Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (20)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẬN HÀ ĐÔNG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2015-2016

ĐỀ CHÍNH THỨC
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)
( Đề thi gồm 01 trang)

1   2x + x −1 2x x + x − x 
 1
−
+
Câu 1( 5,5 điểm) Cho biểu thức: P = 
÷
÷: 
÷
x   1 − x
1+ x x
 1− x

1) Rút gọn P
2) Tính giá trị của P với x = 6 + 2 2. 3 −
3) Tìm x để biểu thức Q =

2 + 2 3 + 18 − 8 2 − 3 + 3

2
nhận giá trị nguyên.

P

Câu 2( 4,5 điểm)
1) Tìm x biết:
a)
x 2 − 16 − 5 x − 4 = 0
b) (x+3)(x+4)(x+5)(x+6) = 24
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 10y2 + x2 – 6xy - 5y +6 = 0
Câu 3( 3 điểm)
1 1 1
1) Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: ( a + b + c )  + + ÷ ≥ 9
a b c
2) Cho x, y, z là các số dương và x + y + z = 1.
2

2

2

1 
1 
1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =  x + ÷ +  y + ÷ +  z + ÷
x 
y 
z


Câu 4( 6 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt

nhau tại H.
1) Chứng minh: ∆AEF và ∆ABC đồng dạng;

S∆AEF = cos 2 A.S ∆ABC

2) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng vuông góc với HM tại H cắt AB,
AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: PH = QH.
3) Chứng minh: cot A + cot B + cot C ≥ 3
Câu 5( 1 điểm) Cho bảy số nguyên khác nhau a1, a2, ...., a6, a7 có tổng bằng 100.
Chứng minh rằng trong đó có ba số có tổng không nhỏ hơn 50.
------------------------Hết----------------------( Giám thị coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:………………………………SBD:……..Trường THCS:…………..
Họ tên giám thị 1:…………………………………Chữ kí:……………………….……