Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích toán học

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học giải tích chiếm một vị trí rất quan trọng. Các kết quả
nghiên cứu được trong giải tích không chỉ áp dụng vào các lĩnh vực khác
nhau của toán học mà còn áp dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý,
hóa học, thiên văn học, …
Mặt khác, trong giải tích các kết quả nghiên cứu về lý thuyết chuỗi có ý
nghĩa rất lớn về cả mặt lý thuyết lẫn thực hành. Vì vậy trong khóa luận này
em chọn đề tài “Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi trong giải tích
toán học”.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nhằm hệ thống lại những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi
trong giải tích toán học.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu những nội dung cơ bản về: Chuỗi số, chuỗi hàm,
chuỗi lũy thừa, chuỗi Fourier.
4. Đối tượng và phạm vi nhiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Những nội dung cơ bản của lý thuyết chuỗi.
Phạm vi nghiên cứu: Học phần giải tích 2.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu, phân tích các tài liệu.
- Hệ thống các vấn đề.
- Sưu tầm, giải quyết các bài toán.
- Tống kết kinh nghiệm.

Phan Thị Nhài

1

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

NỘI DUNG
Chương 1. CHUỖI SỐ
1.1. Chuỗi số và tính chất
Định nghĩa 1.1. Cho dãy số an , tổng vô hạn a1
là chuỗi số và kí hiệu

an hoặc
n 1

a2 ... an

... được gọi

an .
n

1

n

Ta gọi Sn =

k 1

riêng của chuỗi số

ak là tổng riêng thứ n, dãy Sn được gọi là dãy tổng

an .
n 1

Định nghĩa 1.2. Cho chuỗi số

an có dãy tổng riêng là Sn . Nếu Sn hội
n 1

tụ tới S thì ta nói chuỗi

an hội tụ và gọi S là tổng của chuỗi số. Kí hiệu
n 1

S

an .
n 1

Nếu dãy Sn phân kì thì chuỗi

an được gọi là chuỗi phân kì.
n 1

Định nghĩa 1.3. Nếu chuỗi số

an hội tụ về S thì với mọi n nguyên dương
n 1

hiệu S Sn được gọi là phần dư thứ n của chuỗi. Kí hiệu: rn
Dễ thấy rn

ak .
k n 1

Từ các định nghĩa trên, dễ dàng suy ra được định lý sau

Phan Thị Nhài

2

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Định lí 1.1. Điều kiện cần và đủ để chuỗi

an hội tụ là chuỗi
n 1

ak hội
k n 1

tụ.
Từ tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ dãy số ta có tiêu chuẩn Caychy về
sự hội tụ của chuỗi số như sau:
Định lí 1.2. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi

an hội tụ khi và chỉ khi

0

n 1

n0

n n0 p N ta đều có

n0 ( ) N sao cho

an 1 an
Hệ quả. Nếu chuỗi số

2

... an

an hội tụ thì lim an

0.

n

n 1

.

p

Nhận xét. Kết quả này có thể sử dụng để kiểm tra tính phân kỳ của chuỗi.
Nhưng lưu ý rằng đó chỉ là điều kiện cần của sự hội tụ, mà không phải là điều
kiện đủ.
Ví dụ. Chuỗi điều hòa
n 1

1
có số hạng tổng quát an
n

nhưng chuỗi này không hội tụ. Thật vậy,

an

1

an

2

... an

p0

1
2

0

1
n

1
n 1

1
n

0 ,

n

n N

p0

n sao cho

1
2n

n
2n

1
2

...

0

.

Từ tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra ngay chuỗi điều hòa không hội tụ.
Định lí 1.3. (Tính chất tuyến tính) Giả sử các chuỗi
tụ và có tổng lần lượt là A và B,

( .an

và

bk (2) hội

ak (1) và
k 1

k 1

là các hằng số thực. Khi đó

.bn ) cũng là chuỗi hội tụ và có tổng bằng S

A

B.

n 1

Phan Thị Nhài

3

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chứng minh. Đặt Sn

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
n

n

ak

n

bk

ak

k 1

bk

k 1

An

Bn trong

k 1

đó An, Bn lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi (1) và (2). Khi đó tồn tại

S

lim Sn
n

lim
n

An

Bn

A

B. W

Định lí 1.4. (Tính chất kết hợp) Nếu các số hạng của chuỗi hội tụ được gộp

lại thành từng nhóm (nhưng không làm thay đổi thứ tự của chúng) thì chuỗi
mới thu được cũng hội tụ và có tổng bằng tổng của chuỗi đã cho.
Chứng minh. Giả sử chuỗi

a1 a2 ... an ... (1) hội tụ. Ta nhóm

an
n 1

một cách tùy ý các số hạng kề nhau (không làm thay đổi thứ tự của chúng):

a1

a2

... an1

Đặt V1

a1

a2

an1

... an2

1

....

ank

... an1 , Vk

1

ank
...

1

1

1

ank (k

... ank

...

2). Ta chứng

Vk (3) hội tụ và có tổng bằng S.

minh
k 1

Thật vậy, dãy các tổng riêng của (1):

S1

a1

S2

a1

a2

...
Sn

a1

a2

...

an

...
chứa dãy các tổng riêng của (3):

Sn1

a1

a2

Sn2

an1

1

...
Snk

ank

1

... an1
... an2
... ank

1

V1
V2
Vk

...

Phan Thị Nhài

4

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Suy ra dãy {Vk } hội tụ và lim Vk

lim S n

k

S .W

n

Nhận xét. Điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn chuỗi

1 1

1 1

...

hội tụ nhưng chuỗi 1 1 1 1 ...

1 1
n 1

1

...
( 1) n 1 phân kì vì

...
n 1

dãy tổng riêng Sn của chuỗi không tồn tại giới han lim Sn .
n

Định lí 1.5. (Dirichlet ) Giả sử rằng:
i) Chuỗi số

an có dãy tổng riêng bị chặn, tức là tồn tại một số M > 0
n 1

M với mọi n.

sao cho |An| = |a1 + a2 + ... + an|

ii) {bn} là dãy đơn điệu giảm và lim bn

0.

n

Khi đó chuỗi

an .bn hội tụ.

n

1

Chứng minh. Chọn số M sao cho |An|
tồn tại số tự nhiên N sao cho bn

an 1bn
An

1

1

an 2bn
An bn

1

An

Anbn

1

bn

1

bn

2

M bn

1

bn

1

bn

2

2Mbn

1

2M

An

1

1

...

...

bn

2

An

n N . Với

0 cho trước,

p N ta có

n>N

2M

... an pbn

2

2M

M,

p

bn

2

...

An

bn

p 1

bn

p 1

bn

p

An

p

p

An

bn

p

p 1

p 1

bn

p

An pbn

p

.

Từ tiêu chuẩn Cauchy ta có điều phải chứng minh. W

Phan Thị Nhài

5

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Định lí 1.6. (Abel) Giả thiết:
i) Chuỗi

an hội tụ.

n 1

ii) Dãy{bn} đơn điệu và bị chặn.
Khi đó chuỗi

an .bn hội tụ.
n

1

Chứng minh. Do dãy bn là dãy đơn điệu và bị chặn cho nên hội tụ đến b
nào đó, ta xét dãy cn với cn

bn b và áp dụng dấu hiệu Dirichlet ta cũng

có điều cần chứng minh, vì rằng

an .bn =
n

1

an .cn + b
n

1

an . W
n

1

1.2. Chuỗi số dương
Chuỗi số

an được gọi là chuỗi số dương nếu mọi số hạng an của
n 1

chuỗi đều dương.
Dễ dàng suy ra được định lý sau
Định lí 1.7. (Điều kiện cần và đủ) Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương hội
tụ là dãy tổng riêng của nó bị chặn.
Để chứng minh một chuỗi số dương hội tụ ta thường sử dụng một trong
các dấu hiệu (không chứng minh) sau:
Định lí 1.8. (Dấu hiệu so sánh thứ nhất) Giả sử

bn là hai chuỗi số

an và
n 1

n 1

dương thỏa mãn điều kiện: Tồn tại một số tự nhiên n 0 và một hằng số C > 0
sao cho an

bn với mọi n n0 . Khi đó:

i. Nếu chuỗi

bn hội tụ thì chuỗi
n 1

n 1

Phan Thị Nhài

an hội tụ.

6

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

ii. Nếu chuỗi

an phân kì thì chuỗi

bn phân kì.

n 1

n 1

Định lí 1.9. (Dấu hiệu so sánh thứ 2) Cho hai chuỗi số dương
n 1

Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim
n

an
bn

bn .

an và
n 1

k.

Khi đó:
a) Nếu 0 k

thì hai chuỗi

bn cùng hội tụ hoặc cùng

an và
n 1

n 1

phân kì.
b) Nếu k = 0 và

bn hội tụ thì

an hội tụ.
n 1

n 1

c) Nếu k

bn phân kỳ thì

và

an phân kỳ.
n 1

n 1

Ví dụ. Dễ dàng kiểm tra được nếu các chuỗi

å

å

an2 và

n³ 1

2

chuỗi

(an bn ) ,
n 1

anbn ,
n 1

n 1

n³ 1

an
cũng hội tụ.
n
2

Thực vậy, xét chuỗi

bn2 hội tụ thì các

(an bn ) . Ta có an

bn

2

2 an2

bn2 .

n 1

Do các chuỗi

å

an2 và

n³ 1

å

bn2 hội tụ nên chuỗi

n³ 1

an2

bn2 cũng hội

n 1

2

tụ. Vì vậy theo dấu hiệu so sánh thứ nhất, chuỗi

(an bn ) hội tụ.
n 1

Tương tự, với đánh giá:

suy ra các chuỗi

anbn ,
n 1

Phan Thị Nhài

n 1

an
n

1 2
an
2

1
, anbn
n2

1 2
an bn2 ta cũng
2

an
hội tụ.
n

7

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Nhận xét. Sử dụng dấu hiệu so sánh người ta thường so sánh với các chuỗi
trội hay dễ thấy sự hội tu hay phân kì của chúng.
Định lí 1.10. (Dấu hiệu tích phân Cauchy) Cho chuỗi số dương

an . Giả sử
n 1

f x

là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên [1,

f n

an n 1,2,...

) sao cho

Khi đó:
x

1) Nếu tồn tại lim
x

f (t ) dt hữu hạn thì chuỗi

an hội tụ.
n 1

1

x

2) Nếu lim
x

f (t ) dt

an phân kì.

thì
n

1

1

Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số dương
n

Khi p 0 thì

1
np

1
là một hàm đơn diệu giảm trên 1,+
xp

x

và f n

dt
1
. Mặt khác lim p
p
x
n
t
1

Vậy chuỗi số
n

, nên chuỗi phân kỳ.

0 khi n

Khi p 0 , xét hàm f x

1
trong đó p là một tham số.
p

1n

1

nÕu p 1
1 p
nÕu 0 < p 1

1
hội tụ khi p 0 và phân kỳ khi p 0.
p
n
1

Định lí 1.11. (Dấu hiệu Cauchy) Cho chuỗi số dương

an , giả sử tồn tại
n 1

giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim n an
n

c.

Khi đó:

Phan Thị Nhài

8

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

1. Nếu c 1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
2. Nếu c 1 thì chuỗi đã cho phân kì.
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1 a ab a 2b a 2b2

... a nb n

1

a nb n

...

trong đó a, b là hai số dương khác nhau.
Kí hiệu số hạng tổng quát của chuỗi số đã cho là cn , ta có:

c2 k

a k 1b k

1

a k bk

c2 k

1

1

k 1,2,...
k 1,2,...

Xét giới hạn lim n cn :
n

+ Với n 2k 1 ta có lim 2 k 1 a k 1bk

1

k

+ Với n 2k ta có lim 2 k a k bk

1

ab .

k

Như vậy tồn tại lim n cn

ab .

ab . Theo dấu hiệu Cauchy, chuỗi hội tụ

n

nếu ab 1 và phân kì nếu ab 1 . Với ab 1 chuỗi phân kì vì số hạng tổng
quát không dần đến 0 khi n

.

Định lí 1.12. (Dấu hiệu D’Alembert) Cho chuối số dương

an . Giả sử tồn
n

tại giới hạn gữu hạn hay vô hạn lim
n

an 1
an

1

d . Khi đó:

1) Nếu d < 1 thì chuỗi số đã cho hội tụ.
2) Nếu d > 1 thì chuỗi đã cho phân kì.
Ví dụ. Chứng minh rằng nếu lim
n

an 1
an

q, an

0 thì an

0 q1n , trong đó

q1 q.
Giải. Từ giả thiết suy ra q

0 . Với q1

q , ta xét chuỗi
n

Phan Thị Nhài

9

an
n , trong đó
1 q1
K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

bn

an
q1n

0

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

n. Ta có lim
n

hiệu D’Alembert, chuỗi
n

Do đó lim
n

an
q1n

bn 1
bn

lim
n

an 1 q1n
.
q1n 1 an

lim
n

1 an 1
.
q1 an

q
1. Theo dấu
q1

an
hội tụ.
n
1 q1

0 q1n .

0 hay an

Chú ý. i) Các dấu hiệu Cauchy, D’Alembert không áp dụng được trong trường
hợp c 1 hay d 1, nhưng nếu từ một số n0 nào đó trở đi mà

an 1
1 thì có thể suy ra chuỗi
an
ii) Vì nếu tồn tại giới hạn lim
n

n

an

1 hay

an phân kì.
n 1

an 1
an

d thì lim n an
n

d nên nếu chuỗi

an
n 1

thỏa mãn dấu hiệu D’Alembert thì cũng thỏa mãn dấu hiệu Cauchy.
iii) Trong các dấu hiệu Cauchy hoặc D’Alembert nếu các giới hạn lim n an ,
n

lim

n

an 1
không tồn tại thì ta có thể thay bằng các giới hạn trên
an

lim n an , lim
n

n

an 1
các giới hạn này luôn tồn tại và có kết quả tương tự.
an

Định lí 1.13. (Dấu hiệu Raabe) Cho chuỗi số dương

an .
n

1

1) Nếu tồn tại một số r > 1 và một số tự nhiên n0 sao cho với mọi n
n0 ta đều có Rn

n

an
1
an 1

r

1 thì chuỗi

an hội tụ.
n

1

2) Nếu tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n n0 ta đều có Rn
thì chuỗi

1

an phân kì.
n

1

Phan Thị Nhài

10

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả. Giả sử

an là chuỗi số dương và tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô
n

hạn lim Rn

1

an
1
an 1

lim

n

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

n

R . Khi đó:

1) Nếu R > 1 thì chuỗi

an hội tụ.
n

1

2) Nếu R < 1 thì chuỗi

an phân kì.
n

1

Định lí 1.14. (Dấu hiệu Gauss) Cho

an là chuỗi số dương. Giả sử
n

an
an 1

n

n

1

n

trong đó

1

là một số dương,

n

là đại lượng bị chặn với

mọi n.
Khi đó:
1) Nếu

1 thì chuỗi

an hội tụ, nếu
n

2) Với

1: Nếu

1

an phân kì.
n

1 thì chuỗi

1

an hội tụ.
n

Nếu

1 thì chuỗi

1

1 thì chuỗi

an phân kì.
n

1

Nhận xét. Dấu hiệu Gauss là sự tổng hợp của các dấu hiệu D’Alembert và dấu
hiệu Raabe.
Ví dụ. Xét sự hội tụ của chuỗi số
n

a
Ta có n
an 1

Phan Thị Nhài

2n 1 !!
2n !!

p

1

2n 1 !!
2n !!

2n 2 !!
2n 1 !!

11

p

trong đó p là một tham số.

p

1
1
2n 1

p

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

p p 1
p
2n 1 2 2n 1 2

1

Theo dấu hiệu Gauss, nếu p

0

1
n2

khi n

2 thì chuỗi đã cho hội tụ, còn với p

2

thì chuỗi đã cho phân kì.
1.3. Chuỗi với các số hạng có dấu bất kỳ
Định nghĩa 1.4. Một chuỗi số có dạng

( 1) n 1an trong đó các số an cùng
n 1

dấu được gọi là chuỗi đan dấu. Để đơn giản ta luôn xem an
Định lí 1.15. (Dấu hiệu Leibniz) Nếu dãy an
lim an

n

0 thì chuỗi

0

n.

là dãy đơn điệu giảm và

( 1)n 1an hội tụ.
n

1

Chứng minh. Xét các tổng riêng S2n và S2n 1 ta có:

S2 n

a1 a2

a3

a4

S2 n 1
Nhận xét rằng

S2n

n

lim S2 n

n

lim S2 n

1

Do dãy S2n và dãy S2 n

n

n

K2 . Lấy N

lẻ) ta đều có Sn

Phan Thị Nhài

a2n 1.

lim a2 n

n

1

S.

S. Thật vậy, với mỗi

N sao cho S2k

2max K1, K2
S

a2 n

cùng có giới hạn S nên, trực tiếp từ định

1

nghĩa, ta dễ dàng suy ra rằng lim Sn

k

1

0 , nên

1

n

tại các số K1, K2

a2 n

là một dãy tăng, bị chặn trên bởi a1. Do đó

lim S2 n tồn tại. Hơn nữa lim a2 n

S

S2 n

...

S

,

k

0 bất kỳ, tồn

K1 và S2k

S

,

1 thì với mọi n > N (hoặc n chẵn hoặc n

, suy ra dãy Sn hội tụ đến S. W

12

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Chú ý. Trong định lí Leibniz giả thiết về tính đơn điệu giảm dần về 0 khi
n

+

của dãy an có ý nghĩa quan trọng vì có những ví dụ chứng tỏ rằng:

Mặc dù lim an
n

( 1)n 1an

0 nhưng an là dãy không đơn điệu thì chuỗi
n

1

2 ( 1)n
( 1) .
có thể phân kì. Chẳng hạn, chuỗi
là một chuỗi đan dấu có
n
n 1
n-1

2 ( 1) n
n

0 với n 1,2,3,... là dãy dần về 0 nhưng không đơn điệu, hơn nữa

( 1)n 1 an
trong đó chuỗi

( 1)n 1.
n 1

( 1) n 1.

2 ( 1) n
n

( 1) n -1.

2
n

1
n

2
hội tụ theo định lí Leibniz còn chuỗi
n

2 ( 1)n
( 1) .
kì. Vì vậy chuỗi
n
n 1
n 1

Định nghĩa 1.5. Chuỗi

( 1)n 1.
n 1

2
n

n

1
là một phân kì.
n
1

an gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
n 1

Nếu chuỗi

n

an hội tụ.
n 1

an hội tụ mà chuỗi
n 1

1
phân
1n

an phân kì thì ta nói chuỗi

an bán hội
n 1

n 1

tụ (hay hội tụ có điều kiện).
Từ định nghĩa trên ta có kết quả sau
Định lí 1.16. Mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
Nhận xét. Điều kiện

an hội tụ chỉ là điều kiện cần để chuỗi
n 1

n 1

Điều ngược lại không đúng. Chẳng hạn chuỗi

( 1)n
n 1

Leibniz. Tuy nhiên chuỗi

( 1)n
n 1

Phan Thị Nhài

an hội tụ.

1
n

n

13

1
hội tụ theo định lí
n

1
là chuỗi phân kì.
1 n

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Một tính chất quan trọng của chuỗi hội tụ tuyệt đối là định lí Dirichlet.
Định lí 1.17. (Định lí Dirichlet) Giả sử

an là chuỗi hội tụ tuyệt đối và có
n 1

tổng

an

N là một song ánh trong đó N là tập số tự nhiên.

:N

S.

n 1

Khi đó chuỗi

a

(n)

cũng hội tụ tuyệt đối và

a

n 1

(n)

S.

n 1

Nói một cách khác: Việc thay đổi thứ tự các số hạng của một chuỗi số

hội tụ tuyệt đối không làm thay đổi tính hội tụ và tổng của chuỗi đó.
Chứng minh. Theo giả thiết

an hội tụ tuyệt đối nên tồn tại một M

0 sao

n 1
n

ak

cho

n N , do đó chuỗi

M

k 1

a

(n)

hội tụ tuyệt đối.

n 1

Gọi Sn và Tn lần lượt là tổng riêng thứ n của các chuỗi

an và
n 1

khi đó lim Sn

S và với mọi

n

ak

nhiên n0 sao cho

2

k no

Đặt m0

1

max

n

.
1

lim Sn
n

1

(1), ...,

(n0 ) , khi đó với

n n0 ta có

n

ak
k 0

Do đó lim Tn

(n)

0 cho trước bao giờ cũng có một số tự

(0),

n

Sn Tn

a
n 1

a

ak

(k )

k 0

a

k n0 1

( k ) n0

(k )

2

2

S. W

Định lí 1.18. (Định lí Riemann) Giả sử chuỗi

an (A) hội tụ tuyệt đối.
n

1

Khi đó với số L cho trước (hữu hạn hay vô hạn) ta có thể hoán vị các
số hạng của chuỗi số (A) để nhận được một chuỗi số có tổng bằng L.

Phan Thị Nhài

14

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Chứng minh. Ta viết chuỗi (A) dưới dạng

an

cm trong đó:

bk

n 1

k

1

m

1

b1, b2, ...bk, ...là các số hạng dương của chuỗi số (A). c1, c2, ...,cm, ...là giá trị
tuyệt đối của các số hạng âm của chuỗi số (A).
Ta chú ý rằng

cm (C) đều là các chuỗi phân kì vì chuỗi

bk ( B) và
k 1

m 1

(A) hội tụ không tuyệt đối.
Trước hết, giả thiết L là một số hữu hạn. ta chọn k1 đủ lớn sao cho:

b1 b2 ... bk 1 L
b1 b2 ... bk 1 bk L
1

1

Sau đó chọn các số hạng c1, c2 ,..., cm1 sao cho

b1 b2 ... bk1

c1 c2 ... cm1

b1 b2 ... bk1

c1 c2 ... cm1

L

1

L

Tiếp tục chọn k2 sao cho
k1

m1

bj

k2 1

ci

j 1

i 1

j k1 1

k1

m1

k2

bj

ci

j 1

i 1

bj

L

bj

L

j k1 1

Sau đó chọn m2 sao cho
k1

m1

bj

k2

ci

m2 1

bj

j 1

i 1

j k1 1

i m1 1

k1

m1

k2

m2

bj
j 1

ci

bj

i 1

j k1 1

ci

L

ci

L

i m1 1

Tiếp tục quá trình này đến vô hạn ta nhận được chuỗi đan dấu

B1 C1 B2 C2

Phan Thị Nhài

15

B3 C3 ...

D

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
k1

trong đó

k3

k2

B1

b j ; B2

b j ; B3

j 1

j k1 1

m1

C1

b j ; ...
j k2 1
m3

m2

ci ; C2

ci ; C3

i 1

i k1 1

ci ; ...
i m2 1

Khi đó dãy tổng riêng Sn của chuỗi D có tính chất:
S2l
S2l

L

1

cml

L

bkl
l 1,2,3,...

Vì chuỗi A hội tụ nên bkl và cml đều dần đến 0 khi l
Vậy lim Sn

L

Nếu L

thì ta chọn chuỗi D sao cho dãy tổng riêng Sn của nó

n

0.

lần lượt lớn hơn 1, 2, 3, …khi đó tổng của chuỗi D sẽ là
Trường hợp L

Phan Thị Nhài

.

được là tương tự. W

16

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Chương 2. CHUỖI HÀM
2.1. Dãy hàm
2.1.1. Khái niệm. Điều kiện hội tụ đều của dãy hàm
Dãy hàm là một họ đếm được các hàm số xác định trên một tập U nào
đó được đánh số theo thứ tự tăng dần, kí hiệu f n .
Định nghĩa 2.1. Cho dãy hàm f n xác định trên U.

f n hội tụ tại x0

Ta nói dãy hàm
nếu tại x0 dãy số f n x0
Nếu dãy hàm

U nếu dãy số f n x0

hội tụ, còn

phân kì thì ta nói dãy hàm f n phân kì tại x0.

f n hội tụ tại mọi điểm x U thì ta nói dãy hàm

hội tụ trên U và khi đó hàm số f xác định trên U sao cho f(x)

lim f n ( x) với

n

x U được gọi là giới hạn của dãy hàm f n trên tập U. Kí hiệu: f n
Định nghĩa 2.2. Ta nói dãy hàm

fn

U

f.

f n hội tụ đều đến hàm f trên tập A và kí

A

hiệu f n

n0

n0

f nếu với mỗi số dương

cho trước tồn tại số tự nhiên

sao cho với mọi n n0 ta đều có
fn x

f x

x

A.

Định lí 2.1. (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để dãy hàm f n hội tụ
đều trên A là

0

n0

n0
fn x

N sao cho n, m n0 ta đều có
fm x

x A.
A

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử

n0

n0

fn

N sao cho n n0 ta đều có f n x

f

f x

khi đó

2

x

0
A nên

với m, n n0 ta có

Phan Thị Nhài

17

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

fm

fn

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

fn x

f x

fm x

f x

Điều kiện đủ: Giả sử với ε 0 cho trước

m, n n0

fn x

tồn tại f(x)

2
n0

lim f n ( x) . Từ bất đẳng thức f n x

N

n0

x A . Khi đó dãy f n x

fm x

x

2

sao cho

là dãy cơ bản nên
cố định n cho

fm x

n

A

A

ta dẫn đến f n x

m

f x

A . Vậy f n

n n0 x

f. W

Định lí 2.2. Dãy hàm f n hội tụ đều đến hàm f trên A khi và chỉ khi
limsup f n ( x)
n

0.

f ( x)

A

A

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử

n0

n0

fn

f

khi đó

0

N sao cho n n0 ta đều có
fn x

f x

x

2

sup f n ( x)

A

n n0

f ( x)

A

limsup f n ( x)
n

Điều kiện đủ: Giả sử limsup f n ( x)
n

nhỏ tùy ý n0

n0

f ( x)

0.

A

f ( x)

0 , khi đó với

0 cho trước

A

N sao cho n n0
sup f n ( x)

f ( x)

A

fn x

sup f n ( x)

f x

f ( x)

.

A

Điều này có nghĩa là dãy hàm f n hội tụ đều trên A đến f. W
Định lí 2.3. (Weierstrass) Dãy hàm

f n là hội tụ đều đến hàm f trên tập A

nếu tồn tại dãy số dương an hội tụ đến 0 và thỏa mãn điều kiện
Phan Thị Nhài

18

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

fn x

f x

an

n 1,2,... x

A

Chứng minh. Do dãy an hội tụ đến 0 nên, với mỗi số dương

nhỏ tùy ý

tồn tại số tự nhiên n0 (đủ lớn) sao cho mọi số tự nhiên n lớn hơn n0 ta đều có
an

kết hợp với điều kiện của định lý ta có
fn x

f x

an

A.

x

Vậy f n hội tụ đều đến hàm f trên tập A. W
2.1.2. Tính chất hàm giới hạn của dãy hàm

Định lí 2.4. (Tính liên tục) Giả sử rằng:
a) f n là dãy hàm hội tụ đều trên tập A đến hàm f.
b) fn ( n = 1, 2, …) là các hàm liên tục trên A.
Khi đó f là một hàm liên tục trên A.
Chứng minh. Lấy x0 bất kì thuộc tập A, ta sẽ chứng minh hàm f liên tục tại x0.
A

cho trước

f nên tồn tại số tự nhiên n0 sao cho

0 vì f n

fn x

Lấy n1
sao cho f n1 x

f x

3

x

n n0

A.

n0 vì hàm f n1 liên tục tại x0 nên tồn tại một số
f n1 x0

3

x

x

, x0

0

A | x x0

Như vậy
f ( x)

f ( x0 )

3

3

3

f ( x)
x

f n1 ( x)
x

f n1 ( x)

A x x0

f n1 ( x0 )

f n1 ( x0 )

f ( x0 )

.

Điều có nghĩa là hàm f liên tục tại x0, do x0 là điểm bất kì thuộc A, ta
suy ra f liên tục trên A. W

Phan Thị Nhài

19

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Định lí 2.5. (Qua giới hạn dưới dấu tích phân) Giả thiết:

R n 1,2,... là các hàm khả tích trên a, b .

a) f n : a, b

b) Dãy hàm f n hội tụ đều đến hàm f trên a, b .
Khi đó f là hàm khả tích trên a, b và
b

lim
n

b

b

f n x dx

f ( x)dx

a

a

lim f n ( x)dx .

a

n

a ,b

Chứng minh. Từ giả thiết f n

f , với

f n ( x)
Chọn n1

f ( x)

0

4 b a

N

n0

n0

x

a, b .

n n0

n0 và cố định n1 , từ tính khả tích của f n1 trên a, b suy ra

tồn tại δ > 0 sao cho với mọi phân hoạch T của a, b bởi các điểm chia

a x0 x1 ... xn b
n

mà đường kính d T

ta có

i

xi

i 1

f n1 trên xi 1, xi còn xi

xi

2

trong đó

i

là giao độ của hàm

xi 1.

Từ bất đẳng thức
f ( x)

x, x '

f ( x ')

f ( x)

xi 1, xi ta suy ra

f trên xi 1, xi . Do đó

f n1 ( x)
i

f n1 ( x)

2(b a )

i

f n1 ( x ')

trong đó

f n1 ( x ')
i

n
i

xi

i 1

2

2

khi d T

f ( x ')

là giao độ của hàm
, có nghĩa là hàm f

khả tích trên a, b .
Mặt khác do |f n ( x)

Phan Thị Nhài

f ( x) |

4 b a

20

n n0 x

a, b ta có

K33C – Toán

Khóa luận tốt nghiệp
b

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

b

f n ( x)

b

f ( x)

a

f n ( x)

a

f ( x)

a

4(b a)

b

4

n n0 .

b

Điều đó chứng tỏ rằng lim f n x dx
n

(b a)

f ( x)dx. W

a

a

Hệ quả. Nếu mọi hàm của dãy hàm

f n đều liên tục trên a, b và f n hội

tụ đều đến f trên a, b thì f liên tục trên a, b và
b

b

lim f n x dx

n

f ( x)dx.

a

a

Chú ý. Nếu chỉ thỏa mãn điều kiên hội tụ đều thì chưa đủ để có kết luận trên.
Ví dụ. Chứng minh rằng dãy hàm f n x
1

đoạn 0,1 nhưng

nxe

nx 2

, n 1,2,... hội tụ đều trên

1

lim f n x dx lim f n x dx.
0

n

n

0
1

Giải. Ta có lim f n x
n

1

lim nxe
n

0

nxe

nx 2

dx

0
1

lim f n x dx lim
n

0

n

1

Vậy

0

x

0,1 . Do đó lim f n x dx 0.
0

1

f n x dx

Tuy nhiên

nx 2

1
e
2

1
1 e
2

nx 2

n

1
0

1
2

1
e
2

n

n

1
.
2

1

lim f n x dx lim f n x dx.
0

n

n

0

Định lí 2.6. (Qua giới hạn dưới dấu đạo hàm) Giả thiết:
a) Các hàm fn: a, b

R khả vi trên a, b

b) Dãy hàm f n hội tụ tại một điểm

n 1,2,...

(a, b).

c) Dãy đạo hàm f n' hội tụ đều trên a, b đến hàm g trên a, b .

Phan Thị Nhài

21

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Khi đó:
1) Dãy hàm f n hội tụ đều trên đến a, b hàm f.
2) f khả vi trên a, b và f ’(x) = g(x)
Chứng minh. 1) Theo giả thiết b), c) với
số tự nhiên n n0

fn

sao cho

fm

2

x

a, b .

0 cho trước bao giờ cũng tồn tại

n, m n0

và | f n' ( x)

f m' ( x) |

x ( a , b) .

2(b a)

Áp dụng định lý số gia giới nội Lagranger với hàm f n
fn x

fm x

fn

fm

f n' (c)

f m' (c) x

fm

fn

fm
x

2(b a)

2

Khi đó

fn x

fm x

fn x

n, m n0

fm x

fn

n

f n hội tụ đều trên a, b đến hàm f

2) Lấy tùy ý x0 (a, b) , ta chứng minh f khả vi tại x0 và f ' ( x0 )

Theo giả thiết c) với

f n1 , tồn tại

3

2

x ( a , b) .

lim f n x

f n' ( x) g ( x)

2

x ( a , b) .

Điều đó chứng tỏ rằng dãy hàm
với f x

fm

x

0 sao cho

g ( x0 ) .

0 tồn tại số tự nhiên n0 sao cho

a, b , lấy n1 cố định và n1

x (a, b) , mà x x0
f n1 ( x)

f n1 ( x0 )

x x0

f n'1 ( x)

n n0

n0 , do tính khả vi của
ta có

3

.

Áp dụng định lý số gia giới nội và dựa vào tính hội tụ đều của dãy đạo
hàm f n' ta có

Phan Thị Nhài

22

K33C – Toán

Khóa luận tốt nghiệp

f n1 ( x)

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

f m ( x)

f n1 ( x0 )

f m ( x0 )

f n'1 ( )

x x0
Từ đó cho m

f ( x)

x x0

f ( x) f ( x0 )
x x0

Kết hợp với các kết quả ở trên ta có: Với

g ( x0 )

m n1

3

ta nhận được

+

f n1 ( x)

f ( x) f ( x0 )
x x0

f m' ( )

f n1 ( x)

f ( x) f ( x0 )
x x0

x

3

.

a, b và x x0

f n1 ( x0 )

f n1 ( x)

x x0

f n'1 ( x0 ) g ( x0 )

3

3

3

f n1 ( x0 )

x x0

f n'1 ( x0 )

.

Điều này có nghĩa là hàm f khả vi tại x0 và f ' ( x0 )

g ( x0 ) . W

2.2. Chuỗi hàm
2.2.1. Điều kiện và dấu hiệu hội tụ đều của chuỗi hàm
Chuỗi hàm là tổng hình thức u1 + u2 + … + un + … =

un x (2.2).
n 1

Trong đó un x

n 1,2,... là các hàm cùng xác định trên một tập U nào đó,

các tổng riêng Sn x

n

uk x của chuỗi (2.2) lập thành một dãy hàm xác

k 1

định trên U, kí hiệu Sn .
Nếu dãy các tổng riêng Sn hội tụ tại x0 U thì ta nói chuỗi hàm (2.2)
hội tụ tại điểm x0 . Nếu dãy Sn

phân kì tại x0 thì ta nói chuỗi hàm (2.2)

phân kì tại x0 .
Nếu dãy các tổng riêng Sn

hội tụ tại mỗi điểm trên tập U thì ta nói

rằng chuỗi hàm (2.2) hội tụ (hay hội tụ điểm) trên tập U.

Phan Thị Nhài

23

K33C – Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Giới hạn của dãy tổng riêng trên U được gọi là tổng của chuỗi hàm trên
U, tức là có hàm S x

un x : lim Sn ( x)

x U.

n

n 1

Định nghĩa 2.3. Nếu dãy các tổng riêng Sn hội tụ đều trên tập U thì ta nói
rằng chuỗi hàm

uk x hội tụ đều trên tập U.
k 1

Nghĩa là, chuỗi hàm

uk x được gọi là hội tụ đều trên U nếu
k 1

0 n0

: n n0 thì rn ( x)

n0

uk x
k

x U.

n 1

U

Kí hiệu:

uk x

S x

k 1

Nhận xét. Như vậy chuỗi hàm cũng có bản chất tương tự như dãy hàm, cho
nên từ kết quả về dãy hàm ta dễ dàng suy ra các kết quả đối với chuỗi hàm.
Định lí 2.7. (Tiêu chuẩn Cauchy) Chuỗi hàm

uk x hội tụ đều trên tập U
k 1

khi và chỉ khi với

0 cho trước tồn tại số tự nhiên n0

n0 ( ) sao cho với

n m

mọi n n0 và với mọi m nguyên dương đều xảy ra

uk ( x )

x U.

k n 1

Hệ quả. Nếu chuỗi hàm

uk x hội tụ đều trên tập A thì dãy hàm un là
k 1

hội tụ đều đến 0 trên tập A.
Định lí 2.8. (Dấu hiệu Weierstrass) Cho chuỗi hàm

un x gồm các hàm un
n 1

xác định trên tập U. Giả thiết tồn tại một dãy số dương Cn sao cho:
a) un ( x)

Phan Thị Nhài

Cn

x U

n N .

24

K33C – Toán


Khóa luận tốt nghiệp

b) Chuỗi số

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Cn hội tụ.
n 1

Khi đó chuỗi hàm

un x hội tụ đều trên U.
n 1

Chứng minh. Chú ý rằng

k m

k m

un x
n k 1

k m

un x

x U , cho nên

cn

n k 1

n k 1

sử dụng tiêu chuẩn Cauchy ta suy ra điều cần chứng minh. W
Nhận xét. Với chứng minh như trên ta cũng suy ra được rằng chuỗi hàm là hội
tụ tuyệt đối (và đều trên tập U). Dấu hiệu này tuy đơn giản nhưng rất hữu ích.
Ví dụ. Ta dễ dàng nhận ra tính hội tụ đều của chuỗi hàm
n

sin nx
(trên
n2
1

toàn bộ trục số), vì rằng

sin nx

n2
và chuỗi số
n

1
,
n2

n 1,2,3,...

1
hội tụ.
2
n
1

Định lí 2.9. (Dấu hiệu Dirichlet) Cho hai dãy hàm an , bn cùng xác định
trên tập U. Giả thiết :
a) Dãy tổng riêng An x của chuỗi hàm

an ( x) bị chặn đều trên U
n 1

n

có nghĩa là tồn tại một số M

0 sao cho An ( x)

ak ( x)

M

n x U.

k 1

b) Dãy hàm bn đơn điệu có nghĩa là với mỗi x U dãy bn x

là

dãy số đơn điệu và dãy hàm bn hội tụ đều trên U đến 0.
Khi đó chuỗi hàm

an ( x)bn ( x) hội tụ đều trên U.
n 1

Phan Thị Nhài

25

K33C – Toán