Tuyển tập các bài hình giải tích phẳng Oxy trong đề thi thử đại học K2Pi.net.vn

TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH GIẢI TÍCH PHẲNG OXY TRONG

n
v
.

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC K2PI.NET.VN
Tuế nguyệt như lưu, khích câu vi độ...

Thời gian trôi nhanh, nhanh như bóng câu chạy trước mắt, mới ngày nào còn lạ lẫm, còn đương
bỡ ngỡ về Toán học, chập chững bước vào diễn đàn, kiến thưc kinh nghiệm còn hạn hẹp, kĩ năng
trình bày chưa có. Ấy thế vẫn còn ỷ lại,còn mê những trò chơi điện tử kia mà quên mất đường
cấp ba đã đi được 3 phần. Đến giờ ngẫm lại thấy xấu hổ. Một năm trôi qua nhanh chóng khiến
người ta không kịp nhìn lại chặng đường của mình đã đi. Dẫu biết kiến thức chưa nhiều, kinh
nghiệm chưa có nhưng vẫn làm tài liệu này để giúp diễn đàn có một nơi lưu trữ lại những bài
toán được đánh giá là rất hay và tinh tế. Do là phần 1 nên có thể còn sai xót, rất mong được sự
đóng góp để tài liệu này được hoàn chỉnh hơn.

t
e

n
.
i
p

PHẦN THỨ NHẤT : NĂM 2013

2
K
K2

pi.
ne
t.v
n

Bài toán 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình vuông ABCD có các đỉnh
A(−1; 2) ; C(3; −2). Gọi E là trung điểm cạnh AD ; BM là đường thẳng vuông góc với CE tại M
; N là trung điểm cạnh BM và P là giao điểm của AN và DM . Biết phương trình đường thẳng
BM : 2x − y − 4 = 0 .Tìm tọa độ đỉnh P .
Lời giải:

A

B

N

E

I

P

M

C

D

- Phương trình EC đi qua C vuông góc với BM là: x + 2y + 1 = 0

- Tọa độ điểm M = EC ∩ BM là nghiệm của hệ

2x − y − 4 = 0
x + 2y + 1 = 0



 x= 7
5
⇐⇒
6

 y=−
5

=⇒ M

7 6
;−
5 5

11 2
;
5 5
- Phương trình AN qua hai điểm A và N là x + 2y − 3 = 0
- Gọi I là tâm hình vuông suy ra I(1; 0). Phương trình BD qua I vuông góc với AC là x − y − 1 = 0
2x − y − 4 = 0
x=3
- Tọa độ B là nghiệm của hệ x − y − 1 = 0
⇐⇒

y = 2 =⇒ B (3; 2)
- Do I là trung điểm BD suy ra tọa độ D (−1; −2)
- Phương trình DM qua D và M là x − 3y − 5 = 0


 x = 19
19 2
x − 3y − 5 = 0
5
- Tọa độ P = DM ∩ AN là nghiệm của hệ x + 2y − 3 = 0 ⇐⇒
2 =⇒ P 5 ; − 5

 y=−
5
19 2
;−
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận: Tọa độ điểm P
5
5
- Do N là trung điểm BM suy ra N

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

1


Bài toán 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp
hình chữ nhật M N P Q. Biết các điểm M (−3; −1) và N (2; −1) thuộc cạnh BC; Q thuộc cạnh AB và
P thuộc cạnh AC. Đường thẳng AB có phương trình x − y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

ABC
Lời giải:

t
e

A

n
.
i
p
Q

B

M

P

N

n
v
.

C

2
K

K2
pi.
ne
t.v
n

- Phương trình đường thẳng BC qua M và N là y + 1 = 0
x−y+5=0
x = −6
- Tọa độ điểm B = AB ∩ BC là nghiệm của hệ y + 1 = 0
⇐⇒
y = −1 =⇒ B (−6; −1)
- Đường thẳng QM qua M vuông góc với BC có phương trình là x + 3 = 0
x+3=0
x = −3
- Tọa độ Q = QM ∩ AB là nghiệm của hệ x − y + 5 = 0 ⇐⇒
=⇒ Q (−3; 2)
y=2
−−→
−−→
−−→ −−→
xP = 2
- Ta có M N = (5; 0) ; QP = (xP + 3; yP − 2) =⇒ M N = QP ⇐⇒
yP = 2 =⇒ P (2; 2)
- Đường thẳng AC qua P vuông góc với AB là x + y − 4 = 0
x+y−4=0
x=5
- Tọa độ C = AC ∩ BC là nghiệm của hệ y + 1 = 0
⇐⇒
=⇒ C (5; −1)

 y = −1

 x = −1
x+y−4=0
2 =⇒ A − 1 ; 9
- Tọa độ A = AB ∩ AC là nghiệm của hệ x − y + 5 = 0 ⇐⇒
9

2 2
 y=
2
1 9
; B(−6; −1) ; C(5; −1) .
Kết luận: Tọa độ các điểm A − ;
2 2

Bài toán 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy,cho đường tròn (C) : x2 + y 2 − 4x +
2y − 11 = 0 và đường thẳng (d) : 4x − 3y + 9 = 0. Gọi A; B lần lượt là hai điểm thuộc (d) và C là điểm
22 11
thuộc đường tròn (C). Biết điểm H
;
là một giao điểm của AC và (C) ( C = H) và điểm
5 5
6 7
K − ;
là trung điểm của AB. Tìm tọa độ các đỉnh A; B; C.
5 5

Lời giải:

2

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016


d : 4x − 3y = −9
A

SAKIH = 24

t
e

H
K

n
.
i
p
I

B

n
v
.

C

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n

- Đường tròn (C) có tâm I(2; −1); bán kính R = 4.



 x = −6
2 + y 2 − 4x + 2y − 11 = 0
x
5 =⇒ (d) ∩ (C) = K − 6 ; 7
- Tọa độ (d) ∩ (C) thỏa
⇐⇒
7
4x − 3y + 9 = 0

5 5
 y=
5
√
- Ta có HK = 4 2 =⇒ HK 2 = IH 2 + IK 2 = R2 + R2 =⇒ ∆IHK vuông tại I suy ra tứ giác AHIK là
hình thang vuông tại I và K.
(AH + IK) IH
(AH + R) R
=⇒ SAHIK =

= 24 ⇐⇒
= 24 =⇒ AH = 8
2
2
3a + 9
12
14 3a + 9
4a
7 2
6 2
- Gọi A a;
∈ (d) =⇒ B − − a;
−
.Ta có
+
+3−
=8
a+
3
5
5
3
5
3
5

18 39
→ B (−6; −5)
;
A

18

5 5
a=

⇐⇒ 5a2 +12a−180 = 0 ⇐⇒
=⇒
5

18 39
a = −6
A (−6; −5) → B
;
(Loại do A; B khác phía với IK)
5 5
- Phương trình AC qua A và H là 7x + y − 33 = 0


 x = 26
2 + y 2 − 4x + 2y − 11 = 0
26 17
x
5
- Tọa độ C = (C) ∩ AC thỏa
⇐⇒
17 =⇒ C 5 ; − 5
7x + y − 33 = 0

 y=−
5

18 39
26
17
Kết luận: Tọa độ các điểm A
;
; B (−6; −5) ; C
; −
.
5
5
5
5
Bài toán 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho điểm A (1; 0) và các đường tròn
(C1 ) : x2 + y 2 = 2; (C2 ) : x2 + y 2 = 5 . Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt nằm trên (C1 ) và (C2 )
để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Lời giải:

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

3


B

A

t
e

H

n
.
i
p
C

n
v
.

* Đầu tiên ta có nhận xét: để tam giác ABC có diện tích lớn nhất thì O phải là trực tâm của tam giác ABC.
Chứng minh:
Giả sử CO không ⊥ AB thì ta luôn tìm được điểm C ∈ (C2 ) sao cho d(C , AB) lớn hơn d(C, AB), hay
S∆ABC lớn hơn S∆ABC → không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó CO ⊥ AB
-Tương tự ta cũng có BO ⊥ AC
Vậy O là trực tâm của tam giác ABC.Suy ra AO ⊥ BC ⇐⇒ xB = xC
t2 + b2 = 2
b2 = 2 − t2
Và ta giả sử B(t; b) ∈ (C1 ), C(t; c) ∈ (C2 ) (t, b, c ∈ R) thì ta có 2
⇐⇒
t + c2 = 5
c2 = 5 − t2
−−→ −−→
Mà CO ⊥ AB nên CO.AB = 0 hay t(t − 1) + bc = 0 suy ra b2 c2 = t4 − 2t3 + t2
√
√
5− 5
5+ 5

2
2
4
3
2
2
; t=
Do đó (2 − t )(5 − t ) = t − 2t + t ⇐⇒ (t + 1)(2t − 10t + 10) ⇐⇒ t = −1; t =
2
2
1
1
1
Tới đây ta có: S∆ABC = BC.d(A, BC) = |xA − xB ||yB − yC | = |1 − t||b − c|
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
Suy ra S ∆ABC = (1 − t) (b + c − 2bc) = (1 − t) ((2 − t ) + (5 − t2 ) − 2(t − t2 )) = (1 − t)2 (7 − 2t)
4
4
4

2
* Nếu t = −1 thì
ta
suy
ra
S
=
9
hay
S
=
3
∆ABC
∆ABC
√
5+ 5
* Nếu t =
thì ta dễ thấy điều vô lí vì t2 + b2 = 2.
2√
√
5− 5
5−1
* Nếu t =
thì ta có S 2 ∆ABC =
< 9 → Loại.
2
8
Suy ra vớit = −1 thì S∆ABC lớn nhất.
bc = −2
b=1

b = −1
B(−1; 1)
B(−1; −2)
Và ta có b2 = 1
⇐⇒
∨
=⇒
∨
c = −2
c=2
C(−1; −2)
C(−1; 2)
 2
c =4

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n

Kết luận:

Với

B(−1; 1)
C(−1; −2)

∨

B(−1; −2)
C(−1; 2)

thì tam giác ABC có diện tích lớn nhất

Bài toán 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy cho hình√thoi ABCD có A = 600 .Trên
các cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho M B + N B = AB.Biết P ( 3; 1) thuộc đường thẳng DN
√
và đường phân giác trong của góc M DN có phương trình là d : x − y 3 + 6 = 0.Tìm toạ độ đỉnh D
của hình thoi ABCD.
Lời giải:

Từ giả thiết A = 600 =⇒ tam giác ABD, CBD là các tam giác đều.Theo đề bài ta có AM = BN, BM = CN .
Xét hai tam giác ADM và BDN ta có: DAM = DBN = 600 ,AD = BD, AM = BN ⇐⇒ hai tam giác
bằng nhau ⇐⇒ ADM = BDN (1).
Xét hai tam giác BM D và CN D ta có: DBM = DCN = 600 ,CD = BD,CN = BM ⇐⇒ hai tam giác
bằng nhau ⇐⇒ N DC = M DB (2).
Từ (1) và (2) ⇐⇒ M DN = 600 .
Gọi P là điểm đối xứng của P qua đường phân giác d =⇒ P thuộc đường thẳng DM
=⇒ tam giác P DP là tam giác đều. =⇒ DP = P P = 2d(P/d) = 6.
4

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016


√ 2
√ 2
a+6

a+6− 3
2
√
. Ta có: P D = (a − 3) +
Gọi D có tọa độ D a; √
= 36
3
3
√
√
√
√
√
⇐⇒ a = 3 + 3 ∨ a = −6 + 3 ⇐⇒ D(3 + 3; 1 + 3 3) ∨ D(−6 + 3; 1).
Kết luận:

Tọa độ D(3 +

√
√
√
3; 1 + 3 3) ∨ D(−6 + 3; 1) thỏa mãn bài toán.

t
e

n
v
.

Bài toán 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho hình chữ nhật ABCD , đỉnh B
thuộc đường thẳng d1 : 2x − y + 2 = 0, đỉnh C thuộc đường thẳng d2 : x − y − 5 = 0 .Gọi H là hình
9 2
chiếu của B xuống đường chéo AC . BiếtM
; K (9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD .
;
5 5
Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD biết hoành độ đỉnh C lớn hơn 4.

n
.
i
p
Lời giải:

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n
B

C

K

H

M

D

A

Gọi B(b; 2b + 2), C(c; c − 5), (c > 4) và E là điểm đối xứng với B qua C. Suy ra E(2c − b; 2c − 2b − 12).
Dễ dàng chứng minh được K là trung điểm của AE. Do đó,
−−→
−−→
HE = 2M K =

72 16
;
5 5

=⇒ H 2c − b −

72
76
; 2c − 2b −
5
5

.

Thiết lập tọa độ các vector

−−→
−−→

CK = (9 − c; 7 + c), BC = (c − b; c − 2b − 7),
−−→
−−→
72
86
9
27
BH = 2c − 2b − ; 2c − 4b −
, MC = c − ; c −
5
5
5
5

.

Với giả thiết bài toán ta có hệ phương trình
−−→ −−→
CK.BC = 0
−−→ −−→
BH.M C = 0

⇐⇒

−2c2 + 3bc + 23c − 23b − 49 = 0
594
126
4c2 − 6bc +
b − 46c +
=0

5
5

⇐⇒

b=1
c = 9 hoặc c = 4(loại)

Từ đó ta có B(1; 4), C(9; 4) . Vì K là trung điểm của CD nên suy ra D(9; 0) . Lại có C là trung điểm của
BE nên suy ra E(17; 4), và K là trung điểm của AE nên suy ra A(1; 0) .

Bài toán 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho đường tròn (C) :
5 2
x−
+ (y − 1)2 = 2 .Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết các đỉnh B và C
4
thuộc đường tròn (C), các đỉnh A và D thuộc trục Ox.

Lời giải:
Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

5


(x − 1.25)2 + (y − 1)2 = 2
B

A

t

e

n
.
i
p

C

D

Đường tròn (C) có tâm I

5
;1
4

=⇒ ABCD nhận đường thẳng x =

n
v
.

5
là một trục đối xứng.
4

2
K
K2

pi.
ne
t.v
n

5
5
C ∈ Ox =⇒ C = (a; 0) =⇒ D = ( − a; 0) ; AD ⊥ Ox =⇒ A = ( − a; b) =⇒ B = (a; b)
2
2
5
5
5 2
2
=⇒ CD = |2a − |; AD = |b| =⇒ |2a − | = |b| ⇐⇒ b = 4(a − ) , (1)
2
2
4
5
Lại có A, B thuộc (C) =⇒ (a − )2 + (b − 1)2 = 2 , (2)
4
b=2
2
Từ (1) và (2) =⇒ 5b2 − 8b − 4 = 0 ⇐⇒
b=−
5
1
9
9
1

Với b = 2 =⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là:
;2 ;
;2 ;
;0 ;
;0 .
4
4
4
4
2
21 2
29 2
29
21
Với b = − =⇒ Bốn đỉnh của hình vuông ABCD có tọa độ lần lượt là:
;−
;
;−
;
;0 ;
;0
5
20 5
20 5
20
20
.

Bài toán 8:

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại
32
tiếp đường tròn (I) : (x − 5)2 + (y − 6)2 =
. Biết rằng các đường thẳng AC và AB lần lượt đi qua
5
các điểm M (7; 8) và N (6; 9). Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD.
Lời giải:

A

N

B

M

I

D

C

Do là đường tròn nội tiếp hình thoi suy ra tâm trung với giao của hai đường chéo.
Dễ dàng suy raAC : 1 − y + 1 = 0. Gọiphương trình AB có hệ số góc k dạng y = k(x − 6) + 9.

x
1
√
AB : y = + 7
k

=
|3 − k|
4 10

A (9; 10) , C(1; 2)
3
3
Có d (I, AB) = √
=
=⇒ 
=⇒ 
=⇒
13x
53
13
A (2; 3) , C(8; 9)
2
5
k +1
AB : y = −
+
k=−
9
9
9
6

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016




B (3; 8)
D (7; 4)
23 45
43 21
Ta có BD : x + y − 11 = 0 =⇒ 
=⇒ 
B − ;
D
;−
2
2
2
2

A (9; 10) ; B (3; 8) ; C (1; 2) ; D (7; 4)
23 45
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là 
; C (8; 9) ; D
A (2; 3) ; B − ;
2 2

n
v
.

43 21
;−

2
2

t
e

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc Oxy, cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) có bán
kính bằng nhau và cắt nhau tại A(4; 2) và B. Một đường thẳng đi qua A và N (7; 3) cắt các đường tròn
(O1 ) và (O2 ) lần lượt tại D và C . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác BCD biết rằng đường thẳng nối
24
tâm O1 , O2 có phương trình x − y − 3 = 0 và diện tích tam giác BCD bằng
.
5

n
.
i
p
Lời giải:

Phương trình (AN ) : x − 3y + 2 = 0.

9 3
=⇒ B(5; 1) ( với I là giao điểm của AB va O1 O2 )
;
2 2
Do 2 đường tròn bán kính bằng nhau nên BDC = BCA( cùng chắn 1 cung AB)
23 11
Nên tam giác BDC cân.Kẻ BM vuông góc với DC suy ra (BM ) : 3x + y − 16 = 0 hay M
;

5 5
22
1
17
56
− 3t;
− t Có SBCD = .d(B; (CD)).DC suy ra t = 1 ∨ t =
Gọi D(3t − 2; t) =⇒ C
5
5
2
5
41 17
;
Với t = 1 thì D(1; 1); C
5 5
17
41 17
Với t =
thì C(1; 1); D
;
5
5 5

41 17
 B (5; 1) ; C 5 ; 5 ; D (1; 1)
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là 

41 17
B (5; 1) ; C (1; 1) ; D

;
5 5

Có O1 O2 ⊥ AB =⇒ (AB) : x + y − 6 = 0 =⇒ I

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n

x2 y 2
+
= 1 và điểm I(1; −1).
8
4
Một đường thẳng ∆ qua I cắt Elip tại hai điểm phân biệt A, B .Tìm tọa độ các điểm A, B sao cho độ
lớn của tích IA.IB đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 10:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Elip có phương trình:

Lời giải:

B

c

b

I

a

A

Gọi I , A , B lần lượt là hình chiếu của I, A, B xuống trục hoành, khi đó theo tính chất của hình chiếu ta
suy ra IA.IB ≥ I A .I B , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB song song với trục hoành. Tương tự hạ hình
chiếu xuống trục tung, lập luận tương tự suy ra AB song song với trục tung.
Nhưng trong hai trường hợp này chỉ có một trường hợp thỏa mãn bài toán. Nhưng để ý I (1; −1) nằm trong
Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

7


12
(−1)2
+
− 1 < 0 nên các hình chiếu trên đều nằm trong trục lớn hoặc trục bé của Elip, để ý
8
4
là trục lớn có độ dài lớn hơn nên đường thẳng AB cần tìm sẽ song song với trục bé, tức song song với trục tung.
7
7
, B 1;
.
Do AB song song với trục tung và qua I (1; −1) nên có phương trình là: x = 1 =⇒ A 1; −
2

2
Elip do

Vậy hai điểm cần tìm là A 1; −

7
2

,B

7
2

1;

7
2

hoặc A 1;

,B

t
e

n
v
.
1; −

7
2

.

Bài toán 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC với A (3; 5), B (1; 2),
C (6; 3). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A cắt BC sao cho tổng khoảng cách từ hai điểm B, C đến ∆
là lớn nhất. Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm E (−1; 1) đồng√thời cắt cả hai đường
thẳng ∆ và d1 : x − y + 14 = 0 lần lượt tại hai điểm H, K sao cho 3HK = IH 10 với I là giao điểm
của ∆ và d1 .

n
.
i
p
Lời giải:

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n
Delta : 5x + y = 20

8.

K

6.

A

4.

C

f

K

2.

B

E

H

d

−8.

−6.

−4.

−2.

0

2.

4.

6.

−2.

Hướng 1: Bằng phương pháp dựng hình cộng hưởng với việc tham số hóa đưa về giải tích. Ta có :
−−→
−−→
−−→ −−→
BA = (2; 3), BC = (5; 1) =⇒ BA · BC = 2 · 5 + 1 · 3 = 13 > 0
Do đó : cos B > 0 =⇒ B nhọn.
−→
−−→
−−→ −−→
Có : CA = (−3; 2), CB = (−5; −1) =⇒ BA · BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do đó : cos C > 0 =⇒ C nhọn. Kẻ
BP ⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d(B,∆) = BP, d(C,∆) = CQ.
Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có : BP + CQ ≤ BD + DC = BC.
Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC.
−−→
−
Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có →
n ∆ = BC = (5; 1).
Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y − 20 = 0.
5x + y − 20 = 0
x=1

Vì I = ∆ ∩ d1 nên tọa độ điểm I thỏa :
⇐⇒
Vậy I(1; 15). Xét điểm
x − y + 14 = 0
y = 15
√
M (4; 0) ∈ ∆, N (a, a + 14) ∈ d1 thỏa 3M N = IM 10.
√
−−→
−−→
Ta có : M N = (4 − a, −a − 14), IM = (−3; 15). Nên từ :3M N = IM 10 ⇐⇒ 9 · 234 = 10 ·
(4 − a)2 + (a + 14)2 ⇐⇒ 18a2 + 180a − 432 = 0 ⇐⇒ a = 2 ∨ a = −12.
√
HK
MN
Mặt khác từ giả thiết ta có : 3HK = IH 10 nên ta có :
=
=⇒ HK M N.
IH
IM
−−→
−
Do đó đường thẳng d cần tìm đi qua E và song song với M N. Nên : →
a d = M N = (4 − a; −a − 14).
−−→
y−1
x+1
=
⇐⇒ 8x + y + 7 = 0.
Trường hợp 1 :a = 2 =⇒ M N = (2; −16). Lúc đó phương trình d :

2
−16
−−→
Trường hợp 2 :a = −12 =⇒ M N = (16; −2).
x+1
y−1
Lúc đó phương trình d :
=
⇐⇒ x + 8y − 7 = 0.
16
−2
Hướng 2 : Sử dụng dựng hình và đại số hóa bài toán dưới dạng tọa độ các giao điểm.
−−→
−−→
−−→ −−→
Ta có : BA = (2; 3), BC = (5; 1) =⇒ BA · BC = 2 · 5 + 1 · 3 = 13 > 0
−→
−−→
−−→ −−→
Do đó : cos B > 0 =⇒ B nhọn. Có : CA = (−3; 2), CB = (−5; −1) =⇒ BA · BC = 15 − 2 = 13 > 0 Do
8

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016


đó : cos C > 0 =⇒ C nhọn.
Kẻ BP ⊥∆, CQ⊥∆. Khi đó ta có : d(B,∆) = BP, d(C,∆) = CQ.
Gọi D là giao điểm của ∆ và BC khi đó ta có :
BP + CQ ≤ BD + DC = BC

n
v
.

Do đó : max(BP + CQ) = BC. Dấu đẳng thức xảy ra khi ∆⊥BC.
−−→
−
Vậy ∆ là đường thẳng đi qua A và ⊥BC nên có →
n ∆ = BC = (5; 1).
Do đó phương trình đường thẳng ∆ là : 5(x − 3) + 1(y − 5) = 0 ⇐⇒ 5x + y − 20 = 0
5x + y − 20 = 0
x=1
Vì I = ∆ ∩ d1 nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình :
⇐⇒
Vậy
x − y + 14 = 0
y = 15
I(1; 15).
−
Gọi d là đường thẳng đi qua E và có véc tơ pháp tuyến là →
n = (a, b). Khi đó phương trình đường thẳng
2
2
:d : a(x − 1) + b(y − 15) = 0 (a + b = 0).

19b + a

x =
a(x − 1) + b(y − 15) = 0
5b − a

Vì H = d ∩ ∆ nên tọa độ điểm H thỏa:
⇐⇒
(a = 5b).
5(5a
− b)
5x + y − 20 = 0

y =
 a − 5b
−13b − a

x =
a(x − 1) + b(y − 15) = 0
b+a
⇐⇒
(a = −b)
Lại có K = d ∩ d1 nên tọa độ điểm K thỏa :
13b
+ a)
x − y + 14 = 0

y =
a+b
−13b − a 13b + a)
19b + a 5(5a − b)
Vậy K
. ;H
;
;
b+a

a+b
a − 5b
√5b − a
Từ điều kiện bài toán : 3HK = IH 10 ⇐⇒ 9HK 2 = 10IH
a = −7b
1040(a + 7b)2
1296(a + 7b)2 (a2 + b2 )
b = 8a
=
⇐⇒ (a + 7b)2 (8a − b)(a − 8b) = 0 ⇐⇒
⇐⇒
2
2
2
(a − 5b) (a + b)
(a − 5b)
a = 8b

t
e

n
.
i
p

2
K
K2
pi.

ne
t.v
n

Trường hợp 1: a = −7b chọn a = 7, b = −1 =⇒ d : 7x − y − 8 = 0. Trường hợp này loại vì khi đó ba đường
thẳng d, d1 , ∆ đều đồng quy tại điểm I.
Trường hợp 2 :a = 8b chọn a = 8, b = 1 =⇒ d : 8x + y + 7 = 0.
Trường hợp 3 : b = 8a chọn a = 1, b = 8 =⇒ d : x + 8y − 7 = 0.
Tóm lại ta có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán : 8x + y + 7 = 0 ; x + 8y − 7 = 0
Bài toán 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y 2 − 2x − 6y − 6 = 0
và hai điểm B(5; 3), C(1; −1). Tìm tọa đọ đỉnh A; D của hình bình hành ABCD biết A thuộc đường
tròn (C) và trực tâm H của tam giác ABC thuộc đường thẳng d : x + 2y + 1 = 0 và xH < 2.

Lời giải:

A

d

I

B

D

C

Đường tròn (C) có tâm I(1; 3). Nhận thấy ngay B; C đều cùng thuộc đường tròn (C).
Gọi E là giao điểm của AI và (C) suy ra tứ giác BHCE là hình bình hành.
Gọi M là trung điểm của BC suy ra tọa độ điểm M (3; 1).

−3
Tham số hóa tọa độ điểm H(−1 − 2a; a) với a >
. Do M là trung điểm của HE suy ra E(7 + 2a; 2 − a).
2
Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

9


Tọa độ điểm E lại thỏa mãn (C) nên ta có:
(7 + 2a)2 + (2 − a)2 − 2 (7 + 2a) − 6 (2 − a) − 6 = 0
⇐⇒ 5a2 + 26a + 21 = 0 =⇒ a = −1 =⇒ E (5; 3)
Do điểm E và A đối xứng nhau qua tâm I nên suy ra A(−3; 3).
−−→ −−→
Do tứ giác ABCD là hình bình hành nên AD = BC =⇒ D (−7; −1)
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là A(−3; 3), D(−7; −1) .

t
e

Bài toán 12:

n
v
.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giacs ABC vuông tại A. gọi H là hình
16 2
33 2 36
chiếu của A lên BC. Tam giác ABH ngoại tiếp đường tròn (C) : x −

+ y−
= . Tâm
5
5
25
26 23
. Tìm tọa độ trọng tâm G cua tam giác ABC.
;
đường tròn nội tiếp tam giác ACH là I
5 5

n
.
i
p
Lời giải:

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n

16 33
;
5 5
của K lên BC và AH.

6
và bán kính R = . Trung điểm của IK là M
5
√
√
6 2
Do AH⊥BC nên KDHL là hình vuông. Suy ra KH = R 2 =
.
5

(C) có tâm K

21 28
. Gọi D và L là hình chiếu
;
5 5

33
16 2
+ y−
Từ đó suy ra H thuộc đường tròn tâm K bán kính KH có phương trình: x −
5
5
o
o
Mà AHK = AHI = 45 =⇒ IHK = 90 . Nên H thuộc đường tròn tâm M bán kính
21 16
−
5
5

KM =

.

2

+

28 33
−
5
5

2

=

√

2 có phương trình (C ) :

Từ đó tìm được hai tọa độ điểm H thỏa mãn là H
+) Trường hợp 1: H
b y−

123
25

74 123

;
25 25

và H

x−

21
5

2

+ y−

28
5

2

=

72
.
25

2

=2

122 171

;
.
25 25

74
74 123
;
. Phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm H là (d) : a x −
25 25
25

+

= 0 với (a2 + b2 = 1).

d (K, d) = R ⇐⇒

a

16 74
−
5
25

+b

33 123
−
5
25

=

6
⇐⇒
5

6a 42b
6
+
⇐⇒
=
25
25
5

a 7b
+
= 1 ⇐⇒
5
5

a + 7b = 5
a + 7b = −5



4
3
 b = 5 =⇒ a = − 5

Kết hợp
+ = 1 ta được 
4
3
b=
=⇒ a =
5
5

3
74
4
123
 d1 : − 5 x − 25 + 5 y − 25 = 0 ⇐⇒ 15x − 20y + 54 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến là 

4
74
3
123
d2 :
x−
+
y−
=0
⇐⇒ 20x + 15y + 133 = 0
5
25
5
25

Dễ thấy d1 cắt đoạn IK nên phương trình AH chính là phương trình của d1 ;
phương trình BC là phương trình của d2 .
6
y−
x+2
5 nên A −2 + 4t; 6 + 3t .
A thuộc d1 : 15x + 30 = 20y − 24 ⇐⇒
=
4
3
5
−−→
−
→
16
33 6
26
27
26
23 6
36
17
AK =
+ 2 − 4t;
− − 3t =
− 4t;
− 3t , AI =
+ 2 − 4t;
− − 3t =
− 4t;

− 3t .
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
−−→ −
→
−−→ −
→
1
26
36
27
17
Dễ thấy IAK = BAC = 45o nên AK.AI = AK . AI cos 45o ⇐⇒
− 4t
− 4t +
− 3t
− 3t =
2
5
5
5
5

2
2
2
2 √
26
27
36
17
2
− 4t +
− 3t .
− 4t +
− 3t .
5
5
5
5
2
a2

10

b2

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016


Suy ra tìm được tọa độ A (sao cho A, H nằm khác phía so với IK) Lại có ACH đồng dạng
CH
d (I, d)

=
= . . . suy ra tìm được CH.
AH
R
Dùng hệ thức lượng để tính BH. Sau đó tìm các điểm B, C cuối cùng G.
122 171
làm tương tự kết quả ra đẹp hơn. A(2; 3), B(2; 9), C(10; 3), G
;
+) Trường hợp 2: H
25 25

t
e

BAH nên

n
v
.
14
;5
3

Bài toán 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn
(C) tâm I(1; 2). Tiếp tuyến của (C) tại B; C; D cắt nhau tại M, N . Giả sử H(1; −1)
√ là trực tâm tam
giác AM N . Tìm tọa độ các điểm A; M ; N biết chu vi tam giác AM N bằng 18 + 4 10 và xM > 5.

n
.

i
p
Lời giải:
A

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n
D

I

B

H

N

M

C

Đường tròn (C) có tâm I là giao điểm của AC và BD suy ra AC vuông góc M N suy ra H thuộc AC.
Phương trình AC qua I và H là: x − 1 = 0, phương trình M N : y − c = 0.
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì IN là phân giác góc DIC và IM là phân giác góc CIB.
Mặt khác DIC + CIB = 180o =⇒ IN ⊥ IM .

Gọi tọa độ các điểm M (m; c); N (n; c), A(1; a). Theo bài ra ta có hệ phương trình sau:
−−→ −−→
AM .N H = 0
−→ −−→
IN .IM = 0

⇐⇒

(m − 1) (1 − n) + (c − a) (−1 − c) = 0
(m − 1) (n − 1) + (c − 2)2 = 0

=⇒ (c − 2)2 + (c − a) (−1 − c) = 0

Tham số hóa C(1; c) ∈ M N suy ra A(1; 4 − c) =⇒ a + c = 4. Từ đó suy ra:

(c − 2)2 + (c − 4 + c) (−1 − c) = 0 =⇒ c = −4, a = 8 =⇒ C (1; −4) ; A (1; 8) ; M (m; −4) ; N (n; −4)

√
Mà ta lai có chu vi tam giác AM N bằng 18 + 4 10 nên
(m − 1) (1 − n) = 36
2

(m − 1) + 144 +

2

[(m − 1) − (1 − n)] +

√

2

(1 − n) + 144 = 28 + 4 10

=⇒ M (10; −4) ; N (−3; −4)
Kết luận: Tọa độ các điểm cần tìm là A(1; 8); M (10; −4); N (−3; −4)

⇐⇒

m − 1 = ±9; 1 − n = ∓4
m − 1 = ∓4; 1 − n = ±9

.

9
25
=
và
2
4
hai điểm A(2; 3), B(6; 6). Gọi M ; N là hai điểm khác nhau nằm trên đường tròn (C) sao cho các đường
5
thẳng AM và BN cắt nhau tại H, AN và BM cắt nhau tại C. Tìm tọa độ điểm C biết H 4;
.
2
Bài toán 15:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : (x − 4)2 + y −

Lời giải:

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

11


B

I

A

t
e

H
N
M

n
.
i
p
C

n
v
.

5
nên AB là đường kính của đường tròn (C).

2
Từ đó ta suy ra được AH⊥BC, BH⊥AC suy ra H la trực tâm của tam giác ABC.
Đường thẳng AC qua A vuông góc với HB là 4x + 7y − 29 = 0.
Đường thẳng BC qua A vuông góc với AH là: −4x + y + 18 = 0.


 x = 155
4x + 7y − 29 = 0
32 =⇒ C 155 ; 11
Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình −4x + y + 18 = 0 ⇐⇒
11

32 8
 y=
8
155 11
;
Kết luận: Tọa độ điểm càn tìm là C
32 8
Nhận thấy ngay A, B đề thuộc đường tròn (C) và AB = R =

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n

Bài toán 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có điểm M (3; 2) thuộc

BD. Từ M kẻ các đường thẳng M E; M F lần lượt vuông góc với AB tại E(3; 4) và AD tại F (−1; 2).Xác
định tọa độ điểm C của hình vuông.

Lời giải:

A

E

F

B

K

M

D

C

Gọi K = F M ∩ BC. Ta có M E = 2; M F = 4 và F M E = CKM suy ra CK = F M = 4; M K = M E = 2
−−→ M K −−→ 1 −−→
Gọi K (xK ; yK ) ; C (xC ; yC ). ta có M K =
F M = F M =⇒ K (5; 2)
MF
2
−−→
KC −−→ 1 −−→
Lại có KC =

EM = EM =⇒ C (5; −2).
ME
2
Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là C(5; −2) .

12

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016


Bài toán 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C1 ) :
(x − 2)2 + (y − 3)2 = 45 tâm I. Đường tròn√(C2 ) có tâm K(−1; −3) cắt đường
√ tròn (C1 ) theo một dây
cung song song với AC. Biết SAICK = 30 2 và chu vi tam giác ABC là 10 10. Tìm tọa độ A; B; C
biết điểm B có hoành độ âm.

Lời giải:

t
e

B

n
.
i
p
A

I

n
v
.

A

E

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n
C

K

√
Đường tròn (C1 ) có tâm I(2; 3). Nhận thấy RC1 = IK = 3 5 và K ∈ (C1 ).
Gọi M N = (C1 ) ∩ (C2 ) suy
Mà AC M N =⇒ AC⊥IK.
√ ra M N ⊥IK. √
√
√
Do đó ta có: SAICK = 30 2 =⇒ AC = 4 10. Lại có AB + BC + CA = 10 10 =⇒ AC + BC = 6 10. (1)
√
1

1√
Gọi AA là đường kính của (C1 ), E = IK ∩ AC suy ra IE = A C =
AA 2 − AC 2 = 5
2
2
−→
−→
Từ đó suy ra IK = 3IE =⇒ E (1; 1)
Phương trình AC qua E vuông góc IK là x + 2y − 3 = 0.
√
√
√
√
Tọa độ A và C là giao điểm của hệ gồm AC và (C1 ), suy ra A 1 − 4 2; 1 + 2 2 ; C 1 + 4 2; 1 − 2 2
√
√ 12 + 3 3
7
− 3 3;
Tọa độ B thỏa mãn hệ gồm (1) và (C1 ), suy ra B
2
2
√
√
√
√
√
√ 12 + 3 3
7
Kết luận: Tọa độ các đỉnh A 1 − 4 2; 1 + 2 2 ; C 1 + 4 2; 1 − 2 2 , B
− 3 3;

.
2
2
Bài toán 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A, phương trình cạnh
AC : x + y − 3 = 0. Trên tia đổi của CA lấy điểm E. Phân giác trong góc BAC cắt BE tại D. Đường
thẳng d đi qua D song song với AB cắt BC tại F . Tìm tọa độ giao điểm M của AF và BE biết
AF : 2x + y − 5 = 0 và I(−1; −3) là trung điểm của DF

Lời giải:

Gọi P là trung điểm của BC, thực hiện dãy suy luận, ta có:
DF

AB =⇒

AM
PB
AM
PC
AF
FC
=
=⇒
=
=⇒
=
=⇒ P M
MF
PF
MF

PF
MF
PF

AC =⇒ P M

EC =⇒ M B = M E

IF
ID
=
=⇒ I trùng J
IB
JA
Từ đó, ta có P M qua trung điểm I của DF và M là giao điểm của P I và AF .
Kết luận: Tọa độ giao điểm cần tìm là M (9; −13).
Kẻ đường thẳng M P ∩ AB = J, cắt (d) tại I . Ta có

Bài toán 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có B(2; 3), C(2; 7). Tìm điểm
A sao cho đường cao AH = 3r với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

13


Lời giải:
C

B

t
e

A

n
.
i
p

Do độ dài đường cao gấp ba lần bán kính đường tròn nội tiếp nên ta có:

n
v
.

2S
2S
=3
=⇒ b + c = 2a
a
a+b+c

2
K
K2
pi.
ne
t.v

n

Gọi tọa độ điểm A(x; y). Như vậy thì
(x − 2)2 + (y − 3)2 +

⇐⇒ 2

(x − 2)2 + (y − 7)2 = 8

(x − 2)2 + (y − 3)2 . (x − 2)2 + (y − 7)2 = 64 − (x − 2)2 − (y − 7)2 − (x − 2)2 − (y − 3)2

⇐⇒ 4 (x − 2)2 + (y − 3)2 . (x − 2)2 + (y − 7)2 = (x − 2)2 + y 2 − 10y − 3
x2
y2
⇐⇒ 12x2 + 16y 2 = 192 ⇐⇒
+
=1
16 12

Kết luận: Vậy với mọi A ∈ (E) :

x2
y2
+
= 1 thì thỏa mãn yêu cầu
16 12

Bài toán 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A(4; 5), B(3; 0); C(2; 2). Gọi H; I lần
lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, trung trực của AH cắt AB; AC tại
M ; N . Phân giác trong góc IM N cắt AC tại P . Tính diện tích tam giác M N P biết yB > 0.

Lời giải:
A

E

H

N

I

C

F

M

B

6 18
Viết phương trình đường cao kẻ từ 2 đỉnh bất kì và lấy giao, ta tìm được tọa độ trực tâm là H − ;
7 7
97
Phương trình trung trực của AH là 2x + y −
=0
14
307 65
111 235
Viết phương trình AB, AC ta tìm được tọa độ M

;
,N
;
98 98
49 98
14

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016


−−→
−−→
5
69 31
; 1 . TheoAH = 2IM =⇒ I
;
2
14 14
Nhận thấy phương trình phân giác góc IM N trùng với AB nên ta sẽ đi tính diện tích tam giác AM N .
97
2
2 2.4 + 5 −
111 307
1
235 65
1
7225
14
Ta có: SAM N = M N.d (A, M N ) =
+

. √
−
−
=
(đơn vị dt)
2
2
2
49
98
98
98
2744
2 +1
7225
Kết luận: Diện tích tam giác MNP là SM N P =
2744
Gọi F là trung điểm của BC là F

t
e

n
v
.

Bài toán 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường cao
AH : 3x + 2y − 1 = 0, phân giác trong CK : 2x − y + 5 = 0 và trung điểm M (2; −1) của cạnh AC. Gọi
2013 √
CABC , SABC lần lượt là chu vi và diện tích tam giác ABC. Tính giá trị của 30CABC +

SABC
3

n
.
i
p
Lời giải:

B

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n
18.03

C

Diện tích của ABC = 101.43
22.68

11.37

A

1 − 3a

. Ta có M(2; -1) là trung điểm của AC.
2
31
3
31 43
−3 29
Dễ dàng tìm được a = ; c = − =⇒ A
;−
;C
;
.
7
7
7
7
7 7
Phương trình BC qua C và vuông góc với AH là 12x − 21y + 93 = 0.
2
93
. Theo bài ta có dB;(CK) = dA;(CK) và A, B khác phía so với (CK). Ta tìm ra B
Gọi B b; b +
3
21
Bây giờ thì khá ổn rồi, bữa ăn cũng sắp xong rồi, có điều "món gà" "dai quá".
√
√
√
25205
2 1585
710

BC = 5 13; AB =
; AC =
; SABC =
.
3
3
7
Đặt C(c; 2c + 5); A a;

102 99
;
7 7

Từ đó ta có biểu thức cần tính có giá trị là

√
√
√
476410
+ 710 5 + 150 13 + 20 1585
7

Bài toán 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y 2 + 4y + 6y − 3 = 0 và
điểm M (2; 1). Gọi A; B lần lượt là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Tìm trực tâm
H của tam giác M AB.

Lời giải:

Gọi I là tâm của
√ đường tròn (C). Từ đó ta có I(−2; −3), R = 4.

Ta có M I = 4 2. Từ đó suy ra M A = M B = 4 suy ra IAM B là hình vuông.
Khi đó ta có trực tâm H trùng với điểm M .
Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

15


Kết luận: Trực tâm tam giác ABC là H(2; 1).

n
v
.

Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + 2 = 0 và hai đường
tròn có phương trình lần lượt là (C1 ) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1; (C2 ) : (x + 3)2 + (y − 4)2 = 4. Hãy tìm
điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được lần lượt hai tiếp tuyến M A; M B (với A; B là tiếp
điểm) đến đường tròn (C1 )và đường tròn (C2 ) đồng thời đường thẳng d là phân giác trong góc AM B.

t
e

Lời giải:

n
.
i
p
A

I2

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n
A

B

M

I1

B

d

Tâm các đường tròn lần lượt là I1 (1; 1), I2 (−3; 4). Lấy đối xứng của đường thẳng M A qua OI1 thì dễ thấy
nó tiếp xúc với (C1 ) tại C.
Do tính chất đối xứng thì CM, d = BM, d , do đó M B tiếp xúc với (C1 ) tại C và (C2 ) tại B.
Chứng minh tương tự với M A, ta suy ra được M là tâm phép vị tự biến (C1 ) thành (C2 ) suy ra M ∈ I1 I2 .
Phương trình I1 I2 là :3x + 4y − 7 = 0.


 x = −1
3x + 4y − 7 = 0
7 =⇒ M − 1 ; 13

Tọa độ điểm M thỏa mãn hệ phương trình x − y + 2 = 0
⇐⇒
13

7 7
 y=
7
1 13
Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M − ;
.
7 7
Bài toán 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có
A(1; 7), B(6; 2), C(2; −4), D(1; 1). Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua C và chia tứ giác
thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Lời giải:

A

H

SAHCD = 14

B

D

SHBC = 14

C

16

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016


√
Từ giả thiết bài toán ta tính được SABCD = 28; SACD = 3; BC = 2 13 và phương trình AB : x + y − 8 = 0,
phương trình BC : 3x − 2y − 14 = 0.
SABCD
*Trường hợp 1: Đường thẳng qua C cắt AD tại K suy ra SDCK ≤ SADC = 3 < 14 =
2
Do đó trường hợp này không thỏa mãn.
1
*Trường hợp 2: Đường thẳng qua C cắt AB tại H, ta có SBCH = BC.d (H; BC) = 14 =⇒ d (H; BC) =
2
14
√
13
Tham số hóa H(t; 8 − t), suy ra

44
|5t − 30|
14
16
16 24
 t= 5
√
=√
=⇒ 

=⇒ t =
=⇒ H
;
(Do H thuộc đoạn AB)
16
5
5 5
13
13
t=
5

t
e

n
.
i
p

n
v
.

Kết luận: Phương trình cần tìm đi qua C và H là 22x − 3y − 56 = 0.

Bài toán 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1 ) : (x − 2)2 + (y − 1)2 =
9; (C2 ) : (x + 1)2 + (y − 5)2 = 4 tiếp xúc ngoài tại A. Tìm điểm B ∈ (C1 ) và C ∈ (C2 ) sao cho tam
giác ABC vuông tại A và có diện tích lớn nhất.

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n
Lời giải:
C

E

SAB C = 6

C

A

B

o

SACB = 6

45o 45

D

B

1
Gọi D, E lần lượt là tâm của (C1 ), (C2 ). Khi đó R1 = 3; R2 = 2. Có SABC = AB.AC.
2
Xét
AB = 2AD cos BAD = 2AD cos α
π
AC = 2AE cos EAC = 2AE cos
− α = 2AE sin α
2

=⇒ SABC = 6 sin 2α ≤ 6 =⇒ SABCMax = 6 ⇐⇒ α =

2 4
22 14
Phương trình AD : 4x + 3y − 11 = 0 suy ra AB : 7x − y + 2 = 0 suy ra B − ; −
∨B
;
5 5
5 5
2 4
−13 19
Với B − ; −
ta được AB : 7x − y + 2 = 0 suy ra AC : x + 7y − 24 = 0 suy ra C
;
5 5
5
5
22 14
3 31
Với B

;
ta được AB : x + 7y − 24 = 0 suy ra AD : 7x − y + 2 = 0 suy ra C
;
.
5 5
5 5
2 4
13 19
22 14
3 31
Kết luận Vậy tọa độ các đỉnh cần tìm là B − ; −
,C − ;
∨B
;
,C
;
.
5 5
5 5
5 5
5 5

Bài toán 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : x2 + y 2 = 25 và
√
5 5 3
B − ;
. Điểm C có hoành độ dương thuộc (C) sao cho BOC = 120o . Tìm M thuộc cung
2 2
1
1

nhỏ BC sao cho
+
đạt giá trị nhỏ nhất (M = B, C).
MB MC

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

17

π
4


Lời giải:

B

M

c

t
e

120o

C

O

n
.
i
p
A

n
v
.

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n

√
5 −5 3
Theo đề bài ta có ngay C(5; 0) và B ∈ (C). gọi A đối xứng với B qua trục Ox thì A − ; −
.
2
2
Không khó để ta nhận thấy tam giác ABC đều. Áp dụng bất đẳng thức AM − GM ta có:
1
1
4
+
≥

MB MC
MB + MC

Mà theo định lí P toleme cho tứ giác nội tiếp, ta được:
M A.BC = M B.CA + AB + M C
Vì AB = BC = CA và M thuộc cung nhỏ BC nên:
M B + M C = M A.
Do đó biểu thức đã cho nhỏ nhất khi M A lớn nhất, khi đó thì M là điểm chính giữa cung nhỏ BC thỏa mãn
M B = M C.
√
5 5 3
Từ đó suy ra M đối xứng với A qua O nên suy ra M
;
2 2
√
5 5 3
Kết luận: Tọa độ điểm cần tìm là M
;
2 2
3 1
;
và E(1; 0) lần
2 16
lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (T ) tiếp xúc với BC và các
cạnh AB; AC kéo sài có tâm là F (2; −8). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết yA < 0.
Bài toán 27:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có I

Lời giải:

A

EI

B

C

J

F

18

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016


Gọi J là giao của EF và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .Khi đó có BJ=EJ và ∆BEF vuông tại B suy
ra J là trung điểm EF.

12
652
3 2


+ y−
= 2
(I) : x −
2

16
16
Pt đường tròn ngoại tiếp ABC và EBC là
2

3
65

(J) : x −
+ (y + 4)2 =
2
4
Suy ra phương trình BC : y = −2 do đó B (5, −2) , C (−2, −2) và ngược lại.
1
Phương trình EF : 8x + y − 8 = 0 suy ra A
,4
2
1
1
Kết luận: Tọa độ các đỉnh của tam giác là A
, 4 ; B (5, −2) , C (−2, −2) hoặc A
, 4 ; C (5, −2) , B (−2, −2)
2
2

Bài toán 28:

t
e

n
.
i
p

n
v
.

Trong √
mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E) thỏa mãn khoảng cách giữa hai đường
8 3
chuẩn của (E) bằng
, điểm M có tọa độ dương thuộc (E) sao cho độ lớn hai bán kính qua tiêu là
3
√
5
37
3
VÀ . Tìm điểm N ∈ (E) sao cho M N =
và xN > 0.
2
2
6

2
K
K2
pi.
ne

t.v
n
Lời giải:

Giả sử (E) :

x2 y 2
+ 2 = 1, a > b > 0
a2
b

√
√
2a2
8 3
a2
4 3
Khi đó. Khoảng cách hai đường chuẩn là :
=
=⇒
=
.
c
3
c
3
c
c
mathbf Ta có. M F1 = a + xM > a − xM = M F2 (xM > 0)
a

a


a + c xM = 5
√
1
a
2
Suy ra
=⇒ a = 2 =⇒ c = 3, b = 1. Phương trình (E) : x2 + 4y 2 = 4, M ( √ ;
3
c

3
a − xM =
a
2
Gọi N (a; b) ∈ E. Khi đó ta có :

 2
2 =4
8
a
+
4b
√


 a= √


2
8
33
2
3
3
√
√ ;−
=⇒
=⇒ N
37
11
1


9
=
+ b+
3 3
 b = − 33
 a− √
12
36
3
9
√
8
33
√ ;−
Kết luận: Vậy tọa độ điểm cần tìm là N

9
3 3

11
)
12

Bài toán 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các đường thẳng ∆1 : x − y + 2 = 0; ∆2 :
2x − y − 2 = 0; ∆3 : 2x + y − 2 = 0 và điểm E(4; 3). Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc ∆1 ,
16
cắt ∆2 tại A; B và ∆3 tại C; D sao cho AB + CD = √ và tâm I thỏa mãn IO = 2IE, xI ∈ Z.
5
Lời giải:

A

Delta3

I

C

E

D

Delta1

B

O
Delta2

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016

19


Tham số hóa I(a; a + 2) ∈ ∆1 . Ta có:
IO = 2IE =⇒ a2 +(a + 2)2 = 4 (a − 4)2 + (a − 1)2

⇐⇒ 6a2 −44a+54 = 0 ⇐⇒

a=2
16
a=
3

n
v
.

=⇒ I (2; 4)

2
6
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB; CD suy ra IH = d (I; ∆2 ) = √ ; IK = (I; ∆3 ) = √
5
5
36

4
16
8
8
R2 −
Ta có: AB + CD = √ ⇐⇒ BH + CK = √ ⇐⇒
+ R2 − = √ ⇐⇒ R2 = 8
5
6
5
5
5
Kết luận: Phương trình đường tròn cần lập là (x − 2)2 + (y − 4)2 = 8.

t
e

n
.
i
p

Bài toán 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang ABCD có đáy AB. Biết hai đỉnh
B(3; 3), C(5; −3). Giao điểm I của hai đường chéo thuộc 2x + y − 3 = 0. Gọi K là trung điểm của CD.
8
Tìm tọa độ các đỉnh A, D biết rằng IC = 2BI, tam giác IDK có diện tích rằng
và các điểm I, A
5
có hoành độ dương.

2
K
K2
pi.
ne
t.v
n
Lời giải:

A

2x + y = 3

B

I

D

K

SIKD = 1.6

C

Gọi I (a; 3 − 2a) ∈ ∆. Theo bài ra ta có:

IC = 2IB ⇐ (a − 5)2 +(6 − 2a)2 = 4(a − 3)2 +16a2 ⇐⇒ 15a2 +10a−25 = 0 ⇐⇒

a=1

a=−

5
3

=⇒ I (1; 1)

√
Phương trình đường thẳng BI : x − y = 0 và CI x + y − 2 = 0, IC = 4 2.
16
1
8
K là trung điểm của CD suy ra SICD = 2SIDK =
= IC.d (D; IC) =⇒ d (D; IC) = √
5
2
5 2
Tham số hóa D(d; d) ∈ BI. Suy ra


9 9
9
D
;
d
=

|2d − 2|
8


5 5
5 =⇒ 
√
= √ =⇒ 

1
1 1
2
5 2
d=
D
;
5
5 5
1 1
;
, phương trình AB : 16x + 24y − 120 = 0
5 5
Tọa độ A là giao của CI và AB suy ra A(−9, 11)
Với trường hợp còn lại, tương tự ta thấy không thỏa mãn.
9 9
Kết luận: Tọa độ các đỉnh cần tìm là D
;
; A(−9, 11)
5 5
Với D

20

Nguyễn Đình Huynh - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh - Khóa 2013-2016