Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (13)

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN
THANH OAI
( Trường THCS Thanh Cao )

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học ( 2015 –2016)
Môn TOÁN : (Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1: (6,0 điểm)
1. Cho biểu thức: P =

x x + 26 x − 19
2 x
−
+
x+2 x −3
x −1

x −3
x +3

a/ Rút gọn P
b/ Tính P khi x= 3 5 + 12 3 + 3 5 − 12 3
c/ Tìm GTNN của P
2. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 7.5 2 n + 12.6 n 19
Bài 2: (4,0 điểm)
1. Giải phương trình sau:

x2 +3x +1 =(x + 3) x 2 + 1

2. Chứng minh rằng :Nếu x + y + z = 0 thì 2.(x5 + y5+ z5) = 5xyz(x2 + y2+ z2)

Bài 3: (3,0 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau
19x5 + 5y +1995z =x2 –x +3
2. Cho a,b,c >0 và
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho (0;

1
1
1
1 1 1
+
+
= 2 . Cmr : + + ≥ 4(a + b + c)
a +1 b +1 c +1
a b c

AB
). Điểm M thay đổi trên (0), (M ≠ A,B). Vẽ (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ
2

A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến (M). Cmr
a/ CD là tiếp tuyến (0)
b/ Tổng AC+DB không đổi. Từ đó tính GTLN của AC.DB
c/ Lấy N cố định trên (0). Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB.
Tìm tập hợp điểm P
Bài 5: (1,0 điểm)
Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,….. (Số đứng sau được
viết 48 vào giữa số đứng trước). Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên
đều là số chính phương.

.......................................................................... HẾT…………………………………………..


Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9

phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o
Thanh oai
( Trường THCS Thanh Cao )

N¨m häc 2015 - 2016

Bài 1: (6,0 điểm)
1.

a ) Rút gọn P =

x + 16
x +3

2đ

b) Tính x=1 ∈ đkxđ . Suy ra p=

17
4

c) Pmin=4 khi x=4 .
2.
=7.25n + 19.6n – 7.6n
=7.19.(.....) + 19.6n  19

Bài 2: (4,0 điểm)
1. Đặt x 2 + 1 =t (t ≥ 0) phương trình đã cho trở thành
t2+3x=(x+3).t ⇔ t=3 hoặc t=x
+) Với t=3 => x= ± 2 2
+) Với t=x => vô nghiệm
2. Từ x + y + z = 0 ⇒ y + z = -x ⇒ (y + z)5 = - x5
⇔ y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 +5yz4+z5 = - x5
⇔ ( x5 + y5+ z5) + 5yz(y3 +2y2z + 2yz2 +z3) = 0
⇔ ( x5 + y5+ z5) + 5yz((y +z)(y2 – yz +z2)+2yz(y + z)) = 0
⇔ ( x5 + y5+ z5) + 5yz(y + z)( y2 + yz +z2)= 0
⇔ ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + yz +z2)= 0
⇔ 2 ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)= 0
⇔ 2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)
⇔ 2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz(( y + z)2 + y2 +z2)
⇔ 2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( x2 + y2 +z2) ( đpcm)
Bài 3: (3,0 điểm)
1. ⇔ 20x5 –(x5-x)+5y+1995z=x2+3
⇔ 20x5-(x-2)(x-1).x.(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1)+1995z=x2+3
Ta thấy VT 5 con VP không chia hết cho 5 nên pt vô nghiệm
1
y+z
1
z+x
1
x+ y
=
;
=
;
=

2. Đặt a + 1 x + y + z b + 1 x + y + z c + 1 x + y + z
x

y

z

 a= y + z ; b = z + x ; c = x + y
Biểu thức đã cho ⇔

1đ
1đ
1đ
1đ

1đ
1đ

1đ

1đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

x( y − z ) 2 y ( z − x) 2 z ( x − y ) 2
+

+
≥ 0 (luân đúng)
yz ( y + z ) xz ( z + x) xy ( x + y )

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z
Bài 4 (6,0 điểm)

0,5đ


a/ Tính góc CMD=1800 => C, M, D thẳng hàng =>đpcm
b/ AC+DB=AB không đổi
AC + BD 2 AB 2
) =
(BĐT cosi)
2
4
AB 2
=>(AC.BD)max =
khi AC=BD ⇔ H ≡ 0 ⇔ M chính giữa cung AB
4

AC.BD ≤ (

c/ Gọi K là giao của PI và AN
Vì IK//AM =>K là trung điểm của AN ==>KB cố định =>P chuyển động trên dường tròn đường kính KB
Bài 5: (1,0 điểm)

2đ

0,5đ
0,5đ
1đ
1đ
1đ

Ta có:
4.44..488......89
A =       = 9 + 8.10 + 8.102 +…+ 8.10n + 4.10n+1 + +10n+2…+4.102n+1

Ta viết 9 = 1+4+4 và 8 = 4+4
ta được:
2
A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).10 +…+(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2+…+4.102n+1
= 1+(4+4.10+4.102+…+4.10n)+(4+4.10+4.102+…+4.102n+1)
= 1+4.(1+10+102+…+10n)+4.(1+10+102+…+102n+1)
0,5đ
n +1
2 n+2
10 − 1
10
−1
= 1+4.
+4.
9
9
n+1
2 n+ 2
9 + 4.10 − 4 + 4.10
−4

=
9
2 n+ 2
4.10
+ 4.10 n+1 + 1
=
9
2
n +1
 2.10 + 1 

=
3


n+1
Ta có: 2.10 +13 (Có tổng các chữ số chia hết cho 3) Nên số trong ngoặc tạo thành
một số chính phương. Suy ra A là số chính phương
0,5đ