các phép biến đổi bảo toàn độ đo và độ đô ergodic
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.32 MB, 52 trang )
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong
tổ Giải tích, các thầy giáo cô giáo trong khoa toán, các thầy giáo cô giáo trong
trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc của mình tới T.S Tạ Ngọc Trí ngƣời đã tận tình giúp đỡ em trong
suốt quá trình hoàn thành khóa luận này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa
do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù rất cố gắng nhƣng
chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong nhận đƣợc sự
đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận của em đƣợc hoàn
thiện hơn và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà nội, ngày 11 tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Hiền
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
1
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em đƣợc sự quan tâm và tạo điều kiện của các thầy
giáo cô giáo trong khoa toán Trƣờng đại học sƣ phạm Hà Nội 2, đặc biệt sự
hƣớng dẫn tận tình của T.S Tạ Ngọc Trí.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận này em có tham khảo một
số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan rằng khóa luận này là trung thực, tên đề tài không
trùng lặp với bất cứ tên đề tài nào khác.
Hà Nội, ngày11 tháng 5 năm 2011
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Thị Hiền
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
2
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................. 1
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................... 2
MỤC LỤC ....................................................................................................... 3
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................. 5
CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ....................................................... 6
1.1. Giới thiệu.................................................................................................. 6
1.2. Không gian độ đo ..................................................................................... 7
1.2.1. Các định nghĩa ............................................................................ 7
1.2.2. Đinh lý mở rộng Kolomogorov .................................................. 8
1.2.3. Các ví dụ của không gian độ đo ................................................. 9
1.3. Tích phân .................................................................................................. 9
1.3.1. Các định nghĩa ............................................................................ 9
1.3.2. Các không gian LP ..................................................................... 10
1.3.3. Các định lý hội tụ ....................................................................... .11
1.3.4. Định lý biểu diễn Riesz .............................................................. 11
1.4. Độ đo xác suất ......................................................................................... 12
CHƢƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO ......................... 14
2.1. Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục ................................................ 14
2.1.1. Độ đo bất biến ............................................................................ 14
2.1.2 Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục ............................ 15
2.2. Không gian của các độ đo bất biến .......................................................... 16
2.2.1 Sự tồn tại của các độ đo bất biến ................................................ 16
2.2.2 Các tính chất của M(X, T) .......................................................... 17
2.3. Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo ........................................ 18
2.3.1. Sử dụng Định lý mở rộng Kolmogorov ...................................... 18
2.3.2. Sử dụng chuỗi Fouries ............................................................... 22
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
3
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
CHƢƠNG 3: ERGODIC................................................................................. 25
3.1. Định nghĩa của Ergodic............................................................................ 25
3.2. Đặc trƣng của Ergodic ............................................................................. 26
3.3. Các ví dụ ................................................................................................. 27
3.4. Sự tồn tại của các độ đo Ergodic.............................................................. 30
3.5. Phép truy toán và Ergodic đơn trị ............................................................ 33
3.5.1 Định lý phép truy toán của Poincare .......................................... 33
3.5.2 Ergodic đơn trị ............................................................................ 34
3.5.3 Ví dụ............................................................................................ 36
3.6. Định lý Ergodic của Birkhoff................................................................... 37
3.6.1 Kì vọng có điều kiện ................................................................... 37
3.6.2. Định lý Ergodic của Birkhoff theo từng điểm ............................ 39
3.7. Các hệ quả của định lý Ergodic của Birkhoff .......................................... 45
3.7.1 Các hệ quả .................................................................................... 45
3.7.2 Ứng dụng ................................................................................... 47
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
4
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học đƣợc xây dựng đầu thế kỉ XX và
đến nay vẫn đƣợc xem nhƣ là một ngành toán học cổ điển. Trong quá trình
phát triển, giải tích hàm đã tích lũy đƣợc một số nội dung hết sức phong phú,
những kết quả mẫu mực, tổng quát của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả
các ngành toán học có liên quan và sử dụng đến công cụ giải tích và không
gian vectơ. Chính điều đó đã mở rộng phạm vi nghiên cứu cho các ngành toán
học.
Với mong muốn đƣợc nghiên cứu, tìm hiểu sâu sắc về bộ môn này và
bƣớc đầu tiếp cận với công việc nghiên cứu khoa học cùng với sự giúp đỡ của
T.S Tạ Ngọc Trí, em đã chọn đề tài : “Các phép biến đổi bảo toàn độ đo và độ
đo Ergodic”.
2. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận này gồm 3 chƣơng
Chƣơng 1: Các kiến thức cơ sở.
Chƣơng 2: Các phép biến đổi bảo toàn độ đo.
Chƣơng 3: Độ đo Ergodic.
3. Mục đích nghiên cứu
Bƣớc đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về giải tích hàm, đặc biệt là lý thuyết Ergodic.
Nghiên cứu về các phép biến đổi bảo toàn độ đo, độ đo Ergodic, một số
định lý liên quan và ứng dụng của nó.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh tổng hợp.
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
5
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
CHƢƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Giới thiệu
Cho X là một không gian toán học. Xét ánh xạ T : X
X. Lấy x
X
và lặp lại ứng dụng của ánh xạ T đối với x ta đƣợc một dãy {x, T(x), T2(x),
T3(x), . . .}. Đây gọi là quỹ đạo của x.
Nếu Tn(x) = x thì điểm x đƣợc gọi là tuần hoàn với chu kì n.
Ta xét bài toán nhƣ sau: Cho Cho T: [0, 1]
đoạn [a, b]
[0, 1] và cố định một
[0, 1]. Tần số mà các quỹ đạo của x nằm trong
[0, 1], cho x
[a,b] là gì? Trƣớc hết, ta đã biết hàm đặc trƣng
A
của tập A đƣợc xác định
bởi
1 nếu x A
0 nếu x A
=
A
Thì số lần n điểm đầu tiên trong quỹ đạo của x nằm trong [a, b] là
n 1
[a, b]
(T j (x)) .
j 0
Do đó, tỷ lệ của n điểm đầu tiên trong quỹ đạo của x nằm trong [a, b] là
1
n
n 1
[a, b]
(T j (x)) .
j 0
Do đo, tần số mà quỹ đạo của x nằm trong [a, b] là
1n
lim
n
nj
1
[a, b]
(T j (x)) .
0
Một kết quả khá quan trọng, đó là Định lý Ergodic của Birkhoff sẽ chỉ cho
chúng ta rằng: khi T là ergodic thì tần số trên bằng độ dài của đoạn [a, b]. Tức
là (Trong trƣờng hợp của độ đo Ergodic):
lim
n
1n
nj
1
[a, b]
(T j (x)) = b - a với x
X h.k.n.
0
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
6
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Một cách tổng quát của định lý này là: nếu xét với hàm đo đƣợc f bất kì thì
tần số mà quỹ đạo của x nằm trong một tập con A
1
lim
n
n
n 1
f (Tjx).
j 0
Khi T là Ergodic đối với độ đo
1
lim
n
n
X là:
thì giới hạn này là:
n 1
f (Tjx) = f d .
j 0
Trƣớc khi nghiên cứu cụ thể định lý này, chúng ta nhắc lại một số kiến thức:
1.2. Không gian độ đo
1.2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa Một lớp
i.
các tập con của X đƣợc gọi là đại số nếu:
;
ii. Nếu A,B
thì A
thì Ac
iii. Nếu A
Định nghĩa: Một lớp
i.
B
;
.
các tập con của X đƣợc gọi là
- đại số nếu:
;
ii. Nếu E
B thì phần bù của nó X \ E
iii. Nếu En
;
, n=1,2,3… là dãy đếm đƣợc các tập hợp trong
UE
thì
.
n
n 1
Định nghĩa: Cho X là một không gian metric compact. Một tập hợp
số Borel
(X) đƣợc xác định là
- đại
- đại số nhỏ nhất các tập con của X mà bao
hàm tất cả các tập con mở của X.
Cho X là một tập và
là một
Định nghĩa: Một hàm số
i.
(
:
- đại số các tập con của X, ta có:
¡
{
} đƣợc gọi là một độ đo nếu :
) = 0;
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
7
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
ii. Nếu En là các tập hợp đếm đƣợc , đôi một phân biệt trong
UE
(E n ) .
n
n 1
n 1
Ta gọi (X, ,
) là không gian độ đo.
Nếu
thì
(X) <
Nếu (X) = 1 thì
thì:
là độ đo hữu hạn.
là độ đo xác suất.
Định nghĩa: Ta nói một tính chất đúng hầu khắp nơi nếu tập hợp các điểm
mà không có tính chất đó có độ đo 0.
1.2.2. Đinh lý mở rộng Kolomogorov
Định lý 1.2 ( Định lý mở rộng Kolmogorov)
Cho
là một đại số các tập hợp con của X. Giả sử
i.
(
¡ thỏa mãn:
:
)=0;
ii. Tồn tại hữu hạn hoặc đếm đƣợc các tập Xn
sao cho X =
UX
n
n
và
(Xn) <
;
iii. Nếu En
,n
1, đôi một phân biệt và nếu
UE
thì
n
n 1
(UE n )
n 1
Thì có một độ đo duy nhất
(E n ) .
n 1
¡
: ( )
mà là mở rộng của
:
¡ .
1.2.3 Các ví dụ của không gian độ đo
Độ đo Lebesgue trên [0,1]. Lấy X=[0,1] và lấy
là lớp của các hợp hữu
hạn tất cả các khoảng con của [0,1]. Với mỗi đoạn con [a,b], định nghĩa:
([a,b])= b - a
là độ đo Lebesgue.
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
8
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Độ đo Lebesgue trên ¡ / ¢ . Lấy X= ¡ / ¢ =[0,1) mod 1 và lấy
là lớp
của các hợp hữu tất cả các khoảng con của [0,1). Với một đoạn con [a,b], định
nghĩa:
([a,b]) = b - a
là độ đo Lebesge trên đƣờng tròn .
Độ đo Dirac. Cho X là không gian xác suất và
X. Định nghĩa độ đo
Cho x
x
Thì
x
x
- đại số bất kì.
bởi:
1 nếu x
0 nếu x
(A) =
là một
A
A
là độ đo xác suất. Nó đƣợc gọi là độ đo Dirac tại x.
1.3. Tích phân
Cho (X, ,
) là không gian độ đo.
1.3.1. Các định nghĩa
Định nghĩa: Một hàm số f : X
¡ là đo đƣợc nếu f 1 (D)
con Borel D của ¡ , hoặc tƣơng đƣơng, nếu f 1 (c, )
Định nghĩa : Một hàm số f : X
với c
với mỗi tập
¡ .
¡ là đơn giản nếu nó có thể viết nhƣ tổ
hợp tuyến tính các hàm đặc trƣng của các tập trong , nghĩa là
r
ai
f
Ai
i 1
với ai
¡ , Ai
, Ai đôi một phân biệt.
Với một hàm đơn giản
¡ , ta định nghĩa
f :X
r
a i (A i ) .
fd =
i 1
Chú ý: Tích phân của hàm đo đƣợc f : X
Nguyễn Thị Hiền
¡ :
K33C - Khoa Toán
9
Khoá luận tốt nghiệp
+ Nếu f
khi n
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
0 thì tồn tại một dãy hàmđơn giản tăng f n sao cho f
n
f
, ta có:
f d = lim
f nd .
n
+ Nếu f có dấu bất kì , ta đặt f = f
với f
= max{ f ,0}
0 và f
f
= max{ f ,0}
0
thì ta định nghĩa:
fd =
f
f
d
d .
Định nghĩa: f đƣợc gọi là khả tích nếu:
fd
< + .
1.3.2. Các không gian LP
Hai hàm đo đƣợc f , g : X
£ tƣơng đƣơng nếu f = g
-h.k.n . Ta viết
L1(X, , ) tập hợp các lớp tƣơng đƣơng của các hàm khả tích trên (X, , ).
Ta định nghĩa
f
Thì d( f ,g) = f g
1
1
=
f d .
là metric trên L1(X, , ).
Với p 1 bất kì, ta định nghĩa không gian Lp(X, , ) chứa các hàm đo đƣợc
£ sao cho | f
f :X
f
g
p
p
là khả tích. Metric trên Lp(X, , ) là d( f ,g) =
, ở đó
f
( f p d )1/ p .
Nếu (X, , ) là không gian độ đo hữu hạn và nếu 1 p< q thì
q
L (X, , )
Lp(X, , )
1.3.3. Các định lý hội tụ
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
10
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Định lý 1.3 : ( Định lý hội tụ đơn điệu )
Giả sử f n: X
¡ là một dãy tăng các hàm khả tích trên (X, , ).
Nếu f n d là dãy bị chặn của các số thực thì lim f
n
n
tồn tại h.k.n và khả tích
và
lim f n d
f nd .
= lim
n
n
Định lý 1.4 : (Định lý hội tụ trội )
Giả sử rằng g : X
đƣợc với f
n
¡ là khả tích và f n: X
¡ là một dãy các hàm đo
g h.k.n và lim f n= f h.k.n. Thì f khả tích và
n
f nd = f d .
lim
n
1.3.4. Định lý biểu diễn Riesz
Cho X là một không gian metric compact và cho
C(X, ¡ ) ={ f : X
¡ | f liên tục}
biểu thị không gian của tất cả các hàm số liên tục trên X. Trang bị C(X, ¡ )
với một metric
d ( f , g)
f
g
sup f ( x) g ( x) .
x X
Cho
biểu thị
- đại số Borel trên X và cho
(X, ). Thì có thể coi
là hàm số tác động trên C ( X , ¡ ) , cụ thể
C(X, ¡ )
Ta thƣờng viết
là một độ đo xác suất trên
¡
: f a
fd .
( f ) cho f d .
Định lý 1.5 ( Định lý biểu diễn Riesz)
Cho
: C( X , ¡ )
¡ là hàm số sao cho :
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
11
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
C ( X , ¡ ) thì
i.
là bị chặn: nghĩa là, nếu f
ii.
là tuyến tính: (
iii.
là dƣơng: nghĩa là nếu f
iv.
là tầm thƣờng: nghĩa là: 1(x) 1.
1
f 1+
2
f 2) =
2
f
;
( f 2 );
( f ) 0;
0 thì
Thì tồn tại duy nhất độ đo xác suất Borel
( f 1)+
1
(f)
M(X) sao cho
( f )= f d .
1.4. Độ đo xác suất
Cho (X, ,
) là không gian độ đo.
Nếu (X) =1 thì
đƣợc gọi là độ đo xác suất và (X, ,
) tƣơng ứng là
là không gian xác suất.
Đặt M(X) = {
| (X) = 1} là tập hợp tất cả độ đo xác suất trên (X, ).
Tính chất 1.6
Cho không gian M(X) là lồi: nếu
1
+ (1- )
2
Định nghĩa: Một dãy các độ đo xác suất
với mỗi f
1,
2
M(X) và 0
1 thì
M(X).
n
hội tụ yếu đến
khi n
nếu
C(X, ¡ )
fd
n
f d , khi n
.
Định lý 1.6 : X là một không gian metric compact thì M(X) là compact yếu.
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
12
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
CHƢƠNG II: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TOÀN ĐỘ ĐO
2.1. Độ đo bất biến với phép biến đổi liên tục
2.1.1. Độ đo bất biến
Cho (X, , ) là một không gian xác suất. Một phép biến đổi T: X
đƣợc gọi là đo đƣợc nếu T 1 B
với B
.
Định nghĩa: Ta nói rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo hay
gọi là độ đo T-bất biến nếu
Chú ý:
( T 1 B) = (B) với B
L1(X, , ) = { f : X
X
¡ | f đo đƣợc và
đƣợc
.
f d <
}
Bổ đề 2.1
Các mệnh đề sau tƣơng đƣơng:
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
13
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
i. T là một phép biến đổi bảo toàn độ đo;
L1(X, , ), ta có
ii. Với mỗi f
fd
Chứng minh: (ii)
(i). Với B
(B) = χB d =
= χ
Vậy
= f o Td .
T
1
, χB
B
L1(X, , ) và χB T = χ
T
1
B
, ta có
oT d
d = ( T 1 B)
B
là độ đo T-bất biến.
(i)
(ii). Ngƣợc lại, giả sử rằng T là một phép biến đổi bảo toàn độ
đo. Với hàm đặc trƣng bất kì χB, B
,
χB d = (B) = ( T 1 B) = χ
T
1
d =
B
B
oT d .
Suy ra đẳng thức đúng cho hàm đơn giản bất kì. Cho bất kì f
với f
với f
L1(X, , )
0, ta có thể tìm đƣợc một dãy tăng các của các hàm số đơn giản f
n
f khi n
n
. Với mỗi n ta có
f nd = f n o T d
Và, áp dụng định lý hội tụ đơn điệu cho cả hai vế, ta có
f d = f oT d .
Kết quả này có thể mở rộng cho hàm f có dấu bất kì bằng cách xét phần âm
và dƣơng.
2.1.2 Độ đo bất biến với các phép biến đổi liên tục
Cho X là một không gian metric compact,
là -đại số Borel và T là một
ánh xạ liên tục (T đo đƣợc). Thì T cảm sinh ra một ánh xạ trên M(X) nhƣ sau:
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
14
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
Định nghĩa. Định nghĩa độ đo cảm sinh T* : M(X)
M(X) bởi:
( T* )(B) = ( T 1 B).
Nhận xét:
đƣợc gọi là T-bất biến nếu và chỉ nếu T* =
M(X, T) = {
. Viết
M(X) | T* = } .
C ( X , ¡ ) ,ta có:
Bổ đề 2.2 Với f
f d( T* ) = f oT d .
Chứng minh: Ta luôn có với B
,
χBd( T* ) = χB oT d .
Do đó, kết quả này đúng với các hàm đơn giản.Với f
C ( X , ¡ ) sao cho f
0, ta có thể chọn một dãy tăng của các hàm đơn giản f n hội tụ đến f . Ta có
f nd( T* ) = f n oT d
và, áp dụng định lý hội tụ đơn điệu với mỗi vế, ta có
f d( T* ) = f oT d .
Kết quả này có thể mở rộng cho hàm f bất kì bằng cách xét cả phần âm và
dƣơng.
Bổ đề 2.3
Cho T: X
X là một ánh xạ liên tục của các không gian metric compact.
Các mệnh đề sau đây tƣơng đƣơng:
i. T* =
ii. Với
;
f
C(X, ¡ ) , ta có:
f d = f oT d .
Chứng minh:
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
15
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
i
ii. Hiển nhiên theo bổ đề 1.1 và vì C(X)
ii
i. Định nghĩa 2 hàm số tuyến tính
1(
Ta thấy cả
1
và
2
f )= f d ,
2(
1,
L1(X, , ).
2:
C(X, ¡ )
¡ nhƣ sau:
f ) = f d T* .
là các hàm tuyến tính tầm thƣờng bị chặn dƣơng trên
C ( X , ¡ ) . Hơn nữa, theo bổ đề 2.2
2(
Nên
1
và
2
f ) = f d T* = f oT d = f d =
1(
f ).
xác định cùng một hàm số tuyến tính. Theo tính duy nhất trong
định lý biểu diễn Riesz có:
T* =
.
2.2. Không gian của các độ đo bất biến
2.2.1 Sự tồn tại của các độ đo bất biến
Định lý 2.4.Cho T: X
X là một ánh xạ liên tục của một không gian metric
compact thì tồn tại ít nhất một độ đo xác suất T- bất biến.
Chứng minh.
Cho
M(X) là một độ đo xác suất. Định nghĩa dãy
1
n=
n
Với B
M(X) bởi
n
n 1
Tj * .
j 0
, ta có
n(B)
1
= ( (B) + ( T 1 B) + ... + ( T
n
Vì M(X) là compact yếu nên có dãy con
khi k
. Ta sẽ chỉ ra rằng
Với f
C ( X , ¡ ) , ta có
f oT d
fd
nk
(n 1)
B)).
hội tụ đến một độ đo
M(X)
M(X, T).
= lim
f oT d
k
Nguyễn Thị Hiền
nk
fd
nk
K33C - Khoa Toán
16
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
nk 1
1
= lim
nk
k
( f oT j
k
f oT j )d
j 0
1
( f oT nk
nk
= lim
1
2 f
= lim
nk
k
f )d
.
Do đó
f d = f oT d
Theo bổ đề 2.3 có T* =
tức
C(X, ¡ )
f
M(X,T).
2.2.2 Các tính chất của M(X, T)
Định lý 2.5.
i. M(X, T) là lồi, nghĩa là
M(X,T) với 0
1,
2
M(X,T)
1
+ (1- )
2
1.
ii. M(X, T) là đóng yếu (và do đó compact).
Chứng minh:
i. Nếu
1,
(
Vì vậy
1
M(X,T) và 0
2
1
+ (1- )
1
1( T
=
1(B)+
ii. Cho
n
(1- ) 2(B) = (
1
+ (1- )
2
. Với f
fd
)(B),
M(X,T).
2
là một dãy trong M(X,T) và giả sử rằng
M(X), khi n
Cho n
)( T 1 B)
B) + (1- ) 2( T 1 B)
=
+ (1- )
2
1 thì
n
n
hội tụ yếu đến
C( X ) ,
= f oT d
n
, ta có
f d = f oT d
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
17
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
M(X,T). Điều này chỉ ra rằng M(X,T) là đóng. Nó là compact vì
Suy ra
nó là tập con đóng của tập compact M(X).
2.3. Các ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn độ đo
Phần này chúng ta sẽ đƣa ra một số ví dụ về các phép biến đổi bảo toàn
độ đo bằng cách sử dụng định lý mở rộng Kolmogorov và sử dụng chuỗi
Fourier.
2.3.1. Sử dụng Định lý mở rộng Kolmogorov
Định lý 2.6.( Định lý mở rộng Kolmogorov)
là một đại số các tập hợp con của X. Giả sử
Cho
¡
:
{ }
thỏa mãn:
i.
(
)=0;
ii. Tồn tại hữu hạn hoặc đếm đƣợc các tập Xn
sao cho X= UX n và
n
(Xn) <
.
iii. Nếu En
,n
1, đôi một phân biệt và nếu
UE
thì
n
n 1
(UE n )
(E n ) .
n 1
n 1
Thì có một độ đo duy nhất
:
¡
¡
: ( )
{ } mà là mở rộng của
{ }.
Hệ quả 2.7.
Cho
( ) sao cho
là một đại số các tập con của X. Giả sử
1(E)
=
2(E)
với
E
. Thì
1
=
2
1
và
2
là 2 độ đo trên
trên ( ).
Để chỉ ra T bảo toàn một độ đo xác suất , ta phải chỉ ra rằng T* = .
Bằng hệ quả trên, ta chỉ cần chỉ ra T* =
T xác định trên X bảo toàn một đo đo
trên một đại số. Tức để chỉ ra rằng
trên một tập hữu hạn thì ta cần chỉ ra
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
18
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
T* (a,b)= T 1 (a,b) = (a,b).
a) Phép quay của đƣờng tròn
Đƣờng tròn có dạng
X = ¡ / ¢ = {x + ¢ | x
¡ }
= [0, 1) mod 1.
Phép biến đổi T : ¡ / ¢
¡ /¢
x a x+
là phép quay đƣờng tròn theo góc
mod 1
.
Bây giờ chúng ta sẽ đi chứng minh T bảo toàn độ đo Lebesgue trên
đƣờng tròn.
Thật vậy, ta có
T 1 (a,b) = {x | T(x)
(a,b) } = (a - , b - ) .
Do đó
T* (a,b) = T 1 (a,b)
= (a - , b - )
= (b- ) - (a - )
=b-a
=
Do đó T*
tạo ra
=
(b, a).
trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con. Vì đại số này
- đại số Borel, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov,
ta thấy rằng T*
=
, nghĩa là, độ đo Lebesgue là T - bất biến.
b) Ánh xạ kép
Định nghĩa: Cho X = [0, 1]. Định nghĩa ánh xạ T: X
X bởi:
T(x) = 2x mod 1
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng T bảo toàn độ đo Lebesgue .
Thật vậy, ta có
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
19
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
a b
(a,b) } = 2 , 2
T 1 (a,b) = {x | T(x)
a+1 b+1
,
2
2 .
Do đó
T* (a,b) = T 1 (a,b)
a b
,
2 2
=
=
b a
b+1
a+1
- +
2 2
2
2
=b-a=
Do đó T*
=
này tạo ra ra
ta thấy T*
a+1 b+1
,
2
2
(b, a).
trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con. Khi nửa đại số
-đại số, theo tính duy nhất trong định lý mở rộngKolmogorov,
=
, nghĩa là, độ đo Lebesgue là T - bất biến.
c)Ánh xạ liên phân số
Ánh xạ liên phân T : [0, 1)
T(x) =
[0, 1) đƣợc xác định bởi:
0 nếu x = 0
1 1
x = x mod 1 nếu 0 < x < 1
Dễ dàng thấy rằng ánh xạ liên phân số không bảo toàn độ đo Lebesgue, vì là
tồn tại B
sao cho T 1 B và B có độ đo khác nhau.
Mặc dù ánh xạ liên phân số không bảo toàn độ đo Lebesgue, nhƣng nó
bảo toàn độ đo Gauss’ đƣợc định nghĩa bởi
(B) =
1
ln2
1
B
1 x
dx.
Thật vậy. Trƣớc hết, chú ý rằng:
T 1 (a,b) =
U
n 1
1
,
1
b n a n
.
Do đó
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
20
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
( T 1 (a,b) )
1
a n
1
ln2
=
1
ln2
=
=
n 1 1
b n
1
1 x
ln 1
n 1
1
ln 2 n
dx
1
a n
ln(a
ln 1
1
b n
n 1) ln(a
n) ln(b n 1) ln(b n)
1
1 N
ln(a
= Nlim
ln 2 n 1
n 1) ln(a
n) ln(b n 1) ln(b n)
=
1
lim [ln(a + N + 1) - ln(a + 1) - ln(b + N + 1) +ln(b + 1)]
ln2 N
=
a+N+1
1
ln(b + 1) - ln(a + 1) + lim b + N + 1
ln2
N
=
1
(ln(b + 1) - ln(a + 1))
ln2
b
1
1
dx =
=
ln2 a 1 x
Do đó T*
ra
=
(a, b).
trên đại số của hợp hữu hạn các khoảng con. Vì đại số này tạo
- đại số, theo tính duy nhất trong định lý mở rộng Kolmogorov, ta thấy
rằng T*
=
, nghĩa là, độ đo Gauss là T - bất biến.
2.3.2. Sử dụng chuỗi Fouries:
Cho
là -đại số Borel trên ¡ / ¢ và
là độ đoLebesgue f
L1( ¡ / ¢ , ,
).
Chuỗi Fourier của f ở dạng phức có dạng
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
21
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
c n e2
inx
i
1
ở đó
-2 inx
cn =
f (x) e
d .
0
Bổ đề 2.8. (Bổ đề Riemann - Lebesgue)
Nếu f
L1( ¡ / ¢ , , ) thì cn
1
lim
0 khi |n|
2 inx
f (x)e
n
, nghĩa là:
d = 0.
0
Gọi sn(x) là tổng riêng thứ n của chuỗi, ta có
n
c l e2
sn(x) =
l
và
n(x)
ilx
.
n
là trung bình của n tổng riêng đầu tiên
n(x)
1
= (s0(x) + s1(x) + ... + sn-1(x)).
n
Đặt L2(X, , ) = { f : X
¡ |
f
2
d < }.
Định lý 2.9.
i. Nếu f
L2( ¡ / ¢ , , ) thì sn hội tụ đến f trong L2, nghĩa là,
|sn
ii. Nếu f
f |2 d
C (¡ / ¢ ) thì
||
n
f ||
0, khi n
n
.
hội tụ đều đến f khi n
0 khi n
, nghĩa là:
.
a) Phép quay một đƣờng tròn
Cho T(x) = x + mod 1 là phép quay đƣờng tròn. Ta sẽ chỉ ra
bất biến bằng sử dụng chuỗi Fourier. Ta đã biết:
là T -
là T - bất biến nếu và chỉ
nếu
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
22
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
f T d = f d với
C( X , ¡ ) .
f
Ta lập luận nhƣ sau. Trƣớc hết chú ý rằng
2 inx
f (x)e
0 nếu n 0
= 1 nếu n = 0
d
C ( X , ¡ ) có chuỗi Fourier
Nếu f
cn e
2 inx
thì f oT có chuỗi Fourier
x ¢
cn e
2 in
e
2 inx
. Ta có
x ¢
f Td =
cn e
2 in
e
2 inx
d
x ¢
=
cn e
2 in
e
2 inx
d
x ¢
= c0 = f d .
b) Ánh xạ kép
Định nghĩa T : X
Ta sẽ chỉ ra rằng
X bởi T(x) = 2x mod 1.
là T- bất biến bằng sử dụng chuỗi Fourier.
Nếu f có chuỗi Fourier
cn e
2 inx
thì f T có chuỗi Fourier
n
cn e
2 i2nx
. Do
n
đó
f Td
cn e
=
2 i2nx
cn e
d =
n
2 i2nx
d
n
= c0 = f d .
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
23
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
CHƢƠNG 3: ERGODIC
3.1. Định nghĩa của Ergodic
Định nghĩa: Cho (X, , ) là một không gian xác suất và cho T : X
X là
một phép biến đổi bảo toàn độ đo. Ta nói rằng T là một phép biến đổi Ergodic
(hoặc
là một độ đo Ergodic) nếu, với B
T 1B = B
, có
(B) = 0 hoặc 1.
Chú ý: Nếu T 1 A = A với 0 < (A) < 1 thì có thể cắt T : X
T: A
1
(A)
A và T: (X \ A)
(.
A) và
X thành
(X \ A) với các độ đo xác suất bất biến tƣơng ứng
1
(.
1 - (A)
(X\ A)) . Cách này đôi khi rất thuận lợi để
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
24
Khoá luận tốt nghiệp
Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
làm suy yếu điều kiện T 1 B = B đến
B) = 0 , ở đó
(T 1 B
biểu thị hiệu
số đối xứng
A
B = (A \ B)
(B \ A).
Bổ đề 3.1.
Nếu B
B và (B
thỏa mãn ( T 1 B B) = 0 thì tồn tại B
với T 1 B =
B ) = 0. ( Đặc biệt (B) = (B ) .).
Chứng minh. Với mỗi j
0. Ta có bao hàm thức
j 1
j
T B
UT
B
(i 1)
(B T i B)
i 0
j 1
=
UT
i
(T 1B B)
i 0
Vì T bảo toàn độ đo , ta có
(T jB
Đặt
j (T 1B
B)
B =
I UT
j 0i
i
B) = 0.
B
j
Ta có
B
UT
i
(B T i B) = 0
i j
i j
Vì UT i B giảm khi j tăng, do đó ta có
(B
B ) = 0. Ngoài ra
i j
T 1B =
j 0i
=
(i 1)
I UT
I UT
j 0i
B
j
i
B B .
j
Hệ quả 3.2.
Nếu T là Ergodic và ( B
B ) = 0 thì (B) = 0 hoặc 1.
Nguyễn Thị Hiền
K33C - Khoa Toán
25
