Tích phân k dạng vi phân và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN PHI LONG

TÍCH PHÂN k – DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ
ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN PHI LONG

TÍCH PHÂN k – DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ
ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : HÌNH HỌC – TÔ PÔ
Mã số : 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN DUY BÌNH

Nghệ An 2012

1

MỞ ĐẦU
Việc nghiên cứu phép lấy tích phân các dạng vi phân đã thu hút sự
quan tâm của nhiều nhà toán học. Phép lấy tích phân các dạng vi phân được
trình bày trong các tài liệu như Hình học vi phân của Đoàn Quỳnh, tích phân
các dạng của Cartan và một số tài liệu khác.
Áp dụng tích phân các dạng vi phân cho phép tính độ dài cung, tính
diện tích của mặt và tổng quát là thể tích k-chiều. Ngoài ra, phép lấy tích phân
các dạng vi phân còn rút ra được một số tính chất của các hình trên đa tạp
Riemman. Chính vì thế trên cơ sở nghiên cứu về tích phân k - dạng vi phân
luận văn đã xây dựng một số ứng dụng của tích phân k - dạng vi phân, cụ thể
là dùng tích phân dạng thể tích để tính diện tích các mặt, thể tích các hình và
một số ứng dụng của định lý Gauss -Bonet.
Luận văn này có bố cục như sau:
Chương I. Kiến thức cơ sở
§1. Giới thiệu về: Đa tạp khả vi, Ánh xạ khả vi, Đa tạp con, trường
véc tơ, dạng vi phân.
§2. Dành cho việc nghiên cứu về: Đa tạp Rimman hai chiều, độ cong
trắc địa, cung trắc địa trên đa tạp Rimman hai chiều.
Chương II. Tích phân k - dạng vi phân và một số ứng dụng
§1. Trình bày về tích phân k - dạng vi phân trên đa tạp khả vi.
§2. Về dạng thể tích, tích phân dạng thể tích, diện tích các mặt, thể
tích các hình.
§3. Về dịnh lý Gauss - Bonet và một số hệ quả của nó.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành vào tháng 10 năm 2012 tại
trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Duy Bình.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với các thầy

2

cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, đặc biệt là thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Duy
Bình đã giúp đỡ tận tình tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Cũng nhân dịp tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo ở khoa
Sau Đại học và khoa Toán của trường Đại học Vinh và tất cả các bạn bè đồng
nghiệp, những người đã sát cánh và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập,
nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng tác giả mong nhận được những góp ý chân tình của quý thầy
cô, bạn bè và đồng nghiệp.
Vinh, tháng 10 năm 2012
Tác giả


3

Chương I. KIẾN THỨC CƠ SỞ

§1. ĐA TẠP KHẢ VI
1.1. Định nghĩa về Đa tạp khả vi
Định nghĩa 1. Không gian tô pô X được gọi là không gian Euclid địa phương
n chiều nếu đối với mỗi điểm của X đều tồn tại một lân cận mở đồng phôi với
một tập mở trong không gian Euclid R n (tôpô trong Rn là tôpô tự nhiên). Mỗi
phép đồng phôi như thế được gọi là một bản đồ hoặc một hệ tọa độ địa
phương của X. Xét bản đồ ( U , ϕ ), ϕ là phép đồng phôi. Nếu y ∈ U thì bộ số
ϕ(y) = (y1 ,…, yn) ∈ Rn được gọi là các tọa độ của điểm y đối với bản đồ đang
xét. Họ bản đồ {( Uα , ϕα )}α∈ I được gọi là một tập bản đồ của X nếu các
miền xác định Uα của các ánh xạ ϕα phủ X(nghĩa là:X= U).

Định nghĩa 2. Một không gian tô pô được gọi là một đa tạp (tô pô) n - chiều
nếu nó vừa là không gian Euclid địa phương n - chiều, vừa là T- không gian .
Định nghĩa 3. Giả sử M là đa tạp n - chiều và {( Uα , ϕα )} là tập bản đồ của
nó. Ta gọi đây là tập bản đồ ( khả vi ) lớp C nếu đối với bất kỳ (U , ϕ),
(U , ϕ) ∈{(Uα , ϕα )} đều có ϕοϕ thuộc lớp Cr , ánh xạ ϕοϕ có thể biểu thị các
công thức:
Các vế của công thức này là các hàm thực n biến thực. Chúng được gọi
là các hàm chuyển từ các tọa độ {x} sang các tọa độ {x}.
Tập bản đồ đang xét được gọi là tập bản đồ giải tích nếu các hàm chuyển là
các hàm giải tích thực.
Định nghĩa 4. Hai tập bản đồ lớp Cr trên cùng một đa tạp M được gọi là hai
tập bản đồ Cr tương đương nếu tập hợp của chúng lại là một tập bản đồ lớp C r
trên M. Hợp của tất cả các tập bản đồ C r - tương đương trên M được gọi là tập
bản đồ cực đại lớp Cr trên M.


4

Một đa tạp (tô pô) n - chiều M cùng một C r cấu trúc trên nó được gọi là
một đa tạp khả vi n - chiều lớp Cr, hoặc một Cr đa tạp n - chiều.
1.2. Ánh xạ khả vi
1.2.1. Định nghĩa. M và N là hai đa tạp khả vi lớp Ck. Ánh xạ f : M → N gọi
là ánh xạ khả vi lớp Ck nếu f liên tục và với mọi bản đồ địa phương (U , x)
của M, (V , y) của N mà W = U ∩ f-1(V) ≠ ∅ thì ánh xạ:
yofox-1: x(W) → y(V) ; x(p)  y(f(p)) là ánh xạ khả vi lớp Ck (từ tập mở x(W)
trong Rm vào tập mở y(V) trong R n, m và n theo thứ tự là số chiều của M và
N). Các yofox-1 gọi là các biểu thức tọa độ địa phương của f.
Với p ∈ W thì hạng của f tại p là hạng của yofox-1 tại x(p). Ký hiệu là hạng pf.
+) f dìm tại p ∈ M nếu hạng pf = dimM.
+) f ngập tại p ∈ M nếu hạng pf = dimN.

+) f trải tại p ∈ M nếu hạng pf = dimM = dimN.
+) Nói f là dìm, ngập hay trải nếu theo thứ từ f là dìm, ngập, trải tại mọi
p ∈ M.
+) f là một nhúng khả vi nếu f là một dìm, đơn ánh, đồng phôi lên ảnh.
+) f gọi là vi phôi lớp Ck nếu f là song ánh và f-1 là ánh xạ khả vi lớp Ck.
1.2.2. Định lý.(xem [1]) Hai đa tạp khả vi M, N vi phôi với nhau thì chúng có
cùng số chiều.
1.2.3. Ánh xạ tiếp xúc
a) Định nghĩa. Cho ánh xạ khả vi F : M → N và một điểm p ∈ M, ánh xạ tiếp
xúc tại p của ánh xạ F (hay là vi phân tại p của ánh xạ F) là ánh xạ
F* : Tp(M) → TF(P)M xác định như sau : đối với mỗi véc tơ v ∈ Tp(M) là véc
tơ tiếp xúc tại điểm p = x(t0) với đường cong x(t) trong đa tạp thì F *p(v) ∈ TF(p)
(N) là véc tơ tiếp xúc tại F ox(t0) = F(p) với đường cong trong đa tạp N. Như
vậy nếu :


5

v (f) =

∀f∈ F(p)

Thì F*p(v) = v’ xác định bởi : v’(g) =

∀g∈ F(p).

b) Tính chất
i) Ta luôn có : v(goF) = (F*(v))(g) ∀g∈ F(p).
ii) F*p là ánh xạ tuyến tính từ R - không gian tuyến tính T p(M) vào R - không
gian tuyến tính TF(p)(N) :

F*p(αu + βv) = αF*p(u) + βF*p(v) ∀ α, β ∈ R, ∀ u, v ∈ Tp(M).
iii) Đối với ánh xạ đồng nhất id trên đa tạp M ta luôn có :
(id)*p(v) = v

∀ v ∈ Tp(M).

c) Mệnh đề. Đối với hợp thành của các ánh xạ khả vi, ta có :
(GoF)*p = G*F(p)oF*(p).
Chứng minh: theo tính chất i) ta có: [(GoF)*p(v)](h) = v(hoGoF). (1)
cũng theo tính chất i) ta có:
[(G*F(p)oF*p)(v)](h) = [G*F(p)(F*p(v))](h) = [F*p(v)](hoG) = v(hoFoG).

(2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
d) Mệnh đề. Nếu F: M → N là vi phôi thì F*p là song ánh
và (F*p)-1 = (F-1)*F(p).
Chứng minh: Vì F là vi phôi nên F -1 cũng là vi phôi. Áp dụng tính chất iii)
và mệnh đề c) ta có
v = (id)*p(v) = (F-1oF)*p(v) = (F-1)F(p)oF*p(v) ∀ v ∈ Tp(M) và do đó:
(F-1)*F(p)oF*p = id | TF(p)(M)

(1)

vì id là toàn ánh ⇒ F*p là đơn ánh. Do vai trò của F và F -1 là như nhau nên
tương tự (1) ta có F*po(F-1)*F(p) = id | TF(p)(N)

(2)

vì id là toàn ánh ⇒ F*p là toàn ánh. Vậy F*p là song ánh.

do F*p là song ánh nên tồn tại (F*p)-1. Do đó từ (1) và (2) suy ra :
(F*p)-1 = (F-1)*F(p).


6

1.3. Đa tạp con Giả sử M, X là các đa tạp khả vi với dimX < dimM. Khi đó
ta có các khái niệm sau:
i. Ánh xạ i : X → M được gọi là một dìm nếu và chỉ nếu (ip)* là đơn ánh
∀p∈ X.
ii. i được gọi là phép nhúng nếu và chỉ nếu i là phép dìm và i là ánh xạ đồng
phôi lên ảnh ( i : X → i(X) ).
iii. i được gọi là phép nhúng chìm nếu và chỉ nếu i là phép nhúng và i(X)
đóng trong M.
Định nghĩa: Đa tạp X được gọi là đa tạp con của M nếu và chỉ nếu i : X → M
là phép nhúng chìm.
1.4.Trường véc tơ
1.4.1. Định nghĩa. Trường véc tơ trên tập mở U ⊂ En là ánh xạ:
X : U → TU; p  X(p) sao cho với mọi p∈ U, X(p) ∈ TpU.
Chú ý : Trường véc tơ X : U→ TU xác định ánh xạ : U→ ( và ngược lại X
xác định ) bởi X(p) = ( p, ).
Ta nói X là trường khả vi lớp Ck nếu ánh xạ là khả vi lớp Ck.
Khi là ánh xạ hằng thì trường véc tơ X gọi là trường véc tơ song song.
1.4.2. Trường mục tiêu
Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U ⊂ En là hệ n trường véc tơ
{U1, U2,...,Un} trên U sao cho với mỗi p∈ U, {U1(p), U2(p),...,Un(p)} là một cơ
sở của TpU.
Khi đó mọi X∈ VecU ( tập các trường véc tơ khả vi trên U) và viết được một
cách duy nhất dưới dạng X = ϕiUi với ϕi∈ F(U). Nếu Y = iUi thì :
( X + Y ) = (ϕi + i )Ui, ϕX = ϕϕiUi, ....

Nếu với mọi p ∈ U, Ui(p).Uj(p) = δij ( tức là Ui(p) là một cơ sở trực chuẩn của
TpU), thì trường mục tiêu {Ui} gọi là trường mục tiêu trực chuẩn.


7

1.5. Dạng vi phân trên đa tạp khả vi
Gọi M là đa tạp khả vi n - chiều, x∈ M, Tx(M) là không gian tiếp xúc với
M tại x, T(M) là không gian véc tơ đối ngẫu của T x(M),

^

p

T(M) là lũy thừa

ngoài cấp p của T(M) và ^T(M) là đại số ngoài trên không gian T(M).
Phép ánh xạ ω : M → (^T(M)) sao cho: ω(x) ∈

^

p

T(M) được gọi một

dạng vi phân bậc p(hoặc một p - dạng vi phân) trên đa tạp M. (ta cũng viết ωx
thay cho ω(x)).
Giả sử (U , ϕ) là một bản đồ trên đa tạp M ; ký hiệu yi là hàm tọa độ thứ i
trong Rn và ui = yioϕ . Như ta đã biết (i = 1,2...n) là một cơ sở của Tx(M), còn
các vi phân toàn phần (du1)x, (du2)x,..., (dun)x của các hàm u1, u2,..., un thì tạo

thành cơ sở trong không gian T(M) mà đối ngẫu với cơ sở

như vậy theo lý

thuyết về lũy thừa ngoài của không gian véc tơ, tập hợp :
( 1 ≤ i ≤ i2... i ≤ n ) là một cơ sở của không gian véc tơ

^

p

(T(M)). Như vậy

mỗi phần tử ^p(T(M)) có dạng:
f (x)(du)x^...^(du)x (i < i < ... < i ).
Vì vậy đối với p - dạng ω trên M và x ∈ U ta có :
ω(x) = f (x)(du)x^...^(du)x (i < i < ... < i ).

§2. ĐA TẠP RIEMANN HAI CHIỀU
2.1. Đa tạp hai chiều
2.1.1. Mảnh hình học
a) Định nghĩa. Tập con S của En gọi là mảnh hình học trong En nếu nó là ảnh
của dìm, đồng phôi lên ảnh r : U → En từ tập mở U trong R2 vào En, r gọi là


8

một tham số hóa của mảnh hình học S, mảnh hình học còn được gọi là mảnh
đơn chính quy.
b) Nhận xét. S là mảnh hình học với tham số hóa r : U → En thì với mọi tập

mở ⊂ U, r() là một mảnh hình học với tham số hóa r/.
2.1.2. Đa tạp hai chiều trong En
Định nghĩa. S là tập con của En, (S ≠ ∅) gọi là đa tạp hai chiều (một
mặt) trong En nếu mỗi p ∈ S có lân cận mở ( của p trong S ) là một mảnh hình
học. Mỗi tham số của mảnh hình học này gọi là một tham số hóa địa phương
của S.
Nếu tham số hóa địa phương r: U → S là ánh xạ từ tập mở U trong nửa
phẳng thì ta có khái niệm đa tạp hai chiều với bờ. Bờ S là tập các điểm p ∈ S
mà có tham số hóa địa phương r để p = r(u,0).
2.1.3. Đa tạp hai chiều định hướng được (trong En)
Một hướng trên đa tạp hai chiều S trong E n là việc đặt tương ứng với
mỗi điểm p ∈ S một hướng của không gian véc tơ tiếp xúc hai chiều T pS sao
cho với mọi po ∈ S, có tham số hóa địa phương r: U → S của S, r(U) ∋ po và
với mọi (u,v) ∈ U, Tr(u,v) biến hướng chính tắc của R2 thành thành hướng của
Tr(u,v)S tức là với mọi p∈r(U), hướng của TpS xác định bởi cơ sở (R u(p),Rv(p))
( tham số này gọi là tương thích với hướng đó) S gọi là định hướng được khi
S có hướng và S gọi là đa tạp (đã) định hướng (hay có hướng) nếu đã chọn
một hướng trên S.
Chú ý: Đa tạp hai chiều S trong E 3 định hướng được khi và chỉ khi có trường
véc tơ pháp tuyến đơn vị ( khả vi ) trên S vì coi E 3 đã có hướng thì với p ∈ S
hướng của TpS và hướng của pháp tuyến của S tại p xác định như nhau.
2.1.4. Dạng diện tích chính tắc
a) Dạng vi phân trên đa tạp hai chiều S trong En


9

+) Dạng vi phân bậc 0 trên S là hàm số trên S.
+) Dạng vi phân bậc 1 trên S là việc đặt tương ứng với mỗi p ∈ S một song
tuyến tính θp: TpS → R.

+) Dạng vi phân bậc 2 trên S là việc đặt tương ứng với p ∈ S, một song tuyến
tính phản đối xứng µp : TpS x TpS → R. (tức một dạng song tuyến tính phản
đối xứng trên TpS).
b) Dạng diện tích chính tắc
Nếu S là định hướng thì có dạng vi phân (khả vi) bậc 2 µo trên S gọi là
dạng diện tích chính tắc trên S xác định như sau:
Với p ∈ S, với α, β ∈ TpS, (µo)p(α,β) là diện tích đại số của hình bình hành
tạo bởi α, β trong TpS đã có hướng.
Để thấy µo khả vi ta viết biểu thức tọa độ của nó trong tham số hóa
r : U → S của S tương thích với hướng đã chọn của S.
µo |r(u) = d(uo r-1)^d(vo r-1).
Trong đó Gr(Ru,Rv) là định thức Gram
Rõ ràng dạng diện tích chính tắc µo trên S là một dạng vi phân bậc 2
khác 0 tại mọi điểm của S.
2.1.5. Miền compắc với bờ
a) Định nghĩa. Cho S là đa tạp hai chiều trong E n. Miền compắc với bờ
trên S là tập con K ⊂ S thỏa mãn các điều kiện :
+) K compắc.
+) Biên ∂K ( tức là tập các điểm của S mà mọi lân cận của nó trong S
vừa chứa điểm thuộc K vừa chứa điểm không thuộc K) là đa tạp một chiều
khả vi từng khúc.
+) ∂K chia lân cận mọi điểm chính quy của nó thành hai phía tức là khi
p là một điểm chính quy của ∂K, có đồng phôi từ một hình tròn mở tâm O


10

trong R2 lên một lân cận V của p trong S, biến O thành p, biến một đường
kính thành ∂K ∩ V, biến một nửa hình tròn mở xác định bởi đường kính đó
thành (K\∂K) ∩ V, biến nửa hình tròn kia thành (S\K) ∩ V.

b) Nhận xét
+) K có hướng nếu đã chọn một hướng trên một lân cận của K trong
S ; khi đó ∂K có hướng gọi là hướng cảm sinh xác định như sau : Tại mỗi
điểm chính quy p của ∂K, xét véc tơ α∈ TpS, α ≠ 0, tiếp xúc với ∂K tại p mà
với véc tơ β ∈ TpS, β ≠ 0, β hướng vào bên trong = K\∂K thì cơ sở
{α, β} xác định hướng đã cho của TpS.
+) Như ta đã biết nếu K là một miền compắc (hay miền compắc có
hướng) với bờ trên đa tạp hai chiều S trong En thì có họ hữu hạn miền compắc
với bờ Ci trong R2, có họ ánh xạ khả vi r i : Ci → S, ri(Ci) = K, ri thu hẹp lên
= Ci\∂Ci là một vi phôi ( theo thứ tự bảo tồn hướng ) lên một tập mở của S và
ri( )∩rj() ≠∅ nếu i≠ j. Khi đó ta nói K được lát bởi họ
ri : Ci → S. Nếu các Ci là tam giác ( hay tam giác cong ) trong R2 khi đó ta
nói K được lát bởi họ tam giác cong ri : Ci → S ( hay ri : Ci → K ).
Hơn nữa nếu mỗi tam giác cong Ci nằm trong một tập mở Ui ⊂ R2, mỗi
ri: Ci → S thác triển được thành một tham số hóa địa phương U i → S, các tam
giác cong ri(Ci) trên S hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung hoặc
một cạnh chung mà thôi. Khi đó ta nói K được tam giác phân bởi họ (tam giác
cong ) ri: Ci→S nếu K có hướng thì các tam giác cong này được định hướng.
Và chúng ta cũng có : S là đa tạp hai chiều ( có hướng ) với bờ trong E n mà S
compắc thì nó có tính chất tam giác phân.
2.2. Đa tạp Riemann hai chiều


11

2.2.1. Định nghĩa. M là một đa tạp hai chiều. Một(cấu trúc) Mêtric Riemann
trên M là việc đặt ứng với mỗi p ∈ M, một tích vô hướng < , > p trên TpM, sao
cho tích vô hướng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là với hai trường
véc tơ (tiếp xúc) khả vi X, Y trên M thì hàm số p → < X(p) , Y(p)> là hàm số
khả vi. Đa tạp M cùng tích vô hướng < , > đó gọi là một đa tạp Riemann hai

chiều, ký hiệu (M, < , >).
Khi xét < , > là tích vô hướng trên T pM cảm sinh từ tích vô hướng trong E n, ta
được đa tạp Riemann hai chiều với Mêtric chính tắc mà ta kí hiệu là (M,Can).
2.2.2. Dạng liên kết (xem [1])
a) Định lý. (M, < , >) là một đa tạp Riemann hai chiều thì với mọi trường
mục tiêu trực chuẩn {U1,U2} trên tập mở V của M, gọi {θ1, θ2} là trường đối
mục tiêu của nó ( tức là dạng vi phân bậc một trên V mà θi (Uj) = δ (i,j = 1,2),
ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một ω trên V thỏa mãn :
dθ1 = - ω ^ θ2 ; dθ2 = - ω ^ θ1 ( trong đó ω = - ω ).
b) Định nghĩa. Dạng ω nói trên được gọi là dạng liên kết của (M , <,>) trong
trường mục tiêu đã cho.
2.2.3. Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều
a) Định lý và định nghĩa. (M , <,>) là một đa tạp Riemann hai chiều thì có
một và chỉ một hàm nhẵn K trên M sao cho với trường đối mục tiêu {θ1,θ2}
của trường mục tiêu trực chuẩn {U1,U2} tùy ý trên tập mở V của M ta có : dω
= K.θ1^ θ2
(trong đó ω là dạng liên kết của (M,<,>) trong trường mục tiêu đó).
Chứng minh : Vì {θ1,θ2} là trường đối mục tiêu trên V nên dạng vi phân bậc
hai dω viết được duy nhất dưới dạng : dω = K.θ1^ θ2. Khi đổi trường mục tiêu
{U1,U2} đã cho thành trường mục tiêu trực chuẩn mới ,2} trên V ta có dω =
1^2

. Theo công thức ở chú ý 2.2.2 thì = ε(ω - dϕ).


12

Mặt khác định hướng V bởi trường mục tiêu {U 1,U2} thì dạng diện tích chính
tắc trên V là θ1^ θ2 và cũng là ε1^2. Vì d(dϕ) = 0 suy ra = K. Vậy hàm số K
xác định trên mỗi tập mở, trên đó có trường mục tiêu trực chuẩn. Từ đó suy ra

định lý.
b) Định nghĩa. Hàm K nói trên được gọi là độ cong Gauss của đa tạp
Riemann hai chiều.
c) Ví dụ. Xét nửa phẳng Poincaré.
Như ta đã biết với mọi trường mục tiêu trực chuẩn {U 1 = yE1,U2 = yE2} của
nửa phẳng Poincaré thì trường đối mục tiêu của nó là : {θ1 = ,θ2 = } ta có :
dθ1 = (0dx + dy) ^ dx = dx ^ dy = θ1^ θ2 .
dθ2 = (0dx + dy) ^ dy = 0 = - θ1^ θ1. Suy ra dạng liên kết của H ứng với
trường mục tiêu trực chuẩn {U1,U2} là ω = - θ1 khi đó dω = - dθ1 = - θ1^ θ2
suy ra K = -1.
Vậy: Độ cong Gauss tại mọi điểm trên H đều bằng -1.
2.2.4. Đạo hàm của một trường véc tơ dọc một cung tham số
a) Trường véc tơ dọc theo một cung tham số
Xét cung tham số trên đa tạp Riemann hai chiều M ρ: I → M, t  ρ(t), I là một
khoảng mở trong R. Trường X dọc ρ là việc đặt tương ứng mỗi t ∈ I véc tơ
X(t) ∈ Tρ(t)M. Nói X khả vi tại to ∈ I nếu có khoảng mở J chứa to, J ⊂ I để với
mọi hàm số khả vi trên tập mở chứa ρ(J), hàm số t  X(t)[ϕ] khả vi tại to; nói
X khả vi nếu nó khả vi tại mỗi to ∈ I. Nếu {U1,U2} là một trường mục tiêu khả
vi trên tập mở chứa ρ(I) của M và viết X(t) = ϕ1(t)U1(ρ(t)) + ϕ2(t)U2(ρ(t)) thì
X khả vi khi và chỉ khi các hàm ϕ1,ϕ2 là các hàm khả vi.
b) Định nghĩa. Cho cung tham số ρ: I → M, t  ρ(t), trên đa tạp Riemann hai
chiều (M,<,>) thì với mỗi trường véc tơ X dọc ρ, quy tắc sau xác định một
trường véc tơ dọc ρ, kí hiệu là , gọi là đạo hàm của X dọc ρ: với mỗi to ∈ I,


13

lấy một trường mục tiêu trực chuẩn {U 1,U2} trong một lân cận của (ρ(to), viết
X(t) = ϕ1(t)U1(ρ(t)) + ϕ2(t)U2(ρ(t)) trong lân cận đó của to và đặt
(to) = U1(ρ(to)+

+ U2(ρ(to)
c) tính chất
+) X, Y là trường véc tơ dọc ρ: I → M, t  ρ(t), thì (X+Y) = X + Y.
+) X là trường dọc ρ và ϕ là hàm số trên I thì: (ϕX) = X + ϕ X.
+) X, Y là trường véc tơ dọc ρ thì : < X,Y> = < , Y > + < X , >.
2.3. Cung trong En
2.3.1. Định nghĩa. Hai cung tham số ρ: J → En, t  ρ(t) và r : I →En ;
u  r(u) ; ( I,J là những khoảng mở trong R; ρ và r khả vi ) gọi là tương đương
nếu có vi phôi λ: J → I, t  u = λ(t) sao cho roλ = p. Dễ thấy đó là một quan hệ
tương. Mỗi lớp tương đương của quan hệ đó gọi là một cung trong E n, mỗi
cung tham số của lớp tương đương đó còn gọi là một tham số hóa của cung,
vi phôi λ gọi là phép đổi tham số của cung.
2.3.2. Cung chính quy
Cho cung Γ xác định bởi ρ: J → En, t  ρ(t) điểm to của Γ mà ρ΄(to) ≠ 0 gọi là
điểm chính quy của Γ còn nếu ρ΄(to) = 0 thì nó được gọi là điểm kỳ dị của Γ.
Cung mà mọi điểm là chính quy gọi một cung chính quy.
2.3.3. Cung định hướng
Hai cung tham số ρ: J → En, t  ρ(t) và r : I →En , u  r(u) ; (I,J là những
khoảng mở trong R; ρ và r khả vi ) gọi là tương đương nếu có vi phôi bảo tồn
hướng λ (cụ thể λ’(t) > 0 với mọi t) λ: J → I, t  u = λ(t) sao cho roλ = p. Đây
là một quan hệ tương đương; mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương
đó gọi là một cung định hướng trong En.


14

Cho cung định hướng Γ xác định bởi ρ: J → En thì cung định hướng Γxác định bởi r = ρλ-1: I → En; λ: J → I là một vi phôi đảo hướng ( tức λ’(t) < 0
với mọi t ∈ J) gọi là có được từ Γ do đảo hướng.
2.4. Độ cong trắc địa
2.4.1. Định nghĩa. Với mỗi cung chính quy, dịnh hướng trên đa tạp Riemann

hai chiều có hướng ( M, <,> ), có hàm số dọc cung đó, ký hiệu K g, xác định
như sau: Lấy một tham số hóa tự nhiên : J → M, s  (s) của cung đó (tức là ||
΄|| = 1), đặt T = ’ và với mỗi s lấy N(s) ∈ TM sao cho {T(s), N(s)} là một cơ
sở trực chuẩn thuận của TM, vì <T,T> = 1 nên < ,T > = 0 do đó có thể viết: =
kgN.
Hàm số kg được xác định như trên gọi là độ cong trắc địa của cung ρ.
2.4.2. Định nghĩa. Cung chính quy trên đa tạp Riemann hai chiều gọi là
đường tiền trắc địa của đa tạp nếu độ cong trắc địa của nó bằng 0.
2.4.3. Mệnh đề. Cung chính quy với tham số hóa t ρ(t) trên đa tạp Riemann
hai chiều là đường tiền trắc địa của đa tạp khi và chỉ khi {ρ’(t), (t)} phụ thuộc
tuyến tính với mọi t.
Chứng minh: Với ρ I → M, t ρ(t) là một tham số hóa của cung định
hướng đã cho thì có phép đổi tham số λ: I → J, t  s = λ(t) để oλ = ρ
( : J → M là một tham số hóa tự nhiên của cung ).
Ta có: ρ΄ = (΄oλ) và = ||ρ΄|| nên:
= (/dt2) (΄oλ) + = (Toλ) + ||ρ΄||Kg(Noλ) (1).
Suy ra kg = 0 khi và chỉ khi {ρ’(t), (t)} phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét. Từ (1) rõ ràng định nghĩa 3.2.1 trên là hợp lý do nó không phụ
thuộc vào việc chọn tham số hóa tự nhiên .
2.4.4. Công thức tính. Giả sử trong lân cận của (s) nói trên có trường mục
tiêu trực chuẩn thuận {U1,U2} và viết dược:


15

(s).= T(s) = cosϕ(s)U1(ρ (s)) + sinϕ(s)U2(ρ (s)) thì rõ ràng
N(s) = -sinϕ(s)U1(ρ (s)) + cosϕ(s)U2(ρ (s)) và ta có:
= (-sinϕ + sinϕω(ρ ΄))(U1oρ) + (cosϕ - cosϕω(ρ ΄))(U2oρ) =
= ( - ω(ρ ΄))N, trong đó ω là dạng liên kết của M trong trường mục tiêu
{U1,U2}. Vậy: kg = - ω(ρ).

2.5. Cung trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều
2.5.1. Định nghĩa. Cung tham số t ρ(t) trên đa tạp Riemann hai chiều
(M,<,>) gọi là cung trắc địa nếu = 0 (tức nếu trường véc tơ ρ΄ song song dọc
ρ).
2.5.2. Nhận xét
+) Nếu t ρ(t) là một cung trắc địa trên (M,<,>) thì t ||ρ΄(t)|| là một hàm hằng.
+) Khái niệm cung trắc địa bất biến qua vi phôi đẳng cự giữa các đa tạp
Riemann hai chiều.
+) Cung chính quy trên đa tạp Riemann hai chiều là một đường tiền trắc địa
khi và chỉ khi nó có một tham số hóa (đặc biệt tham số hóa tự nhiên) là một
cung trắc địa trên đa tạp.
2.6. Phương trình cung trắc địa (xem [1])
Cho cung tham số ρ : I → M, t  ρ(t) trên đa tạp Riemann hai chiều
(M,<,>) mà ảnh nằm trong tập mở V, trên đó có trường mục tiêu trực chuẩn
{U1,U2} viết ρ΄ = (U1oρ) + (U2oρ) ( ,  là các hàm số của t) thì:
= (U1oρ) + (U2oρ) trong đó ω là dạng liên kết của M trong trường mục tiêu
{U1,U2}. Từ đó t  ρ(t) là cung trắc địa trên M khi và chỉ khi:

(*).

Ví dụ : Xét nửa phẳng Poicaré H = {(x,y) ∈ R2| y >0}
Lấy cung tham số ρ xác định như sau ρ : R → H, t  (1,et).
Ký hiệu {E2,E2} là trường mục tiêu chính tắc trên R 2. Khi đó {U1 = yE1, U2 =
yE2} là trường mục tiêu trên H ⇒ dạng liên kết ứng với {U1,U2}


16

là ω = -θ1 = - .
Ta có ρ’(t) = 0.(E1oρ)(t) + et(E2oρ)(t) = 0.U1oρ(t) + 1.U2oρ(t) khi đó

(t) = [0 + ω(ρ΄(t))]U1(ρ(t)) + [0 + ω(ρ΄(t))]U2(ρ(t)) = 0.
Vậy ρ là cung trắc địa.
Chương II. TÍCH PHÂN K - DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ

ỨNG DỤNG
§1. TÍCH PHÂN K - DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI
1.1. Tích phân đường các dạng vi phân bậc nhất.
Cho Γ là đường xác định bởi: ρ: [a,b] → Rn ; t  ρ(t) với ρ là hàm khả vi.
1.1.1. Định nghĩa: (Tích phân của hàm số dọc theo Γ)
Cho ϕ : Rn → R khả vi, ϕ ∈ Ω(Rn). Giả sử Γ đã được định hướng và
ρ: [a,b] → Rn là tham số hóa của Γ khi đó tích phân của ϕ dọc theo Γ là
ϕ = ϕ.ρ.||ρ ΄||dt.
Nhận xét: Nếu ρ là tham số hóa tự nhiên ||ρ΄|| = thì ϕ = ϕ(t)dt.
1.1.2. Định lý. Tích phân ϕ không phụ thuộc vào việc chọn tham số hóa cùng
hướng.
Chứng minh: Với Γ là đường cong xác định bởi ρ: [a,b] → Rn, t  ρ(t)
Giả sử Γ còn được xác định bởi cung tham số khác: ρ1: [a’,b’] → Rn
t1  ρ1(t1)
Khi đó sẽ tồn tại một phép biến đổi tham số λ : [a,b] → [a’,b’] mà ρ = ρ1λ
với λ > 0. λ(t) = t1 ⇒ dt1 = λ΄(t)dt.


17

Do đó : ϕ = ϕ.ρ.||ρ ΄||dt = ϕ(ρ1.λ)(t).||(ρ1λ)΄(t)||dt =
= ϕ.ρ1(t1).||(ρ1.λ(t)||.λ(t)dt ϕ.ρ1(t1).||(ρ1(t)||dt1 (do λ > 0)
Vậy ϕ không phụ thuộc vào cách chọn tham số hóa cùng hướng.
1.1.3. Định nghĩa. (Tích phân 1 - dạng vi phân dọc Γ).Cho θ ∈ Ω(Rn) là 1 dạng vi phân. Khi đó tích phân của θ dọc đường định hướng Γ được ký hiệu
là θ xác định bởi θ = ρ*(θ) .
1.1.4. Định lý. Tích phân θ không phụ thuộc vào tham số hóa ρ của Γ.

Chứng minh : Cho dạng vi phân θ dọc cung định hướng Γ trong Rn xác định
bởi tham số hóa ρ : J → Rn; t  ρ(t)của Γ cho dạng vi phân θρ ∈ Ω(J).
Khi đó θ = θρ. Xét θρ = ρ*θ và trong tham số hóa tương đương
r = ρ.λ : I → Rn thì θr = λ*θ = (ρ.λ)*θ = λ*(ρ*θ) = λ*(θρ )
u  r(u) = ρ(λ(u))
Khi đó : Nếu θρ = ϕdt thì θ = ϕ(t)dt
Ta có : θr = λ*(θρ) = λ*(ϕdt) = (λ*.ϕ)(λ*dt) = (ϕ.λ)d(t.λ) =
=

(ϕ.λ)d(λ(u)) = (ϕ.λ)(λ΄du) = (ϕ.λ)|λ΄|du = ϕdt = θρ.

Vậy tích phân θ không phụ thuộc vào tham số hóa ρ của Γ.
1.1.5. Định lý. Nếu θ là vi phân của một hàm ϕ với ϕ ∈ F(Rn) thì θ chỉ phụ
thuộc vào điểm đầu và điểm cuối ρ(a) ; ρ(b) của đường Γ.
Chứng minh : Theo giả thiết θ = dϕ ; ϕ ∈ F(Rn)
Γ là cung được xác định bởi ρ : [a,b] → Rn; t ρ(t) mà ρ(a) = A; ρ(b) = B.
Ta có : θ =

ρ*(dϕ) = d(ρ*(ϕ)) = d(ϕ.ρ) = (ϕ.ρ)΄(t)dt

với ϕ.ρ : [a,b] → Rn là hàm liên tục.
Vậy

θ = ϕ.ρ(b) - ϕ.ρ(a) = ϕ[ρ(b)] - ϕ[ρ(a)] = ϕ(B) - ϕ(A).


18

Điều này chứng tỏ tích phân dϕ chỉ phụ thuộc vào hai điểm đầu và cuối A, B
của đường cong Γ mà không phụ thuộc vào tham biến.

1.2. Tích phân mặt của 2 - dạng vi phân
1.2.1. Định nghĩa. Cho K là miền compăct với bờ trên đa tạp hai chiều S
trong En và hàm số ϕ : K → R là hàm số liên tục.
Lát K bởi họ ri : Ci → K ; (u , v)  ri (u,v) ( Ci là miền compawct với bờ R2).
Khi đó tích phân của ϕ trên K là :ϕds = ϕ(ri (u,v) dudv.
Trong đó :

=

Chú ý: Khi ϕ = 1, ds gọi là diện tích của miền K.
1.2.2. Định lý. Tích phân của hàm số trên miền compắct với bờ trên đa tạp
hai chiều S trong En không phụ thuộc vào việc lát của K đã chọn.
Chứng minh: Giả sử K có hai cách lát. Bằng cách xét ‘‘lát con’’ của hai lát
đó, ta đưa về chứng minh cho trường hợp lát K chỉ có một phần tử K = r(C).
Giả sử có ánh xạ khả vi λ: → C ; (s,t)  λ(s,t) = (u,v) ta cần chứng minh:
(ϕ.r) du.dv

= (ϕ.r.λ) ds.dt

nhưng dễ thấy rằng:
(ϕ.r.λ) = ((ϕ.r.λ) oλ) nên theo công thức đổi biến số dưới dấu tích phân hai
lớp suy ra dẳng thức cần chứng minh.
1.2.3. Định nghĩa. K là một miền compắct có hướng với bờ trên đa tạp hai
chiều S trong Rn, µ là một dạng vi phân bậc hai.
Lát K bởi họ ri : Ci → K ; (u,v)  ri (u,v) khi đó định nghĩa tích phân µ trên K
là:µ = ϕi(u,v)du.dv trong đó ϕi.du ^ dv = rµ
Nhận xét: Nếu µ = µo là dạng diện tích chính tắc trên K thì µo là diện tích của
miền K.

19

1.2.4. Định lý. Tích phân của 2 - dạng vi phân trên miền compắct có hướng K
với bờ trên đa tạp hai chiều S trong R n không phụ thuộc vào lát của K đã
chọn.
Chứng minh: Tương tự như chứng minh ở trên đối với hàm số ta giả sử
K = r(C). Nếu có ánh xạ khả vi λ: → C; (s,t)  λ(s,t) = (u,v) khi đó ta cần
chứng minh : ϕ(u,v)du.dv =

(s,t)ds.dt

Trong đó : r*µ = ϕ du ^ dv ; (r.λ)*µ = ds ^ dt
Nhưng ta có : (r.λ)*µ = λ*(r*.µ) = (ϕ.λ) ds ^ dt
Nên suy ra :  = (ϕ.λ) .
Khi đó theo công thức đổi biến số dưới dấu tích phân hai lớp ta được đẳng
thức cần chứng minh.
1.3. Tích phân của k - dạng vi phân
Giả sử M là đa tạp con compắct k chiều khi đó tồn tại {U α} phủ M hữu
hạn, trên Uα có hệ tọa độ địa phương. Tập các ánh xạ ϕ: M → R, {ϕ} là phân
hoạch đơn vị tương ứng với phủ nếu:
+) 0 ≤ ϕ ≤ 1
+) supϕ ⊂ Uα (supϕ = ⊂ Uα)
+) ϕ(x) = 1, ∀x ∈ M
1.3.1. Định nghĩa: Giả sử ω là k - dạng vi phân trên R n, (ω ∈ Ωk(Rn)), khi đó
tích phân của ω trên đa tạp compắct k chiều M được xác định là:
ω = h(ϕαω) với hα : Uα → hα(Uα)⊂ Rk là một vi phôi địa phương.
1.3.2. Định lý Stokes
a. Định nghĩa: Đa tạp M được gọi là đa tạp với biên nếu và chỉ nếu U α mở
trong Rm+ = {x(xi) | xm ≥ 0}.
N = {p(p1, ..., pm) | pm = 0} là đa tạp (m-1) chiều gọi là biên của M,

kí hiệu N = ∂M.


20

b. Định lý Stokes: Cho M là đa tạp Riemann với biên ∂M, ω là (n-1) dạng
trong Ωn-1(M), khi đó ta có dω = ω .
c) Các trường hợp riêng của định lý Stokes
+) Công thức Green. Giả sử M ⊂ R2 compắct với biên ∂M, ω là một dạng.
Nếu ω viết dưới dạng chính tắc ω = P (x, y) dx + Q (x, y) dy ( trong đó P, Q
là các hàm )
Khi đó ta có : dω = dxy
dω = dx^dy = dxdy
Áp dụng công thức Stokes dω = ω, ta có :
ω = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
Vậy : dxdy = P(x,y)dx + Q(x,y)dy.
+) Công thức Ostrogradski : Giả sử M compắct với biên trong R 3 khi đó ∂M
là mặt hai chiều, ω là 2 - dạng, ω được viết dưới dạng chính tắc :
ω = Pdy ^ dz + Qdz ^ dx + Rdx ^ dy (P, Q, R là các hàm của x, y, z trên lân
cận của compắct M).
Khi đó :
dxdydz = Pdy ^ dz + Qdz ^ dx + Rdx ^ dy
§2. DẠNG THỂ TÍCH, TÍCH PHÂN DẠNG THỂ TÍCH VÀ MỘT SỐ
ỨNG DỤNG.
2.1. Dạng thể tích, tích phân dạng thể tích
2.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa1. M là một đa tạp k - chiều được định hướng trong R n thì một
dạng vi phân ωo bậc k trên M gọi là dạng thể tích chính tắc trên M nếu
ωo(e1,e2,...,ek) = 1.{e1,e2,...,ek} là cơ sở trực chuẩn xác định hướng của TpM.

21

Định nghĩa2. M là một đa tạp k - chiều trong Rn và ω là một dạng vi phân bậc
k khác không tại mọi điểm, khi đó ω được gọi là dạng thể tích k - chiều trên
M.
Định nghĩa3. Tích phân của dạng thể tích chính tắc k - chiều ω trên đa tạp
compắct M được gọi là thể tích tương ứng của tập M đó. Kí hiêu : ω .
2.1.2. Nhận xét. Đối với đa tạp một chiều hay hai chiều thì “thể tích” thường
được gọi là độ dài hay diện tích còn dv được kí hiệu là ds (vi phân độ dài), dS
(vi phân diện tích).
2.2. Một số ứng dụng
Ứng dụng tích phân các dạng vi phân cho phép tính độ dài cung, tính diện
tích của các mặt, thể tích các khối quen thuộc trong chương trình phổ thông
và tổng quát là thể tích k - chiều.
2.2.1. Diện tích mặt tròn xoay
Xét mặt tròn xoay trong E3 có được do quay quanh trục oz cung đoạn chính
quy: x =ϕ(u), y = 0, z = (u) ; ( a≤ u≤ b ; 0≤ v≤ 2π ).
Mặt tròn xoay được xác định bởi : r(u,v) = (ϕ(u)cosv, ϕ(u)sinv, (u))
( a≤ u≤ b ; 0≤ v≤ 2π ) khi đó : r = (ϕ΄(u)cosv, ϕ΄(u)sinv, ΄(u))
r = (-ϕ(u)sinv, ϕ(u)cosv, 0)
Gr(r,r)=
= ϕ(u) (u)dudv =

=

⇒ S = ϕ(u) dudv

=

2πϕ(u) (u)du.

2.2.2. Diện tích mặt cầu
Ta có thể dùng công thức tính diện tích mặt tròn xoay ở trên để tính diện
tích mặt cầu trong E3. Ngoài ra ta có thể tính trực tiếp diện tích mặt cầu trong
E3 bằng cách sử dụng công thức :

S = ds =

dudv.


22

Cụ thể là với mặt cầu S : x + y + z = R trong không gian R 3. Trước hết ta
tính diện tích nửa mặt cầu phía trên sau đó ta nhân 2 lên thì được diện tích cả
mặt cầu.
Ta có thể viết phương trình nửa mặt câù phía trên dưới dạng tham số hóa như
r : S2 → R3 ; (x,y)  ( x, y, ).

sau :

Hay ta nói nửa mặt cầu phía trên được lát bởi họ r(S2), khi đó :
r = ( 1, 0, ; r = (1, 0, )
Gr(r,r) =
=1+
Vậy :

= =

= .
dS =

dxdy

đặt

⇒ J = r : 0 ≤ r ≤ R : 0 ≤ ϕ ≤ 2π
dS =
=

= 2πR =

. d( = -2πR = 2πR .

Vậy diện tích mặt cầu là: 2.(2πR) = 4πR.
2.2.3. Diện tích mặt trụ
Xét mặt trụ K có bán kính đáy R, đường sinh l xác định bởi:
K= .
Khi đó ta tính được diện tích nửa mặt trụ với y > 0 như sau:
Ta có thể lát nửa mặt trụ với y > 0 bởi họ r : C → K; (x,t)  ( x, , z).
Khi đó r = (1, , 0) ; r = (0,0,1)
Gr(r,r) = = 1 +
ds =

=

dxdz = dxdz

Đặt x = sint ⇒ dx = costdt ⇒ -1 ≤ sint ≤ 1 ⇒ ≤ t ≤ .

Thì

ds = costdtdz = Rdtdz = .t = πRl.

Vậy diện tích của mặt trụ K là (πRl).2 = 2πRl.
2.2.4. Diện tích mặt nón