Dạy học số tự nhiên trong môn toán ở tiểu học

LờI CảM ƠN

Trong quá trình thực hiện khoá luận, ngoài sự cố gắng nỗ lực của bản
thân, em còn nhận đ-ợc sự h-ớng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Nguyễn
Văn Hùng và các thầy cô trong tổ ph-ơng pháp.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến các thầy cô trong
khoa Giáo dục Tiểu học đã cho em cơ sở lí luận và các giáo viên, học sinh
tr-ờng Tiểu học Xuân Hoà A đã cho em cơ sở thực tiễn để thực hiện đề tài.
Đặc biệt là sự h-ớng dẫn, chỉ bảo của thầy Nguyễn Văn Hùng đã giúp em thực
hiện khoá luận này.
Do thời gian có hạn, năng lực còn hạn chế, mức độ nghiên cứu ch-a sâu
nên khoá luận còn có những hạn chế nhất định. Em rất mong sự góp ý chân
thành từ các thầy cô giáo và các bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2010
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Hoa

1


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của em trong thời gian
vừa qua dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn Hùng.
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng với bất kỳ khóa
luận tốt nghiệp nào khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Hoa

2


Mục lục
Trang
5

Mở đầu

5

1. Lý do chọn đề tài

6

2. Đối t-ợng nghiên cứu

7

3. Phạm vi nghiên cứu

7

4. Mục đích nghiên cứu

7

5. Ph-ơng pháp nghiên cứu

7

6. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nội dung

8

Ch-ơng 1. Cơ sở lí luận
Ch-ơng 2: Thực trạng dạy và học nội dung số học trong môn
Toán ở Tiểu học.

11
11

2.1. Ch-ơng trình môn Toán ở Tiểu học

12

2.2. Dạy học nội dung số tự nhiên trong môn Toán ở Tiểu học
Ch-ơng 3: Dạy học số tự nhiên.

14

3.1. Xây dựng tập số tự nhiên

14

3.1.1. Xây dựng tập số tự nhiên trong Toán học hiện đại

14

3.1.2. Hình thành số tự nhiên ở Tiểu học

14

3.1.3. Dạy hình thành khái niệm số tự nhiên ở Tiểu học

15

3.1.4. Ghi số và cấu tạo thập phân

22

3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên

25

3.2.1. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên

25

3.2.2. Dạy học quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu học

27

3.2.3. Nhận xét.

32

3


3.3. Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên
3.3.1. Phép cộng và tính chất của phép cộng trên tập hợp số tự nhiên

33
33

3.3.1.1. Phép cộng và tính chất của phép cộng trên tập hợp số tự
nhiên trong Toán học hiện đại

33

3.3.1.2. Phép cộng và tính chất của phép cộng trên tập hợp số tự
nhiên ở Tiểu học

34

3.3.1.3. Nhận xét

39

3.3.2. Phép trừ trên tập hợp số tự nhiên

40

3.3.2.1. Phép trừ trên tập hợp số tự nhiên trong Toán học hiện đại

40

3.3.2.2. Phép trừ trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu học

40

3.3.2.3. Dạy học phép trừ trong môn Toán ở Tiểu học

41

3.3.2.4. Nhận xét

44

3.3.3. Phép nhân trên tập hợp số tự nhiên

45

3.3.3.1. Phép nhân trên tập hợp số tự nhiên trong Toán học hiện đại

45

3.3.3.2. Phép nhân trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu học

45

3.3.3.3. Dạy học phép nhân trong môn Toán ở Tiểu học

46

3.3.3.4. Nhận xét

52

3.3.4. Phép chia trên tập hợp số tự nhiên

52

3.3.4.1. Phép chia trên tập hợp số tự nhiên trong Toán học hiện đại

52

3.3.4.2. Phép chia trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu học

53

3.3.4.3. Dạy học phép chia trong môn Toán ở Tiểu học

53

3.3.4.4. Nhận xét

58

Kết luận

59

Tài liệu tham khảo

60

4


Mở ĐầU
1. Lí do chọn đề tài
Cấp học Tiểu học là cấp học nền tảng của hệ thống giáo dục quốc
dân.Chất l-ợng giáo dục phụ thuộc rất nhiều vào kết quả đào tạo ở Tiểu
học.Mỗi môn học ở Tiểu học đều góp phần vào sự hình thành, phát triển nhân
cách con ng-ời lao động mới.
Các môn học ở Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán chiếm vị
trí vô cùng quan trọng.Các kiến thức, kĩ năng môn Toán ở Tiểu học có nhiều
ứng dụng trong đời sống, rất cần thiết cho ng-ời lao động; là cơ sở để học tập
các môn học khác ở Tiểu học và để học tiếp môn Toán ở các cấp học tiếp
theo.
Khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán ở Tiểu học là rất to lớn, nó
có nhiều khả năng để phát triển t- duy lôgic, bồi d-ỡng và phát triển những
thao tác trí tuệ cần thiết để nhận thức thế giới hiện thực nh-: trừu t-ợng hoá,
khái quát hoá, phân tích và tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và bác bỏ.
Nó có vai trò quan trọng trong việc rèn luyện ph-ơng pháp suy nghĩ, suy luận,
giải quyết vấn đề có căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác; có tác dụng trong
việc phát triển trí thông minh, t- duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo trong việc
hoàn thành và rèn luyện trong mọi lĩnh vực hoạt động của con ng-ời góp phần
giáo dục ý chí và những đức tính tốt nh-: cần cù, nhẫn nại, có ý thức v-ợt qua
khó khăn
Học sinh Tiểu học đ-ợc làm quen với Toán học ngay từ những ngày đầu
tới tr-ờng .Vì vậy việc xây dựng nội dung ch-ơng trình môn Toán ở Tiểu học
phù hợp với nhận thức và đặc điểm tâm sinh lí của các em. Nội dung Toán

học bao gồm 5 chủ đề kiến thức lớn đó là:
- Những kiến thức về số học
- Các yếu tố đại số

5


- Các yếu tố hình học
- Phép đo đại l-ợng
- Giải toán có lời văn
Chúng ta xác định trọng tâm đồng thời là hạt nhân của nội dung môn
Toán ở Tiểu học là các kiến thức và kĩ năng cơ bản về số học: số tự nhiên, số
thập phân, phân số.
Số tự nhiên là một thành tựu toán học lâu đời nhất của loài ng-ời. Ngày
nay số tự nhiên đ-ợc sử dụng ở mọi nơi, mọi lúc của đời sống xã hội: trong
giao dịch, mua bán, th- tín, điện thoại khó có thể hình dung ra một xã hội
mà không có số tự nhiên. Số tự nhiên ra đời do nhu cầu nhận biết về số l-ợng
của sự vật. Nhu cầu đó xuất hiện ngay cả trong một xã hội đơn sơ nhất, khi xã
hội càng phát triển thì nhu cầu đó càng tăng.
Trong ch-ơng trình Toán Tiểu học, việc hình thành khái niệm số tự nhiên
đ-ợc đ-a vào từ lớp một. Các số tự nhiên đ-ợc trình bày theo từng số, bắt đầu
từ số 1, theo thứ tự phép đếm. Mô hình này có thể đ-ợc coi là mô hình dựa
trên khái niệm số đứng liền sau. Các số xây dựng theo quan điểm bản số
đ-ợc xếp thứ tự ngay. Nh- vậy việc hình thành khái niệm số tự nhiên cần nêu
đ-ợc cả hai mặt bản số và tự số của nó.
Vấn đề đặt ra là cần tìm ph-ơng pháp hợp lí và có hiệu quả cao nhất
trong dạy học để giúp học sinh lĩnh hội đ-ợc tri thức, đ-a học sinh vào hoạt
động học tập có chủ đích đ-ợc tổ chức vừa sức với các em.
Để đáp ứng yêu cầu và nhiệm vụ trên, để góp phần nâng cao chất l-ợng,
hiệu quả của việc dạy và học Toán ở Tiểu học, em chọn đề tài Dạy học số tự

nhiên trong môn Toán ở Tiểu học.
2. Đối t-ợng nghiên cứu
Kiến thức về số tự nhiên,các phép toán trên tập số tự nhiên.
Dạy học số tự nhiên trong môn Toán ở Tiểu học.

6


3. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu trên cơ sở nội dung số học trong Toán học hiện đại và vận
dụng đ-ợc trong dạy học số học trong môn Toán ở Tiểu học.
4. Mục đích nghiên cứu
Nhằm góp phần nâng cao chất l-ợng dạy học môn Toán nói chung và
dạy học số tự nhiên và các phép toán trên tập hợp số tự nhiên ở Tiểu học nói
riêng.
5. Ph-ơng pháp nghiên cứu
Ph-ơng pháp nghiên cứu tài liệu.
Ph-ơng pháp thực nghiệm.
Ph-ơng pháp phân tích,tổng hợp,so sánh.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phân tích một số nội dung kiến thức có liên quan ở Toán học hiện đại về
số tự nhiên, các phép toán trên tập số tự nhiên.
Phân tích các kiến thức và ph-ơng pháp dạy học về số tự nhiên, các phép
toán trên tập hợp số tự nhiên.
Từ hai nội dung phân tích, rút ra nhận xét về mối quan hệ giữa hai kiến
thức trên, ứng dụng của kiến thức Đại số trong Toán cao cấp vào xây dựng
ch-ơng trình và dạy học số tự nhiên, các phép toán trên tập số tự nhiên nh- thế
nào, đ-a ra cách dạy đạt hiệu quả cao nhất.

7

Ch-ơng 1: Cơ sở lí luận
Lí luận dạy học
T- duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất,
những mối liên hệ có tính qui luật giữa các sự vật, hiện t-ợng trong thế giới
khách quan mà tr-ớc đó ta ch-a biết hoặc biết ch-a đầy đủ. T- duy của con
ng-ời mang bản chất xã hội, nó chịu sự chi phối của bản chất nhu cầu xã hội.
Con ng-ời chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, tiến hành các thao tác
trí tuệ và để biểu đạt các kết quả t- duy.
ở học sinh có 3 loại t- duy: trực quan hành động, trực quan hình ảnh, tduy trừu t-ợng. Để tiếp thu khái niệm, học sinh phải tiến hành các thao tác tduy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu t-ợng hoá, khái quát hoá.
- Phân tích: Dùng trí óc phân tích đối t-ợng nhận thức thành các bộ
phận, những thuộc tính riêng biệt trong đối t-ợng.
- Tổng hợp: Là dùng trí óc kết hợp các thành phần đã đ-ợc tách ra qua
phân tích và khôi phục lại dựa trên những liên hệ thuộc về bản chất đã đ-ợc
khám phá nhờ phân tích.
Hai thao tác phân tích và tổng hợp là trái ng-ợc nhau nh-ng chúng
thống nhất trong một quá trình. Phân tích là cơ sở để tổng hợp, tổng hợp đ-ợc
tiến hành trên cơ sở phân tích.
- So sánh: Là dùng trí óc để xác định sự giống nhau và khác nhau giữa
các sự vật hiện t-ợng. Muốn so sánh học sinh phải phân tích các thuộc tính,
các dấu hiệu của chúng, từ đó đối chiếu từng thuộc tính, từng dấu hiệu một,
sau đó tổng hợp và đ-a ra kết luận.
T- duy của học sinh Tiểu học chia làm hai giai đoạn:
*Giai đoạn đầu Tiểu học: lớp 1, 2, 3
- T- duy của học sinh ở giai đoạn này chủ yếu là t- duy cụ thể (t- duy
trực quan hình ảnh và trực quan hành động). Học sinh tiếp thu tri thức các

8

môn học bằng cách tiến hành các thao tác t- duy với các đối t-ợng cụ thể
hoặc là hình ảnh trực quan.
Ví dụ: Khi học phép tính, học sinh phải sử dụng que tính để tính toán.
- Phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều khi học sinh học các
môn.
Ví dụ: Khi học sinh làm bài tập toán, các em dễ bị lôi cuốn vào các từ
như thêm vào, bớt đi, hoặc kém tách khỏi dấu hiệu chung của bài tập,
từ đó dẫn tới kết quả sai lầm.
- Các thao tác t- duy đã liên kết với nhau thành tổng thể bằng tính
thuận nghịch giúp học sinh có kĩ năng nhận thức cái bất biến (không thay đổi
khi biến đổi xuôi, ng-ợc). Từ đó, trong t- duy của học sinh có một b-ớc tiến
quan trọng là phân biệt đ-ợc định tính và định l-ợng. Đó cũng là điều kiện
ban đầu để hình thành khái niệm số ở học sinh đầu Tiểu học và học sinh
nhận thức đ-ợc tính qui luật.
Ví dụ: Nếu a >b thì b < a
Sau đó, nếu a > b và b > c thì có a > c
Từ đó, học sinh nhận thức được quan hệ thứ tự bằng quan hệ > <,
có khả năng phân biệt đ-ợc hệ thống này với hệ thống khác.
Ví dụ: Học sinh biết phép trừ là phép toán ng-ợc của phép cộng, phép
chia là phép toán ng-ợc của phép toán nhân.
Học sinh biết sắp xếp thứ tự các số theo chiều tăng hoặc giảm dần.
Suy luận của các em còn mang tính chủ quan và gắn liền với kinh
nghiệm thực tế, khó chấp nhận giả thuyết không thực.
Ví dụ: Học sinh khó chấp nhận giả định một con vịt có 3 chân thì hai
con vịt có 6 chân.
- Khái quát hoá còn mang tính trực tiếp dựa vào thuộc tính bề ngoài
của đối t-ợng.

9

*Giai đoạn cuối Tiểu học (lớp 4, lớp5)
- Giai đoạn này, t- duy trừu t-ợng chiếm -u thế hơn. Học sinh tiếp thu
tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác t- duy với các kí hiệu.
Ví dụ: Học sinh tóm tắt các bài toán có lời văn bằng sơ đồ đoạn thẳng,
biểu đồ Ven,biểu đồ hình chữ nhật Hoặc giải các bài toán dùng chữ thay số.
Các thao tác t- duy đã liên kết với nhau bằng tính thuận nghịch.
- Khái quát hoá mang tính khái quát, học sinh biết dựa vào các dấu hiệu
bản chất của đối t-ợng để khái quát.
- Học sinh xác lập đ-ợc mối quan hệ từ nguyên nhân tới kết quả tốt hơn
là xác lập mối quan hệ từ kết quả tới nguyên nhân .
Bởi vì khi suy luận từ nguyên nhân tới kết quả, mối quan hệ trực tiếp
đ-ợc xác lập. Ng-ợc lại, khi suy luận từ kết quả ra nguyên nhân, mối liên hệ
trực tiếp không đ-ợc xác lập do một kết quả có thể có nhiều nguyên nhân.
Ví dụ: Học sinh biết a ì 0 = 0 nh-ng rất khó khăn khi giải
a ì b = 0 để có a = 0 hoặc b = 0.

10


Ch-ơng 2: Thực trạng dạy và học nội dung số học
trong môn Toán ở Tiểu học
2.1. Ch-ơng trình môn Toán ở Tiểu học
Năm 2000, Bộ Giáo dục và Đào tạo đ-a ra ch-ơng trình Sách giáo khoa
Tiểu học mới. Bộ sách này đ-ợc coi là hiện hành đổi mới cả về nội dung,
ph-ơng pháp và hình thức tổ chức dạy học.
Nội dung môn Toán đ-ợc xây dựng căn cứ vào sự phát triển tâm-sinh lí
của học sinh Tiểu học trong từng giai đoạn.
* Giai đoạn đầu (lớp 1, 2, 3): Chủ yếu gồm các nội dung gần gũi với

cuộc sống của trẻ, dựa trên kinh nghiệm đời sống của trẻ, chuẩn bị những đồ
dùng trực quan, cụ thể để giúp học sinh nhận thức kiến thức và kĩ năng cơ bản.
* Giai đoạn cuối Tiểu học(lớp 4,5): Chủ yếu gồm các nội dung có tính
khái quát, hệ thống cao hơn(so với tr-ớc) nh-ng vẫn dựa vào các hoạt động đo
tính, trên cơ sở đó b-ớc đầu tập khái quát, tập suy luận.
Ví dụ:Giai đoạn đầu, học sinh chỉ làm quen với các hình hình học cơ bản
giúp học sinh nhận dạng đ-ợc hình nh-ng tới lớp 4, lớp 5 thì học sinh đ-ợc
học các công thức tính diện tích các hình và ứng dụng trong đời sống hàng
ngày nh- công thức tính diện tích hình tam giác, hình thang.
Do đặc điểm của môn Toán và đặc điểm nhận thức của trẻ nên các kiến
thức và kĩ năng của môn Toán đ-ợc hình thành chủ yếu bằng các hoạt động
thực hành đếm, đo, quan sát, làm tínhThông qua thực hành mà học sinh có
thể b-ớc đầu hình thành các khái niệm toán, qui tắc tính, đồng thời có thể
củng cố tri thức, rèn kĩ năng phát triển t- duy, phát triển trí thông minh.
Cấu trúc nội dung môn Toán là cấu trúc theo kiểu đồng tâm hợp lí.Trọng
tâm là nội dung số học (số tự nhiên, số thập phân, phân số) còn các nội dung
khác thì đ-ợc sắp xếp gắn bó với hạt nhân số học, tạo sự gắn bó, liên kết chặt
chẽ với nhau. Các kiến thức và kĩ năng số học đ-ợc sắp xếp và phát triển dần
theo các vòng số. Nhờ sự phát triển theo kiểu đồng tâm hợp lí mà các nội dung

11


của môn Toán đ-ợc củng cố th-ờng xuyên và đ-ợc phát triển dần từ đơn giản
đến phức tạp, từ dễ đến khó. Trong sách giáo khoa các lớp đều có phần ôn tập,
bổ sung ở đầu năm học và ôn tập, hệ thống hoá ở cuối năm học. Trong quá
trình dạy học Toán, ngoài các tiết dạy kiến thức mới và luyện tập để củng cố
kiến thức mới thì còn có các tiết luyện tập để ôn tập, củng cố kiến thức và kĩ
năng trong từng giai đoạn học tập.
2.2. Dạy học nội dung số tự nhiên trong môn Toán ở Tiểu học

Trong thời gian thực tập tại tr-ờng Tiểu học Xuân Hoà A, Xuân Hoà,
Phúc Yên, Vĩnh Phúc, qua tiếp xúc với học sinh và trao đổi cùng giáo viên em
đã rút ra một số khó khăn khi học sinh học phần số tự nhiên. Em hi vọng
chúng ta có thể l-u tâm hơn trong quá trình giảng dạy nội dung này cho học
sinh.
- Về cách viết số có hai chữ số: Ví dụ học sinh viết số: ba mươi hai thì
chữ số 3 viết tr-ớc, sau đó tới chữ số 2 vào bên phải của chữ số 3 thì học sinh
lại hay mắc sai lầm là viết thành 302.
- Về cách đọc số có hai chữ số, bắt đầu từ số 20 thì khi đọc các số cần có
sự chuyển đổi âm tiết (chuyển mười thành mươi) ví dụ số 11 đọc là mười
một, số 42 đọc là bốn mươi hai nhưng nhiều khi học sinh lại đọc là hai
bốn hoặc bốn mười hai hay là học sinh nói ngọng đọc số 45 là bốn mươi
năm, 15 đọc là mười năm.
- Về thực hiện phép cộng, phép trừ có nhớ đa số học sinh hay quên không
thực hiện nhớ (do tính hay quên và mau quên của học sinh đầu Tiểu học)
dẫn tới kết quả tính bị sai, ở phép cộng thì học sinh quên không nhớ vào
hàng tr-ớc, còn ở phép trừ thì học sinh quên trả nhớ vào hàng trước.
- Về học bảng nhân, chia, do phép chia là phép toán ng-ợc của phép toán
nhân, khi học thuộc các bảng chia, học sinh hay nhớ nhầm sang bảng nhân.
Chính vì vậy mà học sinh học thuộc bảng chia mất rất nhiều thời gian, hay
nhầm lẫn, gây khó khăn khi thực hiện phép chia hoặc là giải các bài toán có
lời văn.

12


- Về thực hiện phép chia một số có nhiều chữ số cho một số bất kì, học
sinh hay gặp một số lúng túng, nhầm lẫn nh- sau:
Ví dụ 1: Thực hiện tính phép chia 4235 : 6
4235

6

003

705

35
5
Nhiều học sinh khi hạ 3 ở số bị chia xuống, thấy không chia hết cho 6
liền hạ cả 5 xuống và cho ra kết quả th-ơng sai là 75
Ví dụ 2:Thực hiện phép chia 1560 : 2
1560

2

016

780

000
Học sinh nhầm lẫn khi thực hiện phép chia phần cuối cùng, thấy 0 ở
cuối số bị chia không chia hết cho 2 nên bỏ qua nên chỉ đ-ợc kết quả th-ơng
là 78. Đó là kết quả sai.
- Về học dấu hiệu chia hết cho 9 và cho 3, học sinh đ-ợc học dấu hiệu
chia hết cho 9 rồi mới học dấu hiệu chia hết cho 3, vì một số chia hết cho 9
thì cũng chia hết cho 3 nên các số chia hết cho 9 trở thành một bộ phận của
các số chia hết cho 3. Vì vậy khi một số chia hết cho 3 học sinh hay suy ra số
đó cũng chia hết cho 9 là không đúng (vì có số 6 chia hết cho 3 nh-ng 6 lại
không chia hết cho 9).

- Về thực hiện tính giá trị biểu thức có nhiều dấu phép tính. Học sinh hay
quên viết thành phần còn lại của phép tính.
Ví dụ: 245 + 21 ì 5 = 21 ì 5 = 245 + 105 = 350
Nguyên nhân là do học sinh đ-ợc học thực hiện thứ tự phép tính là
nhân chia trước, cộng trừ sau học sinh chỉ chú tâm vào thực hiện phép tính
nhân 21 ì 5 mà quên không ghi lại phần ch-a thao tác tới của phép tính.

13


Ch-ơng 3: Dạy học số tự nhiên
3.1. Xây dựng tập số tự nhiên
3.1.1. Xây dựng tập số tự nhiên trong Toán học hiện đại
3.1.1.1 Quan hệ đẳng lực
Tập A t-ơng đ-ơng với tập hợp B.Viết A~ B nếu có một song ánh
f từ A lên B.
3.1.1.2 Tập số tự nhiên
- Tập hợp không đẳng lực với một bộ phận thực sự nào của nó gọi
là tập hữu hạn.
- Tập hợp không hữu hạn gọi là tập hợp vô hạn. Nói cách khác
tập hợp vô hạn là tập hợp đẳng lực với một bộ phận thực sự của nó.
Ví dụ: Tập {a,b} là tập hợp hữu hạn vì có hai tập con thực sự là {a} và
{b} nh-ng không thể thiết lập đ-ợc song ánh từ chúng vào tập hợp đã cho.
- Ta gọi bản số(lực l-ợng) của một tập hợp hữu hạn bất kì là một số tự
nhiên. Tập hợp các số tự nhiên đ-ợc kí hiệu là N(natural). Mỗi tập hợp A đều
có một bản số, kí hiệu là cardA,sao cho cardA = cardB khi và chỉ khi A B.
Vậy a N khi và chỉ khi A, A hữu hạn sao cho a = cardA.
Ví dụ: là 1 tập hợp hữu hạn, vậy card N
Kí hiệu 0 = card ; card{x} N. Kí hiệu 1 = card{x}
3.1.2. Hình thành số tự nhiên ở Tiểu học

- Số là khái niệm trừu t-ợng đầu tiên mà trẻ em đ-ợc gặp trong Toán
học. Học sinh đ-ợc nhận thức khái niệm số trên cơ sở là cách đếm. Từ tr-ớc
khi học lớp 1, đa số trẻ em đã biết đọc các số nh- 1, 2, 3 thậm chí có khi
học sinh đếm tới tận 100. Nh-ng nh- vậy ch-a có nghĩa là học sinh đã có
những hiểu biết chính xác về số.

14


- Trong ch-ơng trình Tiểu học, khái niệm số đ-ợc xây dựng trên tinh
thần của lí thuyết tập hợp thông qua các hình ảnh trực quan chứ ch-a dùng
ngôn ngữ của lí thuyết tập hợp.
- Việc hình thành số tự nhiên đ-ợc đ-a vào từ lớp 1. Các số tự nhiên
đ-ợc trình bày theo từng số bắt đầu từ số 1 và theo thứ tự phép đếm. Hay sử
dụng mô hình dựa trên khái niệm số đứng liền sau. Các số đ-ợc xây dựng
theo quan niệm bản số đ-ợc sắp thứ tự. Đảm bảo vấn đề tên gọi, thứ tự và kí
hiệu số.
3.1.3 Dạy hình thành khái niệm số tự nhiên ở Tiểu học
Khi dạy học số tự nhiên với học sinh Tiểu học phải vận dụng đ-ợc cả
hai mặt bản số và tự số của nó. Thể hiện ở chỗ dùng phép t-ơng ứng 1-1 làm
cho học sinh thấy đ-ợc đó là dấu hiệu chung của các tập hợp có cùng số phần
tử và sử dụng phép đếm mà học sinh đã biết từ tr-ớc.
3.1.3.1 Dạy học phép đếm cho học sinh
Về kiến thức: Phép đếm là sự thiết lập t-ơng ứng 1-1 giữa nhóm đối
t-ợng cần đếm với một bộ phận đầu tiên của tập hợp số tự nhiên khác 0 (N
{})
Về thực hành đếm: Học sinh chỉ tay vào từng phần tử của nhóm đối
tượng cần đếm theo thứ tự chỉ tay mà đọc tên các số bắt đầu từ một: một,
hai Số đọc đến cuối cùng trong phép đếm là số l-ợng của nhóm đối t-ợng
đã cho.

Qui tắc đếm: Không đếm sót, không đếm thừa, không đếm lặp.
Ngoài việc đếm số l-ợng một nhóm đối t-ợng nh- đã nêu trên thì học
sinh còn sử dụng việc đếm miệng, lúc này không có thao tác chỉ tay nữa, học
sinh nhớ lại thứ tự các số trong dãy số và đọc lại tên các số trong dãy số theo
thứ tự liên tiếp. Với nhiệm vụ này thì học sinh đ-ợc thực hiện nhiều dạng bài
tập đếm.

15


+ Đếm bắt đầu từ một: 1,2,3
+ Đếm tiếp từ một số nào đó: 11, 12, 13, 14
+ Đếm từng chục: 10, 20, 30..
Ngoài ra thì còn có các bài tập yêu cầu học sinh đọc ng-ợc lại thứ tự
của dãy số, chẳng hạn đọc ngược từ sáu mươi hai:62, 61, 60
Việc dạy đếm cho học sinh giúp học sinh xác định đ-ợc số l-ợng của
nhóm đối t-ợng cho tr-ớc, tạo ra (vẽ, tô màu) một nhóm đối t-ợng cho tr-ớc,
là thao tác cơ bản để học sinh tiếp thu khái niệm số tự nhiên, các phép toán
trên tập hợp số tự nhiên, đồng thời củng cố cho học sinh về dãy số tự nhiên, về
thứ tự các số trong dãy số.
3.1.3.2. Trình tự sắp xếp nội dung dạy học số ở Toán Tiểu học
Nội dung dạy học các số ở Toán Tiểu học đ-ợc sắp xếp theo trình tự
phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh (từ các số có 1 chữ số, có hai chữ
số, có 3 chữ số). Cụ thể nội dung này đ-ợc sắp xếp theo các vòng số
Vòng 10
Vòng 20
Vòng 100, 1000, lớp triệu.
ở Tiểu học, khi xây dựng khái niệm ban đầu về số đ-ợc tiến hành đồng
thời với việc giới thiệu các số đến 10. Do tập hợp t-ơng đ-ơng với các số này
đều là các tập hợp có ít phần tử nên khi giới thiệu cho học sinh biểu t-ợng về

các tập hợp ứng với các số đang học, giáo viên có thể sử dụng sơ đồ Ven.
Chẳng hạn, khi cho số tự nhiên a, ta có thể minh hoạ bằng các tập hợp có phần
tử là các đồ vật quen thuộc A sao cho lực l-ợng của A bằng a (cardA = a)
Muốn vậy thì khi dạy một số bất kì, giáo viên thực hiện các thao tác sau
B-ớc 1: Hình thành biểu t-ợng về các tập hợp t-ơng ứng với các số
đang học thông qua các đồ vật cụ thể (thông dụng nhất là que tính) hoặc bằng
sơ đồ Ven.
B-ớc 2: Giới thiệu số và chữ số, tập đọc, tập viết số vừa hình thành.

16


B-ớc 3 : Tập đếm các mẫu vật của tập hợp.
B-ớc 4 : So sánh số vừa hình thành với các số đã học.
B-ớc 5 : Phân tích số để hiểu rõ cấu tạo số.
3.1.3.3. Hình thành số tự nhiên qua các vòng số
3.1.3.3.1 Dạy học các số tự nhiên trong vòng 10
Trong vòng 10 thì việc đếm thêm một là hoạt động chủ yếu để giới
thiệu số mới (lần l-ợt từ bé đến lớn, theo ý nghĩa số liền sau, ngoại trừ số 0).
Các số đến 10 đ-ợc tiến hành từ lớp 1, việc giới thiệu số trong vòng 10
đồng thời với viêc xây dựng khái niệm ban đầu về số ở Tiểu học. Cần giúp học
sinh đạt đ-ợc các yêu cầu sau:
+ Biết xác định đúng số l-ợng các phần tử của một tập hợp. Biết làm
các dạng bài tập như: Trong rổ có mấy quả cam?, Hãy lấy ra 5 viên bi?
+ Nắm đ-ợc nguyên tắc đếm : Đếm hết các phần tử, không đếm sót,
không đếm lặp, tên số cuối cùng cho ta kết quả của phép đếm.
+ Biết cách ghi số bằng chữ số, nhận biết đ-ợc 10 kí hiệu (chữ số) để
ghi số.
+ Nắm đ-ợc quan hệ thứ tự giữa các số và vị trí của các số trong dãy
số, biết so sánh các số, biết điền số còn thiếu trong dãy số.

+ Nắm đ-ợc cách lập số(tạo ra tập hợp t-ơng ứng với các số đang
học), cấu tạo số.
Muốn đạt đ-ợc các yêu cầu trên, việc hình thành các số tiến hành theo
các b-ớc sau:
B-ớc 1: Hình thành biểu t-ợng về các tập hợp t-ơng ứng với số đang
học thông qua những tập hợp đồ vật cụ thể (ngôi sao, bông hoa) và hình
t-ợng tr-ng (chấm tròn hoặc dấu nhân).
Khi hình thành các số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5: các số này đ-ợc hình thành
theo quan điểm bản số. Học sinh quan sát các nhóm đối t-ợng khác nhau,

17


nhận xét rằng các nhóm đối t-ợng có cùng số phần tử. Giáo viên giới thiệu số
và chữ số biểu thị số đó.
Ví dụ: Khi hình thành số 3 giáo viên thực hiện nh- sau:
Giáo viên cho học sinh quan sát các nhóm đồ vật khác nhau nh-ng có
cùng số l-ợng phần tử bằng cách gắn lên bảng 3 ngôi sao, 3 hình vuông và nói
có ba ngôi sao, có ba hình vuông.
Tiếp đó thay bằng ba chấm tròn để cho học sinh bỏ qua các tính
chất khác của đồ vật (không chú ý đó là vật gì mà chỉ chú ý phát hiện ra các
nhóm có đặc điểm chung là đều có số l-ợng bằng ba.
Khi hình thành các số 6, 7, 8, 9 trên cơ sở đã học các số 1, 2, 3, 4, 5 các
số tiếp theo đ-ợc hình thành theo cách đếm thêm một. Từ việc hình thành biểu
t-ợng về tập hợp t-ơng đ-ơng ứng với số đã đ-ợc học tr-ớc đó.
Ví dụ: Khi dạy số 8 giáo viên tổ chức cho học sinh hoạt động:
Và phát hiện: có 7 em bé, thêm một em bé nữa đ-ợc tám em bé (đang
chơi); có 7 hình tròn, thêm 1 hình tròn được tám hình trònTừ đó học sinh
nhận thấy tính chất là: có 7 đồ vật thêm 1 vật nữa được tám vật.
B-ớc 2: Giới thiệu số và chữ số, tập đọc, tập viết.

Sau khi phát hiện ra tính chất chung của các nhóm đồ vật, giáo viên sẽ
giới thiệu số và chữ số ghi lại số l-ợng các nhóm đồ vật đó.
Ví dụ: Sau khi xác định các nhóm đồ vật có cùng số l-ợng là ba phần
tử, giáo viên giới thiệu ta dùng số ba để chỉ số lượng của mỗi nhóm đồ vật
trên, số ba viết bằng chữ số, học sinh tập đọc số 3. Giáo viên cho học sinh tập
viết chữ số ngay ngắn, rõ ràng đúng kích th-ớc.
B-ớc 3: Tập đếm (dựa vào các hình vẽ trong sách giáo khoa)
Cho học sinh đếm xuôi, đếm ng-ợc nhiều lần, ban đầu đếm các vật cụ
thể, sau đó là đếm bằng h- số.

18


Ví dụ: Khi học số 4, cho học sinh đếm 1 que tính, 2 que tính, 3 que
tính, 4 que tính; 4 que tính, 3 que tính, 2 que tính, 1 que tính. Sau đó đếm 1, 3,
4; 4, 3, 2, 1
B-ớc 4: Dạy học sinh so sánh hai số.
Ban đầu so sánh trực tiếp số l-ợng phần tử hai tập hợp bằng cách sắp
xếp t-ơng ứng.
Ví dụ: Số hình tam giác nhiều hơn số hình chữ nhật
Ta có: 3 lớn hơn 2
Viết :3 > 2

3 hình tam giác
3
2 hình chữ nhật

Qua việc so sánh này, học sinh dần nắm đ-ợc vị trí của mỗi số trong
dãy số và quan hệ thứ tự của chúng.
B-ớc 5: Dạy cấu tạo số: Cho học sinh phân tích số đang học để nắm

đ-ợc cấu tạo số.
Ví dụ: Khi học số 5 thông qua quan sát các hình ảnh trực quan, học sinh
hiểu đ-ợc: 5 gồm 4 và 1; 5 gồm 3 và 2. Hoặc thông qua việc thực hiện tách
một nhóm đồ vật thành hai phần (theo nhiều cách), học sinh sẽ nắm đ-ợc cấu
tạo số.
*Chú ý: Việc hình thành số 0 cho học sinh
Trong ch-ơng trình cải cách giáo dục, số 0 đ-ợc hình thành sau khi
học sinh đã học phép cộng và phép trừ. Nh-ng trong ch-ơng trình mới thì số 0
đ-ợc giới thiệu tr-ớc khi học phép cộng và phép trừ.
Xuất phát từ chậu cá có 3 con cá, ta vớt dần từng con, số l-ợng cá
giảm dần:

19


+ Vớt đi một con, còn lại 2 con cá.
+ Vớt đi một con nữa, còn lại 1 con cá.
+ Lại vớt đi một con nữa, còn lại 0 con cá.
Khi đó ta nói bể còn không con cá (số lượng cá ở bể là 0). Nh- vậy
về bản chất Toán học, số 0 đ-ợc hình thành nh- bản số của tập hợp rỗng.
3.1.3.3.2 Dạy hình thành các số trong vòng 20.
* Dạy hình thành số 10, một chục.
- Số 10 đ-ợc hình thành nh- sau: Có 9 chấm tròn, thêm 1 chấm tròn
được mười chấm tròn. Vật là khi ta hình thành số 10 cũng t-ơng tự khi hình
thành số 6, 7, 8, 9. Số 10 là số có hai chữ số đầu tiên mà học sinh đ-ợc làm
quen. Và việc viết số 10 bằng hai chữ số 1 tr-ớc và chữ số 0 đằng sau là áp
đặt, không giải thích ngay từ đầu.
- Tiếp theo học sinh được làm quen với thuật ngữ một chục tức là khi
gộp m-ời que tính sẽ đ-ợc một chục, học sinh sẽ có thêm một đơn vị mới đó
là chục. Trực quan là học sinh có bó que tính tương ứng với chục

- Thông qua hình ảnh trực quan gồm một bó que tính và các que tính
rời, học sinh sẽ hiểu rõ về cách viết, cấu tạo, ý nghĩa của các chữ số trong các
số từ 11 tới 19.
Ví dụ: Để hình thành số 12
Lấy một bó que tính (một chục) với 2 que tính rời thì đ-ợc m-ời hai
que tính. Ghi lại bằng chữ số 1 và 2 (chữ số 1 viết tr-ớc, chữ số 2 viết vào bên
phải của chữ số 1). Lúc này học sinh bắt đầu làm quen với cấu tạo thập phân
của số có hai chữ số, nhận biết theo giá trị theo vị trí của các chữ số nhờ việc
phân tích chục và đơn vị trong khi hình thành cách viết và cách đọc số.
* Dạy hình thành số 20.
Lấy hai bó que tính (hai chục) thì đ-ợc hai mươi que tính. Ghi lại là
20 gồm chữ số 2 và chữ số 0 viết bên phải chữ số 2. Học sinh viết số 20 và đọc
số hai mươi

20


3. 1.3.3.3. Dạy hình thành các số trong vòng 100, 1000, lớp triệu.
- Các số tròn chục (nhỏ hơn 100) hình thành t-ơng tự nh- hình thành
các số trong vòng 20 trên cơ sở xét các bó que tính.
- Các số có hai chữ số: Cách hình thành t-ơng tự nh- hình thành các số
từ 11 tới 19. Giáo viên đ-a ra mô hình trực quan gồm các bó que tính và các
que rời. Học sinh sẽ tìm cách ghi lại số này và làm quen với cách đọc số.
Ví dụ: Hình thành số 36. Giáo viên yêu cầu học sinh lấy ra 3 bó que
tính và 6 que rời, xác định rằng có ba mươi sáu que tính. Giáo viên h-ớng
dẫn học sinh ghi lại số que tính; ghi lại bằng chữ số 3 và chữ số 6. Chữ số 3
viết ở cột chục còn chữ số 6 viết ở cột đơn vị .Đọc là ba mươi sáu
* Dạy hình thành số 100:
Số 100 đ-ợc hình thành nh- là số liền sau của số 99. Số 100 đ-ợc viết
bằng cách viết chữ số 1 tr-ớc sau đó viết hai chữ số 0 vào bên phải chữ số 1

(việc h-ớng dẫn này cũng mang tính áp đặt, không giải thích ý nghĩa cách
viết).
Cũng có thể hiểu là 100 là gộp của 10 bó que tính, mỗi bó là một chục.
Vậy 100 gồm 10 chục que tính.
Trong cách viết số 100 thì chữ số 1 là chỉ có 1 trăm, chữ số 0 thứ nhất là
chỉ có 0 chục, chữ số 0 thứ hai là chỉ có 0 đơn vị. Số 100 gồm 1 trăm, 0 chục,
0 đơn vị.
* Vòng 1000 và các vòng tiếp theo thì xuất hiện đơn vị đếm mới là
nghìn, triệu Việc hình thành số tự nhiên ở các vòng số này t-ơng tự nhvòng 20. Tuy nhiên đồ dùng trực quan có mức độ trừu tượng tăng dần ô
vuông thay cho que tính, thẻ số thay cho ô vuông.
Nhận Xét
- Khái niệm số tự nhiên ở trong Toán học hiện đại và ở Tiểu học về bản
chất là nh- nhau, là lực l-ợng của một tập hợp hữu hạn. Song do khái niệm số

21


là khái niệm trừu t-ợng đầu tiên mà trẻ đ-ợc học nên ở Tiểu học thì học sinh
chỉ có đ-ợc ý niệm đó thông qua việc hình thành từng số cụ thể.
Nh- vậy, thông qua việc học số học, học sinh nắm đ-ợc bản chất của
số là số l-ợng phần tử của tập hợp. Sau đó học sinh làm quen với số (cách đọc,
cách viết).
3.1.4. Ghi số và cấu tạo thập phân
3. 1.4.1 Cách ghi số tự nhiên theo cơ số g
* Định lí: Giả sử g là một số tự nhiên lớn hơn 1. Khi đó mỗi số tự
nhiên a > 0 đ-ợc biểu diễn một cách duy nhất d-ới dạng:
a = Cn gn + Cn-1 gn-1 ++ C1g + C0g0
(0 Ci g-1;i = 0, 1,, n và Cn 0)
* Định nghĩa: Những số tự nhiên a > 0 biểu diễn đ-ợc d-ới dạng
a = Cn gn + Cn-1 gn-1 ++ C1g + C0g0

Với (0 Ci g-1;i = 0, 1,, n và Cn 0)
Thì ta viết :a = CnCn-1C1C0g
Và nói đó là sự biểu diễn của a trong hệ g- phân
3. 1.4.2 Cách ghi số tự nhiên ở Tiểu học
Ng-ời ta th-ờng dùng các kí hiệu để ghi số. Việc ghi số nhằm giúp
cho việc biểu thị các số một cách thuận tiện và tiến hành so sánh các số một
cách nhanh chóng và trực tiếp, giúp cho việc thực hiện phép tính dễ dàng và
thuận tiện.
Có hai hệ ghi số: Hệ ghi số theo vị trí và hệ ghi số không theo vị trí.
Tiểu học chỉ giới thiệu hệ ghi số theo vị trí ( hay ghi số trong hệ thập phân).
Tức là dùng 10 chữ số 0, 1, 2, 3,, 9 để ghi số theo vị trí.
Xét tr-ờng hợp g = 0 ta có:
Mọi số tự nhiên a > 0 đều viết duy nhất d-ới dạng:
a = Cn.10n + Cn-1.10n-1 + + C1.101 + C0 .100
Trong đó ( 0 Ci 9,Cn 0)
22


Khi đó ta viết a = CnCn-1C1C0
Và ta nói đó là sự biểu diễn số a trong hệ thập phân ( g=10)
Ví dụ: 8965 = 8000 + 900 + 60 + 5
=8 ì 1000 + 9 ì 100 + 6 ì 10 + 5
=8 ì 103 + 9 ì 102 + 6 ì 101 + 5 ì 100
Đối với học sinh Tiểu học các em không thể lĩnh hội đ-ợc toàn bộ kiến
thức về hệ ghi số nh- trên. Do vậy thông qua ph-ơng tiện trực quan là que tính
ta dạy cho học sinh cách ghi lại số các phần tử của tập hợp bằng số tự nhiên và
bắt đầu hình thành hệ ghi số thập phân. Việc này đã đ-ợc dạy từ lớp 1, học
sinh đã đ-ợc làm quen với việc ghi lại 10 số đầu bằng 10 chữ số (0, 1, 2,, 9)
và xác định số phần tử của tập hợp bằng phép đếm. Cuối lớp 1, học sinh bắt
đầu quen dần với việc dùng nhiều chữ số để ghi 1 số.

Ngoài ra thì ở lớp 4 thì học sinh đ-ợc giới thiệu thêm các chữ số La Mã
3. 1.4.3. Dạy học cấu tạo thập phân của số tự nhiên ở Tiểu học
* Phân biệt số và chữ số
- Từ vòng 20 tới vòng 100, học sinh biết dùng 10 chữ số để viết các số
có hai chữ số
- Từ vòng 100 tới vòng 1000 thì học sinh biết dùng 10 chữ số đó để viết
các số có ba chữ số
- Phân biệt số và chữ số:Chữ số dùng để ghi lại các số, chúng ta chỉ cần
10 chữ số khác nhau ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)để ghi lại tất cả các số.Ví dụ ta
chỉ cần dùng hai chữ số là 4 và 8 để ghi đ-ợc các số có giá trị khác nhau là 48
(gồm bốn chục và 8 đơn vị) và 84 (gồm tám chục và bốn đơn vị).
Nh- vậy thì các chữ số khi ở vị trí khác nhau thì mang giá trị khác
nhau.
* Hàng và lớp
- Trong vòng số 20 và 100, học sinh đã phân biệt đ-ợc chữ số ở hàng
đơn vị, chữ số ở hàng chục và mối quan hệ giữa hai hàng đó (1 chục = 10 đơn
vị) học sinhcòn phân biệt đ-ợc số chỉ chục và số chỉ đơn vị.
23


Ví dụ: Số 23 gồm 2 chục và 3 đơn vị, chữ số 2 ở hàng chục, chữ số 3
ở hàng dơn vị
- Trong vòng 1000 học sinh được học thêm đơn vị mới là trăm. Số
có ba chữ số là chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục, chữ số hàng trăm (tính
từ phải sang trái). Quan hệ giữa hàng trăm và hàng chục là 1 trăm bằng 10
chục do đó 1 trăm bằng 100 đơn vị.
- Trong vòng lớp triệu, học sinh đ-ợc học về hàng và lớp kể từ
phải sang trái là lớp đơn vị, lớp nghìn, lớp triệu. Mỗi lớp gồm ba hàng: lớp đơn
vị gồm hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm. Lớp nghìn gồm hàng nghìn, hàng
chục nghìn, hàng trăm nghìn, lớp triệu gồm hàng triệu, hàng chục triệu, hàng

trăm triệu. Tới lớp 4 học sinh đ-ợc học thêm hàng tỉ. Hai hàng kề nhau thì gấp
hoặc kém nhau 10 lần, hay nói cách khác: mỗi đơn vị ở một hàng gấp 10 lần
đơn vị ở hàng liền sau và bằng

1
lần đơn vị ở hàng liền tr-ớc. Những điều
10

đ-ợc học về số và chữ số, chữ số chỉ hàng, hàng và lớp đ-ợc thể hiện d-ới
dạng phân tích một số thành tổng các số chỉ hàng.
Ví dụ: 85 = 80 + 5 hay 85 = 8 ì 10 + 5 ì 1
496 = 400 + 90 + 6 hay 496 = 4 ì 100 + 9 ì 10 + 6ì 1
2345 = 2000 + 300 + 40 + 5
Hay cũng có khi ng-ời ta viết d-ới dạng:
496 = 4trăm 9chục 6đơn vị
Hoặc 496 = 4trăm + 9chục + 6đơn vị (ứng dụng trong ghi số đo đại
lượng như 3m75cm)
3.1.4.4. Nhận xét
Nếu nh- trong Toán học hiện đại, cách ghi số tự nhiên tổng quát theo cơ
số g lớn hơn 1 thì ở Tiểu học chỉ giới thiệu cách ghi số với cơ số g =10 (ghi số
ở hệ thập phân).
a = Cn.10n + Cn-1.10n-1 ++ C1.101 + C0.100 (0 Ci 9,Cn 0).

24


Tuy nhiên do khả năng nhận thức của học sinh Tiểu học còn hạn chế,
các em không thể lĩnh hội đ-ợc toàn bộ kiến thức về hệ ghi số nh- trên, mà
giáo viên phải hình thành dần dần qua từng vòng số theo 3 b-ớc:
B-ớc 1: Lập nhóm, chuyển đổi nhóm bậc thấp thành nhóm bậc cao kế

tiếp.
Ví dụ: Gộp 10 que tính thành bó một chục que tính
Gộp 10 bó một chục que tính thành 1 bó to 100 que tính
B-ớc 2: Lập sơ đồ ghi số(ghi số bằng kí hiệu theo sơ đồ)
Ví dụ: số 123

Hay

1

2

3

Hay
Trăm

chục

1

2

đơn vị
3

B-ớc 3: Ghi số bằng chữ
- L-u ý: Dạy cho học sinh số đặc biệt có chứa 0 đơn vị ở hàng nào đó
để nhấn mạnh cách dùng chữ số ghi số l-ợng phần tử của tập hợp ở hàng
t-ơng ứng.

3.2. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
3.2.1. Quan hệ thứ tự trên tập hợp số tự nhiên
3.2.1.1 Định nghĩa
Giả sử a, b N, a = card A, b = cardB

25