Đề tài tiểu luận hạt nhân siêu chảy

Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

1
SỰ CẦN THIẾT CỦA MẪU TƯƠNG TÁC CẶP LOẠI SIÊU CHẢY
Nhiều tính chất của các hạt nhân đã được giải thích như là kết quả của sự chuyển động của các hạt
riêng lẻ trong trường tự hợp (trường được tạo bởi các hạt nuclon còn lại). Mẫu lớp một hạt đã cho phép
mô tả các đặc trưng lượng tử của các trạng thái thấp trong hạt nhân, nhất là những hạt nhân chỉ thừa hay
thiếu một nucleon so với sự chiếm đầy các lớp. Nhưng khi tăng số hạt lẻ ngoài lớp chiếm đầy, tức khi đi
xa các hạt nhân magic, thì mẫu một hạt gặp những khó khăn lớn. Lúc này trong các trạng thái thấp của hạt
nhân hình cầu, độ phức tạp của sự pha trộn cấu hình tăng lên, đồng thời với vai trò không thể bỏ qua của
lực tương tác tạo bởi các nuclon riêng lẻ. Tương tác này đã không được đưa vào trường trung bình
(trường tạo bởi hiệu ứng tập thể (the collective effect) trong hạt nhân). Nói cách khác, trường thế trong
mẫu lớp đối với những hạt nhân xa magic không hoàn toàn là trường tự hợp.
Trong trường hợp các hạt nhân biến dạng, các trường thế được dùng như trường thế đối xứng trục:
trường thế Nilsson, thế Wood-Saxon đối xứng cầu, hoặc thế có dạng không đối xứng trục NilssonNewton, mô tả trường trung bình của hạt nhân tốt hơn trong trường hợp các hạt nhân hình cầu. Thực vậy,
trong hạt nhân biến dạng, các thông số của trường trung bình được chọn để sao cho thế năng bao gồm cả
phần tương tác giữa tất cả các nuclon trong hạt nhân, do đó sự bổ sung mỗi hai nucleon đã được tính đến
một cách hữu hiệu. Vì thế các thế năng Nilsson và Wood-Saxon đã mô tả thành công các mức thấp của hạt
nhân biến dạng lẻ.
Đối với các hạt nhân hình cầu, để mở rộng sự ứng dụng của các hạt độc lập cho những hạt nhân có
nhiều nuclon ngoài lớp chiếm đầy, người ta đã tính đến tương tác dư của các nuclon cuối cùng này. Trong
nhiều công trình nghiên cứu đã đưa ra các kết quả tính toán chi tiết với dạng lực dư phức tạp. Nhưng các
khó khăn tính toán tăng theo số hạt hay số lỗ trống của lớp ngoài cùng, và tăng theo số lượng các đặc
trưng lượng tử thể hiện trong cấu hình của các trạng thái pha trộn. Những khó khăn này của mẫu nhiều hạt
trong thực tế không thể giải quyết được, ngay cả với máy tính, trừ trường hợp chỉ có một số rất ít hạt hay
lỗ trống nằm ở lớp ngoài cùng hoặc cấu hình trạng thái thật đơn giản với rất ít các số lượng tử. Tình trạng
này của việc giải bài toán nhiều vật đã được giải quyết khá tốt bằng cách đưa vào tương quan cặp loại
siêu chảy. Ngoài ra, nhiều hiện tượng khác trong các hạt nhân hình cầu và biến dạng đã được thực nghiệm
phát hiện nhưng các mẫu khác không giải thích một cách thỏa đáng (như khe năng lượng, momen quán
tính, xác suất dịch chuyển bêta và điện từ…). Hy vọng những tồn tại này sẽ được khắc phục khi ta tính

đến tương quan cặp loại siêu chảy. Thực ra tương quan này đã được phát hiện trước hết với các electron
trong kim loại và được mô tả thành công trong lý thuyết siêu dẫn của John Bardeen, Leon N. Cooper, và J.
Robert Schrieffer. Năm 1911, Kamerlingh Onnes đã thấy rằng điện trở của thủy ngân giảm xuống nhỏ hơn
một phần tỉ giá trị bình thường khi bị làm lạnh thấp hơn một nhiệt độ chuyển pha T c khoảng 4 Kelvin.
Như được nhắc ở phần trên, ông đã nhận giải Nobel năm 1913. Tuy vậy, một thời gian dài người ta không
hiểu tại sao các điện tử có thể chuyển động mà không bị cản trở trong các chất siêu dẫn tại nhiệt độ thấp.
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-1-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

Nhưng vào đầu những năm 1960, Leon N. Cooper, John Bardeen và J. Robert Schrieffer đã đưa ra lý
thuyết dựa trên ý tưởng là các cặp điện tử (có spin và hướng chuyển động ngược nhau) có thể giảm một
lượng năng lượng Eg bằng cách chia xẻ một cách chính xác cùng một độ biến dạng của mạng tinh thể khi
chúng chuyển động. Các cặp Cooper này hành động giống như các hạt boson. Sự tạo cặp này cho phép
chúng chuyển động như một chất lỏng liên kết, không bị ảnh hưởng khi các kích thích nhiệt (có năng
lượng là kT) nhỏ hơn năng lượng tạo thành khi kết cặp (Eg).
Lí thuyết BCS này được trao giải Nobel vật lý năm 1972. Đột phá trong việc hiểu cơ sở cơ học
năng lượng này dẫn đến các tiến bộ trong các mạch siêu dẫn.
Lý thuyết BCS này đã mô tả chính xác các khe trong phổ năng lượng của tinh thể kim loại. Chính
sự xuất hiện khe năng lượng trong phổ hạt nhân là bằng chứng hùng hồn về tính siêu chảy của hạt nhân
hay về tương quan cặp loại siêu chảy giữa các nucleon nằm ngoài lớp chiếm đầy của hạt nhân. Các hạt
nhân lẻ, và lẻ-lẻ có năng lượng các trạng thái kích thích thứ nhất cỡ hàng chục KeV, trong khi các hạt
nhân chẵn-chẵn thì năng lượng thường vượt quá 1 MeV, tức là khe năng lượng đã xuất hiện trong hạt nhân
chẵn-chẵn. Những dự kiện trên là xây dựng cho hạt nhân biến dạng, nhưng đó cũng là nét tiêu biểu cho
các hạt nhân hình cầu. Bôgôliubov, người xây dựng phương pháp toán học cho lý thuyết siêu dẫn, đã gợi ý
về khả năng tồn tại tính siêu chảy của chất hạt nhân. Sau đó Bohr O., Mottenson B. và Pines D. đã đặt cơ

sở cho lý thuyết siêu chảy của hạt nhân. Và lý thuyết này được xây dựng hoàn chỉnh đồng thời mở rộng áp
dụng để nghiên cứu cấu trúc hạt nhân bởi Belyaev S.T.Mat, Fys. Medd. Dan, Vid. Selsk, Solaviev V.G.

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-2-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

2
MỞ ĐẦU
2.1 Sự tạo cặp trong hạt nhân, chất siêu dẫn, chất lỏng 3He và sao notron
Hạt nhân siêu chảy là văn bản hiện đại đầu tiên dành riêng cho tương quan cặp trong hạt nhân. Nó
bắt đầu bằng cách khám phá tương quan cặp trong một loạt các hệ gồm: hiện tượng siêu dẫn trong kim
loại ở nhiệt độ thấp, hiện tượng siêu chảy trong chất lỏng 3He và trong sao notron.
Nếu quét một từ trường qua một vòng kim loại (ví dụ như một chiếc nhẫn bằng chì) chìm trong
heli lỏng (T ~ 4 K) nó gây ra một dòng điện mà cường độ không giảm trong một năm, và thấp hơn 105
năm thời gian phân rã đặc trưng của nó.
Nếu một bình hình xuyến chứa đầy heli lỏng dưới nhiệt độ tới hạn Tc = 2,17 K (được gọi là He II)
và được gói với các vật liệu xốp, gồm những kênh mao mạch rất hẹp, có thể quay quanh trục đối xứng của
nó và sau đó đưa về trạng thái nghỉ, chất lỏng tiếp tục chảy (Reppy và Depatie (1964)), không giảm vận
tốc góc trong mười hai giờ, và cho thấy rằng He II chảy mà không phân tán.
Nếu một hạt nhân bị biến dạng ở trạng thái cơ bản, được đặt vào trạng thái quay bởi chuyển động
không đồng đều, trường Coulomb phụ thuộc thời gian, nó hiển thị dải (tần số) quay với momen quán tính
mà là một phần nhỏ (khoảng từ 1/2 đến 1/3) của momen quán tính cố định (ban đầu) (Belyaev (1959),
Bohr và Mottelson (1975)).
Sao notron quay (pulsar) hiển thị sự vọt tăng (sự chạy không đều), đó là, làm tăng đột ngột tần số
của các xung phát ra của bức xạ (Mc Kenna và Lyne (1990), Mc Cullough cùng cộng sự. (1990), Flanagan

(1990), Anderson cùng cộng sự. (1982)).
Tất cả các quan sát ở trên là những ví dụ của các hiện tượng được gọi là siêu dẫn và siêu chảy.
Hiện tượng siêu dẫn là hiện tượng điện trở suất của một số kim loại và hợp kim giảm đột ngột
xuống không (hoặc gần bằng không) khi bị làm lạnh tới một nhiệt độ đủ thấp. Ở nhiệt độ tới hạn (T = T c),
trong mẫu xảy ra một chuyển pha từ trạng thái dẫn điện thường sang trạng thái siêu dẫn. Hiện tượng này
được Kamerlingh Onnes (Hà Lan) phát hiện lần đầu tiên vào năm 1911 đối với thủy ngân (Hg) (T c =
4,15K).
Lý thuyết vi mô về tính siêu dẫn đã được Bardeen, Cooper và Schrieffer đưa ra vào năm 1957.
Trong lý thuyết đó, tức là lý thuyết BCS, sự tồn tại của các cặp điện tử (cặp Cooper) có spin đối song và
hút nhau đã được đề xuất. Tương tác như vậy là tương tác thông qua mạng tinh thể: một điện tử (dẫn) khi
tương tác với mạng cũng làm biến đổi mạng, ta nói mạng bị nhiễu. Một hệ như vậy sẽ có điện tích dương
nhiều hơn một chút so với hệ không nhiễu. Một điện tử khác sẽ liên kết với điện tử này thông qua biến
dạng đó (tương tác điện tử-mạng). Trong một cặp Cooper siêu dẫn, các spin ½ của hai giả hạt định hướng
ngược nhau tạo nên spin tổng cộng bằng không và chuyển động của cặp là chuyển động đơn giản nhất có
thể thực hiện được, tương đương với một momen quỹ đạo bằng không (trạng thái quĩ đạo s). Hơn thế nữa,
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-3-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

trong các chất siêu dẫn, các cặp Cooper luôn ở trong trạng thái cơ bản giống nhau với spin bằng không.
Các cặp điện tử Cooper như vậy chuyển động trong mạng tinh thể không cần trao đổi năng lượng với các
ion, tức là điện trở bị triệt tiêu trong pha siêu dẫn. Các giả thiết trên đây cho phép ta suy luận được rằng:
tương tác điện tử-mạng càng mạnh thì vật liệu càng có nhiều khả năng trở thành chất siêu dẫn.
Khái niệm siêu chảy do Kapitza đưa ra vào năm 1937 để đặc trưng cho thuộc tính thủy động đặc
biệt của chất lỏng 4He ở nhiệt độ rất thấp. Ở nhiệt độ T = 2,17K, chất lỏng 4He có thể chảy qua các ống rất
nhỏ không mất điện tích và do đó không có độ nhớt. Năm 1972, hiện tượng siêu chảy của 3He cũng được

phát hiện ở nhiệt độ rất thấp với các tính chất tương tự như hiện tượng siêu dẫn, bởi Osheroff, Richardson,
Lee. Thực tế, 3He có nhiều pha siêu chảy khác nhau ở dưới 2,17 mK. Hiện tượng này đã được giải thích
dựa trên khái niệm các cặp nguyên tử 3He tương tự như các cặp điện tử trong chất siêu dẫn. Sự dịch
chuyển các cặp điện tử (siêu dẫn) và các cặp nguyên tử (siêu chảy) như vậy sẽ không mất mát năng lượng.
Hiện tượng siêu chảy cũng được xem là có tồn tại với các notron ở các sao notron. Ở đó, nhiệt độ rất cao,
nhưng mật độ notron vẫn còn đủ lớn đối với các hiệu ứng lượng tử.
Nhiệt độ tới hạn để 3He trở thành siêu chảy bằng khoảng 1/1000 nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn của
4
He. Đó là hệ quả của thực tế rằng 3He gồm số lẻ các hạt fermion (2 proton, 1 notron và 2 electron), và do
đó 3He cũng là một fermion. Khi đó, 4He nhiều hơn 3He một notron, nên nó là một boson. Vì trong một hệ
Bose, các trạng thái đơn hạt có thể chiếm giữ nhiều lớp. Ở nhiệt độ thấp, hệ này có khuynh hướng ngưng
tụ thành trạng thái đơn hạt năng lượng thấp nhất (ngưng tụ Bose-Einstein). (Sự chuyển pha siêu chảy của
4
He là biểu hiện của ngưng tụ Bose-Einstein).
Đặc tính cơ bản của ngưng tụ Bose là độ bền pha của nó, tức là hạt năng lượng cao thuận lợi ngưng
tụ thành trạng thái đơn hạt của pha cơ học lượng tử bền vững, để toàn bộ đối xứng chuẩn vị phá vở tự
phát.
Trong một hệ Fermi, nguyên lý loại trừ Pauli chỉ cho phép sự chiếm chỗ đơn của các trạng thái
fermion. Trong gần đúng đơn giản nhất, các hạt fermion chuyển động trong trường thế trung bình chiếm
trạng thái đơn hạt thấp nhất cho trước-năng lượng Fermi ε F. Các hạt fermion có năng lượng gần εF sẽ tạo
cặp tương tác dư. Tương quan cặp rất quan trọng để hiểu cấu trúc các trạng thái dưới trong hạt nhân, đặc
tính của sao notron, kim loại siêu dẫn, heli lỏng 3He ở nhiệt độ thấp. Các fermion thích hợp là các nuclon
trong hạt nhân, và trong sao notron, các electron trong siêu dẫn và các nguyên tử 3He trong chất lỏng heli.
Tương quan cặp dẫn tới trạng thái ghép cặp của các fermion để spin nguyên (0 hoặc 1). Những cặp
này có cấu trúc tổng thể khác với các hệ vật lý, chúng như các boson, và có thể ngưng tụ Bose ở nhiệt độ
thấp. Cơ chế và hệ quả của ngưng tụ đối với hạt nhân là đề tài của các chuyên đề hiện nay.
Cần nhấn mạnh sự tồn tại của ảnh hưởng kích thước lượng tử (quantal-size-effects)(QSE) là vì hạt
nhân là hệ nhiều hạt hữu hạn mà bề mặt của nó đóng vai trò quan trọng. Thực tế, bề mặt hạt nhân không
chỉ là nguồn lượng tử hóa không gian và những mức đơn hạt gián đoạn, mà còn là mô hình bề mặt tập thể
(bởi dao động tập thể). Hơn nữa, bởi vì độ dài kết hợp các cặp Cooper lớn hơn nhiều kích cỡ hạt nhân, nên

hạt nhân siêu chảy hiện thị trong hệ không chiều (zero-dimensional system). Bởi vì số lượng cặp ngưng tụ
nhỏ, nên sự dao động trở nên rất quan trọng.
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-4-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

2.2 Tính siêu chảy của 4He
Năm 1938, F. London đã đưa ra giả thiết cho rằng sự xuất hiện của tính siêu chảy liên quan với sự
ngưng tụ Bose-Einstein của các nguyên tử heli. Giả thiết này đã được phát triển bởi Tisza - người đã xây
dựng “mô hình hai chất lỏng”, hỗn hợp của các nguyên tử heli ngưng tụ (trong khuôn khổ ngưng tụ BoseEinstein) và các nguyên tử heli kích thích (không ngưng tụ). Đó là luận điểm cơ bản cho cơ chế siêu chảy
của 4He.
Trong rất nhiều trường hợp, thành phần ngưng tụ của heli siêu dẫn có thuộc tính như là nó không
tồn tại; nó có thể chảy không có độ nhớt chừng nào các nguyên tử tạo thành pha đó còn tồn tại ở trạng thái
cơ bản. Trong trường hợp này, độ nhớt của heli siêu chảy (bao gồm thành phần ngưng tụ và thành phần
kích thích) bằng không nếu chỉ có thành phần ngưng tụ được chuyển động. Điều này chỉ xảy ra khi chất
lỏng được chảy qua các ống có kích thước nhỏ (để ngăn cản sự chuyển động của thành phần không ngưng
tụ có độ nhớt) và đồng thời vận tốc của heli phải thấp hơn vận tốc tới hạn. Khi vận tốc heli vượt quá vận
tốc tới hạn, tính siêu chảy biến mất; chuyển pha từ trạng thái ngưng tụ sang trạng thái kích thích có thể
xảy ra do sự tương tác giữa dòng chảy của chất lỏng với sự gồ ghề của thành bình.
Sự xuất hiện của các dòng chảy vĩnh cửu là hệ quả đầu tiên của tính chất siêu chảy: nếu chúng ta
khởi động một dòng chảy của thành phần ngưng tụ trong một hình xuyến có nhiều lỗ xốp nhỏ với vận tốc
nhỏ hơn vận tốc tới hạn, với nhiệt độ không đổi, chuyển động đó được bảo toàn với thời gian. Hệ quả thứ
hai được chỉ ra với thí nghiệm của Andronikashvili: khi đo tần số dao động của các đĩa đặt trong heli siêu
chảy, sẽ thấy rằng chuyển động của các đĩa này chỉ kéo theo chuyển động của phần kích thích và không
làm ảnh hưởng đến thành phần siêu chảy.
Mặt khác, nếu cả hai thành phần của chất lỏng đều được làm cho chuyển động thì một độ nhớt nào

đó sẽ xuất hiện. Đó là trường hợp khi ta cho một vật chuyển động trong chất lỏng heli siêu chảy. Khi đó,
thành phần siêu chảy sẽ không gây ra bất cứ cản trở chuyển động nào, mà chỉ có thành phần thường tham
gia vào sự cản trở đó (mức độ cản trở tùy thuộc vào hình dạng của vật). Do vậy ta sẽ đo được một độ nhớt
khác không, có độ nhớt gần với độ nhớt của heli thường.
2.3 Sự tạo cặp trong hạt nhân
Trong mẫu vỏ, các nuclon chuyển động trong hạt nhân trong trường trung bình. Trong hạt nhân
hình cầu, có thành phần xuyên tâm và spin-quỹ đạo, các trạng thái nuclon riêng lẻ được xác lập bởi
momen động lượng quỹ đạo l, tổng momen động lượng j (= l ½) và jz có trị riêng m (Brink và Satchler,
1968). Các nuclon tương tác mạnh trong cự ly ngắn của lực hạt nhân, trong cả trường thế mẫu vỏ và tương
tác dư giữa các nuclon. Hai notron (hoặc hai proton) tương tác dư chiếm ưu thế, làm cực tiểu hóa năng
lượng của chúng bằng cách chuyển động trong các quỹ đạo nghịch đảo thời gian (time-reversed orbits),
tức là trạng thái cùng j nhưng m bằng và trái dấu. Tương tác dư (là lượng bất biến nghịch đảo thời gian
(time-reversed invariant)) duy trì chuyển động nghịch đảo thời gian, bởi vì khi một cặp nuclon tương tác,
chúng phân tán thành các trạng thái nghịch đảo thời gian. Tổng momen động lượng của cặp bằng không.
Trạng thái cơ bản của hạt nhân có số notron và proton chẵn, có được sau khi ghép đôi các nuclon
giống nhau trong các trạng thái năng lượng gần năng lượng Fermi, để tạo các cặp momen động lượng
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-5-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

bằng không. Trạng thái kích thích được hình thành khi có hiện tượng phá vở cặp, và trạng thái thấp nhất
đạt được sau khi phá vở một cặp. Các trạng thái này có năng lượng kích thích khoảng 2Δ–năng lượng liên
kết cặp.
Trong hạt nhân có số notron hay proton lẻ thì có một nuclon lẻ không tạo cặp. Mô tả định tính
trạng thái thấp một hạt nuclon theo quan điểm quỹ đạo đối với nuclon không tạo cặp. Bậc tự do của các
nuclon tạo cặp có thể bỏ qua được.

Khi xét đến tương quan cặp trong hạt nhân lẻ, thì ở trạng thái cơ bản năng lượng liên kết cỡ Δ.
Điều này dẫn đến sự lệch chẵn-lẻ trong chất hạt nhân và năng lượng tách nuclon. Nếu B(N,Z) là
năng lượng liên kết hạt nhân có Z proton và N notron thì năng lượng tách notron cuối cùng sẽ là:
Sn(N,Z) = B(N,Z) – B(N-1,Z)

(2.1)

Tương tự, năng lượng tách proton cuối cùng là:
Sp(N,Z) = B(N,Z) – B(N,Z-1)

(2.2)

Hạt nhân N chẵn có năng lượng tách notron S n(N,Z) lớn hơn so với hạt nhân N lẻ do năng lượng
tạo cặp notron 2Δ. Hình 2.1 cho thấy năng lượng tách notron của dãy hạt nhân với (N – Z) = 21, 23 ; tức là
trong lân cận lớp chiếm đầy N = 82. Có huynh hướng chung là S n tăng khi N tăng, nhưng trên hết là
khuynh hướng xóa sự lệch chẵn-lẻ nhờ sự tạo cặp.

Hình 2.1 Năng lượng phân tách notron Sn

Năng lượng tạo cặp notron–khe năng lượng–được tính từ năng lượng tách notron theo đẳng thức
sau:

(2.3)
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-6-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

trong đó N chẵn.
Tương tự, năng lượng tạo cặp proton;
(2.4)
Giá trị thực nghiệm của năng lượng tạo cặp Δn và Δp được cho ở hình 2.2. Gần đúng có thể coi:
Δ ≈ 12/ MeV.

(2.5)

Hình 2.2 Năng lượng tạo cặp notron và proton (dựa trên phân tích của Zeldes và cộng sự)

Năng lượng tạo cặp Δ phụ thuộc số khối A thể hiện tính tập thể được biểu thị bởi dao động dưới bề
mặt của các đồng vị khác nhau hoặc các hạt nhân đồng notron khác nhau. Tương quan này chứng tỏ thực
tế rằng, ngoài lực nuclon-nuclon trần, sự chuyển đổi của dao động bề mặt tập thể giữa các nuclon trong
các trạng thái nghịch đảo thời gian gần năng lượng Fermi cũng đóng góp cho tương quan cặp hạt nhân.
2.4 Tính siêu dẫn
Các electron gần mặt Fermi trong chất siêu dẫn tương tác nhau trong dạng cặp tương quan. Điều
này lần đầu tiên được đề nghị bởi Cooper (1956), và các cặp đó được gọi “cặp Cooper”. Cặp Cooper được
tạo nên từ hai electron có tổng spin bằng không, động lượng bằng và trái dấu k và –k. Tương quan cặp
trong chất siêu dẫn thường được tạo nên từ tương tác của hai electron thông qua các ion dương ở mạng
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-7-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

tinh thể bằng lực tĩnh điện. Sự biến dạng của mạng tinh thể ảnh hưởng đến sự chuyển động của các
electron. Các electron có thể phát ra hoặc hấp thụ một phonon ảo. Sự tương tác hiệu dụng giữa các

electron thông qua phonon được một electron phát ra, và một electron khác hấp thụ phonon đó. Tương tác
này gây ra sự tán xạ một cặp electron từ trạng thái (k, -k) đến trạng thái (k ’, -k’) với độ lớn Vk’k phụ thuộc
vào cặp electron-phonon và phụ thuộc vào phổ phonon.
Tương tác tạo ra tương quan cặp trong chất siêu dẫn thường là kết quả của sự cân bằng tinh xảo
giữa lưới chắn lực đẩy Coulomb từ hiệu ứng phân cực động học của cả các electron và các ion.
Trong trường hợp hạt nhân thì hơi khác, nguồn gốc chính của sự tạo cặp trong hạt nhân là nhờ lực
tương tác mạnh nuclon-nuclon.
Trong việc mô tả định lượng sự tạo cặp trong hạt nhân, không thể bỏ qua sự dao động bề mặt tập
thể của các cặp nuclon chuyển động trong các trạng thái nghịch đảo thời gian nằm gần năng lượng Fermi.
Sự khác nhau chính giữa sự trao đổi phonon trong chất rắn và trong hạt nhân là dao động hạt nhân thông
qua chuyển động nhất quán của các nuclon.
Quay lại trường hợp chất siêu dẫn, mỗi cặp Cooper có năng lượng liên kết 2Δ–nhỏ hơn năng lượng
Fermi εF. Bộ phân chính của hàm sóng cặp đến từ các trạng thái electron có năng lượng ε trong Δ của năng
lượng Fermi
εF – Δ < ε < εF + Δ.

(2.6)

Độ chênh lệch năng lượng δε ≈ 2Δ tương ứng với khoảng động lượng δp ≈ 2Δ/vF, trong đó vF là vận
tốc Fermi. Hệ thức bất định đánh giá kích thước cặp Cooper : δx ≈ /δp ≈ vF/2Δ.
Độ lớn :
ξ=

(2.7)

gọi là độ dài kết hợp (hay độ dài tương quan) của chất siêu dẫn, và là phép đo kích thước cặp Cooper. Độ
dài kết hợp ξ lớn hơn nhiều so với khoảng cách mạng tinh thể (∼5 ) trong siêu dẫn loại I. Vận tốc Fermi
của electron trong các vật liệu này thường lớn (vF ≈ 106ms−1) và khe năng lượng nhỏ, dẫn đến độ dài kết
hợp lớn. Chất siêu dẫn loại II có độ dài kết hợp nhỏ hơn (ξ ≈ 50 ). Điều này một phần do các electron
trong những vật liệu này có khối lượng hiệu dụng lớn và vận tốc Fermi nhỏ (vF ≈ 104ms−1), khe năng lượng

lớn.
Bardeen, Cooper and Schrieffer (1957) và Schrieffer (1964) đã phát triển lý thuyết vi mô về tính
siêu dẫn, đã đưa vào ý tưởng cặp Cooper, và nhất quán với nguyên lý Pauli. Lý thuyết này được gọi là lý
thuyết BCS, cũng miêu tả sự tạo cặp trong hạt nhân (Bohr, Mottelson và Pines (1958)). Theo lý thuyết
BCS, tất cả các electron gần mặt Fermi ở trạng thái cơ bản của chất siêu dẫn có dạng tương quan cặp
Cooper. Trạng thái kích thích được hình thành từ việc phá vở cặp và có một khe năng lượng 2Δ giữa trạng
thái cơ bản và trạng thái kích thích thấp hơn, khe năng lượng này giúp ổn định trạng thái siêu dẫn. Hiệu
ứng nhiệt có thể phá vở cặp, và trong lý thuyết BCS các electron không tạo cặp sẽ làm giảm liên kết của
các cặp với nhau. Do đó tham số năng lượng khe 2Δ phụ thuộc nhiệt độ, nó giảm khi T tăng. Ở một nhiệt

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-8-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

độ tới hạn thì năng lượng khe bằng không, cặp bị phá vở và có một sự chuyển pha từ pha siêu dẫn thành
pha thường. Lý thuyết BCS cho mối liên hệ giữa nhiệt độ chuyển pha Tc và khe năng lượng Δ(0) ở T = 0 :
(2.8)
Trong thế giới này, hạt và phản hạt (ví dụ quark và phản quark) là bộ phận cấu thành các cặp
Cooper. Phá vở một trong các cặp này sinh ra một quark lớn và một phản quark lớn. Sự phân bố xáo trộn
của các cặp tạo ra sóng có thể được giải thích vì là các hạt boson (ví dụ các hạt pion)
Mỗi cặp Cooper được tạo nên từ hai hạt fermion và do đó cặp này như một boson, tuân theo phân
bố Bose-Einstein, nên tính siêu dẫn có được nhờ ngưng tụ Bose-Einstein của các cặp.

Hình 2.3 Có khoảng 1018 cặp Cooper trên cm3 trong một kim loại siêu dẫn. Một cặp
Cooper có sự mở rộng không gian khoảng 10 -4 cm. Do đó, một cặp Cooper được phủ
chồng bởi 106 cặp Cooper khác, đẫn đến một tương quan cặp-cặp mạnh, như hình

vẽ. Điều này tương ứng nhất quán cho các cặp Cooper (trạng thái kết dính)

Một từ trường có cường độ đủ mạnh sẽ phá vỡ trạng thái siêu dẫn. Giá trị từ trường tới hạn đó B c
là một hàm số của nhiệt độ. Năm 1933, Meissner và Ochsenfel đã phát hiện rằng nếu một chất siêu dẫn
được làm lạnh trong từ trường thì ở T < T c từ thông sẽ bị đẩy ra khỏi chất siêu dẫn đó. Đó là hiệu ứng
Meissner.
Đối với trạng thái siêu dẫn, từ trường giảm theo hàm e-mũ, tính từ bề mặt của nó. Xét chất siêu
dẫn là nữa mặt phẳng vô hạn chiếm phần không gian phía bên phải của trục x. Nếu gọi B(0) là cường độ
từ trường ở bề mặt, sự biến đổi từ trường bên trong chất siêu dẫn sẽ là
B(x) = B(0)exp(-x/λL)

(2.9)

(ta đã giả thiết là từ trường ngoài song song với bề mặt mẫu). Do đó, λL là độ dài thấm sâu của từ trường
trong mẫu và được gọi là độ dài thấm sâu London.
2.5 Tính siêu chảy của 3He
Tính siêu chảy của 3He được phát hiện vào năm 1972 bởi D.D. Osheroff, R.C. Richardson và D.M.
Lee: ở nhiệt độ T < 2,7 mK, heli 3 tồn tại ở rất nhiều pha siêu chảy khác biệt nhau. Các pha này có dị
hướng và có từ tính
Phát hiện được tính siêu chảy của heli 3 là một điều bất ngờ lớn vì heli 3 có spin bằng ½ nên chúng
là các hạt fermion, nhưng trong một vài điều kiện cụ thể chúng tương tác với nhau bằng một lực hút yếu
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-9-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

và chính điều này cho phép các nguyên tử heli 3 kết cặp với nhau. Đối với các cặp nguyên tử heli 3 như

vậy, sự ngưng tụ Bose-Einstein có thể xảy ra. Lý thuyết siêu chảy của heli 3 phức tạp hơn lý thuyết siêu
chảy của heli 4 rất nhiều. Có thể phân chia thành hai thành phần siêu chảy. Pha siêu chảy A xuất hiện ở áp
suất lớn hơn 20 atm và pha siêu chảy B xuất hiện ở áp suất thường nhưng nhiệt độ rất thấp. Pha B cũng có
thể nhận được ở áp suất cao (p = 20÷30 atm).
Ta đã biết, trong kim loại các điện tử dẫn có điện tích âm bằng nhau chuyển động trong mạng của
các ion dương. Nếu bỏ qua ảnh hưởng của mạng, các điện tử chịu các lực tĩnh điện và đẩy nhau. Mạng các
ion dương tạo nên một màn chắn tĩnh điện và các điện tử không đẩy nhau nữa. Ở nhiệt độ thấp, các điện tử
có thể hút nhau và tạo điều kiện cho các điện tử kết hợp (cặp Cooper). Đó là cơ chế vi mô của tính siêu
dẫn. Trong một cặp Cooper siêu dẫn, các spin ½ của hai giả hạt định hướng ngược nhau tạo nên spin tổng
cộng bằng không và chuyển động của cặp là chuyển động đơn giản nhất có thể thực hiện được tương
đương với momen quỹ đạo bằng không (trạng thái quỹ đạo s). Hơn thế nữa, trong các chất siêu dẫn, các
cặp Cooper luôn ở trong trạng thái cơ bản giống nhau với spin bằng không. Do đó các cặp này ở trong tình
trạng tương tự như tình trạng của các nguyên tử heli 4 và có thể tham gia vào sự ngưng tụ Bose-Einstein
(trạng thái cơ bản với s = 0)
Một mô hình tương tự cũng có thể áp dụng cho các nguyên tử heli 3 với cách mô tả của các giả hạt
có tương tác yếu. Lực hút tạo nên sự kết cặp có nguồn gốc từ tính. Lực này có thể trở nên đủ mạnh để tạo
thành một pha heli 3 mới ở dưới 2 mK, trong đó các cặp của các giả hạt được hình thành (cặp Cooper).
Tuy nhiên, các cặp Cooper của heli 3 có các thuộc tính phức tạp hơn nhiều các cặp Cooper siêu dẫn. Các
cặp này không phải là các phân tử; khoảng cách giữa hai giả hạt của một cặp vào khoảng vài chục –lớn
hơn rất nhiều so với khoảng cách giữa các nguyên tử của một phân tử (chứa hai nguyên tử). Nếu chú ý đến
mật độ của các phân tử trong chất lỏng heli, có thể giả thiết rằng các cặp được xếp chồng lên nhau và
không thể phân biệt một cách chính xác cặp nào tạo bởi nguyên tử xác định nào. Ngoài ra nếu tính đến
kích thước của các cặp, không thể xuất hiện tính siêu chảy của chất lỏng này trong các ống có kích thước
nhỏ hơn kích thước của các cặp này.
2.6 So sánh sự tạo cặp trong hạt nhân với tính siêu dẫn
Trong cả chất siêu dẫn loại I và loại II, độ dài kết hợp lớn hơn khoảng cách giữa các phân tử trong
vật chất, nhưng nhỏ hơn kích thước đặc trưng của mẫu vật liệu siêu dẫn. Điều này rất khác trong hạt nhân.
Sử dụng số sóng Fermi thích ứng (kF ≈ 1,36 fm-1) ta có được vF = 54 MeV fm. Phương trình (2.7) cho độ
dài kết hợp :
(2.10)

năng lượng khe cỡ MeV. Xét một hạt nhân đặc trưng có A = 140, Δ ≈ 1 MeV, ξ ≈ 27 fm. So sánh với hạt
nhân trung bình (A ≈ 120) có bán kính R = 1,2A 1/3 fm ≈ 6,3 fm. Như vậy độ dài kết hợp lớn hơn bán kính
hạt nhân. Kết quả này cũng đúng cho tất cả các hạt nhân trong bảng hệ thống tuần hoàn. Trong hạt nhân,
kích thước cặp Cooper được xác định bởi kích thước hạt nhân hơn là độ dài kết hợp.
Ảnh hưởng kích thước lượng tử có thể thay đổi đặc tính của chất siêu dẫn nếu kích thước của nó
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-10-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

đủ nhỏ. Thay đổi đầu tiên xảy ra khi kích thước đó nhỏ hơn độ dài kết hợp, nhưng vẫn lớn hơn khoảng
cách giữa các nguyên tử. Khe năng lượng sẽ biến mất khi chất siêu dẫn đặt trong từ trường mạnh, tuy
nhiên từ trường này hãy còn chưa đủ mạnh để phá vỡ cặp Cooper và các đặc tính khác. Khi từ trường tăng
nữa sẽ xuất hiện sự chuyển pha cấp hai trong trạng thái thường (không còn siêu dẫn).
Đặc tính của mẫu chất siêu dẫn là phụ thuộc kích thước của nó. Một dây kích thước hai lớp hoặc
một lớp sẽ khác với mẫu ba lớp. Lớp mỏng nghĩa là độ dày nhỏ hơn độ dài kết hợp. Tương tự, dây là một
lớp hữu hiệu nếu bán kính của nó nhỏ hơn độ dài kết hợp.
Ảnh hưởng kích thước lượng tử cũng đáng kể trong hạt nhân và không có sự chuyển pha đột ngột.
Tương quan cặp được xác định yếu hơn khi năng lượng kích thích tăng, nhưng không có sự chuyển đổi
đột ngột.
Mottelson và Valatin (1960) lí luận rằng có hình thức gần tương ứng giữa phương trình chuyển
động trong một từ trường không đổi và trong một hệ quy chiếu quay. Họ đề nghị từ trường tới hạn trong
chất siêu dẫn nên được bổ sung thêm trong phổ quay của hạt nhân. Lực Coriolis hạt nhân quay có xu
hướng tách rời cặp trong trạng thái nghịch đảo thời gian. Khi vận tốc góc đủ lớn thì tương quan cặp bị phá
hủy hoàn toàn. Mottelson và Valatin đánh giá vận tốc góc tới hạn ω c không dài hơn bất kì tương quan cặp
nào. Điều này tương tự với từ trường tới hạn Bc trong chất siêu dẫn.
Không hoàn toàn tương ứng giữa ảnh hưởng của từ trường đối với chất siêu dẫn và sự quay của

các cặp trong hạt nhân. Khi không có từ trường ngoài, các electron đều tạo cặp trong trạng thái cơ bản siêu
dẫn. Trạng thái kích thích được hình thành khi phá vở cặp. Từ trường làm trạng thái kích thích bị phân
chia Zeeman và khe năng lượng giảm bớt. Sự phân chia lớn nhất trong trạng thái giả hạt có momen động
lượng cực đại. Đó là kFR, trong đó R là bán kính hạt và kF là động lượng Fermi, khi từ trường có cường độ
B1 thì:
(2.11)
trạng thái hai giả hạt bị suy biến, với trạng thái cơ bản được tạo cặp hoàn toàn. Lúc này từ trường ngoài đủ
mạnh để giảm khe năng lượng về không, nhưng không đủ mạnh để phá hủy tính siêu dẫn.
Trạng thái hai giả hạt có momen động lượng lớn nhất có momen từ (e/2m)2kFR , trong khi momen
từ lớn nhất của trạng thái bốn giả hạt có độ lớn gấp hai lần giá trị này. Do đó, khi từ trường tăng yếu, trạng
thái bốn giả hạt bị suy biến với trạng thái tạo cặp hoàn toàn. Khi từ trường tăng nữa, thì có càng nhiều cặp
bị phá vở. Tổng hợp chung làm giảm bớt độ lớn hiệu dụng của tương quan cặp và cuối cùng sự tạo cặp
biến mất. Perenboom và cộng sự (1981) dựa trên lý thuyết BCS cho mật độ trạng thái khí Fermi và không
bao gồm hiệu ứng vỏ, xác định từ trường tới hạn:
Bc = 2,6B1

(2.12)

Ảnh hưởng kích thước trước tiên là sự quay trong hạt nhân. Momen động lượng lớn nhất của trạng thái hai
giả hạt là j1 + (j1 – 1) = 2j1 – 1, trong đó j1 là giá trị momen động lượng lớn nhất của trạng thái đơn hạt gần
mức Fermi. Thông thường nó tương ứng với trạng thái xâm nhập với jmax = lmax + ½ bị kéo xuống lớp tiếp
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-11-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

theo do tương tác spin-quỹ đạo. Trạng thái hai giả hạt này bị phân chia bởi sự quay và bị suy biến với

trạng thái được tạo cặp hoàn toàn khi:
(2.13)
Ảnh hưởng kích thước này trong vật lý được kết hợp với dãy tần số cắt ngang (band crossing) (hay “chỗ
ngoặt lùi” (backbend)) được xem xét trong sự quay của hạt nhân và ω1 được xác từ dãy tần số cắt ngang.
Trạng thái hai giả hạt đươc canh chỉnh momen động lượng của chúng với trục quay của hạt nhân. Có sự
chuyển pha sang trạng thái không tạo cặp ở tần số quay tới hạn ωc. Tương tự trong trường hợp tính siêu
dẫn, phương trình (2.12) ta có ωc ≈ 2,6ω1. Sử dụng phương trình (2.13) với các giá trị đặc trưng Δ ≈ 1,2
MeV và j1 ≈ 13/2 cho hạt nhân trung bình (A ≈ 150), dẫn đến ωc ≈ 0,5MeV.
Ở nhiệt độ tới hạn, hiệu ứng kích thước hữu hạn sẽ làm bằng phẳng bất kì sự chuyển pha đột ngột.
Tương quan cặp bị giảm bớt khi vận tốc góc tăng nhưng không biến mất đột ngột ở ω ≈ ωc.
Hiệu ứng lớp vỏ là hệ quả của kích thước hữu hạn của hạt nhân. Khoảng cách giữa các lớp chính
trong hạt nhân được đánh giá từ đẳng thức (Bohr và Mottelson (1969))
(2.14)
trong đó ta đã lấy R = 1,2A1/3 fm. Phương trình (2.10) và (2.14) cho mối liên hệ
(2.15)
Do đó điều kiện để bán kính hạt nhân nhỏ hơn độ dài kết hợp liên hệ với điều kiện năng lượng tạo cặp 2Δ
nhỏ hơn khoảng cách các lớp . Hệ quả là, sự chuyển pha từ trạng thái thường sang siêu chảy xảy ra ở nhiệt
độ T = 0, như một hàm của số hạt. Thực tế, trong lớp đầy Δ ≈ 0.5 trong khi ở lớp chưa đầy Δ ≈ 0.5/10 ( là
khoảng cách trung bình của các trạng thái đơn hạt cùng spin). Sự lượng tử hóa không gian trong hạt nhân
nguyên tử dẫn đến các trạng thái đơn hạt có momen động lượng khác nhau. Cặp Cooper dựa trên mức
momen động lượng lớn và nằm gần năng lượng Fermi thì hành động quay trong hạt nhân mạnh hơn so với
cặp Cooper dựa trên mức momen động lượng thấp. Hệ quả, sự phá vở cặp Cooper xảy ra trong hạt nhân
nguyên tử như một hàm của tần số quay.
2.7 Sao notron
Các nguyên tử bị hòa tan khi vật chất thông thường bị nén đến mật độ rất cao, cụ thể là khi khoảng
cách của hạt nhân nhỏ hơn kích thước nguyên tử. Nếu mật độ đủ lớn thì thuận tiện cho các electron kết
hợp với proton liên kết trong hạt nhân để hình thành notron bằng cách phân rã β -. Lực Coulomb đóng vai
trò yếu hơn trong hạt nhân nguyên tử cô lập. Khi mật độ tăng đến ∼ 4 × 1011g cm−3 (chú ý là mật độ hạt
nhân bảo hòa ρ = 2.8 × 10 4g cm−3), tỉ số n/p đạt đến mức tới hạn. Bất kì sự tăng mật độ lên nữa dẫn đến
“notron nhỏ giọt”, nghĩa là hệ hai pha trong đó các electron, hạt nhân, và notron tự do cùng tồn tại và cùng

nhau xác định trạng thái năng lượng thấp nhất. Sự tăng mật độ trên 4 × 10 11g cm−3 dẫn đến tỉ số n/p cao

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-12-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

hơn và ngày càng nhiều có notron tự do. Cuối cùng, khi mật độ vượt quá khoảng 4 × 10 12 g cm−3, áp suất
được tạo bởi notron nhiều hơn bởi electron.
Pulsars (sao notron) là các vật thể thiên văn phát ra các xung sóng vô tuyến một cách chu kì. Gần
như cùng một lúc được khám phá bởi Crab và Vela pulsars (Hewish cùng cộng sự. (1968), Gold (1969)),
cung cấp bằng chứng về cấu tạo sao notron trong sự bùng nổ siêu sao mới.

Hình 2.4 Tiết diện sao sotron

Sự tính toán đã đề xuất ít nhất ba siêu chảy hadron hiện diện trong một sao notron (Pines cùng
cộng sự. (1980)):
1. Ở lớp vỏ bên trong (4,3 × 10 11 g cm−3 < ρ < 2 × 1014 g cm−3, các notron tự do tạo cặp trong trạng

thái 1S0 hình thành siêu chảy trong hạt nhân giàu notron)
2. Ở trạng thái chất lỏng lượng tử (ρ ≥ 2 × 1014g cm−3), trong đó hạt nhân bị hòa tan thành chất
lỏng suy biến của các notron và proton, siêu chảy notron là sự tạo cặp trong trạng thái 3P2.
3. Các proton trong chất lỏng lượng tử có tính siêu dẫn trong trạng thái 1S0.

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-13-

Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

3
NỘI DUNG MẪU TƯƠNG TÁC CẶP LOẠI SIÊU CHẢY
3.1 Dạng Hamintonnien tương tác
Trước đây, trong mẫu lớp đơn hạt, Yensen và Mayer đã giả thuyết có sự tương tác giữa từng cặp
nuclon nằm trên cùng một mức năng lượng, tức hai hạt có cùng các đặc trưng lượng tử như nhau chỉ có
ngược nhau về hình chiếu của momen động lượng trên một hướng xác định. Ở đây, trong mẫu tương tác
cặp loại siêu chảy, tương tự với các electron trong kim loại, lực cặp, về cơ bản chỉ tác dụng với nuclon
nằm trên lớp không chiếm đầy với năng lượng gần với năng lượng Fermi εF. Lực tương tác này là lực hút
thì cấu hình thích hợp nhất về mặt năng lượng của các hạt này là kết quả của sự phân bố các cặp trên một
số mức lân cận mứa Fermi. Thực vậy, các hạt nằm trên các lớp không chiếm đầy tương đối tự do và có thể
phân bố trên các mức năng lượng gần nhau vì chúng ít chịu ảnh hưởng liên quan với nguyên lý loại trừ
Pauli từ phía các hạt khác. Nói cách khác, có sự khuếch tán các cặp nuclon nằm trên các lớp không chiếm
đầy gần mức Fermi. Điều này đặt cơ sở cho việc miêu tả toán học tương tác cặp.
Phương pháp toán học cơ bản xét trạng thái siêu chảy nằm trong hình thức luận của phép lượng tử
hóa lần hai. Hàm sóng bất kì của một hệ các Fermion trong hình thức luận này sẽ tự động phản đối xứng.

a q+σ
Hamintonnien sẽ biểu diển qua toán từ sinh hạt

a qσ
và hủy hạt

. Tác dụng các toán tử này sẽ làm tăng
qσ
hay giảm một đơn vị các số nuclon trong trạng thái bất kì đặc trưng bởi các số lượng tử

. Bằng phép
biến đổi tuyến tính chính tắc, toán tử sinh và hủy này sẽ dẫn đến các toán tử mới trong trường hợp tổng
quát, chúng không phải là các toán tử sinh và hủy thông thường của các nuclon riêng biệt mà là sinh và
hủy các loại chuẩn hạt được đặc trưng cho các trạng thái chồng chất của các nuclon và các lỗ trống.
Tương tác của các nuclon trong hạt nhân được tách thành tương tác của mỗi nuclon với trường thế
trung bình và tương tác cặp loại siêu chảy. Đối với thành phần tương tác thứ nhất, người ta không quan
tâm đến dạng cụ thể của trường thế trung bình, do đó có thể bắt đầu bằng cách thu các phương trình tổng
quát cơ bản rồi áp dụng cho cho dạng cụ thể của các hạt nhân hình cầu hay biến dạng. Để mô tả thành
phần tương tác thứ hai - tương tác cặp loại siêu chảy, người ta sử dụng tập hợp các số lượng tử đặc trưng
cho các mức một hạt trong trường thế trung bình, trong tập hợp này cần tách các số lượng tử

σ = ±l

ứng

σ

với các trạng thái liên hợp đối với toán tử phản chiếu thời gian, chẳng hạn
có thể là các giá trị ngược
dấu của hình chiếu momen trên trục đối xứng của hạt nhân. Như vậy, các trạng thái một hạt của trường
qσ
trung bình mô tả bởi tập hợp các số lượng tử
và năng lượng E(q).

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-14-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân

Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

Cần chú ý thêm rằng với các hạt nhân nặng và trung bình, người ta đã chứng tỏ rằng không có
tương quan cặp loại siêu chảy giữa một notron và một proton, do đó hệ các notron và proton có thể xét
riêng, hay có thể viết riêng Hamintonnien cho hệ notron (hay hệ proton ) dưới dạng:




H 0 (n) = ∑ E ( s)  as+σ asσ − GN ∑ as++ as+− as,− as,+ 
,
sσ


s,s



( 1)

(3.1)

với E(s) là năng lượng của notron nằm ở trạng thái s của trường thế trung bình.
+
−
,−
,+
sσ G ≡ G ( s , s , s , s )

Hệ số GN viết đầy đủ là một hàm số của số lượng tử

:
. Nó đặc trưng cho
độ lớn tương tác cặp. Vì lực dẫn đến tương quan cặp của các nuclon có tác dụng ngắn, tức có thể biểu diễn

δ (r − r , )
thô sơ dưới dạng
, như vậy một cách gần đúng có thể xem đơn giản G = const. Rõ ràng thành
phần thứ nhất của biểu thức (3.1) mô tả chuyển động trong trường thế trung bình. Tương tác cặp loại siêu
chảy thể hiện trong thành phần thứ hai của biểu thức (3.1). Thành phần này mô tả sự hủy hạt và sinh hai
hạt khác, nói cách khác nó mô tả hiện tượng khuyết tán cặp hạt. Hamintonien (3.1) mô tả hệ với số hạt n
nˆ = ∑ (aq++ aq + + aq+− aq− )
q

xác định với trị riêng của toán tử
. Vì nghiệm của bài toán sẽ đơn giản khi chuyển
(3.2)
đến hệ với số hạt không bảo toàn với việc sử dụng phép biến đổi chính tắc không bảo toàn số hạt, nên để
cho thuận tiện người ta thay thế H0 bằng H với:

Hˆ = Hˆ 0 − λn nˆ

(2)

λn
trong đó thừa số
có thể xem như thế hóa học, nó được chọn từ điều kiện bảo toàn về trung bình số
notron N ứng với phương trình:

N = ∑ as+σ asσ

(3.3)

(3)

sσ

Có thể viết (3.2) lại rõ ràng như sau:

H (n) = ∑ { E0 ( s ) − λn } as+σ asσ − GN ∑ as++ as+− as,− as ,+
sσ

(4)

(3.4)

(5)

(3.5)

s , s,

Hoàn toàn tương tự, Hamintonient H(p) của hệ proton có dạng:
+
H (n) = ∑ { E0 (ν ) − λ p } aνσ
aνσ − GN ∑ aν++ aν+− aν ,− aν ,+

νσ

ν ,ν ,

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-15-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

λp
với

là thế hóa học của hệ proton xác định từ trình:

Z = ∑ aνσ+ aνσ

(6)

(3.6)

νσ

λn và λ p
Đưa vào các đại lượng

cũng có nghĩa là tính năng lượng của một hạt theo gốc từ giá trị

λn và λ p
, tức là giá trị gần với năng lượng mức Fermi của hệ neutron và proton.
3.2 Biến đổi chính tắc Bôlôliubov – Các giả hạt
Chúng ta sẽ khảo sát riêng từng hệ hạt, chẳng hạn hệ notron với Hamintonnien đã xét ở trên (3.4).

as+σ và asσ
Trong đó, các toán tử sinh và hủy notron

thỏa mãn hệ thức giao hoán sau đây:

+
as+σ as,σ , + as,σ , as+σ = δ ss+ , δ σσ
,

(7 a )

(3.7a)

(7b)

(3.7b)

(7 a )

(3.7c)

asσ as,σ , + as,σ , asσ = 0
a

+
s,σ ,

a

+

sσ

+
sσ

+a a

+
s ,σ ,

=0

as+σ và asσ
Để dễ dàng giải bái toán, thực hiện phép biến đổi chính tắc chuyển các toán tử hạt

thành

α s+σ và α sσ
các toán tử giả hạt
asσ = usα s ,−σ + σ vsα s+σ

(8a)

(3.8a)

as+σ = usα + s ,−σ + σ vsα sσ

(8b)

(3.8b)

Để biến đổi Bôlôliulov đó không phá vỡ tính chất giao hoán, thì các hàm thực us và vs đưa vào biểu
thức trên phải thỏa mãn các điều kiện:

ηs = u 2s + v2s − 1 = 0

(9a)

(3.9a)

hay u 2 s + v 2 s = 1

(9b)

(3.9b)

sσ
Hàm trạng thái một hạt

có thể biểu diễn qua hàm trạng thái vacum

sσ = as+σ ov

(10)

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

(3.10)

-16-

Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

ψ0
Nếu định nghĩa trạng thái cơ bản của hệ

bao gồm một số chẵn notron như là vacum của giả hạt,

ψ0
thì hàm sóng

( sσ )

đó phải thỏa mãn điều kiện sau đây với mọi

α sσψ 0 = 0

(3.11)

:

; ψ *0α + sσ = 0

(11)

ψ0
Hàm sóng

sẽ có dạng như đã đưa ra trong lý thuyết siêu chảy:

ψ 0 = ∏ ( us + vs as++ as+− )

(12)

(3.12)

s

ψ0
Từ đó ta tính được giá trị trung bình của H(n) theo trạng thái
của trạng thái chân không của hệ giả hạt:

, tức tìm năng lượng trung bình

2

H (n)

0



= 2∑ { E0 ( s) − λn } v − GN  ∑ u s vs ÷ − GN ∑ v 4 s
s
s
 s

2

s

(3.13)

( 13)

GN ∑ v 4 s
s

Vì thành phần
E ( s ) − E0 ( s ) −

GN 2
vs
2

cho sự đóng góp vào trường tự hợp nên có thể chuẩn hóa:

, và thu được:
2

ξ ≡ H (n)
n
0

0



= 2∑ { E ( s) − λn } v − GN  ∑ us vs ÷

s
 s

2
s

( 14 )

(3.14)

Các hàm thực us và vs có thể được xác định từ điều kiện cực tiểu năng lượng trạng thái cơ bản
(3.14):


δ H


0


+ ∑ µ sη s  = 0
s


(15)

(3.15)

H

µs
với là thừa số Legendre. Thực hiện phép biến phân, tức là lấy đạo hàm của
vs và cho bằng không, ta thu được các phương trình:

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

0

+ ∑ µ sη s
s

theo us và

-17-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

4 { E ( s) − λn } vs − 2GN u s ∑ u s, vs, + 2 µ s vs = 0
s,

4 { E ( s) − λn } us − 2GN vs ∑ us, vs, + 2 µ s vs = 0
s,

Nhân phương trình trên cho us và phương trình dưới cho vsvà trừ cho nhau, cuối cùng ta thu được:

2 { E ( s ) − λn } us vs − (u 2 s − v 2 s )GN ∑ us, vs, = 0
s

(3.16)

(16)

,

Mặt khác, ta có:
N = 2∑ v 2 s

(3.17)

(17)

s

2us2 = 2(1 − vs2 )

2v 2 s
thể hiện ý nghĩa của đại lượng vs :
mật độ lỗ trống.

là mật độ số hạt trên mức s, còn đại lượng

bằng

Phương trình (3.16) có hai nghiệm, một nghiệm tầm thường với usvs= 0 và nghiệm thứ hai với
us vs ≠ 0

. Nghiệm tầm thường có thể viết dưới dạng:
us = 1 − θ F ( s)

với:

1
θ F (s) = 
0

và

(3.18)

( 18 )

vs = θ F ( s)

khi E ( s ) < λn
khi E (s) > λn

Để tìm nghiệm không tầm thường, ta đưa vào hàm tương quan:
∆ n = G N ∑ u s vs

(19)

(3.19)

s

Từ (3.16) và (3.9) ta thu được:

ε n = ∆ 2n + [ E ( s) − λn ]

us =

1  E ( s ) − λn 
1 +

2
ε ( s) 

(20a )

(3.20a)

vs =

1  E ( s ) − λn 
1 −

2
ε ( s) 

(20b)

(3.20b)

2

với:
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-18-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

Đến đây , ta có thể thu được các phương trình đối với trạng thái cơ bản của hệ neutron.

1=

GN
2

∑
s

1
∆ 2n + [ E ( s ) − λn ]

2



E ( s) − λn


N = ∑ 1 −

2
2

s 

∆
+
E
(
s
)
−
λ
[
]
n
n

∆ n và λn

Đây là hệ hai phương trình để xác định các đại lượng
Ngoài ra, ta có thể thu được biểu thức cho năng lượng của hệ notron trong trạng thái cơ bản:

ξ 0n = ∑ 2 E (s )vs2 −
s

∆ 2n
GN

(21)

(3.21)

ξ0n
Biểu thức trên không cho biết được giá trị tuyệt đối của
, nó chỉ dùng để tính năng lượng của
trạng thái kích thích hoặc để nghiên cứu sự phụ thuộc năng lương của trạng thái cơ bản vào GN hay vào
thông số biến dạng …
3.3 Hàm sóng trạng thái và ý nghĩa vật lý của các hàm số và
Hàm sóng cơ bản (3.12) biểu diển qua các hàm sóng hạt và các đại lượng us và vs. Nếu nói một
cách chặt chẽ, ta chỉ có thể giả thiết tương tự với lý thuyết BCS hàm sóng của trạng thái cơ bản biểu diễn
qua hàm sóng của vacum nhờ các toán tử sinh hạt :

ψ 0 = ∏ ( u , s, + v, s, as+, + as+, − ) 0
s

ở đây

u , s, và v, s,

u , s, và v , s,

chỉ là các hệ số không có ý nghĩa vật lý đặc sắc nào. Ta có thể chứng minh rằng các hệ số

chính là các hàm số us và vs. Từ đó suy ra rằng hàm sóng của trạng thái cơ bản có dạng :

ψ 0 = ∏ ( us + vs as++ as+− ) 0
s

Khi khảo sát hệ proton cũng thu được các biểu thức tương tự với hệ notron.
us2 và vs2
Ý nghĩa vật lý của hàm số

:

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-19-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

ψ0

vs2
là xác suất để trong trạng thái cơ bản

ứng với vacum giả hạt có một cặp nucleon s+ và s- ;

us2
và

là xác suất mà trạng thái vacum có cặp lỗ (s+,s-) không chiếm đầy. Trong mẫu các hạt độc lập
∆n = 0

vs2 = 1 khi E ( s ) < λn và vs2 = 0 khi E ( s ) > λn

không có tương tác cặp loại siêu chảy (hàm
),
, tức là
tất cả các mức tận đến mức mặt Fermi đều chiếm đầy, còn các mức khác thì để trống. Tương quan cặp
(khi ∆ n ≠ 0)

vs2

dẫn đến làm nhòe các đại lượng , tức làm khuếch tán các hạt trên mặt Fermi. Lúc đó từng
cặp hạt trong một khoảng thời gian nào đó nằm ở trên các mức cao hơn mặt Fermi. Thời gian lưu lại này
hay xác suất cặp hạt nằm ở trên các mức càng giảm dần khi càng xa mức Fermi.

1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0

∆≠0

∆≠0
-3

-2

-1

0

1

2

3

Hình 3.1 Phân bố mật độ cặp theo các mức đơn hạt của trường thế trung bình

Thực nghiệm đã cho kết quả phù hợp với lý thuyết về sự phân bố các nuclon theo quan niệm của

us2
tương tác cặp loại siêu chảy. Thực vậy, xác xuất hay tiết diện phản ứng (d,p) tỉ lệ với

, còn xác suất của

vs2
phản ứng tỷ lệ với
nếu ta dùng bia là hạt nhân chẵn-chẵn. Ở đây, ký hiệu s chỉ các số lượng tử của
trạng thái kích thích hạt nhân lẻ tạo thành sau phản ứng. Những giá trị thực nghiệm rất phù hợp với đường

us2 và vs2
cong mô tả hàm

nếu ta chú ý rằng khối lượng của bia tương ứng giảm năng lượng của trạng thái.

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-20-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

(a)
● ●

● ●
● ●
● ●
(b)
● ●
● ●

● ●
● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

● ●

Hình 3.2 Sự phân bố các hạt trên các mức đơn hạt của trường thế trung bình theo mẫu các hạt độc lập (a), và mẫu các giả hạt độc lập (

3.4 Trạng thái kích thích giả hạt – Khe năng lượng
Một kết quả quan trọng của mẫu tương quan cặp hạt siêu chảy là mô tả trạng thái kích thích và tìm

lời giải thích về hiện tượng "khe năng lượng".
Ta có:

ξ(ns1s2 ) = ε1 + ε 2 > 2∆ n (22)

(3.22)

Từ phương trình trên ta thấy rõ ràng các trạng thái kích thích của hệ gồm số chẵn notron nằm cách xa
2∆ n

trạng thái cơ bản một khe năng lượng bằng

. Tương tự (3.22) ta có biểu thức cho năng lượng trạng

2∆ p
thái kích thích hai giả hạt của hệ gồm số chẵn proton. Trong trường hợp này khe năng lượng bằng

.

Trái với hạt nhân chẵn - chẵn, trong các hạt nhân lẻ năng lương các trạng thái kích thích có thể lẻ
tùy ý, hay nói cách khác không có "khe năng lượng" trong phổ các mức.

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-21-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

Hiện tượng "khe năng lượng" cũng như các tính chất khác của hạt nhân hình cầu hoặc hạt nhân
biến dạng đều có thể mô tả bằng phương pháp tương quan cặp loại siêu chảy.
3.5 Hiệu ứng cản
Ảnh hưởng của hạt lẻ cặp đến tính chất siêu chảy của các trạng thái của hạt nhân gọi là hiệu ứng
cản. Với trạng thái siêu chảy của hạt nhân, tương tác của các nuclon mô tả bởi Hamintonien (3.4) và (3.5).
Tính chất đặc sắc của Hamintonien nằm ở chỗ các nuclon nhảy từ mức này sang mức khác theo từng cặp.
Do đó nếu ở một mức suy biến bậc 2 của trường thế trung bình có một nuclon thì theo nguyên lý loại trừ
Pauli thì mức này không thể chứa một cặp. Hiệu ứng này cho phép khi tính toán tính chất siêu chảy của
những trạng thái xác định không cần chú ý những mức của trường thế có chứa các giả hạt. Điều này dẫn

λn ( s , )

∆ n (s, )

đến thay đổi giá trị của hàm tương quan
và thế hóa học
so với trạng thái không có giả hạt.
Hiệu ứng này thể hiện rất rõ trong các hạt nhân biến dạng mạnh, ở đó mật độ mức của trường thế trung
bình không lớn.
Hàm sóng và năng lượng của hệ với giả hạt nằm ở mức một hạt s2 được viết:

ψ 0 ( s2 ) = as+2σ 2 ∏ { us ( s2 ) + vs ( s2 )as++ as+−
ξ n ( s2 ) = E ( s2 ) + ∑ 2E ( s )vs2 ( s2 ) −
s ≠ s2

}

0

(23)

(3.23)

∆ 2n ( s2 )
GN

(24)

(3.24)

s ≠ s2

Đối với hệ gồm số chẵn notron thì hàm trạng thái, năng lượng và các phương trình cơ bản đối với
các trạng thái kích thích hai giả hạt có dạng sau:

ψ 0 ( s1 , s2 ) = as+1σ1 as+2σ 2

∏ { u ( s , s ) + v ( s , s )a

s ≠ s1 , s2

ξ n ( s1 , s2 ) = E ( s1 ) + E ( s2 ) +

s

1

∑

s ≠ s1 , s2

2

s

1

2

+
s+

as+−

2E ( s )vs2 ( s1 , s2 ) −

}

0

∆ 2n ( s1 , s2 )
GN

(25)

(3.25)

( 26)

(3.26)

Bằng phương pháp tương tự, có thể thu được các biểu thức và phương trình tương ứng cho hệ gồm
nhiều giả hạt.

4
MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA MẪU CÁC GIẢ HẠT SIÊU CHẢY
Mẫu tương tác cặp loại siêu chảy nếu không tính đến tương tác giữa các giả hạt được gọi là mẫu
các giả hạt độc lập. Trên cơ sở của mẫu này có thể tính các đặc trưng của hạt nhân như momen quán tính,
momen tứ cực, các thông số biến dạng … Trong phạm vi mẫu các giả hạt độc lập cũng có thể tính các đặc
Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-22-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

trưng của một số trạng thái hạt nhân, xác suất các dịch chuyển anpha, bêta, gamma, các thừa số phổ trong
các phản ứng hạt nhân trực tiếp. Sau đây sẽ đề cập đến một vài ứng dụng của mẫu các giả hạt siêu chảy.
4.1 Các trạng thái kích thích giả hạt
Xem xét cấu trúc của trạng thái hạt nhân trên quan điểm của mẫu các giả hạt độc lập. Bản chất của
các trạng thái cơ bản hay kích thích có thể là loại không phải giả hạt hoặc loại một, hai hay ba … Hàm
sóng của trạng thái các giả hạt biểu diễn qua các toán tử của hạt nằm trên các mức một hạt q 1, q2 …, nghĩa
là spin, số chẵn-lẻ và các đặc trưng lượng tử khác nhau mô tả các trạng thái giả hạt được xác định bởi các
mức năng lượng đơn hạt của trường trung bình, ở đó có các nuclon lẻ cặp.
Trong trường hợp hạt nhân lẻ, các trạng thái kích thích thấp có thể mô tả bởi hàm sóng một giả hạt
(3.23) và năng lượng (3.24). Đối với hạt nhân chẵn-chẵn, các trạng thái kích thích thấp có thể xem là trạng
thái hai giả hạt với hàm trạng thái (3.25) và năng lượng (3.26).
Công thức (3.24), (3.26) để tính phổ các trạng thái giả hạt. Ở đây, phải dùng đến giá trị năng lượng
các mức một hạt thu được trong trường thế trung bình. Còn giá trị của hàm tương quan G N (hay GZ) thu

được bằng thực nghiệm dựa vào hiệu số khối lượng của hạt nhân chẵn-chẵn và chẵn-lẻ (hoặc lẻ-chẵn) lân
cận. Sự phân tích các số liệu thực nghiệm chứng tỏ rằng giả thiết gần đúng GN, GZ = const là khá tốt.
Năng lượng tính toán các trạng thái một giả hạt của các hạt nhân biến dạng lẻ phù hợp với số liệu
thực nghiệm tốt hơn năng lượng thu được theo sơ đồ các mức một hạt Nilsson hay Wood - Saxon. Mẫu
giả hạt độc lập cho một hình ảnh tổng quát khá đúng với phổ năng lượng các hạt nhân biến dạng lẻ. Ở đây,
thứ tự các mức một hạt của trường thế trung bình thể hiện trong thứ tự các mức một giả hạt. Mật độ trung
bình các mức một giả hạt trong các hạt nhân biến dạng lẻ tìm được từ thực nghiệm gấp khoảng 2 lần mật
độ mức một hạt trong sơ đồ Nilsson và Wood - Saxon. Các mức kích thích cao có thể được mô tả như là
trạng thái ba giả hạt.
Đối với các hạt nhân chẵn - chẵn, theo quan điểm mẫu giả hạt, trạng thái cơ bản là trạng thái không
giả hạt, còn trong số mức kích thích có cả trạng thái hai giả hạt và bốn giả hạt. Phân tích các trạng thái hai
giả hạt trong các hạt nhân chẵn - chẵn biến dạng đã thực hiện trong nhiều công trình nghiên cứu. Không
có số liệu thực nghiệm nào chống lại kết luận suy ra từ mẫu các giả hạt độc lập. Tất nhiên điều đó chỉ xảy
ra với các mức có năng lượng nằm trong khoảng 1,5 - 2,5 MeV, khi mà ảnh hưởng của các chuyển động
tập thể còn chưa đáng kể.
Cần lưu ý rằng các công thức để tính năng lượng các mức kích thích hạt nhân đưa ra ở các phần
trên chỉ phù hợp với trường hợp hạt nhân biến dạng. Dĩ nhiên đối với các hạt nhân hình cầu cũng có
những kiến thức tương tự, và các số liệu tính toán cho trạng thái một, ba giả hạt (cho hạt nhân lẻ) và hai,
bốn giả hạt (cho hạt nhân chẵn-chẵn) cũng khá phù hợp với thực nghiệm.
4.2 Momen quán tính của hạt nhân
So với mẫu các hạt độc lập thì mẫu giả hạt cho kết quả tính toán momen quán tính phù hợp với
thực nghiệm hơn nhiều, mặc dù cũng thấp hơn giá trị thực nghiệm khoảng 5 - 20%. Ngoài ra giá trị
momen quán tính của trạng thái một giả hạt và hai giả hạt phù hợp với thực nghiệm trong phạm vi 10 Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-23-


Tiểu luận môn học: Cấu trúc hạt nhân
Giảng viên giảng dạy: TS. Võ Xuân Ân

30%. Sự tăng momen quán tính của hạt nhân lẻ so với hạt nhân chẵn-chẵn bên cạnh là kết quả cơ bản của
hiện ứng cản làm giảm hàm tương quan

∆

.

4.3 Tương quan cặp và phân rã bêta
Xét ảnh hưởng của tương quan cặp loại siêu chảy đến xác suất dịch chuyển bêta. Phân tích một
cách hệ thống giá trị ft của các dịch chuyển bêta chứng tỏ rằng có sự sai khác giữa giá trị thực nghiệm và
giá trị tính theo mẫu các hạt độc lập. Sự tính toán đến tương tác cặp loại siêu chảy đã giảm sự sai khác này
một cách đáng kể. Chẳng hạn, đối với các hạt nhân biến dạng, trong các dịch chuyển cho phép theo các số
lượng tử bất đối xứng cầu, giữa giá trị ft thực nghiệm và giá trị tính theo mẫu Nilsson hay Wood - Saxon
có sự sai khác đến 20 lần, nhưng khi tính đến tương quan cặp đã làm giảm sự sai lệch này từ 20 đến 8 lần.
Đây là một bằng chứng nữa về vai trò tích cực của mẫu siêu chảy trong việc mô tả các quá trình và cấu
trúc hạt nhân.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nuclear Superfluidity (Pairing in Finite Systems) D.M. BRINK, R. A. BROGLIA – Cambridge
Monographs on Particle Physics, Nuclear Physics and Cosmology
[2] Các mẫu cấu trúc hạt nhân , Trần Thanh Minh, Phan Huy Thiện – Đại Học Đà Lạt 1982
[3] Vật lý chuyển pha , Nguyễn Hữu Đức – NXB ĐHQG Hà Nội 2003

Đề tài tiểu luận: Hạt nhân siêu chảy

-24-