Một số ứng dụng của đa thức

Header Page 1 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đỗ Thị Hải Yến

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 1 of 161.


Header Page 2 of 161.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Đỗ Thị Hải Yến

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN
Ths Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2016

Footer Page 2 of 161.


Header Page 3 of 161.
1

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn
và chỉ bảo tận tình của cô giáo Ths. Dương Thị Luyến, khóa luận
của em đến nay đã được hoàn thành.
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc, chân thành tới cô giáo Ths.
Dương Thị Luyến, các thầy cô giáo và các bạn sinh viên khoa Toán
Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp em hoàn thành khóa luận
này.
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến
thức nên đề tài không tránh những thiếu sót. Em rất mong được sự
góp ý của các thầy cô, các bạn sinh viên và các bạn đọc để đề tài này
được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Đỗ Thị Hải Yến

Footer Page 3 of 161.


Header Page 4 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá
trình học tập, nghiên cứu nỗ lực của em cùng với sự giúp đỡ của các
thầy cô, các bạn sinh viên khoa toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
2, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Luyến.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có
liên quan đã được hệ thống trong mục tài liệu tham khảo.
Khóa luận tốt nghiệp "Một số ứng dụng của đa thức" không có
sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2016
Sinh viên

Đỗ Thị Hải Yến

i

Footer Page 4 of 161.


Header Page 5 of 161.

Mục lục

LỜI MỞ ĐẦU

1

1 Kiến thức chuẩn bị

3

1.1

1.2

1.3

Vành đa thức 1 ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Xây dựng vành đa thức 1 ẩn . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Phép chia với dư . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.5

Đa thức đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Vành đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Vành đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Bậc của đa thức nhiều ẩn . . . . . . . . . . . .

11

1.2.3

Đa thức đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Tổng lũy thừa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Ứng dụng của đa thức 1 ẩn
2.1

2.2

13
16

Xác định đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.1.1

Một số dạng toán và bài tập minh họa . . . . .

16

2.1.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Footer Page 5 of 161.

ii


Header Page 6 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.3

Đỗ Thị Hải Yến

2.2.1

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Ứng dụng của định lí Viéte . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3.1

Dạng 1 Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của
phương trình sao cho chúng không phụ thuộc
vào tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2

Dạng 2 Tìm giá trị tham số của phương trình
thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm đã cho . . . .

2.3.3

3

. . . . . . . . . . . . . .

31

Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . .

33

2.4.1

Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.4.2

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.4.3

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Ứng dụng của đa thức nhiều ẩn
3.1

3.2

3.3

29

Dạng 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của biểu thức nghiệm

2.4

28

37

Bài toán về tổng lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1.1

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.1.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Phân tích đa thức thành nhân tử . . . . . . . . . . . .

39

3.2.1

Phương pháp hệ tử bất định . . . . . . . . . . .

39

3.2.2

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.2.3

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Chứng minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.3.1

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.3.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Footer Page 6 of 161.

iii


Header Page 7 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

3.4

3.5

3.6

3.7

3.8

Đỗ Thị Hải Yến

Chứng minh bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.4.1

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.4.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.5.1

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.5.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng . . . .

50

3.6.1

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

3.6.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

Trục căn thức ở mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.7.1

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

3.7.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

Giải phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . . . .

54

3.8.1

Bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

3.8.2

Bài tập áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

KẾT LUẬN

56

Tài liệu tham khảo

56

Footer Page 7 of 161.

iv


Header Page 8 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là một ngành khoa học giữ vị trí quan trọng đối với
nhiều lĩnh vực. Trong đó, Đại số là một bộ phận lớn của Toán học,
các bài toán đại số luôn chiếm vị trí quan trọng về lí thuyết lẫn thực
tế, cũng là lĩnh vực mà các nhà nghiên cứu đã tìm hiểu tương đối đầy
đủ.
Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng, là đối tượng
nghiên cứu trọng tâm của đại số. Hơn nữa, đa thức còn là công cụ đắc
lực trong lí thuyết xấp xỉ, lí thuyết tối ưu... Ngoài ra, các định lý và
các đặc trưng cơ bản của đa thức còn được sử dụng nhiều trong Toán
cao cấp, Toán ứng dụng.
Các bài tập về đa thức được xem như những dạng toán khó ở
THPT, được đề cập nhiều trong các kì thi học sinh giỏi, Olimpic
Quốc tế và olimpic sinh viên giữa các trường Đại học, Cao đẳng.
Tuy nhiên, đa thức và ứng dụng của nó mới chỉ được trình bày
sơ lược, chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết. Các tài
liệu về đa thức còn ít, các phương pháp giải chưa được khái quát theo
dạng, do đó việc nghiên cứu về đa thức còn gặp nhiều khó khăn.
Vì các lí do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu và được sự giúp
đỡ, chỉ bảo tận tình của TS.Dương Thị Luyến, e mạnh dạn chọn đề
tài "Một số ứng dụng của đa thức" để làm khóa luận tốt nghiệp với
mong muốn ứng dụng những kiến thức đã học vào chương trình toán
THPT.

Footer Page 8 of 161.

1

Header Page 9 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm mục đích hệ thống lại đầy đủ và chính xác ứng
dụng của đa thức và cách giải một số dạng toán về đa thức. Đồng thời
giúp học sinh biết vận dụng các kiến thức, nhận xét một cách linh
hoạt, sáng tạo trong việc giải các bài toán về đa thức từ dễ đến khó.
3. Đối tượng nghiên cứu
-

Đối tượng nghiên cứu: Đa thức và ứng dụng của đa thức 1 ẩn,

nhiều ẩn.
-

Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế về mặt thời gian cũng như kiến

thức và năng lực nghiên cứu của bản thân, nên đề tài chỉ dừng lại ở
việc nghiên cứu một số ứng dụng của đa thức.
4. Nhiệm vụ của nghiên cứu
Nghiên cứu về một số ứng dụng của đa thức 1 ẩn và đa thức
nhiều ẩn.
5. Phương pháp nghiên cứu
-

Phương pháp sử dụng tài liệu.

-

Sưu tầm, giải quyết các bài toán.

6. Cấu trúc luận văn
Nội dung khóa luận bao gồm 3 chương
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Chương 2 Ứng dụng của đa thức 1 ẩn
Chương 3 Ứng dụng của đa thức nhiều ẩn

Footer Page 9 of 161.

2


Header Page 10 of 161.

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Vành đa thức 1 ẩn

1.1.1

Xây dựng vành đa thức 1 ẩn

Cho A là vành giao hoán có đơn vị ( kí hiệu là 1).

Khi đó
P = (a0 , a1 , . . . , an , . . .) ; ai ∈ A; ai = 0 hầu hết với mọi i ∈ N
cùng với hai phép toán
-Phép cộng
(a0 , a1 , . . . , an , . . .)+(b0 , b1 , . . . , bn , . . .) = (a0 + b0 , a1 + b1 , . . . , an + bn , . . .)
-Phép nhân
(a0 , a1 , . . . , an , . . .) (b0 , b1 , . . . , bn , . . .) = (c0 , c1 , . . . , cn , . . .)

Footer Page 10 of 161.

3


Header Page 11 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

ai bj ; k=0,1,. . . n,. . .

với ck =
i+j=k

lập thành 1 vành giao hoán có đơn vị (1,0,0,. . . ,0,. . . ).
Ta gọi P là vành đa thức, mỗi phần tử thuộc P gọi là 1 đa thức.
Ta có
A −→ P

f :

a −→ (a, 0, . . . , 0, . . .)
là 1 đơn cấu vành. Do vậy, ta đồng nhất a ∈ A với phần tử
f (a) = (a, 0, . . . , 0, . . .),
ta được A là vành con của P.
Kí hiệu x = (0, 1, 0, . . . , 0, . . .).
Khi đó ta có
x2 = (0, 0, 1, 0, . . . , 0, . . .)
x3 = (0, 0, 0, 1, . . . , 0, . . .)
...
xn = (0, 0, ..., 0, 1, . . . 0 . . .) .
n

Do đó, mỗi phần tử α ∈ P
α = (a0 , a1 , . . . , ak , . . .),
do ai = 0 hầu hết nên ∃n ∈ N sao cho
an+1 = an+2 = . . . = 0.

Footer Page 11 of 161.

4


Header Page 12 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

Vì thế
α = a0 (1, 0, . . .) + a1 (0, 1, 0, . . .) + . . . + an (0, . . . , 0, 1, 0, . . .)
n

= a0 + a1 x + . . . + an x n .
Người ta thường kí hiệu các phần tử của P viết dưới dạng
a0 + a1 x + . . . + an xn
bằng f (x), g(x) . . .
Định nghĩa 1.1. Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong
A, hay vắn tắt là vành đa thức của ẩn x trên A, kí hiệu là A[x]. Các
phần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A. Trong
một đa thức
f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn
các ai , i = 0, 1, . . . , n gọi là các hệ tử của đa thức. Các ai xi gọi là hạng
tử của đa thức, đặc biệt a0 x0 = a0 gọi là hạng tử tự do.
1.1.2

Bậc của đa thức

Định nghĩa 1.2. Bậc của đa thức khác 0
f (x) = a0 x0 + . . . + an−1 xn−1 + an xn
là n với n là chỉ số cao nhất sao cho an = 0 .
Kí hiệu bậc của đa thức f (x) = 0 là degf (x).

Footer Page 12 of 161.

5


Header Page 13 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

Định lý 1.1. Cho 2 đa thức f (x), g(x) ∈ A[x] khác 0. Khi đó
Nếu degf (x) = degg(x) thì f (x) + g(x) = 0

1.

và deg(f (x) + g(x)) = max degf (x), degg(x) .
Nếu degf (x) = degg(x) và f (x) + g(x) = 0
thì deg(f (x) + g(x)) ≤ max(degf (x), degg(x)).
2. Nếu f (x)g(x) = 0 thì deg(f (x)g(x)) ≤ degf (x) + degg(x).
Định lý 1.2. Nếu A là 1 miền nguyên, f(x),g(x) là 2 đa thức khác 0
của vành A[x] thì f (x)g(x) = 0 và deg(f (x)g(x)) = degf (x)+degg(x).
Hệ quả 1.1. Nếu A là miền nguyên thì A[x] là miền nguyên.
1.1.3

Phép chia với dư

Định lý 1.3. (Định lí về phép chia có dư) Cho A[x] là vành đa thức,
A là 1 trường, f(x),g(x) là hai đa thức của vành A[x],g(x) = 0. Khi
đó, bao giờ cũng tồn tại duy nhất 2 đa thức q(x) và r(x) thuộc A[x]
sao cho
f (x) = g(x)q(x) + r(x), với degr(x) < degg(x) nếu r(x) = 0.
1.1.4

Nghiệm của đa thức

Định nghĩa 1.3. Giả sử α là một phần tử tùy ý của vành A[x],
f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn là 1 đa thức tùy ý của vành A[x]; phần
tử
f (α) = a0 + a1 α + . . . + an αn ∈ A

Footer Page 13 of 161.

6


Header Page 14 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

có được bằng cách thay x bởi α gọi là giá trị của f (x) tại α. Nếu
f (α) = 0 thì α gọi là nghiệm của f(x).
Định lý 1.4. Định lí Bezout
Cho vành đa thức A[x], A là 1 trường, f (x) ∈ A[x], α ∈ A. Khi đó,
dư trong phép chia f(x) cho (x − α) là f (α).
Định lý 1.5. Cho A là 1 trường, phần tử α ∈ A là nghiệm của đa
.
thức f (x) ∈ A[x] khi và chỉ khi f (x)..(x − α).
Sơ đồ Horner
Cho A là trường, f (x) ∈ A[x] là đa thức bậc n. Giả sử
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an (ai ∈ A) và α ∈ A.
Chia f(x) cho (x − α) trong A[x], giả sử thương của phép chia đó là
q(x) = b0 xn−1 + b1 xn−1 + · · · + bn−2 x + bn−1
(bi ∈ A, i = 0, 1, . . . , n − 1) .
Nghĩa là
a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an
= (x − c)(b0 xn−1 + b1 xn−2 + · · · + bn−2 x + bn−1 ) + f (α)
Đồng nhất các hệ tử của 2 vế, ta có bảng sau, gọi là lược đồ Horner
a0

a1

...

α b0 = a0 b1 = a1 + αb0 . . .

Footer Page 14 of 161.

an
f (α) = an + αbn−1

7


Header Page 15 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội
Định nghĩa 1.4. Giả sử m là 1 số tự nhiên khác 0. Một phần tử
α ∈ A gọi là nghiệm bội m của đa thức f (x) ∈ A[x] nếu và chỉ nếu
.
.
f (x)..(x − α)m và f (x) ..(x − α)m+1
Tính chất 1.1.1.
α là nghiệm bội m của f (x) ⇔




f (α) = f 1 (α) = f m−1 (α) = 0



m

.

f (α) = 0

Định lý 1.6. Định lí Viete
Cho f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ A[x] là 1 đa thức bất
kì và α1 , α2 ,. . . ,αn là những nghiệm của đa thức f(x).
Khi đó
f (x) = a0 (x − α1 )(x − α2 ) . . . (x − αn ).
Đồng nhất các hệ tử ta có




α1 + α2 + · · · + αn







α1 α2 + α1 α3 + · · · + αn−1 αn




...







α1 α2 . . . αn

−a1
a0
a2
=
a0
=

= (−1)n

.

(1.1)

an
a0

Công thức trên được gọi là công thức Viéte.

Nghiệm hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên
Nhận xét 1.1.

Với ∀f (x) ∈ Q[x] luôn tìm được a ∈ Q∗ để

f (x) = af1 (x), f1 (x) ∈ Z[x]. Do đó f (x) = 0 khi và chỉ khi f1 (x) = 0.

Footer Page 15 of 161.

8


Header Page 16 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

Để tìm được nghiệm hữu tỉ của đa thức f(x) ta chuyển về tìm nghiệm
hữu tỉ của đa thức với hệ số nguyên f1 (x).
Định lý 1.7. Cho f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ Z[x]
p
Nếu phân số tối giản là nghiệm của đa thức f(x) thì p|an ; q|a0 .
q
p
Định lý 1.8. Nếu phân số tối giản là nghiệm của đa thức
q
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an ∈ A[x],
.
thì với mọi số nguyên m ta có f (m)..(p − mq).
Trường hợp đặc biệt (p + q)|f (−1); (p − q)|f (1).

Nhận xét 1.2. Nếu α = ±1 là nghiệm của f (x) ∈ [Z] [x], α nguyên
f (1)
f (−1)
thì
và
đều nguyên.
1−α
1+α
1.1.5

Đa thức đồng dư

Định nghĩa 1.5.

Cho vành đa thức A[x], u(x), p(x), q(x) ∈ A[x] và

u(x) là đa thức khác 0. Ta nói rằng p(x) đồng dư với q(x) theo môđun
.
đa thức u(x) nếu (p(x) − q(x))..u(x) trong vành A[x].
Kí hiệu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)).
Tính chất 1.1.2. Cho p(x), q(x), ξ(x) ∈ A[x], u(x) = 0 .Ta có
1.

Với ∀ p(x), p(x) ≡ p(x)(mod u(x)).

2.

Với p(x), q(x) bất kì, nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) thì

q(x) ≡ p(x)(mod u(x)).

3.

Với ∀ p(x), q(x), r(x), nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) và

q(x) ≡ r(x)(mod u(x)) thì p(x) ≡ r(x)(mod u(x)).

Footer Page 16 of 161.

9


Header Page 17 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

Với ∀ p(x), q(x), r(x), nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) thì

4.

p(x)r(x) ≡ q(x)r(x)(mod u(x)).
Cho những đa thức bất kì p1 (x), p2 (x), . . . , pn (x), q1 (x), q2 (x),

5.

. . . , qn (x) và r1 (x), r2 (x), . . . , rn (x), nếu pi (x) ≡ qi (x)(mod u(x)),
i = 1, 2, . . . , n thì
r1 (x)p1 (x)+· · ·+un (x)pn (x) ≡ r1 (x)q1 (x)+· · ·+un (x)qn (x)(mod u(x)).
6.

Với các đa thức bất kì p(x), q(x), r(x), nếu p(x) + q(x) ≡ r(x)

(mod u(x)) thì p(x) ≡ r(x) − q(x)(mod u(x)).
7.

Cho những đa thức bất kì p1 (x), p2 (x), . . . , pn (x), q1 (x), q2 (x),

. . . , qn (x), nếu pi (x) ≡ qi (x)(mod u(x)), i = 1, 2, . . . , n
thì p1 (x)p2 (x) . . . pn (x) ≡ q1 (x)q2 (x) . . . qn (x)(mod u(x)).
8.

Với p(x) và q(x) bất kì và mọi số tự nhiên t,

nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) thì pt (x) ≡ q t (x)(mod u(x)).
9.

Với p(x), q(x), f (x), nếu p(x) ≡ q(x)(mod u(x)) thì

f (p(x)) ≡ f (q(x))(mod (x)).

1.2
1.2.1

Vành đa thức nhiều ẩn
Vành đa thức nhiều ẩn

Ta xây dựng vành đa thức của n ẩn lấy hệ tử trong một vành A bằng
phuơng pháp qui nạp.
Định nghĩa 1.6. Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị.
Ta đặt

A1 = A[x1 ] là vành đa thức 1 ẩn x1 trên A.
A2 = A1 [x2 ] là vành đa thức 1 ẩn x2 trên A1 .

Footer Page 17 of 161.

10


Header Page 18 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

A3 = A2 [x3 ] là vành đa thức 1 ẩn x3 trên A2 .
..
.
An = An−1 [xn−1 ] là vành đa thức 1 ẩn xn trên An−1 ,
vành An = An−1 [xn ], kí hiệu là A[x1 , x2 , . . . , xn ] và gọi là vành đa thức
của n ẩn x1 , x2 , . . . , xn lấy hệ tử trong vành A.
Một phần tử của An gọi là một đa thức của n ẩn x1 , x2 , . . . , xn lấy
hệ tử trong vành A, người ta kí hiệu nó bằng f (x1 , x2 , . . . , xn ) hay
g(x1 , x2 , . . . , xn ) , ...
1.2.2

Bậc của đa thức nhiều ẩn

Định nghĩa 1.7. Giả sử f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ A[x1 , x2 , . . . , xn ] là 1 vành
đa thức khác 0.
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = c1 xa111 . . . xan1n + . . . + cm xa1m1 . . . xanmn
với ci = 0, i = 1, . . . , m và (ai1 , . . . , ain ) = (aj1 , . . . , ajn ) khi i = j.

Ta gọi bậc của đa thức f (x1 , . . . , xn ) đối với ẩn xi số mũ cao nhất mà
xi có được trong các hạng tử của đa thức.
Nhận xét 1.3.

Nếu trong đa thức, ẩn xi không có mặt thì bậc của

f (x1 , . . . , xn ) đối với nó bằng 0.
Ta gọi bậc của hạng tử ci xa1i1 . . . xanin là tổng các số mũ ai1 +ai2 +· · ·+ain
của các ẩn.
Bậc của đa thức ( đối với toàn thể các ẩn ) là số lớn nhất trong các
bậc của các hạng tử của nó.
Đa thức 0 là đa thức không có bậc.
Nếu các hạng tử của f (x1 , x2 , . . . , xn ) có cùng bậc k thì f (x1 , x2 , . . . , xn )

Footer Page 18 of 161.

11


Header Page 19 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

gọi là đa thức đẳng cấp bậc k hay 1 dạng bậc k.
Ta sắp xếp các bộ số mũ của các hạng tử trong đa thức theo quan hệ
thứ tự trên Nn như sau
(a1 , . . . , an ) < (b1 , . . . , bn ) khi và chỉ khi có 1 chỉ số i sao cho a1 = b1 ,
. . . , ai−1 = bi−1 , ai < bi .
Khi đó, tương ứng với bộ số mũ lớn nhất là hạng tử cao nhất của đa

thức đó.
1.2.3

Đa thức đối xứng

Định nghĩa 1.8.

Đa thức f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ A[x1 , x2 , . . . , xn ]

được gọi là đa thức đối xứng nếu
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (xi1 , xi2 , . . . , xin )
với (i1 , i2 , . . . , in ) là hoán vị bất kì của 1, 2, . . . , n.
Nói cách khác, 1 đa thức là đa thức đối xứng nếu nó không thay đổi
khi thay đổi vai trò của biến cho nhau trong dạng khai triển của nó.
Các đa thức đối xứng cơ bản
σ1 = x1 + x2 + · · · + xn
σ2 = x1 x2 + x1 x3 + · · · + xn−1 xn
...
σk = x1 x2 . . . xk + · · · + xn−k+1 . . . xn−1 xn
...
σ n = x 1 x 2 . . . xn .

Định lý về sự biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức

Footer Page 19 of 161.

12


Header Page 20 of 161.

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

đối xứng cơ bản
Định lý 1.9. Mọi đa thức đối xứng f (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ A[x1 , x2 , . . . , xn ]
đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng một đa thức ϕ(σ1 , σ2 , . . . , σn )
của các đa thức đối xứng cơ bản σ1 , σ2 , . . . , σn với các hệ tử trong A.
*Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đa thức đối
xứng cơ bản
- Phương pháp dựa theo hạng tử cao nhất của đa thức.
-Phương pháp hệ tử bất định.

1.3

Tổng lũy thừa

Định nghĩa 1.9. Cho k ≥ 0 là một số nguyên không âm bất kì và
x1 , x2 , . . . .xn là những số thực. Đa thức đối xứng
Sk = xk1 + xk2 + . . . + xkn
gọi là tổng lũy thừa bậc k của x1 , x2 , . . . , xn .
Định lý 1.10. Tổng lũy thừa Sk = xk + y k thỏa mãn những đẳng thức
sau
S0 = 2, S1 = σ1 , S2 = σ12 − 2σ2 , Sk = σ1 Sk−1 − σ2 Sk−2 , k ≥ 3.
Chứng minh.
Ta có

S0 = x0 + y 0 = 2
S1 = x + y = σ1
S2 = x2 + y 2 = (x + y)2 − 2xy = σ12 − 2σ2 .

Với k ≥ 3 ta có Sk = xk + y k = (xk−1 + y k−1 )(x + y) − xy(xk−2 + y k−2 )

Footer Page 20 of 161.

13


Header Page 21 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

Suy ra Sk = σ1 Sk−1 − σ2 Sk−2 .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Công thức trên cho phép tính Sk theo Sk−1 và Sk−2 .
Từ công thức trên ta suy ra được các biểu thức sau
S 1 = x + y = σ1 ,
S2 = σ12 − 2σ2 ,
S3 = σ13 − 3σ1 σ2 ,
S4 = σ14 − 4σ12 σ2 + 2σ22 ,
S5 = σ15 − 5σ13 σ2 + 5σ1 σ22 .
Định lý 1.11. Tổng lũy thừa Sk = xk + y k + z k thoản mãn các đẳng
thức sau
S0 = 3, S1 = σ1 , S2 = σ1 S1 − 2σ2 , S3 = σ1 S2 − σ2 S1 + 3σ3 ,
Sk = σ1 Sk−1 − σ2 Sk−2 + σ3 Sk−3 , k ≥ 4.
Chứng minh.
Với k = 0, 1, 2 ta có
S0 = x0 + y 0 + z 0 = 3,
S1 = x + y + z = σ1 ,

S2 = x2 + y 2 + z 2 = (x + y + z)2 − 2(xy + yz + zx) = σ1 S1 − 2σ2 .
Lại có
(x + y + z)x2 = x3 + x2 y + zx2 = x3 + x2 y + zx2 + xyz − xyz
= x3 + x(xy + yz + zx) − xyz = x3 + σ3 x − σ3
Suy ra

x 3 = σ1 x 2 − σ2 x + σ3 .

Footer Page 21 of 161.

14


Header Page 22 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

Tương tự ta nhận được
y 3 = σ1 y 2 − σ2 y + σ3 , z 3 = σ1 z 2 − σ2 z + σ3 .
Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta có
S3 = σ1 S2 − σ2 S1 + 3σ3 .
Nhân ba đẳng thức trên lần lượt với xk−3 , y k−3 , z k−3 , với k ≥ 4 ta có
xk = σ1 xk−1 − σ2 xk−2 + σ3 xk−3 ,
y k = σ1 y k−1 − σ2 y k−2 + σ3 y k−3 ,
xk = σ1 z k−1 − σ2 z k−2 + σ3 z k−3 .
Cộng theo vế từng bất đẳng thức này ta nhận được với k ≥ 4
Sk = σ1 Sk−1 − σ2 Sk−2 + σ3 Sk−3 .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dựa vào công thức trên ta tính được

S1 = σ1 , S2 = σ12 − 2σ2 , σ3 = σ13 − 3σ1 σ2 + 3σ3 ,
S4 = σ44 − 4σ12 σ2 + 2σ22 + 4σ1 σ3 ,
S5 = σ15 − 5σ13 σ2 + 5σ1 σ22 + 5σ12 σ3 − 5σ2 σ3 ,
S6 = σ16 − 6σ14 σ22 − 2σ23 + 6σ13 σ3 − 12σ1 σ2 σ3 + 3σ32 .

Footer Page 22 of 161.

15


Header Page 23 of 161.

Chương 2
Ứng dụng của đa thức 1 ẩn
2.1
2.1.1

Xác định đa thức
Một số dạng toán và bài tập minh họa

Dạng 1 Xác định đa thức bậc n khi biết (n+1) giá trị của
đa thức
Bài tập 2.1.1.

Tìm đa thức bậc ba P(x) biết

P (0) = 10, P (1) = 12, P (2) = 4, P (3) = 1.
Lời giải.
Gọi đa thức cần tìm là f (x) = ax3 + bx2 + cx + d .
Theo bài ra ta có

P (0) = 10 ⇒ d = 10
P (1) = 12 ⇒ a + b + c + 10 = 12
P (2) = 4 ⇒ 4a + 2b + c + 10 = 4
P (3) = 1 ⇒ 9a + 3b + c + 10 = 1

Footer Page 23 of 161.

16


Header Page 24 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

Từ đó ta có hệ




d = 10






a + b + c = 2




4a + 2b + c = −6






9a + 3b + c = −9



5


a
=


2



−25

b =
2
⇔




c = 12






d = 10

5
25
Vậy đa thức phải tìm là f (x) = x3 − x + 12x + 10.
2
2

Bài tập 2.1.2. Tìm đa thức bậc ba P(x) biết
P (0) = 10, P (1) = 12, P (2) = 4, P (3) = 1 .
Lời giải.
Gọi đa thức cần tìm là f (x) = ax3 + bx2 + cx + d .
Theo bài ra ta có
P (0) = 10 ⇒ d = 10 .
P (1) = 12 ⇒ a + b + c + 10 = 12 .
P (2) = 4 ⇒ 4a + 2b + c + 10 = 4 .
P (3) = 1 ⇒ 9a + 3b + c + 10 = 1 .
Từ đó ta có hệ phương trình sau





d = 10






a + b + c = 2



4a + 2b + c = −6






9a + 3b + c = −9

Footer Page 24 of 161.

17



5


a

=


2



−25

b =
2
⇔



c = 12






d = 10


Header Page 25 of 161.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Đỗ Thị Hải Yến

5
25
Vậy đa thức phải tìm là f (x) = x3 − x + 12x + 10 .
2
2
Dạng 2 Xác định đa thức khi biết một số phép tính khác
Bài tập 2.1.3.

Đa thức f(x) nếu chia cho x − 1 được số dư bằng

4, nếu chia cho x − 3 được số dư bằng 14.
Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x − 1)(x − 3).
Lời giải.
Cách 1
Gọi thương của phép chia f(x) cho x − 1 và x − 3 theo thứ tự lần lượt
là A(x), B(x).
Ta có
f (x) = (x − 1)A(x) + 4 ∀x,

(1)

f (x) = (x − 3)B(x) + 14 ∀x.

(2)

Gọi thương của f(x) cho (x − 1)(x − 3) là C(x) và dư là R(x).
Vì bậc của R(x) nhỏ hơn bậc của số chia nên degR(x) < 2 .
Suy ra

R(x) = ax + b .

Ta có f (x) = (x − 1)(x − 3)C(x) + ax + b∀x .
Thay

x = 1 vào (1) và biểu thức trên có f (1) = a + b .

Thay

x = 3 vào (2) và biểu thức trên có
f (3) = 14
f (3) = 3a + b.

Footer Page 25 of 161.

18