Một số vấn đề trong lý thuyết hàm suy rộng schwartz
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (562.6 KB, 34 trang )
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************
NGÔ THỊ HẰNG
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TRONG LÝ THUYẾT
HÀM SUY RỘNG SCHWARTZ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
TS. TẠ NGỌC TRÍ
HÀ NỘI- 2012
LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Thầy đã giao đề
tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình hoàn thành khóa luận này. Thầy
luôn động viên và khích lệ để em vươn lên trong học tập, tự tin vượt qua
những khó khăn trong chuyên môn và truyền cho em những kinh nghiệm quý
báu trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Em xin bày tỏ lòng biết
ơn,lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, các thầy cô giáo trong khoa toán đã giảng dạy và giúp đỡ em trong suốt
quá trình học tập tại khoa.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Ngô Thị Hằng
2
LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan Khóa luận này là công trình nghiên cứu của riêng em
dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học và của các thầy cô với sự trân trọng và biết ơn. Em rất mong
nhận được ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn đọc để khóa luận hoàn thiện
hơn.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Ngô Thị Hằng
3
Mục lục
Chƣơng 1. Các kiến thức chuẩn bị .......................................................... 8
1.1. Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản ............................................. 8
1.2. Không gian định chuẩn...................................................................... 9
1.3. Không gian Banach ............................................................................ 10
1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn .............. 11
1.5. Không gian Hilbert ............................................................................ 13
1.6. Không gian L p n ........................................................................... 15
1.7. Biến đổi Fourier trong L 1 n ........................................................ 16
Chƣơng 2. Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz ........................................ 17
2.1. Không gian các hàm thử .................................................................... 17
2.2. Hàm suy rộng Schwartz .................................................................... 19
2.3. Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh ............................. 21
2.4. Giá của hàm suy rộng ........................................................................ 23
2.5. Đạo hàm của hàm suy rộng ............................................................... 23
2.6. Tích chập ............................................................................................. 25
2.7. Biến dổi Fourier của hàm suy rộng .................................................. 29
4
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học việc lấy đạo hàm các hàm số là việc làm thường gặp.
Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng làm được điều đó. Chẳng hạn như hàm
f x x ta không thể lấy đạo hàm tại x = 0. Trong vật lí có những hiện
tượng vật lí mà ta không thể biểu diễn nó một cách chính xác bằng một hàm
thông thường đã biết. Chẳng hạn như việc đo mật độ điện tích của một
nguồn đặt tại một điểm. Năm 1926, nhà vật lí người Anh là Paul Dirac đã đề
xuất khái niệm một hàm được gọi là hàm Delta Dirac, hay đơn giản hơn là
hàm Dirac. Trong Vật lí hàm Dirac được hiểu như sau :
0 nÕu x 0
nÕu x 0
x =
và đồng thời thỏa mãn đẳng thức tích phân
x dx 1.
Với cách định nghĩa như trên thì nhiều vấn đề trong toán học và vật lí đã được
giải quyết. Có nhiều cách hiểu về hàm Dirac theo các cách tương đương khác,
nhưng rõ ràng hàm Delta không phải là những hàm thông thường mà ta đã
biết. Điều này làm nảy sinh vấn đề là cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm
để có những lớp hàm mới luôn có thể lấy được đạo hàm đồng thời bao hàm
những hàm đã biết và cả những hàm mới, chẳng hạn như hàm Dirac. Từ đó
trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi là “ Hàm
suy rộng “. Tiêu biểu phải kể đến như Lý thuyết hàm suy rộng của
L. Schwartz…
5
Lý thuyết hàm suy rộng phát triển bởi L. Schwartz đã mở cánh cửa quan
trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực
phương trình đạo hàm riêng. Với lý thuyết đó, L.Schwartz đã được nhận giải
thưởng Fields năm 1950. Những bài toán phi tuyến thường dẫn đến việc xem
xét lấy tích hai hàm suy rộng. Rất nhiều nhà Toán học đã nghiên cứu để có
thể giải quyết vấn đề này. Họ đã cố gắng tìm ra những cách định nghĩa tích
của hai hàm suy rộng bất kì. Một số cách đã giải quyết được một phần vấn đề
nhân hai hàm suy rộng. Ta có thể kể đến phương pháp của Minkunski hay
phương pháp lấy tích dựa trên khai triển Fourier. Tuy nhiên chưa giải quyết
một cách đầy đủ vấn đề tích hai hàm suy rộng.
Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại,
được sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, em đã lựa chọn đề tài
“ Một số vấn đề trong lý thuyết Hàm suy rộng Schwartz “ cho luận văn của
mình. Luận văn sẽ tóm tắt những kiến thức cơ bản về lý thuyết hàm suy rộng
của L. Schwartz.
2. Cấu trúc luận văn
Nội dung khóa luận bao gồm:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz
3. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về lý thuyết
hàm suy rộng Schwartz và các vấn đề liên quan. Các tính chất có liên quan
đến hàm suy rộng Schwartz.
6
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn
đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp.
7
Chƣơng 1
Các kiến thức chuẩn bị
1.1
Một số thuật ngữ và khái niệm cơ bản
Trong luận văn này, ta sẽ kí hiệu 0,1,2... là tập các số tự nhiên, * là
tập các số tự nhiên khác 0, là tập các số nguyên, biểu thị tập số thực và
trường thực; biểu thị tập các số phức với đơn vị ảo i =
phức.
Ta
kí
hiệu
K
là
hoặc
1 và trường
.
Tập
x x , x ,..., x x , j 1,2,..., n là không gian thực n chiều với
n 1, 2 ,..., n j , j 1,2,..., n ,
n
1
2
n
j
chuẩn Euclid
1
n 2 2
x xj
j 1
Mỗi phần tử 1, 2 ,..., n n là một n-chỉ số ( hay đa chỉ số ) với bậc
1 2 ... n .Với mỗi đa chỉ số , toán tử vi phân kí hiệu
8
1 122 ...nn ở đây j
Dj
và toán tử D D11 D22 ...Dnn , trong đó
xj
i j , j 1,2,..., n .
i xj
Nếu không có gì đặc biệt thì ta hiểu là một tập mở trong n .
Ta kí hiệu Ck là tập hợp các hàm giá trị phức khả vi liên tục tới cấp k.
C là tập hợp các hàm giá trị phức khả vi liên tục ở mọi cấp.
Ta nói giá của hàm liên tục f : , là tập hợp kí hiệu bởi supp f và được
xác định bởi supp f x : f x 0 . Nếu K là một tập compact trong
n , ta kí hiệu Dk là tập hợp
1.2.
f C : supp f K .
n
Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.2.1: Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường K cùng với một ánh xạ từ
X vào tập số thực , kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau:
x 0, x 0 x ( kí hiệu là phần tử 0)
i)
( x X)
ii)
( x X) ( )
iii)
(x, y X)
x . x
x y x y
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Các tiên đề i, ii, iii gọi là hệ tiên đề chuẩn
Ví dụ 1.2.1.1: Không gian 2 hay 3 là các không gian định chuẩn với
chuẩn là độ dài của vectơ.
Định nghĩa 1.2.2: Dãy điểm xn của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ
tới điểm x X , nếu lim xn x 0 .
n
9
Kí hiệu: lim xn x
n
hay xn x (n )
Định nghĩa 1.2.3: Dãy điểm xn trong không gian định chuẩn X gọi là dãy
lim xn xm 0 .
cơ bản, nếu
m,n
Định nghĩa 1.2.4: Giả sử xn là một dãy trong không gian định chuẩn E.
x
Khi đó tổng hình thức x1 x2 ... xn ... hay
n1
n
được gọi là một chuỗi
k
trong E. Biểu thức Sk xn gọi là tổng riêng thứ k của chuỗi. Nếu tồn tại
n1
lim Sk S thì chuỗi được gọi là hội tụ và S được gọi là tổng của chuỗi.
k
Cùng với chuỗi
x
n1
n
, nếu chuỗi
n1
xn hội tụ thì chuỗi
x
n1
n
gọi là
hội tụ tuyệt đối.
1.3.
Không gian Banach
Định nghĩa 1.3.1:
Các không gian Banach được định nghĩa là các không
gian vectơ định chuẩn đầy đủ. Điều này nghĩa là một không gian Banach là
một không gian vectơ V trên trường K với một chuẩn . sao cho mọi dãy
Cauchy trong V ( tương ứng với metric d( x, y) x y ) hội tụ.
Ví dụ 1.3.1.1: Không gian Euclid quen thuộc K n với chuẩn Euclid của
x x1, x2 ,........, xn được cho bởi x
n
x
i 1
i
2
là các không gian Banach.
Ví dụ 1.3.1.2: Cho không gian vectơ C a, b . Đối với hàm số bất kì
x t C a, b ta đặt x max x t
(1.1)
a t b
10
Nhờ công thức x d( x, ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.1) cho
một chuẩn trên C a, b . Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là C a, b .
Dễ thấy Ca, b là không gian Banach.
Định lí 1.3.1: Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ khi
trong không gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
Định nghĩa 1.3.2: Tập X0 gọi là không gian định chuẩn con của không
gian định chuẩn X , nếu X0 là không gian tuyến tính con của không gian X và
chuẩn xác định trên X0 là chuẩn xác định trên X . Nếu X0 đồng thời là tập
đóng trong không gian X thì X0 gọi là không gian định chuẩn con đóng của
không gian X .
Định nghĩa 1.3.3: Giả sử X là không gian định chuẩn, X0 là không gian con
đóng của X . Khi đó trên không gian tuyến tính thương X X0 , ta xác định:
X
x X X0
*
thì x inf x
x x
X0 x X0 ; x X
là một chuẩn chứa trong X X0
Không gian định chuẩn
X X , . gọi là không gian định chuẩn thương
*
0
của X theo không gian con X0 .
1.4. Toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.4.1: Cho hai không gian tuyến tính X , Y trên trường K. Ánh
xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thõa
mãn các điều kiện:
i)
x, x ' X
ii)
x X K
A x x ' Ax Ax '
A x Ax
11
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử A chỉ thỏa
mãn điều kiện i) thì A gọi là toán tử cộng tính còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn
điều kiện ii) thì A gọi là toán tử thuần nhất. Khi Y K thì toán tử tuyến tính
A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính
Định nghĩa 1.4.2: Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A
từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C > 0
x X
Ax C x
sao cho
Định lí 1.4.1:
Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X
vào không gian định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau tương đương:
i)
A liên tục.
ii)
A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X.
iii) A bị chặn.
Chứng minh:
i ) ii )
Giả sử toán tử A liên tục. Theo định nghĩa toán tử A liên tục tại mỗi
điểm x X , do đó toán tử A liên tục tại điểm x0 X .
ii ) iii ) Giả sử toán tử A liên tục tại điểm x0 X , nhưng toán tử A không bị
chặn. Khi đó:
n x X
Axn n xn
*
n
Hiển nhiên xn , đặt yn
1
xn
, thì yn 0
n
n xn
nghĩa là yn khi n . Suy ra yn x0 x0
có:
n
n . Theo giả thiết ta
A( yn x0 ) Ax0 0 (n ) Ayn 0 (n )
Nhưng
x
Ayn A n
n x
n
1
Axn 1
n
x
n
12
Điều này mâu thuẫn với chứng minh trên. Vì vậy toán tử A liên tục tại điểm
x0 X thì bị chặn.
iii ) i ) Giả sử toán tử A bị chặn. Theo định nghĩa
Ax C x
x X
C 0
(1.2)
Nhờ hệ thức (1.2) ta có:
Axn Ax A( xn x) C xn x 0 (n )
Do đó A liên tục tại điểm x. Suy ra A liên tục.
Định lí được chứng minh.
1.5. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.5.1: Cho không gian tuyến tính X trên trường K. Ta gọi là tích
vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X vào trường
K, kí hiệu .,. , thỏa mãn tiên đề:
i)
x, y X
y, x x, y
ii) x, y, z X
x y, z x, z y, z
iii) x, y X K
x, y x, y
iv) x X
x, x 0 nÕu x
x, x 0, nÕu x
Các phần tử x,y,z gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x, y gọi là tích vô
hướng của hai nhân tử x và y, các tiên đề i),ii),iii),iv) gọi là hệ tiên đề tích vô
hướng.
Định lí 1.5.1: Đối với mỗi x X , ta đặt x x, x (1.3)
Khi đó
x, y X , ta có bất đẳng thức Schwarz:
x, y x . y
(1.3)
Chứng minh: Nếu x, y 0 thì bất đẳng thức (1.3) hiển nhiên đúng.
13
Nếu x, y 0 thì ta có:
0 x x, y y, x x, y y
x x, y y, x x, y y, x x, y x, y y, y
2
x 2 x, y 2 x, y
2
2
2
y
2
Ta nhận được một tam thức bậc hai đối với không âm với mọi giá trị
. Do đó:
4
x, y x, y
Vì vậy
2
x
2
2
2
y 0 x, y x
2
2
y x, y x y
x, y X
x, y x y
Bất đẳng thức Schwarz được chứng minh.
Chú ý:
Nếu .,. là một tích vô hướng trên X thì ánh xạ x x, x là một
chuẩn trên X.
Định nghĩa 1.5.2: Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô
hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.5.3: Ta gọi một tập H gồm những phần tử x,y,z…nào
đấy là không gian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
i)
H là không gian tuyến tính trên trường K
ii)
H được trang bị một tích vô hướng .,.
iii) H là không gian Banach với chuẩn x x, x
,x H
Chú ý: Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert. H
là không gian Hilbert con của không gian H.
Ví dụ 1.5.3.1: Kí hiệu k là không gian vectơ thực k chiều. Với
x xn k ,y yn k ta đặt
k
x, y xn yn
(1.4)
n1
14
Hệ thức (1.4) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô
hướng (1.4) là x x, x
k
x
n1
x xn k
2
n
Không gian vectơ thực k cùng với tích vô hướng (1.4) là một không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.5.3.2: Kí hiệu l 2 là không gian vectơ các dãy số phức x xn sao
cho chuỗi số
x
n1
2
n
hội tụ. x xn l2 ,y yn l2 ta đặt
x, y xn y n (1.5)
n1
Hệ thức (1.5) thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh ra bởi tích vô
hướng (1.5) là x
x
n1
2
n
x xn l2
Không gian vectơ l 2 cùng với tích vô hướng (1.5) là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.5.3.4: Trong l 2 , với x k , y k , ta định nghĩa
x, y k k
k1
thì .,. là tích vô hướng. l2 , .,. là không gian Hilbert.
1.6. Không gian L p n
Định nghĩa 1.6.1: Giả sử X là một tập đo được Lebesgue bất kì trong
n , 1 p . Ta kí hiệu L p X là K không gian vectơ tất cả các hàm f từ X
vào K sao cho f
p
khả tích Lebesgue trên X.
Trong không gian ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi.
15
1
Với p 1 và f Lp X ta đặt
p
p
f p f d .
X
Khi X n thì ta có không gian Lp n . Khi đó
f
p
p
f dX
n
Định lí 1.6.2: Với p 1, Lp X là không gian Banach.
Định nghĩa 1.6.2: L X là tập hợp tất cả các hàm f : X đo được và bị
chặn hầu khắp nơi trong X. Nghĩa là: c 0: f x c hầu khắp nơi trong X
Kí hiệu: f
inf c : f x c h.k.n / X
1.7. Biến đổi Fourier trong L1 n
Định nghĩa 1.7.1: Cho hàm f L1 n . Ta kí hiệu f là hàm xác định bởi
n
f 2 2
e
ix
f x dx, n
(1.6)
n
Hàm f được gọi là biến đổi Fourier của f.
Tích phân của vế phải (1.6) hoàn toàn được xác định vì:
n
f 2 2
n
ix
e f x dx 2 2
2
n
2
n
f x dx (vì
n
Ta lại có f L1 n
f x dx .
n
n
Vậy f 2 2
f x dx .
n
16
e
ix
n
eix 1).
f x dx
Chƣơng 2
Lý th uyết hàm suy rộng Schwartz
2.1. Không gian các hàm thử
Định nghĩa 2.1.1: Cho E là một không gian vectơ trên trường K. Một tôpô
trên E gọi là tương thích ( với phép toán đại số của E) nếu phép cộng
: E E E và phép nhân vô hướng . : K E E liên tục.
Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một
không gian vectơ tôpô.
Định nghĩa 2.1.2.: Một không gian vectơ tôpô X ( với tôpô ) được gọi là lồi
địa phương nếu có một cơ sở địa phương cho có các phần tử là lồi. Một
không gian lồi địa phương được gọi là không gian Frechet nếu nó được cảm
sinh bởi một metric đầy đủ d thỏa mãn d x z, y z d x, y
Bổ đề 2.1.1: Cho n và . Khi đó tồn tại dãy các tập compact
K , j 1,2,3... thỏa mãn K
j
j
int K j 1 và
j 1
Kj
Do đó, ta kí hiệu K là một tập compact của và K j là một trong các tập
compact trong họ K j nói trong bổ đề 2.1.1
17
Bổ đề 2.1.2: C là một không gian Frechet và Dk là không gian con
đóng của C , với mọi K .
Như vậy với mọi tập compact K thì DK là một không gian
Frechet. Hợp tất cả các không gian đó lại ta có một không gian quan trọng, đó
là không gian các hàm thử.
Định nghĩa 2.1.3: Ta kí hiệu D là tập hợp :
D C : supp lµtËp compact trong
Ta gọi D là không gian các hàm thử.
Dễ thấy D j 1 DK j nên D là không gian vectơ. Hơn nữa ta có:
Mệnh đề 2.1.1: Không gian các hàm thử D là một không gian vectơ topo
lồi địa phương.
Không gian các hàm thử là một không gian quan trọng trong giải tích
hiện đại. Nó là công cụ để xây dựng các khái niệm mới cũng như mở rộng các
khái niệm đã có. Sau đây chúng ta thừa nhận các tính chất của D .
Định lí 2.1.1: Cho không gian D với topo . Ta có:
1.
Dãy các hàm l l 1 hội tụ theo topo tới 0 trong D khi và chỉ khi
tồn tại j * sao cho supp l K j với mọi l * và l 0 trong DK j ,
nghĩa là
sup l x 0 x 0 khi l
xK j
với mọi đa chỉ số .
18
2.
Tập E D khi và chỉ khi tồn tại j * sao cho E là tập con bị
chặn trong DK j . Đặc biệt nếu l l 1 là dãy Cauchy trong D thì tồn
tại j * sao cho l hội tụ trong DK j và do đó hội tụ trong D .
3.
Một phiếm hàm tuyến tính :D liên tục khi và chỉ khi với mọi
j tồn tại N j và hằng số cj 0 sao cho :
sup cj sup x : N j
DK j
xK j
Định lí 2.1.2: Trong không gian D
1.
Phép lấy vi phân : là tuyến tính, liên tục trên D với mọi
đa chỉ số .
2.
Với mọi f C thì ánh xạ M f : f cũng là tuyến tính liên tục
trên D .
2.2 Hàm suy rộng Schwartz
Định nghĩa 2.2.1: Mỗi phiếm hàm u : D tuyến tính, liên tục trên
D được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz.
Tập hợp tất cả các hàm suy rộng trên được kí hiệu D ' . Giá trị của
phiếm hàm u tại D được kí hiệu là u, .
Chú ý 2.2.1:
D ' là không gian vectơ với các phép toán:
Phép cộng. Với mọi u, v D ' ta có:
u v, u, v, , D .
Khi đó u v D ' .
19
Phép nhân với phần tử vô hƣớng. Với mọi u D ' và mọi số phức
ta định nghĩa u như sau:
u, u, , D .
Khi đó u D ' .
Dựa vào tính liên tục của phiếm hàm trên D ta có:
Cho u là một phiếm hàm tuyến tính trên D . Các
Mệnh đề 2.2.1:
mệnh đề sau là tương đương
i)
u D '
ii)
Với mỗi tập compact K , tồn tại một số thực c > 0 và một số nguyên
không âm N, sao cho
u, c sup
(2.1)
N
với mọi D , và supp K.
iii) Mọi dãy j j 1 hội tụ về 0 trong D thì limu, j 0 .
j
Ta biết rằng trong (2.1) nếu ta thay N bởi N ' N thì vẫn đúng. Số N nhỏ nhất
thỏa mãn (2.1) được gọi là cấp của hàm suy rộng.
Ví dụ 2.2.1:
1. Mỗi hàm f L1loc là một hàm suy rộng xác định bởi:
f : f , f x x dx
Chú ý: Ở đây, hàm đo được f thỏa mãn
f x dx cho tất cả các tập con
K
compact K được gọi là khả tích địa phương. Tập tất cả các hàm khả tích
địa phương trên được kí hiệu bởi L1loc . Bây giờ chúng ta chứng minh
dạng tuyến tính trên là một hàm suy rộng.
20
Thật vậy, với mọi tập compact K và mọi hàm D sao cho
supp K ta có:
f ,
f x x dx f x x dx
K
f x x dx supK x
K
f x dx.
K
Vậy với N = 0 và c f x dx thì f là hàm suy rộng cấp 0.
K
2.Tương tự mọi hàm f Lp cũng là một hàm suy rộng.
Ví dụ 2.2.2:
( Hàm Dirac ) . Hàm Dirac kí hiệu là được xác định như
sau:
: D n và , 0
là một hàm suy rộng cấp 0.
Thậy vậy, với mọi tập compact K n và với mọi D n sao cho
supp K ta có , 0 1.supK x .
2.3. Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh
Định nghĩa 2.3.1: Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh Schwartz,
kí hiệu S hoặc S n , là tập hợp tất cả các hàm C n thỏa mãn:
Với mọi đa chỉ số , n
sup x D x
x n
Với topo xác định bởi : dãy j S n hội tụ về 0 khi j thì với mọi
đa chỉ số , n ,
x D j x 0 khi j trong n .
Định nghĩa 2.3.2: Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S n được gọi
là một hàm suy rộng .
21
Nếu u, v là các hàm suy rộng , c thì:
u v, u, v,
cu, cu, , S n
Với 2 phép toán này thì tập hợp tất cả các hàm suy rộng trở thành một không
gian tuyến tính. Không gian này kí hiệu là S' n . Một dãy uj trong
Nhận xét: Dễ thấy rằng S' là một không gian con của D ' và hơn
nữa u S' khi và chỉ khi mọi dãy 0 trong S thì u, 0
S' n được gọi là hội tụ tới u S' n nếu uj , u, , S n .
n
n
n
n
j
j
khi j .
Ví dụ 2.3.1:
Cho u là một hàm bị chặn theo kiểu đa thức xác định trên n (
liên tục, liên tục từng khúc hoặc một hàm tổng quát, đo được ) thì phiếm hàm
được định nghĩa bởi:
u,
u x x dx,
S n
n
là một hàm suy rộng .
Thật vậy
+ Với , f S n , c1, c2 ta có:
u, c1 c2 f
u x c x c f x dx
1
2
n
c1 u x x dx c2 u x f x dx
n
n
c1 u, c2 u, f .
S
Giả sử K ta có:
22
u,K u,
u x x dx u x x dx
K
n
n
u x x x dx
K
n
u x x x dx 0 khi
K
k
n
Suy ra u là liên tục.
Vậy u S' n . Điều này cho phép chúng ta đồng nhất các hàm bị chặn kiểu
đa thức với hàm suy rộng.
Ví dụ 2.3.2:
( hµm). Cho x n là một điểm cố định. Hàm suy rộng x
được định nghĩa bởi
x , f f x , f S n .
được gọi là hàm tại điểm x.
Đặc biệt 0 kí hiệu là .
hàm tại điểm gốc kí hiệu là y khi được xét như một phiếm hàm
trên các không gian hàm phụ thuộc vào giá trị của y.
2.4. Giá của hàm suy rộng
Định nghĩa 2.4.1: Ta nói hàm suy rộng u triệt tiêu trên tập mở và viết
u 0 nếu u, 0, S n , supp .
Ta nói u trùng với hàm suy rộng khác là v trên nếu u v 0 . Cụ thể
hàm suy rộng u trùng với hàm v trên nếu:
u, v dx , trong đó supp .
Định nghĩa 2.4.2: Nếu u S' n thì giá của hàm suy rộng u được kí hiệu
suppu và được xác định bởi:
23
suppu n \ u , ở đó u là hợp của tất cả các tập mở sao cho u 0 .
Nếu u có supp u là tập compact trong n thì ta nói u là hàm suy rộng có giá
compact.
Tập hợp tất cả các hàm suy rộng có giá compact được kí hiệu là ' n .
Định lí 2.4.1: Nếu u ' n thì tồn tại một số nguyên dương m sao cho:
u x
u x
m
x
trong đó u x là các hàm liên tục có giá compact.
2.5. Đạo hàm của hàm suy rộng
Mệnh đề 2.5.1: Cho u D ' là một hàm suy rộng. Khi đó, với mỗi đa chỉ
số n toán tử tuyến tính được kí hiệu u xác định bởi:
u, 1 u, , D (2.2)
là một hàm suy rộng.
Chứng minh: Thật vậy
Với mọi tập compact K và mọi hàm D sao cho supp ta
có:
u, u,
Bây giờ ta lấy dãy j trong D sao cho supp j K , j=1,2,…và j 0
khi j . Do tính liên tục của phép lấy vi phân trong D nên ta cũng có
j 0, khi j . Từ đó suy ra
lim u, lim u, 0 .
j
j
Mệnh đề được chứng minh.
24
Định nghĩa 2.5.1: Cho u D ' . Hàm suy rộng xác định bởi (2.4) được
gọi là đạo hàm cấp của hàm suy rộng u .
Hàm Heaviside xác định bởi:
Ví dụ 2.5.1:
1 nÕu x 0
H x
0 nÕu x 0
thì H .
Thật vậy với , với mọi D ta có
H , 1 H , x dx x 0 0 ,
1
0
Do đó H .
Ví dụ 2.5.2:
Với f x ln x , ta có f L1loc do đó f có thể được xem
như một hàm suy rộng theo cách sau:
f ,
ln x x dx.
Ta có
f , ln x x dx
0
0
ln x x dx
ln x x dx
lim ln x x dx ln x x dx
0
x
x
lim ln
dx
dx
0
x
x
x
x
lim
dx
dx
0
x
x
25
