Phép nghịch đảo với các bài toán chứng minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
*************

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI CÁC BÀI
TOÁN CHỨNG MINH

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: HÌNH HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GV. ĐINH VĂN THỦY

HÀ NỘI - 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA: TOÁN
*************

ĐỖ THỊ THU HÀ

PHÉP NGHỊCH ĐẢO VỚI CÁC BÀI
TOÁN CHỨNG MINH

TÓM TẮT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: HÌNH HỌC

HÀ NỘI – 2012

Lời Cảm Ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo Đinh Văn Thủy,
người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua để
tôi hoàn thành được khóa luận này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô trong tổ hình học, các thầy cô và
các bạn sinh viên đã nhiệt tình góp ý, giúp đỡ trong thời gian tôi học tập và
nghiên cứu để hoàn thành khóa luận.
Do trình độ chuyên môn còn hạn chế, thời gian nghiên cứu eo hẹp nên
vấn đề mà tôi trình bày trong khóa luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót.
Tôi kính mong nhận được sự góp ý, phê bình của thầy, cô giáo và các bạn
sinh viên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội , ngày 14 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đỗ Thị Thu Hà


Lời Cam Đoan
Khóa luận tốt nghiệp của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình
của thầy giáo Đinh Văn Thủy cùng với sự cố gắng của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu
của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Tôi xin cam đoan các vấn đề tôi trình bày trong khóa luận này là kết quả
nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo Đinh Văn
Thủy.
Tôi xin chịu mọi trách nhiệm về lời cam đoan của mình.

Hà Nội , ngày 14 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đỗ Thị Thu Hà


Mục lục
Lời Cảm Ơn
Lời Cam Đoan
Mở Đầu ......................................................................................................... 4
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................... 1
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu.............................................................. 2
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu .............................................................. 2
4. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 2
Chương 1 SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO ......................................... 3
1.1 Khái niệm về phép nghịch đảo.............................................................. 3
1.2.Các tính chất cơ bản ............................................................................. 3
1.3 Các định lý quan trọng.......................................................................... 5
Chương 2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ
ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀO BÀI TOÁN CHỨNG MINH......... 10
2.1 Bài toán chứng minh......................................................................... 10
2.2 Phương pháp chung áp dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng
minh. ........................................................................................................ 10
Chương 3 MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CHỨNG MINH ÁP DỤNG PHÉP
NGHỊCH ĐẢO ............................................................................................ 12
3.1. Bài toán chứng minh hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học ..... 12
3.2. Bài toán chứng minh yếu tố cố định trong hình học........................... 16
3.3. Bài toán chứng minh mối liên hệ về góc giữa các đường................... 21
3.4. Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp ................................................. 28
3.5. Bài tập đề nghị và lời giải .................................................................. 33
Kết Luận ..................................................................................................... 38

Tài Liệu Tham Khảo.................................................................................. 39


Mở Đầu

1. Lý do chọn đề tài
Hình học là môn học hấp dẫn thu hút nhiều học sinh yêu toán. Việc giải
các bài tập tìm ra những cách giải hay, độc đáo sẽ phát huy tính sáng tạo và
niềm say mê đối với môn học. Mỗi bài tập hình học có thể giải bằng nhiều
phương pháp khác nhau: phương pháp tổng hợp, phương pháp tọa độ, phương
pháp véctơ và phương pháp biến hình.
Trong nhiều trường hợp phép biến hình là công cụ hữu hiệu cho phép
giải hợp lý và ngắn gọn các bài toán của hình học như bài toán chứng minh,
bài toán quỹ tích, bài toán dựng hình và bài toán tính toán.
Trong chương trình toán phổ thông, học sinh được học các phép biến
hình: phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép tịnh tiến, phép
vị tự. Phép nghịch đảo là phép biến hình không đưa vào chương trình phổ
thông chỉ được đề xuất khi luyện học sinh chuyên, bồi dưỡng học sinh giỏi.
Phép nghịch đảo với những tính chất khác biệt của nó đưa đến hướng giải
quyết mới trong một số lớp bài toán của hình học, trong đó có lớp bài toán
chứng minh.
Với tính chất bảo toàn góc, có khả năng biến đường thẳng thành đường
thẳng hoặc đường tròn, có khả năng biến đường tròn thành đường tròn hoặc
đường thẳng và nhiều tính chất quan trọng khác. Phép nghịch đảo có thể đơn
giản hóa được một số yếu số phức tạp trong một số bài toán chứng minh, giúp
cho lời giải của bài toán trở nên ngắn gọn, chính xác, logic hơn.

1

Tôi luôn mong muốn tìm hiểu kỹ hơn về ứng dụng của phép biến hình
để có một số tư liệu quan trọng cho công tác giảng dạy hình phổ thông nhưng
trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp, do thời gian nghiên cứu có hạn
nên tôi chỉ tập trung khai thác ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải
các bài toán chứng minh.
Đó chính là lý do tôi lựa chọn đề tài: Phép nghịch đảo với các bài toán
chứng minh.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo và ứng dụng
của nó trong việc giải một số lớp bài toán chứng minh
- Xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và bài tập thể hiện việc sử dụng
phương pháp nghịch đảo vào bài toán chứng minh.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Phép nghịch đảo và các bài toán chứng minh
- Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của phép nghịch đảo trong việc giải
các bài toán chứng minh.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo trình, bài giảng chuyên đề và các tài liệu tham
khảo có liên quan.

2


Chương 1
SƠ LƯỢC VỀ PHÉP NGHỊCH ĐẢO

1.1 Khái niệm về phép nghịch đảo
1.1.1 Định nghĩa 1:
Không gian En (n=2,3) bổ sung phần tử {} được gọi là không gian
bảo giác Bn .

Quy ước:Trong không gian Bn mọi đường thẳng, mọi mặt phẳng đều
đi qua {}

1.1.2 Định nghĩa 2 :
Trong không gian bảo giác Bn cho điểm O và một số thực k  0. Phép
biến hình của Bn cho ứng mỗi điểm M với điểm M’ được xác định như sau
+ Nếu M  O thì M’  
+Nếu M   thì M’  O
+Nếu M{O,} thì M’ nằm trên đường thẳng OM thõa mãn
OM . OM '  k được gọi là phép nghịch đảo cực O phương tích k.

Ký Hiệu :  ( O, k)
1.2.Các tính chất cơ bản
1.2.1 Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp
Thật vậy,  M  Bn ,  (M) = M’   2(M) =  [ (M) ] =  (M’) = M
3


  2(O, k) = idBn.

1.2.2 Nếu M, M’ tương ứng nhau qua  (O, k) thì O, M, M’ thắng hàng.

1.2.3 Nếu phương tích nghịch đảo k<0 thì phép nghịch đảo không có điểm
bất động. Nếu phương tích nghịch đảo k>0 thì phép nghịch đảo có tập hợp
các điểm bất động là siêu cầu tâm O, bán kính k
Thật vậy , xét phép nghịch đảo  (O, k), k 0.
Ta có O và  là các điểm bất động .
Điểm M  En (n = 2,3) là điểm bất động khi và chi khi OM .OM  k
2

 OM  k
k  0

OM  k

Do đó M thuộc siêu cầu tâm O, bán kính k .

1.2.4 Nếu M, N {O,} và đường thẳng MN không đi qua O,  (M) = M’,
 (N) = N’ thì M, N, M’, N’ thuộc một đường tròn
Chứng minh:
O

M

M’

N’
N

Ta có OM . OM '  ON . ON ' 

OM
ON '

ON
OM '

4

  OMN’ đồng dạng với  ONM’  OMN '  ONM '
Do đó tứ giác MM’NN’ nội tiếp.
1.2.5 Mọi siêu cầu có tính chất phương tích của cực nghịch đảo đối với nó
bằng phương tích nghịch đảo là siêu cầu bất động
Hiển nhiên theo định nghĩa của phép nghịch đảo và tính chất của phương
tích

1.2.6 Mọi phép nghịch đảo  (O, k) đều có thể phân tích thành tích của phép
nghịch đảo  (O, -k) và phép đối xứng tâm O(Đo)
 (O, k) = Đo.  ( O, -k)
Hiển nhiên theo định nghĩa phép nghịch đảo và phép đối xứng tâm
1.3 Các định lý quan trọng
1.3.1 Phép nghịch đảo biến siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo
thành siêu cầu đi qua cực nghịch đảo, biến siêu cầu đi qua cực nghịch đảo
thành siêu phẳng không đi qua cực nghịch đảo
Chứng minh:


M

M’

H’

H
Q

O

Q’

Giả sử phép nghịch đảo  (O, k) trong E3, () là mặt phẳng không đi
qua O, H là hình chiếu của O lên (), H’ =  (H).
 M  (), M’ =  (M) khi đó tứ giác MHH’M’ nội tiếp
Do đó OM ' H '  900  M’  (OH’) ( Mặt cầu đường kính OH’)
5


Ngược lại, nếu lấy điểm Q’  (OH’), Q =  (Q’), tứ giác HH’QQ’ nội tiếp
 OHQ  900 . Do đó Q  ().
Tóm lại  [()] = (OH’).
Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo nên phép nghịch đảo biến mặt cầu
đi qua cực nghịch đảo thành mặt phẳng không đi qua cực nghịch đảo.
Chứng minh trong E2 tương tự

1.3.2 Phép nghịch đảo biến siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo thành
siêu cầu không đi qua cực nghịch đảo
Chứng minh:

M
M’
2

1

O

1

2

B’

B

A’ A
P’
P

Giả sử trong E3 cho phép nghịch đảo  (O, k) và mặt cầu ( ) tâm I không
qua O, đường thẳng OI cắt ( ) tại A, B
Gọi A’ =  (A), B’ =  (B)
 M  ( ) , M’ =  (M) ta có :
'
Tứ giác MBM’B’ nội tiếp  B1  M1

Tứ giác MAM’A’ nội tiếp  A1  M 2 ' .





'
'
0
'
' '
0
'
' '

Do đó M1  M2  A1  B1  90  AM B  90  M  AB .

6


Ngược lại, lấy P’  (A’B’), chứng minh tương tự trên ta có P =  (P’)  (
).
Tóm lại  [( )] = (A’B’).
Trong E2 chứng minh tương tự.
1.3.3 Phép nghịch đảo biến đường thẳng đi qua cực nghịch đảo thành chính
nó.
Hiển nhiên theo định nghĩa của phép nghịch đảo.
1.3.4 Nếu A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo  (O, k) thì

A' B ' 

k . AB
OA.OB

1.3.5 Phép nghịch đảo bảo tồn góc giữa hai đường cong và làm ngược
hướng của hình
Chứng minh :
Bổ đề : Phép nghịch đảo  (O, k) biến đường cong ( ) thành đường cong (
’) biến A  ( ) thành A’  ( ’) . Chứng minh rằng nếu tại A, A’ có các tiếp
tuyến At và A’t’ thì chúng đối xứng nhau qua đường trung trực của AA’.
( ’)

( )
M’
M

t
O
A

t’
A’

Chứng minh Bổ đề :

7


Lấy trên ( ) và ( ’) hai điểm tương ứng M , M’ khá gần A , A’ sao
cho khoảng cách OM không bị triệt tiêu khi M tiến dần đến A. Ta có A, M,
A’, M’ nội tiếp đường tròn (K). Khi M tiến dần đến A thì M’ tiến dần đến A’,
cát tuyến AM dần đến tiếp tuyến At, cát tuyến A’M’ dần đến tiếp tuyến A’t’,
đường tròn (K) dần đến đường tròn (K0).
Khi M  A thì At, At’ cũng là các tiếp tuyến của đường tròn (K0), do đó nó
đối xứng nhau qua đường trung trực của AA’.
Chứng minh Định lý :

( )

t

t’

A

( ’)

A’

( )
u’

u

( ’)

Giả sử hai đường cong ( ) và ( ) cắt nhau ở A. Các đường cong tương
ứng
(  ’ ) và (  ’) qua phép nghịch đảo  (O, k) cắt nhau ở A’.
Theo bổ đề trên ta có các tiếp tuyến At và At’ đối xứng nhau qua
đường trung trực d của AA’, các tiếp tuyến Au và A’u’ cũng đối xứng nhau
qua đường thẳng d.
Theo tính chất của phép đối xứng trục ta có :

 A 't ' , A 'u '    

At , Au



Do đó phép nghịch đảo bảo toàn góc của hai đường cong và làm ngược hướng
của hình.

8


1.3.6 Phép nghịch đảo bảo toàn tỷ số kép của 4 điểm thẳng hàng nằm trên

đường thẳng đi qua cực nghịch đáo.
1.3.7 Điều kiện cần và đủ để hai điểm M, M’ tương ứng nhau qua phép
nghịch đảo  (O, r2) của không gian Bn(n=2,3) là có n siêu cầu qua hai điểm
đó trực giao với siêu cầu nghịch đảo.

1.3.8 Tích của hai phép nghịch đảo cùng cực nghịch đảo là một phép vị
tự.

1.3.9 Tích của một phép vị tự và một phép nghịch đảo có tâm vị tự và cực
nghịch đảo trùng nhau là một phép nghịch đảo.

1.3.10 Tích của một phép vị tự và một phép nghịch đảo có cực nghịch đảo
và tâm vị tự khác nhau có thể phân tích thành tích của một phép tịnh tiến và
một phép nghịch đảo.

Tích của hai phép nghịch đảo không đồng cực phương tích dương có
thể phân tích một cách duy nhất thành tích của một phép đối xứng qua siêu
phẳng và một phép nghịch đảo hoặc một phép nghịch đảo và một phép đối
xứng qua siêu phẳng mà siêu phắng đối xứng là siêu phẳng đẳng phương của
hai siêu cầu nghịch đảo.

9


Chương 2
BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ PHƯƠNG PHÁP
CHUNG ĐỂ ÁP DỤNG PHÉP NGHỊCH ĐẢO VÀO BÀI
TOÁN CHỨNG MINH

2.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cơ bản trong toán học nói chung và
trong hình học nói riêng. Bài toán chứng minh chứa đựng trong hầu hết các
bài toán hình học khác nhau như bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài
toán tính toán.
Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A => B đúng
trong đó A là giả thiết của bài toán, B là kết luận của bài toán

2.2 Phương pháp chung áp dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng
minh.
Vận dụng phép nghịch đảo vào bài toán chứng minh là dựa vào giả
thiết đã cho, điều phải chứng minh để chọn phép nghịch đảo thích hợp làm
cho việc chứng minh bài toán trở nên dễ dàng hơn.

Để giải một bài toán chứng minh có ứng dụng phép nghịch đảo thông
thường bao gồm các thao tác sau:
+ Nghiên cứu kỹ đề bài, vẽ hình chính xác

10


+ Xác định rõ yếu tố cần chứng minh, các yếu tố đã cho, các yếu tố cố
định và quan hệ ban đầu giữa các yếu tố đó
+ Dựa vào kết quả phân tích ở trên, lựa chọn một phép nghịch đảo với
cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo xác định
+ Xác định ảnh và mối quan hệ giữa các yếu tố hình học để có thể
chuyển bài toán về bài toán mới đơn giản hơn
+ Giải bài toán mới
+ Dựa vào tính chất của phép nghịch đảo để suy ra điều phải chứng
minh

11


Chương 3
MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN CHỨNG MINH ÁP DỤNG
PHÉP NGHỊCH ĐẢO

3.1. Bài toán chứng minh hệ thức liên hệ giữa các đại lượng hình học
Các hệ thức ở đây có thể là các đẳng thức, bất đẳng thức trong hình học
Với các bài toán thuộc dạng này cần chú ý áp dụng tính chất về mối quan
hệ độ dài trong phép nghịch đảo
A' B ' 

k . AB
OA.OB

Với A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép nghịch đảo  (O, k)

Ví dụ 1: Xét phép nghịch đảo biến ba đỉnh của tam giác vuông ABC thành ba
điểm A’, B’, C’. Từ hệ thức lượng trong tam giác ABC hãy suy ra hệ thức
lượng trong tứ giác OA’B’C’ với O là cực của phép nghịch đảo trên
Lời giải:
Xét phép nghịch đảo  =  (A, k), k  0
 (A) = A’ ,  (B) = B’ ,  (C) = C’
Áp dụng định lý của phép nghịch đảo, ta có:
AB 

k . A' B '
OA '. OB '

BC 

k . B 'C '
OB '. OC '

CA 

k .C ' A '
OC '. OA '

Ta có:  ABC vuông tại A
 AB 2  AC 2  BC 2

12


k 2 . A ' B '2
k 2 . A ' C '2
k 2 . B ' C '2



OA '2 . OB '2 OA '2 . OC '2 OB '2 . OC '2

 A ' B '2 . OC '2  A ' C '2 . OB '2  B ' C '2 . OA '2 .
(Đây chính là hệ thức lượng trong tứ giác OA’B’C’)

Ví dụ 2: (Bất đẳng thức PTÔLÊMÊ) Trong không gian cho 4 điểm A, B,
C, D.
CMR: AC . BD  AB . CD  AD . BC .

Lời giải:
Xét phép nghịch đảo  =  (D, k)
 (A) = A’,  (B) = B’,  (C) = C’
Với ba điểm A’, B’, C’ bất kỳ ta luôn có: A ' B '  B ' C '  C ' A '
k . AB



DA . DB



k . BC
DB . DC



k . CA
DC . DA

 AC . BD  AB . CD  AD . BC
Dấu “ = ” xảy ra  A’, B’, C’ thẳng hàng theo thứ tự
 Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng và tứ giác ABCD nội
tiếp.

Ví dụ 3: (Hệ thức ƠLE)
Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp (O, R), đường tròn nội
tiếp (I, r). Gọi d là khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác.
2

2
Chứng minh : d  R  2.R . r .

Lời giải:

A
P

D

N

I
F

E

13


Gọi tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh BC, CA, AB lần lượt là
M, N, P.
Gọi D  AI  NP, E  BI  PM , F  CI  MN .
Dễ thấy D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh NP, PM, MN của  MNP.
Mặt khác: IB . IE  IA . ID  IC . IF  r 2
Xét phép nghịch đảo  =  (I, r2)
 (A) = D ,  (B) = E ,  (C) = F
thì  [(ABC)] = (DEF).
Giả sử HK là đường kính đi qua I của đường tròn (ABC) có ảnh là đường
kính của đường tròn (DEF).

r 2 .2 R
Ta có: 2r ' 
IH . IK

(Với r’ là bán kính đường tròn (DEF) )

Do  DEF là tam giác trung bình của  MNP nên r ' 

Ta có :

r
.
2

r 2 .2 R
r
 I /( ABC )

Suy ra:  I /( ABC )  2 Rr
Mà I nằm trong đường tròn (ABC) nên:

14


 I /( ABC )  d 2  R 2  R 2  d 2
2
2
 R  d  2 Rr

Vậy

d 2  R 2  2 Rr .

Ví dụ 4: Cho đường tròn (C) = (O, r) và A (C), điểm B nằm trên OA và AB
= d. Cát tuyến qua B cắt (C) ở M và M’. Đường vuông góc với AB tại B cắt
AM, AM’ tại P và P’
2
CMR : BP . BP '  d  2.d .r

Lời giải :

A

M’
O

A’

M

B

P

P’

2

2

2
2
2
Ta có PB/(O) = BO  r   d  r   r  d  2 dr

Xét phép nghịch đảo  =  (B, PB/(O)), Khi đó M’ =  (M)
Gọi A’ =  (A) thì A’ = AB  (C)   (AM’) = (A’MB)
Tứ giác A’BPM nội tiếp  P  (A’BM)   (P)  AM’
2
Suy ra P’ =  (P)  BP . BP ' = PB/(O) = d  2dr

15


2
Vậy BP . BP '  d  2dr

3.2. Bài toán chứng minh yếu tố cố định trong hình học
Trong hình học thường có các bài toán chứng minh: đường thẳng đi qua
điểm cố định, đường tròn đi qua điểm cố định
Sử dụng tính chất của phép nghịch đảo biến hai điểm A, B thành hai điểm
tương ứng A’, B’ thì tứ giác ABA’B’ nội tiếp, nếu chỉ ra A cố định thì A’
cũng cố định (Cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo cố định). Để chứng
minh đường tròn đi qua điểm A cố định ta có thể gián tiếp chứng minh ảnh
của đường tròn ấy (là đường thẳng hoặc đường tròn) qua phép nghịch đảo đi
qua điểm A’cố định nào đó. Ngược lại để chứng minh đường thẳng đi qua
điểm cố định ta có thể chứng minh đường tròn tương ứng của đường thẳng ấy
qua một phép nghịch đảo đi qua một điểm cố định.
Có thể sử dụng tính chất bảo toàn tính tiếp xúc, tính trực giao giữa các
đường của phép nghịch đảo để tìm điểm cố định.

Ví dụ 5: Cho đường tròn (O), điểm S nằm ngoài (O). PQ là dây cung của (O)
luôn đi qua điểm I cố định nẳm trong (O); SP, SQ cắt (O) tại P’, Q’.
CMR: P’Q’ đi qua điểm cố định
Lời giải :

S

P’
P
O
Q’
I
Q

Xét phép nghịch đảo 1 =  (I, PI/(O))

16


1(P) = Q
Gọi S1 = 1(S) cố định

(do S cố định )

 tứ giác SPS1Q nội tiếp, do đó dường tròn (SPQ) đi qua S1 cố
định .
Xét phép nghịch đảo 2 =  (S, PS/(O))
 2(P) = P’,

2(Q) = Q’

 2[(SPQ)] = P’Q’
Do đường tròn (SPQ) đi qua điểm S1 cố định nên P’Q’ đi qua điểm S2 =
2(S1)
cố định.

Ví dụ 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của (O)
2
cho hai điểm di động M, M’ sao cho AM . AM '  k (k  AB , k 

AB2
) . Gọi
4

giao điểm thứ hai của BM, BM’ với (O) lần lượt là N, N’ ; các tiếp tuyến của
(O) đi qua M, M’: MT, MT’ với các tiếp điểm T, T’ khác A.
CMR: NN’, TT’ đi qua các điểm cố định.
Lời giải :

B
N

B1
O

N’
M

M’

A

*) Xét phép nghịch đảo  1 =  (A, k), 1(M) = M’
Gọi B1 = 1(B), do B cố định nên B1 cố định
 Đường tròn (BMM’) đi qua B1 cố định.
17


Xét phép nghịch đảo 2 =  (B, BA2),
2(MA) = (O),  2(M) = N,  2(M’) = N’   2[(BMM’)] = NN’
Do đó đường thẳng NN’ luôn đi qua điểm B2 =  2(B1) cố định
*)Gọi P, P’ lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến tại A với BT, BT’.
B
T
O

A

M

P

Ta có : OM  AT, BP  AT  OM // BP
Xét trong  ABP có O là trung điểm của AB, OM // BP
 OM là đường trung bình của  ABP
Mà M là trung điểm của AB nên AP = 2.AM.
Tương tự ta có : AP’ = 2.AM’.
Do đó

AP . AP '  4k không đổi

Lập luận tương tự phần trên, thay M, M’, k bởi P, P’, 4k ta có TT’ đi qua
điểm cố định B4 = 2(B3) với B3 = 3(B),
và hai phép nghịch đảo 2 =  (B, BA2) , 3 =  (A, 4k).
Ví dụ 7: Cho đường tròn (O, R) cố định và đường kính di động BC của nó .
Giả sử A là điểm cố định khác O, không nằm trên (O) và AB, AC cắt (O) tại
điểm thứ hai lần lượt là B’, C’.

18


a) CMR: các đường tròn (ABC), (AB’C’) đi qua điểm cố định khác
A.
b) CMR: Đường tròn ƠLE của ABC đi qua điểm cố định khác O.
C

Lời giải :
C’

A1

O
O1

A
B’

B
a) Xét phép nghịch đảo  1 =  (O, -R2),  1(B) = C.

Gọi A1 =  1(A). Do A cố định nên A1 cố định.
Khi đó tứ giác ABA1C nội tiếp nên đường tròn (ABC) đi qua A1 cố định.
Xét phép nghịch đảo 2 =  (A, P A/(O) ).
 2(B) = B’ ,  2(C) = C’
  2[(AB’C’)] = BC, mà BC đi qua O cố định
 Đường tròn (AB’C’) đi qua O1 =  2(O) cố định .
b) Đường tròn ƠLE của tam giác ABC đi qua trung điểm O của BC, hai chân
đường cao B’ , C’ do đó là đường tròn (OB’C’).
Do  2(O) = O1 , 2(B’) = B,  2(C’) = C nên  2[(OB’C’)] = (O1BC).
Vì O1 cố định nên thay vai trò của điểm A ở câu a) bởi O1 ta có (O1BC) đi qua
D =  2(O1) cố định và (OB’C’) đi qua điểm D’ =  2(D) cố định .
Ví dụ 8: Cho ba điểm P, A, B thẳng hàng theo thứ tự và đường thẳng d quay
quanh P. Gọi (C), (C’) là các đường tròn qua A và B tiếp xúc với d tại M, M’.
CMR: Đường tròn (AMM’) đi qua điểm cố định.

19


Lời giải :

C’

A
C

B
d

M

M’

P
A’

Ta có: PM 2 = P

P/(C)

= PA . PB = P P/(C’) = PM’2

 P là trung điểm của MM’.



và M1 , M 2  P, PA.PB



Đặt : PM . PM '   PA . PB  k .
Xét phép nghịch đảo  =  (P, k), M =  (M’)
Gọi A’ =  (A) thì A’ cố định do A cố định .
 Tứ giác AMA’M’ nội tiếp
Do đó đường tròn (AMM’) đi qua điểm A’ cố định.

Ví dụ 9: Trong không gian cho đường tròn (S) nằm trong mặt phẳng ().
Điểm O nằm ngoài (). Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (). Điểm
M bất kỳ thuộc (S), M’ là hình chiếu của H lên OM.
CMR: M’ nằm trên một đường tròn cố định.
Lời giải :

O
M’
(S)

M

20