Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Ổn định tiệm cận của tập Iđêan nguyên tố liên kết của mô đun đối đồng điều địa phương với chiều thấp" pps

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010
ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT
CỦA MÔ ĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG VỚI CHIỀU THẤP
Phạm Hữu Khánh, Trường Đại học Tây Nguyên
Tóm tắt. Cho (R, m) là vành Noether địa phương chiều ≤ 2, I, J là hai iđêan
của R và M là một R−môđun hữu hạn sinh. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng, với
n đủ lớn, số nguyên
f
I
(J
n
M/J
n+1
M) = inf{i : H
i
I
(J
n
M/J
n+1
M) không hữu hạn sinh}
không đổi và với mỗi i ∈ N tập hợp Ass
R
(H
i
I
(J
n
M/J
n+1
M)) ổn định.

1. Giới thiệu
Cho (R, m) là một vành Noether địa phương, I, J là hai iđêan của R và M là
một R−môđun hữu hạn sinh.
Năm 1990, C. Huneke [8, Problem 4] đã đưa ra giả thuyết rằng tập các iđêan
nguyên tố liên kết của H
i
I
(M) là hữu hạn với mọi R−môđun hữu hạn sinh M
và mọi iđêan I của R. Mặc dù A. Singh [12] và M. Katzman [9] đã xây dựng
các phản ví dụ cho giả thuyết này, giả thuyết vẫn còn đúng trong nhiều trường
hợp. Vì vậy, một trong những bài toán quan trọng của lý thuyết đối đồng điều
địa phương là nghiên cứu tính hữu hạn của tập Ass
R
(H
i
I
(M)). Chúng ta biết
rằng, nói chung, môđun đối đồng điều địa phương H
i
I
(M) không hữu hạn sinh.
Số nguyên i nhỏ nhất sao cho H
i
I
(M) không hữu hạn sinh được gọi là chiều hữu
hạn của M đối với iđêan I và được ký hiệu bởi f
I
(M). Năm 2000, M. Brodmann
và L. Faghani đã chứng minh trong [3] rằng Ass
R

(H
i
I
(M)) là tập hữu hạn với mọi
i ≤ f
I
(M).
Năm 1979, M. Brodmann [1] đã chứng minh rằng các tập hợp Ass
R
(J
n
M/J
n+1
M)
và Ass
R
(M/J
n
M) ổn định với n đủ lớn. Dựa trên các kết quả đó, ông ta chứng
minh trong [2] rằng các số nguyên depth(I, J
n
M/J
n+1
M) và depth(I, M/J
n
M)
không đổi với n đủ lớn. Gần đây, M. Brodmann và Lê Thanh Nhàn trong [4]
đã giới thiệu khái niệm M− dãy theo chiều > k, đây là một mở rộng của khái
niệm dãy chính quy. Họ cũng chỉ ra rằng mọi M−dãy cực đại theo chiều > k ở
trong I có cùng độ dài. Sau đó, các tác giả trong [6] ký hiệu độ dài chung này là

depth
k
(I, M). Như một mở rộng các kết quả của Brodmann, họ cũng chứng minh
rằng depth
k
(I, J
n
M/J
n+1
M) và depth
k
(I, M/J
n
M) không đổi với n đủ lớn. Đặc
biệt, với k = −1, 0, 1, họ chỉ ra rằng các tập hợp

i≤r
k
Ass
R
(H
i
I
(J
n
M/J
n+1
M))\{m}
và


i≤s
k
Ass
R
(H
i
I
(M/J
n
M)) \ {m} ổn định với n đủ lớn.
59
Từ các kết quả trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi:
1) "Số f
I
(J
n
M/J
n+1
M) có nhận giá trị không đổi r khi n đủ lớn không?"
2) "Tập hợp Ass
R
(H
r
I
(J
n
M/J
n+1
M)) có ổn định khi n đủ lớn không?"
Trong bài báo này chúng tôi trả lời cho các câu hỏi trên trong trường hợp đặc

biệt của vành R, cụ thể là định lý sau:
Định lý 1.1 Cho (R, m) là vành Noether địa phương có chiều ≤ 2, I, J là hai
iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó hai mệnh đề sau đúng:
(i) f
I
(J
n
M/J
n+1
M) không đổi với n đủ lớn.
(ii) Ass
R
(H
i
I
(J
n
M/J
n+1
M)) ổn định với n đủ lớn, với mọi i ∈ N.
Bài báo này được chia 3 phần. Trong Phần 2, chúng tôi chứng minh mệnh đề
(i) của Định lý 1.1 và Phần 3 dùng để chứng minh mệnh đề (ii) của Định lý 1.1.
2. Ổn định tiệm cận của chiều hữu hạn sinh
Cho (R, m) là vành Noether địa phương, I, J là hai iđêan của R và M là một
R−môđun hữu hạn sinh. Chúng ta định nghĩa chiều hữu hạn sinh của M đối với
I là số
f
I
(M) = inf{i ∈ N : H
i

I
(M) không hữu hạn sinh}.
Từ [5, Proposition 9.1.2], chúng ta có f
I
(M) = inf{i ∈ N : I 

(0 : H
i
I
(M))}.
Chú ý rằng f
I
(M) hoặc là số nguyên dương hoặc là ∞, vì H
0
I
(M) là môđun hữu
hạn sinh.
Nếu R là ảnh đồng cấu của vành chính quy, Định lý hữu hạn của Grothendieck
chỉ ra rằng
f
I
(M) = inf{depth M
p
+ ht(I + p)/p : p ∈ Supp(M) \ V(I)},
trong đó V(I) là tập tất cả các iđêan nguyên tố của R chứa I.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại một kết quả về tính ổn định của tập các iđêan
nguyên tố liên kết như sau.
Bổ đề 2.1 ([1], [10, Lemma 2.1]) Ass
R
(M

n
) ổn định với n đủ lớn.
Bây giờ, mệnh đề (i) của Định lý 1.1 là một trường hợp đặc biệt của định lý sau.
Định lý 2.2 Cho R =

n≥0
R
n
là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R
0
với R
0
= R, M =

n≥0
M
n
là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh và I ⊆ R là
iđêan. Khi đó, nếu dim R ≤ 2 thì f
I
(M
n
) không đổi với n đủ lớn.
60
Chứng minh. Trước hết chúng ta ký hiệu

R là đầy đủ m-adic của R. Theo Định lý
đổi cơ sở phẳng của môđun đối đồng điều địa phương (xem [5, Theoreme 4.3.2]),
chúng ta có


R−đẳng cấu
H
i
I
(M
n
) ⊗
R

R
∼
=
H
i
I

R
(M
n
⊗
R

R)
∼
=
H
i
I

R

(

M
n
).
Do đó, f
I
(M
n
) = f
I

R
(

M
n
). Vì vậy, không mất tính chất tổng quát, ta có thể giả
sử R là ảnh đồng cấu của vành chính quy.
Từ Bổ đề 2.1, tồn tại một số nguyên a sao cho Ass
R
(M
n
) ổn định với n ≥ a. Từ
đây dim M
n
cũng lấy giá trị không đổi d với n ≥ a. Chú ý rằng, vì dim R ≤ 2
nên d ≤ 2. Từ đây f
I
(M

n
) chỉ nhận các giá trị 1, 2 hoặc ∞ với mọi n ≥ a. Từ
Định lý hữu hạn của Grothendieck ta có
f
I
(M
n
) = inf{depth(M
n
)
p
+ ht(I + p)/p : p ∈ Supp
R
(M
n
) \ V(I)}.
Chúng ta xét 3 trường hợp sau:
Trường hợp 1. Tồn tại n
0
≥ a sao cho f
I
(M
n
0
) = ∞. Khi đó Supp
R
(M
n
0
)\V(I) =

∅. Từ Bổ đề 2.1 chúng ta có Supp
R
(M
n
) \ V(I) = ∅ với mọi n ≥ a. Do đó,
f
I
(M
n
) = ∞ với mọi n ≥ a.
Trường hợp 2. Tồn tại n
0
≥ a sao cho f
I
(M
n
0
) = 1. Khi đó, tồn tại p ∈
Supp
R
(M
n
0
) \ V(I) sao cho depth(M
n
0
)
p
= 0 và ht(I + p)/p = 1. Từ đây
p ∈ Ass

R
(M
n
0
) = Ass
R
(M
n
) với mọi n ≥ a. Do đó depth(M
n
)
p
= 0 với mọi
n ≥ a. Chú ý rằng p ∈ Supp
R
(M
n
) \ V(I) với mọi n ≥ a và ht(I + p)/p = 1. Từ
đây chúng ta nhận được f
I
(M
n
) = 1 với mọi n ≥ a.
Trường hợp 3. Chúng ta luôn có f
I
(M
n
) = 2 với mọi n ≥ a.
Từ các trường hợp xét ở trên, chúng ta thấy rằng f
I

(M
n
) không đổi với n đủ
lớn.
3. Ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của
môđun đối đồng điều địa phương
Trước hết chúng tôi nhắc lại một kết quả quan trọng của Brodmann và Faghani
trong [3].
Bổ đề 3.1. ([3, Theorem 2.2]) Cho i là một số nguyên dương sao cho H
j
I
(M)
hữu hạn sinh với mọi j < i. Khi đó Ass
R
(H
i
I
(M)) là một tập hữu hạn.
Cho R =

n≥0
R
n
là một đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R
0
với
R
0
= R và M =


n≥0
M
n
là một R−môđun phân bậc hữu hạn sinh. Chúng tôi
nhắc lại một số kết quả đã biết về môđun phân bậc.
Bổ đề 3.2. ([5, Lemma 13.1.10]) Chúng ta ký hiệu IR là iđêan thuần nhất của
R sinh bởi I. Khi đó, tồn tại R−đẳng cấu (H
i
IR
(M))
n
∼
=
H
i
I
(M
n
) với mọi i ≥ 0
và mọi n ∈ N.
61
Chúng ta ký hiệu
∗
Spec(R) là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố thuần nhất
của R, R
+
=

n>0
R

n
và Proj(R) = {P ∈
∗
Spec(R) : P  R
+
}. Kết quả sau
được chứng minh bởi Sharp.
Bổ đề 3.3. ([11, Corollary 1.5 (iii)]) Cho N =

n≥0
N
n
là một R−môđun phân
bậc. Khi đó, nếu Proj(R) ∩ Ass
R
(N ) là một tập hữu hạn thì với n đủ lớn ta có
Ass
R
(N
n
) = {P ∩ R : P ∈ Proj(R) ∩ Ass
R
(N )}.
Chúng tôi nhắc lại rằng chiều đối đồng điều của M đối với I là số nguyên được
xác định bởi
cd(I, M) = sup{i ∈ Z : H
i
I
(M) = 0}.
Từ định nghĩa của chiều đối đồng điều chúng ta luôn có cd(I, M) ≤ dim M.

Trong [7, Theorem 1.4], T. Dibaei và S. Yassemi đã chứng minh rằng nếu M và
N là các R −môđun hữu hạn sinh sao cho Supp
R
(M) ⊆ Supp
R
(N) thì cd(I, M) ≤
cd(I, N). Từ tính chất này và Bổ đề 2.1, chúng ta có bổ đề sau
Bổ đề 3.4. cd(I, M
n
) không đổi với n đủ lớn.
Chúng ta có định lý sau.
Định lý 3.5. Cho R =

n≥0
R
n
là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R
0
với R
0
= R, M =

n≥0
M
n
là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh và I là iđêan
của R. Khi đó, nếu dim R ≤ 2 thì Ass
R
(H
i

I
(M
n
)) ổn định với n đủ lớn, với mọi
i.
Chứng minh. Gọi c và d tương ứng là các giá trị ổn định của cd(I, M
n
) và dim M
n
.
Khi đó ta luôn có c ≤ d ≤ 2. Chúng ta xét hai trường hợp sau.
Trường hợp 1. f
IR
(M) ≥ 2.
Từ Bổ đề 3.1 chúng ta thấy rằng Ass
R
(H
i
IR
(M)) là một tập hữu hạn với i ≤ 2.
Áp dụng Bổ đề 3.3, với mọi i ≤ 2 chúng ta có
Ass
R
(H
i
IR
(M))
n
= {P ∩ R : P ∈ Ass
R

(H
i
IR
(M)) ∩ Proj(R)}
với n đủ lớn. Do đó, với i ≤ 2 thì Ass
R
(H
i
I
(M
n
)) ổn định với n đủ lớn.
Với i > 2, từ Định lý triệt tiêu của Grothendieck chúng ta có H
i
I
(M
n
) = 0 với
mọi n. Do đó, Ass
R
(H
i
I
(M
n
)) = ∅ với mọi n, với mọi i > 2.
Trường hợp 2. f
IR
(M) = 1.
Tương tự chứng minh trên, chúng ta thấy rằng với mọi với i ≤ 1 hoặc i > 2 thì

Ass
R
(H
i
I
(M
n
)) ổn định với n đủ lớn.
Bây giờ ta xét tại i = 2. Nếu d < 2 hoặc c < d = 2 thì Ass
R
(H
2
I
(M
n
)) = ∅ với
mọi n và nếu c = d = 2 thì Ass
R
(H
2
I
(M
n
)) = {m} với n đủ lớn.
Từ chứng minh trên, chúng ta kết luận rằng, với mọi i, Ass
R
(H
i
I
(M

n
)) ổn định
với n đủ lớn.
62
Cuối cùng, Mệnh đề (ii) của Định lý 1.1 là một trường hợp đặc biệt của Định lý
3.5.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. Brodmann, Asymptotic stability of Ass
R
(M/I
n
M), Proc. Amer. Math.
Soc., (1) 74 (1979), 16 - 18.
[2] M. Brodmann, The asymptotic nature of the analytic spread, Math. Proc.
Camb. Phil. Soc., 86 (1979), 35 - 39.
[3] M. Brodmann and A. L. Faghani, A finiteness result for associated primes of
local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc., (10) 128 (2000), 2851 - 2853.
[4] M. Brodmann and L. T. Nhan, A finiteness result for associated primes of
certain Ext-modules, Comm. Algebra, (4) 36 (2008), 1527-1536.
[5] M. Brodmann and R. Y. Sharp, “Local cohomology: an algebraic introduction
with geometric applications", Cambridge University Press, 1998.
[6] N. T. Cuong, N.V. Hoang and P. H. Khanh, Asymptotic stability of certain
sets of associated prime ideals of local cohomology modules, to appear in commu-
nications in algebra.
[7] M. T. Dibaei and S. Yassemi, Cohomological Dimension of Complexes, Comm.
Algebra, 32 (2004), 4375 - 4386.
[8] C. Huneke, Problems on local cohomology, Free resolutions in commutative
algebra and algebraic geometry (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math., 2
(1992), 93 - 108.
[9] M. Katzman, An example of an infinite set of associated primes of a local

cohomology module, J. Algebra, 252 (2002), 161 - 166.
[10] L. Melkersson and P. Schenzel Asymptotic prime ideals related to derived
functions, Proc. Amer. Math. Soc., (4)117(1993), 935-938.
[11] R. Y. Sharp, Convergence of sequences of sets of associated primes, Proc.
Amer. Math. Soc., (10)131(2003), 3009-3017.
[12] A. Singh, p−torsion elements in local cohomology modules, Math. Res. Lett.,
7 (2000), 165 - 176.
ASYMPTOTIC STABILITY OF SETS OF ASSOCIATED PRIME
IDEALS OF LOCAL COHOMOLOGY MODULES WITH LOW DIMENSION
Pham Huu Khanh, Tay Nguyen University
Summary Let (R, m) be a Noetherian local ring of dimension ≤ 2, I, J two
ideals of R, and M a finitely generated R−module. We show that
f
I
(J
n
M/J
n+1
M) = inf{i : H
i
I
(J
n
M/J
n+1
M) is not finitely generated}
becomes for large n independent of n, and that the sets Ass
R
(H
i

I
(J
n
M/J
n+1
M))
are stable for large n, for all i.
63