BÀI TOÁN CÂN BẰNG NASH TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
-------------------------

Phạm Duy Khánh

BÀI TOÁN CÂN BẰNG NASH TRONG
KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2008


1

Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Bích Huy, ng-ời thầy đã
nhiệt tình giảng dạy và h-ớng dẫn tôi hoàn thành bản luận văn.
Xin trân trọng biết ơn các thầy cô thuộc khoa Toán tr-ờng Đại học S- phạm và
Đại học Khoa học Tự nhiên Tp.HCM đã nhiệt tình giảng dạy các chuyên đề và giúp
tôi làm quen với công việc nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các đồng nghiệp thuộc bộ môn Toán khoa
KHCB tr-ờng Đại học S- phạm Kỹ thuật Tp.HCM đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi
tham gia khóa học này.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô phòng KHCN-SĐH tr-ờng Đại
học S- phạm Tp.HCM đã giúp đỡ tôi hoàn tất các thủ tục bảo vệ luận văn.
TP.Hồ Chí Minh, ngày 10 tháng 09 năm 2008
Ng-ời thực hiện

Phạm Duy Khánh


2

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mục lục

2

Mở đầu

3

Ch-ơng 1

Bài toán cân bằng Nash trong nửa dàn

6

1.1. Định lý Knaster-Kuratowski-Mazurkiewiez và định lý tách Ky Fan . .

6

1.2. Bổ đề Ky Fan và định lý điểm bất động Fan-Browder . . . . . . . . .

10

1.3. Định lý điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4. Định lý về sự tồn tại của điểm cân bằng Nash . . . . . . . . . . . . . .

16

Ch-ơng 2

Bài toán cân bằng Nash trong không gian có thứ
tự

19

2.1. Định lý điểm bất động của ánh xạ đơn trị . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2. Định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3. Định lý điểm bất động trong không gian tích . . . . . . . . . . . . . .

25

2.4. Bài toán cân bằng Nash trong không gian có thứ tự . . . . . . . . . . .

33

Kết luận

38

Tài liệu tham khảo

39


3

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ph-ơng trình toán tử trong không gian có thứ tự ra đời từ những năm
1950 và đ-ợc hoàn thiện cho đến ngày nay. Chúng tìm đ-ợc những ứng dụng rộng
rãi trong việc giải quyết các bài toán xuất phát từ Vật lý, Sinh học, Kinh tế...Trong
lý thuyết này việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của ph-ơng trình dựa chủ yếu vào
ph-ơng pháp điểm bất động. Việc sử dụng các định lý điểm bất động trong không
gian có thứ tự vào các bài toán trong kinh tế mới chỉ đ-ợc nghiên cứu gần đây. Đây là
h-ớng nghiên cứu mới, có ý nghĩa. Mục đích của luận văn là trình bày ứng dụng các
định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự vào bài toán cân
bằng Nash xuất phát từ lĩnh vực kinh tế.

2. Mục đích nghiên cứu
Cân bằng Nash (Nash Equilibrium) là một khái niệm của lý thuyết trò chơi (Game
Theory) đ-ợc John Nash đ-a ra với mô hình trò chơi của n đối thủ. Cân bằng Nash
xác định một chiến l-ợc tối -u cho các trò chơi khi ch-a có một điều kiện tối -u nào
đ-ợc xác định tr-ớc đó. Định nghĩa cơ bản của cân bằng Nash là: Nếu tồn tại một
tập hợp các chiến l-ợc cho một trò chơi với đặc tính là không một đối thủ nào có
thể h-ởng lợi bằng cách thay đổi chiến l-ợc hiện tại của mình khi các đối thủ khác
không thay đổi, tập hợp các chiến l-ợc đó và phần thu nhận t-ơng ứng tạo nên cân
bằng Nash. Mô hình này trong toán học đ-ợc định nghĩa nh- sau: Xét không gian
tích X =

iI

Xi và họ các hàm fi : X (, +)(i I). Điểm x = (xi , x
i ) X

đ-ợc gọi là điểm cân bằng Nash của họ hàm trên nếu
fi (xi , x
i ) = max fi (ui , x
i )
ui Xi


4

trong đó xi Xi và xi X i =

jI\i

Xj . Để tiếp cận bài toán trên có nhiều ph-ơng

pháp khác nhau. Trong luận văn này chúng tôi tiếp cận bằng cách sử dụng các định lý
điểm bất động của ánh xạ đa trị trong không gian có thứ tự để chứng minh sự tồn tại
của điểm cân bằng Nash.

3. Đối t-ợng và nội dung nghiên cứu
Sử dụng các kết quả về tôpô, giải tích hàm, không gian có thứ tự và các định lý về
điểm bất động trong không gian có thứ tự vào bài toán cân bằng Nash trong không
gian có thứ tự.

4. ý nghĩa khoa học thực tiễn
Cân bằng Nash là khái niệm quan trọng đối với các bài toán trong kinh tế. Việc
mô hình hóa nó thành một bài toán lý thuyết và để giải quyết nó đã đòi hỏi các nhà
toán học tìm ra những ph-ơng pháp nghiên cứu mới và các kết quả mới tổng quát, có
ý nghĩa khoa học và có thể áp dụng cho nhiều bài toán khác.

5. Cấu trúc luận văn
Luận văn đ-ợc phân làm hai ch-ơng.
Ch-ơng 1. Bài toán cân bằng Nash trong nửa dàn

Ch-ơng này trình bày các kết quả mở rộng của định lý KKM, định lý tách Ky Fan,
bổ đề Ky Fan, định lý điểm bất động Fan-Browder và định lý điểm yên ngựa trong
không gian có thứ tự. Sử dụng các kết quả thu đ-ợc vào việc chứng minh sự tồn tại
của điểm cân bằng Nash trong nửa dàn.


5
Ch-ơng 2. Bài toán cân bằng Nash trong không gian có thứ tự

Ch-ơng này trình bày ph-ơng pháp lặp đơn điệu trong không gian có thứ tự. Từ kết
quả trên ta thu đ-ợc các kết quả về định lý điểm bất động đối với ánh xạ đơn trị và
ánh xạ đa trị. Các kết quả về lý thuyết thu đ-ợc đ-ợc sử dụng vào việc khảo sát bài
toán cân bằng Nash trong không gian có thứ tự.


6

Ch-ơng 1

Bài toán cân bằng Nash trong nửa
dàn

1.1

Định lý Knaster-Kuratowski-Mazurkiewiez và định lý
tách Ky Fan

Định lý KKM cổ điển đ-ợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán
học lý thuyết và ứng dụng. Trong phần này chúng tôi trình bày một mở rộng cho định
lý KKM trong không gian có thứ tự. Kết quả này thu đ-ợc dựa vào định lý 1.1 trong
[4](C.D. Horvath and J.V.Llinares Ciscar).
Định nghĩa 1.1.1. Cho (X, ) là không gian có thứ tự. X gọi là semilattice nếu với mỗi cặp
(x, x ) X ì X đều có một chặn trên nhỏ nhất, kí hiệu x x .
Định nghĩa 1.1.2. Cho (X, ) là không gian có thứ tự semilattice và A X là tập hợp hữu
hạn khác rỗng. Tập (A) =

aA [a, supA]

gọi là bao lồi thứ tự của A. Trong đó, supA là

chặn trên nhỏ nhất của A.
Định nghĩa 1.1.3. Tập E X gọi là lồi nếu với mỗi A E hữu hạn khác rỗng ta có
(A) E.


7
Ví dụ 1.1.1. Đặt X = {(x, 1) : 0 x 1}

{(x, y) : 0 y 1, x 1, y x 1}. Trên

R2 ta xét quan hệ thứ tự (a, b); (c, d) R2 : (a, b) (c, d) 0 d b c a. Khi đó X
là -lồi.
Chứng minh. Ta thấy rằng R2 với thứ tự đ-ợc định nghĩa trên là semilattice. Để chứng minh
X là -lồi ta chỉ cần chứng minh
+ a1, a2 X a1 a2 X
+ a1, a2 X, a1 a2 [a1, a2] X
Giả sử a1 = (x1, y1) và a2 = (x2 , y2) là hai phần tử bất kỳ thuộc X.
Tr-ờng hợp 1. Hai phần tử a1 , a2 so sánh đ-ợc.
Không mất tính tổng quát ta giả sử a1 a2. Khi đó a1 a2 = a2 X. Ta kiểm tra
[a1, a2] X. Thật vậy, lấy a = (x, y) là phần tử bất kỳ thuộc [a1, a2]. Khi đó




0 y1 y y2 1



0 x1 x x2

y2 x2 y x y1 x1
+ Nếu 0 x < 1 thì 0 x1 < 1. Do a1 = (x1, y1) X nên y1 = 1. Khi đó y = 1 và a X.
+ Nếu x 1 thì a X. (Do y x + 1 y2 x2 + 1 0 và 0 y 1).
Tr-ờng hợp 2. Hai phần tử a1 , a2 không so sánh đ-ợc.
Đặt a = a1 a2. Ta kiểm tra a X.
+ Nếu y2 x2 y1 x1 và y2 y1 thì a = (x1 y1 + y2 , y2).
+ Nếu y2 x2 y1 x1 và y1 y2 thì a = (x2 y2 + y1 , y1).
Trong cả hai tr-ờng hợp trên ta đều kiểm tra đ-ợc a X.
Định nghĩa 1.1.4. Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ. Trên X ì Y ta xét quan hệ hai
ngôi R. Với mỗi x X và y Y ta định nghĩa R(x) = {y Y : (x, y) R} và
R1 (y) = {x X : (x, y) R}.
Định lý 1.1.1. Cho X là không gian tôpô semilattice liên thông đ-ờng, X0 X là tập con
khác rỗng của X và R X0 ì X là quan hệ hai ngôi thỏa


8
(i) Với mỗi x X0 tập hợp R(x) là khác rỗng và đóng trong R(X0 ) =

zX0

R(z).

(ii) Tồn tại x0 X0 sao cho R(x0 ) là compact.
(iii) Với mỗi tập hữu hạn khác rỗng A X0
[x, supA]

xA

R(x)
xA

.
Khi đó tập hợp

xX0

R(x) là khác rỗng.

Chứng minh. Tham khảo [4].
Định nghĩa 1.1.5. Cho X, Y là các không gian tôpô, ánh xạ đa trị G : X 2Y đ-ợc gọi là
transfer closed nếu với mỗi x X và y
/ G(x) tồn tại x X và một lân cận mở N (y) của
/ G(x ) với mỗi y N (y).
y trong Y sao cho y
Nhận xét 1.1.1. G : X 2Y là transfer closed khi và chỉ khi

xX

Chứng minh. Giả sử G là transfer closed, ta chứng minh

G(x) =

xX

G(x) =

xX

xX

clG(x).

clG(x). Thật

/ G(x ) thì theo
vậy, nếu tồn tại y X và x X sao cho y clG(x) với mỗi x X và y
/ clG(x ). Điều này là mâu thuẫn.
tính transfer closed của G tồn tại x X sao cho y
Giả sử
y
/

xX

xX

G(x) =

G(x) hay y
/

xX

clG(x). Lấy y Y và x X sao cho y
/ G(x). Khi đó

xX

clG(x). Nghĩa là tồn tại x X sao cho y
/ clG(x ).

Định lý 1.1.2. Cho X là không gian tôpô semilattice liên thông đ-ờng, X0 X là tập con
khác rỗng của X và R X0 ì X là quan hệ hai ngôi thỏa
(i) G : X0 2X là transfer closed, trong đó G(x) = {y X : (x, y) R} với mỗi
x X0 .
(ii) Tồn tại x0 X0 sao cho clG(x0 ) là compact.


9
(iii) Với mỗi tập hữu hạn khác rỗng A X0
[x, supA]
xA

G(x)
xA

.
Khi đó tập hợp

xX0

G(x) là khác rỗng.

Chứng minh. Do clG(x) thỏa các điều kiện của định lý 1.1.1 nên
rỗng. Mặt khác, do G là transfer closed nên

xX0

G(x) =

xX0

xX0

clG(x) là khác

clG(x). Từ đó ta suy ra

điều phải chứng minh.
Định lý 1.1.3. Cho X là tập con khác rỗng, -lồi của không gian tôpô semilattice liên thông
đ-ờng M và C X ì X.
(1) Với mỗi y X tập hợp {x X : (x, y)
/ C} là -lồi hoặc rỗng.
(2) Hàm x {y X : (x, y) C} là transfer closed.
(3) Với mỗi x X, (x, x) C.
(4) Tồn tại x0 X sao cho tập cl{y X : (x0 , y) C} là compact.
Khi đó tồn tại y X sao cho X ì {y } C.
Chứng minh. Xét G : X 2X cho bởi
G(x) = {y X : (x, y) C} với mỗi x X.
Khi đó, clG(x0) là compact.
Giả sử tồn tại tập hữu hạn A0 = {x1, x2 , ..., xn} sao cho
n

(A0)

G(xi )

i=1

nghĩa là tồn tại z (A0) và z
/

n
i=1

G(xi ). Khi đó với mỗi i = 1, 2, ..., n, z
/

G(xi ), (xi, z)
/ C. Suy ra A0 {x X : (x, z)
/ C}, theo (1) (A0) {x X : (x, z)
/


10
/ C}, (z, z) C. Điều này là mâu thuẫn. Do
C} và vì vậy z (A0) {x X : (x, z)
đó với mỗi tập hữu hạn A X ta có
(A)

G(x).
xA

Theo định lý 1.1.2 ta thu đ-ợc

xX

G(x) khác rỗng. Lấy y

xX

G(x) X ta có

X ì {y } C
Nhận xét 1.1.2. Nếu X là compact thì (4) trong định lý 1.1.3 luôn đúng.

1.2

Bổ đề Ky Fan và định lý điểm bất động Fan-Browder

Bằng cách sử dụng định lý 1.1.3 và khái niệm ánh xạ đa trị có tính chất giao địa
ph-ơng chúng ta thu đ-ợc bổ đề Ky Fan và định lý điểm bất động Fan-Browder.
Định nghĩa 1.2.1. Cho X, Y là hai không gian tôpô, F : X 2Y đ-ợc gọi là có tính chất
giao địa ph-ơng nếu với mỗi x X sao cho F (x) = tồn tại lân cận mở N (x) của x sao
cho

zN (x)

F (z) = .

Nhận xét 1.2.1. F : X 2Y có tính chất giao địa ph-ơng khi và chỉ khi X \ F 1 là transfer
closed, nghĩa là

yY

F 1 y =

yY

int(F 1y).

Chứng minh. X \ F 1 là transfer closed khi và chỉ khi
F 1 (y)). Điều này nghĩa là
Giả sử

yY

F 1y =

yY

yY

F 1y =

yY

yY

X \ F 1(y) =

yY

cl(X \

int(F 1y).

intF 1(y) ta chứng minh F : X 2Y có tính chất giao địa

ph-ơng. Thật vậy, lấy x X sao cho F (x) = . Khi đó tồn tại y F (x) hay x F 1(y).
Theo tính chất transfer closed tồn tại y Y sao cho x intF 1(y ). Suy ra tồn tại lân cận
mở N (x) của x sao cho z F 1(y ) với mọi z N (x) hay

zN (x)

F (z) = .

Giả sử F : X 2Y có tính chất giao địa ph-ơng. Lấy x X và y Y sao cho x F 1 (y)
hay y F (x). Theo tính chất giao địa ph-ơng, tồn tại lân cận mở N (x) của x sao cho
zN (x) F (z)

= . Nghĩa là tồn tại y Y sao cho z F 1 (y ) với mọi z N (x). Suy ra

x int(F 1(y )). Vậy

yY

F 1y =

yY

int(F 1y).


11
Định lý 1.2.1. Cho X là tập con compact, khác rỗng và -lồi của không gian tôpô
semilattice, liên thông đ-ờng M, và B X ì X.

(i) Với mỗi y X, tập hợp {x X : (x, y) B} là -lồi khác rỗng.
(ii) Hàm y {x X : (x, y) B} có tính chất giao địa ph-ơng khác rỗng.
Khi đó tồn tại x X sao cho (x , x) B
Chứng minh. Đặt C = X ì X \ B và F (x) = {y X : (x, y) B} với mỗi x X. Khi đó
{y X : (x, y) C} = {y X : (x, y)
/ B} = X \ {y X : (x, y) B} = X \ F (x)
Theo (ii) F 1(y) = {x X : (x, y) B} có tính chất giao địa ph-ơng khác rỗng nên
X \ F (x) là transfer closed.
Với mỗi y X, {x X : (x, y)
/ C} = {x X : (x, y) B} là -lồi và khác rỗng.
Giả sử (x, x)
/ B với mỗi x X. Khi đó (x, x) C, theo định lý 1.1.3 tồn tại y X sao
/ B. Do đó tập
cho X ì {y } C. Điều này nghĩa là với mỗi x X, (x, y ) C, (x, y )
hợp {x X : (x, y ) B} là rỗng và dẫn đến mâu thuẫn với (i). Vậy tồn tại x X sao
cho (x , x) B. Chứng minh kết thúc.

Sử dụng kết quả vừa thu đ-ợc ta suy ra định lý điểm bất động Fan-Browder suy
rộng.
Định lý 1.2.2. Cho X là tập con khác rỗng, compact và -lồi của không gian tôpô
semilattice, liên thông đ-ờng M, F : X 2X có tính chất giao địa ph-ơng và có giá trị
-lồi. Khi đó F có điểm bất động, nghĩa là tồn tại x X sao cho x F (x).
Chứng minh. Đặt B = {(x, y) X ì X : x F (y)}. Với mỗi y X
{x X : (x, y) B} = {x X : x F (y)} = F (y)
là -lồi và khác rỗng. Mặt khác, ánh xạ y {x X : (x, y) B} = F (y) có tính chất
giao địa ph-ơng. Theo định lý 1.2.1 tồn tại x X sao cho x F (x).


12
Hệ quả 1.2.1. Cho X là tập con khác rỗng, compact và -lồi của không gian tôpô

semilattice, liên thông đ-ờng M, F : X 2X có giá trị -lồi, khác rỗng và với mỗi
y X, F 1 (y) là tập mở. Khi đó F có điểm bất động.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh F có tính chất giao địa ph-ơng. Với mỗi x X với
F (x) = , lấy y F (x) hay x F 1 (y). Do F 1(y) là mở nên tồn tại lân cận mở N (x) của
x trong X sao cho N (x) F 1(y). Khi đó, với mỗi z N (x), z F 1(y), y F (z). Vì
vậy y

1.3

zN (x)

F (z) hay

zN (x)

F (z) = . Theo định lý 1.2.2 F có điểm bất động.

Định lý điểm yên ngựa

Sử dụng định lý điểm bất động Fan-Browder ta thu đ-ợc định lý điểm yên ngựa
và hệ quả của nó trong không gian có thứ tự.
Định nghĩa 1.3.1. Cho X, Y là các không gian tôpô, (x, y) : X ì Y (, +) đ-ợc
gọi là strongly path transfer nửa liên tục d-ới đối với x (gọi vắn tắt, SPT nửa liên tục d-ới)
nếu với mỗi (x, y) X ì Y và > 0, tồn tại một lân cận mở N (x) của x trong X và y 0 Y
sao cho với mọi x N (x)
(x, y) < (x , y 0) +
Nếu (x, y) là SPT nửa liên tục d-ới đối với x thì (x, y) gọi là strongly path transfer nửa
liên tục trên (gọi vắn tắt, SPT nửa liên tục trên).
Nhận xét 1.3.1. Ta dễ dàng kiểm tra đ-ợc nếu với mỗi y Y, (., y) là nửa liên tục d-ới thì
(x, y) là SPT nửa liên tục d-ới theo biến x. Điều ng-ợc lại là không đúng.

Ví dụ 1.3.1. Xét X = [0, 1], Y = [0, 1] và hàm (x, y) xác định trên X ì Y cho bởi




1,
x = y,



(x, y) = 2,
y = 0, x = 0, .





0,
ortherwise.
Khi đó (., y) không nửa liên tục d-ới trên X, (x, y) là SPT nửa liên tục d-ới theo x.


13
Chứng minh. Lấy (x, y) bất kỳ thuộc X ì Y và > 0. Ta xét hai tr-ờng hợp:
Tr-ờng hợp 1. y = 0
(x, y) = (x, 0) =
Tr-ờng hợp 2. y = 0
(x, y) =

1,

2,



1,

0,

x = 0,
.
x=0

x = y,
.
x=y

Trong cả hai tr-ờng hợp trên ta đều chỉ ra đ-ợc lân cận mở N (x) của x trong X và y 0 Y
sao cho
(x, y) < (x , y 0) + ,

x N (x)

Điều này nghĩa là (x, y) là SPT nửa liên tục d-ới theo x. Hơn nữa ta dễ dàng kiểm tra đ-ợc
(., 1) không nửa liên tục d-ới tại x = 1 hay (., y) không nửa liên tục d-ới trên X.
Định nghĩa 1.3.2. Cho X là không gian tôpô hoặc tập con -lồi của không gian tôpô
semilattice. Hàm f : X (, +) gọi là -tựa lõm nếu với mỗi tập con hữu hạn khác
rỗng A = {x1 , x2, ..., xn} X và y (A)

f (y) min{f (x1), f(x2 ), ..., f (xn)}.
Nếu f là -tựa lõm thì f gọi là -tựa lồi.
Nhận xét 1.3.2. f : X (, +) là -tựa lõm khi và chỉ khi tập hợp {y X : f (y) > }
hoặc {y X : f (y) } là -lồi với mọi (, +).
Nhận xét 1.3.3. f : X (, +) là -tựa lõm khi và chỉ khi tập hợp {y X : f (y) < }
hoặc {y X : f (y) } là -lồi với mọi (, +).
Chứng minh. Ta chỉ chứng minh nhận xét 1.3.2, nhận xét 1.3.3 đ-ợc chứng minh t-ơng tự.
+ Giả sử f : X (, +) là -tựa lõm. Lấy (, +) bất kỳ, ta chứng minh
{y X : f (y) } là -lồi. Xét A = {x1, x2, ..., xn} là tập hợp hữu hạn, khác rỗng trong
{y X : f (y) } và y (A). Theo tính chất -tựa lõm ta có
f (y) min{f (x1), f(x2 ), ..., f (xn)} .


14
Suy ra y {y X : f (y) } hay {y X : f (y) } là -lồi.
+ Giả sử {y X : f (y) } là -lồi với mọi (, +). Ta chứng minh
f : X (, +) là -tựa lõm. Thật vậy, lấy A = {x1 , x2, ..., xn} là tập hữu hạn trong
X và y (A). Do {y X : f (y) } là -lồi với = min{f (x1), f(x2), ..., f (xn)}
và A là tập con của tập hợp trên nên y (A) {y X : f (y) }. Suy ra
f : X (, +) là -tựa lõm.
Ví dụ 1.3.2. Xét X = {(x, 1) : 0 x 1}
(a, b), (c, d) R2 :

{(1, y) : 0 y 1} R2 với quan hệ thứ tự

(a, b) (c, d)



a b v`a c d.

Khi đó hàm f : X (, +) định bởi f (x, y) = x2 + y 2 là -tựa lõm.
Chứng minh. Thật vậy, lấy (, +), ta có




X



{(x, y) X : f (x, y) > } = X







<1
Y

1<2

>2

Trong đó, X = {(x, 1) : x 1} và Y = {(1, y) : y 1}. Từ đây ta suy ra
{(x, y) X : f (x, y) > } là tập -lồi hay f : X (, +) là -tựa lõm.
Định lý 1.3.1. Cho X, Y là hai tập con khác rỗng, compact và -lồi của hai không gian
tôpô semilattice liên thông đ-ờng M và E, f : X ì Y (, +).

(i) Với mỗi x X, f (x, .) : Y (, +) là -tựa lồi.
(ii) Với mỗi y Y , f (., y) : X (, +) là -tựa lõm.
(iii) Hàm f (x, y) là SPT nửa liên tục d-ới theo biến y và SPT nửa liên tục trên theo biến x.
Khi đó,
inf sup f (x, y) = sup inf f (x, y)

yY xX

xX yY


15
Chứng minh. Ta dễ dàng kiểm tra đ-ợc
sup inf f (x, y) inf sup f (x, y)

xX yY

yY xX

Giả sử
sup inf f (x, y) < inf sup f (x, y)

xX yY

yY xX

Khi đó, tồn tại r (, +) sao cho
sup inf f (x, y) < r < inf sup f (x, y)

xX yY

yY xX

Theo (i) và (ii), với mỗi x X, G(x) = {y Y : f (x, y) < r} là tập -lồi khác rỗng, với
mỗi y Y , K(y) = {x X : f (x, y) > r} = {x X : f (x, y) < r} là tập -lồi khác
rỗng.
Với mỗi x X sao cho G(x) = , lấy y0 G(x), f (x, y0) < r.

Theo (iii) với

= r f (x, y0) > 0 tồn tại lân cận N (x) của x trong X và y1 Y sao cho
f (x, y0) < f (x , y1) + = f (x , y1) f (x, y0) + r
với mỗi x X. Nghĩa là f (x , y1 ) < r hay y1 G(x ) với mọi x N (x). Suy ra
G(x ) =
x N (x)

và G có tính chất giao địa ph-ơng. Chứng minh t-ơng tự ta suy ra K có tính chất giao địa
ph-ơng.
Đặt C = X ì Y và xét F : C 2C cho bởi
F (u) = K(y) ì G(x)
với mỗi u = (x, y) C. Theo định lý điểm bất động Fan-Browder F có điểm bất động,
nghĩa là tồn tại u = (x , y ) C sao cho
u = (x, y ) K(y ) ì G(x)
Suy ra f (x , y ) > r và f (x , y ) < r. Điều này là mâu thuẫn. Do đó
inf sup f (x, y) = sup inf f (x, y)

yY xX

xX yY

16
Hệ quả 1.3.1. Cho X, Y là hai tập con khác rỗng, compact và -lồi của hai không gian
tôpô semilattice liên thông đ-ờng M và E, f : X ì Y (, +).
(i) Với mỗi x X, f (x, .) : Y (, +) là -tựa lồi và nửa liên tục d-ới.
(ii) Với mỗi y Y , f (., y) : X (, +) là -tựa lõm và nửa liên tục trên.
Khi đó tồn tại (x , y ) X ì Y sao cho
f (x, y ) f (x , y ) f (x , y)
với mỗi (x, y) X ì Y .
Chứng minh. Do f (x, .) : Y (, +) là nửa liên tục d-ới nên f (x, y) là SPT nửa liên
tục d-ới theo biến y, f (., y) : X (, +) là nửa liên tục trên nên f (x, y) là SPT nửa
liên tục trên theo biến x.
Sử dụng định lý 1.3.1 ta thu đ-ợc kết quả trên.

1.4

Định lý về sự tồn tại của điểm cân bằng Nash

Xét (Xi , i ), i I là họ các không gian tôpô semilattice, X và Xi là các không
gian tôpô tích, nghĩa là
X=

Xi ,

Xi =

iI

Xj
jI\i

Với mỗi x, x X ta định nghĩa x x khi và chỉ khi xi i xi với mỗi i I . Khi đó,
(X, ) là không gian tôpô semilattice với (x x )i = xi i xi , (i I).

Với bất kỳ x X ta đặt x = (xi, xi ) trong đó xi Xi , xi Xi .
Điểm x X đ-ợc gọi là điểm cân bằng Nash đối với họ hàm fi : X (, +)
nếu với mỗi i I ,
fi (xi , x
i ) = max fi (ui , x
i ).
ui Xi

Sử dụng định lý điểm bất động Fan-Browder ta thu đ-ợc định lý về sự tồn tại của điểm
cân bằng Nash.


17
Định lý 1.4.1. Cho N = {1, 2, ..., n}, với mỗi i N , Xi là các tập con khác rỗng, compact,
compact theo dãy và -lồi của không gian tôpô semilattice liên thông đ-ờng, X =

iN

Xi

và fi : X (, +) thỏa
i ) là -tựa lõm.
(i) Với mỗi i N ,
xi Xi hàm ui fi (ui , x

(ii) Với mỗi i N , fi là nửa liên tục trên.

i ) là SPT nửa liên tục d-ới theo biến x
i .
(iii) Với mỗi i N , fi (ui , x
Khi đó, tồn tại điểm x X sao cho với mỗi i N
i ) = max fi (ui , x
i ).
fi (xi , x
ui Xi

Chứng minh. Với mỗi k = 1, 2, 3, ... xét Wk : X 2X ,Wk (x) =

iN

Ti(x) với mỗi

x X, trong đó Ti : X 2Xi định bởi,
1
i) > max fi (ui , x
)i }
Ti (x) = {yi Xi : fi (yi , x
ui Xi
k
Do các Ti(x) là khác rỗng và -lồi (theo (i) và (ii)) nên Wk (x) = và -lồi.
Tiếp theo ta chứng minh Wk (x) có tính chất giao địa ph-ơng, nghĩa là nếu Wk (x) = ta sẽ chỉ
ra một lân cận O(x) của x trong X sao cho
iN

uO(x)

uO(x) Wk (u)

= . Do

uO(x)

iN

Ti (u) =

Ti(u) nên ta chỉ cần chứng minh Ti (i N ) có tính chất giao địa ph-ơng.

Giả sử Ti(x0 ) = , lấy y 0 Ti(x0 ), nghĩa là,
1
fi (yi0, x
0i ) > max fi (ui , x
0i ) .
ui Xi
k

(1)

Với bất kỳ > 0 thỏa,
1
2 < fi (yi0, x
0i ) (max fi (ui , x
0i ) )
ui Xi
k
x0i ) của x

0i trong Xi và tồn tại yi Xi sao cho
theo (iii) tồn tại một lân cận mở O1 (
fi (yi0 , x
0i ) < fi (yi, x
i) +


xi O1 (
x0i ).

(2)


18
i) là liên tục tại x
0i nên tồn tại một lân cận mở O2 (
x0i ) của x
0i trong X
Do maxui Xi fi (ui , x
x0i )
sao cho với mỗi x
i O2 (
max fi (ui , x
0i ) < max fi (ui , x
i ) < max fi (ui , x
0i ) + .
ui xi

ui Xi

Chọn O(x0 ) = O(x0i ) ì (O2 (
x0i )

ui Xi

(3)

O1 (
x0i )) trong đó O(x0i ) là một lân cận mở của x0i trong

Xi . Theo (1), (2) và (3), với mỗi x O(x0 ) ta có,
i ) > fi (yi0 , x
0i ) > max fi (ui , x
0i )
fi (yi, x
ui Xi

Khi đó yi

uO(x0 )

Ti(u) và vì vậy

uO(x0 )

1
1
+ > max fi (ui , x
i) .
ui Xi

k
k

Ti (u) = . Do đó Ti có tính chất giao địa

ph-ơng và Wk có tính chất giao địa ph-ơng.
Theo định lý điểm bất động Fan-Browder tồn tại xk X sao cho xk Wk (xk ). Mặt khác,

X là compact theo dãy nên {xk }
k=1 có điểm tụ x X. Không mất tính tổng quát ta giả sử

limk xk = x, nghĩa là với mỗi i N ,
1
ki ) > max fi (ui , x
ki ) ,
fi (xki , x
ui Xi
k
và vì vậy
1
i ) lim sup fi (xki , x
ki ) lim (max fi (ui , x
ki ) ) = max fi (ui , x
i ).
fi (xi , x
u
X
u
X
k

k
i
i
i
i
k
Do đó tồn tại điểm x X sao cho với mỗi i N ,
i ) = max fi (ui , x
i ).
fi (xi , x
ui Xi

Ví dụ 1.4.1. Xét X = [0, 1] ì [0, 1] và f1 (x, y) = x2

1
1+y

và f2 (x, y) = y 2

1
.
1+x

Khi đó với mỗi y [0, 1], f1 (., y) là -tựa lõm, với mỗi x [0, 1], f2 (x, .) là -tựa lõm. Khi
đó bộ hàm f1 , f2 thỏa các điều kiện của định lý 1.4.1. Điểm x = (1, 1) X chính là điểm
yên ngựa của bộ hàm f1 , f2.


19

Ch-ơng 2

Bài toán cân bằng Nash trong không gian
có thứ tự
2.1

Định lý điểm bất động của ánh xạ đơn trị

Trong phần này chúng tôi trình bày các kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ
đơn trị trong tập hợp có thứ tự.
Định nghĩa 2.1.1. Tập hợp có thứ tự (P, ) đ-ợc gọi là lattice nếu sup{x, y} và inf{x, y}
tồn tại với mọi x, y P .
Định nghĩa 2.1.2. Tập C P đ-ợc gọi là một xích (thứ tự toàn phần) nếu x y hay y x
với mọi x, y C.
Định nghĩa 2.1.3. Tập C P đ-ợc gọi là sắp tốt (thuận) nếu mọi tập con khác rỗng của C
đều có phần tử nhỏ nhất. Tập C P đ-ợc gọi là sắp tốt đảo nếu mọi tập con khác rỗng của
C đều có phần tử lớn nhất.
Định nghĩa 2.1.4. Tập hợp P với quan hệ có các tính chất phản xạ và bắt cầu đ-ợc gọi
là định h-ớng nếu với mỗi cặp (x, y) P ì P tồn tại z P sao cho x z và y z.


20

Định lý sau trình bày nguyên lý đệ qui. Trong phần chứng minh chúng tôi chỉ sử
dụng các công cụ sơ cấp của lý thuyết tập hợp.
Định lý 2.1.1. Cho (P, ) là tập hợp có thứ tự và D 2P là họ chứa tập và f : D P .
Khi đó tồn tại duy nhất một tập sắp tốt C sao cho x C khi và chỉ khi x = f {y C : y < x}.
Hơn nữa, nếu f (C) tồn tại thì f (C) không là chặn trên ngặt của C.
Chứng minh. Ta kí hiệu C đ-ợc gọi là đồng dạng nếu C là sắp tốt và x = f (C

là đồng dạng. Ta đ-a ra một số tính chất của xích đồng dạng.
(a) Nếu A và B là đồng dạng và A

B thì B = A
(b) Hợp C của tất cả các xích đồng dạng là sắp tốt và thỏa x C khi và chỉ khi
x = f {y C : y < x}.
Để chỉ ra sự tồn tại duy nhất tập sắp tốt C trong định lý ta chỉ cần chứng minh các tính chất
(a) và (b) của xích đồng dạng và tính duy nhất của tập C.
+ Chứng minh tính chất (a).
Do x = min(A \ B) nên A/ B thì y A \ B
và y < x. Điều này là mâu thuẫn với cách chọn x. Để chứng minh B = Achứng minh B \ Atại y = min(B \ A/ B.
nếu không y = f (B / B Đặt z = min(Anên y z < x. Mặt khác B y = f (B + Chứng minh tính chất (b).
Lấy Y là tập con khác rỗng của C. Gọi B là một xích đồng dạng sao cho Y
rỗng và đặt y = min(Y

B là tập khác

B). Ta chứng minh y là phần tử nhỏ nhất của Y . Lấy x bất kỳ

thuộc Y . Nếu x B thì x Y

B và y x. Ng-ợc lại, chọn một xích đồng dạng A chứa

x. Theo chứng minh ở tính chất (a) ta có B Ahay y = min Y . Suy ra C là sắp tốt.


21
Lấy x bất kỳ thuộc C. Chọn B là xích đồng dạng sao cho x B. Theo chứng minh tính
chất (a) ta suy ra B x P và x = f (C
{x} là đồng dạng hay x C. Do đó x C khi và chỉ khi

x = f (C + Chứng minh tính duy nhất của tập C.
Giả sử B là xích sắp tốt trong P thỏa x B khi và chỉ khi x = f (B dạng nên B C. Nếu B = C thì theo chứng minh (a) B = C / B. Điều này là mâu thuẫn với tính chất của B. Do đó
đó f (B B = C và xích sắp tốt C là duy nhất.
Nếu f (C) tồn tại thì f (C) không thể là chặn trên ngặt của C. Thật vậy, trong tr-ờng hợp
ng-ợc lại ta có C

{f (C)} là một xích đồng dạng không nằm trong C. Điều này là mâu

thuẫn với cách xây dựng C.

Sử dụng nguyên lý đệ qui vừa trình bày ta thu đ-ợc ph-ơng pháp lặp đơn điệu suy
rộng.

Định lý 2.1.2. Cho (P, ) là tập hợp có thứ tự, G : P P và a P . Khi đó tồn tại duy
nhất xích sắp tốt C, gọi là xích sắp tốt của phép lặp G đối với a, trong P thỏa
a = min C và nếu x X, x > a thì x C khi và chỉ khi x = sup G[C Hơn nữa, nếu x = sup G[C] tồn tại và a x Gx thì x = max C và G(x ) = x.
Chứng minh. Gọi D là lớp tất cả các tập con khác rỗng U P sao cho sup G[U ] tồn tại. Xét
ánh xạ f : D

{} P cho bởi f () = a và f (U ) = sup G[U ] với U D. Theo nguyên

lý đệ qui tồn tại duy nhất xích sắp tốt C trong P sao cho
a = min C và a < x C khi và chỉ khi x = sup G[C Giả sử x = sup G[C] tồn tại và a x G(x ). Nếu x C và x = a thì x =
sup G[C

22

Sử dụng ph-ơng pháp lặp đơn điệu suy rộng chúng ta thu đ-ợc định lý điểm bất
động đối với ánh xạ tăng.
Định nghĩa 2.1.5. Cho (P, ) là tập hợp có thứ tự. Ta định nghĩa:
+

[a) = {x P : a x} với mỗi a P .

+

(b] = {x P : x b} với mỗi b P .

+

Hàm G : P P gọi là không giảm (tăng) trong W P nếu Gx Gy (Gy Gx) với

mọi x, y W và x y.
Định lý 2.1.3. Cho (P, ) là tập hợp có thứ tự, G : P P và a P . Giả sử x = sup G[C]
tồn tại với C là xích sắp tốt của phép lặp G đối với a. Nếu a Ga và G là không giảm trong [a)
thì x là điểm bất động nhỏ nhất của G trong [a) và x = max C = min{y [a) : Gy y}.
Chứng minh. Vì a = min C và sup G(C Do G là không giảm trong [a) nên Gx Gx với mỗi x C. Do đó x = sup G[C] Gx .
Theo ph-ơng pháp lặp đơn điệu suy rộng ta suy ra x là điểm bất động của ánh xạ G trong
[a) và x = max C.
Ta chứng minh x = min{y [a) : Gy y}. Lấy y [a) và Gy y. Do G là không
giảm trong [a) nên G[a, y] [a, y]. Lấy x bất kỳ trong C. Ta kiểm tra x [a, y]. Thật
vậy, nếu x
/ [a, y] thì C \ [a, y] = . Đặt x
= min(C \ [a, y]), khi đó C = sup G[C G[C x [a, y] với mọi x C hay C [a, y]. Do đó x = max C y với mọi y [a) và Gy y.
Đặc biệt, x là điểm bất động nhỏ nhất của G trong [a).

Ta phát biểu kết quả đối ngẫu cho định lý 2.1.3
Định lý 2.1.4. Cho (P, ) là tập hợp có thứ tự, G : P P và b P . Giả sử x = inf G[D]
tồn tại với D là xích sắp tốt đảo của phép lặp G đối với b, nghĩa là
b = max D và nếu x X, x > b thì x D khi và chỉ khi x = inf G[{y D : y > x}]
Khi đó, nếu Gb b và G là không giảm trong (b] thì x là điểm bất động lớn nhất của G


23
trong (b] và x = min D = max{y (b] : y Gy} và x là điểm bất động nhỏ nhất của G
trong (b].

2.2

Định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị

Các kết quả về điểm bất động đối với ánh xạ đơn trị sẽ sử dụng vào tr-ờng hợp đa trị.

Định nghĩa 2.2.1. Hàm S : Y X đ-ợc gọi là selection của ánh xạ đa trị F : Y 2X \
nếu S(x) F (x) với mỗi x Y . Nếu X là tập hợp có thứ tự và S(x) là phần tử nhỏ nhất
(lớn nhất) của F (x) với mỗi x Y thì ta nói S là selection nhỏ nhất (lớn nhất) của ánh xạ
đa trị F .
Định nghĩa 2.2.2. Phần tử x X gọi là điểm bất động của ánh xạ F : X 2X \ nếu
x F (x). Nếu tập Z gồm tất cả các điểm bất động của ánh xạ F có phần tử nhỏ nhất (lớn
nhất) thì phần tử đó gọi là điểm bất động nhỏ nhất (lớn nhất) của F trong Z.

Ta trình bày một kết quả liên quan đến tính chất của xích sắp tốt của phép lặp G
đối với phần tử a trong không gian có thứ tự X . Sử dụng kết quả này và định lý điểm
bất động đối với ánh xạ đơn trị ta thu đ-ợc các kết quả về đa trị.
Định lý 2.2.1. Cho a X và G : X X là ánh xạ đơn điệu không giảm trong [a) thỏa
a Ga. Gọi C là xích sắp tốt của phép lặp G đối với a. Khi đó G[C] C.
Chứng minh. Lấy x bất kỳ trong C ta chứng minh G(x) C. Nếu x = a thì Gx = Ga C.
Thật vậy, nếu a < Ga thì C Nếu x > a thì Gx là một chặn trên của G[C Gx C. Trong tr-ờng hợp ng-ợc lại, C
{x} mà Gx = sup{x, Gx} nên

Gx = sup{sup G[C Suy ra Gx = sup G[C

{x}]


24
Định lý 2.2.2. Cho T là tập hợp khác rỗng và các ánh xạ F t : X 2X \ , t T thỏa
(H0) Với mỗi t T tồn tại at X sao cho F t(at ) [at).
(H1) Với mỗi t T các xích khác rỗng của F t[[at)] đều có chặn trên nhỏ nhất trong X.
Khi đó,
(a) Nếu mỗi F t đều có một selection tăng S t : X X thì các ánh xạ S t có điểm bất động
nhỏ nhất xt trong [at) với mỗi t T và xt chính là điểm bất động của F t trong [at).
(b) Nếu mỗi F t đều có một selection tăng nhỏ nhất thì với mỗi t T , F t có điểm bất động
nhỏ nhất xt trong [at) và
xt = min{y [at) : min F t(y) y}
(c) Nếu T là tập hợp có thứ tự và các ánh xạ t S t (x), x X và t at là tăng thì ánh
xạ t xt là tăng.
Chứng minh. (a) Lấy t T cố định và S t : X X là một selection tăng của F t. Theo giả
thiết (H0) ta có S t (at) F t(at) [at) hay at S t (at). Gọi C là xích sắp tốt của phép
lặp S t đối với phần tử at. Theo định lý 2.2.1 ta có S t [C] C. Do đó S t [C] là sắp tốt và
S t [C] F t[C] F t[[at)]. Kết hợp giả thiết (H1) ta suy ra sup S t[C] tồn tại. Chọn G = S t
trong định lý 2.1.3 ta suy ra xt = max C là điểm bất động nhỏ nhất của S t trong [at). Mặt
khác, S t là một selection của F t nên xt = S t (xt) F t(xt ), hơn nữa
xt = min{y [at) : S t (y) y}
(b) Giả sử F t có slection nhỏ nhất và tăng S t . Theo chứng minh trên, với mỗi t T trong
[at) tồn tại điểm bất động nhỏ nhất xt của S t hay F t . Mặt khác, S t (y) = min F t(y) với mỗi
y X nên
xt = min{y [at) : min F t(y) y}
Nếu y là điểm bất động của F t trong [at) thì y F t(y) và min F t(y) y. Theo trên ta suy
ra xt y hay xt là điểm bất động nhỏ nhất của F t.