Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (3)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2015 - 2016

Thanh oai

Môn thi : Toán

Thời gian làm bài: 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)

Bài I: (5,0 điểm)
1) Cho biểu thức:
 2
3
5 x −7  2 x +3
A=
+
−
÷:
x
−
2
2
x
+
1
2x
−
3

x
−
2

 5x − 10 x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để A có giá trị nguyên.
2n +3
+ 24n +1 chia hết cho 25
2) Tìm số tự nhiên n để 3

Bài II: (4,0 điểm)
2
1) Giải phương trình: x + 12 x + 1 + x = 36

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
x 2 + 2y 2 + 2xy + 3y − 4 = 0
Bài III: (4,0 điểm).
1) Cho x, y, z dương thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Tìm giá trị lớn nhất của

x
P=

1+ x2

+

y
1 + y2

+

z
1 + z2

2) Cho a, b, c dương thỏa mãn: a + b + c + 2 abc = 1 . Tính giá trị biểu thức:
a ( 1 − b ) ( 1 − c ) + b ( 1 − c ) ( 1 − a ) + c ( 1 − a ) ( 1 − b ) − abc + 2015
B=
Bài IV:(6 điểm)
Cho đường tròn (O,R). từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AD, AE
với đường tròn (D, E là tiếp điểm). Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt tia
AD, AE lần lượt ở B và C.
1) Chứng minh: DC = EB.
2) Chứng minh: DA.DB = R2.
3) Gọi K là điểm trên cung nhỏ DE. Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O,R) cắt
AD, AE lần lượt tại M, N. Chứng minh BC2 = 4BM.CN.
4) Cho OA = 2R.Tìm vị trí của K để BM + CN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị
nhỏ nhất đó.
2
y
Bài V: (1 điểm) Tìm số tự nhiên x, y thỏa mãn x − 5x + 7 = 3


HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án
Bài I
1) a
1)a

ĐKXĐ: x > 0, x ≠ 4

A=

(

(

Rút gọn

(
=…=

) (

2 2 x +1 + 3

)(

0,25

)

x −2 −5 x +7

)

x − 2 2 x +1

2 x +3

)(

)

x − 2 2 x +1

.

5 x

(

Điểm

x −2

2 x +3

)

:

2 x +3
5 x

(

x −2

) =…

5 x
= …= 2 x + 1

2,0

Chứng minh A > 0 do 5 x > 0 và 2 x + 1 > 0
5
5
5
−
<
5 x
2 2 2 x +1 2
Lại có A = 2 x + 1 =
Suy ra: 0 < A < 2,5
5 x
1
1)b
(2điểm) A = 1 => 2 x + 1 = 1  … x = 9 (thỏa mãn ĐK x > 0, x ≠ 4 )

(

)

5 x
A = 2 => 2 x + 1 = 2  … x = 4 (không thỏa mãn ĐK x > 0, x ≠ 4 )
Kết luận…

Bài I
2)

0,5

0,5
0,5
0,25

2n
4n
2n
2n
4n
n
n
32n +3 + 24n +1 = 27.3 + 2.2 = 25.3 + 2 ( 3 + 2 ) = BS25 + 2 ( 9 + 16 )

02,5

n
n
Nếu n lẻ thì 9 + 16 Chia hết cho 25 => A chia hết cho 25

0,25

n
n
Nếu chẵn thì 9n tận cùng bằng 1, còn 16n tận cùng bằng 6 suy ra 9 + 16
(1điểm)
2 ( 9n + 16n )
tận cùng băng 7 =>

tận cùng bằng 4 =>A không chia hết cho 0,25
25.
0,25
Vậy n lẻ thì A chia hết cho 25
ĐK: x ≥ 1
0,25

Bài II
1)
(2điểm)

x 2 + 12 x + 1 + x = 36  x 2 + 12 x + 1 + x − 36 = 0



(

)

x 2 + 2x + 1 − x + 1 − 12 x + 1 + 36 = 0

( x + 1)

2

−

(

x +1 − 6

)

2

=0



(x+7−

Giải pt: x + 7 = x + 1 vô nghiệm
Giải pt: 5 − x = x + 1 ĐK 1 ≤ x ≤ 5
2
 … x − 11x + 24 = 0
x = 8 (loại) ; x = 3 (chọn)

0,5

)(

x +1 .

)

x +1 + x − 5 = 0
0,5
0,5
0,25

Bài II
2)
(2điểm)

Biến đổi phương trình
x2+2y2 +2xy +3y-4 =0 ⇔ (x2+2xy+ y2) + y2 + 3y - 4 = 0
⇔ (y + 4)(y -1) = -(x+y)2 ≤ 0
⇒ - 4 ≤ y ≤ 1 vì y thuộc Z nên y ∈ { − 4;−3;−2;−1;0;1}

0.5
0.5
0.5

KL Có 6 cặp (x;y) thỏa mãn phương trình là
(4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0)
Từ điều kiện xy + yz + xz = 1 => 1+ x2 = xy + yz + xz + x2 = (x + y)( + z)
x
x
x
1 x
x 
=
.
≤ 
+
÷
x + y x +z 2 x + y x + z 
1 + x2
y

1 y
y 
z
1 z
z 
≤ 
+
≤
+
÷

÷
2
2
Bài III
2 x + y y + z 
2
z
+
x
z
+
y
1
+
y
1
+
z



Tương tự
;
1)
(2điểm) Cộng vế các bất đẳng thức
1 y
x
y
z
x
z  3
≤ 
+
+
+
+
+
÷
2
x
+
y
y
+
x
z
+
y
y
+

z
x
+
z
x
+
z

 = 2
P
3
Tìm được dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 3
Từ diều kiện: a + b + c + 2 abc = 1  b + 2 abc = 1 − c − a
c + 2 abc = 1 − b − a; a + 2 abc = 1 − b − c;
Xét

Bài III
2)

(

a ( 1 − b ) ( 1 − c ) = a ( 1 − b − c + bc ) = a a + 2 abc + bc

= a 2 + 2a abc + abc =

(2điểm)

(

a + abc

)

2

= a + abc

Tương tự…..
Khi đó B = a + b + c + 3 abc − abc + 2015 = ... = 2016

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5

0,5

)
0,5
0,5
0,5

Kết luận….
B
D

Bài IV
1)

O
A

(1,5điểm)

E

C

Vẽ hình đúng đến câu a
+ Chứng minh được tứ giác DBCE là hình thang cân
+ Chỉ ra BE = CD

0,25
1,0
0,25


Bài IV Áp dụng hệ thức lượng váo tam giác vuông AOB đường cao OD chứng
2)
minh được DA.DB = R2.

1,5

(1,5điểm)

B
M

D

K

O

A
N

E

C

µ
Bài IV
µ =C
µ = 180 − A
B
3)
2
Chứng minh

(2,5điểm)

0,5

(1)
·DOE
µ
180 − A

·MON =
=
2
2
Chứng minh

0,5
(2)

µ µ ·
Từ (1) và (2) ta có: B = C = MON
Chứng minh ∆MON đồng dạng với ∆MBO (gg)
BM BO
BC BC BC 2
=
BM.NC =
.
=
2 2
4
Suy ra OC NC Hay

0,5

0, 5

Kết luận....
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ...
BM + CN ≥ BM.CN = ...2OB
2R 3

4R 3
OB
=
2OB
=
Bài IV
3
3
Tính được
4)
;
(1,5điểm)
4R 3
3
Kết luận: min(BM + CN) =
Khi K là giáo điểm của AO với

0,5
0,5
0,5

đường tròn.
Bài V
(1điểm)

2
Nếu y = 0 thì pt trở thành x − 5x + 6 = 0
2
Nếu y = 1 thì pt trở thành x − 5x + 4 = 0

Nếu y ≥ 2

 x = 2; x = 3

0,25
0,25

 x = 1; x = 4

y

3 M9
thì
Xét x = 3k ( k ∈ N

) thì VT = ...=

9k 2 − 15k + 7

không chia hết cho 3

0,25


Xét x = 3k +1 ( k ∈ N

) thì VT =...=

9k 2 − 9k + 3

không chia hết cho 9
9k − 3k + 1
Xét x = 3k +2 ( k ∈ N
) thì VT = ---=
không chia hết cho 3

không có số tự nhiên lớn hơn 2 thỏa mãn bài toán
2

Kết luận (x;y) = (2;0); (3;0); (4;1); (1;1)

0,25