MỨC NĂNG LƯỢNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HYDRO TRONG ĐIỆN TRƯỜNG THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
  

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Đề tài

GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA
SVTH: NGUYỄN ĐỨC THANH TUYỀN
NIÊN KHÓA: 2008 - 2009

Thành phố Hồ Chí Minh
Tháng 4 - 2009


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận văn này, em đã nhận được sự giúp đỡ và động viên
nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến:
- Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ
Nhiệm khoa Vật Lý đã tạo điều kiện cho em được học tập và giờ đây được hoàn thành
khóa học này.
- Tất cả quý thầy cô giáo, những người đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý
báu trong suốt 4 năm học, đó là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn.
- TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – người đã hết lòng
hướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực

hiện và hoàn tất luận văn.
- TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn.
- Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho
em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài.
- Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) đã nhiệt tình giúp đỡ và
đóng góp ý kiến cho đề tài.
Do đề tài được thực hiện trong thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức của
bản thân còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Kính mong
nhận được sự góp ý, phê bình, xây dựng của quý thầy cô và các bạn.
Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố
Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc
sức khỏe và thành công!

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

MỞ ĐẦU
1. Tình hình chung về nghiên cứu đề tài
Phương pháp toán tử (Operator Method) với các tính toán thuần đại số xây dựng
cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu sôi động
trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư
Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng và đã ứng dụng thành công cho một
loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán
lý thuyết trường. Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro,
Geryva Silverman, Wistchel và rất nhiều tác giả khác. Nhóm nghiên cứu của TSKH. Lê

Văn Hoàng cũng đã có nhiều đề tài trình bày về phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp
của anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho bài
toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ của chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương
pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều với
cường độ bất kì ” (2008). Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang đựợc giáo viên hướng
dẫn luận văn này đi vào nghiên cứu và phát triển cho các bài toán: hiệu ứng Stark, hiệu
ứng Zeeman, bài toán hệ nhiều hạt…
2. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải
chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt
trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển
động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự
nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các
phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng
đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực
tương ứng.
Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng
tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống
kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và
hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không
gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu…

Đặc biệt khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, ta chỉ thu được lời giải chính
xác khi điện trường yếu (cường độ điện trường Ee có giá trị không lớn lắm
5 V 
( Ee  10 
 ), hoặc điện trường rất lớn (bài toán này có thể giải bằng phương pháp
 cm 

nhiễu loạn), còn đối với điện trường trung bình thì bài toán vẫn chưa có lời giải.
Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và năng lượng
của dao động tử điều hòa, bài toán này còn có thể được giải rất gọn bằng cách đưa vào các

toán tử aˆ và aˆ liên hợp với nhau (hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy).

Như vậy, dựa trên hệ cơ sở trực giao đã biết của dao động tử điều hòa, có thể mở
ra phương pháp giải bài toán cho nguyên tử hydro bằng cách biểu diễn thông qua các toán
tử sinh hủy. Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có thể biểu
diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng
thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các
giao hoán tử của các toán tử sinh hủy.
Khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, với phương pháp toán tử và áp dụng
thêm phương pháp nhiễu loạn, ta có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của điện
trường: từ điện trường yếu cho đến điện trường mạnh kể cả trong điện trường trung bình
mà các phương pháp trước chưa giải quyết được.
Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã
chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:
 Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải
tính tích phân của các hàm đặc biệt.
 Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì.
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

 Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền
thay đổi tham số trường ngoài.
Phương pháp này có thể được phát triển để giải quyết nhiều bài toán khác trong cơ học
lượng tử. Tuy vậy trong khuôn khổ cho phép của một luận văn tốt nghiệp và giới hạn về
mặt thời gian nên chúng tôi chỉ xin được trình bày phương pháp toán tử ở mức độ bắt đầu
tìm hiểu và chỉ xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường
theo phương pháp này.
3. Tóm tắt đề tài luận văn
a. Mục tiêu của đề tài
Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới
với mục tiêu cụ thể là:
 Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu
điểm…Ứng dụng của phương pháp này trong phương trình Schrodinger.
 Kiểm tra độ tin cậy của phương pháp bằng cách giải lại bài toán nguyên tử
hydro để xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro và so sánh
với lời giải chính xác đã có. Việc tính toán lại bài toán này ngoài tác dụng minh
họa cho phương pháp còn có thể cho thấy khả năng ứng dụng và phát triển
mạnh mẽ của phương pháp.
 Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo
phương pháp toán tử.
b. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp toán tử hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy. Các
toán tử aˆ và aˆ  tác động lên các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử aˆ giảm số phônôn 1
đơn vị hay toán tử hủy phônôn. Toán tử aˆ  tăng số phônôn 1 đơn vị hay toán tử sinh

phônôn. Ngoài ra, ta còn định nghĩa toán tử nˆ  aˆ  aˆ gọi là toán tử trung hòa. Toán tử nˆ
tác dụng lên hàm  qui về việc nhân hàm này với n. Nói một cách khác, toán tử số

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

phônôn nˆ trong biểu diễn các số lấp đầy là chéo và các trị riêng của nó bằng số phônôn
có trong trạng thái đã cho.

c. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu – kết luận, luận văn “Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử

hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử”gồm có ba chương:
Chương 1: Đại cương về bài toán nguyên tử hydro.
Trình bày các kết quả thu được của bài toán nguyên tử hydro cổ điển, chủ yếu là
xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro. Giới thiệu về bài toán nguyên tử
hydro dưới tác dụng của điện trường. Chương này sẽ đóng vai trò cơ sở cho việc so sánh
kết quả của các chương tiếp theo và kiểm tra độ tin cậy của phương pháp toán tử.

Chương 2: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro.
Trong chương này sẽ bày cơ sở của phương pháp toán tử, giới thiệu sơ lược về
phương pháp. Giải lại bài toán nguyên tử hydro theo phương pháp toán tử, tức là biểu
diễn Hamiltonian của nguyên tử hydro theo các toán tử, xác định mức năng lượng cơ bản
của nguyên tử hydro có tính đến bổ chính bậc hai, bậc ba theo kiểu nhiễu loạn. Chương 2
tập trung vào việc kiểm tra lại mức độ chính xác của phương pháp toán tử dựa trên kết

quả đã có theo cách tính toán cổ điển trong chương 1.

Chương 3: Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hydro trong điện
trường.
Chương 3 là các kết quả chính của luận văn. Trong chương này sẽ xác định lại mức
năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi có tác dụng của điện trường. Khi cường độ
điện trường nhỏ, có thể coi tương tác giữa điện trường và nguyên tử hydro là nhiễu loạn,
bổ sung thêm phần nhiễu loạn này vào trong Hamiltonian của nguyên tử hydro và tìm lại
các kết quả của chương 2 với Hamiltonian mới trong điện trường. So sánh kết quả tính
toán được theo phương pháp toán tử với kết quả tính toán cổ điển.
Vẽ được đồ thị so sánh kết quả tính toán của hai phương pháp.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Để đơn giản trong việc tính toán nên các công thức trong luận văn sẽ được viết
trong hệ đơn vị không thứ nguyên hay còn gọi là hệ đơn vị nguyên tử với
m  e    1.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Chương 1

ĐẠI CƯƠNG VỀ BÀI TOÁN NGUYÊN TỬ HYDRO
Trong chương này sẽ trình bày lại các kết quả tính toán được của bài toán
nguyên tử hydro theo phương pháp cổ điển để làm cơ sở cho việc so sánh kết
quả của các tính toán sau này (mức năng lượng cơ bản). Ngoài ra, còn trình
bày về sự thay đổi của mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro khi được
đặt trong điện trường và nguyên nhân gây ra sự thay đổi đó.

1.1 Bài toán hạt trong trường xuyên tâm
Chuyển động của electron trong trường lực Coulomb của hạt nhân nguyên tử là
một bài toán quan trọng trong cơ học lượng tử. Chúng ta chủ yếu nghiên cứu chuyển
động của hạt trong trường xuyên tâm của hạt nhân.
Thế năng của một hạt có khối lượng m0 chuyển động trong một trường lực đối
xứng xuyên tâm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r từ hạt đến tâm lực:
U U r 

(1.1.1)

Do đó Hamlitonian của hạt có dạng:
2 2
ˆ
  U r
H 
2 m0

(1.1.2)

Trong nguyên tử hydro, thế năng tương tác của electron và hạt nhân chỉ phụ thuộc
vào khoảng cách r1  r2 giữa chúng. Như đã biết từ trong cơ học giải tích, bài toán
chuyển động của hai hạt với định luật tương tác U  r1  r2



rút về bài toán chuyển

động của một hạt có khối lượng rút gọn  trong trường lực U  r  . Trong trường hợp
nguyên tử hydro, ta có:



SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

me . m p
me  m p


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

Vì m p

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

me nên   me . Nếu bỏ qua kích thước của proton, nguyên tử hydrro sẽ

được coi như gồm hạt e chuyển động trong trường Coulomb gây bởi một tâm đứng
yên. Một trường như vậy là trường hợp riêng đối xứng xuyên tâm, trong đó thế năng

chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến tâm lực. Chúng ta khảo sát chuyển động của e
trong trường lực đối xứng xuyên tâm dưới dạng tổng quát nhất, sau đó chuyển sang
trường hợp trường Coulomb.
Do tính đối xứng xuyên tâm, để tiện lợi ta giải bài toán trong tọa độ cầu. Phương
trình Schrodinger cho các trạng thái dừng của hạt trong trường hợp này có dạng:

 

2 me
 E  U  r    0
2 

(1.1.3)

Thay toán tử Laplace trong tọa độ cầu vào (1.1.3), ta được:

2 me
1    2   1
 E  U  r    0

r





,


r  r 2

r 2 r 
2 

(1.1.4)

Trong tọa độ cầu r , , các toán tử hình chiếu và bình phương momen xung lượng có
dang:

lˆz   i 


(1.1.5)



 
 cot g  cos 
lˆx  i   sin 


 


(1.1.6)



 
 cot g  sin 
lˆy   i   cos 



 


(1.1.7)

Lˆ2    22 ,

(1.1.8)

Dựa vào (1.1.8) ta có:
1   2 
r 
r
r 2 r 

2
2m
 Lˆ

  2 e  E  U  r    0

2 2

  r

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

(1.1.9)

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Chúng ta biết rằng, đối với chuyển động trong trường đối xứng xuyên tâm, ngoài
định luật bảo toàn năng lượng, còn có hai định luật bảo toàn nữa, đó là định luật bảo
toàn momen xung lượng toàn phần và định luật bảo toàn hình chiếu của momen lên
trục z định hướng tùy ý trong không gian.
Do đó chúng ta sẽ khảo sát các trạng thái với giá trị đã cho của ba đại lượng này.
Một cách tương ứng, ta viết nghiệm của phương trình (1.1.9) dưới dạng:

 n l m  r , ,   Rn  r  Yl m  , 

(1.1.10)

Ta nhớ lại rằng, năng lượng hạt được đặc trưng bằng số lượng tử chính n, còn các
trị riêng của các toán tử Lˆ2 và lˆz được đặc trưng bằng các số lượng tử quỹ đạo l và số
lượng tử từ m. Thay (1.1.10) vào (1.1.9) và chú ý rằng:
Lˆ2 Ylm   2 l  l  1 Ylm

Ta đi tới phương trình sau cho phần xuyên tâm Rnl  r  của hàm sóng  n l m  r , ,   :
1 d  2 dR  2 me 
 2 l  l  1 
 Rr   0
 E U r  
r


2 me r 2 
r 2 dr  dr   2 

(1.1.11)

1.2 Chuyển động trong trường Coulomb. Năng lượng của nguyên tử hydro
Chuyển động của một hạt electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử
là một ví dụ quan trọng nhất của chuyển động trong trường xuyên tâm. Có thể coi
nguyên tử hydro là trường hợp riêng của bài toán thế xuyên tâm, gồm hạt nhân và một
eletron, hoặc iôn của một nguyên tử bất kì trong đó chỉ còn một electron, hoặc cũng có
thể là nguyên tử hydro mêzô gồm có một prôtôn và mêzôn tích điện âm.
Thế năng của electron chuyển động trong trường hạt nhân có điện tích Ze ( Z: số
prôtôn trong hạt nhân, e là điện tích nguyên tố) có dạng:
Z e2
U 
r

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

(1.2.1)


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Với Z = 1, biểu thức (1.2.1) là thế năng (hệ đơn vị Gau  ) của electron trong
nguyên tử hydro, với Z > 1, biểu thức đó là thế năng của electron trong iôn đồng dạng
hydro. Dễ dàng thấy rằng hàm (1.2.1) thỏa mãn các điều kiện :

lim r 2 U  r   0

(1.2.2)

lim U  r   0

(1.2.3)

r 0

r 

Trong phương trình Schrodinger (1.1.9) cho U  r   0 , ta có:
  2 1   2 
r
2m r2  r   r


Lˆ2

  E

2
m
r
2


(1.2.4)

Thay (1.2.4) vào (1.1.11), ta được:
r2

d 2R
dR 2 me r 2

2
r

dr
dr 2
2


Z e2 
E


 R  l  l  1 R  0
r



(1.2.5)

( me : khối lượng electron). Để đơn giản cách viết các hệ số, chúng ta dùng các đơn vị
nguyên tử cho các đại lượng vật lý. Trong các đơn vị nguyên tử, người ta đặt
me  1, e  1,   1

Trong phương trình (1.2.5) , ta thực hiện phép tính thay thế sau:

2
r  ro  

me e 2
E  Eo .  

me e 4
2

(1.2.6)



Từ (1.2.6) ta có :

  
r  

 r 
2
2
2 
2 
r

 2
r 2

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

(1.2.7)


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Thực hiện các phép biến đổi như trong [2- trang 241] ta có công thức truy toán cho
các hệ số ak
ak 1 

2   k  l  1  Z 

 k  l  2  k  l  1  l  l  1

ak

(1.2.8)

Với các giá trị k lớn, có thể bỏ qua Z ở tử số và l  l  1 ở mẫu số trong công thức
(1.2.8). Khi đó hệ thức truy toán có dạng:

ak 1 

2
a
kl2 k

(1.2.9)

Từ hệ thức truy toán trên, kết hợp với các phép tính toán và ngắt chuỗi, ta thu được
các giá trị năng lượng để các hàm  thỏa mãn các điều kiện chuẩn:
Z2
n   2
2n

(1.2.10)

Trong đó n là một số nguyên, xác định bởi hệ thức:
n  nr  l  1

(1.2.11)

và được gọi là số lượng tử chính. Số nr được gọi là số lượng tử xuyên tâm. Vì nr không
thể âm, nên điều kiện sau phải được thực hiện:
n l 1

Từ đó suy ra rằng, với n đã cho số lượng tử quỹ đạo l có thể có giá trị khả dĩ cực
đại bằng n  1 nghĩa là:
l  n1

(1.2.12)

Công thức (1.2.10) xác định năng lượng trong hệ đơn vị nguyên tử. Để biểu diễn
năng lượng trong hệ CGS, ta cần nhân  n với:
me e 4
E0  2


SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

(1.2.13)


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

và thu được:

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

En  

me e 4 Z 2
2 2 n 2

(1.2.14)

En  

me Z 2 e 4 1
.
32 2 o2  2 n 2

(1.2.15)

hoặc viết trong hệ SI:

trong hệ đơn vị SI này, thế năng của electron trong trường hạt nhân nguyên tử có dạng:

Ze 2
4 o r

(1.2.16)

Nm 2
 9.10
4 o
C2

(1.2.17)

U

trong đó:

1

9

Xét đối với nguyên tử hydro (Z = 1), ta có năng lượng của trạng thái cơ bản xác
định thế năng iôn hóa nguyên tử hydro:
Trong hệ đơn vị CGS, dựa vào biểu thức (1.2.14) ta có:
Eo  

me e 4
 13,6eV
2 2

(1.2.18)

Trong hệ đơn vị nguyên tử, dựa vào biểu thức (1.2.10) ta có:
Eo  

1
 0,5
2

(1.2.19)

 Nhận xét về các trị riêng
Công thức (1.2.14) cho phép xác định năng lượng của electron trong nguyên tử
hydro. Theo (1.2.14) thì năng lượng gián đoạn và tỉ lệ nghịch với bình phương các số
nguyên. Tính gián đoạn này chính là hệ quả của điều kiện hữu hạn đối với hàm sóng ở
vô cực.
1. Đối với thế Coulomb, Z hữu hạn, ta có một số vô hạn các trạng thái liên
kết, bắt đầu ứng với năng lượng

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

me Z 2 e 4
và kết thúc ứng với năng lượng không.
2 2


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

2. Ứng với một giá trị đã cho của n thì l có thể có những giá trị l = 0, 1, 2,
…, n-1. Như vậy có tất cả n giá trị của l và l xác định độ lớn của momen xung
lượng.
L  l  l  1 

3. Ba số nguyên n, l, m duy nhất xác định một hàm riêng

 nlm  r , ,   Rnl  r  Ylm  ,   gọi là ba số lượng tử, m gọi là số lượng tử từ.
Ứng với một giá trị đã cho của l thì m có thể nhận các giá trị
m   l ,  l  1,..., 1, 0, 1,..., l  1, l . Tất cả có  2l  1 giá trị của m. Lượng tử số

m xác định độ lớn hình chiếu momen xung lượng trên trục z:
Lz  m 

Như vậy, ứng với một mức năng lượng En có nhiều trạng thái khác nhau  nlm ,
ta nói có sự suy biến. Đối với một giá trị n xác định, số trạng thái suy biến có cùng
giá trị năng lượng En là:
n 1

  2l  1  n 2

(1.2.20)

l 0

Nếu tính cả spin có hai giá trị thì tổng số trạng thái suy biến trên bằng 2n 2

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Như vậy, ở trạng thái cơ bản, năng lượng không bị suy biến, còn ở mức kích
thích đầu tiên, năng lượng suy biến bậc 4.
4. Phổ năng lượng của nguyên tử hydro (Z = 1, me là khối lượng electron) xác
định bởi phương trình (1.2.14) được chỉ ra trên hình vẽ.
Khi so sánh các tính toán năng lượng từ (1.2.14) với các số liệu thực nghiệm, ta
thấy có một vài điểm khác nhau vì ta đã bỏ qua các tương tác khác trong nguyên tử
hydro. Ứng với n = 1, năng lượng có giá trị thấp nhất: Eo  13,6eV , n càng tăng
thì các mức En liên tiếp càng gần nhau hơn. Khi n   thì En  0 .
Giá trị tuyệt đối của Eo cho biết năng lượng ion hóa nguyên tử hydro. Năng
lượng này là công cần thiết để đưa electron từ trạng thái liên kết có năng lượng
thấp nhất ra ngoài nguyên tử trở thành electron tự do.

1.3 Nguyên tử Hidro trong điện trường
Khi không có điện trường ngoài tác dụng lên nguyên tử, các trạng thái dừng njm
tương ứng với một năng lượng Enj (sự suy biến theo số lượng tử m).

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa



Khi có điện trường đều tác dụng, nếu kí hiệu cường độ điện trường là E và chiều
e

của cường độ điện trường được chọn là dọc theo chiều dương của trục Oz . Tương tác của
điện trường Ee với điện tử tương đương với tương tác của một lưỡng cực điện với điện
trường. Điều này dẫn đến trong toán tử Hamiltonian xuất hiện số hạng nhiễu loạn:
 
 
Vˆ  - pˆ e Ee  e rˆ Ee
(1.3.1)





Trong đó p  er là toán tử mômen lưỡng cực điện của electron.
e

Khi đó toán tử Hamiltonian cho nguyên tử hydro có dạng:
pˆ 2 Ze 2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ

 ezE
H  H V =
e
2m

r
2 2

0

(1.3.2)

Như vậy khi có điện trường ngoài tác dụng:
-

Trước hết sự đối xứng của hệ thay đổi: Sự đối xứng xuyên tâm được thay thế
bằng sự đối xứng trục.

-

Thứ hai là, tính chất của thế năng thay đổi khi Z   . Do thế năng giảm khi
Z   (e<0), nên sẽ xuất hiện xác suất của electron truyền qua hàng rào thế,

nghĩa là sự ion hóa tự phát của nguyên tử dưới ảnh hưởng của điện trường
ngoài có thể được thực hiện. Khả năng của electron truyền qua hàng rào thế
xuất hiện trong sự mở rộng của các mức. Sự mở rộng này càng lớn nếu n càng
lớn. Với các n đủ lớn (các sự kích thích mạnh của nguyên tử), xác suất iôn hóa
gần bằng 1. Đối với các mức kích thích đầu tiên trong các trường không mạnh
lắm, hiệu ứng này rất nhỏ và trong phép gần đúng bậc nhất, hiệu ứng đó có thể
bỏ qua.
Toán tử (1.3.2) bất biến đối với phép quay một góc tùy ý quanh phương của trường
và phép phản chiếu trong một mặt phẳng bất kì đi qua trục đó. Trong một phép phản
chiếu như thế, dấu của hình chiếu momen xung lượng thay đổi: m   m . Do đó trong
hệ có toán tử Hamiltonian (1.3.2) các mức năng lượng của các trạng thái có m và –m sẽ
trùng nhau, nghĩa là có suy biến bậc hai. Chúng ta chú ý rằng, toán tử Hamiltonian của

nguyên tử ở trong từ trường bất biến đối với các phép quay quanh phương của trường và
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

không bất biến đối với các phép phản chiếu trong các mặt phẳng đi qua phương của
trường. Do đó, đối với nguyên tử ở trong từ trường, không có sự suy biến tương tự (m và
-m).
Chính những thay đổi này dẫn đến mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro
khi đặt trong điện trường sẽ có sự thay đổi.
Các toán tử định lượng về độ biến thiên của các mức năng lượng nguyên tử khi có
điện trường tác dụng có thể được tiến hành bằng phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, nếu
cường độ của trường đủ nhỏ, nghĩa là trong trường hợp độ biến thiên của các mức nhỏ so
với khoảng cách giữa các mức lân cận nhau của nguyên tử khi không có trường.
Trong phép gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn, số hiệu chính cho năng
lượng của hệ không nhiễu loạn được xác định bởi giá trị trung bình của toán tử nhiễu loạn
trong trạng thái đó. Độ biến thiên năng lượng trong trạng thái njm dưới ảnh hưởng của
nhiễu loạn (1.3.1) bằng:
E  Ee njm e njm

(1.3.3)

trong đó njm e njm là giá trị trung bình của toán tử momen lưỡng cực điện trong
trạng thái njm .
Do toán tử momen lưỡng cực đổi dấu trong phép nghịch đảo các tọa độ không
gian, nên giá trị trung bình của nó bằng không trong tất cả các trạng thái có tính chẵn lẻ

2

xác định. Thực vậy, nếu  a có tính chẵn lẻ xác định thì  a không thay đổi trong phép
nghịch đảo, do đó

 a

2

z d  0 , vì hàm dưới dấu tích phân đổi dấu trong phép nghịch

đảo. Các trạng thái không suy biến của các hệ lượng tử có tính chẵn lẻ xác định, do đó giá
trị trung bình của momen điện trong các trạng thái này bao giờ cũng bằng không. Các hệ
lượng tử ở trong trạng thái suy biến, nói chung, có thể có momen lưỡng cực trung bình
khác không, nếu trạng thái này không có tính chẵn lẻ xác định. Một thí dụ của trạng thái
như thế là trạng thái kích thích đầu tiên của nguyên tử hydro, tương ứng với trạng thái này
có hàm sóng dưới dạng tổ hợp tuyến tính như sau:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

   2 s1 2    2 p1 2
Trong trạng thái này, giá trị trung bình của toán tử momen lưỡng cực bằng

e   *  2 s1 2 e 2 p1 2 + liên hợp phức.

Momen lưỡng cực trung bình khác không có thể có trong cả các hệ lượng tử có
nhóm các trạng thái hầu như suy biến, nếu như một hệ như thế không có năng lượng hoàn
toàn xác định, do đó độ bất định của năng lượng lớn hơn khoảng cách giữa các mức có
tính chẵn lẻ khác nhau. Trường hợp riêng của các hệ như thế là một số phân tử, chẳng hạn
phân tử dị cực NaCl và một số phân tử khác…, các phân tử này có các mức quay sắp xếp
rất gần nhau với tính chẵn lẻ khác nhau. Do đó, các giá trị trung bình của các momen
lưỡng cực của những phân tử như thế khác không cả trong những điện trường yếu, vì
khoảng cách giữa các mức quay tương ứng nhỏ so với năng lượng của các phân tử ở trong
điện trường và năng lượng nhiệt.
Vì giới hạn của đề tài nên ta chỉ lưu ý xác định sự thay đổi của mức năng lượng cơ
bản khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường.
 Kết luận cuối chương
Như vậy trong chương này ta sẽ quan tâm đến hai vấn đề quan trọng:
-

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong hệ đơn vị nguyên tử là
0,5 . Trong chương 2, khi dùng phương pháp toán tử để tính mức năng lượng

cơ bản của nguyên tử hydro, ta sẽ dựa vào kết quả này làm cơ sở để so sánh.
-

Khi nguyên tử hydro được đặt trong điện trường ngoài thì trong Hamiltonian
xuất hiện thêm số hạng nhiễu, sự đối xứng xuyên tâm được thay thế bằng sự
đối xứng trục, dẫn đến mức năng lượng cơ bản sẽ có sự thay đổi.

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Chương 2
PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ CHO BÀI TOÁN
NGUYÊN TỬ HYDRO
Chương 2 giới thiệu cơ sở của phương pháp toán tử, cách tính toán, ưu
điểm của phương pháp. Biểu diễn lại phương trình Schrodinger cho nguyên tử
hydro thông qua các toán tử sinh aˆ  , hủy aˆ và trung hòa nˆ . Kiểm tra lại tính
chính xác của phương pháp toán tử bằng cách xác định lại mức năng lượng cơ
bản của nguyên tử hydro theo phương pháp này và so sánh với kết quả đã có
trong chương 1.

2.1 Cơ sở của phương pháp toán tử
2.1.1 Bài toán dao động tử điều hòa một chiều
Để khảo sát bài toán dao động tử điều hòa một chiều trong cơ học lượng tử ta cần
giải phương trình Schrodinger:
2
 2 d   x  m 2
x   x   E  x 


2m dx 2
2

Trong đó:

(2.1.1.1)

m là khối lượng của electron

 là tần số dao động
E là năng lượng của nguyên tử.
Trong đó hàm sóng   x  phải thỏa những điều kiện cần thiết. Tuy đây là phương
trình vi phân bậc hai đối với hệ số là hàm của biến x, nhưng lại có thể giải một cách chính
xác.
Trước hết, ta viết lại phương trình Schrodinger dưới dạng:
1  2
2
pˆ x   m x    x   E  x 

2m 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

(2.1.1.2)


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

Trong đó:
pˆ x2 1
ˆ
 m 2 x 2
Ho 
2m 2

(2.1.1.3)

Bài toán về dao động tử điều hòa có thể được giải rất gọn gàng bằng cách sử dụng
phương pháp toán tử.
Phương pháp toán tử dựa trên ý tưởng sau: Ta thấy năng lượng của các hệ lượng tử
bao gồm những mức rời rạc, gián đoạn và có thể đánh số được. Nếu tìm ra một cơ chế nào
đó cho phép thực hiện việc chuyển từ mức năng lượng thấp hơn lên mức năng lượng cao
hơn hoặc ngược lại thì từ một mức nào đó, ta hoàn toàn có thể xây dựng tất cả những mức
còn lại.
Để tìm cơ chế trên, ta đưa ra hai toán tử aˆ , aˆ  liên hợp với nhau (xem phụ lục
A2.4-iii), được xây dựng bằng các hệ thức:


1  m
i
xˆ 
pˆ x 
 aˆ 

2 
m 




1  m
i
 
 aˆ  2   xˆ  m pˆ x 





Ta đưa vào biến không thứ nguyên   x

(2.1.1.4)

m
, các biểu thức ở (2.1.1.4) được


viết lại đơn giản hơn:

1 
1 ˆ
 
  ipˆ 
 aˆ 
     
2
2



 aˆ   1       1 ˆ  ipˆ



 
2

2






Chú ý rằng:
pˆ x   i 

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


m 
  i
x
 x




(2.1.1.5)


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

ˆ  

pˆ    i

và

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa




Dễ dàng nghiệm thấy rằng các toán tử aˆ và aˆ  đều là không ecmitic. Chúng thỏa
mãn các hệ thức giao hoán

ˆ ˆ   aˆ  aˆ  1
 aˆ , aˆ   aa

(2.1.1.6)

Thật vậy:
 
 
1 
 aˆ , aˆ    aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ    




2 
  
  
1 



2  


 2 
   2 
 2    2 
 2 
 
 
2 

   

   




1
 



(2.1.1.7)

Trong (2.1.1.7) thay dấu “-” bằng dấu “+” ta thu được:
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   2 
aa

2
 2

(2.1.1.8)

Dễ dàng thấy rằng, toán tử thu được tỉ lệ với Hamiltonian của dao động tử biểu
diễn qua

:
pˆ 2 1
2  2 1
  2  2 
2


Hˆ  x  m 2 x 2  
m
x

  2 
2m 2
2 m x 2 2
2 
 

Từ đó suy ra rằng




ˆ ˆ   aˆ  aˆ
Hˆ 
aa
2



(2.1.1.9)

Dựa vào (2.1.1.6), ta dễ dàng thu được:

1

Hˆ    aˆ  aˆ  
2


SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

(2.1.1.10)


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

  1
ˆˆ  

Hˆ    aa
2


(2.1.1.11)

Ta nhận thấy nhờ đưa vào các toán tử aˆ , aˆ  , biểu thức của toán tử Hˆ trở nên rất đơn giản.
Đây là một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử.
Khi tác động lên hàm  của dao động tử điều hòa, toán tử aˆ biến hàm  n   n1
aˆ  n  n  n1

(2.1.1.12)

nghĩa là như thể giảm năng lượng của dao động tử một lượng  . Do đó aˆ được gọi là
toán tử hủy hay toán tử hấp thụ. (xem phụ lục A2.2 - ii)
Toán tử aˆ  biến hàm  n   n 1
aˆ   n  n  1  n1

(2.1.1.13)

nghĩa là như thể năng lượng của dao động tử tăng lên   . Do đó aˆ  được gọi là toán tử
sinh. (xem phụ lục A2.3 - iii)
Lần lượt tác động toán tử Hˆ lên hàm aˆ  n và aˆ  n , ta có
Hˆ  aˆ  n









 En    aˆ  n 

(2.1.1.14)

  aˆ  

(2.1.1.15)

Hˆ aˆ   n  E  
n



n

Hai phương trình (2.1.1.14), (2.1.1.15) cho thấy: Nếu  n là nghiệm của phương
trình Schrodinger ứng với năng lượng E n thì

 aˆ n 

và

 aˆ  


n

sẽ là nghiệm của

phương trình này ứng với năng lượng E n   và E n   . Nói khác đi, khi tác dụng
lên trạng thái  , toán tử aˆ  tăng năng lượng E của trạng thái này lên một lượng là  ,
còn toán tử aˆ làm giảm năng lượng của trạng thái này một lượng là  . Bởi vì lí do đó,
aˆ  được gọi là toán tử sinh, còn aˆ là toán tử hủy. Nếu hình dung phổ năng lượng như một

chiếc thang, thì ta cũng có thể gọi aˆ  toán tử lên thang, còn aˆ là toán tử xuống thang, vì

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

nhờ những toán tử này ta có thể chuyển lên (hoặc xuống) những nấc thang cao hơn (hoặc
thấp hơn) trong phổ năng lượng của dao động tử điều hòa.
Để tính phần tử chéo của toán tử Hˆ , ta xuất phát từ dạng (2.1.1.10)
1

H nn    n  aˆ  aˆ 
2


  aˆ  n aˆ n

1



  n    n aˆ  aˆ n     n  n
2

(2.1.1.16)


2

Ta có:

 aˆ   aˆ  

Suy ra


En  H nn   aˆ  n aˆ n 
2

Từ đó thấy rằng, năng lượng của dao động tử không thể nhỏ hơn

(2.1.1.17)

. Trạng thái
2

ứng với năng lượng nhỏ nhất Eo ứng với n = 0 và  o là hàm sóng tương ứng với trạng
thái này. Các trạng thái ứng với năng lượng nhỏ hơn không tồn tại. Do đó đối với tất cả
các k < 0, các hàm  k  0, đặc biệt  1  0 và (2.1.1.14) viết cho n = 0

a o  C  1
Từ đó ta tìm được Eo  H o 

(2.1.1.18)


. Khoảng cách giữa hai mức kế tiếp bằng  .
2

Do đó:

1

E n   n   
2


(2.1.1.19)

Dựa vào các biểu thức (2.1.1.12) và (2.1.1.13) ta có thể ứng dụng liên tiếp toán tử
aˆ  để thu được hàm sóng của trạng thái n từ hàm sóng của trạng thái không.

n 

n
1
aˆ   o
n!

 

(2.1.1.20)

Cũng bằng cách ứng dụng liên tiếp (2.1.1.12) và (2.1.1.13), ta có thể chứng minh
được các đẳng thức:
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền


Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

 aˆ aˆ  n   n  1 n
 
 aˆ aˆ  n  n n

(2.1.1.21)

(Xem cụ thể trong phụ lục A2.1 - ii)
ˆ ˆ  và aˆ  aˆ lần lượt bằng (n+1)
Như vậy, các trị riêng của các tích những toán tử aa

và n .Do đó các ma trận của những toán tử này trong biểu diễn riêng của chúng là những
ma trận chéo:

ˆˆ 
  n  1  m n ;  aˆ aˆ   n 
 aa
mn

mn




(2.1.1.22)

Số lượng tử n nói trên hoàn toàn đặc trưng cho trạng thái dừng của dao động tử.
Chỉ số n xác định năng lượng nên được gọi là số lượng tử năng lượng. Người ta qui ước
gọi kích thích một lượng tử là kích thích một phônôn (n = 1), kích thích 2 lượng tử là kích
thích 2 phônôn v.v…Nói cách khác, mỗi lượng tử kích thích dao động của dao động tử
được gọi là một phônôn. Khi đó số lượng tử n sẽ xác định số các phônôn trong một trạng
thái tương ứng. Tất cả các phônôn đều có năng lượng như nhau. Trạng thái dừng hoàn
toàn được xác định bằng việc nêu lên số các phônôn, do đó thay cho hàm  n    , người
ta có thể đặc trưng cho nó bằng một hàm, trong đó biến độc lập là các số phônôn. Ký hiệu
hàm đó bằng n . Tác dụng của các toán tử aˆ và aˆ  lên hàm này được xác định bằng các
đẳng thức:

aˆ n  n n  1 ; aˆ  n  n  1 n  1

(2.1.1.23)

Một phép biểu diễn như thế cho các hàm và các toán tử được gọi là phép biểu diễn
các số lượng tử hay phép biểu diễn các số lấp đầy. Các toán tử aˆ và aˆ  tác động lên
các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử aˆ giảm số phônôn một đơn vị và được gọi là toán tử
giảm số phônôn một đơn vị hay toán tử hủy phônôn.Toán tử aˆ  tăng số phônôn một đơn
vị và được gọi là toán tử sinh phônôn.
Ta định nghĩa toán tử nˆ  aˆ  aˆ
Ta có nˆ là toán tử Hermite vì:
SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường
theo phương pháp toán tử

GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa

nˆ   aˆ  a   aˆ   aˆ    aˆ  aˆ  nˆ


1
Vì Hˆ o  nˆ  do đó vectơ riêng của Hˆ o cũng là vectơ riêng của toán tử nˆ .
2

Do nˆ là toán tử Hermite nên nó chỉ có trị riêng thực và luôn chéo hóa được .
Do chuyển động bị hạn chế về cả hai phía, phổ của Hˆ là gián đoạn và không suy
biến. Từ đó suy ra, phổ của nˆ cũng gián đoạn và không suy biến.
Gọi vectơ riêng chuẩn hóa tương ứng với giá trị riêng  của Nˆ là  , ta có:

 Nˆ    aˆ  aˆ     aˆ 

2

0

(2.1.1.24)

Như vây, giá trị riêng của nˆ là không âm
Mặt khác, ta có toán tử Hamiltonian và các toán tử sinh hủy thỏa mãn các hệ thức
giao hoán:

 Hˆ , aˆ      aˆ ;  Hˆ , aˆ      aˆ 





(2.1.1.25)

Theo (2.1.1.20), aˆ  sẽ là hàm riêng của nˆ tương ứng với giá trị riêng   1





nˆ aˆ   aˆ Nˆ  aˆ      1 aˆ 

(2.1.1.26)

Do đó aˆ k n  aˆ ... aˆ  sẽ tương ứng với giá trị riêng   k
Bằng cách lần lượt tác dụng aˆ lên  với k đủ lớn, nếu:
aˆ k  aˆ ... aˆ   0

(2.1.1.27)

Nó sẽ là vectơ riêng tương ứng với trị riêng   k âm, điều này trái với tính không
âm của giá trị riêng của nˆ . Để điều này không thể xảy ra, điều kiện (2.1.1.20), sẽ không
xảy ra với mọi k. Gọi n là giá trị riêng nhỏ nhất của k, sao cho:
aˆ n  0 ; aˆ n1   0

Khi đó:

SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền

(2.1.1.28)