phép dời hình và ứng dụng của nó trong en

                                              
                                TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN 
                                                             **************** 
 
 
 
 
 
                                                         TRẦN THỊ THOA
 
 
 
 

PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA
NĨ TRONG En
 
         KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

HÀ NỘI - 2012
 
 

 


                                        
                                TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN 
                                                           **************** 
 
 
 
 
 
                                                         TRẦN THỊ THOA
 
 
 
 

PHÉP DỜI HÌNH VÀ ỨNG DỤNG CỦA
NĨ TRONG En
 
         KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học
 
 
 
 
 

                                                Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS NGHUYỄN NĂNG TÂM
 
 
 
 
 
 

HÀ NỘI - 2012

                              

 


                                 
 
 

LỜI CẢM ƠN

    Sau  một thời gian nghiên  cứu với sự cố gắng  của bản thân đặc biệt là sự 

hướng dẫn, chỉ  bảo tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm đã giúp đỡ em trong 
suốt q trình nghiên cứu để em có thể hồn thành khóa luận. 
    Qua đây, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, lịng biết ơn chân thành nhất đến 
thầy Nguyễn Năng Tâm, cũng như sự quan tâm, chỉ bảo, góp ý kiến của các 
thầy, cơ giáo trong tổ hình học và các thầy, cơ giáo trong khoa Tốn đã giúp 
đỡ em hồn thành khóa luận tốt nghiệp này. 
    Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm của bản thân cịn nhiều hạn chế nên 
khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót. Kính mong các thầy, cơ cùng các bạn 
đọc  nhận  xét  và  góp  ý  kiến để  em rút  được kinh nghiệm  và  có  hướng hồn 
thiện, phát triển khóa luận sau này. 
                                                              
                                                                Hà Nội, tháng 5 năm 2012 
                                                                                Sinh viên 
 
 
                                                                             Trần Thị Thoa 
 
 
 
 
 
 
                                                

 


 
                                         LỜI

CAM ĐOAN

 
    Em  xin  cam  đoan  bản  khóa  luận  này  được  hồn  thành  do  sự  nỗ  lực  tìm 
hiểu, nghiên cứu của bản thân cùng sự giúp đỡ tận tình của thầy Nguyễn Năng 
Tâm cũng như các thầy, cơ giáo trong tổ hình học của khoa Tốn trường Đại 
học Sư phạm Hà Nội 2. 
    Bản khóa luận này khơng trùng với kết quả của các tác giả khác. Nếu trùng 
em xin hồn tồn chịu trách nhiệm. 
 
                                                                                   Sinh viên 
 
 
                                                                               Trần Thị Thoa 
 

 


Mục lục 
 
                                                                                                                 Trang 
Phần mở đầu…………………………………………………………………1 
Phần nội dung………………………………………………………………..1 
Chương 1: Phép dời hình trong  E n ………………………………………     1 
   1.  Sơ lược về phép biến hình và phép biến hình afin…...………………..1 
   2.  Đại cương về phép dời hình …………………………………………..2 
Chương 2: Ứng dụng phép dời hình vào giải một số lớp bài tốn trong  E n  
1. Ứng  dụng  phép  dời  hình  để  giải  bài  tốn  chứng  minh  trong  hình 
học……………………………………………………………………10 

2. Ứng dụng phép dời hình để giải bài tốn quỹ tích trong hình học…...20 
3. Ứng  dụng  phép  dời  hình  để  giải  bài  tốn  dựng  hình  trong  hình 
học……………………………………………………………………27 
4. Ứng dụng phép dời hình để giải bài tốn tính tốn trong hình học….38 
Kết luận …………………………………………………………………...45 
 Tài liệu tham khảo……………………………………………………….. .46 
 
 
 
 
 
                                      
 
 
 

 

 


 

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

     Trong chương trình hình học ở bậc trung học học sinh đã được biết đến các 
phép biến hình và việc vận dụng nó như là một cơng cụ để giải một số lớp các 
bài  tốn  hình  học  một  cách  nhanh  gọn  và  hợp  lý.  Trong  nhiều  trường  hợp 
phép biến hình là một cơng cụ hữu hiệu để giải lớp các bài tốn như: bài tốn 

quỹ  tích,  bài  tốn  tính  tốn…  Tuy  nhiên  việc  giải  các  bài  tập  bằng  phương 
pháp  biến  hình  khơng  phải  là  dễ  dàng.  Để  khắc  phục  và  làm  sáng  tỏ  thêm 
phần nào đó về việc giải tốn bằng phương pháp biến hình nói chung và của 
phép dời hình nói riêng nên em đã chọn đề tài “Phép dời hình và ứng dụng 
của nó trong  E n ”. 
 

2. Nhiệm vụ nghiên cứu

2.1  Trình bày cơ sở lý thuyết về phép dời hình. 
2.2   Đề xuất phương pháp vận dụng phép dời hình để giải quyết một số 
        dạng bài tốn hình học. 
 2.3  Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập. 
 
3.  Các phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu sử dụng lý luận, cơng cụ tốn học. 
- Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu có liên quan. 
 

1 
 


 

 
 Chương 1
Phép dời hình trong En
 

1. Sơ lược về phép biến hình và phép biến hình afin
1.1.    Phép biến hình
-

Giả  sử  K   là  một  tập  khác  rỗng.  K   sẽ  được  gọi  là  một  không gian,  các 

phần tử của  K  gọi là một điểm,  một phần tử khác rỗng của  K  được gọi là 
một hình. 
-   Giả sử  K  là một khơng gian, song ánh  f : K  K  được gọi là một phép 
biến hình của khơng gian  K .  
-   Phép biến hình  f  của khơng gian  K  được gọi là phép biến hình đối hợp 
nếu  f 2  là đồng nhất. 
-   Giả sử  f  là phép biến hình của khơng gian  K ,  điểm  M  K  được gọi là 
điểm bất động đối với  f  nếu  f  M   M .  
Hình  H  của khơng gian  K  được gọi là hình kép đối với  f  nếu  f  H   H ,  
hình  H  được gọi là hình bất động nếu với mọi điểm của  H  đều bất động. 
 

1.2. Phép biến hình afin

2 
 


 

-

Định nghĩa: Phép  biến hình của khơng gian  E n  biến đường thẳng thành 

đường thẳng được gọi là phép biến hình afin.

- Định lý: Phép biến hình  f  của khơng gian  E n  là phép biến hình afin khi 
và chỉ khi nó biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và ba điểm 
khơng thẳng hàng thành ba điểm khơng thẳng hàng.
 

2. Đại cương về phép dời hình

2.1.   Định nghĩa
-   Phép biến hình của khơng gian  E n  bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm tùy 
ý được gọi là phép dời hình. 
-   Trong khơng gian  E n  hai hình được gọi là bằng nhau nếu tồn tại một phép 
dời hình biến một  trong hai hình thành hình cịn lại. 
 

2.2. Tính chất
a,   Phép dời hình: biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo 
tồn thứ tự các điểm đó. 
Chứng minh: 
   Giả sử qua phép dời hình  f ,   cho ba điểm khơng thẳng hàng  A,   B,   C   khi 
đó  điểm  A   thành  A,   điểm  B   thành  B,   điểm  C   thành  C    thì  ta  có 
AB  AB,   BC   BC ,   C A  CA. Vì  B   nằm  giữa  A   và    C   nên 
AB  BC  AC. Từ  đó  suy  ra  AB  BC   AC .   Như  vậy  ba  điểm  A, B, C   

thẳng hàng và điểm  B  nằm giữa  A  và  C .  

3 
 

 

b,   Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng. 
Chứng minh: 
   Cho đường thẳng  d  trong khơng gian  K  đi qua hai điểm  A, B  và gọi  d    là 
đường thẳng  trong  K   đi qua  ảnh  A, B   của  A, B.   Nếu  M   thuộc  d   thì  ảnh  
M    của nó thuộc  d   và nếu  M   thuộc  d   thì theo tính chất a, tạo ảnh của nó 

thuộc  d ,  tức là  f  d   d .  
c,   Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình. 
Chứng minh: 
   Cho hai phép dời hình  f  và  g . Ta xét tính chất của phép biến hình  g  f .  
Giả  sử  A, B   là hai điểm  bất kì và  ta có  f  A   A,   g  A   A,   f  B   B,  
g  B   B. Vì  f   và  g   đều  là  phép  dời  hình  nên  ta  có  AB  AB   và 

AB  AB.   Như vậy phép biến hình  g  f   đã biến điểm  A  thành điểm  A,  

biến điểm  B  thành điểm  B  thỏa mãn điều kiện  AB  AB.   Do đó tích của 
hai phép dời hình  g  f  là một phép dời hình vì nó là một phép biến hình có 
tính chất bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì  A, B  của mặt phẳng. 
d,   Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp. 
Chứng minh: 
   Giả  sử  g , h, f   đều  là  các  phép  dời  hình,  ta  cần  chứng  minh 

 g  h  f

 g   h  f  .   Thật  vậy  giả  sử  f   biến  M   thành  M ,   h   biến  M   

thành  M   và  g  biến  M   thành  M .   Ta có  g  h  là một phép dời hình biến 

M    thành  M    và do đó   g  h   f  biến  M  thành  M .   Mặt khác  h  f   biến 
M  thành  M   và  g   h  f   biến  M  thành  M .  
   Vậy   g  h   f  g   h  f   vì cả hai đều biến điểm  M  thành điểm  M   với 

mọi điểm  M  bất kì trong mặt phẳng. 
e,   Tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm đối với phép nhân ánh xạ. 

4 
 


 

Chứng minh: 
   Do tích các phép dời hình là phép dời hình. Như vậy tập hợp các phép dời 
hình đóng kín với phép tốn đã cho. Mặt khác ta thấy rằng tập hợp các phép 
dời  hình  có  tính  chất  kết  hợp.  Hơn nữa trong tập  hợp  các  phép  dời  hình có 
phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất và bất cứ phép dời hình nào cũng 
có phép dời hình đảo ngược của nó. 
   Nếu gọi  f  là một phép dời hình bất kì,  f 1  là phép dời hình đảo ngược của 
nó,  e  là phép đồng nhất ta ln ln có 
f  f 1  e  

   Vậy tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép 
dời hình. 
f,   Phép dời hình chính là một phép biến hình afin. 
Chứng minh:  
   Giả sử  f  là một phép dời hình ta phải chứng minh 
                                     f : A, B, C  A, B, C   

Nếu  A,   B,   C  thẳng hàng thì  
                       

AB  BC  AC
 
AB  BC   AC 

Giả sử  AC  lớn nhất thì  AC  AB  BC  
Giả sử  AC   lớn nhất thì  AC   AB  BC   
Tức là  A,   B,   C   khơng thẳng hàng do đó  A,   B,   C  khơng thẳng hàng. 
g,   Phép dời hình bảo tồn độ lớn của góc phẳng 
 

5 
 


 

       

 

 
Chứng minh: 
   Giả  sử  xOy   là  góc  trong  khơng  gian  và  f   là  phép  biến  hình  đã  cho,  đặt 
Ox  f  Ox  ,   Oy  f  Oy  . 

Lấy điểm  A  trên  Ox  A  O   ta có  f  A   A  Ox  khác  O.  Tương tự lấy  B  

trên  Oy  B  O   ta có  f  B   B  Oy  khác  O.  
Hai tam giác  OAB  và  OAB  bằng nhau do ba cạnh tương ứng bằng nhau. 
Vậy  xOy  xOy.  
h,   Phép dời hình biến đường trịn thành đường trịn cùng bán kính và trong 
khơng gian  E 3  biến mặt cầu thành mặt cầu. 
Chứng minh: 
   Giả sử  f  là phép dời hình,     là đường trịn tâm  O  bán kính  R . 
Gọi  O  f  O   và gọi      là đường trịn tâm  O  bán kính  R . 
- Lấy  M     đặt  M   f  M   ta có  OM   f  OM   R.  Vậy  M      .  
- Lấy  N       tồn tại  N  sao cho  f  N   N   vì  ON  ON   R  nên  N    .  
2

Phép chứng minh trên được xét trong  E  phép dời hình biến đường trịn thành 
đường trịn. 
 

2.3. Định lý về sự xác định phép dời hình

6 
 


 

   Trong mặt phẳng cho hai tam giác bằng nhau:  ABC  và  ABC ,  tồn tại duy 
nhất một phép dời hình của mặt phẳng lần lượt biến các điểm  A,   B,   C  thành 
các điểm  A,   B,   C .  
Chứng minh: 
 

         
 

 

       
Cho hai tam giác  ABC  và  ABC   có  CA  a,   CB  b,   C A  a,   C B  b.  
 
 a  a
  

Do đó   b  b
 
  
 
 a, b  a, b




Với mỗi điểm  M  trong mặt phẳng ta có  CM  m1 a  m2 b  



Cho tương ứng với  M   được xác định  C M   m1 a  m2 b  

  



 
Với mỗi  M  ứng với bộ   m1 , m2   duy nhất nếu điểm  M ,   N  phân biệt thì hai 
bộ số   m1 , m2  ;    n1 , n2   cũng phân biệt. 
Vậy các điểm  M ,   N   cũng phân biệt. 

7 
 


 




Với mỗi điểm  M   mà  C M   m1 a  m2 b  sẽ có điểm  M .  Ứng với bộ   m1 , m2   

là tạo ảnh. Suy ra  f  là song ánh. Giả sử  M  và  N  là các điểm ứng với hai bộ 
số   m1 , m2  ;    n1 , n2  .  



Khi đó  MN   n1  m1  a   n2  m2  b  



             M N    n1  m1  a   n2  m2  b  
Bình phương vơ hướng 
2

2

                               MN  M N   
                  f  là phép dời hình. 

Dễ thấy  f : A,   B,   C  A,   B,   C   
Giả  sử  có  phép  dời hình  g : A, B, C  A, B, C    với  mỗi  M  ứng với bộ  số  

 m , m    và  g  M   M

*

 thì do tính chất bảo tồn tổng hai vectơ, bảo tồn tỉ 

số đơn ta có:  C M *  f CM  
1

2

 


 f m a  m b
1



                                m1 a  m2 b

 C M 

2

 

Do đó  M *  M   
Trong khơng gian cho hai tứ diện  và bằng nhau. Tồn tại duy nhất một phép 
dời hình của khơng gian lần lượt biến các điểm  thành các điểm. 
  

2.4.    Một số phép dời hình cụ thể 

a,     Phép tịnh tiến theo một vectơ  v,  được kí hiệu là  Tv  là phép dời hình của 
 
khơng  gian  E n   biến  mỗi  điểm  M   thành  điểm  M    sao  cho  MM   v.   Phép 

tịnh tiến  Tv  là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời 

8 
 


 


hình.  Ngồi ra,  phép tịnh tiến  Tv  biến  một đường thẳng khác phương với  v  

thành  một  đường  thẳng  song  song  với  đường  thẳng  đó  và  giữ  bất  biến  các 

đường thẳng cùng phương với  v.  
Tích của hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến, hơn nữa  Tv  Tw  Tv w .  

b,     Phép đối xứng trục   được kí hiệu là  Đ   là dời hình của khơng gian  E n  

biến mỗi điểm  M  thành điểm  M   đối xứng với điểm  M  qua đường thẳng  .  
Phép đối xứng trục  Đ  là một phép dời hình nên nó có đầy đủ tính chất của 
phép dời hình, ngồi ra  Đ  biến một đường thẳng  d  cắt     thành một đường 
thẳng  d   đi qua giao điểm của  d  với  .  Tập các điểm bất động qua  Đ  là 
đường thẳng  .  Hình   H   được gọi là có trục đối xứng    nếu nó bất biến 
qua  Đ .  
n

c,     Phép đối xứng tâm A,  kí hiệu là  ĐA  là phép dời hình của khơng gian  E  

biến  mỗi  điểm  M   thành điểm  M    đối  xứng  với  M   qua  A.   Phép  đối  xứng 
tâm là một phép dời hình nên nó có các tính chất của phép dời hình, ngồi ra 
phép  đối  xứng  tâm  biến  một  đường  thẳng  khơng  đi  qua  tâm  thành  đường 
thẳng song song với đường thẳng đó và giữ bất biến các đường thẳng đi qua 
tâm. Phép đối xứng tâm  ĐA  có duy nhất một điểm bất động là  A.  Hình   H   
được gọi là có tâm đối xứng  A  nếu  ĐA  giữ bất biến hình   H  .   
d ,     Cho điểm  O  và góc lượng giác   .  Phép quay tâm O góc  ,  kí hiệu là 
QO ,   là phép dời hình của khơng gian  E n  biến  O  thành  O  và biến điểm  M  

khác  O   thành  M    sao  cho  OM   OM   và  góc  lượng  giác   OM , OM     .  
Phép quay là một phép dời hình nên nó có đầy đủ các tính chất của phép dời 
hình, ngồi ra phép quay  QO ,   biến đường thẳng    thành đường thẳng    tạo 
với    một góc    thỏa mãn    min  2k   / k  .  

9 
 

 

e, Phép đối xứng qua siêu phẳng

Cho siêu phẳng    .  Phép đối xứng qua siêu phẳng     kí hiệu là  S  là phép 
dời hình của khơng gian  E n  biến mỗi điểm  M  thành  M   được xác định: kẻ 


qua  M  đường thẳng vng góc với     cắt     tại  O  sao cho  OM   OM .  
f ,    Phép quay quanh  n  2  phẳng 

Phép quay quanh điểm trong E 2 :   Trong mặt phẳng  E 2  cho  O  và góc 

f1 ,

định hướng   ,  phép dời hình biến mỗi điểm  M  thành  M   được xác định như 
sau: 
+ Nếu  M  O  thì  M   O  
+ Nếu  M  O  thì  OM   OM  





Với  OM , OM     được gọi là phép quay tâm  O  với góc quay   .  Kí hiệu là 
QO .  
f 2 ,    Phép quay quanh trục trong E 3 :  Cho trục  d  và góc định hướng   .  Phép 

quay  quanh  trục  trong  E 3   kí  hiệu  Qd   là  phép  dời  hình  biến  mỗi  điểm  M  
thành  M   được xác định như sau: 

  Qua  M  dựng mặt phẳng     vng góc với trục  d  cắt  d  tại  O.  Mặt phẳng 

    được  định  hướng  theo  trục  d .   Chiều       của      được  xem  là  chiều 
cùng chiều với chiều      của khơng gian. Khi đó  M   chính là  M   QO  M  .  
 
 
 
 

10 
 


 

Chương 2

Ứng dụng phép dời hình vào giải một số lớp bài
tốn trong En

1. Ứng dụng của phép dời hình để giải bài tốn chứng
minh trong hình học

1. Bài tốn chứng minh
   Bài tốn chứng minh là bài tốn cần chỉ ra mệnh đề  A  B  là đúng, trong 
đó  A  được gọi là giả thiết,  B  được gọi là kết luận của bài tốn. 
Để giải bài tốn chứng minh thơng thường ta xuất phát từ giả thiết hay mệnh 
đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ và suy diễn logic, dựa trên các định 
nghĩa, tính chất của các hình để dẫn đến kết luận. 
 

2.    Giải bài tốn chứng minh nhờ vào phép dời hình 
   Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường trong giả thiết 
A    với các điểm, các đường trong kết luận  B  thơng qua một phép dời hình 

hay một tích các phép dời hình nào đó để nhờ những tính chất được bảo tồn 
qua các phép dời hình ta có thể nhận được các kết quả về: tính đồng quy hay 
thẳng hàng, quan hệ song song, các đoạn thẳng bằng nhau, các góc bằng nhau 
giúp suy ra được điều cần chứng minh. 
 

11 
 


 

3. Các ví dụ
a, Ví dụ 1
   Chứng  minh  rằng  tam  giác  có  hai  phân  giác  trong  bằng  nhau  là  một  tam 
giác cân. 
Lời giải: 

                                

 

Cho tam giác  ABC  có hai phân giác trong  AE   và  CF   bằng nhau. Xét các 
trường hợp sau: 
TH 1 :  C2  A1  

CF  AE

Xét hai tam giác  ACF  và  AEC  có   AC chung  AF>CE *  

C2  A1

Gọi  K  là ảnh của  F  qua phép tịnh tiến theo vectơ  AE  

Ta có: 
T
: F  K  CF  AE  FK  KFC  cân tại  F  
AE
 FKC  FCK  hay  K1  K 2  C2  C3  

12 
 


 

 A1  K 2  C2  C3  ( A1  K1  do  AEKF  là hình bình hành) 

Mà theo giả sử có  C2  A1  K 2  C3  
Suy ra trong tam giác  KEC  thì  CE  KF (  AF) . Điều này mâu thuẫn với  *  
Vậy khơng thể có  C2  A1 . 
TH 2 :   C2  A1  

Tương  tự  như  trên  ta  cũng  có  mâu  thuẫn  với  giả  thiết  nên  khơng  thể  có 

C2  A1  
Vậy  C2  A1    C  A  hay  ABC  cân đỉnh  B . 
b,   Ví dụ 2
   Cho tam giác  ABC  với trực tâm  H . 
   Chứng minh các đường tròn ngoại tiếp các tam giác  HAB,   HBC ,   HAC  có 

bán kính bằng nhau. 
   Gọi  O1 ,   O2 ,   O3   là tâm các đường tròn trên. Chứng minh đường tròn qua 

O1 ,   O2 ,   O3  bằng đường tròn qua ba điểm  A,   B,   C . 

Lời giải: 

                            

 

   Gọi  O  và  R  lần lượt là tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp  ABC  

13 
 


 

Gọi  H1  ĐBC  H  . Ta chứng minh  H1  thuộc đường tròn ngoại tiếp  ABC  
Ta có:  ĐBC  HBC   H1 BC  
  Bán  kính đường trịn  ngoại tiếp  HBC  bằng  bán kính đường  trịn ngoại 

tiếp  H1 BC  và bằng  R . 

Tương tự ta chứng minh được: Bán kính đường trịn ngoại tiếp  HAC  bằng 
R  và bán kính đường trịn ngoại tiếp  HAB  bằng  R . 
   Ta có  O  và  O1  đối xứng với nhau qua  AB ,  O   và  O2  đối xứng với nhau 

qua  BC . 
Nếu  gọi  I ,   J   lần  lượt  là  trung  điểm  của  AB ,  BC   thì  ta  có:         

 
O1O2  2 IJ  AC    O1O2  AC                           
Tương tự ta chứng minh được  O2O3  AB  và  O3O1  BC . 
Vậy hai tam giác  ABC  và  O1O2O3  bằng nhau. Do đó đường trịn qua  O1 ,  
O2 ,   O3  bằng đường trịn. 

c,   Ví dụ 3 
   Cho hai tam giác vng cân  OAB  và  OAB  có chung đỉnh  O   sao cho  O  
nằm trên đoạn  AB   và nằm ngoài đoạn  AB . Gọi  G  và  G  lần lượt là trọng 
tâm  của tam giác  OAA  và  OBB .  Chứng  minh  tam  giác  OGG   là tam giác 
vuông cân. 
Lời giải: 
    

14 
 


 

                       
Qua phép quay  Q O ;90  thì: 


                       



 



A B
                    
A  B

 OAA  biến thành  OBB . 
 G  biến thành  G . 

 OG  OG  và  GOG  90  

Do đó  OGG  vng cân tại O 
d,   Ví dụ 4
Cho một hình hộp   H  . Chứng minh rằng giao điểm của các đường chéo của 

 H   là tâm đối xứng của nó. 
Lời giải 
 

15 
 

 

                           
 
Giả sử hình hộp đã cho là  ABCDABC D  và  O  là giao điểm của các đường 
chéo của nó. 
Theo tính chất của hình hộp ta có: 

                           

ĐO : A  C 
B  D
C  A
D  B

        

Vì vậy  ĐO :  ABCD    ABC D   
Tương tự như vậy với các mặt bên   ABBA  ,    BCC B  ,   CDDC   ,  …được 
chuyển thành   C DDC  ,    DAAD  ,    ABBA ,...  
Suy ra: ảnh của một điểm thuộc hình hộp   H   qua phép đối xứng tâm  O  
( O   là giao điểm của các đường chéo của hình hộp   H  ) là một điểm thuộc 
hình hộp   H  . 
Suy ra  ĐO :  H    H   
Vậy, giao điểm của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của nó. 
e,   Ví dụ 5

16 
 

 

   Cho hai mặt phẳng   P   và   Q   cắt nhau và khơng vng góc với nhau. Gọi 

 R   là ảnh của   Q   qua phép biến đổi  Đ

P

.  

Chứng minh rằng:  Đ P   ĐQ   Đ P   Đ R  . 
Lời giải: 
Đặt  Đ  Đ P   ĐQ   Đ P  . Ta cần chứng minh mặt phẳng   R   là mặt phẳng bất 
động của  Đ . 
Thật vậy: 
-Với  M  bất kì thuộc   R   ta có:  Đ P  : M  M    Q   
                                                            

ĐQ  : M   M 
Đ P  : M   M

 

Vậy   R   là mặt phẳng bất động của phép biến đổi  Đ . 
-Với  M  khơng thuộc   R   ta có 
                   Đ P  : M  M 1 , MM 1   P   tại  I . 

ĐQ  : M 1  M 2 , M 1M 2   Q   tại  K . 

Đ P  : M 2  M , M 2 M    P   tại  H .  
Như vậy:  Đ P  : M 1  M  
                             M 2  M    

Do đó  M 1M 2  MM   và  K  K   với  K   là trung điểm của  MM   
Vì  K   P   nên  K    R  , mặt khác  M 1M 2   Q   nên  MM    R  . 
Tóm lại:   R    là mặt phẳng trung trực của  MM   và  Đ R   là phép đối xứng qua 

 R  . Vậy  Đ

P

 ĐQ   Đ P   Đ R  . 

 
4.    Bài tập 

17 
 


 

Bài tập 1:   Chứng minh rằng một hình có hai tâm đối xứng phân biệt sẽ có 
vơ số tâm đối xứng. 
Bài tập 2:   Cho phép quay quanh trục  Qd  và hai điểm  A,   B có ảnh qua phép 
quay lần lượt là  A, B . Biết rằng  AA / / BB .  Chứng  minh  rằng  AB, AB   và 
trục quay đồng quy hoặc đơi một song song. 
Bài tập 3:   Cho  f  là phép dời hình có tập các điểm bất động đối với  f  là 
đường thẳng   . Chứng minh rằng  f  là phép đối xứng trục   . 

Lời giải: 
1)  Giả sử hình   H   có hai tâm đối xứng là  O1 , O2 . Ta sẽ chứng minh hình 

 H   có vơ số tâm đối xứng. 
Lấy  M  bất kì thuộc   H   
Gọi  M 1  ĐO  M   M 1   H   
1

        M 2  ĐO  M 1   M 2   H   
2

        M 3  ĐO  M 2   M 3   H     
1

   M 3  ĐO  M 2   ĐO ĐO  M 1    
1

1

2

            =  ĐO ĐO ĐO  M          
1

2

1

Do tích của ba phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm nên: 
                  ĐO3  M   ĐO1 ĐO2 ĐO1  M   

           ĐO  M   ĐO T2 OO  M   
3

1

1 2

 M  ĐO ĐO T2 OO  M   T2OO .TOO  M                          
3

1

1 2

1 3

1 2

                                        T2OO OO   M   
1 3

1 2

  


 O1O3  O1O2      O1O3  O1O2  



                                      O2O3  2O2O1  

18 
 


 

Vì  ĐO  M 3   M  và  M  bất kì nên suy ra  O3  là tâm đối xứng của   H   
3

Tương tự ta có  On  là tâm đối xứng của   H   




Và  O1On    n  2  O1O2  hay  O1On   2  n  O1O2  
O  O2 O1  On
Do   1
 

n  2
O2  On

   O1 , O2 ,..., On ,...  là tập hợp vơ số điểm khác 
Vậy   H   có vơ số tâm đối xứng. 
2)  Gọi   P  ,    Q   là hai mặt phẳng cắt và vng góc với  d  lần lượt tại  O,   O  
sao cho: 
Trong 

 P  : Q  O;  : A  A 
  AB  AB  
 Q  : Q  O;  : B  B

Vì  AA / /BB  nên tồn tại   R    AABB   
Ta có:  AABB  là hình thang cân (do  AB  AB, AA / / BB ) 
Gọi  a  là trung trực của  AA  do đó  a  là trung trực của  BB  
Lại có 

 P   d 
   P  / / Q   
 Q   d 

Gọi  I ,   I   lần lượt là trung điểm của  AA ,  BB  
 AA  OI  AA   
Gọi      d , I   thì  OA  OA  
 

 AA  d
a  AA
 a     

Do đó  OI   P    a; d   
Tương tự  OI    Q    a; d   
OI / / OI   (Hai giao tuyến của hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt thứ ba) 

19 
 

 

Xét  nhị  diện   A; d ; I    có  mặt  qua  A   cắt  Q   theo  giao  tuyến  OB   suy  ra 
AO / / BO  

  AB, d   ( d  và  AB  đồng phẳng ) kí hiệu     AB; d   
Tương tự  AB, d  đồng phẳng kí hiệu     AB; d   
Ta có ba mặt phẳng   R  ,      ,       lần lượt cắt nhau theo ba giao tuyến  AB,  
AB,   d  nên ba giao tuyến này hoặc song song hoặc đồng quy tại một điểm. 

3)  Lấy hai điểm  A  và  B  phân biệt thuộc    ta có  f  A   A,   f  B   B . Lấy 
điểm  M  bất kì khơng thuộc   . 
Khi đó  AM  f  A  . f  M   Af  M   
               BM  f  B  . f  M   Bf  M   

Vậy  hoặc  M  f  M    hoặc  M   và  f  M    đối  xứng  với  nhau  qua   .  Mặt 
khác  tập  các  điểm  bất  động  của  f   là     và  M   không  thuộc     nên 
f  M   M . Vậy  M  và  f  M   đối xứng với nhau qua   . Vậy  f  là phép đối 

xứng trục   . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 

20