Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (10)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

ĐỀ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9

TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG

Môn : Toán
Năm học : 2015-2016
Thời gian:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (6 điểm)
1,Cho biểu thức: K =

x +3 x + 2 x + x   1
−
+

:
x
−
1
x
+
x
−
2
x
+
1





1 

x − 1

a/ Rút Gọn K
b/ Tính giá trị của biểu thức K khi x = 24+
c / Tìm x để :

5 − 3 − 29 − 12 5 .

1
x +1
−
≥1
K
8

2,Cho các số thực dương x , y ,z thỏa mãn điều kiện
3
3
2
2
2
x 1− y2 + y 1− z 2 + z 1− x2 =
chứng minh rằng x + y + z =
2
2
Bài 2: (4điểm) a ) Giải phương trình 7 − x + x + 1 = x 2 − 6 x + 13

b ) Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn : a + b +c =
Chứng minh rằng :

a + b+ c =2

a
b
c
2
+
+
=
1+ a 1+ b 1+ c
(1 + a )(1 + b)(1 + c)

Bài 3: (3điểm)
2
2
2
Tìm GTNN của A = x + y + z biết x, y, z > 0 ,
a)
x+y y+z z+x
xy + yz + zx = 1 .
b) Chứng minh

a
b
c
+
+

> 2 với a, b, c > 0
b+c
a +c
a+b

Bài 4:(6 điểm).Cho (O;R) và (I;r) tiếp xúc ngoài tại A (R>r) . Dựng tiếp tuyến
chung ngoài BC ( B nằm trên đường tròn tâm O và C nằm trên đường tròn tâm
(I) . Tiếp tuyến BC cắt tiếp tuyến tại A của hai đường tròn ở E.
a) Chứng minh tam giác ABC vuôngtại A
b) OE cắt AB tại N ; IE cắt AC tại F . Chứng minh N;E;F; A cùng nằm trên
một đường tròn.
2
c) Chứngtỏ BC = 4 Rr
Tính diện tích tứ giác BCIO theo R ;r
Bài5: (1 điểm )Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
xy2 + 2xy – 243y + x = 0
----------------Hết---------------1


(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI

Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9

N¨m häc 2015- 2016
M«n thi : To¸n

TRƯỜNG THCS MỸ HƯNG

Bài

Ý

1.(4đ)
a)(2đ)

Bài 1
(6đ)

NỘI DUNG CẦN ĐẠT

a, Với x≥0 , x≠ 1 ta có:
x +1
K=
2 x
b,Ta có :
x = 24+
= 24+
= 24+
= 24+
= 25
Thay x = 25 vào K ta có:
25 + 1 3
=
K=
5
2 25

ĐIỂM

0,5
0,75

0,75

0,5
b)(1 đ)
c )(1đ
)

1
x +1
2 x
x +1
− x +6 x −9
−
≥1 ⇔
−
−1 ≥ 0 ⇔
≥0
K
8
8
x +1
8( x + 1)
(*) Do : 8( x + 1) ≥ 0∀x nên (*)

⇔ −( x − 3) 2 ≥ 0 ⇔ ( x − 3) 2 ≤ 0 mặtkhác

0,75

( x − 3) 2 ≥ 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9

0,75

2)(2đ)

Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm ta có
x 2 +1 − y 2 y 2 +1 − z 2
2
2
2
x 1− y + y 1− z + z 1− x ≤
+
+
2
2
z 2 +1 − x 2 3
+
=
2
2
x = 1 − y 2
x 2 = 1 − y 2

 2

2
2
 y = 1 − z ⇔  y = 1 − z ⇒ ( dpcm)

Đẳngthứcsảyra : 
z 2 = 1 − x 2
z = 1− x2




0,5
0,5
0,5
0,5

2


a,(2đ)

a,
ĐK:

0,5

−1 ≤ x ≤ 7

Ápdụng BĐT Bunyakovsky

Bài 2
(4đ)

tacó

0,5

( 7 − x + x + 1) 2 ≤ 2(7 − x + x + 1) = 16 ⇔ 7 − x + x + 1 ≤ 4
)
0,5
lạicó x 2 − 6 x + 13 = ( x − 3) 2 + 4 ≥ 4

 7−x =
do đó PT ⇔ 
x − 3 = 0

b(2đ)

x +1

0,5

⇔ x =3

Đặt x = a ; y = b ; z = c thì

0,5

x2 + y2 + z 2 = x + y + z = 2

0,5

b)
⇒ 2( xy + yz + zx) = 2 2 − 2 = 2 ⇒ xy + yz + zx = 1

1 + a = xy + yz + zx + x 2 = ( x + y )( x + z )

0,5

Do đó : 1 + b = xy + yz + zx + y 2 = ( y + z )( y + x)
1 + c = xy + yz + zx + z 2 = ( z + x)( z + y )

Vìvậy
0,5
a
b
c
x
y
z
+
+
=
+
+
1 + a 1 + b 1 + c ( x + y )( x + z ) ( y + z )( y + x) ( z + x)( z + y )
2( xy + yz + zx )
2
=
=
( x + y )( y + z )( z + x)
(1 + a)(1 + b)(1 + c)

a(1,5đ
)

x2
y2
z2
x+y+z
+
+
≥
a:
. Theo bất đẳng thức
x+y y+z z+x
2

Cauchy :
x+y
y+z
z+x
x+y+z
≥ xy ;
≥ yz ;
≥ zx nên
≥
2
2
2
2
1
1
min A = ⇔ x = y = z = .
2

3

Bài 3
(3đ)

b )Theo bấtđẳngthức Cauchy :
b(1,5)
3

0,5
0,5

xy + yz + zx 1
=
2
2

0,5

0,5


b+c
b+c+a
 b+c 
.1 ≤ 
+ 1÷: 2 =
.
a
2a

 a

a
2a
≥
Do đó :
. Tươngtự :
b+c a+b+c
b
2b
c
2c
≥
;
≥
a+c a+b+c
a+b a+b+c
a
b
c
2(a + b + c)
+
+
≥
=2.
Cộngtừngvế :
b+c
c+a
a+b
a+b+c

a = b + c

Xảyradấuđẳngthức :  b = c + a ⇒ a + b + c = 0 , tráivớigiảthiết
c = a + b


0,5

0,5

a, b, c > 0.
Vậydấuđẳngthứckhôngxảyra.
a(1,5đ
)

Hìnhvẽ
B
C

Bài 4
(6đ)

E
N
F
O

A

I

0,5
0,5

a )Ta có : BE và AE là 2 tiếptuyếncắtnhau⇒AE = BE
1
Tươngtự ta có AE =EC ⇒ AE = BE = EC = BC
2
⇒ tam giác ABC vuông tai A

b(1,5đ
)

b)
Theo tínhchất 2 tiếptuyếncắtnhauthì EO làphângiáccủa tam
giáccân AEB ⇒OE làtrungtrực AB hay
∧

OE ⊥ AB ⇔ ENA = 90 0

0,5
0,5
0,5

∧

Tươngtự EÈA = 90 0
∧

Mà NAF = 90 ⇒ tứgiác FANE là hìnhchữnhật
4 điểm F ;A ; N ;E cùngnằmtrênđườngtròn

0,5

0

c )tứgiác FANE là hìnhchữnhật

4

0,5
0,5


c(1,5)
d(1,5)

Bài 5
1đ

⇒ ∆OEI vuôngtại E và EA ⊥ OI ( tínhchấttiếptuyến )
2
Ápdụnghệthứclượngtrongtamgiácvuông ta có AE = OA. AI
BC
BC 2
Mà AE =
; OA = R; AI = r ⇒
= Rr ⇔ BC 2 = 4 Rr
2
4
d/SBCIO=? Ta cótứgiác BCIO là hìnhthangvuông

0,5

⇒SBCIO=

0,5

OB + IC
× BC
2
(r + R ) rR
⇒S=
2

0,5

Ta có xy2 + 2xy – 243y + x = 0 ⇔ x(y + 1)2 = 243y
(1)
0,5
2
Từ (1) vớichú ý rằng (y + 1; y) = 1 ta suy ra (y + 1) làướccủa
243.
Vậy (x, y) = (54, 2) ; (24, 8)
0,5

5