VỀ TÍNH COFINITE CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________

Đinh Quang Đức

VỀ TÍNH COFINITE
CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________

Đinh Quang Đức

VỀ TÍNH COFINITE
CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG SUY RỘNG
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011


LỜI NÓI ĐẦU

Mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng được nhà toán học Herzog đưa ra đầu tiên năm
1974. Cho R là một vành Noether, giao hoán có đơn vị là 1 ≠ 0, I là một ideal của R; M và N là các Rmô đun, khi đó:

H

i
I

( M , N ) = lim Ext R ( M / I n M , N )
i

→
n

được gọi là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của N ứng với M. Đây là sự tổng quát hóa mô đun
đối đồng điều địa phương của Grothendieck. Bên cạnh đó khái niệm mô đun cofinite được Hartshone
đưa ra cũng nhằm giải quyết vấn đề cũng do chính Grothendieck đặt ra trước đó năm 1962: “Khi nào
thì mô đun Hom A (A/I, Hi I (M)) hữu hạn sinh với mọi ideal I của A và với mọi mô đun hữu hạn sinh
R

R

P

R

P

R

M?”.
Sau đó, các vấn đề về mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng và mô đun cofinite đã được
các nhà toán học nghiên cứu và phát triển: Suzuki, Yassemi, Zamani, Gu, Hartshone, K-I. Kawasaki,
K-I. Yoshida, Nguyễn Tự Cường, Trần Tuấn Nam,...Hiện nay, nó đang trở thành một đề tài hấp dẫn đối
với các nhà toán học. Nhiều tính chất của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng đã được tìm ra
nhưng vẫn còn nhiều tính chất mà các nhà toán học chưa khám phá hết. Trong đó, tính cofinite của mô
đun đối đồng điều địa phương suy rộng là vấn đề còn khá mới và hấp dẫn.
Luận văn giới thiệu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng, phần sau đó
là giới thiệu về tính cofinite của nó.
Cuối cùng, Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS Trần Tuấn Nam, người đã trực
tiếp tận tình giúp đỡ và hướng dẫn luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Nguyễn Văn Tấn, TS. Phan Dân, Tổ Toán, Trường Đại học
Giao thông Vận tải Tp. Hồ Chí Minh đã động viên, tạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt trong suốt quá
trình học tập và làm luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã
tận tình giảng dạy và truyền đạt nhiều kiến thức mới, bổ ích giúp tôi làm quen dần với việc nghiên cứu
khoa học.


Tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn cùng lớp, các bạn đồng nghiệp và Lãnh đạo Trường Đại
học Giao thông Vận tải Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện về mọi mặt để tác giả hoàn thành
tốt chương trình học.
Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn chế, nên luận văn này không tránh khỏi nhiều thiếu sót, rất
mong được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn.
Thành phố Hồ Chí Minh tháng 08 năm 2011
Đinh Quang Đức

Mục Lục

Mục Lục ........................................................................................................................................................... 5
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ........................................................................................................................ 6
1. Giới hạn thuận, giới hạn ngược, Ideal nguyên tố liên kết và giá. .......................................................... 6
2. Số chiều – chiều cao – dãy các phần tử chính quy – độ sâu.................................................................... 8
3. Chiều nội xạ - chiều xạ ảnh – bao nội xạ ............................................................................................... 10
4. Mô đun đối đồng điều địa phương – biến đổi ideal .............................................................................. 11
5. Phức Koszul – dãy phổ........................................................................................................................... 14
Chương 2 ......................................................................................................................................................... 19
Tính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng .......................................................................... 20
§ 1. Mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng .......................................................................................... 20
§ 2. Tính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng ................................................................ 38
Kết luận .......................................................................................................................................................... 49
Tài liệu tham khảo ......................................................................................................................................... 50
5T

T
5

5T

5T

5T

T
5

5T

T
5

5T

T
5

5T

T
5

5T

5T

5T

T
5

5T

T
5

5T

T
5

5T

5T

5T

T
5

T
5

5T


Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1. Giới hạn thuận, giới hạn ngược, Ideal nguyên tố liên kết và giá.
Giới hạn thuận
Tập thứ tự bộ phận và thở với mọi i, j ∈ I thì tồn tại k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k được gọi là
tập định hướng.
Cho tập định hướng I , Ω là phạm trù các môđun trên vành R, ( M i )i∈I là họ các R – môđun. Với
mọi cặp i, j ∈ I sao cho i ≤ j , giả sử có một đồng cấu R – môđun ϕ ij : M i → M j thỏa:

ϕii = id

ϕki = ϕkjϕ ij

với mọi i ≤ j ≤ k

Họ các R – môđun M i và các đồng cấu ϕ ij được gọi là hê thuận trên tập định hướng I.
R

R

Cho hệ thuận các đồng cấu (ϕ ij ) . Xét phạm trù mới mà vật là cặp ( M , ϕ i ) với ϕ i : M i → M sao
cho sơ đồ sau giao hoán
ϕ ij

M i → M j

ϕi ]

[ ϕj
M

Vật khởi đầu trong phạm trù trên được gọi là giới hạn thuận của họ đông cấu (ϕ ij ) . Kí hiệu:
C = lim
uuur M i
i∈I

Tính phổ dụng của giới hạn thuận chính là tính phổ dụng của vật khởi đầu.
Giới hạn ngược
Trong phạm trù các R – môđun, cho họ các R – môđun ( M i )i∈I trên tập định hướng I. Với mọi
cặp i, j ∈ I sao cho j ≤ i , giả sử có một đồng cấu R – môđun ϕi j : M j → M i thỏa:

ϕii = id

ϕkj = ϕki ϕi j

với mọi j ≤ i, k ≤ i

Trong phạm trù mới mà vật là cặp ( M , ϕi ) với ϕi : M → M i sao cho sơ đồ sau giao hoán

M

ϕj [

] ϕi
ϕ ij

M i → M j
Vật tận cùng trong phạm trù trên được gọi là giới hạn ngược của hệ trên. Kí hiệu:
C = lim
suuu M i
i∈I


Tính phổ dụng của giới hạn ngược chính là tính phổ dụng của vật tận cùng.
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành, M là R – môđun, idean nguyên tố P được gọi là idean
nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x ∈ M , x ≠ 0 : P =
ann ( x ) .
Tập các idean nguyên tố liên kết của M được ký hiệu là Ass ( M )

{

}

P ∈ Spec ( R ) M P ≠ 0
Giá của môđun M, ký hiệu là Supp ( M ) =

{

}

Đặt V ( I ) = P ∈ Spec ( R ) I ⊂ P ≠ 0 .
Nếu M là R – môđun hữu hạn sinh thì Supp ( M ) = V ( ann ( M ) )
Nếu R là vành Noether và I là một idean của R thì Supp ( A / I ) = V ( I )
Mệnh đề 1.1.2. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh, I là một idean của R. Khi
đó Supp ( M ) ⊂ V ( I ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho I k M = 0 .
Mệnh đề 1.1.3. Cho M,N là các R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó,

Supp ( M ⊗ R N ) =
Supp ( M ) I Supp ( N )
Hệ quả 1.1. 4. Cho M là R – môđun hữu hạn sinh, I là một idean của R., khi đó

Supp ( M / IM
=
=
) V ( I ) I V ( annM
) V ( I + annM )
Mệnh đề 1.1.5. Cho R là vành Noether, M là R – môđun khác 0
• Phần tử tối đại
của F
=

{ann ( x ) x ∈ M } là idean nguyên tố liên kết

của M hay Ass ( M ) ≠ 0

• Tập các ước của không của M là hợp các idean nguyên tố liên kết của M
Mệnh đề 1.1.6. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh, N là R – môđun bất kỳ.
Khi đó,
Ass ( HomR ( M , N ) ) = Ass ( N ) I Supp ( M )

Mệnh đề 1.1.7. Cho M , N , P là các R – môđun. Nếu dãy
0→M →N →P→0

khớp thì
•

Ass ( N ) ⊂ Ass ( M ) I Ass ( P )

•

Supp ( N ) = Supp ( M ) I Supp ( P )
Mệnh đề 1.1.8. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó, ta có:


•

Ass ( M ) là tập hữu hạn.

•

Ass ( M ) ⊂ Supp ( M )

• Phần tử tối tiểu của Ass ( M ) và Supp ( M ) là giống nhau.
2. Số chiều – chiều cao – dãy các phần tử chính quy – độ sâu
Một dãy các môđun con của M là dãy

( M i )0≤i ≤ n

các môđun con của M thỏa mãn

M = M 0 ⊃ M 1 ⊃ ... ⊃ M n = 0 . Chiều dài của dãy là n.

Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của M tức là không thể thêm vào một
môđun con nào nữa. Điều đó tương đương với việc nói rằng môđun M i / M i +1 là đơn.
Độ dài của các chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không đổi và được ký hiệu là l ( M ) và
được gọi là độ dài của môđun M.
Mệnh đề 1.2.1. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là
tương đương:
i. l ( M ) < +∞
ii. Mọi idean nguyên tố thuộc Ass ( M ) đều là idean tối đại của R.
iii. Mọi idean nguyên tố thuộc Supp ( M ) đều là idean tối đại của R.
Hệ quả 1.2.2. Cho R là vành Noether, M là R – môđun hữu hạn sinh, N là R – môđun bất kỳ.
Nếu l ( M ) < +∞ thì l ( HomR ( M , N ) ) < +∞ . Do đó, nếu N là R – môđun Artin thì HomR ( M , N ) cũng
là R – môđun Artin.
Mệnh đề 1.2.3. Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành độ dài n. Khi đó mọi dãy môđun con của
M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp thành.
Mệnh đề 1.2.4. M là chuỗi hợp thành khi và chỉ khi M vừa là dãy điều kiện tăng vừa là dãy điều
kiện giảm.
Mệnh đề 1.2.5. Cho dãy khớp ngắn 0 → M ' → M → M '' → 0 , khi đó ta có

l ( M ') − l ( M ) + l ( M '') =

0
Định nghĩa 1.2.6. Số chiều của một vành R, ký hiệu dim R , là chiều dài lớn nhất n của dãy
P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn các idean nguyên tố của R. Nếu có một dãy vô hạn các idean nguyên tố như trên thì ta

ký hiệu dim R = +∞


Định nghĩa 1.2.7. Cho R là một vành khác 0, P là một idean nguyên tố của R. Chiều cao của
một idean nguyên tố P là độ dài lớn nhất của dãy các idean nguyên tố P0 ⊂ P1 ⊂ ... ⊂ Pn , ký hiệu.
Từ định nghĩa ta thấy nếu htP = 0 thì P là idean nguyên tố tối tiểu của vành R.
Nếu I là một idean của R, ta định nghĩa chiều cao của I là chiều cao nhỏ nhất của các idean
nguyên tố chứa I,
=
htI inf {htP P ∈ V ( I )}

Số chiều của R có thể được định nghĩa là
=
dim R sup {htP P ∈ Spec ( R )}

và nó được gọi là số chiều krull của R.
Số chiều của R – môđun M, ký hiệu dim M = dim ( P / annM ) nếu M ≠ 0 và ta ký hiệu

dim M = −1 nếu M = 0 .
Mệnh đề 1.2.8. Cho R là vành Noether, M ≠ 0 là R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau
là tương đương:
i. M có độ dài hữu hạn.
ii. Vành R / annM là Artin
iii. dim M = 0
Mệnh đề 1.2.9. Cho R là vành Noether. Khi đó các điều sau là tương đương:
i. M là vành Artin

ii. Mọi idean thuộc Spec ( R ) đều là idean tối đại của R
iii. Mọi idean thuộc Supp ( M ) đều là idean tối đại của R
Định nghĩa 1.2.10.
Cho M là R – môđun. Một phần tử r ∈ R được gọi là M – chính quy nếu rx ≠ 0, ∀x ∈ M , x ≠ 0.
Một dãy các phần tử a1 , a2 ,..., an của R là một M – dãy (hay là một M – dãy chính quy) nếu nó
thỏa mãn hai điều kiện sau:
i.

a1 là M – chính quy, a2 là M / a1M – chính quy, a3 là M / ( a1a2 ) M – chính quy,…, an là

M / ( a1a2 ...an −1 ) M – chính quy
ii. M / ( a1a2 ...an −1an ) M ≠ 0


Chú ý rằng khi hoán vị csac vị trí của các ai của một M – dãy thì có thể nó chưa chắc là M –
dãy.
Định nghĩa 2.2.11. Cho M là một môđun hữu hạn sinh khác 0 trên vành Noether địa phương

( R, m ) , chiều sâu của M trên R là độ dài lớn nhất của M – dãy trong m, kí hiệu

depthR M hay depthM

3. Chiều nội xạ - chiều xạ ảnh – bao nội xạ
Chiều nội xạ - chiều xạ ảnh
Nếu M là một R – môđun mà có một phép giải xạ ảnh P • với Pn = 0 khi n > d nhưng Pd ≠ 0
với mọi cách chọn phép giải xạ ảnh của M. Khi đó ta nói M có chiều xạ ảnh là d, kí hiệu PdM = d .
Nếu không có số d thoả mãn điều kiện trên ta viết PdM = ∞ .
Nếu M là một R – môđun mà có một phép giải nội xạ I • với I n = 0 khi n > d nhưng I d ≠ 0
mọi cách chọn phép giải nội xạ của M. Khi đó ta nói M có chiều nội xạ là d, kí hiệu IdM = d .
Nếu không có số d thoả mãn điều kiện trên ta viết IdM = ∞

Rõ ràng nếu M là môđun xạ ảnh thì PdM = 0 , nếu N là môđun nội xạ thì IdM = 0
Bao nội xạ
Cho M là một môđun con của R – môđun L.
i. Ta nói L là một mở rộng cốt yếu của M nếu B I M ≠ 0 với mọi B là môđun con của L.
Hay ta có thễ nói cách khác: L là mở rộng cốt yếu của M nếu với mọi m ∈ M tồn tại r ∈ R sao
cho 0 ≠ rm ∈ L .
ii. Ta nói L là bao nội xạ của M nếu L là nội xạ và củng là mở rộng cốt yếu của M.
iii. M là nội xạ khi và chỉ khi mở rộng cốt yếu của M là chính nó.
iv. Nếu L là bao nội xạ của M, g : M → K là một đơn cấu R – môđun từ M vào một R – môđun nội
xạ thì có một đồng cấu g ' : L → K sao cho biểu đồ giao hoán
⊆
0 → M 
→L

g↓ [
K

g'

Vì Kerg 'I=
M Kerg
= 0 và vì L là bao nội xạ của M nên Kerg ' = 0 . Do đó là đơn cấu.
v. Mỗi R – môđun đều có một bao nội xạ và sai khác nhau một đẳng cấu. Kí hiệu E ( M ) là bao nội
xạ của M.


R – môđun M là không phân tích được nếu M không là tổng trực tiếp của hai môđun con.
Mệnh đề 1.3.1. Cho R là vành Noether và P, Q ∈ Spec ( R )
i.

E ( R / P ) là không phân tích được

ii. Mọi môđun nội xạ không phân tích được đều đẳng cấu với một E ( R / Q )
iii. Nếu x ∈ R \ P thì phép nhân với x cảm sinh một từ đẳng cấu của E ( R / P )
iv. Nếu P ≠ Q thì E ( R / P ) không đẳng cấu với E ( R / Q )
v. Mọi phần tử x ∈ E ( R / P ) đều bị linh hoá bở một luỹ thừa của P
vi. Nếu Q ⊂ P thì E ( R / Q ) là một R p − môđun và ER ( R p / Q p ) ≅ ER ( R / Q )
p

Mệnh đề 1.3.2. Cho R là vành Noether
i. Tổng trực tiếp của các môđun nội xạ là môđun nội xạ.
ii. Mọi môđun nội xạ là tỗng trực tiếp của các môđun nội xạ không phân tích được

⊕ µ (M , P) E ( R / P)

I=

P∈SpecR

trong đó µ ( M , P ) = dim k ( P ) HomR ( k ( P ) , M P ) với k ( P ) = RP / PRP
P

Phép giải nội xạ J • của môđun N được gọi là phép giải nội xạ nhỏ nhất nếu J 0 = E ( N ) và
Ji

(

)

E=

d i −1 ( J i −1 ) E ( cokerd i − 2 )

Phép giải nội xạ nhỏ nhất của một môđun luôn tồn tại
4. Mô đun đối đồng điều địa phương – biến đổi ideal
• Mô đun đối đồng điều địa phương
Trong phần này, vành R được xem là vành Noether, có đơn vị là 1 ≠ 0 và I là một idean của R.
Tác giả chỉ nêu một số tính chất và kết quả của môđun đối đồng điều địa phương.
Định nghĩa 1.4.1. Với mỗi R – môđun M, tập Γ I ( M ) =
U ( 0 :M I n ) , là tập các phần tử của M bị
n∈¥

linh hoá bởi một luỹ thừa nào đó của idean I của R.
Chú ý rằng Γ I ( M ) là môđun con của M.
Với mỗi R – đồng cấu môđun f : M → N ta có f ( Γ I ( M ) ) ⊂ f ( Γ I ( N ) ) do đó có đồng cấu

Γ I ( f ) : Γ I ( M ) ⊂ Γ I ( N ) là thu hẹp của f trên Γ I ( M ) .


Nếu

g:M → N

f : N → L là các đồng cấu R – môđun và r ∈ R , khi đó

và

rΓ I ( f ) , và Γ I ( Id M ) =
ΓI ( h og ) =
Γ I ( h ) oΓ I ( g ) , Γ I ( f + g ) = Γ I ( f ) + Γ I ( g ) , Γ I ( rf ) =
Id Γ ( M ) . Do

I

đó Γ I trở thành hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R – môđun vào chính nó. Γ I còn được
gọi là hàm tử I – xoắn.
Mệnh đề 1.4.2. Cho I, J là hai idean của vành R, nếu

I = J thì Γ I =Γ J

Mệnh đề 1.4.3. Hàm tử I – xoắn Γ I : Μ ( R ) → Μ ( R ) là hàm tử khớp trái.
Ta có Γ I ( M ) ≅ lim Ext Ri ( R / I n , M ) .

→
n

Định nghĩa 1.4.4. với mọi i ∈ ¥ * , hàm tử dẩn xuất phải thứ i của Γ I được kí hiệu là H Ii và
được gọi là hàm tử đối đồng đều địa phương thứ i tương ứng với I.
Ta nói M là I – không xoắn nếu Γ I ( M ) =
0 và nếu M tử I – xoắn là khi Γ I ( M ) =
M.
Ta kiểm tra được H Ii ( M ) ≅ lim Ext Ri ( R / I n , M ) và được gọi là môđun đối đồng đều địa phương

→
n

thứ i của môđun M theo idean I.
Mệnh đề 1.4.5. Cho M là R – môđun
i. Nếu I chứa một phần tử không là ước của 0 đối với M, khi đó M là I – không xoắn tức là

ΓI ( M ) =
0

ii. Giả sử M là hữu hạn sinh. Khi đó M là I – không xoắn khi và chỉ khi I chứa không là ước của 0
đối với M.
Mệnh đề 1.4.6. Với mọi R – môđun M, môđun M / Γ I ( M ) là I – không xoắn.
Mệnh đề 1.4.7. Nếu M là R – môđun nội xạ thì Γ I ( M ) là nội xạ.
Hệ quả 1.4.8. Cho M là R – môđun nội xạ thì dãy khớp

0 → ΓI ( M ) → M → M / ΓI ( M ) → 0
chẻ ra.
Hệ quả 1.4.9. Cho M là R – môđun I – xoắn. Khi đó có một phép giải nội xạ của M trong đó các
thành phần cũa dãy là các R – môđun I – xoắn.
Hệ quả 1.4.10.
i. Cho M là R – môđun I – xoắn. Khi đó H Ii ( M ) = 0
ii. Với mọi R – môđun N, đồng cấu chiếu tự nhiên π : N → N / Γ I ( N ) cảm sinh đẳng cấu
H Ii (π ) : H Ii ( N ) → H Ii ( N / Γ I ( N ) ) với i > 0


Bổ đề 1.4.11. Giả sử M là một R – môđun I – xoắn và ( 0 :M I ) là Artin. Khi đó M cũng là Artin.
Định lý 1.4.12. Giả sử ( R, m ) là vành địa phương, M là một R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó R
– môđun H mi ( M ) là Artin với mọi i ∈ ¥ .
Định lý 1.4.13. Giả sử ( R, m ) là vành địa phương, M là một R – môđun hữu hạn sinh có số
chiều n. Khi đó R – môđun H Ii ( M ) là Artin với mọi i ∈ ¥ .
• Biến đổi ideal
Định nghỉa 1.4.15. Cho hàm tử hiệp biến, R tuyến tính
=
DI lim HomR ( I n , • )

→
n

từ phạm trù các R – môđun vào chính nó. DI được gọi là hàm tử I – biến đổi hay biến đổi theo idean I.

Với mọi R – môđun M, ta gọi DI = lim HomR ( I n , M ) là biến đổi idêan của M tương ứng với I hay con

→
n

gọi là I – biến đổi của M.
Với mọi i ∈ ¥ * ., kí hiệu R i DI là hàm tử dẩn xuất phải thứ i của hàm tử DI , khi đó ta có sự
tương đương tự nhiên của các hàm tử

ψ Ii : R i DI ( − ) ≅ lim Ext Ri ( I n , − )

→
n

Mệnh đề 1.4.16. Dãy
ξ
η
ς
0 
→Γ I ( M ) 
→ M 
→ DI ( M ) 
→ H I1 ( M ) 
→0
M

0
M

M

là khớp.
Mệnh đề 1.4.17. Với i ∈ ¥

và M là R – môđun. Với mọi n ∈ ¥ , đồng cấu nối

β ni ,M : Ext Ri ( I n , M ) → Ext Ri +1 ( R / I n , M ) là đẳng cấu và chuyển qua giới hạn thuận ta có đẳng cấu
β ni ,M : lim Ext Ri ( I n , M ) → lim Ext Ri +1 ( R / I n , M )

→
n


→
n

Do đó, ta có sự tương đương tự nhiên của các hàm tử

γ i : R i DI → H Ii +1
Với mọi R – môđun M có một đơn cấu θ M : M / Γ I ( M ) → DI ( M ) , cảm sinh bởi η M làm cho
dãy
θ
ς
0 
→ M / Γ I ( M ) 
→ DI ( M ) 
→ H I1 ( M ) 
→0
M

là khớp.

0
M


Từ dãy khớp 0 → Γ I ( M ) → M → DI ( M ) → H I1 ( M ) → 0 ta có kết quả sau:
Hệ quả 1.4.18. Cho M là R – môđun, cho π : M → M / Γ I ( M ) là toàn cấu chính tắc. Khi đó ta
có các điều sau:
i.

DI ( Γ I ( M ) ) =
0

ii. DI (π ) : DI ( M ) → DI ( M / Γ I ( M ) ) là đẳng cấu.
iii. DI (η M ) η D ( M ) : DI ( M ) → DI ( DI ( M ) ) là đẳng cấu.
=
I

iv. Γ I ( DI ( M ) ) =
0=
H I1 ( DI ( M ) )
v. H Ii (η M ) : H Ii ( M ) → H Ii ( DI ( M ) ) là đẳng cấu với i > 1
5. Phức Koszul – dãy phổ
• Dãy phổ

=
M
Một môđun phân bậc là một họ các môđun

{M

p

p ∈ ¢ } . Cho các môđun phân bậc

M = {M p } và N = { N p } và một số nguyên r cố định khi đó có một dãy các đồng cấu

=
f

{f

p

: M p → N p + r } là đồng cấu của cấp r. Ta viết f : M → N

Một môđun song phân bậc là một họ các môđun hai chỉ
số M
=

{M

p ,q

( p, q ) ∈ ¢ × ¢ } .

Nếu

M = {M p ,q } và N = { N p ,q } là các môđun song phân bậc và nếu ( a, b ) là một cặp sắp thứ tự các số

f
=
nguyên, khi đó có một họ các đồng cấu

{M

p ,q

→ N p + a ,q +b } là đồng cấu của song cấp ( a, b ) . Ta viết

f :M → N .
Cho F : B → C là một hàm tử. Vật B trong B là F – không tuần hoàn phải nếu ( R p F ) B = 0
với mọi p ≥ 1 , với R p F là hàm tử dẫn xuất phải thứ p của F. Vật B trong B là F – không tuần hoàn
trái nếu ( Lp F ) B = 0 với mọi p ≥ 1 , với Lp F là hàm tử dẫn xuất trái thứ p của F.
Một cặp khớp là một cặp các môđun song phân bậc D và E và các đồng cấu α , β , γ (mỗi đồng
cấu đều song cấp) sao cho tại mỗi đỉnh của tam giác sau là khớp.
α
D 
→D

γ]

[ β
E


Xét cặp khớp và các đồng cấu song cấp α , β , γ

có các song cấp tương ứng là

(1, −1) , ( 0,0 ) , ( −1,0 ) .
Xây dựng d 1 : E → E xác định như sau d 1 = γβ , khi đó ta có d 1d 1 = 0 và E có nhóm đồng điều

H ( E , d 1 ) = kerd 1 / imd 1 mà ta thường kí hiệu H ( E , d 1 ) là E 2 và xem nó như một môđun song phân
bậc. Chi tiết hơn ta có
γ
β
d 1p ,q : E p ,q 
→ D p −1,q 
→ E p −1,q

Vì thế d 1 có song cấp là ( −1,0 ) . Theo định nghĩa của môđun thương song song bậc ta có

E p2,q = kerd 1p ,q / imd 1p +1,q
Ta xây dựng một môđun song phân bậc thứ hai D 2 = imα . Vì α có song cấp (1, −1) , theo định
nghĩa ảnh song phân bậc cho ta

D p2,q α p −1,q +1 (=
D p −1,q +1 ) imα p −1,q +1 ⊂ D p ,q
=
Tiếp theo,ta xây dựng các đồng cấu α 2 , β 2 , γ 2 theo hình vẽ bên dưới
α
→ D2
D 2 
2

γ2 ]

[ β2
E2

Thiết lập α 2 như là sự thu hẹp của α (vì=
D 2 imα 2 ⊂ D ). Vì ánh xạ bao hàm i : imα → D có
song cấp ( 0,0 ) , đồng cấu α 2 = α oi có cùng song cấp như α là. Xây dựng β 2 : D 2 → E 2 như sau:

β 2 y =  βα −1 y 
với kí hiệu trong ngoặc vuông là lớp đồng điều và tiếp theo ta xây dựng γ 2 : E 2 → D 2 như sau:

 z p ,q  y p ,q z p ,q ∈ D p −1,q
γ p2 ,q =
Ta kiểm tra được rằng γ 2 được định nghĩa tốt và do đó γ 2 có cùng song cấp với γ là ( −1,0 )
Ta quay lại β 2 , nếu y ∈ D p2,q thì y = α p −1,q +1 ( x p −1,q +1 ) ; ta xây dựng β 2

β p2,q =β p −1,q +1α p−1−1,q +1 : y →  β p −1,q +1 ( x p −1,q +1 )  ∈ E p2−1,q +1
có song cấp ( −1,1)
Định lí 1.5.1. Với các định nghĩa như trên thì


α
→ D2
D 2 
2

γ2 ]

[ β2
E2

là một cặp khớp; α 2 có song cấp (1, −1) , β 2 có song cấp ( −1,1) và γ 2 có song cấp ( −1,0 )
Định nghĩa 1.5.2. Cặp khớp ( D 2 , E 2 , α 2 , β 2 , γ 2 ) được gọi là cặp dẫn xuất của ( D, E , α , β , γ ) .

Chúng ta lặp lại quá trình này và được một dãy các cặp khớp
α
→ Dr
D r 
r

γr ]

[ βr
Er

với cặp khớp thứ r + 1 là dẩn xuất của cặp khớp thứ r.
Định lí 1.5.3. Cho ( D, E , α , β , γ ) là một cặp khớp với α , β , γ có các song cấp tương ứng là

(1, −1) , ( 0,0 )

và ( −1,0 ) . Nếu cặp dẫn xuất thứ r là ( D r , E r , α r , β r , γ r ) thì

i. α r có song cấp (1, −1) , β r có song cấp (1 − r , r − 1) và γ r có song cấp ( −1,0 )
ii. d r = β r γ r có song cấp ( − r , r − 1) và được cảm sinh bởi βα − r +1γ
iii. E r +1 = kerd pr ,q / imd pr + r ,q − r +1
Định nghĩa 1.5.4. Một dãy phổ là một dãy { E r , d r r ≥ 1} của các môđun song phân bậc và các
đồng cấu thoả d r d r = 0 sao cho

E r +1 = H ( E r , d r )
như là các môđun song phân bậc.
Ta có thể kí hiệu E là E1 . Do đó mổi cặp khớp xác định một dãy phổ.
Ta xem mỗi E r như là môđun thương của E1 hay E 2 (thực sự là môđun thương của các thành
r −1
phần trước đó). Ta viết E 2 = Z 2 / B 2 (chính xác hơn là E p2,q = Z p2,q / B p2,q ).

Với Z r kerd
=
=
, B r imd r −1 .

Vì E 3 = Z 3 / B 3 là môđun thương của E 2 nên ta có thể giả sử

0 ⊂ B 2 ⊂ B 3 ⊂ Z 3 ⊂ Z 2 ⊂ E1
Lập lại quá trình trên ta có

0 ⊂ B 2 ⊂ ... ⊂ B r ⊂ B r +1 ⊂ ... ⊂ Z r +1 ⊂ Z r ⊂ ... ⊂ Z 2 ⊂ E1


Định nghĩa 1.5.5.
=
Z p∞,q

Z ;B
B ;E
U=
U=
r
p ,q

∞
p ,q

∞
p ,q

r
p ,q

r

Z p∞,q / B p∞,q

r

Môđun song phân bậc E ∞ giới hạn của dãy phổ { E r }
Chú ý rằng ta có thể khử các chỉ số âm như sau: M − p ,− q = M p ,q . Ta cũng quy ước như vậy và áp
dụng cho môđun song phân bậc, chú ý rằng r không đổi dấu: do đó E− p ,− q = Erp ,q
Đồng cấu d r : Er → Er bây giờ có song cấp ( r ,1 − r )
Định nghĩa 1.5.6. Cho Q là một phạm trù và cho A là một vật trong Q . Một lọc của A là một họ
các vật con của A, { F p A p ∈ ¢ } sao cho

... ⊂ F p −1 A ⊂ F p A ⊂ F p +1 A ⊂ ...
Có hai trường hợp đặc biệt.
Nếu Q là các phức và các môđun phân bậc. Một lọc của một phức C là một họ các phức con

{F

p

C p ∈ ¢ } với F p −1C ⊂ F p C với mọi p ∈ ¢ . Một lọc của các môđun phân bậc
=
H

{H

n

n ∈ ¢ } là

một họ các môđun con phân bậc { F p H p ∈ ¢ } với F p −1 H ⊂ F p H với mọi p ∈ ¢ .
Định lí 1.5.7. Mỗi lọc { F p C} của phức C xác định một dãy phổ.
Định nghĩa 1.5.8. Một lọc { F p H } của một môđun phân bậc H bị chặn nếu và với mọi n tồn tại

s = s ( n ) và t = t ( n ) sao cho

F s H n = 0 và F t H n = H n
Định nghĩa 1.5.9. Cho H là một môđun phân bậc. Một dãy phổ { E r } hội tụ đến H, kí hiệu
E p2,q ⇒ H n , nếu có một lọc bị chặn {Φ p H } của H sao cho
p

E p∞,q =
Φ p H / Φ p −1 H
với mọi p, q và n= p + q
Định lí 1.5.10. Cho G : Q → B và F : B → C là các hàm tử trong đó F khớp trái sao cho E là
nội xạ trong Q suy ra GE là F – không tuần hoàn phải. Với A là môđun trong Q , có một dãy phổ góc
phần tư thứ ba sao cho

=
E2p ,q

( R F ) ( R G ( A) ) ⇒ R ( FG )( A)
p

q

n

p


Định lí 1.5.11. Cho G : Q → B và F : B → C là các hàm tử trong đó F khớp phải sao cho P là
xạ ảnh trong Q suy ra GP là F – không tuần hoàn trái. Với A là môđun trong Q , có một dãy phổ góc
phần tư thứ nhất sao cho

=
E p2,q

( L F ) ( L G ( A) ) ⇒ L ( FG )( A)
p

q

p

n

Định lí 1.5.12. Cho G : Q → B và F : B → C là các hàm tử trong đó F phản biến, khớp trái sao
cho P là xạ ảnh trong Q suy ra GP là F – không tuần hoàn phải. Với A là môđun trong Q , có một dãy
phổ góc phần tư thứ ba sao cho

=
E2p ,q

( R F ) ( L G ( A) ) ⇒ R ( FG )( A)
p

n

q

p

Định lí 1.5.13. Cho G : Q → B và F : B → C là các hàm tử trong đó F phản biến, khớp trái sao
cho P là nội xạ trong Q suy ra GP là F – không tuần hoàn phải. Với A là môđun trong Q , có một dãy
phổ góc phần tư thứ nhất sao cho

=
E p2,q

( R F ) ( R G ( A) ) ⇒ L ( FG )( A)
p

q

p

n

• Phức Koszul
Cho là A vành Noether, I là Iđêan của A, a1 , a2 ,..., an là các phần tử sinh của A. Kí hiệu F là A – môđun
tự do An với mọi i = 1, 2,..., n , kí hiệu ei là phần tử có thành phần thứ i bằng 1, các thành phần khác
đều bằng 0, u là số nguyên dương, phức koszul của A tương ứng vói dãy a1u , a2u ,..., anu , kí hiệu K ( a u )
có dạng:
d (a )
0 → K ( a u )n → ... → K ( a u )k → K ( a u )k −1 → ... → K ( a u )0 → 0

u

k

u
trong đó K ( a=
)k

∧=
F ∧( A =
), k
k

k

n

u
0,..., n, K ( a=
)0 0

Với mọi k ∈ ¥ *,1 ≤ k ≤ n , kí hiệu:
=
τ (k, n)

{( i (1) ,..., i ( k ) ) ∈ ¥

k

}

1 ≤ i (1) < i ( 2 ) < ... < i ( k ) ≤ n

Khi đó, với i ∈τ ( k , n ) :
d (a

) ( e ( ) ∧ ... ∧ e ( ) ) = ∑ ( −1)
k

u

k

i1

i k

h =1

h −1

a u ei( h ) ∧ ei(1) ∧ ... ∧ e¶
∧ ... ∧ ei( k )
i( h )

Ở đây kí hiệu e¶
chỉ thành phần ei( h ) bị triệt tiêu. Dỉ nhiên K ( a u )k = 0 với k ∈ ¢ \ {0,1,..., n}
i( h )
Mệnh đề 1.5.14. Lấy u , v ∈ ¥ , u ≤ v . Khi đó có ánh xạ dây chuyền:

=
(ϕuv )

( (ϕ ) )
v
u k

k∈¢

: K ( au ) → K ( av )

của phức các A – môđun và các A – đông cấu sao cho (ϕuv )n là ánh xạ đồng nhất của
đồng cấu của A xác định bằng cách lấy tích với ( a1 , a2 ,..., an )

v −u

i1

i k

j1

v −u

j n−k

j 2

n

v
u 0

là tự

, và với k= 1,..., n − 1, i ∈τ ( k , n )

(ϕ=
) ( e ( ) ∧ ... ∧ e ( ) ) ( a ( ) a ( ) ...a ( ) )
v
u k

∧ F , (ϕ )

ei(1) ∧ ... ∧ ei( k )

{i (1) ,..., i ( k ) , j (1) ,..., j ( n − k )}

Với j ∈τ ( n=
− k , n ) sao cho {1,..., n}

(

)

u
và Γα từ phạm trù các A – môđun vào
Mệnh đề 1.5.15. Hai hàm tử δ 0 : lim
uuuuur H n K ( a , _ ) , _

u∈¥

chính nó là tương đương tự nhiên. Tổng quác hơn, có một đẳng cấu duy nhất:

(δ )
i

i∈¥

(

(

u
: lim
uuuuur H n −i K ( a , _ ) , _
u∈¥

))

i∈¥

→ ( H Ii )i∈¥

Hệ quả, và mỗi u ∈ ¥ và mỗi A – môđun thì:

(

u
H Ii ( M ) ≅ lim

uuuuur H n −i K ( a , M )
u∈¥

Chương 2

)


Tính cofinite của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng

§ 1. Mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng

Phần đầu chương 2 nói về môđun đối đồng điều địa phương suy rộng.
Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được Herzog đưa ra năm 1974. Đó là sự mở rộng của
môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của Grothendieck. Nó có một số thính chất như tính triệt
tiêu, tính hữu hạn sinh, xác định tính hữu hạn, …
Cho R là vành Noether có đơn vị là 1 ≠ 0 , I là một iđêan của R, M và N là các R – môđun.
Khi đó, với mọi số tự nhiên i,
H Ii ( M , N ) ≅ lim Ext Ri ( M / I n M , N )

→
n

gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của môđun N tương ứng với M.
Ta có H Ii ( N ) = H Ii ( R, N ) với N là R – môđun.
Tác giả giới thiệu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng.


Mệnh đề 2.1.1. H I0 ( M , N ) ≅ H I0 ( Hom ( M , N ) ) ≅ Hom ( M , H I0 ( N ) )
Chứng minh.

H I0 ( M , N ) ≅ lim Ext R0 ( M / I n M , N ) ≅ lim Hom ( M / I n M , N )

→
n


→
n

(

≅ lim Hom M , Hom ( R / I n , N )

→
n

)

≅ Hom  M ,lim Hom ( R / I n , N )  ≅ Hom ( M , H I0 ( N ) )

→


n

H I0 ( M , N ) ≅ lim Hom ( M / I n M , N ) ≅ lim Hom ( R / I n , Hom ( M , N ) )

→
n


→
n

≅ H Hom ( M , ( N ) )
0
I


Nếu I, J là các iđêan của R thì Γ I ( Γ J ( M ) ) =Γ I + J ( M ) với mọi R – môđun M. Tiếp theo, ta sẽ
khái quát đối với môđun đối đồng điều địa phương suy rộng như sau:
Mệnh đề 2.1.2. Cho I, J là các iđêan của R. Khi đó ta có
ΓI +J ( M , N ) =
ΓI ( M , Γ J ( N )) =
Γ J ( M , ΓI ( N ))

với mọi R – môđun M, N.
Chứng minh
Từ mệnh đề 2.1.1, ta có
Γ I ( M , N )= HomR ( M , Γ J ( N ) )

Do đó

(

)

Γ I + J ( M , N ) =HomR ( M , Γ I + J ( N ) ) =HomR M , Γ I ( Γ J ( M ) ) =Γ I ( M , Γ J ( N ) )

Tương tự, ta có Γ I + J ( M , N ) =

Γ J ( M , ΓI ( N )) .



Mệnh đề 2.1.3. Cho M là R – môđun hữu hạn sinh, N là R – môđun bất kì, là J • phép giải nội
xạ của N. Khi đó với mọi i ≥ 0 , ta có

( (

H Ii ( M , N ) ≅ H i H I0 Hom ( M , J • )

) ) ≅ H ( Hom ( M , H ( J ) ) )
i

0
I

•

Chứng minh.

( (

i
H Ii ( M , N ) H=
Hom ( M / I n M , J • )  H i H I0 Hom ( M , J • )
=
 lim

→




(

n

(

= H i Hom M , H I0 ( J • )

))

))



Mệnh đề 2.1.4. Cho I, J là các iđêan của R, N là R – môđun J – xoắn, M là R – môđun bất kì.
Khi đó

=
H Ii + J ( M , N ) H Ii ( M , N )

∀i ≥ 0

Chứng minh.
Trước hết ta sẽ chứng minh =
H Ii + J ( N ) H Ii ( N )

∀i ≥ 0

Lấy E • là phép giải nội xạ của N, trong đó các thành phần đều là các R – môđun J – xoắn

0 → N → E 0 → E1 → ...

(*)

Áp dụng hàm tử Γ J ( − ) , ta có

0 → Γ J ( N ) → E 0 → E1 → ...
Áp dụng tiếp hàm tử Γ I ( − ) , ta có

0 → Γ I + J ( N ) → E 0 → E1 → ...
Như vậy ta có =
H Ii + J ( N ) H Ii ( N )

∀i ≥ 0

Theo mệnh đề 2.1.3, với mọi i ≥ 0 ta có

(

(

))

(

(

))

i
=
H Ii + J ( M , N ) H i=
Hom R M , H I0+ J ( E • )
H=
Hom R M , H I0 ( E • )
H Ii ( M , N )


Mệnh đề 2.1.5. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun bất kì. Khi đó
i. Nếu Γ I ( N ) =
0
0 hay N là I – không xoắn thì Γ I ( M , N ) =
ii. Nếu Γ I ( N )= H I1 ( N )= 0 thì Γ I ( M , N )= H I1 ( M , N )= 0
Chứng minh.
i. Theo mệnh đề 2.1.1, ta có Γ I ( M , N )= HomR ( M , Γ J ( N ) ) suy ra điều phải chứng minh.
ii. Ta có khớp 0 → N → J → L → 0 với J là môđun nội xạ. Áp dụng hàm tử Γ I ( − ) và Γ I ( M , − )
vào ta có

0 → Γ I ( N ) → Γ I ( J ) → Γ I ( L ) → H I1 ( N ) → 0
và

0 → Γ I ( M , N ) → Γ I ( M , J ) → Γ I ( M , L ) → H I1 ( M , N ) → 0
là các dãy khớp.


Theo

giả

thiết

suy

ra

ΓI ( J ) ≅ ΓI ( L)

và

do

đó

ΓI ( M , J ) =

HomR ( M , Γ J ( J ) ) ≅ HomR ( M , Γ J ( L ) ) =
Γ I ( M , L ) . Từ dãy khớp thứ hai suy ra điều phải chứng minh.

Mệnh đề 2.1.6. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun bất kì sao cho

ann ( M ) chứa một phần tử N chính quy. Khi đó Γ I ( M , N ) =
0.
Chứng minh.
Vì ann ( M ) chứa một phần tử N chính quy nên Hom ( M , N ) = 0 do đó theo mệnh đề 2.1.1, ta
có điều phải chứng minh.



Mệnh đề 2.1.7. Cho M, N là các R – môđun hữu hạn sinh. Đặt J= I + ann ( M ) . Khi đó

H Ii ( M , N ) ≅ H Ji ( M , N ) ,

i≥0

Chứng minh.
Ta có JM =
IM
( I + ann ( M ) ) M =
Do đó J i M = J i N với mọi i ≥ 0
Như vậy từ định nghĩa của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng ta có điều phải chứng


minh.

Mệnh đề 2.1.8. Cho M, N là các R – môđun trong đó M hữu hạn sinh. Khi đó

SuppR ( H Ii ( M , N ) ) ⊂ V ( I )
Và

SuppR ( H Ii ( M , N ) ) ⊂ SuppR ( M ) I SuppR ( N )
Chứng minh
Ta có Ext Ri ( M , N ) P ≅ Ext Ri ( M P , N P ) P với mọi i ≥ 0
P

Với P ∈ Spec ( R ) , do tích tenxơ giao hoán với giới hạn thuận nên ta có:

H Ii ( M , N ) P ≅ RP ⊗ R lim Ext Ri ( M / I n M , N ) ≅ lim Hom ( M / I n M , N )


→
n

(

)


→
n

≅ lim Ext Ri M P / ( I n RP ) M P , N P ≅ H IRi ( M P , N P )

→
n

P

Do đó ta có điều phải chứng minh

P




Mệnh đề 2.1.9. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun bất kì.
i.

H Ii ( M , N ) là I – xoắn với mọi giá trị i.

ii. Nếu N là I – xoắn thì H Ii ( M , N ) ≅ Ext Ri ( M , N )
Chứng minh
i. Do mỗi phần từ của H Ii ( M , N ) đều bị linh hoá bởi một luỹ thừa nào đó của I.
ii. Nếu N là một môđun I – xoắn thì ta có một phép giải nội xạ J • của N mà các thành phần đều là
các

môđun

I

(

xoắn.

–

))

(

Theo

(

mệnh

đề

2.1.3

ta

có

)

•
•
, N ) H i Hom M , Γ I ( J=
H Ii ( M=
) H i Hom ( M , J=
) ExtRi ( M , N )

Hệ quả 2.1.10. Cho N là R – môđun I – xoắn.
i. M là R – môđun xạ ảnh thì H Ii ( M , N ) = 0 với mọi i > 0
ii. Pd ( M ) = n thì H Ii ( M , N ) = 0 với mọi i > 0
iii. Id ( M ) = n thì H Ii ( M , N ) = 0 với mọi i > 0
Bổ đề 2.1.11. Cho R là vành Noether giao hoán, M, N là các R – môđun hữu hạn sinh. Khi đó

Ext n ( M , N ) hữu hạn sinh với n ≥ 0
Chứng minh
Giả sử M = x1 , x2 ,..., xk , F 0 = ⊕ R , d 0 : F 0 → M , d 0 ( ei ) =
xi , K 0 = kerd 0 (với ei là một phần
k

tử trong cơ sở của) nên ta có dãy khớp

0 → K 0 → F0 → M → 0
Mà K 0 ⊂ F0 nên K 0 hữu hạn sinh (do R là vành Noether)

Vì thế ta có dãy khớp
0 → K1 → F1 → K 0 → 0

trong đó F1 là R – môđun tự do với cơ sở có hữu hạn phần tử.
Tiếp tục quá trình, ta xây dựng được một phép giải tự do của M
... → Fn → Fn −1 → ... → F1 → F0 → M → 0

trong đó Fn là các R – môđun tự do với cơ sở có hữu hạn.
Áp dụng Hom ( −, N ) vào phép giải tự do phía trên


0 → Hom ( F0 , N ) → Hom ( F1 , N ) → ...
Vì Fn là tự do và có cơ sở hữu hạn nên Hom ( Fn , N ) = ⊕ N (tổng hữu hạn) với mọi n ≥ 0 .
Do đó Ext n ( M , N ) hữu hạn sinh ta có với n ≥ 0
Hệ quả 2.1.12. Nếu M, N là các R – môđun hữu hạn sinh và N là I – xoắn. Khi đó
Ass ( H Ii ( M , N ) ) là hữu hạn. Thêm nữa H Ii ( M , N ) là I – cofinite với mọi i ≥ 0

Chứng minh
Do N là I – xoắn nên H Ii ( M , N ) ≅ Ext Rn ( M , N ) với mọi i ≥ 0 (mệnh đề 2.1.9 ). Vậy H Ii ( M , N )
hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 . Do đó ta có điều phải chứng minh.



Mệnh đề 2.1.13. Cho M là một R – môđun hữu hạn sinh, N là một R – môđun và t là một số
nguyên dương. Khi đó:

(

AssR ( H Ii ( M , N ) ) ⊆ U AssR Ext Ri ( M , H It −i ( N ) )
t

i =0

)

Chứng minh

=
E2p ,q Ext p ( M , H Iq ( N ) ) ⇒ H Ip + q ( M , N )
Ta có dãy phổ Grothendieck
p

Tồn tại một lọc hữu hạn

0 = θ t +1 H t ⊂ θ t H t ⊂ ... ⊂ θ 1 H t ⊂ θ 0 H t = H It ( M , N )
sao cho
p
=
E∞p ,q θ=
H p + q / θ p +1 H p + q , E∞i ,t −i θ i H t / θ i +1 H t với mọi i ≤ t

Vì thế ta có dãy khớp

0 → θ i +1 H t → θ i H t → E∞i ,t −i → 0
Với i = 0 ta có

0 → θ 1 H t → H It ( M , N ) → E∞0,t → 0
Với i ≥ 2 , ta xét dãy khớp
d
0 → ker di0,t → Ei0,t →

Eii ,t −i +1
0 ,t
i

Vì Ei0,t = ker di0,−1t / imdi1−−1i ,t +i − 2 và Eii , j = 0 với mọi j < 0, do đó

ker dti+,t2−i ≅ Eti+,t2−i ≅ Eti+,t3−i ≅ ... ≅ E∞i ,t −i , i ≤ t