Tính toán, thiết kế và kiểm biền tĩnh kết cấu thép cầu trục dạng dàn đơn. Thiết kế sơ bộ kết cấu thép cầu trục dạng dàn đơn theo các công thức

LỜI CẢM ƠN
Tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy hướng dẫn TS.Vũ Quốc
Huy, TS.Nguyễn Phú Khánh cùng các thầy, đồng nghiệp trong Trung tâm Phát
triển và Ứng dụng Phần mềm Công nghiệp – Trung tâm DASI đã giúp đỡ tác giả
trong q trình hồn thành nội dung luận văn tốt nghiệp.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến Công ty Cổ phần Công nghệ Tiên
tiến – Advantech, JSC. đã hỗ trợ kinh phí thời gian trong quá trình đào tạovà hỗ
trợ bản quyền phần mềm và các tài liệu liên quan đến phần mềm mô phỏng số
ANSYS trong quá trình tác giả thực hiện đề tài.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đến gia đình người thân và tồn thể
bạn bè đã động viên và hỗ trợ tác giả trong thời gian tác giả học cao học và hoàn
thành luận văn tốt nghiệp.

Hà nội, ngày 28 tháng 6 năm 2012

Đinh Văn Quyết

-1-


Mục lục

MỤC LỤC

-2-


Lời cam đoan

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng báo cáo trong luận văn này là của cá nhân tôi thực

hiện với sự hướng dẫn của thầy TS. Vũ Quốc Huy, TS. Nguyễn Phú Khánh.

Hà nội, ngày 28 tháng 6 năm 2012

Đinh Văn Quyết

-3-


Ký hiệu, từ viết tắt

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, TỪ VIẾT TẮT
y

(z)
y'
(z)
M
Q

Chuyển vị tại điểm có tọa độ z của đường biến dạng của hệ
Góc xoay tại điểm có tọa độ z của đường biến dạng của hệ
Mô men uốn
Lực cắt

y
Độ cứng của gối đàn hồi
ϕ
δV

Hệ số đàn hồi của liên kết ngàm đàn hồi
Số gia của thế năng biến dạng.

δT
µ

Số gia của cơng ngoại lực.
Hệ số xét đến liên kết 2 đầu thanh

K

Động năng hệ khi dao động

U
δ
km

Thế năng hệ khi dao động
Chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M do một lực bằng 1 đặt tại
điểm có lựcP gây ra.
(t)

δ

1p

Chuyển vị tại điểm đặt khối lượng M do một lực bằng 1 đặt tại
điểm có lực
P(t) gây ra.

ω
Tần số góc dao động riêng của hệ
T

Chu kỳ dao động
Tần số dao động

f
η

Độ tắt dần của dao động
Hệ số động

K
d

-4-


Ký hiệu, từ viết tắt

-5-


Danh mục các bảng

DANH MỤC CÁC BẢNG

-6-

Danh mục các hình, đồ thị

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ĐỒ THỊ

-7-


Mở đầu

MỞ ĐẦU
Động lực học kết cấu là một trong những vẫn đề quan trọng cần được
nghiên cứu và ứng dụng vào q trình tính tốn thiết kế cho các cơng trình trong
thực tế. Động lực học kết cấu là một phạm vi rộng chứa rất nhiều bài toán khác
nhau như: dao động, mỏi, phá hủy, ổn định … .Trong phạm vi đề tài này tác giả
tập trung tìm hiểu về bất ổn định và ứng dụng để kiểm tra ổn định cho cầu trục
dạng dàn đơn.
Trong quá trình thiết kế kết cấu cơng trình, nếu chỉ kiểm tra điều kiện bền
và điều kiện cứng khơng thơi thì chưa đủ để phán đốn khả năng làm việc của
cơng trình. Do vậy, trong nhiều trường hợp, đặc biệt là đối với các kết cấu chịu
nén hoặc kết hợp uốn và nén, tuy tải trọng chưa đạt đến giá trị phá hủy và đơi khi
cịn nhỏ hơn giá trị cho phép của điều kiện bền và điều kiện cứng nhưng cơng
trình vẫn có thể mất khả năng bảo tồn dạng cân bằng ban đầu ở trạng thái biến
dạng của nó mà chuyển sang dạng cân bằng khác chính là sự bất ổn định. Sự bất
ổn định này sẽ gây ra trong hệ những ứng suất phụ và làm cho kết cấu bị phá hủy.
Chính vì thế hiện tượng bất ổn định cần được tính tốn dự đốn chi tiết cho cơng
trình trước khi đưa vào thi công và sử dụng.
Đề tài thực hiện với mục đích hiểu về hiện tượng bất ổn định, nghiên cứu lý
thuyết bất ổn định và ứng dụng lý thuyết bất ổn định này vào việc thiết kế cầu
trục dàn đơn có tải trọng 5 tấn và khẩu độ 19m. Bằng cách sử dụng các công thức

kinh nghiệm để thiết kế sơ bộ kết cấu thép cầu trục dạng dàn, ứng dụng phần
mềm mô phỏng số ANSYS để kiểm tra bền và kiểm tra bất ổn định cho kết cấu.
Nội dung đề tài gồm 3 chương nội dung chính
Chương 1. Tìm hiểu về lý thuyết bất ổn định đưa các lý thuyết cơ bản về
bất ổn định cho thanh và hệ thanh.
Chương 2. Tính tốn, thiết kế và kiểm biền tĩnh kết cấu thép cầu trục dạng
dàn đơn. Thiết kế sơ bộ kết cấu thép cầu trục dạng dàn đơn theo các công thức

-8-


Mở đầu
thiết kế sơ bộ, đánh giá độ bền kết cấu bằng phần mềm mô phỏng ANSYS. Đưa
ra được bản thiết kế với các kích thước chính đảm bảo điều kiện bền tĩnh và các
thông số theo yêu cầu đầu vào.
Chương 3. Tính tốn bất ổn định cho kết cấu: Gồm 2 phần tính tốn bất ổn
định tuyến tính để tìm ra lực bất ổn định tới hạn và các dạng bất ổn định cho tất
cả các tổ hợp tính tốn. Sau đó tính tốn bât ổn định phi tuyến để tìm ra lực gây
bất ổn định thực sự của kết cấu thép.

-9-


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

CHƯƠNG
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
.. Tổng quan về động lực học kết cấu

... Các dạng tải trọng động
Trong thực tế ta thường gặp một số dạng tải trọng động chủ yếu như sau:

Hình .: Lực động có chu kỳ
** Tải trọng có vị trí khơng đổi trị số biến thiên theo thời gian P(t). Thí
dụ: mơ tơ có phần quay khơng cân bằng vì khối lượng đặt lệch tâm (hình 1.1a).
Mơ tơ đặt trên dầm sinh ra lực qn tính ly tâm (hình 1.1c)
P = mrρ2 Trong đó :

• m - khối lượng phần quay;
• ρ - độ lệch tâm của khối lượng m;
• r - vận tốc góc của mơ tơ.

Nếu gọi n là số vịng quay của mơ tơ trong một phút, ta có:

r=

2π .n
(1 / s )
60

Khi mơ tơ chạy dầm sẽ bị dao động ngang do thành phần đứng của lực ly tâm:
P(t) = Psinrt . Đó là loại tải trọng động có trị số biến thiên theo chu kỳ.

- 10 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

** Tải trọng di động có trị số khơng đổi P(z): Như tải trọng của đồn
xe chạy trên cầu.
** Tải trọng di động có trị số thay đổi P(z, t): Như tải trọng động gây ra
bởi đầu máy xe lửa chạy trên cơng trình. Phần khối lượng không cân bằng do đối
trọng đặt tại các bánh xe đầu máy gây ra lực quán tính ly tâm; thành phần thẳng
đứng của lực này tác dụng trên cơng trình theo dạng tải trọng di động có trị số
thay đổi. Chu kỳ biến thiên của tải trọng di động phụ thuộc vào vận tốc chuyển
động của đầu máy.
** Lực địa chấn, xuất hiện khi có động đất.
** Lực khí động, do gió tác dụng vào cơng trình.
** Tải trọng va chạm: Loại tải trọng này xuất hiện khi có vật rơi hoặc va
đập trên cơng trình. Thí dụ như trong các trường hợp quai búa lên đe, bánh xe đi
qua các “ổ gà” do đường không bằng phẳng, bánh xe lửa chạy qua các đầu nối
đường ray, sóng vỗ vào đập.
** Tải trọng động phức tạp: Dạng tải trọng này là tổ hợp của các dạng
tải trọng kể trên. Chẳng hạn như tải trọng di động va chạm, đồng thời thay đổi trị
số. Đầu máy xe lửa chạy trên cầu là một thí dụ về dạng tải trọng vừa di động vừa
thay đổi trị số, đồng thời còn gây ra va chạm khi đi qua các khe hở ở chỗ nối
đường ray.
Trong thực tế để đơn giản cho q trình tính tốn, người ta thường đưa q
trình động lực học về các trường hợp riêng đơn giản hơn. Ví dụ đưa q trình
động lực học về các quá trình dao động hoặc phi tuyến.

... Các dạng dao động
Do tải trọng tác dụng có tính chất khác nhau, đồng thời cấu tạo của kết cấu
cũng có nhiều hình thái khác nhau, nên dao động của cơng trình cũng có thể có
nhiều hình dạng khác nhau. Ta có thể phân loại dao động theo nhiều cách khác
nhau như sau:

- 11 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

a) Theo dạng biểu đồ dao động

• Dao động hình sin (hình 1.2a)
• Dao động phức tạp có chu kỳ (hình 1.2b)
• Dao động có lực cản (hình 1.2c)
• Dao động tăng dần (hình 1.2d)
• Dao động rối loạn (hình 1.2e)

Hình .:Các dạng dao động
b) Theo tính chất của nguyên nhân gây ra dao động
Dao động tự do (hay dao động riêng) là dao động sinh ra bởi lực kích động
đột ngột, hoặc do các lực bất kỳ tác dụng có tính chất tức thời.
Dao động cưỡng bức là dao động sinh ra bởi các ngoại lực tác động theo
một quy luật nào đó, không phụ thuộc vào chuyển động và tồn tại trong suốt
q trình dao động. Các lực động này có thể là lực thay đổi theo chu kỳ hoặc
không theo chu kỳ, có thể là lực thay đổi đột ngột, v.v.
Tự dao động hay cịn gọi là dao động tự kích thích là loại dao động xuất
hiện bởi các lực do bản thân chuyển động gây ra và tắt đi khi ngừng chuyển
động. Thí dụ xét khối lượng m gắn liền với lò xo ở điểm A, đặt yên trên mặt

- 12 -

Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

phẳng ngang. Khi mặt phẳng ngang chuyển động đều theo chiều mũi tên với
vận tốc v0 (hình 1.3), khối lượng m sẽ dao động theo phương ngang.
Dao động ngẫu nhiên là loại dao động xuất hiện do các ngun nhân bên
ngồi tác động có tính chất ngẫu nhiên được mơ tả bằng các đại lượng đặc trưng
trong lý thuyết xác suất.
c) Theo sự tồn tại hay khơng tồn tại của lực cản
Dao động có lực cản là dao động bị mất một số năng lượng do ảnh hưởng
cản của môi trường dao động, do ma sát của các liên kết, do ma sát nội.
d) Theo số bậc tự do của hệ người ta chia các hệ thành ba loại
Hệ có một bậc tự do (hình 1.3a),

Hình .: Hệ có 1(a), một số (b) và vơ số (c) bậc tự do.
Hệ có một số bậc tự do (hình 1.3b),
Hệ có vơ số bậc tự do (hình 13.c) .
e) Theo loại biến dạng khi dao động
Dao động ngang là dao động gây chuyển vị thẳng góc với phương ban
đầu của trục kết cấu, dao động dọc là dao động gây chuyển vị dọc theo trục của
kết cấu.
f) Theo dạng của phương trình vi phân mơ tả dao động
Dao động tuyến tính khi phương trình vi phân mơ tả dao động là tuyến tính.
Dao động phi tuyến khi phương trình vi phân mơ tả dao động là phi tuyến.
g) Theo khả năng thay đổi các thông số của hệ

- 13 -

Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

Các thông số là các đại lượng liên quan đến việc biểu diễn phương trình
dao động của hệ, có thể là khối lượng, độ cứng. Nếu các thông số của hệ không
đổi trong quá trình chuyển động thì dao động được gọi là dao động khơng có
thơng số. Nếu các thơng số của hệ thay đổi theo thời gian với một quy luật nào
đó, thì dao động được gọi là dao động có thơng số. Bài toán ổn định của kết cấu
dưới tác dụng của tải trọng cũng thuộc loại bài toán dao động có thơng số.

Hình .: Dao động có thơng số.
Thí dụ hệ vẽ trên hình 1.4 là một trường hợp dao động có thơng số. Khi
ngàm B đứng n thì chiều đài l không đổi và dao động của khối lượng C là dao
động khơng có thơng số. Khi ngàm B chuyển động theo phương thẳng đứng với
quy luật Z = Acoswt thì chiều dài BC sẽ thay đổi với L= l + Acoswt, lúc này
chuyển động của khối lượng C là dao động có thơng số.

... Các phương pháp giải
**Phương pháp quy về tĩnh
Phương pháp này dựa trên cơ sở những nguyên tắc cân bằng của tĩnh học
trong đó chỉ bổ sung thêm các lực quán tính (theo nguyên lý Đalămbe). Như vậy
các phương trình cân bằng tĩnh sẽ trở thành các phương trình cân bằng
động. Đối với hệ phẳng, các phương trình cân bằng động sẽ có dạng:

- 14 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1


d 2 X(t)
X
−
m
∑ dt 2 = 0
∑

d 2 Y(t)

Y
−
m
∑
∑ dt 2 = 0


d 2α u (t)
M
−
J
=0
∑ u ∑ m(u )
2
dt

Trong đó :
X(t), Y(t) - lần lượt là các chuyển vị tịnh tiến của khối lượng m theo

phương của trục x và y;
α u (t) - chuyển vị xoay của khối lượng m quanh trục u là trục vng góc
với mặt phẳng xy;

-m

d 2 X(t)
d 2 Y(t)
;-m
dt 2
dt 2 - lần lượt là thành phần theo phương x và phương y của

các lực quán tính của khối lưọng m khi chuyển động.
2
Jm(u)=ρ∫ dm
u
m

- mô men quán tính của khối lượng m đối với trục u; ρ là

khoảng cách từ phân tố khối lượng dm đến trục u.
Đối với bài tốn khơng gian, ta có thể thiết lập các điều kiện cân bằng theo
nguyên tắc tương tự như trên, nhưng khi đó sẽ có 6 phương trình cân bằng động.
**Phương pháp năng lượng
Phương pháp năng lượng được xây dựng trên cơ sở áp dụng định luật bảo
toàn năng lượng: Tổng thế năng và động năng của hệ trong q trình dao động là
một lượng khơng đổi.
K + U = const
Trong đó: K - động năng của hệ khi dao động; U - thế năng của hệ.

- 15 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

... Bậc tự do của hệ đàn hồi
Bậc tự do của hệ đàn hồi là số thông số độc lập cần thiết để xác định vị trí
của tất cả các khối lượng trên hệ đó. Ta có thể xác định số bậc tự do bằng tổng
số các liên kết tối thiểu cần thiết đặt thêm vào hệ tại vị trí các khối lượng để sao
cho tất cả các khối lượng đó trở thành bất động.

Hình .: a,b,c - hệ có một bậc tự do; d - hệ 2 bậc tự do
Những hệ vẽ trên hình 1.5a, b, c có một bậc tự do. Thật vậy, muốn cho
các khối lượng đó bất động ta chỉ cần đặt thêm vào hệ một liên kết (đường đứt
nét trên hình vẽ 1.5d).

Hình .: a,-Hệ có một bậc tự do; b-hệ 3 bậc tự do

.. Hiện tượng bất ổn định
... Khái niệm về ổn định
Ổn định là một tính chất của kết cấu mà nó giữ nguyên được vị trí ban đầu
và giữ nguyên được dạng cân bằng ban đầu trong trạng thái biến dạng ứng với

- 16 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

các tải trọng tác dụng. Hoặc ổn định là tính bảo tồn vị trí và hình dạng cân bằng
ban đầu trong trạng thái biến dạng tương ứng với các tải trọng tác dụng.
Vị trí của kết cấu hay dạng cân bằng của kết cấu ở trạng thái biến dạng
được gọi là ổn định, nếu như sau khi gây cho cơng trình một độ lệch rất nhỏ khỏi
vị trí cân bằng ban đầu hoặc khỏi dạng cân bằng ban đầu bằng một nguyên nhân
nào đó, rồi bỏ ngun nhân đó đi thì cơng trình sẽ có khuynh hướng quay trở về
trạng thái ban đầu. Tuỳ theo ngun nhân gây ra trong cơng trình, các biến dạng
đàn hồi hay đàn dẻo, cơng trình sẽ quay trở về trạng thái ban đầu hồn tồn hay
khơng hồn tồn.
Vị trí của kết cấu hay dạng cân bằng của kết cấu ở trạng thái biến dạng
được gọi là bất ổn định nếu như sau khi gây cho kết cấu một độ lệch rất nhỏ khỏi
vị trí cân bằng ban đầu hoặc khỏi dạng cân bằng ban đầu bằng một nguyên nhân
nào đó rồi bỏ ngun nhân đó đi thì kết cấu không quay trở về trạng thái ban đầu
nữa. Lúc này, độ lệch của kết cấu khơng có khuynh hướng tăng dần mà có thể
phát triển tiếp tục cho đến khi kết cấu có vị trí mới hoặc có dạng cân bằng mới.
Bước quá độ của kết cấu từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định
gọi là bất ổn định. Giới hạn đầu của bước quá độ đó gọi là trạng thái tới hạn của
cơng trình. Tải trọng tương ứng với trạng thái tới hạn gọi là tải trọng tới hạn.
Một ví dụ đơn giản về trạng thái ổn định của cơ hệ đó là quả cầu tuyệt đối
cứng trong máng lõm như hình .7. Nếu đẩy quả cầu đi với một lực nhỏ thì quả
cầu sẽ ln quay về vị trí cân bằng ban đầu tại nơi có thế năng thấp nhất. Tuy
nhiên, nếu lực tác động tương đối lớn thì chúng ta chưa thể khẳng định điều gì sẽ
xảy ra với quả cầu, nó có thể vượt qua ngồi vị trí cân bằng ban đầu để đến với vị
trí cân bằng khác hoặc cũng có thể khơng xác định được vị trí của nó.

Hình .: Ví dụ về trạng thái ổn định

- 17 -

Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

Một ví dụ khác đó là sự cân bằng ổn định của một thanh thẳng tuyệt đối với
một đầu chịu lực và đầu kia chịu liên kết khớp như hình 1.8. Nếu khơng có bất
cứ sự nhiễu loạn nào (các tác động lệch trục) và lực tác dụng P đủ nhỏ thì thanh
ln ln chịu biến dạng dọc trục. Trong trường hợp này, quan hệ giữa lực tác
dụng P và biến dạng dọc trục ∆ là tuyến tính. Tuy nhiên, nếu có bất cứ sự nhiễu
loạn nào và lực P đủ lớn thì quan hệ giữa lực P và biến dạng dọc ∆ sẽ là phi tuyến

Hình .: Thanh chịu lực dọc trục và quan hễ giữa tải P với biến dạng dọc ∆

... Khái niệm và các loại bất ổn định
a) Khái niệm
Một kết cấu hay một thành phần của kết cấu hoặc một hệ cơ học được gọi là
bất ổn định nếu như với bất kỳ tác động nhỏ nào vào hệ thì hệ sẽ bị thay đổi trạng
thái đột ngột và khơng thể quay lại vị trí cân bằng ban đầu của hệ.
Sự thay đổi trạng thái này có thể là sự mất cân bằng khơng biết trước được
vị trí của hệ hoặc cũng có thể biết trước được vị trí của hệ nếu hệ chuyển từ trạng
thái từ trạng thái cân bằng này sang trạng thái cân bằng khác như hình 1.9

- 18 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

Hình .: Các trạng thái không ổn định

b) Các loại bất ổn định
Từ khái niệm về sự ổn định ta cũng phân biệt hai trường hợp mất ổn định
như sau: mất ổn định về vị trí và mất ổn định về dạng cân bằng ở trạng thái biến
dạng.
Hiện tượng mất ổn định về vị trí xảy ra khi tồn bộ kết cấu được xem là
tuyệt đối cứng khơng giữ ngun được vị trí ban đầu mà bắt buộc phải chuyển
sang vị trí khác.
Đó là trường hợp mất ổn định lật hoặc trượt của các cơng trình tường chắn,
mố cầu, trụ cầu, tháp nước v.v... Trong trường hợp này, các ngoại lực tác dụng
trên công trình khơng thể cân bằng ở vị trí ban đầu của cơng trình mà chỉ có thể
cân bằng ở vị trí mới.
Trong cơ học, vị trí của các vật thể tuyệt đối cứng có thể là ổn định, khơng
ổn định hoặc phiếm định.
Một thí dụ đơn giản về hiện tượng ổn định và mất ổn định về vị trí là trường
hợp hịn bi đặt trong mặt cầu lõm (hình 1.10a) – cân bằng ổn định, đặt trên mặt
cầu lồi (hình 1.10b) – cân bằng mất ổn định và đặt trên mặt phẳng (hình 1.10c) –
cân bằng phiếm định.

- 19 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

Hình .: Các trạng thái cân bằng
Như vậy, ở vị trí cân bằng ổn định thì thế năng của vật thể nghiên cứu là

cực tiểu; ở vị trí cân bằng khơng ổn định thì thế năng của vật thể là cực đại còn ở
vị trí cân bằng phiếm định thì thế năng của vật thể không đổi.
Hiện tượng mất ổn định về dạng cân bằng trong trạng thái biến dạng xảy ra
khi dạng biến dạng ban đầu của vật thể biến dạng, tương ứng với tải trọng nhỏ
ban đầu bắt buộc phải chuyển sang dạng biến dạng mới khác trước về tính chất
nếu tải trọng đạt đến một giá trị nào đó hoặc xảy ra khi biến dạng của vật thể phát
triển nhanh mà không xuất hiện dạng biến dạng mới khác trước về tính chất nếu
tải trọng đạt đến một giá trị nào đó.

... Tải gây mất ổn định
Tải gây mất ổn định là tải mà tại đó trạng thái cân bằng hiện tại của phần tử
kết cấu hay kết cấu thay đổi đột ngột trạng thái của nó từ ổn định sang bất ổn
định. Nói một cách khác, tải gây mất ổn định là tải lớn nhất mà tại đó trạng thái
cân bằng ổn định của một phần tử kết cấu hay kết cấu bị đẩy ra khỏi vị trí cân
bằng ban đầu của nó.
Đối với một số kết cấu quan hệ giữa tải tác động và biến dạng thay đổi một
cách đột ngột khi tải đạt đến trạng thới gần tới hạn. Hình 1.11 mơ tả một trạng
thái mất ổn định của thanh với đoạn OA là đoạn tải chưa đạt tới trạng thái giới
hạn và do đó tải P khơng gây ra độ lệch, khi tải đạt tới trạng thái gần kề với tải
giới hạn thì quan hệ giữa tải P và độ lệch u thay đổi một cách đột ngột (đoạn AB)
và khi thôi không tác động tải nữa thì kết cấu lại trở lại trạng thái cân bằng ban
đầu.

- 20 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

Hình .: Dạng bất ổn định tại trạng thái tới hạn
Đối với một số kết cấu thì quan hệ giữa lực gây mất ổn định và chuyển vị
lệch có thể được miêu tả như hình 1.12. Trong hình 1.12, lực P đạt được trạng
thái lớn nhất tại C và tử C kết cấu rơi xuống D, tuy nhiên kết cấu sẽ chuyển đến
E nếu lực tác dụng P khơng đổi.

Hình .: Chuyển trạng thái cân bằng trong kết cấu
Một vài khái niệm quan trọng cần lưu ý khi mô tả về hiện tượng bất ổn định
đó là:
• Kết cấu bị bất ổn định sẽ thay đổi hình dạng ban đầu.
• Sự chuyển hình dạng từ ổn định sang bất ổn định sẽ xảy ra đột ngột tại
điểm tới hạn.
• Sự thay đổi tuân theo quan hệ của đường cong tải và biến dạng.

- 21 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

... Phân tích bất ổn định tuyến tính
Trong phân tích bất ổn định tuyến tính ta tìm được dạng bất ổn định và tải gây
bất ổn định bằng việc giải phương trình trị riêng. Khi đó trị riêng của phương
trình là tải gây mất ổn định cịn vectơ riêng ứng với trị riêng đó là dạng bất ổn
định. Nếu gọi λb là tải gây mất ổn định và wb là biên độ của chuyển vị do tải bất
ổn định đó gây ra thì với các tác động có lực nhỏ hơn λb kết cấu sẽ không bị mất
ổn định đồng nghĩa với việc wb = 0; ngược lại khi lực tác động lớn hơn λb thì kết
cấu sẽ bị mất ổn định và wb ≠ 0 tuy nhiên ta sẽ không biết được hướng phát triển
của chuyển vị như thế nào.

Ví dụ một thanh thẳng chịu lực ở một đầu và đầu kia bị ngàm, khi lực tác
dụng chưa đạt tới điểm gãy thì chuyển vị bất ổn định w b = 0 và khi lực tác dụng
đạt tới điểm gãy thì thanh thẳng bị mất ổn định và w b ≠ 0 tuy nhiên ta sẽ không
biết được biên độ thực sự của chuyển vị bất ổn định là bao nhiêu mà chỉ biết
được dạng của bất ổn định như thế nào.

Hình .: Kết quả của phân tích bất ổn định tuyến tính
Tóm lại, với phân tích bất ổn định tuyến tính ta sẽ thu được tải gây mất ổn
định λb và dạng mất ổn định nhưng ta sẽ không biết được biên độ của chuyển vị
bất ổn định là bao nhiêu và do đó ta khơng thể đánh giá được kết cấu có thỏa
mãn điều kiện bền về ổn định khơng. Việc đánh giá và tính tốn biên độ của dạng

- 22 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

bất ổn định sẽ được thực hiện trong phân tích hậu bất ổn định, với phân tích này
ta có thể đánh giá được độ bền về ổn định của kết cấu một cách chính xác.

... Phân tích bất ổn định phi tuyến
Phân tích bất ổn định phi tuyến thường là cách tiếp cận chính xác hơn vì lúc
đó trạng thái của kết cấu thực tế. Bằng cách sử dụng một phân tích phi tuyến tĩnh
có kể đến biến dạng lớn với tải trọng tăng dần để xác định mức tải mà kết cấu trở
nên khơng ổn định, như mơ tả trong hình dưới. Mơ hình ban đầu sẽ khơng hồn
hảo ngun nhân do sai số của quá trình chế tạo, trong quá trình chịu tải kết cấu
bị thay đổi hình dạng.

Hình .: Đường cong bất ổn định phi tuyến a và tuyến tính b

.. Bất ổn định của thanh chịu nén đúng tâm
Ta có thể xét sự chịu lực nén đúng tâm của một thanh dài và mảnh để có
khái niệm về sự ổn định của một hệ đàn hồi. Trên thanh tăng dần giá trị của lực P
ta thấy hiện tượng sau:

Hình .: Các trường hợp lực

- 23 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

Khi P còn nhỏ thanh chịu nén đúng tâm; nếu ta tác dụng một lực R rất nhỏ
thì thanh bị cong đi một chút. Nhưng nếu bỏ lực R đi thì thanh chở về vị trí ban
đầu, nó vẫn chịu nén đúng tâm. Thanh ở trạng thái cân bằng ổn định.
Nếu tăng dần P lên đến một giá trị nào đó thanh vẫn thẳng. Nhưng nếu ta
tác dụng lực ngang R thì khi bỏ lực R đi thanh bị cong về một phía mà khơng trở
về trạng thái ban đầu được. Khi đó thanh ở trạng thái tới hạn. Trị số lực P ứng
với trạng thái tới hạn gọi là lực tới hạn Pth.
Nếu tăng P lớn hơn Pth thì thanh cong rất nhanh và rễ bị phá hoại đột ngột.
Khi đó thanh ở trạng thái mất ổn định, biến dạng tăng khá nhanh.(Hình1.15). Qua
thực nghiệm ta thấy khi:
P = 1,010 Pth thì f = 9 % L
P = 1,015 Pth thì f = 22% L
Phân tích trên đối với thanh có thể so sánh với sự cân bằng của vật rắn hình
cầu đặt trên mặt lõm hay mặt lồi (Hình 1.16).

Hình .: Các trường mất cân bằng
Nếu hình cầu được đặt trên mặt lõm ở vị trí thấp nhất (Hình 1.16) thì nếu

b) bằng khi bỏ lực
đẩy nó ra khỏi vị trí cân bằng này nó lại trở về ngay vị trí cân
đẩy đi. Hình cầu ở vị trí cân bằng ổn định (như thanh chịu lực P < P th).
Nếu để hình cầu trên mặt lồi ở vị trí cao nhất thì nếu khơng có lực đẩy
ngang nó sẽ cân bằng tại vị trí này, nhưng nếu có lực đẩy ngang nó rời khỏi vị trí
cân bằng và khơng thể trở về vị trí ban đầu được nữa. Hình cầu ở vị trí cân bằng
khơng ổn định (như thanh chịu lực P≥ Pth).

- 24 -


Luận văn thạc sỹ khoa học

Chương 1

Trong thực tế ta thấy một số hiện tượng mất ổn định khác của hệ đàn hồi
như dầm cơng son chịu lực, ống trịn chịu áp lực phân bố đều vv… Như vậy khi
tính tốn, thiết kế ta phải tính đến cả sự mất ổn định của cơng trình hay chi tiết
máy, tức là tải trọng tính tốn phải nhỏ hơn tải trọng cho phép về mặt ổn định. Cụ
thể:
P≤

Pth
K od

Pth là lực tới hạn được tính tốn theo các kêt cấu cụ thể.

Kod là hệ số an toàn về ổn định.
P là lực tác dụng lên kết cấu.
Như vậy để giải được bài toán về ổn định, cơ bản là xác định được lực tới
hạn Pth.

... Bài toán Ơ-le
.... Xác định lực giới hạn của thanh chịu nén đúng tâm
Bây giờ ta xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm. Đây là trường
hợp mất ổn định thường gặp nhất trong kỹ thuật. Bài toán này được Ơ-le giải
năm 1774.
Xét thanh thẳng mặt cắt ngang không đổi liên kết khớp với 2 đầu, chịu lực
nén đúng tâm P (Hình 1.15). Khi đạt đến lực tới hạn P th thanh sẽ có dạng cong
nào đó. Thực tế cho thấy nếu liên kết ở 2 đầu là khớp cầu thì thanh sẽ cong trong
mặt phẳng có độ cứng bé nhất. Bây giờ ta xác định lực tới hạn đó.
Với hệ trục (như hình vẽ) trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ, tại mặt cắt có
toạ độ z thanh có độ cong là y(z). Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh thì nội
lực trên mặt cắt là Mơmen uốn:
Mz = Pth × y(z)

- 25 -