Đề thi và đáp án học sinh giỏi toán lớp 9 năm 2016 tham khảo bồi dưỡng thi (4)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH OAI

TRƯỜNG THCS THANH THÙY
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2015-2016
MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề

Bài 1: (6 điểm) Cho biểu thức:

x   x +3
x +2
P = 1 −
+
+
÷: 
 1 + x   x − 2 3 − x

x (4 + x ) + 4 
÷
x −5 x +6 ÷
.

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm x để P > 0.
c) Tính giá trị của P với x =
Bài 2: (4 điểm)
a) Giải phương trình:

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: 2x2 + 4x = 19 - 3y2
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho x,y,z là ba số dương thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất của Q = xyz
b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a,b,c và có chu vi là 2. Chứng minh
rằng: a2 + b2 +c2 + 2abc < 2.
Bài 4: (2 điểm) Cho ΔABC vuông ở A . Biết AB = 3cm , AC = 4 cm. Từ B vẽ
tia Bx vuông góc với BC Tại B , Bx cắt CA tai điểm E. trên đoạn thẳng BE lấy
F bất kỳ, hạ BH vuông góc với FC tại H.
a) Tính AE.
b) Chứng minh ΔAHC Δ FEC.
Bài 5: (6 điểm)
Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường
tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ
tiếp tuyến chung ngoài EF, E ∈ ( O ) và F ∈ ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE
và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật.
b) MN ⊥ AD.
c) ME.MA = MF.MD.
Người ra đề

---------- Hết ---------Tổ trưởng duyệt

Duyệt BGH


HƯỚNG DẪN CHẤM , BIỂU ĐIỂM
ĐỀ TOÁN 9 NĂM HỌC 2015-2016

Bài
1

a)

Đáp án
x
≥
0,
x
≠
4,
x
≠
9
ĐKXĐ:
 1   x −9− x+ 4+ 4 x + x +4 
÷
P=
÷: 
÷
( x − 2)( x − 3)
 1 + x  


x −3
 1  
=
:

÷
÷
 1 + x   ( x − 2)( x − 3) 

 1
=
1+ x

b)

x −2
  x −2
÷•  1 ÷ =
x +1
 


P>0

x>4
Kết luận: x > 4 và x ≠ 9 thì P > 0

Điểm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ

c)
x=

=> x3 = 4 + 3..x
 x3 + 3x 4 = 0
 x3 x2 + x2 x + 4x 4 = 0
 x2(x – 1) + x(x – 1) + 4(x – 1) = 0
 (x – 1)( x2 + x + 4) = 0
Vì x2 + x + 4 > 0 nên x – 1 = 0 => x = 1
Vậy P =

0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

Bài 2
a)

Đk : 4 ≤ x ≤ 6
=6−x
 =6–x
 +x–6=0
 . (2 + ) = 0
 =0x=4
(2 + ) = 0 ( vô lý)

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ

Thử lại : – x  2 = 2
Kết luận : Vậy phương trình có nghiệm : x = 4
0,5 đ
Tìm nghiệm nguyên của phương trình
b)

2x2 + 4x = 19 – 3y2
 2x2 + 4x + 2 = 21 – 3y2


 2(x2 + 2x + 1) = 3(7 – y2)
 2(x+1)2 = 3(7 – y2)
2
 7–y >0
2
 7–y 2
2
2
 y là số lẻ , mà 7 – y > 0
 y chỉ có thể là
2
 2(x+1) = 3.6 = 18
 (x+1)2 = 32
 x = −4 ; x = 2
(x,y) = (-4, 1) ; (-4, -1) ; (2, -1) ; (2,1)

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
Bài 3
a)

≥2
Tương tự : ≥ 2
≥2
Nhân vế với vế ta được :
≥ 2.2.2 = 8.
 1 ≥ 8xyz
 ≥ xyz hay xyz ≤




0,5đ

Max Q = khi x = y = z =
0,5đ
0,5đ)
(0,5đ
)

b)

Ta có:
0 < a < b + c => 2a < a + b + c => a < 1
0 < b < a + c => 2b < a + b + c => b < 1
0 < c < b + a => 2c < a + b + c => c < 1

0,5đ)

=> (a – 1) (b – 1) (c – 1) < 0
 abc – (ac +ab + bc) + (a+b+c) < 1

(0,5đ
)

 2abc – 2(ac +ab + bc) + (a+b+c)2 < 2 (vì a + b + c = 2)
(0,5đ
)

 2abc + a2 + b2 + c2 < 2 (đccm)

Bài 4:

vẽ hình đúng

(0,5đ
)
0,5đ

E

AB2 = CA. AE
=> AE =

0,5đ
A

CH. CF = BC2 (△ HBC △ BFC)
CA. CE= BC2 (△ ABC △ BEC)

F

0,5đ

H

=> CH. CF = CA. CE
=>
Góc C chung
=> △ AHC △ FEC (c.g.c)

0,5đ
B

C

Bài 5

M

0,5đ

E
I
F

A

O

H
B

C

D
O/

N

a)

b)

Ta có
Góc AEB = GócCFD = 900 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O/), nên:
OE ⊥ EF và OF ⊥ EF => OE // O/F
Góc EOB= Góc FO’D (góc đồng vị) => góc EAO = góc FCO’
Do đó MA // FN, mà EB ⊥ MA => EB ⊥ FN
Hay góc ENF = 900.
O
µ µ $
Tứ giác MENF có E = N = F = 90 , nên MENF là hình chữ nhật
Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD
Vì MENF là hình chữ nhật, nên góc IFN = góc INF

Mặt khác, trong đường tròn (O/):gocsIFN= góc FND = ½ sđ cung FC
=>góc FDC = góc FDC
Suy ra ∆FDC đồng dạng ∆HNC (g – g)
=> góc NHC= góc DFC = 900 hay MN ⊥ AD

0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ

c)
0,5 đ
Do MENF là hình chữ nhật, nên góc MFE = FEN
Trong đường tròn (O) có: góc FEN = góc EAB =1/2 sđ cung EB
=>gócMEF = EAB

0,5 đ


Suy ra ∆MEF đồng dạng ∆MDA (g – g)
ME MF
=
MD
MA , hay ME.MA = MF.MD
=>

0,5 đ
0,5 đ

Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, nếu đúng và phù hợp với kiến thức
trong chương trình đã học thì hai Giám khảo chấm thi thống nhất việc phân bố điểm
của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của bài (hoặc ý) đã nêu
trong hướng dẫn này./.
NGƯỜI SOÁT

TỔ TRƯỜNG

DUYỆT BGH