Một số ứng dụng của đa thức

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan
trọng. Nó giúp học sinh học tốt các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành
khoa học và cũng là công cụ để hoạt động trong đời sống thực tế. Môn Toán
có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung,
rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy...
Đại số là một bộ phận lớn trong Toán học, trong đó đa thức là một
khái niệm cơ bản và quan trọng, không những là đối tượng nghiên cứu của
Đại số mà còn là công cụ đắc lực của Giải tích. Nó được giới thiệu ngay từ
những năm đầu của bậc phổ thông ở các dạng đơn giản mà ta thường gọi là
biểu thức chứa chữ đại diện cho các số. Ngoài ra lý thuyết đa thức còn được
sử dụng nhiều trong toán cao cấp, toán ứng dụng.
Tuy nhiên cho đến nay tài liệu về đa thức chưa có nhiều. Các dạng bài
tập về đa thức chưa được phân loại rõ ràng và hệ thống hoá chưa đầy đủ, cũng
như chưa đưa ra phương pháp giải một cách tường minh. Tài liệu về đa thức
còn ít nên việc nghiên cứu gặp nhiều khó khăn.
Với những lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự
chỉ dẫn tận tình của cô Dương Thị Luyến, em đã mạnh dạn chọn đề tài “Một
số ứng dụng của đa thức” để làm khoá luận tốt nghiệp nhằm phân loại, hệ
thống một số bài toán về đa thức. Từ đó giúp các em học sinh có thêm tài liệu
về đa thức để có thể luyện tập và thực hành. Bên cạnh đó cũng thấy rõ thêm
vai trò của đa thức trong môn Toán ở nhà trường phổ thông cũng như trong
một số môn học khác.
2. Mục đích nghiên cứu, nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về đa thức và một số ứng dụng của đa thức.

Vũ Thị Hải

1

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

3. Đối tƣợng nghiên cứu
Đa thức và một số ứng dụng của đa thức.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp, khái quát hoá.

Vũ Thị Hải

2

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1. Vành đa thức một ẩn

1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn
Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị, ký hiệu là 1.
Gọi P là tập hợp các dãy phần tử trong A

A, i ¥ ,a i

P { a 0 ,a1,...,a n ,... ,a i

0 hầu hết trừ một số hữu hạn}.

Trên P ta xác định hai quy tắc cộng và nhân như sau
(1) a 0 ,a1,...,a n ,...

b0 ,b1,...,bn ,...

a0

(2) a 0 ,a1,...,a n ,... . b0 ,b1,...,bn ,...
Trong đó c0

c1

b0 ,a1 b1,...,a n

b n ,...

c0 ,c1,...,cn ,...

a 0 b0
a 0b1 a1b0

…

ck

a 0 bk

a1bk

1

aib j , k

... a k 1b1 a k b0

0,1,2,...

i j k

Khi đó P, ,. lập thành một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành đa thức.
Thật vậy, ta có hai quy tắc (1) và (2) cho ta hai phép toán trong P
i) P,

là một nhóm giao hoán vì

- Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp
- Phần tử không là dãy 0,0,...,0,...
- Phần tử đối của dãy a 0 ,a1 ,...,a n ,... là dãy

a 0 , a1,..., a n ,...

ii) P,. là một vị nhóm giao hoán vì

Vũ Thị Hải

3

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

- Do A giao hoán nên

b ja i , suy ra phép nhân có tính chất giao

aib j
i j k

i j k

hoán.
- Phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép cộng nên

m 0,1,2,... Ta có
ah
h k m

bi c j

a h bi c j

i j k

a h bi c j

h i j m

h i j m

a h bi c j
j l m

h i l

Do đó phép nhân trong P có tính chất kết hợp.
- Dãy 1,0,...,0,... là phần tử đơn vị của P . Do đó P là một vành giao
hoán có đơn vị 1. Trong A , ta có

ai b j

cj

i j k

k

aib j

i j k

a ic j ,
i j k

0,1,... Suy ra phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng.

Xét dãy x

0,1,0,...,0,...

Theo quy tắc nhân ta có
x2

0,0,1,0,...,0,...

x3

0,0,0,1,0,...,0,...

…

xn

0,0,0,...,0,1,0,...
1 4 2 43
n

Quy ước x 0

1,0,...,0,...

Xét ánh xạ f : A

aa
Ta có f (a b)

f (ab)
f (a)

Vũ Thị Hải

P
a,0,...,0,...
a b,0,...

ab,0,...
f (b)

a,0,...

b,0,...

a,0,... . b,0,...
a,0,...

b,0,...

f (a) f (b)

f (a).f (b)

a b

4

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Vậy f là đơn cấu và bảo toàn hai phép toán.
Vì f là đơn cấu nên ta đồng nhất mỗi phần tử a

a

f (a)

a,0,...,0,...

A với f (a) P tức

P.

Từ đó A là một vành con của vành P .
Các phần tử của P là dãy a 0 ,a1 ,...,a n ,... trong đó a i

0 hầu hết trừ

một số hữu hạn nên ta có thể giả sử n là số lớn nhất để a n

0.

Khi đó mỗi phần tử trong P có thể viết

a 0 ,a1 ,...,a n ,0,...

a 0 ,0,0,...

0,a1 ,0,...

...

0,0,...,0,a
14 2 43 n ,0,...
n

a 0 ,0,... 1,0,...

a1 ,0,... 0,1,0,...

...

a n ,0,... 0,...,0,1,0,...
{
n

a0x0

a1x1 ... a n x n
a 0 x0

P

a1x1 ... a n x n | a i

A,i

0,n

Khi đó gọi P là vành đa thức một ẩn x , lấy hệ tử trên A . Ký hiệu

A x , A là vành cơ sở, các phần tử của nó được gọi là các đa thức một

P

ẩn thường được ký hiệu f (x),g(x),h(x),r(x),...
Định nghĩa
Cho f x

A x , f x

a1x1 ... a n x n ta gọi là dạng chuẩn

a 0x 0

tắc của đa thức.
Trong đa thức f (x)

a 0x0

a1x1 ... a n x n

A x .

0,n) gọi là các hệ tử thứ i của đa thức.

- a i (i
- a i x i (i

0, n) gọi là các hạng tử thứ i của đa thức.

- a 0 gọi là hạng tử tự do.
- an

0 gọi là hạng tử cao nhất.

Vũ Thị Hải

5

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

1.2. Bậc của đa thức
Cho đa thức

f (x) A x , f (x) a n x n

a n 1x n

1

... a1x1 a 0 ; a n

0,n

0

- Nếu f (x)

0 thì ta nói f (x) là đa thức không có bậc hoặc bậc là

- Nếu f (x)

0 thì ta gọi chỉ số lớn nhất n sao cho a n

bậc của đa thức. Ký hiệu deg f (x)

0 của đa thức f (x) là

n.

Tính chất

Giả sử f (x) và g(x) là hai đa thức khác không.
i) Nếu deg f (x)

deg g(x) thì f (x) g(x)

deg f (x) g(x)
ii) Nếu deg f (x)

max degf (x),degg(x)

deg g(x) và f (x) g(x)

deg f (x) g(x)
iii) Nếu f (x).g(x)

0 và

0 thì

max degf (x),degg(x)
0 thì deg f (x).g(x)

degf (x) degg(x) . Trong trường

hợp A là một miền nguyên, f (x) và g(x) là hai đa thức khác 0 của vành

A x thì f (x).g(x)

0 và deg f (x).g(x)

degf (x) degg(x) .

Hệ quả. Nếu A là miền nguyên thì A x cũng là miền nguyên.
1.3. Phép chia đa thức
1.3.1. Phép chia với dƣ
Định lí
Giả sử A là một trường, f (x) và g(x) là hai đa thức khác không của
vành A x . Bao giờ cũng có duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) thuộc A x
sao cho f (x)

g(x).q(x) r(x) với deg r(x)

deg g(x) nếu r(x)

0 . Ta gọi

q(x) là thương và r(x) là dư.

Chứng minh

Vũ Thị Hải

6

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

i) Sự tồn tại
Giả sử f (x)

g(x)

an xn

a n 1x n

bm x m

- Nếu degf x

bm 1x m

... a1x a 0 , degf x
1

n

... b1x b0 , degg x

degg x thì đặt q(x)

Khi đó ta có f (x)
- Nếu degf x

1

0, r(x)

g(x).q(x) r(x) , deg r x

f (x)

m

Khi đó hạng tử cao nhất của g x h1 x là bm x m .bm1a n x n

f x

degg x .

degf x

degg x thì đặt h1 (x) a n bm1x n

Do đó, đặt f1 x

m

m

anxn .

g x h1 x thì f1 x là đa thức bậc thực sự

nhỏ hơn bậc của f x . Có hai khả năng xảy ra
+ Nếu degf1 x

degg x thì đặt q(x)

Ta có f (x) g(x).q(x) r(x);deg r x

degf1 x

+ Nếu degf1 x

degg x , giả sử f1 x

Ta lại đặt h 2 x

ck b m1x k

m

, f2 x

h1 (x),r(x) f1 (x)

f1 x

c0

degg x .

c1x ... c k x k

g x h2 x

Đến đây, ta lại xét f 2 (x) tương tự như đối với f (x) và f1 (x) , cứ tiếp
tục quá trình trên ta thu được dãy các đa thức có bậc giảm dần

f (x),f1 (x),f 2 (x),...
Do đó, sau hữu hạn bước ta sẽ gặp một đa thức f k (x) bằng 0 hoặc nếu
khác 0 thì có bậc nhỏ hơn thực sự bậc của g(x) .
Ta viết dãy các đẳng thức trong quá trình trên như sau

f1 (x) f (x) g(x).h1(x)
f2 (x) f1(x) g(x)h 2 (x)
…

fk (x) f k 1 (x) g(x).h k (x)
Khi đó, cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được

Vũ Thị Hải

7

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

fk (x) f (x) g(x) h1 (x) h 2 (x) ... h k (x) hay
f (x)

g(x) h1 (x) h 2 (x) ... h k (x)
1 4 4 4 4 2 4 4 4 43

f k (x)
{
r(x)

q(x)

Đặt q(x)

h1 (x) h 2 (x) ... h k (x);r(x) f k (x)

Ta được f (x)

g(x).q(x) r(x) , nếu r(x)

0 thì deg r x

deg g x

ii) Tính duy nhất
Giả sử có cặp đa thức q x ,r x và q1 x ,r1 x đều thỏa mãn

f x

g x q x

r x , deg r x

f x

g x q1 x

r1 x , deg r1 x

g x q x

q1 x

Từ đó, ta có deg r1 x
Nếu r1 x

r x

r x

deg r1 x
Vậy r1 x

degg x ,r1 x

degg x
r x

degg x ,deg r1 x

deg q x

0

q1 x

(1)

degg x

degg x nên

max deg r1 x ,deg r x

degg x

degg x (mâu thuẫn với (1))

r x

r x

r x

0

r x

0 thì deg r1 x

Thật vậy, vì deg r x

deg r1 x

r1 x

degg x ,r x

0 hay r1 x

r x . Từ đó, suy ra q x

q1 x (đpcm)

1.3.2. Phép chia hết
Định nghĩa
Cho hai đa thức f (x),g(x) A x ,g(x)

0 . Ta nói rằng đa thức f (x)

chia hết cho đa thức g(x) trong A x nếu tồn tại một đa thức q(x) A x ,
sao cho f (x)

g(x).q(x) . Ta ký hiệu f (x)M
g(x) .

Một số tính chất
a) Nếu f (x)M
g(x) thì deg f (x)

Vũ Thị Hải

deg g(x) .

8

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

g(x), i 1, n và qi (x),i 1,n là những đa thức bất kỳ
b) Nếu fi (x)M

thì f1 (x).q1 (x) f 2 (x).q 2 (x) ... f n (x).q n (x) M
g(x) .
c) Nếu f (x)M
g(x) và g(x)M
h(x) thì f (x)M
h(x) .
1.4. Nghiệm của đa thức
1.4.1. Định nghĩa
Giả sử c là một phần tử tuỳ ý của vành A , f (x)
là một đa thức tuỳ ý của A x , phần tử f (c)

a0

a0

a1x ... a n x n

a1c ... a ncn

A có được

bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của f (x) tại c .
- Nếu f c

0 thì c gọi là nghiệm của f (x) trong A .

- Tìm nghiệm của f (x) trong A gọi là giải phương trình đại số bậc n

an xn

a n 1x n

1

... a1x a 0

0,a n

0 trong A .

1.4.2. Định lí Bơzu
Cho f (x) A x , A là một trường, c A . Khi đó dư trong phép chia
f (x) cho x c là giá trị của f (c) tại x

c.

Chứng minh

Thật vậy, chia f x cho x c ta được

f x
Nếu r x

r x

0 thì bậc của r x nhỏ hơn bậc của x c ;

deg r x

deg x c

deg r x

0

r x

A

f x
Cho x

x c q x

r0

x c q x

c ta được f c

Vũ Thị Hải

r0 ;r0

A

c c q c

r0

9

r0 (đpcm)

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Hệ quả. c là nghiệm của f (x) khi và chỉ khi f (x)Mx c .
Chứng minh
Giả sử c là nghiệm của f x .
Chia f x cho x c ta được f x
Do c là nghiệm nên f c

f x

x c q x

f c

0

x c q x

f x Mx c
Ngược lại giả sử f x Mx c

f c

c c q c

f x

x c q x

0

c là nghiệm của f x
Điều phải chứng minh.
1.4.3. Lƣợc đồ Hoocner

a 0x n

Chia f (x)

f x

x c q x

Giả sử q(x)

b0 x n

Suy ra a 0 x n

a1x n

a1x n

... a n cho x c ta được

1

r
1

1

b1x n

2

... a n

... bn

1

x c b0 x n

1

b1x n

2

... bn

1

r

Cân bằng các hệ tử ta suy ra

b0

a0

b1

a1 cb0

…..

bn

an

1

cbn

1

2

và dư r

an

cbn

1

Ta viết các đẳng thức trên dưới dạng bảng sau gọi là lược đồ Hoocner

c

b0

…

a1

a0

a0

Vũ Thị Hải

b1

a1 cb0

an

…

bn

10

an

1

1

an

1

cbn

2

r

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

1.4.4. Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội
Định nghĩa
Cho f (x) A x , c A là nghiệm bội m của f x nếu và chỉ nếu
f (x)Mx c

m

và f (x) không chia hết cho x c

m 1

.

- Với m 1 , c gọi là nghiệm đơn.
- Với m

2 , c gọi là nghiệm kép.

- Với m 3 , c gọi là nghiệm bội m .
Người ta coi một đa thức có một nghiệm bội m như một đa thức có m
nghiệm trùng nhau.

Định lí (định lí cơ bản)
Mọi đa thức f (x) với hệ số phức, bậc n n 1 có đúng n nghiệm phức
(kể cả số bội của mỗi nghiệm).
1.4.5. Định lí Viéte
Định lý Viéte cho đa thức bậc n , được phát biểu như sau
Định lý Viéte thuận
Cho đa thức f (x) A x , f (x)
deg f (x)

a 0x n

a1x n

1

... a n 1x a n ,

n . Gọi x1, x 2 ,..., x n là n nghiệm của f (x) trên trường nghiệm của

nó. Khi đó ta có các hệ thức sau và ta ký hiệu các hệ thức đó là *

x1

x 2 ... x n

x1x 2
x1x 2 x 3

1

x1x 3 ... x n 1x n

a1
a0
1

2

x1x 2 x 4 ... x n 2 x n 1x n

a2
a0
1

3

a3
a0

*

...

Vũ Thị Hải

11

K33CN Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

x1x 2 x 3 ...x n

n

1

n

Ta ký hiệu S1

Khoá luận tốt nghiệp

an
a0

a1
a0

xi
i 1

S2

a2
a0

xi x j
1 i j n

…

Sk

x i1 x i2 ...x ik

1

k

1 i1 i 2 ... i k n

ak
a0

Với Sk là tổng của các tích k nghiệm của f x
Đặc biệt

x1
- x1 , x 2 là hai nghiệm của f (x)

ax 2

bx c(a

0) thì

c
a

x1x 2
- x1 , x 2 , x 3 là ba nghiệm của f (x)

x1

x2

x1 x 2
x1 x 2 x 3

x3

b
a

x1 x 3

x 2x3

ax 3

bx 2

cx d(a

b
a

x2

0) thì

c
a

d
a

Định lí Viéte đảo
Nếu có n phần tử x1, x 2 ,..., x n thoả mãn hệ thức * thì x1, x 2 ,..., x n là
nghiệm của phương trình
Xn

Vũ Thị Hải

S1X n

1

S2X n

2

...

12

1

n 1

.Sn 1.X

n

1 Sn

0.

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Đặc biệt
- x1

x2

S , x1x 2

- x1

x2

x3

X3

AX 2

P thì X 2 SX P

A , x1x 2

BX C

x1x 3

0

B , x1x 2 x3

x 2x3

0 thì

0

1.5. Đa thức đồng dƣ
Định nghĩa
Cho (x) là đa thức khác không. Ta nói rằng hai đa thức f (x) đồng dư
với đa thức g(x) theo môdun đa thức (x) nếu f (x) g(x) M(x) trong

A x . Khi f (x) và g(x) đồng dư với nhau theo môdun (x) thì ta ký hiệu
f (x) g(x) mod (x) .

Định lí
Cho (x) là đa thức khác không, f (x) và g(x) là hai đa thức. Khi đó
f (x) g(x) mod (x) khi và chỉ khi f (x) , g(x) cho cùng một đa thức dư

khi chia cho (x) .
Chứng minh
Nếu f x

x .s1 x

h1 x ; deg h1 x

và g x

x .s2 x

h 2 x ; deg h 2 x

thì f x

g x M x

Điều này xảy ra khi h1 x

h1 x

deg
deg

x

x

h2 x M x

h 2 x (vì deg h1 x

h2 x

deg

x )

với s1 (x),s2 (x),h1 (x),h 2 (x) A x (đpcm).
Một số tính chất
Cho

x là đa thức khác không

1) Với mọi đa thức f (x) , f (x) f (x) mod (x) .
2) Với hai đa thức f (x) và g(x) bất kỳ, nếu f (x) g(x) mod (x) thì

Vũ Thị Hải

13

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

g(x) f (x) mod (x) .

3) Với mọi đa thức f (x) , g(x) và h(x) , nếu f (x) g(x) mod (x) và
g(x) h(x) mod (x) thì f (x) h(x) mod (x) .

4) Với mọi đa thức f (x) , g(x) và h(x) , nếu f (x) g(x) mod (x)
thì f (x).h(x) g(x).h(x) mod (x) .
5) Cho những đa thức bất kỳ f1 (x),f 2 (x),...,f n (x);g1(x),g 2 (x),...,g n (x) và

h1 x ,h 2 x ,...,h n x . Nếu fi (x) gi (x) mod (x) , i 1,n
thì h1 (x)f1 (x) h 2 (x)f 2 (x) ... h n (x)f n (x)

h1 (x)g1(x) h 2 (x)g 2 (x) ... h n (x)g n (x) mod (x)
6) Với ba đa thức bất kỳ f (x) , g(x) và h(x) .
Nếu f (x) g(x) h(x) mod (x) thì f (x) h(x) g(x) mod (x) .
7) Cho những đa thức bất kỳ f1 (x),f 2 (x),...,f n (x);g1(x),g 2 (x),...,g n (x) .
Nếu fi (x) gi (x) mod (x) , i 1,n
thì f1 (x).f 2 (x)...f n (x) g1 (x).g 2 (x)...g n (x) mod (x) .
8) Với hai đa thức f (x) , g(x) bất kỳ và mọi số tự nhiên t .
Nếu f (x) g(x) mod (x) thì f t (x) g t (x) mod (x) .
9) Với hai đa thức bất kỳ f (x) , g(x) và đa thức h(x) .
Nếu f (x) g(x) mod (x) thì h f (x)

h g(x) mod (x) .

1.6. Đa thức bất khả quy
Định nghĩa
Cho đa thức f x

A x ,f x

0 , f x không khả nghịch. f x gọi

là bất khả quy trên A x nếu f x không có ước thực sự.

Vũ Thị Hải

14

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

* Tính chất

A x với A là một trường.

Cho f x

i) Các đa thức bậc một trên trường A đều là bất khả quy.
ii) Các đa thức bậc hai, bậc ba là bất khả quy trên trường A khi và chỉ khi nó
không có nghiệm trong A .
Chứng minh
i) Giả sử f x

f x

ax b A x , a

1; g x \ f x

g x h x

degg x

deg h x

deg g x

1

deg h x

0

Với g x và h x
+ Nếu degg x

degf x

1

A x , degg x
1

a 1f x

degf x ; deg h x

0 hay h x

deg h x

Do A là một trường nên có a
g x

0 ; degf x

1

sao cho a.a

A và h x
1

1

f x

degf x
a A, a

0

g x .a

f x \g x

g x và f x liên kết với nhau.
+ Nếu degg x

0 thì g x

A và g x

a 0 , a khả nghịch.

g x khả nghịch.
Vậy trong cả hai trường hợp suy ra f x là đa thức bất khả quy (đpcm).
ii) Giả sử f x

A x , degf x

f x khả quy khi và chỉ khi f x

2 hoặc degf x

3

g x h x ; g x và h x thuộc

A x và hoặc g x hoặc h x có bậc một nghĩa là f x có nghiệm trong A
Vậy f x bất khả quy khi và chỉ khi f x không có nghiệm trong A (đpcm).

Vũ Thị Hải

15

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

Định lí 1
Nếu f (x) là một đa thức bất khả quy trên A , g(x) là đa thức bất kỳ
với hệ tử trong A thì hoặc g(x)M
f (x) hoặc f (x),g(x)

1.

Định lí 2
Cho f (x) là một đa thức bất khả quy trên A , g(x) và h(x) là những
đa thức thuộc A x . Nếu f (x)g(x)M
h(x) thì ít nhất một trong các nhân
tử f (x) hoặc g(x) chia hết cho h(x) .
Tiêu chuẩn Eisenstein
Cho f (x) a 0

a1x1 ... a n x n ,n 1 là đa thức với hệ số nguyên, nếu

tồn tại số nguyên tố p thoả mãn điều kiện
i) a n Mp .
ii) a i M

p,

i 0,n 1.

iii) a 0 Mp2
Khi đó đa thức f (x) bất khả quy trong ¤ x .
1.7. Đa thức trên các trƣờng số
1.7.1. Đa thức với hệ số hữu tỷ
a) Nghiệm hữu tỷ của một đa thức với hệ số hữu tỷ
Nếu f (x)

an xn

a n 1x n

1

... a 0 ,a n

0 là một đa thức với hệ số

hữu tỷ thì f (x) có thể viết dưới dạng

f (x)

b

1

bn x n

b n 1x n

1

... b 0

b 1g(x) .

Trong đó b là mẫu số chung của các phân số a i và bi

i

0,n ; g x

¢

¢ x . Vì f (x) và g(x) chỉ khác nhau một nhân tử bậc không

nên các nghiệm của f (x) là các nghiệm của g(x) . Vậy việc tìm nghiệm của
một đa thức với hệ số hữu tỷ được đưa về việc tìm nghiệm của một đa thức
với hệ số nguyên.

Vũ Thị Hải

16

K33CN Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

b) Nghiệm của đa thức hệ số nguyên
Định lí 1
u
v

Nếu u và v là những số nguyên tố cùng nhau và nếu số hữu tỷ
là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên f (x) a 0 x n

a1x n

1

... a n 1x a n

thì a n chia hết cho u và a 0 chia hết cho v .
Chứng minh

u
Từ điều kiện đầu bài suy ra f
v
u
v

Nghĩa là f

u a 0u n

1

a 0 .u n

u, v

1

u, v

1

1

1

a n .vn

0

u
an
v

1

0

*

a n vn

a n | u (1)

Từ * suy ra v a1u n

v \ a ou n

un 1
a1 n 1 ... a n
v

a1.u n 1.v ... a n 1.u.vn

a1u n 2 v ... a n 1vn

u \ a n vn

a0

un
vn

1

a 2u n 2 v ... a n vn

1

a 0u n

(2)

a0 | v

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
Định lí 2
Nếu số hữu tỷ
nguyên f (x) a 0 x n

u
, u, v
v

a1x n

1

1 là nghiệm của đa thức với hệ số

... a n 1x a n thì f (m)Mu mv , m ¢ .

Chứng minh
Chia f x cho x m , ta được f x
Vì m ¢ và f x

Vũ Thị Hải

x m g x

f m

¢ x nên theo lược đồ Hoocner ta cũng có g x

17

¢ x

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

f

u
v

u
v

m g

f m

u mv

Hay v t f m
Vì u,v

u
v

Khoá luận tốt nghiệp

f m

A
trong đó A ¢ (vì các hệ số của g x là nguyên)
vt

u mv A

1 nên vt ,u

v t ,u mv

0

(*)

1

1

Từ đẳng thức (*) ta suy ra u mv là ước của f m
Hay f (m)Mu mv , m ¢ (đpcm).
+ Đặc biệt. u v / f ( 1) , với m

1

u v / f (1) , với m 1
Hệ quả. Nếu
f (1)
1

1 là nghiệm của f (x) ¢ x ,
¢ ,

f ( 1)
1

¢ thì

¢.

1.7.2. Đa thức với hệ số thực và phức
Cho một đa thức với hệ số thực thì chưa chắc đa thức đó có nghiệm
trong trường số thực ¡ . Nhưng trong trường số phức £ , mọi đa thức bậc n
có đúng n nghiệm phức.
Ta có các bổ đề sau
- Bổ đề 1. Mọi đa thức với hệ số thực bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực.
- Bổ đề 2. Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số thực có ít nhất một nghiệm
phức.
Định lí
Mọi đa thức bậc lớn hơn 0 với hệ số phức có ít nhất một nghiệm phức.
- Hệ quả 1. Các đa thức bất khả quy của vành £ x , ( £ - trường số phức ) là

Vũ Thị Hải

18

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

các đa thức bậc nhất.
- Hệ quả 2. Mọi đa thức bậc n , n

0 với hệ số phức có n nghiệm phức.

- Hệ quả 3. Các đa thức bất khả quy của ¡ x , ( ¡ - trường số thực ) là các đa
thức bậc nhất và các đa thức bậc hai ax 2

bx c với biệt số

b2

4ac

0

1.8. Ƣớc chung lớn nhất
1.8.1. Định nghĩa
Cho hai đa thức f (x), g(x) A x ( A - trường ) và ít nhất một trong
hai đa thức khác không. Đa thức d x được gọi là ước chung lớn nhất của

f (x) và g(x) nếu

i) f (x)M
g(x) và g(x)M
d(x) .
ii) Nếu f (x)M
d1 (x) và g(x)M
d1 (x) thì d(x)M
d1 (x) .
Ký hiệu d(x)

f (x),g(x) .

1.8.2. Tính chất
a) Nếu d(x)

f (x),g(x) , với

f (x),g(x) thì d(x)

là số bất kỳ,

0.
b) Nếu f (x)M
g(x) thì f (x),g(x)
c) f (x),g(x)
d) f (x),g(x)

f (x),g(x)

g(x) .
f (x), g(x) với

là số bất kỳ,

0.

g(x),h(x) , h(x) là số dư trong phép chia f (x) cho g(x) .

*Thuật toán Ơclit để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức
Nếu có các đa thức f x ,g x ,q x ,r x thoả mãn

f x

g x q x

r x thì f x ,g x

g x ,r x .

Thuật toán Cho hai đa thức f x và g x khác 0, khi đó tồn tại hữu hạn
dãy các đẳng thức sau
Kí hiệu f : f x ; g : g x

Vũ Thị Hải

19

K33CN Toán

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

f

gq0

r1; deg r1

degg

g

r1q1 r2 ; deg r2

deg r1

r1

r2q 2

deg r1

r3 ; deg r3

…..

rn

2

rn 1qn

rn

1

rn q n

Và f ,g

1

rn

rn ; deg rn

1

deg rn

1

d x

Dãy hữu hạn các đẳng trên gọi là thuật toán Ơclit trên hai đa thức.
* Chú ý Từ các đẳng thức trên ta rút ra rn và thay dần ngược trở lại ta sẽ tìm

được các đa thức u x , v x sao cho f x u x

g x v x

d x .

2. Vành đa thức nhiều ẩn
2.1. Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn
Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị.
Đặt A1

A2

A x1 là vành đa thức ẩn x1 , lấy hệ tử trên A .
A1 x 2 là vành đa thức ẩn x 2 , lấy hệ tử trên A1 .

…

An

An 1 x n là vành đa thức ẩn x n , lấy hệ tử trên A n 1 .

Vành A n ký hiệu là A x1,x 2 ,...,x n gọi là vành đa thức của n ẩn

x1,x 2 ,...,x n lấy hệ tử trong vành A . Mỗi phần tử của A n gọi là một đa thức
của n ẩn x1,x 2 ,...,x n lấy hệ tử trong vành A , ký hiệu f x1,x 2 ,...,x n hay

g x1,x 2 ,...,x n .
Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được mỗi đa thức

Vũ Thị Hải

20

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp
m

f x1 , x 2 ,..., x n

a11
1 1

cx

...x n

a1n

a m1
m 1

... c x

...x n

a mn

ci x1ain x 2ai 2 ...x n ain
i 1

Với ci

A , i 1,m , a ij ¥ , j 1,n
a j1,a j2 ,...,a jn nếu i

và a i1,a i2 ,...,a in

j

Các số ci được gọi là các hệ tử, ci x1ai1 x 2ai 2 ...x n ain được gọi là các hạng tử
của đa thức f x1,x 2 ,...,x n .
Đa thức f x1 , x 2 ,..., x n

0

0 ; i 1,m .

ci

Hai đa thức f x1,x 2 ,...,x n và g x1,x 2 ,...,x n được gọi là bằng nhau khi
và chỉ khi chúng có cùng hạng tử như nhau.
2.2. Bậc của đa thức nhiều ẩn
Định nghĩa
Giả sử f x1,x 2 ,...,x n

f x1 , x 2 ,..., x n

c1x1a11 ...x n a1n
m

A x1,x 2 ,...,x n là một đa thức khác 0
... cm x1a m1 ...x n a mn

ci x1ai1 x 2 ai 2 ...x n ain với ci

0 , i 1,m .

i 1

a i1,a i2 ,...,a in

a j1,a j2 ,...,a jn khi i

j

Ta gọi là bậc của f x1,x 2 ,...,x n đối với ẩn x i có số mũ cao nhất mà x i
có được trong các hạng tử của đa thức.
Nếu trong đa thức f x1,x 2 ,...,x n , ẩn x i không có mặt thì bậc của

f x1,x 2 ,...,x n đối với nó là không.
Bậc của hạng tử ci x1ai1 x 2ai 2 ...x n ain là tổng các số mũ a i1 a i2 ... a in . Nếu
các hạng tử của f x1,x 2 ,...,x n có cùng bậc k thì f x1 , x 2 ,..., xn gọi là một
đa thức đẳng cấp bậc k .

Vũ Thị Hải

21

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Đặc biệt

Khoá luận tốt nghiệp

k 1 ta gọi là dạng tuyến tính.
2 ta gọi là dạng toàn phương.

k

k 3 ta gọi là dạng lập phương.
2.3. Đa thức đối xứng
a. Định nghĩa
Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị

f x1,x 2 ,...,x n là một đa thức của vành A x1,x 2 ,...,x n
f x1,x 2 ,...,x n gọi là đa thức đối xứng của n ẩn nếu và chỉ nếu với mọi phép
thế

i

1 2 ... n
i1 i2 ... in

f x i1 , x i2 ,..., x in trong đó i1,i2 ,...,in là một hoán vị bất

Ta có f x1 , x 2 ,..., x n

kỳ của n phần tử x1,x 2 ,...,x n .
Định lý
Mọi bộ phận gồm các đa thức đối xứng của vành A x1,x 2 ,...,x n là
một vành con của vành A x1,x 2 ,...,x n .
b. Đa thức đối xứng cơ bản
Trong vành đa thức A x1, x 2 ,...., x n các đa thức sau là đa thức đối xứng
gọi là đa thức đối xứng cơ bản hay đa thức đối xứng sơ cấp
n

xi

1

x1

x 2 ... x n

i 1

n

xi x j

2

x1x 2

x1x 3 ... x n 1x n

i j
n

x i x jx k

3

x1x 2 x 3

x1x 2 x 4 ... x n 2 x n 1x n

1 j k

Vũ Thị Hải

22

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

…

x1x 2 ...x n

n

c. Định lý cơ bản của đa thức đối xứng
Mọi đa thức đối xứng f x1,x 2 ,...,x n

A x1,x 2 ,...,x n đều biểu diễn

như đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản và sự biểu diễn này là duy
nhất.
a 0x n

Cho f x
cho

1

,

2

,...,

a 1x n

1

... a n 1x a n , a 0

0 là đa thức một biến và

là những nghiệm của đa thức trên.

n

Theo công thức Viéte ta có
1

2

1

2

...

n

3

...

1

a1
a0
n 1

n

a2
a0

…
1

Suy ra nếu

1

2

,

...
2

,

1

1

2

1,

1

n

,...,
2

n

,...,

n

an
a0

là những đa thức đối xứng cơ bản của n biến thì
n

2 ,...,

n

a1
a0
a2
a0

…
k

1

,

2

,...,

n

1

1

,

2

,...,

n

1

k

ak
a0

…
n

Vũ Thị Hải

n

an
a0

23

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

d. Biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản
Cách 1. Phương pháp hạng tử cao nhất.
Cách 2. Phương pháp hệ tử bất định.
Ta có phương pháp hệ tử bất định sau để biểu diễn một đa thức đối xứng
qua các đa thức đối xứng cơ bản.
Phương pháp này ta dùng cho đa thức đối xứng đẳng cấp và vành cơ sở A
là một miền nguyên vô hạn.
Nếu một đa thức đối xứng không là đẳng cấp thì ta tách chúng ra thành
tổng của nhiều đa thức đối xứng đẳng cấp và vẫn áp dụng được phương pháp
hệ tử bất định.
Ta tiến hành theo các bước sau
Cho đa thức đối xứng f x1,x 2 ,...,x n
- Xác định hạng tử cao nhất của f x1,x 2 ,...,x n
Giả sử là

x x 2a 2 ...x n a n tương ứng với hệ số mũ là a1,a 2 ,...,a n

a1
1 1

- Xác định tập
M { t i1,t i2 ,...,t in | a1

- Xác định đa thức h

t i1

t i2 ... t in và t i1 t i2 ... t in

a1 a 2 ... a n }

n
1,

2 ,...,

t i1 t in
n

i

1

...

t in

1

t in

n

i 1

Lập bảng cân bằng hệ số cho h
các

i

1

,

2

,...,

n

f x1,x 2 ,...,x n để tính

.

Ta chọn các hệ số tuỳ ý cho các ẩn x1,x 2 ,...,x n rồi tính

1

bộ đã chọn. Rồi thay vào biểu thức của f x1,x 2 ,...,x n và h
được một hệ phương trình. Giải hệ phương trình để tìm các

Vũ Thị Hải

24

i

,
1

2

,

,...,
2

,...,

n

theo
n

ta

.

K33CN Toán


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khoá luận tốt nghiệp

e. Tổng lũy thừa
Cho k 0 là một số nguyên bất kỳ và x1,x 2 ,...,x n là những số thực. Đa
thức đối xứng Sk

x 2k ... x n k được gọi là tổng lũy thừa bậc k của

x1k

x1,x 2 ,...,x n .
Theo định lý cơ bản của đa thức đối xứng, mọi tổng lũy thừa có thể biểu
diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản.
Định lí 1. Mọi tổng lũy thừa Sk

S0

1

S

2

Sk

Sk

1 k 1

2
1

; S2

2 ; S1

y k thỏa mãn những đẳng thức sau

xk

2

2

k 3

2

với

x y,

1

xy

2

Chứng minh
Với k 0

S0

x0

Với k 1

S1

x y

Với k 2

S2

x2

Với k 3 ta có Sk

y0

2
1

y2

x y

xk

yk

2

2
1

2xy

x y xk 1

S

Sk

1 k 1

2

2

2

yk 1

xy x k

2

yk

2

2

Vậy định lý được chứng minh.
Định lí 2. Tổng luỹ thừa Sk

xk

S 0 3 ; S1

1

2

Sk

1 k 1

2

Với

1

S

; S2

1 1

Sk

3

S

; S3

S

S

1 2

2 1

3

xyz

3

3

Sk 3 , k 4

2

x y z;

2

z k thoả mãn đẳng thức

yk

xy yz zx ;

2

Chứng minh
Với k 0

S0

x0

y0

k 1

S1

x y z

k 2

S2

x2

y2

z0

3
1

z2

Ta biến đổi tích x y z x 2

Vũ Thị Hải

x y z

2

2 xy yz zx

2
1

2

2

xyz

25

K33CN Toán