Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (1)

Phòng GD huyện Thanh Oai
Trường THCS Bình Minh

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
năm học 2015- 2016
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (6đ)
a. Cho biểu thức:


x   1
2 x
P = 1 +
:
−
÷

÷
÷
÷
 x +1   x −1 x x + x − x −1 

1.Rút gon P
2.Tính P tại x=7+2 6
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x>1
3n+3
169
b. Chứng minh rằng: Với mọi n ∈ N . Ta có 3 − 26n − 27M
Bài 2:(4đ)
a.Giải phương trình:

4 x + 5 + 3x + 1 = 2 x + 7 + x + 3
b.Cho a,b,c ≠ 0 và a3b3+ b3c3 + c3a3 =3a2b2c2
 a  b  c 
A =  1 + ÷1 + ÷1 + ÷
 b  c  a 
Tính

Bài 3:(3đ)
a.Tìm nghiệm nguyên của phương trình
(x+2)4 _ x4 = y3
2

2

1 
1

x+ ÷ + y + ÷
y
b. Cho x,y>0 và x+y=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=  x  

Bài 4:(6đ)
Cho đường tròn tâm O bán kính R, từ một điểm S ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp
tuyến SA.SB ( A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của (O), tiếp tuyến tại C
cắt AB tại E. Chứng minh:
a) Bốn điểm A,O,S,B thuộc cùng một đường tròn.
b) AC2 = AB.AE
c) SO // CB
d) OE vuông góc với SC

Bài 5: (1đ) Tìm a,b là các số nguyên dương sao cho: a + b2 chia hết cho a2b-1


Đáp án + biểu điểm
Bài 1: a) (4đ)
1.(2đ)
Tìm được ĐK: x ≥ 0; x ≠ 1 ,

0,25đ

P=


x +1+ x  1
2 x
: 
−
÷
÷
x +1
 x − 1 ( x − 1)( x + 1) 

0,5đ

P=

x + x +1 x + 1− 2 x
:
x +1
( x − 1)( x + 1)

0,5đ

P=

x + x + 1 ( x − 1)( x + 1)
.
x +1
( x − 1) 2

0,5đ

x + x +1
P=
x −1

0,25đ

2
2. (1đ) Ta có x= 7 + 2 6 = ( 6 + 1) ⇒ x = 6 + 1

Thay vào biểu thức ta có
3. Ta có

P=

P=

P=

7 + 2 6 + 6 +1+1 9 + 3 6 3 6 + 6
=
=
2
6 +1 −1
6

x + x +1
3
3
= x +2+
= x −1 +
+3
x −1
x −1
x −1

Do x>1 ⇒ x − 1 > 0 . Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho 2 số dương ta có
P ≥ 2 3 + 3 . Dấu “ =” xảy ra khi x= (1+ 3 )2
Vậy Min P= 2 3 + 3 khi x= (1+ 3 )2
b. Đặt A= 33n+3 - 26n – 27 = 27.27n – 26n - 27 =27.(27n – 1) -26n
= 27(27-1)(27n-1 + 27n-2 +…+27+1) - 26n
=26( 27n+27n-1+27n-2+…+27 – n)
 (27 n − 1) + (27 n −1 − 1) + (27 n − 2 − 1) + ... + (27 − 1) 

=26. 
=26.bội số của26 M169(đpcm)
Bài 2:(4đ)
a) (2đ)

0.5đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,25đ


x≥

−1
3

ĐK:
Biến đổi:

0,5đ

⇔ 4 x + 5 − x + 3 = 2 x + 7 − 3x + 1

Giả sử 2 vế của phương trình cùng dấu, bình phương 2 vế ta được
(4 x + 5)( x + 3) = (2 x + 7)(3 x + 1)
⇔ 4 x 2 + 17 x + 15 = 6 x 2 + 23x + 7
⇔ x 2 + 3 x − 4 = 0 ⇔ ( x + 4)( x − 1) = 0

 x = −4loai
⇒
x = 1

0,5đ
0,25đ
0,5đ

b)(2đ) Đặt ab=x;bc=y;ca=z. Ta có x3 + y3 + z3 = 3xyz
Biến đổi ta được:
x + y + z = 0
⇒
x = y = z

( x + y + z ) ( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2  = 0

• Nếu x+y+z=0 ⇒ ab + bc + ca = 0 ⇒ A=-1
• Nếu x=y=z ⇒ a=b=c ⇒ A=8
Bài 3: (3điểm)
a. 1,5d) Giải: (x+2)4 –x4 =y3
⇔ x4 +8x3 +24x2 + 32x + 16 –x4 = y3
⇔ 8x3+24x2 +32x +16 =y3
Vì 12x2 + 22x +11 = 11(x+1)2 + x2 >0
12x2+ 26x +15 = 11(x+1)2 + (x+2)2>0
Ta có : (8x3 +24x2 + 32x +16) - (12x2 + 22x +11) < y3 < (8x3 +24x2 +
32x +16) + ( 12x2+ 26x +15)
⇔ (2x+1)3 ⇒ 8x3+24x2 +32x +16 = 8x3 + 24x2 + 24x +8
⇔ 8x =-8 ⇔ x=-1 ; y=0. Vậy nghiệm nguyên của phương trình là
(-1 ;0)

b) (1,5đ)
Chứng minh bất đẳng thức
2(a2 + b2 ) ≥ (a + b)2 với mọi a,b
1 1
4
+ ≥
Và bất đẳng thức : a b a + b với mọi a,b > 0

Dấu “=” xảy ra khi a=b.
Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có:

0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ

0,25đ
0,5đ

0,5đ
0,25đ

0,5đ


2

2

1

1
1
1
1 1 1
25
2
A≥ x+ + y+ ÷
 x + y + + ÷ ≥ (1 + 4) =
2
x
y =2
x y 2
2 ( do x+y =1)

0,5đ

0,25đ
Dấu “=” xảy ra khi x= y = 0,5
0,25đ
Vậy Min A = 12,5 ⇔ x= y = 0,5
Bài 4:(6đ)
a.
Vẽ đúng hình chứng minh được 4 điểm A,O,S,B cùng thuộc 1 đường tròn
đường kính SO
1,5đ
b.Cm được AC2=AB.AE
1,5đ

S

O

E

C

1,5đ

y

c. Cm được SO//CB
EC AC
EC AC
=
⇒
=
⇒
∆ OCE đồng
d. Cm ∆ AECđồng dạng ∆ SOA ⇒ OA SA OC SA
dạng ∆ SAC từ đó suy ra OE vuông góc với SC

1,5đ

Bài 5: (1đ)
x 2 − 2Mxy + 2 ⇒ y ( x 2 − 2)Mxy + 2 ⇒ x( xy + 2) − 2( x + y ) Mxy + 2

⇒ 2( x + y )Mxy + 2

Đặt 2(x+y)=k(xy+2) với k ∈ Z

+

Nừu k=1 ⇒ 2 x + 2 y = xy + 2 ⇔ ( x − 2)( y − 2) = 2
Tìm được x=4 ; y=3
Nừu k ≥ 2 ⇒ 2( x + y ) ≥ 2( xy + 2) ⇒ x + y ≥ xy + 2 ⇒ ( x − 1)( y − 1) + 1 ≤ 0 vô lí
(loại)
Vậy x=4. y=3
Chú ý: Nếu học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm.

1,0đ