Ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong toán tiểu học

Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Mở ĐầU
1. Lí do chọn đề tài
Nh- chúng ta đã biết, bậc Tiểu học là bậc học nền tảng của hệ thống giáo
dục quốc dân. Đây là bậc học có tính độc lập t-ơng đối. Nó không phụ thuộc
nghiêm ngặt vào giáo dục tr-ớc và sau đó. Hơn nữa, Tiểu học là bậc học tạo ra
những nét cơ bản của nhân cách con ng-ời Việt Nam hiện đại. Những gì con
ng-ời tiếp thu đ-ợc ở bậc Tiểu học sẽ là hành trang cho học sinh đi suốt cuộc
đời. Đặc biệt bậc học này thể hiện rõ tính s- phạm vì nó là bậc hình thành cách
học cho học sinh.
Dạy học toán ở tiểu học chính là dạy học sinh các hoạt động toán học.
Trong đó hình thức hoạt động toán học chủ yếu của học sinh là giải bài tập.
Thông qua việc giải các bài tập toán, học sinh có thể củng cố, vận dụng và hiểu
sâu sắc các kiến thức. Qua đó các biểu t-ợng, khái niệm, qui tắc tính chất toán
học ở Tiểu học đ-ợc tiếp thu qua con đ-ờng giải toán chứ không phải là lí luận.
Học sinh có điều kiện rèn luyện, phát triển năng lực t- duy, rèn luyện ph-ơng
pháp suy luận và những phẩm chất cần thiết của ng-ời lao động mới.
Qua thực tế ở tr-ờng Tiểu học tôi thấy có nhiều bài toán ở mức độ nâng
cao, đi sâu của ch-ơng trình sách giáo khoa cần phải có ph-ơng pháp riêng dựa
trên những cơ sở toán học khác nhau. Toán ở bậc Tiểu học là những bài toán cụ
thể lấy từ các kiến thức toán học có dạng khái quát ở bậc học cao hơn. Những bài
toán đó dựa trên những qui tắc, mệnh đề,...qua đó mà học sinh có những hiểu biết
sơ giản nhất và vận dụng vào các hoạt động toán học và giáo viên có nhiệm vụ
hình thành cho học sinh các ph-ơng pháp giải toán hiệu quả nhất. Ph-ơng pháp
đó có cơ sở có thể lấy từ lí thuyết, qui tắc, công thức toán học ở chính các bậc
học cao hơn mà nó đã hình thành nên các công thức toán học và đã chứng minh.
Nh- vậy đối với một số các dạng toán thì không chỉ hình thành kiến thức toán
học mà phải có cả ph-ơng pháp giải toán cho học sinh ở Tiểu học dựa trên những

cơ sở toán học.

1


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Vấn đề ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong toán tiểu học là một vấn đề tôi
đã quan tâm từ lâu và tôi thấy rằng vấn đề này cũng ch-a có công trình nào
nghiên cứu. Chính vì vậy tôi đã chọn đề tài nghiên cứu này để góp phần nhỏ bé
của mình để việc dạy và học toán ở Tiểu học. Tôi rất mong đ-ợc sự đóng góp của
bạn đọc để đề tài này của tôi đ-ợc hoàn thiện hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
- phát hiện cách giải toán có hiệu quả nhất.
- Củng cố vững chắc kiến thức, rèn luyện t- duy logic.
- Rèn luyện trí thông minh và óc sáng tạo, nâng cao khả năng lập luận khi
giải toán cho học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- nghiên cứu lí thuyết tổ hợp.
- Tìm hiểu, phân tích các bài toán ứng dụng lí thuyết tổ hợp.
4. Đối t-ợng nghiên cứu
- Các bài toán ở tiểu học.
- Kiến thức lí thuyết tổ hợp.
5. Ph-ơng pháp nghiên cứu
- Ph-ơng pháp nghiên cứu tài liệu.
- Ph-ơng pháp tổng hợp, so sánh, phân tích.
- Ph-ơng pháp quan sát s- phạm.
6. Cấu trúc đề tài

Ch-ơng 1. Những vấn đề liên quan đến đề tài
1. Đặc điểm của học sinh tiểu học
2. Suy luận toán học
3. Bài toán và lời giải bài toán
4. Ph-ơng pháp giải một bài toán

2


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Ch-ơng 2. Lí thuyết tổ hợp
1. Xây dựng lí thuyết tổ hợp
2. Các bài toán ở tiểu học
Ch-ơng 3. ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong các bài toán ở tiểu học
1. ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong các bài toán cấu tạo số
2. ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong các bài toán hình học
3. ứng dụng lí thuyết tổ hợp trong các bài toán khác

3


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

nội dung
Ch-ơng 1. Những vấn đề lí luận liên quan đến đề tài

1. Đặc điểm t- duy của học sinh tiểu học
T- duy của học sinh tiểu học là quá trình nhận thức giúp các em phản ánh
đ-ợc bản chất của đối t-ợng nghĩa là giúp các em tiếp thu đ-ợc khái niệm các
môn học.
- Phân tích là dùng trí óc phân tích đối t-ợng nhận thức thành bộ phận,
những thuộc tính riêng biệt trong đối t-ợng. Từ đó nhận thức đối t-ợng sâu sắc
hơn.
- Tổng hợp là dùng trí óc kết hợp thành phần đã tách ra qua phân tích và
khôi phục lại cái toàn thể dựa trên những liên hệ thuộc về bản chất đã đ-ợc khám
phá nhờ phân tích.
- Hai thao tác phân tích và tổng hợp trái ng-ợc nhau nh-ng chúng thống
nhất trong một quá trình: phân tích là cơ sở của tổng hợp, tổng hợp đ-ợc tiến
hành trên cơ sở phân tích.
- So sánh là dùng trí óc để xác định sự giống, sự khác nhau giữa các sự vật,
hiện t-ợng. Muốn so sánh các sự vật, hiện t-ợng, học sinh phải phân tích các dấu
hiệu, các thuộc tính, từng dấu hiệu một. Sau đó tổng hợp mà đ-a ra kết luận.
- Trừu t-ợng hóa là thao tác trí óc mà chủ thể bỏ qua những dấu hiệu
không bản chất của sự vật, hiện t-ợng tách ra những dấu hiệu bản chất để trở
thành đối t-ợng của t- duy.
T- duy của học sinh tiểu học đ-ợc chia làm hai giai đoạn:
- Giai đoạn đầu tiểu học (lớp 1, 2, 3)
T- duy của học sinh tiểu học ở giai đoạn này chủ yếu vẫn là t- duy cụ thể
(t- duy trực quan hành động và t- duy trực quan hình ảnh). Học sinh tiếp thu tri
thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác t- duy với các đối t-ợng cụ
thể hoặc là các hình ảnh trực quan.

4

Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Ví dụ: Khi học sinh học phép tính chủ yếu là sử dụng que tính để tính
toán.
+ Phân tích và tổng hợp phát triển không đồng đều khi các em học các
môn học.
Ví dụ: Khi học sinh làm bài tập toán, các em bị lôi cuốn vào các từ thêm
vào, bớt đi, hơn hoặc kém tách khỏi điều kiện chung của bài tập từ đó dẫn
đến kết quả sai lầm.
+ Các thao tác t- duy đã liên kết với nhau thành tổng thể bằng tính thuận
nghịch, giúp học sinh có kĩ năng nhận thức bất biến (cái không thay đổi) khi biến
đổi xuôi và ng-ợc khái niệm bảo toàn (số l-ợng không thay đổi khi thay đổi cách
sắp xếp). Từ đó, trong t- duy của học sinh có một b-ớc tiến quan trọng, đó là
phân biệt định tính và định l-ợng. Đó là điều kiện ban đầu để hình thành khái
niệm số ở học sinh tiểu học và học sinh nhận thức đ-ợc tính qui luật:
a > b thì b < a
a > b và b > c thì a > c
+ Khái quát hóa còn mang tính trực tiếp dựa vào sự tri giác những thuộc
tính bề mặt của đối t-ợng.
+ Suy luận của các em còn mang tính chủ quan và gắn liền với kinh
nghiệm thực tế, các em khó chấp nhận một giả thiết không thực.
Ví dụ: Một con lợn có hai chân thì ba con lợn có mấy chân?
- Giai đoạn cuối tiểu học (lớp 4, 5)
ở giai đoạn này t- duy trừu t-ợng đ-ợc tăng c-ờng hơn. Học sinh tiếp thu
tri thức các môn học bằng cách tiến hành các thao tác t- duy với các kí hiệu. Học
sinh đã nắm đ-ợc các mối quan hệ của các khái niệm. Học sinh không chỉ lĩnh
hội các thao tác thuận mà còn biết loại trừ. Theo Piaget từ 8 tuổi trở đi trẻ có khái
niệm bảo toàn vật chất và thao tác chuyển đảo. Đây là những dấu hiệu thay đổi

t- duy của trẻ em và giai đoạn phát triển thứ hai bắt đầu.

5


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Các thao tác t- duy đã liên kết với nhau: thao tác thuận và thao tác ng-ợc.
Tính kết hợp nhiều thao tác, thao tác đồng nhất trong giai đoạn này và những
thao tác th- duy đ-ợc hình thành và phát triển mạnh.
- Thao tác thuận: a + b = c
- Thao tác nghịch: c - b = a và c - a = b
- Thao tác đồng nhất: a + 0 = a
- Tính kết hợp các thao tác: (a + b) + c = a + (b + c)
Sự kết hợp các thao tác t- duy ở trên là cơ sở của việc hình thành khái
niệm.
Vũ Thị Nho - Tâm lí học phát triển - Nxb ĐHQGHN
Đến cuối giai đoạn thứ hai, phần lớn học sinh đã biết khái quát dựa trên
những cơ sở, những biểu t-ợng đã tích lũy đ-ợc tr-ớc đây thông qua sự phân tích,
tổng hợp bằng trí tuệ. Đến đây vai trò của t- duy trực quan hình ảnh dần dần
nh-ờng chỗ cho kiểu tư duy ngôn ngữ. Khái quát hóa ở giai đoạn này mang tính
khái quát, biết dựa vào dấu hiệu bản chất.
+ Các thao tác không gian và thời gian vận động đ-ợc hình thành và phát
triển mạnh.
+ Học sinh xác lập mối quan hệ từ nguyên nhân đến kết quả tốt hơn từ kết
quả đến nguyên nhân. Bởi vì suy luận từ nguyên nhân đến kết quả, mối quan hệ
trực tiếp đ-ợc xác lập và ng-ợc lại; khi suy luận từ kết quả đến nguyên nhân, mối
quan hệ đó đ-ợc xác lập một cách không trực tiếp do một kết quả có thể có nhiều

nguyên nhân.
2. Suy luận toán học
2.1. Suy luận là gì?
Suy luận là quá trình suy nghĩ đi từ một hay nhiều mệnh đề cho tr-ớc rút
ra mệnh đề mới. Mỗi mệnh đề đã cho tr-ớc gọi là tiền đề của suy luận. Mệnh đề
mới đ-ợc rút ra gọi là kết luận hay hệ quả.
Ký hiệu: X1, X2, ..., Xn
Nếu X1, X2, ..., Xn

Y

Y là hằng đúng thì ta gọi kết luận Y là kết luận logic hay

hệ quả logic.

6


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Ký hiệu suy luận logic:
X 1 , X 2 ,...., X n
Y

2.2. Suy diễn
Suy diễn là suy luận hợp logic đi từ cái đúng chung đến kết luận cho cái
riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc tr-ng của suy diễn là việc rút ra
mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có đ-ợc thực hiện theo các qui tắc logic.

X

- Quy tắc kết luận:
- Quy tắc kết luận ng-ợc:
- Quy tắc bắc cầu:

Y, X
Y

X

Y ,Y
X

X

Y ,Y
Z
X
Z

- Quy tắc đảo đề:

X
Y

Y
X

- Quy tắc hoán vị tiền đề:

X
Y

Y
X

- Quy tắc ghép tiền đề:

X
X
X

Y
Y
Y

X

Z
Z

Z
Z
Z

X

Y

Y
X

Z
Z

2.3. Suy luận qui nạp
Suy luận qui nạp là phép suy luận đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung,
từ cái ít tổng quát đến cái tổng quát hơn. Đặc tr-ng của suy luận qui nạp là không
có qui tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm tra để
rút ra kết luận. Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận qui nạp có thể
đúng có thể sai, có tính -ớc đoán.
Vd:

4=2+2
6=3+3
10 = 7 + 3
................

Kết luận: Mọi số tự nhiên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của 2 số nguyên tố.

7


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

a) Qui nạp không hoàn toàn
Là phép suy luận qui nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một số tr-ờng

hợp cụ thể đã đ-ợc xét đến. Kết luận của phép suy luận không hoàn toàn chỉ có
tính chất -ớc đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả
thuyết.
Sơ đồ:
A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An là B
A1 , A2 , A3 , A4 , A5... An là 1 số phần tử của A
Kết luận: Mọi phần tử của A là B
Vd: 2 + 3 = 3 + 2
4+1=1+4
......
Kết luận: Phép cộng của hai số tự nhiên có tính chất giao hoán
b) Phép t-ơng tự
Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối t-ợng để
rút ra kết luận về những thuộc tính giống nhau khác của hai đối t-ơng đó. Kết
luận của phép t-ơng tự có tính chất -ớc đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và
nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
Sơ đồ : A có thuộc tính a, b, c, d
B có thuộc tính a, b, c
Kết luận : B có thuộc tính d .
Ví dụ 1 : Từ các chữ số 1, 2, 3 lập đ-ợc bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác
nhau từ các số đã trên?
Hd:
Có 3 cách chọn chữ số hàng trăm.
Có 2 cách chọn chữ số hàng chục (đó là hai chữ số còn lại, khác chữ số hàng
trăm).
Có 1 cách chọn chữ số hàng đơn vị (vì khác chữ số hàng trăm và chữ số hàng
chục)

8

Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Vậy số các số lập đ-ợc là:
3 2 1

6 (số)

Đáp số: 6 số.
Ví dụ 2: Từ các số 0, 3, 5, 6, 8 lập đ-ợc bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số?
Hd:
T-ơng tự nh- bài trên ta sẽ có cách làm của bài này nh- sau:
Có 4 cách chọn chữ số hàng chục nghìn (vì khác chữ số 0).
Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn.
Có 5 cách chọn chữ số hàng trăm.
Có 5 cách chọn chữ số hàng chục.
Có 5 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Vậy số các số lập đ-ợc là:
4 5 5 5 5

2500 (số)

Đáp số: 2500 số.
c) Phép khái quát hóa
Là phép suy luận đi từ một đối t-ợng sang một nhóm đối t-ợng nào đó có
chứa đối t-ợng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất -ớc đoán, tức là
nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
Vd: Phép cộng hai phân số (Lớp 4)

*

3 2
?
8 8

Ta có :

3 2 3 2 5
8 8
8
8

Suy ra quy tắc chung về cộng hai phân số cùng mẫu số.
*

1 1
?
2 3

Ta có:

1 1 3 3
2 2 3 6
1
3

1 2
3 2

2
6

9


Khóa luận tốt nghiệp
Cộng hai phân số :

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

1 1
2 3

3 2
6 6

5
6

Suy ra quy tắc chung cộng hai phân số khác mẫu số.
Vd: Chia một tổng cho một số ( Lớp 4)
-Tính và so sánh hai biểu thức :
(35 + 21) : 7 và 35 : 7 + 21 : 7
-Ta có:

(35 + 21) : 7 = 56 : 7 = 8
35 : 7 + 21 : 7 = 5 + 3 = 8

-Vậy suy ra: ( 35 + 21) : 7 = 35 : 7 + 21 : 7

- Suy ra quy tắc chung chia một tổng cho một số.
d) Phép đặc biệt hóa:
Là phép suy luận đi từ tập hợp đối t-ợng sang tập hợp đối t-ợng nhỏ hơn
chứa trong tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng,
trừ các tr-ờng hợp đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng,
có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các tr-ờng hợp đặc biệt
giới hạn hay suy biến: Điểm có thể coi là đ-ờng tròn có bán kính là 0; Tam giác
có thể coi là tứ giác khi một cạnh có độ dài bằng 0; Tiếp tuyến có thể coi là giới
hạn của cát tuyến của đ-ờng cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia
chuyển động đến nó.
3. Bài toán và lời giải của giải bài toán
3.1. Bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách có
ý thức các ph-ơng tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy
rõ ràng, nh-ng không thể đạt đ-ợc ngay.
Trên cơ sở định nghĩa khái quát của G.POLYA cho ta thấy rằng: Bài toán
là sự đòi hỏi phải đạt tới mục đích nào đó. Nh- vậy bài toán có thể đồng nhất với
một số quan niệm khác nhau về bài toán: đề toán, bài tập...

10


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

3.2. Các yếu tố cơ bản của bài toán
Trong định nghĩa về bài toán ở trên ta thấy có hai yếu tố chính hợp thành
của một bài toán đó là :

+ Mục đích của bài toán
+ Sự đòi hỏi thực hiện mục đích của bài toán
Ví dụ: ''Chứng minh rằng một số tự nhiên chia hết cho 4 khi hai chữ số tận
cùng lập thành một số chia hết cho 4
Trong bài toán này 2 yếu tố cơ bản hợp thành đó là:
+ Sự đòi hỏi của bài toán thể hiện qua cụm từ "Chứng minh rằng".
+ Mục đích của bài toán thể hiện qua: ''một số tự nhiên chia hết cho 4 khi
hai chữ số tận cùng lập thành một số chia hết cho 4
3.3. Lời giải của bài toán
Lời giải của bài toán đ-ợc hiểu là tập sắp thứ tự các thao tác cần thực hiện
để đạt tới mục đích đã đặt ra.
Nh- vậy ta thống nhất lời giải, bài giải, cách giải, đáp án của bài toán.
Một bài toán có thể có :
- Một lời giải.
- Không có lời giải.
- Nhiều lời giải.
Giải đ-ợc một bài toán đ-ợc hiểu là tìm ra và trình bày đúng ít nhất một
lời giải của bài toán trong tr-ờng hợp bài toán có lời giải, hoặc lý giải đ-ợc bài
toán là không giải đ-ợc trong tr-ờng hợp nó không có lời giải.
4. Ph-ơng pháp giải một bài toán
4.1. Phân loại bài toán
Ng-ời ta phân loại các bài toán theo nhiều cách khác nhau để đạt đ-ợc
mục đích nhất định, th-ờng là để sử dụng nó một cách thuận lợi.
a. Phân loại theo hình thức bài toán
Ng-ời ta căn cứ vào kết luận của bài toán: Kết luận của bài toán đã cho
hay ch-a để phân chia bài toán ra thành 2 loại:

11

Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

- Bài toán chứng minh: Là bài toán kết luận của nó đã đ-ợc đ-a ra một
cách rõ ràng trong đề bài toán.
Ví dụ:
Chứng tỏ rằng một số tự nhiên chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng lập
thành một số chia hết cho 4
Chứng tỏ rằng đ-ờng thẳng nối trung điểm của hai cạnh của một tam giác
tạo ra một tam giác mới có diện tích bằng một phần tư tam giác ban đầu
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó ch-a có sẵn trong
đề bài toán.
Ví dụ:
Tìm các số tự nhiên có ba chữ số biết rằng nó gấp 15 lần tổng các chữ số
của nó
Tìm các số tự nhiên có ba chữ số biết rằng nó gấp 5 lần tích các chữ số
của nó
b. Phân loại theo ph-ơng pháp giải bài toán
Ng-ời ta căn cứ vào ph-ơng pháp giải bài toán: Bài toán này có angôrit
giải hay ch-a để chia các bài toán thành hai loại
- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà ph-ơng pháp giải của nó theo
một thuật toán chung nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó.
Ví dụ:
Dạng toán tìm 2 số biết tổng số và tỷ số của hai số đó
Dạng toán tìm 2 số biết hiệu số và tỷ số của hai số đó
Dạng toán tìm 2 số biết tổng và hiệu số của hai số đó
Dạng toán tìm số trung bình cộng của các số
- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà ph-ơng pháp giải của nó
không theo một thuật toán chung nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào.

Ví dụ:
Cho hình vuông ABCD có cạnh 20 cm. Gọi M, N lần l-ợt là điểm chính
giữa của cạnh AB, BC. Nối CM và DN cắt nhau tại I. Hãy tính diện tích của hình
tứ giác AMID

12


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

c. Phân loại theo nội dung bài toán:
Ng-ời ta căn cứ vào nội dung của bài toán đ-ợc phát biểu theo thuật ngữ
của một hay một vài lĩnh vực chuyên môn hẹp hơn để chia bài toán thành các loại
khác nhau nh- sau:
- Bài toán số học
+ Bài toán chuyển động đều
+ Bài toán về tuổi
+ Bài toán trồng cây
+ Bài toán về cấu tạo số
- Bài toán đại số
- Bài toán hình học
d. Phân loại theo ý nghĩa giải toán
Ng-ời ta dựa vào ý nghĩa của việc giải bài toán để phân loại bài toán: Bài
toán này nhằm củng cố trực tiếp một hay một vài kiến thức kĩ năng nào đó, hay
là bài toán nhằm phát triển t- duy. Ta có hai loại bài toán nh- sau:
Bài toán củng cố kĩ năng: Là bài bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau
khi học một hoặc một vài kiến thức cũng nh- kĩ năng nào đó.
Bài toán phát triển t- duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các

kiến thức cũng nh- kĩ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng t- duy
phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo.
4.2. Ph-ơng pháp tìm lời giải của bài toán
Dựa theo 4 b-ớc của G.POLIA
B-ớc1: Tìm hiểu đề.
Tr-ớc khi giải 1 bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu
thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau:
Những cái gì đã biết? Cái gì ch-a biết của bài toán?
Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi,
biến thiên của bài toán.
Xác định các ẩn và các giá trị hằng của bài toán.

13


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái ch-a biết hay không?
B-ớc 2: Xây dựng ch-ơng trình giải.
Để tìm đ-ợc lời giải cho bài toán một cách có hiệu quả thì b-ớc xây dựng
ch-ơng trình giải là b-ớc quyết định, đồng thời cũng là b-ớc khó khăn nhất.
B-ớc này đòi hỏi chúng ta biết huy động các kiến thức đã biết để nhận xét, so
sánh, bác bỏ, từ đó mới có thể tiếp cận tới lời giải của bài toán.
Đối với những bài toán không có angôrit giải, chúng ta sẽ phải tiến hành
xây dựng ch-ơng trình giải theo ph-ơng pháp sau:
a. Ph-ơng pháp đi xuôi:
Xuất phát từ các giả thiết của bài toán đ-ợc lấy làm tiền đề. Bằng suy luận
hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic của các tiền đề đó. Tiếp tục chọn lọc

trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm tiền đề mới.
Lại bằng suy luận hợp lôgic chúng ta tìm ra các hệ quả lôgic mới gần gũi hơn với
kết luận.... Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra đ-ợc hệ quả lôgic trùng với
kết luận của bài toán. Khi ấy ta tìm đ-ợc lời giải của bài toán.
Ph-ơng pháp này đ-ợc mô tả theo sơ đồ sau:
A
C

B
D

X (trong đó A, C là các giả thiết còn X là kết luận).

b. Ph-ơng pháp đi ng-ợc:
Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán. Bằng suy luận hợp lôgic
chúng ta đi ng-ợc lên để tìm các tiền đề lôgic của kết luận này.
Tiếp tục chúng ta chọn lọc trong đó để lấy ra tiền đề gần gũi với giả thiết
của bài toán để làm kết luận mới từ đó rút ra các tiền đề lôgíc mới của các kết
luận mới này ... Quá trình ấy lại đ-ợc tiếp diễn ta tìm đ-ợc các tiền đề lôgic trùng
với giả thiết của bài toán, ta có đ-ợc lời giải của bài toán.
Ph-ơng pháp này đ-ợc mô tả theo sơ đồ sau:
X

C
D

A
B

(trong đó A, B là giả thiết còn X là kết luận)

14


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Chú ý: Thông th-ờng trong nhiều tr-ờng hợp để tìm đ-ợc lời giải của bài
toán ta th-ờng kết hợp cả 2 ph-ơng pháp đi xuôi và đi ng-ợc.
Ví dụ: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:
Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bể không chứa nước sau 12 giờ đầy bể.
Biết rằng l-ợng n-ớc mỗi giờ vòi 1 chảy vào bể bằng 1,5 lần l-ợng n-ớc vòi 2
chảy vào bể. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể?
Hd:
+ Tóm tắt đề toán:
Bài toán cho biết gì? ( v1 = 1, 5

v2 và v1 + v2 =

1
)
12

Bài toán yêu cầu tìm gì?
+ Nếu hai vòi n-ớc chảy trong 12 giờ sẽ đầy bể thì nó chảy một mình
trong bao lâu sẽ đầy bể?
+ Để tính mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu sẽ đầy bể thực chất ở đây
ta phải đi tính cái gì?
+ Để tính vận tốc của từng vòi ta đã biết một mối quan hệ của hai vận tốc,

còn có thể tìm một mối quan hệ khác của hai vận tốc đó?
+ Đến đây ta đ-a bài toán về dạng toán quen thuộc nào?
+ Hãy trình bày lời giải bài toán
c. Ph-ơng pháp sử dụng các phép suy luận qui nạp
Trong toán học để đi tới lời giải của bài toán thì có rất nhiều ph-ơng pháp.
Tuy nhiên không phải ph-ơng pháp nào cũng có thể đi tới lời giải của bài toán.
Có những bài toán mà ta đã sử dụng nhiều ph-ơng pháp: Ph-ơng pháp đi
xuôi, ph-ơng pháp đi ng-ợc, thậm chí kết hợp cả hai ph-ơng pháp đó mà vẫn
ch-a tìm đ-ợc lời giải của bài toán đó. Lúc này ta cần chuyển h-ớng suy nghĩ
theo một h-ớng khác, tạm gọi là ph-ơng pháp sử dụng các phép suy luận qui nạp,
nghĩa là: Suy nghĩ đến bài toán liên quan, có tính chất gần giống với bài toán ta
cần giải. Có thể là bài toán con, bài toán t-ơng tự, bài toán đặc biệt, đôi khi là bài
toán khái quát.

15


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Bằng cách phân tích sử dụng lời giải của các bài toán có liên quan với bài
toán đã cho, chúng ta có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra lời giải của bài toán đã
cho.
Theo G.POLIA chúng ta th-ờng phải đặt ra các câu hỏi sau: " Anh có biết
một bài toán nào gần giống bài toán của anh không?"; " Đây là một bài toán gần
giống với bài toán của anh đã giải đ-ợc rồi. Anh có thể dùng đ-ợc nó làm gì
không?"; " Nếu anh không giải đ-ợc bài toán đã cho, thì tr-ớc hết hãy giải bài
toán gần giống với nó
B-ớc 3: Thực hiện ch-ơng trình giải.

Đây là quá trình tổng hợp lại của b-ớc xây dựng ch-ơng trình giải, ta dùng
các phép suy luận hợp lôgic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh đề toán
học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán.
Trong b-ớc thực hiện ch-ơng trình giải một bài toán cần chú ý phân biệt
sự khác nhau giữa những điều đã thấy đ-ợc và những điều suy ra đ-ợc - chính là
điều chứng minh đ-ợc.
B-ớc 4: Nhận xét lời giải và khai thác bài toán.
Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm đ-ợc
của bài toán.
Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán.
Nghiên cứu các bài toán có liên quan.

16


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Ch-ơng 2: lí thuyết tổ hợp
1. Xây dựng lí thuyết tổ hợp
Sự chuyển h-ớng xây dựng toán học hiện đại dựa trên cơ sở của lí
thuyết tổ hợp đ-ợc mở ra vào cuối thế kỉ XIX đã tác động mạnh mẽ đến sự
phát triển của toán học của thế kỉ XX. Một trong những ảnh h-ởng mạnh mẽ
nhất của lý thuyết tập hợp là lí thuyết tính toán với các tập hợp hữu hạn: tổ
hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán hình học các bài toán tính số hạng của
khai triển đa thức, một số bài toán sắp xếp hoặc tô màu trong lí thuyết đồ thị.
Những bài toán kể ở trên đ-ợc gọi chung là các bài toán tổ hợp. Một
định nghĩa thật chính xác nh- thế nào là các bài tổ hợp còn ch-a đ-ợc biết
đến, mặc dù đây là một bộ phận quan trọng của toán học có nội dung rất

phong phú với nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng nhtrong đời sống hàng ngày của chúng ta.
Số l-ợng phần tử của tập hợp
Lí thuyết tổ hợp đ-ợc nhà toán học ng-ời Đức tên là Can-tơr (1845
1918) xây dựng. Theo ông, một tập hợp đ-ợc hiểu là một tổng thể các phần tử
cùng tính chất chung nào đó.
Thông th-ờng ng-ời ta hay biểu diễn một tập hợp M nh- một phần mặt
phẳng đ-ợc giới hạn bởi một đ-ờng cong khép kín ( hình bên).
Phần mặt phẳng này đ-ợc tô màu hoặc đánh dấu để nhận
biết đ-ợc. Trong cuộc sống ta có rất nhiều ví dụ về tập

. .M
. .
.x .

hợp các em học sinh của một lớp học, tập hợp các số tự nhiên
N, tập hợp các tam giác,...
1.1. Quy tắc cộng
1.1.1. Ví dụ:
Trong một hộp chứa sáu quả cầu trắng đ-ợc đánh số từ 1 đến 6 và ba quả
cầu đen đ-ợc đánh số 7, 8, 9 (Hình 1). Có bao nhiêu cách chọn một trong các
quả cầu ấy?

17


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

7

1

2

8

9

3

4

5

6

Hình 1
Bài giải:
Vì các quả cầu trắng hoặc đen đều đ-ợc đánh số phân biệt nên mỗi lần lấy
ra một quả cầu bất kỳ là một lần chọn. Nếu chọn quả cầu trắng thì có 6 cách
chọn. Nếu chọn quả cầu đen thì có 3 cách chọn.
Do đó, số cách chọn một trong các quả cầu là:
6 + 3 = 9 (cách)
1.1.2. Quy tắc
Một công việc hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động
này có m thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kỳ
cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m + n cách thực hiện.
Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì :
n ( A B ) = n(A) + n(B)
Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động

1.2. Quy tắc nhân
1.2.1. Ví dụ:
Bạn Hoàng có hai cái áo màu khác nhau và ba kiểu quần khác nhau. Hỏi
Hoàng có bao nhiêu cách chọn quần áo?
Bài giải:
Hai cái áo đ-ợc ghi chữ a và b, ba quần đ-ợc đánh số 1, 2, 3

18


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth
a1
a2

a

a3

a1
a2
a3

b1
b1

b

b2

b3

b2
b3

Hình 2
Để chọn một bộ quần áo, ta phải thực hiện liên tiếp hành động:
Hành động 1- Chọn áo. Có hai cách chọn (chọn a hoặc chọn b)
Hành động 2 - Chọn quần. ứng với mỗi cách chọn áo có ba cách chọn
quần (chọn 1, hoặc 2, hoặc 3)
Kết quả ta có các bộ nh- sau: a1, a2, a3, b1, b2, b3 (Hình 2)
Vậy có số cách chọn một bộ quần áo là:

3 2

6 (cách)
Đáp số: 6 số.

1.2.2. Quy tắc
Một công việc đ-ợc hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m
cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện
hành động thứ hai thì có m n cách hoàn thành công việc.
Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
1.3. Hoán vị
1.3.1. Định nghĩa
Ví dụ 1:
Trong một trận bóng đá, sau hai hiệp phụ hai đội vẫn hòa nên phải thực
hiện đá luân l-u 11m. Một đội 5 cầu thủ để thực hiện đá năm quả 11m. Hãy nêu
ba cách sắp xếp đá phạt.

19


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Bài giải:
Để xác định, ta giả thiết tên của năm cầu thủ đ-ợc chọn là A, B, C, D, E.
Để tổ chức đá luân l-u, huấn luyện viên cần phân công ng-ời đá thứ nhất, thứ
hai,... và kết quả phân công là một danh sách có thứ tự gồm tên của năm cầu thủ.
Chẳng hạn, nếu viết DEACB nghĩa là D đá quả thứ nhất, E đá quả thứ hai,... và B
đá quả cuối cùng.
Có thể nêu ba cách tổ chức đá luân l-u nh- sau:
Cách 1: ABCDE
Cách 2: ACBDE
Cách 3: CABED
Mỗi kết quả của việc sắp thứ tự tên của năm cầu thủ đã chọn đ-ợc gọi là
một hoán vị tên của năm cầu thủ.
Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n 1)
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đ-ợc gọi là một
hoán vị của n phần tử đó.
1.3.2. Số các hoán vị
Ví dụ 2:
Có bao nhiêu cách sắp xếp bốn bạn An, Bình, Chi, Dung ngồi một bàn học
gồm bốn chỗ?
Bài giải:
Để đơn giản, ta viết A, B, C, D thay cho tên bốn bạn và viết ABCD để mô
tả cách xếp chỗ nh- hình 3

A

B

C

D

Hình 3
a. Cách 1: Liệt kê.
Các cách sắp xếp chỗ ngồi đ-ợc liệt kê nh- sau:

20


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB,
BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA,
CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA,
DACB, DABC, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA.
Nh- vậy có 24 cách chọn cho ta một hoán vị tên của bốn bạn và ng-ợc lại.
b. Cách thứ hai: Dùng quy tắc nhân.
- Có bốn cách chọn một trong bốn bạn để xếp vào chỗ thứ nhất.
- Sau khi đã chọn một bạn, còn ba bạn nữa. Có ba cách chọn một bạn xếp
vào chỗ thứ hai.
- Sau khi đã chọn hai bạn rồi còn hai bạn nữa. Có hai cách chọn một bạn
ngồi vào chỗ thứ ba.

- Có một cách chọn vào chỗ thứ t-.
Theo quy tắc nhân, ta có số cách sắp xếp chỗ ngồi là:

1 2 3 4

24 (cách).

Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử. Ta có định lí sau đây:
Định lí:

pn

n (n 1) ... 2 1.

Chứng minh: Để lập đ-ợc mọi hoán vị của n phần tử, ta tiến hành nh- sau:
Có n cách chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất.
Sau khi chọn một phần tử cho vị trí thứ nhất, có n - 1 cách chọn một phần
tử cho vị trí thứ hai.
...
Sau khi đã chọn n - 2 phần tử cho n - 2 vị trí đầu tiên.
Có hai cách chọn một trong hai phần tử còn lại để xếp vào vị trí thứ n - 1.
Phần tử còn lại sau cùng đ-ợc xếp vào vào vị trí thứ n.
Nh- vậy, theo qui tắc nhân, có n (n 1) ... 2 1 kết quả sắp xếp thứ tự
n phần tử đã cho.

21


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Vậy:
Pn

n (n 1) ... 2 1.

Chú ý:
Kí hiệu n (n 1) ... 2 1 là n! ( đọc là n giai thừa), ta có:
Pn

n!

1.4. Chỉnh hợp
1.4.1. Định nghĩa
Ví dụ: Một nhóm học tập có năm bạn A, B, C, D, E. Hãy kể ra vài cách
phân công ba bạn làm trực nhật: một bạn quét nhà, một bạn lau bảng và một bạn
sắp bàn ghế.
Bài giải:
Ta có bảng phân công sau đây
Quét nhà

Lau bảng

Sắp bàn ghế

A

C

D

A

D

C

C

B

E

...

....

...

Mỗi cách phân công nêu trong bảng trên cho ta một chỉnh hợp chập 3 của 5
Định nghĩa
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1)
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và
sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đã
cho.
1.4.2. Số các chỉnh hợp
Với ví dụ trên ta sử dụng qui tắc nhân. Để tạo nên mọi cách phân công ta
tiến hành nh- sau:

22


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

- Chọn một bạn để giao việc quét nhà. Có 5 cách
- Khi đã chọn một bạn quét nhà rồi, chọn tiếp một bạn từ bốn bạn còn lại
để giao việc lau bảng. Có 4 cách
- Khi đã chọn một bạn quét nhà và lau bảng rồi, chọn một bạn từ ba bạn
còn lại để giao việc sắp bàn ghế. Có 3 cách
Theo quy tắc nhân, số cách phân công trực nhật là:

5 4 3 2 1 60 (cách)
Nói cách khác, ta có 60 là chỉnh hợp chập 3 của 5 bạn.
Định lí:
Kí hiệu Ank là chỉnh hợp chập k của n phần tử

Ank

n (n 1) ... (n k 1).

Chứng minh:
Để tạo nên mọi chỉnh hợp chập k của n phần tử, ta tiến hành nh- sau:
Chọn một trong n phần tử đã cho xếp vào vị trí thứ nhất. Có n cách
Khi đã có phần tử thứ nhất, chọn tiếp một trong n-1 phần tử còn lại xếp
vào vị trí thứ hai. Có n - 1 cách.
...
Sau khi đã chọn k - 1 phần tử, chọn một trong n - (k - 1) phần tử còn lại

xếp vào vị trí thứ k. Có n - k + 1 cách.
Từ đó theo quy tắc nhân, ta đ-ợc điều phải chứng minh.
Chú ý:
a) Với quy -ớc 0! =1, ta có:
A kn

n!
,
(n k )!

1

k

n

b) Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n
phần tử đó. Vì vậy:

Pn

Ann

1.5. Tổ hợp
1.5.1. Định nghĩa

23


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

Ví dụ:
Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D sao cho không có ba
điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể tạo nên bao nhiêu tam giác mà đỉnh thuộc tập
bốn điểm đã cho?
Bài giải:
Mỗi tam giác ứng với một tập con gồm ba điểm từ tập bốn điểm đã
cho.Vậy ta có bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD.
Định nghĩa:
Giả sử tập A gồm n phần tử (n 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của A
đ-ợc một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
Chú ý: Số k trong định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện 1 k n. Tuy vậy,
tập hợp không có phần tử nào là tập rỗng nên ta quy -ớc gọi tập rỗng là tổ hợp
chập 0 của n phần tử.
1.5.2. Số các tổ hợp
Định lý:
Kí hiệu Ckn là só các tổ hợp chập k của n phần tử (0 k n)
Cnk

n!
k !(n k )!

Chứng minh:
Với k = 0, công thức hiển nhiên đúng
Với k 1, ta thấy một chỉnh hợp k của n phần tử đ-ợc thành lập nh- sau:
Chọn một tập con k phần tử của tập hợp gồm n phần tử . Có C kn cách chọn
Sắp thứ tự k phần tử chọn đ-ợc. Có k! cách.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là:

A kn = C kn . k!

24


Khóa luận tốt nghiệp

Nguyễn Thị Loan K32B gdth

2. Các bài toán ở Tiểu học
Lớp 2:
1. Ôn tập về phép cộng và phép trừ (tiếp theo - Bài 5 - Trang 84)
Khoanh vào chữ đặt tr-ớc kết quả đúng
Số hình tứ giác hình vẽ là:
A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

2. Luyện tập - Bài 3 - Trang 104
Ghi tên các đ-ờng gấp khúc có trong hình vẽ sau, biết:
B
C

A

D

a) Đ-ờng gấp khúc đó gồm ba đoạn thẳng.
b) Đ-ờng gấp khúc đó gồm hai đoạn thẳng.
3. Luyện tập - Bài 3 - Trang 159

Số hình tứ giác có trong hình vẽ là:
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

25