- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 9
Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (11)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (101.09 KB, 5 trang )
TRƯỜNG THCS NGUYỄN TRỰC – TT KIM BÀI
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Năm học 2015-2016
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu I: (6đ)
1. Tính giá trị của biểu thức:
1
1
2
1
A =
+
.
+ +
y x+ y x
x
Với x =
3
3
1 x + y x + x y + y
:
y
x 3 y + xy 3
8 + 15
8 − 15
; y = 3 5 + 2 13 + 3 5 − 2 13
−
2
2
2. Tìm tất cả các số hữu tỉ x để B =
(
3 x + 11
x +2
là số nguyên
)(
)
3. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + 1 + x 2 y + 1 + y 2 = 1
Tính giá trị biểu thức C = x 2015 + y 2015
Câu II(4,5đ)
Giải các phương trình sau:
a) x + x 2 + x − x 2 = x + 1
−8
3
2
c) x x + x + 1 = 4 y ( y + 1)
b) x 3 + 2 x 2 − 4 x =
(
)
Câu III(1,5đ)
Tìm GTNN của biểu thức D =
( x, y ∈ Z )
(x
3
) (
)
+ y3 − x2 + y2
trong đó x, y là số thực lớn hơn 1.
( x − 1)( y − 1)
Câu IV. (8đ)
1) Cho (O) và (O/) ngoài nhau. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài AB và chung trong EF (
A, E ∈ (O); B, D ∈ (O / ) ). Gọi M là giao của AB và EF; N là giao của AE và BF.
Chứng minh
a) ∆AOM ∞∆BMO /
b) AE ⊥ BF
c) O, N, O/ thẳng hàng
2. Cho ∆ABC nhọn. Chứng minh rằng Cos2A + Cos2B + Cos2C < 1
===Hết===
ĐÁP ÁN TOÁN 9
Câu 1: (6đ)
1. (2,5)
Đặt đk : x>0, y>0
x+ y
(
)
1 1 ( x + y ) x − xy + y + xy
+
:
x
y
xy
x
+
y
xy ( x + y )
2
x + y ( x + y )( x + y )
+
:
=
xy
xy ( x + y )
xy
Rút gọn A =
=
(
x+ y
xy
)
2
.
2
.
+
xy
x+ y
)
0,25đ
0,25đ
0,25
x+ y
x+ y
=
(
0,25đ
0,25
xy
16 + 2 15
16 − 2 15
−
4
4
15 + 1
15 − 1
=
−
2
2
Biến đổi
x=
=1
(
)
y = 5 + 2 13 + 5 − 2 13 + 3 5 − 2 13 . y
y 3 = 10 − 9 y
3
y + 9 y − 10 = 0
( y − 1) y 2 + y + 10 = 0
y =1
1+ 1
⇒ A=
=2
1.1
3
3
(
2
)
⇔
3 x + 11
x +2
5
x +2
5
= .... = 3 +
x+2
là số nguyên
Lập luận 0 <
5
x +2
≤
5
2
0,25
2
2, ĐK x ≥ 0
B=
0,25
là số nguyên
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
5
⇒
x +2
(
3, Ta có
x2 +1 + x
⇒ x2 +1 − x =
Tương tự
5
= 1 hoặc
)(
1
= 2 ⇔ x = 9 hoặc x = 0,25
x +2
)
0,25
0,25
x2 +1 − x = 1
y2 +1 + y
y2 +1 − y = x2 +1 + x
0,25
0,25
0,25
0,25
⇒ x2 +1 + y2 +1 − x − y = x2 +1 + y2 +1 + x + y
⇒ 2( x + y ) = 0
⇒ x + y = 0 ⇒ x = −y ⇒ C = 0
Câu 2:(4,5đ)
1. (1,5đ)
0,25
x + x 2 ≥ 0
x − x 2 ≥ 0
ĐK
Áp dụng BĐT Cô si cho hai số không âm ta có
x + x2 + x − x2 =
( x + x ).1 + ( x − x ).1 ≤ x + x2
2
2
2
+1
+
x − x2 +1
= x +1
2
x + x 2 = 1
⇒ x ∈o
Dấu “ =” xảy ra ⇔
x − x 2 = 1
2, (1,5đ)
x3 + 2x 2 − 4x =
0,5
−8
3
⇔ 3 x 3 + 6 x 2 − 12 x + 8 = 0
⇔ 4 x 3 − x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 0
(
⇔ 4 x = ( x − 2)
3
0,25
0,5
0,25
0,25
)
3
⇔ 3 4x = x − 2
2
⇔x=
1− 3 4
3. (1,5đ)
(
0,25
)
x x 2 + x + 1 = 4 y ( y + 1)
0,25
⇔ x3 + x2 + x + 1 = 4 y 2 + 4 y + 1
(
)
⇔ ( x + 1) x 2 + 1 = ( 2 y + 1)
Đặt d = ƯCLN x + 1, x 2 + 1
d= 1
⇒ x + 1 và
0,75
2
(
0,25
)
x + 1 là các số chính phương ⇒ x + 1 = k
k − x = k + x = 1
⇒ ( k − x )( k + x ) = 1 ⇒
⇒x=0
k − x = k + x = −1
2
⇒ ( x, y ) = ( 0,0 ); ( 0,1)
x2
y2
+
Câu III. Biến đổi D =
y −1 x −1
2
2
( (k ∈ Z )
0,5
0,25
0,25
0,25
Do x >1, y >1 ⇒ x − 1 > 0, y − 1 > 0
0,25
2 xy
Áp dụng BĐT Cô si ta có D ≥ x − 1. y − 1
Theo BĐT Cô si ta có
x −1 =
y −1 =
0,25
0,25
( x − 1).1 ≤ ( x − 1) + 1 = x
2
2
( y − 1).1 ≤ ( y − 1) + 1 = y
2
0,25
2
2 xy
=8
x y
.
2 2
x, y > 1
2
2
x = y
x = 2
D = 8 ⇔ y −1 x −1 ⇔
y = 2
x − 1 = 1
y − 1 = 1
Vậy Min D = 8 ⇔ x = 2, y = 2
⇒D≥
0,25
Câu IV.
B
0,25
A
M
I
K
E
O
N
O’
F
0,75
a) ∆AOM ∞ ∆BMO /
Vì AOM = BMO/ (cùng phụ với OMA)
b) MO ⊥ AE, MO/ ⊥ BF, MO ⊥ MO/ ⇒ AE ⊥ BF
c) ∆ OIN ∞ ∆ OMO/ : vì AI và BK là hai đường cao tương ứng của hai ∆
đồng dạng AOM và BMO/ (câu a)
OI
MK
OI
IN
=
⇒
=
/ mà MK = IN
OM MO
OM MO /
⇒ ∆OIN
∞
∆OMO / (c.g.c)
⇒
/
⇒ IOˆ N = MOˆ O / ⇒ O, N , O thẳng hàng
2)
1đ
0,5
0,5đ
AA
0,25
E
F
B
C
D
Kẻ 3 đường cao AD, BE, CF
∆AEB
∞
∆AFC (g.g)
AE AB
AE AF
⇒
=
⇒
=
AF AC
AB AC
⇒ ∆AEF
∞
∆ABC (c.g.c)
2
S AEF AE
2
=
= Cos A
S ABC AB
S
S BDF
= Cos 2 B ; CDE = Cos 2 C
Tương tự S
S ABC
ABC
S
+ S BDF + S CDE
⇒ Cos 2 A + Cos 2 B + Cos 2 C = AEF
<1
S ABC
⇒
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5đ
