Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (1)

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI
TRƯỜNG THCS BÍCH HÒA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút

Bài 1 : (5,0 điểm)
 x+ y
x− y 

 : 1 + x + y + 2 xy 
+

 1 − xy
1 − xy 
1 + xy  


Cho biểu thứcP =
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức P.
x =

b) Tính giá trị của P khi
c) Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2: (4,0 điểm)

2
2+ 3

2x + 4x 2 − 1 + 2x − 4x 2 − 1 = 2

Giải phương trình:
Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho 1! + 2! + 3! + 4! + … + n! là số chính
phương.
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Cho x.y > 0 và x + y = 1.
a)
b)

(

)

8. x 4 + y 4 +

1
≥ 5.
xy

Chứng minh rằng:
b) Chứng minh bất đẳng thức sau:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 30 + 30 + 30 + 30 + 30 < 9

Bài 4: (5,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng xy không giao nhau. Từ một điểm M tùy
ý trên xy kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O), trong đó P, Q là các
tiếp điểm. Qua O kẻ OH vuông góc với xy, dây PQ cắt OH tại I, cắt OM tại K.
Chứng minh:

a) OI.OH = OK.OM = R2
b) PQ luôn luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M thay đổi trên xy.
Bài 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. Tính độ dài AD
biết AH = 14cm; BH = CH = 30cm.
---------------------------------Hết-----------------------------------


ĐÁP ÁN- THANG ĐIỂM
Bài
Bài 1
(5điểm)

Nội dung

Điểm
0,5

a)ĐKXĐ: x ≥ 0; y ≥ 0; xy ≠ 1

P=

 x+ y
x− y 

 : 1 + x + y + 2 xy 
+

 1 − xy
1 − xy 

1 + xy  


(
P=

)(

= ...... =

b) x =
P=

) (

)(

)

x + y 1 + xy + x − y 1 − xy  1 − xy + x + y + 2 xy 

: 
1 − xy
1 − xy



1,5

2 x

x +1

2

=

2+ 3

(

)

2 3 −1

4 − 2 3 +1

c) P =

0,5

=

(

) (

2 2− 3
=
1

)

2

3 −1 ; x = 3 −1

0,5
1,0

6 3+2
13

0,5

2 x x +1
≤
=1
x +1 x +1

(Dấu ‘=’ xảy ra khi x = 1 và y ≠ 1)

0,5

Vậy Max P = 1 khi và chỉ khi x = 1 và y ≠ 1, y≥ 0
Bài 2
(4điểm)

a)

ĐKXĐ: x ≥

Nhân 2 vế với

(

0,25

1
2

2

ta được:

)

2

2x + 1 + 2x − 1 +
2x + 1 + 2x − 1 +




2x + 1 = 2
x=



1

2

(TMĐK)

(

2x + 1 − 2x − 1

)

2

=2 2

2x + 1 − 2x − 1 = 2 2

0,5
0,25
0,5
0,5


Bài 3
(4điểm)

b)- Với n = 1 thì 1! =1= 12 là số chính phương
- Với n = 2 thì 1!+2! = 1+1.2 = 3 không là số chính phương
- Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! =1 + 1.2 + 1.2.3 =9 = 32 là số chính phương
- Với n ≥ 4 thì 1! + 2! + 3! + 4! =1 + 1.2 + 1.2.3 +1.2.3.4 = 33
còn 5!; 6!; 7!;…; n! đều có tận cùng bằng 0. Do đó :

1! + 2! + 3! + 4! + … + n! có tận cùng bằng 3 nên không là số chính
phương.
Vậy có hai số tự nhiên thỏa mãn là n = 1; n = 3.
 xy > 0
⇒ x, y > 0.

x
+
y
=
1
>
0

a) Từ giả thiết
Ta có:
1
1
1 = x + y ≥ 2. xy ⇒ ≥ xy ⇒
≥ 4(1).
4
xy

0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25

0,5

0,5

Lại có:

(

)

2

2
8. x 4 + y 4 = 4.(12 + 12 ).( x 4 + y 4 ) ≥ 4.( x 2 + y 2 )2 =  (12 + 12 ).( x2 + y 2 )  ≥ ( x + y )  = 1.0,5


2

≥1

Suy ra: 8.(x4 + y4)
(2).
Từ (1) và (2) suy ra:
1
8.( x 4 + y 4 ) +
≥ 1 + 4 = 5.
xy

0,5

Ta có đpcm.

b)

Vì

6< 9

=>

6 <3

; và

30 < 36 => 30 < 6

0,5
nên
0,5

6+ 6+ 6+ 6+ 6 < 6+ 6+ 6+ 6+3 =3

0,5

30 + 30 + 30 + 30 + 30 < 30 + 30 + 30 + 30 + 6 = 6

0,5
Cộng từng vế ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài 4
(5điểm)

0,5
O

P

I

K

Q

M

H

x
y
a) Δ OMH đồng dạng
với Δ OIK (g-g), ta có:

1,0

OM OH
=
OI
OK

suy ra OI.OH

= OM.OK
(1)

1,0

Tam giác OPM vuông ở

0,5

P mà PK

⊥

OM nên:

R2 =OP2 = OK.OM
(2)
Từ (1) và (2) suy
ra: OI.OH =
OK.OM = R2

b)Từ câu a) suy ra OI=

1,0

R2
OH
Do R không đổi, OH
không đổi nên OI

1,0


0,5
O

P

I

K

Q

M

H

x
y
không đổi, do đó điểm I
cố định. Vậy khi điểm
M thay đổi trên xy thì
các dây cung PQ luôn
luôn đi qua điểm I cố
định.
Câu 5
(2điểm)

Gọi E là điểm đối xứng

với H qua BC. Ta có
BHCE là hình thoi,
ΔABE vuông tại B nên
BE2 = ED.EA. Đặt DE
=x.
Có hai trường hợp:

A
H
B
C
D
E

0,5


x

TH1:

BAˆ C < 90 0

.

ta có:x(2x+ 14) = 302

0,75

Giải phương trình ta được

x =18 thỏa mãn.
Từ đó tính được AD=32cm

TH2:

BAˆ C > 90 0

H
B
C
E
D

x

A

x

Ta có x(2x-14) = 302
Giải phương trình ta được:
x= 25 thỏa mãn
Từ đó tính được AD = 11cm.

0,75