DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
KHOA CƠ KHÍ
Bộ môn Kĩ thuật máy


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
ĐỀ TÀI:
“DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH
TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU”

Giáo viên hướng dẫn

: Th.s Trần Thanh Hải

Sinh viên thực hiện

: Nguyễn Xuân Tiến

Mã sinh viên

: 0508884

Lớp

: Cơ – Điện tử K47

HÀ NỘI – 2012


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
LỜI NÓI ĐẦU

Từ xưa tới nay, sự phá hủy của các công trình, các chi tiết máy móc luôn để lại
hậu quả to lớn về người và vật chất. Điều này càng đúng hơn trong thời buổi công
nghệ khoa học và kĩ thuật ngày càng phát triển như hiện nay. Với các công trình lớn,
hay các dây truyền hiện đại, sự phá hủy của các chi tiết sẽ gây ra hậu quả vô cùng
nghiêm trọng. Chính vì lý do này, Cơ học phá hủy là môn học ngày càng được phát
triển và nghiên cứu rộng rãi. Nhiệm vụ của nó là tìm ra các nguyên nhân gây ra sự phá
hủy của vật liêu, từ đó có thể đưa ra các biện pháp cải tiến hoặc ngăn chặn sự phá hủy
xảy ra.
Hiện nay, Cơ học phá hủy là môn học ít được đề cập đến trong hệ thống giảng
dạy của các trường kỹ thuật của nước ta. Chính vì lý do này, em quyết định lựa chọn
đề tài “DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ
NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU” để tìm hiểu rõ hơn về cơ chế
gây nên sự phá hủy của vật liệu cũng như dự đoán được sự phát triển của các vết nứt
của vật liệu
Trong đề tài cũng đề cập đến một môn học khác nữa, đó là “ Phương pháp phần
tử hữu hạn” Đây có thể nói là một phương pháp phổ biến nhất để giải các bài toán kỹ
thuật. Với phương pháp phần tử hữu hạn, việc tính toán các bài toán cơ học như: phân
tích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máy
bay, tàu thủy, khung nhà cao tầng, dầm cầu, những bài toán của lý thuyết trường như:
lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từ trường ... trở
nên dễ dàng hơn. Dựa trên nền tảng của phương pháp phần tử hữu hạnkết hợp với sự
phát triển mạnh mẽ của ngành công nghệ phần mềm đã tạo ra các phần mềm CAE tích
hợp vào hệ thống máy tính khiến cho việc giải các bài toán kỹ thuật trở nên đơn giản
hơn rất nhiều lần.
Qua quá trình hoàn thành đề tài đồ án tốt nghiệp này, bản thân em nhận thấy thu
được rất nhiều thức về cơ học phá hủy, cũng như quá trình cơ bản để giải một bài toán
cơ học. Đồng thời qua đồ án này, em cũng được tìm hiểu sâu hơn về phần mêm Ansys
– Một phần mềm CAE tương đối phổ biến ở nước ta cũng như trên thế giới
Sau một quá trình nghiên cứu tìm hiểu, với sự cố gắng của bản thân cùng với sự chỉ
bảo, hướng dẫn tận tình của thầy giáo Th.s Trần Thanh Hải, em đã hoàn thành đề tài

GVHD: Th.S Trần Thanh Hải
Trang 2


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
này. Trong quá trình hoàn thành, do kiến thức bản thân còn hạn hẹp nên đề tài vẫn còn
tồn tại nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy, cô và
các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Xuân Tiến
Lớp Cơ – Điện Tử K47 ĐHGTVT

TÓM TẮT ĐỒ ÁN
Tên đề tài: “DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN
KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU”
GVHD: Th.S Trần Thanh Hải
Trang 3


ĐỒ ÁN TỐT NGHIỆP
Nội dung đề tài:
-

Tìm hiểu về cơ học phá hủy
Nghiên cứu về phương pháp PTHH
Tìm hiểu về phần mềm Ansys
Ứng dụng phần mềm Ansys để giải bài toán tính tỉ lệ giải phóng năng lượng của

vết nứt của một kết cấu hai vật liệu (Bi-material)

Đề tài được bố cục như sau:
Chương 1: Tổng quan về cơ học phá hủy: Giới thiệu các vấn đề cơ bản nhất về cơ
học phá hủy ( Fracture Mechanics). Đưa ra các nguyên nhân gây ra phá hủy, cũng như
các nhân tố ảnh hưởng đến sự phá hủy của vật liệu.
Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn: Giới thiệu các nội dung cơ bản về
phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), cơ sở lý thuyết của phương pháp PTHH và
một số phương trình đặc trưng của phương pháp PTHH
Chương 3: Tổng quan về phần mềm ansys: Giới thiệu về phần mềm Ansys, ứng dụng
của ansys trong việc giải các bài toán kỹ thuật.
Chương 4: Tính toán khả năng phá hủy của một kết cấu hai vật liệu (Bimaterial):Giới thiệu các phương pháp tính toán tỉ lệ giải phóng năng lượng khi hình
thành vết nứt và ứng suất tại vùng gần đỉnh vết nứt. Tính toán tỉ lệ giải phóng năng
lượng vết nứt của một kết cấu hai vật liệu bằng phương pháp J-Integral thông qua phần
mềm ansys

GVHD: Th.S Trần Thanh Hải
Trang 4


MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................
TÓM TẮT ĐỒ ÁN........................................................................................
MỤC LỤC..................................................................................................
DANH SÁCH HÌNH VẼ..............................................................................
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY.................................
1.Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics).................................9
1.1Khái niệm về cơ học phá hủy...............................................................
1.2Phân loại cơ học phá hủy...................................................................

1.3Nguyên nhân gây ra phá hủy..............................................................
2.Các chế độ phá hủy (Fracture modes).....................................................15
3.Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất.................15
3.1Bài toán Westergaard.........................................................................
3.2Hệ số cường độ ứng suất K (Stress intensity factor)..........................
3.3Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt............................
3.4Sự phụ thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt
và phụ tải.................................................................................................
3.5Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất..............................................................
4.Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng..........22
4.1Cân bằng năng lượng trong vết nứt....................................................
4.2Lý thuyết Griffith...............................................................................
4.3Tỷ lệ giải phóng năng lượng G...........................................................
4.4Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai................................................................
4.5Mối quan hệ giữa K và G...................................................................
5.Tích phân J (J-Integral) – Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến..........26
5.1Định nghĩa..........................................................................................
5.2Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến.[8].........................................
5.3Sự bất biến của tích phân J.................................................................
5.4Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba.................................................................


5.5Mối quan hệ giữa J, K và G................................................................

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN.............................32
1.Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn...........................................32
1.1Khái niệm chung................................................................................
1.2Nội dung của phương pháp................................................................
1.3Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn........
1.4Hàm xấp xỉ - Hàm dạng - Phép nội suy.............................................

2.Các phương trình cơ bản của phương pháp PTHH.................................42
2.1Ma trận độ cứng phần tử , véc tơ tải phần tử......................................
2.2Ghép nối phần tử - ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể.....................
3.Ví dụ........................................................................................................46

CHƯƠNG 3: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM ANSYS...............................49
1.Giới thiệu về phần mềm ansys................................................................49
1.1Giới thiệu chung.................................................................................
1.2Ứng dụng của Ansys..........................................................................
Phân tích tương tác giữa các trường vật lí...............................................
2.Giải bài toán cơ học kết bằng phần mềm Ansys.....................................57
2.1Các bước phân tích của bài toán kết cấu bằng phần mềm Ansys.......
2.2Hai phương pháp làm việc với Ansys................................................
3.Ví dụ........................................................................................................59

CHƯƠNG 4: TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT
CẤU HAI VẬT LIỆU (BI – MATERIAL)...................................................64
1.Phương pháp phân tích phá hủy[8]..........................................................64
1.1 Phương pháp thực nghiệm.................................................................
1.2Phương pháp tương quan chuyển vị (Displacement Correlation
Methods)..................................................................................................
1.3Phương pháp tích phân kín nứt hiệu chỉnh (Modified Crack
Closure Integral)......................................................................................
1.4Phương pháp tích phân J (J – Integral)...............................................


2.Tính toán khả năng phá hủy của kết cấu hai vật liệu bằng phương pháp
tích phân J...................................................................................................70
2.1Nội dung và phương pháp triển khai bài toán....................................
2.2Code lệnh chương trình giải bài toán bằng ansys...............................

2.3Kết quả...............................................................................................
2.4Kết luận..............................................................................................

KẾT LUẬN................................................................................................ 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................83


DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1.1 – Các mẫu thử có và không có vết nứt........................................11
Hình 1.2 – So sánh cơ học phá hủy và sức bền vật liệu.............................11
Hình 1.3 – Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu
thử kim loại................................................................................................ 13
Hình 1.4 – Quá trình hình thành vết nứt....................................................13
Hình 1.5 –Sự nứt do chẻ thớ trong vật liệu................................................14
Hình 1.6 – Sự nứt giữa các hạt..................................................................14
Hình 1.7 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống..............15
Hình 1.8 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống..............15
Hình 1.9 – Chế độ phá hủy cơ bản............................................................15
Hình 1.10 – Bài toán Westergaard...........................................................16
Hình 1.11 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 19
Hình 1.12 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 19
Hình 1.13 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 20
Hình 1.14 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 20
Hình 1.15 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn
trục............................................................................................................ 21

Hình 1.16 – Khe nứt của tấm phẳng chịu ứng suất đều.............................23
Hình 1.17 – Tích phân J............................................................................ 27
Hình 1.18 - vết nứt hai chiều được bao quanh bởi biên Г.........................28
Hình 2.1 – Mô hình các phần tử đơn giản.................................................35
Hình 2.2 – Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp
Lagrange................................................................................................... 38
Hình 2.3 – Chọn dạng đa thức theo tam giác pascal.................................41
Hình 3.1 – Màn hình khởi động Ansys.......................................................49
Hình 3.2 – Kết cấu trong trường hợp tải tĩnh............................................52
Hình 3.3 – Phân tích va chạm của một thí nghiệm đối với ô tô.................53
Hình 3.4 – Phân bố nhiệt trong kết cấu.....................................................54
Hình 3.5 – Mật độ dòng chảy điện từ của van kiểm soát chất lỏng
solenoid..................................................................................................... 55
Hình 3.6 – Trường dòng chảy trong ống dẫn và phân bố áp suất của
thùng trộn.................................................................................................. 56


Hình 3.7 – Đồ thị áp suất mức áp âm........................................................56
Hình 3.8 – Kết cấu khung giàn..................................................................59
Hình 3.9 – Mô hình của giàn khi chưa chia lưới.......................................60
Hình 3.10 – Mô hình kết cấu khi đã được phần tử hóa..............................61
Hình 3.11 – Mô hình của kết cấu khi đã đặt điều kiện biên và tải trọng.. .61
Hình 3.12 – Bảng kết quả phản lực tại các gối.........................................62
Hình 3.13 – Chuyển vị của kết cấu............................................................62
Hình 3.14 – Biểu đồ chuyển vị của các nút trong kết cấu..........................63
Hình 3.15 Biểu đồ ứng suất của kết cấu....................................................63
Hình 4.1 – Các mô hình thực nghiệm đo giới hạn phá hủy.......................64
Hình 4.2 – Mô hình thực nghiệm đo KIC..................................................65
Hình 4.3 – Thiết bị dùng để đo KIC...........................................................66
Hình 4.4 – Phương pháp tương quan chuyển vị........................................66

Hình 4.5 – Phương pháp suy biến điểm phần tư.......................................67
Hình 4.6 – Phương pháp tích phân kín nứt hiệu chỉnh..............................68
Hình 4.7 – Tích phân J.............................................................................. 69
Hình 4.8 – Các dạng biến đổi của tích phân J...........................................69
Hình 4.9 – Kết cấu hai vật liệu (Bimaterial).............................................71
Hình 4.10 – Mô hình một nửa của kết cấu.................................................72
Hình 4.11 – Mô hình của kết cấu bằng Ansys............................................78
Hình 4.12 – Biểu đồ biến dạng của kết cấu...............................................79
Hình 4.13 – Biểu đồ chuyển vị của các nút phần tử..................................79
Hình 4.14 – Cường độ ứng xuất vùng gần đỉnh vết nứt.............................79
Hình 4.15 – Bảng Giá trị của các tham số................................................80

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY
1. Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)
1.1 Khái niệm về cơ học phá hủy
Phá huỷ là vấn đề mà xã hội phải đối mặt kể từ khi con người bắt đầu xây dựng
những kiến trúc.Ngày nay vấn đề này thực sự trở nên quan trọng hơn nhiều bởi sự ảnh


hưởng của phá hủy là rất lớn do sự phụ thuộc của con người ngày càng nhiều vào khoa
học kĩ thuật và máy móc
May mắn thay,sự tiến bộ trong lĩnh vực cơ học phá huỷ đã và đang giúp chúng ta
giảm thiểu đáng kể các nguy hiểm tiềm ẩn gây ra bởi sự phá hủy của các kết cấu trong
các công trình, máy móc…Nhiệm vụ của môn Cơ học phá hủy là tìm ra nguyên nhân
tại sao vật liệu bị phá huỷ và khả năng ngăn chặn,bảo vệ được sự phá huỷ của các kết
cấu đó.
Cơ học phá hủy là một lĩnh vực của cơ học nói chung, chuyên nghiên cứu sự hình
thành của vết nứt trên vật liệu của kết cấu cơ học. Cơ học phá hủy là một lĩnh vực
đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện hiệu suất của vật liệu và các thành phần
cơ học của kết cấu.

Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu về độ
bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt. Cho phép định
lượng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của các vết nứt có
thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt. Nó sử dụng các phương
pháp phân tích cơ học vật rắn để tính toán động lực trên một vết nứt và những thử
nghiệm của cơ học vật rắn để mô tả đặc điểm chống lại phá hủy kết cấu[1]
Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các kết cấu cơ học chứa khuyết tật hình học
như các liên kết bằng ren, khe hở của chi tiết trục, răng của bánh răng…Kích thước và
hình dạng của chúng đóng vai trò quan trọng bởi vì chúng xác định độ bền của cấu
trúc vật liệu. Thông thường, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc có chứa các
khuyết tật bị ảnh hưởng bởi hai yếu tố: ứng suất và độ bền uốn. Tuy nhiên, cách tiếp
cận này thường sẽ cho kết quả không chính xác nếu khuyết tật có đặc trưng hình học
lớn. Để giải thích điểm này, chúng ta hãy xem xét các trường hợp sau (hình1.1):


Hình 1.1 – Các mẫu thử có và không có vết nứt
Tất cả các mẫu có cùng độ dày. Các lực cần thiết để phá vỡ bốn mẫu được sắp xếp
theo thứ tự sau: F4 < F3 < F1 < F2
Rõ ràng, các kích thước của các khuyết tật ở các mẫu C và D ảnh hưởng lớn đến
độ bền của mẫu, làm giảm độ bền của mẫu.
So với phương pháp tiếp cận sức bền vật liệu, phương pháp cơ học phá hủy
(Fracture mechanics) bị ảnh hưởng bởi ba yếu tố: ứng suất, kích thước phá hủy và độ
bền phá hủy. Trong phương pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốn
phù hợp tính chất vật liệu. nhiệm vụ của cơ học phá hủy là phải xác định giới hạn của
ba yếu tố trên.

Hình 1.2 – So sánh cơ học phá hủy và sức bền vật liệu
1.2 Phân loại cơ học phá hủy

Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể được
chia thành cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics)
(LEFM) và cơ học phá hủy đàn hồi dẻo (Elasto Plastic Fracture Mechanics
(EPFM). LEFM được áp dụng để tính toán cho các vật liệu có tính đàn hồi không biến
dạng (đàn hồi tuyến tính), chúng bị phá hủy khi chưa xảy ra biến dạng hoặc biến dạng
còn nhỏ, với các vật liệu như: thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bê
tông...LEFM cho kết quả tính toán có độ chính xác khá cao. Tuy nhiên, đối với vật liệu
dễ uốn như thép carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính dẻo luôn
xảy ra trước phá hủy. Tuy nhiên, khi tải trọng nhỏ, LEFM vẫn cho kết quả gần đúng.
EPFM được áp dụng cho để tính toán cho các kết cấu có vật liệu có tính chất đàn hồidẻo. EPFM là trường hợp mà khi xuất hiện vết nứt, vật liệu đã có sự biến dạng (chảy
dẻo).
Dựa theo tính chất của vật liệu của kết cấu Cơ học phá hủy được chia thành các
dạng sau:

− Vật liệu có tính chất độc lập tuyến tính theo thời gian (Linear time – independent
materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính
− Vật liệu có tính chất độc lập phi tuyến theo thời gian (Nonlinear time –
independent materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi phi tuyến
− Vật liệu có tính chất thay đổi theo thời gian (Time – dependent materials) : Động
lực học cơ học phá hủy, cơ học phá hủy nhớt đàn hồi, cơ học phá hủy nhớt dẻo


1.3 Nguyên nhân gây ra phá hủy
 Độ bền của tổ chức vết nứt

Hình 1.3 – Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu thử kim loại
Phá hủy ở vật liệu thường được chia làm hai dạng:
− Phá hủy giòn (Brittle): Vật liệu bị phá hủy khi biến dạng còn rất nhỏ.
− Phá hủy dẻo (Ductile): Vật liệu bị phá hủy khi có biến dạng lớn và có sự chảy
dẻo.

Đối với một số loại vật liệu như kim loại, bên trong có tồn tại những lỗ hổng vi
mô. Khi vật liệu bị biến dạng do gia tải, những lỗ trống này sẽ phát triển và đến một
lúc nào đó chúng sẽ giao nhau và tạo thành vết nứt gây phá hủy vật liệu.

Hình 1.4 – Quá trình hình thành vết nứt
 Các thông số vật lý và cấu trúc vi mô làm biến đổi độ bền của vật liệu:
− Sự nứt do chẻ thớ (Cleavage fracture): là hiện tượng phân tách vật liệu xảy ra do
sự phá vỡ các liên kết nguyên tử dọc theo những bề mặt tinh thể nhất định. Sự
nứt xảy ra tại những bề mặt mà sự liên kết nguyên tử tại đó yếu và khoảng cách
giữa các mặt lớn. Dạng nứt này có thể xảy ra ở tinh thể lập phương tâm khối như
sắt hay thép carbon thấp. Đối với vật liệu đa tinh thể, vết nứt sẽ chuyển hướng
khi nó gặp biên của tinh thể khác. Mặt phẳng nứt tại mỗi tinh thể có sự phản
chiếu cao. Khi quan sát toàn bộ mặt vết nứt sẽ thấy những vùng lấp lánh


Hình 1.5 –Sự nứt do chẻ thớ trong vật liệu

− Sự nứt giữa các hạt (Intergranular fracture: Sự rạn nứt xảy ra dọc theo biên tinh
thể. Do hiện tượng phân tách của những tinh thể giòn và sự kết tủa tại những biên
của tinh thể dẫn đến sự liên kết yếu tại biên giữa các tinh thể.

Hình 1.6 – Sự nứt giữa các hạt
Sự nứt giữa các hạt được chia làm hai loại:
+ Sự phân tách tại biên tinh thể kèm theo sự xuất hiện của những lỗ trống. Hiện
tượng này xảy ra trong suốt quá trình phá hủy của một số loại thép hay hợp
kim nhôm


Hình 1.7 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống
+ Sự phân tách không có lỗ trống xuất hiện trong suốt quá trình phá hủy của

thép hóa giòn ở nhiệt độ cao hay vật liệu khó nóng chảy như tungsten hay
phá hủy rão.

Hình 1.8 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống
2. Các chế độ phá hủy (Fracture modes)
Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản

Hình 1.9 – Chế độ phá hủy cơ bản
−
−
−

Dạng mở rộng (mode I) các bề mặt phá hủy bị tách theo phương Y
Dạng trượt (mode II) các bề mặt trượt lên nhau theo phương X.
Dạng trượt xoay (mode III) các bề mặt trượt lên nhau và xé ra theo phương Z.
Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên. Trong đó

chế độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật.
3. Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất.


3.1 Bài toán Westergaard
Khi vết nứt xuất hiện, tại vùng gần đỉnh của vết nứt có xuất hiện ứng suất tập
trung, để biểu thị cho mức độ tập trung của ứng suất tại vùng gần đỉnh của vết nứt
người ta dùng hệ số K được gọi là hệ số cường độ ứng suất
Xét bài toán khe nứt elip trong tấm phẳng có kích thước lớn vô hạn (Westergaard)

Hình 1.10 – Bài toán Westergaard

σ yy = σ

a
θ
θ
3θ 
cos  1 + sin sin ÷ ( MPa)
2r
2
2
2 

(1.1)

σ xx = σ

a
θ
θ
3θ 
cos 1 − sin sin ÷ ( MPa)
2r
2
2
2 

(1.2)

τ xy = σ

a

θ
θ
3θ
sin cos cos
2r
2
2
2

( MPa)

(1.3)

3.2 Hệ số cường độ ứng suất K (Stress intensity factor)
Hệ số cường độ ứng suất là đại lượng đặc trưng cho mức độ tập trung ứng suất tại
vùng gần đỉnh vết nứt và được xác định bằng công thức sau:
σ yy 
 KI 


 
2π r  τ xy 
 K II  = r →lim
0,θ = 0
K 
τ 
 III 
 yz 
Với

( MPa m ) (1.4)

là các ứng suấtgần đỉnh vếtnứt, tương ứng với 3 dạng phá hủy ta sé cố

các hệ số cường độ ứng suất KI, KII, KIII


Kết hợp (1.1) và (1.4) với

ta có:
a
= σ πa
2r

K I = σ yy 2π r = σ 2π r

(1.5)

Kết quả (1.5) chỉ đúng trong trường hợp tấm phẳng vô hạn, đới với trường hợp
tấm phẳng hữu hạn với các mô hình nứt khác nhau thì :
K I = ασ π a

Với

(1.6)

là hàm phụ thuộc vào các dạng mô hình nứt khác nhau.

3.3 Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt
 Chế độ phá hủy I :

Trường ứng suất:

σ xx =

KI
θ
θ
3θ 
cos  1 − sin sin ÷ ( MPa)
2
2
2 
2π r

(1.7)

σ yy =

KI
θ
θ
3θ 
cos 1 + sin sin ÷ ( MPa)
2
2
2 
2π r

(1.8)

τ xy =

KI
θ
θ
3θ
sin cos cos
2
2
2
2π r

( MPa)

(1.9)

Trường chuyển vị:
ux =

KI
2µ

uy =

KI
2µ

r
θ
θ

cos κ − 1 + 2sin 2 
2π
2
2

r
θ
θ
sin  k − 1 + 2cos 2 
2π
2
2

 Chế độ phá hủy II :
Trường ứng suất:

σ xx =

( m)

K II
θ
θ
3θ 
cos  1 − sin sin ÷ ( MPa)
2
2
2 
2π r

(1.12)

(1.10)

( m)

(1.11)


σ yy =
τ xy =

K II
θ
θ
3θ 
cos 1 + sin sin ÷ ( MPa)
2
2
2 
2π r
K II
θ
θ
3θ
sin cos cos
2
2
2
2π r

( MPa)

(1.13)

(1.14)

Trường chuyển vị:

ux =

K II
2µ

r
θ
θ
cos  k − 1 + 2sin 2 
2π
2
2

( m)

(1.15)

uy =

K II
2µ

r
θ
θ
sin  k − 1 + 2cos 2 
2π
2
2

( m)

(1.16)

Đối với phá hủy dạng I và II:
• σ zz Trong trường hợp ứng suất phẳng
• σ zz = v(σ xx + σ yy ) Trong trường hợp biến dạng phẳng.
• µ là modun đàn hồi trượt.
•

k=

3−v
trong trường hợp ứng suất phẳng.
1+ v

• k = 3 − 4v trong trường hợp biến dạng phẳng.
• Với v là hệ số Poisson.
 Chế độ phá hủy III :
Trường ứng suất :
σ xz =

K III
θ
sin
2
2π r

( MPa )

(1.17)

σ yz =

K III
θ
cos
2
2π r

( MPa )

(1.18)

σ xx = σ yy = σ zz = τ xy = 0 ( MPa) (1.19)
Trường chuyển vị:

uz =

K III
2µ

r
θ
sin
2π
2

ux = u y = 0

( m) (1.20)

(1.21)

Ngoài ra, trường ứng suất và trường chuyển vị còn được biểu diễn dưới dạng tọa
độ cực. Với mô hình nứt dạng hỗn hợp ta áp dụng nguyên lý chồng chập tuyến tính
trong hệ tọa độ vuông góc hay hệ tọa độ cực để tính.


3.4 Sự phụ thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt và phụ
tải.
• Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.11 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

K I = ασ π a

( MPa m ) (1.22)
2

3

4

 a
a
a
a
α = 1,12 − 0, 23  ÷+ 10,55  ÷ − 21,71 ÷ + 30.38  ÷
W 
W 
W 
W 

(1.23)

• Tấm phẳng với hai vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.12 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục
K I = ασ π a

( MPa m ) (1.24)

a
α = 1,12 + 0, 41
W

2

3


a
a
÷− 4,78  ÷ − 15, 44  ÷ (1.25)

W 
W 


• Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.13 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
K I = ασ π a

( MPa m ) (1.26)
2

4

6

 a
a
a
α = 1 + 0,5  ÷ + 20, 46  ÷ + 81,72  ÷ (1.27)
W 
W 
W 

• Tấm phẳng với vết nứt nghiêng, bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.14 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục
K I = ασ π a sin 2 (90 − α )

( MPa m )

K II = ασ π a sin (90 − α )cos (90 − α )
2

4

(1.28)
( MPa m )

(1.29)

6

 a
a
a
α = 1 + 0,5  ÷ + 20, 46  ÷ + 81,72  ÷ (1.30)
W 
W 
W 

• Tấm phẳng với vết nứt biên chịu tải tập trung ở giữa và hai gối tựa


Hình 1.15 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

KI = α

P
B W

( MPa m ) (1.31)

 2H  a
3
÷

a
a 
a
a 
W  W
α=
1,99 − (1 − )  2,15 − 3,93 + 2,7( ) 2  
3/2 
W
W 
W
W 
a 
a 

2 1 + 2 ÷1 − ÷
W  W 


(1.32)
Với B là chiều dày của tấm
3.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất
Theo lý thuyết cơ bản về tuyến tính, ứng suất tại đỉnh của vết nứt là vô cùng
nhưng trong thực tế, luôn có vùng chảy dẻo tại đỉnh của vêt nứt ở đó giới hạn một ứng
suất có giá trị hữu hạn. Rất khó khăn để mô hình và tính toán ứng suất thực tế trong
vùng chảy dẻo và so sánh chúng với giá trị ứng suất cho phép lớn nhất của vật liệu để
xác định liệu rằng một vêt nứt có phát triển hay không.
Một kỹ thuật tiếp cận là thực hiện một loạt các thí nghiệm đê tìm ra một giá trị hệ
số cường độ ứng suất KC (KC là một đặc tính của vật liệu đặc trưng cho sự chống lại sự
phá hủy của vật liệu) tương ứng với mỗi vật liệu. K C được gọi là độ bền phá hủy của
vật liệu. Một vật được xác định khả năng nứt bằng cách so sánh K i với KiC tương ứng
(i=I,II,III). Sự phá hủy xảy ra khi Ki KiC.


4. Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng
4.1 Cân bằng năng lượng trong vết nứt
Sự thay đổi khi một vật thể vết xuất hiện vết nứt là sự suất hiện thêm các bề mặt.
Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) sẽ tiêu thụ năng lượng từ các bề mặt mang
năng lượng cao hơn năng lượng của chi tiết và giải phóng ra năng lượng. Sau đó quá
trình nứt có tiếp tục diễn ra hay không còn phụ thuộc vào việc nó có chứa đủ năng
lượng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sự cân bằng của nó. Nói cách khác
quá trình nứt diễn ra khi xảy ra sự mất cân bằng năng lượng giữa các bề mặt với năng
lượng của bản thân kết cấu, chi tiết.
Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời gian do
.

tác dụng của tải trọng ( W ) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi nội năng đàn hồi
(internal elastic energy) (

), năng lượng biến dạng dẻo (

), động năng (kinetic

energy) ( ) của vết nứt, và năng lượng cần thiết để tăng vết nứt cho một đơn vị thời

gian ( ). Nói cách khác[1]:

.

.

.

.

.

W = U E +U P + K + Γ

( J / s) (1.33)
.

Nếu quá trình nứt xảy ra chậm, động năng K là không đáng kể ( K = 0 ). Hơn nữa,
vì tất cả thay đổi đều liên quan đến thời gian được gây ra bởi những thay đổi kích
thước các vết nứt, chúng ta có:
∂
∂ ∂A & ∂
=
=A

∂t ∂A ∂t
∂A

(1.34)

với A là diện tích vết nứt. Do vậy phương trình (1.33) có thể được viết lại như sau:
−

∂Π ∂U P ∂Γ
=
+
∂A
∂A ∂A

(1.35)

Ở đây, Π = U E − W là thế năng của hệ.


Phương trình (1.35) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lượng tiêu tan
trong kết cấu dẻo và tạo ra bề mặt.
4.2 Lý thuyết Griffith
Theo định luật nhiệt động lực học đầu tiên, khi một hệ chuyển từ trạng thái không
cân bằng sang trạng thái cân bằng sẽ có sự suy giảm năng lượng. Griffith áp dụng ý
tưởng này để giải thích sự hình thành vết nứt. Một vết nứt có thể hình thành nếu có
một quá trình nào đó làm cho tổng năng lượng suy giảm hoặc còn lại một giá trị hằng
số. Do đó điều kiện cần thiết để định nghĩa một khe nứt tồn tại dưới điều kiện cân
bằng là không có sự thay đổi trong tổng năng lượng
Xét một tấm phẳng chịu ứng suất đều và có một khe nứt chiều dài 2a. Giả thiết
rằng chiều rộng của tấm phẳng rất lớn so với chiều dài 2a của khe nứt và điều kiện ở

đây là ứng suất phẳng.

Hình 1.16 – Khe nứt của tấm phẳng chịu ứng suất đều
Để khe nứt có thể tăng trưởng kích thước thì thế năng có trong tấm phẳng phải
vượt qua năng lượng bề mặt của vật liệu. Thuyết cân bằng năng lượng của Griffith cho
sự tăng trưởng của vùng nứt dưới điều kiện cân bằng được biểu diễn như sau:
∂E ∂Π ∂Ws
=
+
= 0 (1.36)
∂A ∂A ∂A

Hay: −

∂Π dWs
=
(1.37)
∂A
dA

Trong đó A là diện tích mặt nứt, E là tổng năng lượng, П là thế năng được cung cấp
bởi nội năng biến dạng và ngoại lực, và Ws là công cần thiết tạo ra bề mặt mới.


Đối với tấm phẳng nứt trong hình trên, Griffith sử dụng phương pháp phân tích
ứng suất của Inglish để chỉ ra

πσ 2 a 2 B
Π = Π0 −
E

(J )

(1.38)

Với П0 là thế năng của tấm phẳng khi chưa nứtvà B là độ dày tấm phẳng. Do sự hình
thành khe nứt đòi hỏi sự tạo thành của hai mặt phẳng nên Ws được cho bởi:
Ws = 4aBγ s

(J )

(1.39)

Với γS là năng lượng bề mặt của vật liệu.
Ta có:

∂Π
dΠ da
πσ 2 2aB 1
A = 2aB ⇒ −
=−
=−
∂A
da dA
E
2B
∂Π πσ 2 a
⇒−
=
∂A

E
Và ta cũng có:

(1.40)

(1.41)

∂Ws 4aBγ s da
∂Ws
=
⇒
= 2γ s
∂A
2 Bda
∂A

(1.42)

Từ (1.41) và (1.42) ta tìm được ứng suất gây nứt :

σf =(

2 Eγ s 1/2
)
πa

( MPa )

(1.43)

Phương pháp Griffith cũng có thể dùng để áp dụng tính toán cho các mô hình nứt
khác.
4.3 Tỷ lệ giải phóng năng lượng G
Đối với các vật liệu đàn hồi tuyến tính – Linear elastic materials (vật liệu giòn lý
tưởng), năng lượng tiêu tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và có thể được bỏ
qua (

=0). Do vậy, năng lượng để mở rộng một đơn vị của bề mặt vết nứt G có thể

được xác định:[1]
G=−

∂Π ∂Γ
=
∂A ∂A

( J / m2 )

(1.44)


Phương trình trạng thái cân bằng ở trên chính là thế năng trong vật thể cần phải
thắng năng lượng bề mặt của vật liệu (năng lượng cần thiết để vết nứt lớn thêm ra). G
còn được gọi là tỷ lệ giải phóng năng lượng đàn hồi hay độ cứng chống phá hủy.
Theo công thức (1.41) tỷ lệ giải phóng năng lượng trong mô hình nứt trên là:

πσ 2 a
⇒G=
E

( J / m2 )

(1.45)

Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, với một vật thể có tải trọng không đổi luôn tuân
theo quy luật (theo định lý Clapeyron):
W = 2U E

(J )

(1.46)
.

kết hợp với (1.33) ( K = 0 ), do đó phương trình (1.44) có thể được viết lại như
sau:
G=

∂U E
∂A

( J / m 2 ) (1.47)

Ý nghĩa vật lý đầy đủ của tỷ lệ giải phóng năng lương G là nó biểu thị năng lượng
trên một đơn vị diện tích sẽ được giải phóng nếu vết nứt phát triển. Lưu ý rằng phương
trình chỉ đúng khi vật thể nứt là đàn hồi tuyến tính. Nếu vật thể đàn hồi phi tuyến hoặc
có tính dẻo đáng kể, phương trình không còn giá trị
4.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai
Vết nứt sẽ phát triển khi G tiến đến hoặc vượt một giá trị cực đại Gc:
Gc =

∂Ws
∂A

( J / m2 )

(1.48)

Gc được gọi là độ bền phá hủy của vật liệu theo tiêu chuẩn năng lượng .
4.5 Mối quan hệ giữa K và G

− Với mô hình phá hủy dạng I và II
GI =

K I2
E'

(1.49)

GII =

K II2
E'

(1.50)