
4
⇔
nhất
AH là trung tuyến của ∆ ABC ⇔ ∆ ABC là vuông cân

tại A.
5
Ta có với mọi x thì 2012x2015  4 nên là số chẵn.

(1 điểm) +) Nếu y là số chẵn thì 2013.y2018 là số chẵn, vì y2018 là số chẵn.
Do đó: (2012x2015 + 2013.y2018) là số chẵn
mà 2015 Là số lẻ (vô lí).
+) Nếu y là số lẻ thì y1009 là số lẻ.
Do đó chọn y1009 = (2n+1) (n ∈ Z )
Thì 2013. y2018 = 2013 . (2n+1)2 = 2013. (4n2 + 4n + 1)
= 4 . 2013 (n2 +n) +2013
Nên 2012.x2015 + 2013. y2018 chia cho 4 dư 1
Còn số 2015 chia cho 4 dư 3. (vô lí)
Vậy không có số nguyên x, y nào mà
2012x2015 2013.y2018 = 2015

C
0,5đ
0,75đ
0,5đ
0,25d
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,25đ

0,25đ
0,5đ