Những nội dung cơ bản của phép tính tích phân trong giải tích toán học

Trng HSP H Ni 2

Khúa lun tt nghip

LI CM N

Trong quỏ trỡnh nghiờn cu ti: Nhng ni dung c bn ca phộp
tớnh tớch phõn trong gii tớch toỏn hc tụi ó nhn c rt nhiu s giỳp
ca cỏc thy cụ giỏo, gia ỡnh, bn bố.
Trc ht vi lũng kớnh trng v bit n sõu sc, tụi xin gi li cm n
ti Th.S Phựng c Thng ó tn tỡnh quan tõm, giỳp , hng dn, ch
bo tụi trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu ti.
Tụi xin trõn trng cm n lónh o trng i hc S Phm H Ni 2,
c bit l tp th ging viờn khoa Toỏn, ó ht sc quan tõm giỳp tụi
trong quỏ trỡnh hon thnh khúa lun tt nghip.
Tụi cng xin cm n ti gia ỡnh, bn bố ó ng viờn, to iu kin
tụi cú th hon thnh khúa lun tt nghip cui khúa.
Trong quỏ trỡnh nghiờn cu ti ny mc dự ó rt c gng, nhng
không tránh khỏi những thiếu sót. Tụi rt mong nhn đ-ợc sự đóng góp ý kiến
của các thầy cô và các bạn sinh viờn để khóa luận của tụi đ-ợc hoàn thiện hơn
và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Tụi xin chõn thnh cm n!
H Ni, thỏng 5 nm 2011
Sinh viờn
Th Xoa

Th Xoa - K33C - SP Toỏn

1

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài: “Những nội dung cơ bản của phép tính tích
phân trong giải tích toán học ” dưới sự hướng dẫn của Th.S Phùng Đức
Thắng là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Khóa luận không trùng với các
kết quả đã được công bố.
Nếu có gì không trung thực tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Sinh viên
Đỗ Thị Xoa

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

2


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ……………………………………………………………… 4
NỘI DUNG …………………………………………………………… 6
CHƢƠNG 1: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN…………………....... 6
1.1. Các khái niệm …………………………………………………….. 6
1.1.1. Phân hoạch của một đoạn ..................................................... 6
1.1.2. Tổng tích phân (Tổng Riemann) .......................................... 6

1.1.3. Tích phân xác định ............................................................... 7
1.1.4. Tổng Darboux ....................................................................... 9
1.2. Các điều kiện khả tích ……………………………………………. 11
1.3. Các tính chất của tích phân xác định …………………………….. 14
1.4. Các lớp hàm khả tích …………………………………………….. 17
1.5. Các dạng bài tập ………………………………………………….. 21
CHƢƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI RIEMANN ………………………. 25
2.1. Tích phân Riemann trên hình hộp …………………………………25
2.2. Tiêu chuẩn khả tích Lebesgue …………………………………… 30
2.3. Tích phân trên miền tổng quát ………………………………….... 34
2.4. Định lý Fubini và công thức đổi biến số ………………………… 37
2.5. Các dạng bài tập …………………………………………………. 47
KẾT LUẬN ………………………………………………………….. 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………. 52

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

3


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Giải tích là một ngành khoa học tương đối khó và quan trọng, nó là cơ sở
của nhiều ngành toán học khác và có ứng dụng khá nhiều trong khoa học và
kỹ thuật, đặc biệt là phép tính tích phân. Nhờ phép tính tích phân mà có thể
giải quyết được nhiều bài toán thực tế mà mà toán sơ cấp không làm nổi.

Các kiến thức trong Giải tích rất rộng. Ở cấp 3 và những năm học Đại
học chúng ta được học về Giải tích - một môn học đòi hỏi người học phải nắm
vững kiến thức về phép tính tích phân. Đây là vấn đề rất lý thú và cũng còn
mới mẻ đối với đa số các bạn sinh viên mới bước chân vào giảng đường Đại
học.
Xuất phát từ lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu khoa học và
được sự khuyến khích, ủng hộ, giúp đỡ tận tình của thầy giáo, Th.s Phùng
Đức Thắng, tôi đã chọn đề tài “Những nội dung cơ bản của phép tính tích
phân trong giải tích toán học” làm khóa luận tốt nghiệp. Hy vọng khóa luận
này sẽ có ích đối với những ai quan tâm đến phép tính tích phân.
2. Mục đích nghiên cứu:
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về giải tích toán học đặc biệt là phép tính tích phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu những nội dung cơ bản của phép tính tích phân trong giải
tích toán học.
4. Đối tƣợng nghiên cứu:
Phép tính tích phân.

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

4


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, so sánh và đánh giá.

6. Cấu trúc khóa luận:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận
gồm hai chương:
Chương 1: Tích phân hàm một biến.
Chương 2: Tích phân bội Riemann.

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

5


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
1.1. CÁC KHÁI NIỆM
1.1.1. Phân hoạch của một đoạn
Cho một đoạn thẳng

trong tập số thực ¡ với hai đầu mút a, b (không

nhất thiết a b ) và xét một cách chia đoạn

thành các đoạn con

i

với các

đầu mút xi 1 , xi bởi các điểm chia tùy ý lần lượt là

a

x0

x1

x2 ... xn

Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn

b

và ký hiệu là T .

Bề rộng của phân hoạch là khoảng cách lớn nhất giữa 2 điểm kế tiếp
nhau, tức là bằng max{xi
Gọi

xi

xi

xi 1 : i 1, n} .

xi 1, như vậy nếu a b thì

xi

xi

0 và nếu a b thì

, n.

0 i 1, 2,

Số d (T ) max xi
i

max xi - xi-1 được gọi là đường kính của phân
i

hoạch T .
Gọi P( ) là tập hợp tất cả các phân hoạch trên

. Giả sử T1 P( ), T2

P( ) , ta nói T2 mịn hơn T1 và ký hiệu T2 T1 nếu tập hợp các điểm chia của

T2 bao gồm các điểm chia của T1 hay nói cách khác mọi đoạn con của phân
hoạch T2 đều được chứa trong một đoạn con nào đó của phân hoạch T1 .
1.1.2. Tổng tích phân (Tổng Riemann)
Giả sử f là một hàm xác định trên đoạn

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

có hai đầu mút là a, b,

6


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

P( ) là một phân hoạch với các điểm chia a

T

Trên mỗi đoạn con

i

x0 , x1, ..., xn

b.

với hai đầu mút xi 1 , xi ta lấy một điểm

i

tùy ý

và thành lập tổng
n
f (T , )

n

f ( i )( xi

xi 1 )

f ( i ) xi .

i 1

Tổng

f

(T , ) được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn

với phân hoạch T và điểm chọn
Khi phân hoạch T và điểm
phân

f

(1)

i 1

( 1,

2

, ...,

3

) với

i

i

ứng

(i 1,2, , n) .

thay đổi ta có một họ không đếm được tổng tích

(T, ) .

1.1.3. Tích phân xác định
Định nghĩa:
Ta nói họ tổng tích phân
nếu cho trước
mọi T
f

f

¡ khi d (T )

0

0 bé tùy ý thì luôn luôn tồn tại một số ( ) 0 sao cho với
và với mọi cách lấy điểm

P( ) với d (T )

(T, ) I

(T, ) có giới hạn I

. Khi đó ta viết lim
d (T )

0

f

ta đều có

(T, ) I .

Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định (tích phân
Riemann) của hàm f trên đoạn

với hai đầu mút a, b và ký hiệu:

b

I

f ( x)dx .

(2)

a

và khi đó hàm f được gọi là khả tích theo nghĩa Riemann trên đoạn
Tập hợp các hàm khả tích trên đoạn

.

được ký hiệu là R( ) . Trong ký

hiệu (2) f được gọi là hàm dưới dấu tích phân còn a và b lần lượt được gọi
là cận dưới và cận trên của tích phân.
Nhận xét: Tích phân Riemann của hàm f khả tích trên [a, b] là duy nhất.

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

7


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Từ định nghĩa ta thấy tích phân xác định có thể được hình dung như là
“giới hạn” của tổng Riemann khi phân hoạch được làm vụn vô cùng (tức là bề
rộng của nó tiến dần về 0).
Rõ ràng việc tính tích phân xác định theo định nghĩa là không đơn giản

chút nào vì chẳng những phải tính các tổng Riemann rất cồng kềnh mà còn
phải tìm “giới hạn” của chúng nữa. Tuy nhiên, giải quyết công việc phức tạp
này lại là “sở trường” của máy tính. Các chương trình tính toán thông dụng
hiện nay giúp ta tính tích phân xác định một cách nhẹ nhàng đến bất ngờ
(tham khảo sách Giải tích toán học hàm số một biến – Lý thuyết và thực hành
tính toán). Ngoài ra, ở cuối chương này, công thức Newton–Leibniz sẽ cung
cấp cho chúng ta một phương pháp độc đáo để tính tích phân xác định thông
qua nguyên hàm của hàm số (nếu như tính được) mà không cần phải tính tổng
Riemann.
Một số ví dụ đơn giản:
* f ( x ) c,

x [a, b] .

Khi ấy mọi tổng Riemann (ứng với các phân hoạch khác nhau) đều trùng
n

n

f ( i )( xi

nhau và là

xi 1 ) c

i 1

( xi

xi 1 ) c(b a) , nên

i 1
b

f ( x)dx c(b a) .
a

* f ( x)

1 khi x ¤
0 khi x ¡ \¤

Với một phân hoạch bất kỳ của đoạn [0,1] ta đều tìm được 2 tổng
Riemann khác nhau có giá trị là 0 và 1, tức là không thể nằm chung trong
một lân cận đủ nhỏ của bất cứ điểm nào. Từ đây suy ra tích phân Riemann
của f trên đoạn 0,1 là không tồn tại.

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

8


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

1.1.4. Tổng Darboux
Định nghĩa:
Giả sử f : a, b

R là một hàm bị chặn. Với mỗi phân hoạch T chia

a, b thành các đoạn con
i

Mi

= [ xi 1, xi ] đặt M i

i

sup f ( x ), mi
x

i

inf f ( x ) .
x

i

mi , i 1, 2, , n
n

S f (T )

n

M i xi

s f (T )

mi xi

i 1

.

i 1

Để ý rằng trong trường hợp này

xi

0 (trong trường hợp a b thì ta

xi ) .

thay xi bằng

Các tổng S f (T) và s f (T) lần lượt được gọi là tổng Darbuox trên và tổng
Darbuox dưới của hàm f trên a, b . Để đơn giản ta ký hiệu S T , s T lần
lượt thay cho S f (T), s f (T) .
Các tính chất:
Giả sử f : a, b

R là hàm bị chặn.

Tính chất 1:

s(T )
với

lấy bất kỳ và với mọi T

P

Tính chất này là hiển nhiên vì mi

f

(T , ) S (T )

a, b .
f ( i ) Mi ,

i=1, 2, ..., n.

Tính chất 2:
Với mọi phân hoạch T xác định ta có

s(T ) inf

f

(T , )

S (T ) sup

f

(T , )

trong đó cận dưới đúng và cận trên đúng lấy theo mọi cách chọn điểm

= ( 1,

2

, ...,

n

) với

i

i

(i = 1, 2, ..., n).

Chứng minh.

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

9


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Theo tính chất 1: s(T )
mi

0
i

inf ( f ) nên tồn tại

sao cho f ( i0 ) mi

i

i

0

( 10 ,

0
2

, ...,

0
n

0 cho trước, vì

(T , ) , mặt khác với

f

b a

, i 1, 2, ... , n với

)
f (T ,

Điều này suy ra s(T ) inf

0

n

)< mi xi
i 1

b a

xi

s (T )

.

(T , ) .

f

Đẳng thức thứ hai được chứng minh tương tự.
Tính chất 3:
Với bất kỳ T1, T2

S T1

P a, b

và T1 T2 ta luôn có s T1

s T2 và

S T2 .

Chứng minh.
Để chứng minh tính chất này, trước hết ta chứng minh rằng nếu thêm
vào phân hoạch T của a, b một điểm chia mới thì tổng Darboux dưới chỉ có
thể tăng lên. Còn tổng Darboux trên chỉ có thể giảm xuống.
Thật vậy, giả sử T là một phân hoạch nào đó của a, b , còn T nhận
được bằng cách thêm vào phân hoạch T một điểm chia x nằm giữa xk 1, xk ,

xk

1

x ' xk
s(T ')

trong đó m 'k

i k

mi xi

inf ( f ) m"k

xk 1 , x '

Do inf( f ) mk

m 'k ( x ' xk 1 ) m "k ( xk

x ')

inf ( f ) .
x ', xk

m 'k và mk

m"k ta suy ra

k

s(T ')

i k

mi xi

mk ( x ' xk 1 ) mk ( xk

x ') s(T ) .

Việc chứng minh S (T ') S (T ) được làm tương tự.
Một cách tương tự, nếu thêm vào phân hoạch T một số hữu hạn điểm

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

10


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

chia mới thì tổng Darboux dưới chỉ có thể tăng lên, còn tổng Darboux trên chỉ
có thể giảm xuống. Có nghĩa là nếu T2 T1 thì s(T1 ) s(T2 ) S (T2 ) S (T1 ) .
Tính chất 4:
Với hai phân hoạch bất kỳ T và T của a, b ta luôn có

s T

S (T ).

Chứng minh.
Giả sử T " là phân hoạch a, b nhận được bằng cách hợp các điểm chia
của T và T " , khi đó T " T và T " T ' và theo tính chất 3
s(T ) s(T ") S (T ") S (T ')

Tính chất 5:
Tập hợp {s T | T
tập hợp {S T | T

P a, b

P a, b
s T

} luôn luôn có một cận trên đúng I 0 còn

} có một cận dưới đúng I 0 và
I0

I0

S T

T

P a, b

.

Chứng minh.
Tập s(T ) T

P a, b

là tập bị chặn trên chẳng hạn bởi S (T1 ) với một

phân hoạch T1 nào đó của a, b do đó I 0 tồn tại và tương tự I 0 tồn tại.
Hơn nữa theo tính chất 4, s(T ) I 0

I0

S (T )

T P a, b .

1.2. CÁC ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH
Định lý 1.1 (Điều kiện cần)
Giả sử f là hàm xác định và khả tích trên a, b . Khi đó f bị chặn trên
đoạn đó.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng
b

Giả sử f khả tích trên a, b và I

f ( x)dx . Cho

1 tồn tại một số

a

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

11

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

0 sao cho với mọi T
kỳ ta đều có

f

T,

và với cách lấy điểm

mà d (T )

P a, b
1.

I

Xét một phân hoạch T của a, b với d (T )
đoạn con

i

i

(i i0 ) lấy

i

M

1 2I

( 1,...,
f

i0 1

i0

,

(T , ) I

i0

mà f không bị chặn trên đó. Trên

và đặt:

i

Vì f không bị chặn trên
Khi đó với

, phân hoạch T gồm các

1, 2, ..., n . Bây giờ ta giả sử f không bị chặn

xi 1, xi , i

trên a, b , khi đó tồn tại một đoạn con
mỗi đoạn con

bất

i i0

f ( i ) xi

nên tồn tại
i0

,

i i0

i0 1

,...,

n

i0

i i0

sao cho f ( i0 ) xi0

M

)

f ( i ) xi

f ( i0 ) xi0
M-

i0

0

f ( i0 ) x0
i i0

I

f ( i ) xi

f ( i ) xi

I

Như vậy với phân hoạch T đang xét có d (T )

1

I
I

nhưng

f

(T , ) I

1

trái với tính khả tích của hàm f . Vậy nếu f khả tích trên a, b thì nó phải bị
chặn trên đoạn đó.
Nhận xét: Từ định nghĩa tích phân Riemann và Định lý 1.1 suy ra hàm
không bị chặn trên đoạn a, b là không khả tích trên đoạn đó. Thế nhưng
không phải mọi hàm bị chặn đều khả tích (tính bị chặn chỉ là điều kiện cần mà
không phải điều kiện đủ). Ví dụ như hàm Dirichlet

D( x)

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

1 nÕu x lµ sè h÷u tû
0 nÕu x lµ sè v« tû

0,1
0,1

12

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

là một hàm bị chặn trên đoạn [0, 1] nhưng với mọi T
điểm có tọa độ là những số hữu tỷ thì
tọa độ là những số vô tỷ thì

D

D

P 0, 1 nếu lấy

(T, ) = b a , còn lấy

là

là điểm có

(T, ) = 0 nên D là hàm không khả tích.

Định lý 1.2 (Điều kiện cần và đủ của tính khả tích)

¡ là một hàm bị chặn, khi đó điều kiện cần và đủ

Giả sử f : a, b

để f khả tích trên a, b là:

n

lim [S (T ) s(T )]

d (T )

lim

0

d (T )

0

xi

i

0.

i 1

Điều này tương đương với điều kiện
b
0

I0 =I =I= f ( x)dx .
a

Chứng minh.

b

Điều kiện cần: Giả sử f khả tích trên a, b và I

f ( x)dx . Khi đó
a

với mọi
d (T )

0 cho trước tồn tại

( ) sao cho với mọi T

P a, b

mà

ta đều có
f

(T , ) I

I

2

2

f

(T , ) I

2

.

Theo tính chất 2 của tổng Darboux ta suy ra:

I
hay 0 S (T ) s(T )

2

s(T ) S (T ) I

2

có nghĩa là lim S (T ) s (T )
d (T )

0

0.

Mặt khác sử dụng tính chất 5 của tổng Darboux ta có:
b

I0

I

0

I

f ( x)dx .
a

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

13


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Điều kiện đủ: Giả sử lim S (T ) s (T )
d (T )

chất 5) s(T ) I 0

I0

0 , từ bất đẳng thức (tính

0

S (T ) ta nhận được I 0

I 0 . Đặt I

I0

I 0 khi đó với

hệ bất đẳng thức:

s(T )

f

s(T ) I
ta suy ra

f

(T , ) I

(T , ) S (T )
S (T )

S (T ) s(T ) .

Có nghĩa là tồn tại giới hạn lim

f
0

d (T )

(T , ) I . Hay f khả tích trên a, b .

1.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định lý 1.3:
Nếu f và g là hai hàm khả tích trên [a, b] và
thực thì

f

,

là các hằng số

g cũng là một hàm khả tích trên [a, b] và
b

b

[ f ( x)

g ( x)]dx

a

b

f ( x)dx
a

g ( x)dx .
a

Định lý 1.4:
Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên [a, b] khi đó f .g cũng là hàm
khả tích trên [a, b] .
Định lý 1.5:
Giả sử f :[a, b]

¡ , khi đó

1) Nếu f khả tích trên [a, c] và c, b với a c b thì f khả tích trên
a, b và
b

c

f ( x)dx
a

b

f ( x)dx
a

f ( x)dx .
c

2) Nếu f khả tích trên a, b thì nó khả tích trên mọi đoạn con c, d

a, b .

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

14


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 1.6:
Tính khả tích và giá trị tích phân của hàm f :[a, b]

¡ không thay đổi

nếu ta thay đổi giá trị của hàm tại một số hữu hạn điểm.
Hệ quả:
Nếu f và g là hai hàm bị chặn trên a, b và chỉ nhận những giá trị
khác nhau tại một số hữu hạn điểm c1, c2 , ..., ck đều thuộc a, b thì chúng
đồng thời khả tích hoặc không khả tích trên a, b .
Định lý 1.7:
¡ là hàm khả tích trên đoạn a, b thì:

Cho hàm f :[a, b]

b

a) Nếu f x

0

x

a, b và a b , thì

f ( x)dx 0 .
a
b

b) Nếu f x

0

x

a, b và a b , thì

f ( x)dx 0 .
a

Hệ quả: Nếu f ( x) và g ( x ) là các hàm khả tích trên a, b và f ( x) g ( x)
với mọi x

a, b (a b) thì
b

b

f ( x)dx
a

g ( x)dx .
a

Định lý 1.8:
Nếu f là hàm khả tích trên a, b , (a b) , thì f cũng khả tích trên
đoạn đó và
b

b

f ( x)dx
a

f ( x) dx .
a

Định lý 1.9:
x

Nếu f là một hàm liên tục trong đoạn a, b , thì hàm F ( x)

f (t )dt ,
a

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

15

Trường ĐHSP Hà Nội 2

x

Khóa luận tốt nghiệp

a, b là nguyên hàm của f ( x) .

Chứng minh.
Thật vậy, lấy x bất kỳ

a, b , vì f t liên tục tại t

cho trước, tồn tại một số

0 , sao cho khi t x

x nên với

, thì f (t )

f ( x)

0
.

Ta xét:

F
x

F (x

x) F ( x)
x

x

1
x

x

x

f (t )dt
a

f (t )dt
a

trong đó:
x

F (x

x

x) F ( x)

x

f (t )dt

f (t )dt

a
x

a

x

f (t ) dt
a

do đó:

F ( x)
x

1
x

x

x

f (t )dt .
x

Vì f là hàm liên tục nên theo định lý giá trị trung bình của tích phân

F ( x)
x

1
x

x

x

f (t )dt
x

trong đó c thuộc đoạn với hai đầu mút x và x
do đó F '( x)

F
x

lim
x

0

lim f (c)

x

0

f (c )

x . Khi

x

0 thì c

x

f ( x) .

Vì x là giá trị bất kỳ thuộc a, b nên F là nguyên hàm của f trên

a, b .
Chú ý: Ta có thể chứng minh được rằng nếu f là hàm khả tích trên
x

a, b thì F ( x)

f (t )dt liên tục trên a, b .
a

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

16

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả (Công thức Newton – Leibniz)

¡ là một hàm liên tục,

Giả sử f : a, b

là một nguyên hàm nào

đó của f trên a, b . Khi đó ta có công thức Newton – Leibniz :
b
b

f (t )dt

(t ) a

(a) .

(b)

a

1.4. CÁC LỚP HÀM KHẢ TÍCH
Định lý 1.10:

Nếu hàm f liên tục trên a, b thì khả tích trên đoạn đó.
Chứng minh.
Vì f ( x) liên tục trên đoạn a, b nên liên tục đều trên đoạn đó (theo
định lý Cantor) do đó, theo định nghĩa, với mọi

0 cho trước tìm được một

( ) 0 sao cho

số

( ) thì f ( x ')

x ', x ": x ' x "

f ( x ")

b a

, khi đó với

Ta xét T là một phân hoạch bất kỳ của a, b với d (T )
mọi đoạn con

xi 1, xi

xi 1, xi thì f ( x ')
Do đó:

ta đều có xi

f ( x ")

sup

b a

f ( x ')

Từ đó ta có:

b a

n
i 1

xi

1

d (T )

nên

x ', x "

.

f ( x ")

x ', x " xi 1 , xi

xi

.

.

n
i ( xi

xi 1 )

b ai

( xi

1

xi 1 )

b a

(b a )

.

n

0,

Vậy

= ( ) với mọi phân hoạch T d (T )

n

hay lim
d (T )

0i 1

i

( xi

thì

i 1

i

( xi

xi 1 )

xi 1 ) 0 . Điều đó có nghĩa là f khả tích trên đoạn a, b .

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

17


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 1.11:
Hàm f ( x) bị chặn trên đoạn a, b và chỉ có một số hữu hạn điểm gián
đoạn trong a, b thì khả tích trong đoạn đó.
Chứng minh.
a) Trước hết ta chứng minh định lý trong trường hợp khi hàm số f chỉ
gián đoạn tại một điểm x c

a, b .

Vì f ( x) bị chặn trong khoảng a, b nên tồn tại:

sup f ( x) và m inf f ( x) .

M

a ,b

a ,b

Đặt

M

m , rõ ràng

0 , vì nếu

0 thì M

m tức là

f ( x) const trong a, b nên nó khả tích.

Cho trước

0 , chọn

12

. Vì theo giả thiết f ( x) chỉ có một điểm

gián đoạn x c nên f ( x) sẽ liên tục và do đó liên tục đều trên các đoạn

a, c
i)

và c
1

1

, b . Khi đó với

x ', x "

( ) sao cho

thì f ( x ')
ii)

2

2

( ) sao cho

0

min( 1 ,

2

,

a, c -

mà x ' x "

f ( x ")

y ', y "

thì f ( y ')

Đặt

0 đã cho

c

3(b a )

1

.

, b mà y ' y "

f ( y ")

3(b a )

2

.

).

Xét một phân hoạch T bất kỳ của đoạn a, b thành các đoạn con

xi 1, xi sao cho đường kính d (T )
Với mỗi đoạn xi 1, xi

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

a, c -

0

. Ta có:
thì xi

xi

1

d (T )

0

1

, nên

18


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

'i

sup

f ( x ')

f ( x ")

3(b a)

x ', x " xi 1 , xi

Với mỗi đoạn xi 1, xi
"i

, b thì xi

c
sup

f ( y ')

xi

f ( y ")

1

.

(1)

d (T )

0

2

, nên
(2)

3(b a)

y ', y " xi 1 , xi

Ta xét:
n

trong đó

a, c

' và

xi

i

i 1

a, c

' 'i xi

" "i xi

c

"'

,b

i

xi

" là các tổng lấy theo các đoạn con xi 1, xi nằm hoàn

c

,b

, b tương ứng,

hay c

toàn trong a, c -

con xi 1, xi có điểm chung với c

"' là tổng lấy theo các đoạn

.

,c

Áp dụng đánh giá (1) và (2) ta có:
a , c-

c

,b

' 'i xi

3(b a)

" "i xi

Để ước lượng

"'

3(b a)

xi

a , c-

c

,b

3(b a)

xi

3(b a)

xi trước hết ta chú ý rằng

i

(b a)

i

3

(b a)

M

tổng độ dài của các đoạn con xi 1, xi có điểm chung với đoạn c

.

3

(3)
.

(4)

, và

m

,c

không vượt quá 4 . Do đó:
"'

i

xi

"' xi

4

4

12

Kết hợp (3), (4), (5) ta chứng tỏ được rằng: với
0

min( 1 , 2 , ) min

d (T )

0

1

, 2,

3

.

(5)

0 bé tuỳ ý, tồn tại

sao cho với mọi phân hoạch T mà

12

, thì:
n
i 1

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

i

xi

3

3

3

19


Trường ĐHSP Hà Nội 2

n

hay lim
d (T )

0i 1

0 .Vậy f khả tích trên đoạn a, b .

xi

i

Khóa luận tốt nghiệp

b) Nếu f có một số hữu hạn điểm gián đoạn c1, c2 , ... , cm trong đoạn

a, b thì ta chia đoạn a, b thành m đoạn con di 1, di (i=1, 2, …, m)
a d0

d1 ... dm 1 dm

b

sao cho trong mỗi đoạn con đó có chứa đúng 1 điểm gián đoạn. Theo chứng
minh trên f ( x) sẽ khả tích trên mỗi đoạn con di 1, di nên cũng khả tích
trên toàn đoạn a, b (theo định lý 1.5). Đó là điều phải chứng minh.
Định lý 1.12:
Hàm f đơn điệu và bị chặn trong đoạn a, b thì khả tích trên đoạn đó.
Chứng minh.
Không giảm tổng quát ta có thể xem f đơn điệu không giảm và bị chặn
trong đoạn a, b .
Nếu f a

x

f b thì do tính đơn điệu của f x ta suy ra f x

const ,

a, b do đó f x liên tục nên khả tích trong đoạn a, b .
Giả sử f a
Đặt

f b với

f (b )

f (a)

0 bé tùy ý cho trước.

.

Ta xét một phân hoạch T đoạn a, b sao cho d T

.

Vì f x là hàm không giảm trong a, b nên trong mỗi đoạn xi 1, xi
của phân hoạch T ta có
i

Mi

mi

f ( xi )

f ( xi 1 ) .

Do đó:
n
i 1

n
i ( xi

xi 1 ) d (T )

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

i 1

n
i

i 1

f ( xi )

f ( xi 1 )

20


Trường ĐHSP Hà Nội 2

f ( x1 )

f ( x0 )

f (b)

f (a) .

0

Vậy

Khóa luận tốt nghiệp

f (b)

f ( x2 )

f (a )

f ( x1 ) ...

f (b)

f ( xn 1 )

với mọi phân hoạch T : d T

, thì

n
i 1

n

hay lim
d (T )

i

0i 1

i

( xi

xi 1 )

f (b)

f (b)

f (a)

f (a)

( xi ) 0 , điều này có nghĩa là f khả tích trong đoạn a, b .

Nếu f là hàm không tăng trong đoạn a, b thì định lý cũng được chứng
minh tương tự.
1.5. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1:
Chứng minh rằng hàm Dirichlet:

0 nÕu x v« tû
1 nÕu x h÷u tû

f ( x)

không khả tích trên đoạn [a, b] bất kỳ.
Lời giải:
♦ Cách 1:
Với phân hoạch bất kì đoạn [a, b] thành các đoạn con bởi các điểm chia

a

x0

x1

x2 ... xn

b thì mọi đoạn con [xi 1, xi ] i 1,2,..., n đều chứa

những điểm hữu tỷ và những điểm vô tỷ, do đó dao độ của hàm số f ( x) trên
mỗi đoạn con này đều bằng 1, tức là
Vì vậy :

i
i

xi

xi
i

i

Mi

mi 1 0, i 1,2,..., n .

b a cho nên :

lim

max x

0

i

xi

b a 0

i

Do đó hàm f ( x) không khả tích trên đoạn a, b bất kì .
♦ Cách 2:

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

21


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Giả sử T là phép phân hoạch tùy ý đoạn a, b .
Trên mỗi đoạn con xi 1, xi ta chọn điểm
Nếu

i

bất kì.

i

là số vô tỷ thì
n
f

(T , )

f ( i ) xi

0

lim

d (T )

i 1

Nếu

i

0

f

(T , ) 0

f

(T , ) b a

là số hữu tỷ thì
n
f (T , )

f ( i ) xi

b a

lim

d (T )

i 1

0

Như vậy kết quả của phép qua giới hạn tổng tích phân khi d (T )
thuộc vào cách chọn điểm

i

0 phụ

.

Do đó hàm f ( x) không khả tích Riemann trên đoạn a, b bất kì .

Bài 2:
1

Giả sử f ( x) khả tích trên đoạn 0, 1 và

f ( x)dx 0 . Chứng minh
0

rằng tồn tại một đoạn a, b

0, 1 mà trong đoạn đó f ( x) 0 .
Lời giải:

Xét cách chia đều đoạn

0, 1

bởi các điểm chia x0

i 1 i
,
chọn điểm
n n

(i 1, 2,..., n) . Trên mỗi đoạn con xi 1 , xi

0, xi

i

i
n

bất kì và

lập tổng tích phân:
n
n

f,

f
i 1

i

1
.
n

Vì f ( x) khả tích trên đoạn 0, 1 nên:
1

lim

n

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

n

f,

f ( x)dx
0

22


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Nếu như trên mọi đoạn con a, b

0, 1 , hàm f ( x) có chứa những

điểm x mà f ( x) 0 , khi đó trong tổng tích phân
các điểm

i

n

f,

ta có thể chọn

xi 1, xi mà f ( i ) 0 để cho:
1

lim

f,

n

n

f ( x)dx

0

0
1

Điều này mâu thuẫn với giả thiết

f ( x)dx 0 .
0

Vì vậy phải có một đoạn a, b

0, 1 mà trên đó f ( x) 0 .

Bài 3:
Giả sử hàm f ( x) xác định trên đoạn a, b . Nếu f ( x) là hàm khả tích
trên đoạn a, b thì hàm f ( x) có khả tích trên đoạn đó hay không?
Lời giải:
Hàm f ( x) khả tích trên đoạn a, b thì chưa hẳn f ( x) khả tích trên

đoạn đó. Ví dụ hàm

f ( x)

1

nÕu x h÷u tû
1 nÕu x v« tû

không khả tích trên mọi đoạn a, b , nhưng:
b

b

f ( x) dx
a

dx b a .
a

Bài 4:
Cho f ( x) là hàm số xác định trên đoạn a, b sao cho:

f ( x)

x nÕu x h÷u tû thuéc a, b
x nÕu x v« tû thuéc a, b

Xét tính khả tích của hàm f ( x) .

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

23


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

Lời giải:
Chia đoạn a, b một cách tùy ý thành các đoạn con xi 1, xi bởi các
điểm chia a

x0

x1

b , xi

x2 ... xn

Trên mỗi đoạn con lấy

xi

xi 1, i 1,2,..., n

xi 1, xi và lập tổng tích phân :

i

n
n

f,

f

xi

i

i 1

Giả sử hàm f ( x) khả tích trên đoạn a, b , khi đó tồn tại giới hạn hữu
hạn : lim
n

n

f,

I

Tuy nhiên nếu trên mỗi đoạn xi 1, xi

ta lấy các điểm

i

luôn luôn là

điểm hữu tỷ thì:
b

n

lim

max xi

n

0

Còn nếu lấy các điểm

i

f,

lim

max x

0

i

xi

i 1

a

luôn luôn là điểm vô tỷ thì:
b

n

lim

max xi

0

n

xdx

f,

lim

max x

0

i
i 1

xi

xdx
a

Điều này vô lý vì hai giới hạn này khác nhau. Vậy hàm f ( x) không khả
tích trên đoạn a, b .

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

24


Trường ĐHSP Hà Nội 2

Khóa luận tốt nghiệp

CHƢƠNG 2: TÍCH PHÂN BỘI RIEMANN
2.1. TÍCH PHÂN RIEMANN TRÊN HÌNH HỘP
Định nghĩa 1 (Phân hoạch của hình hộp)
Ta nhớ lại rằng phân hoạch P của đoạn a, b theo định nghĩa là một
dãy điểm t0 , t1, ..., tk , trong đó a t0
đoạn a, b thành k đoạn ti 1, ti

t1 ... tk

b . Phân hoạch P đó chia

i 1, k . Số d ( P) max(ti ti 1 ) được

1 i k

gọi là đường kính của phân hoạch P .
Phân hoạch của hình hộp

a1, b1 x...x an , bn

là một bộ phận

P ( P1, ..., Pn ) trong đó mỗi Pi là phân hoạch của đoạn ai , bi , i 1, n .
Chẳng hạn nếu P1 t0 , ..., tk là phân hoạch của đoạn a1, b1 và P2

s0 , ..., sl

là phân hoạch của đoạn a2 , b2 thì P ( P1, P2 ) là phân hoạch của hình chữ
nhật a1, b1 x a2 , b2 . Phân hoạch này chia hình chữ nhật đó thành k.l hình
chữ nhật con ti 1, ti x s j 1, s j , i 1, k , j 1, l . Một cách tổng quát nếu
phân hoạch Pi chia đoạn ai , bi thành ki đoạn con (i 1, n) thì phân hoạch

P ( P1, ..., Pn ) của hình hộp a1, b1 x...x an , bn
k

chia hình hộp đó thành

k1.k2 ...kn hình hộp, ta gọi các hình hộp này là các hình hộp của phân hoạch

P . Số d ( P) max Pi , trong đó d Pi là đường kính của phân hoạch Pi của
1 i n

đoạn ai , bi , được gọi là đường kính của phân hoạch P .

Ta gọi số b1 a1 x...x bn

an là thể tích của hình hộp đóng a1 , b1 x

...x an , bn cũng như của hình hộp mở a1, b1 x...x an , bn .
Ta nói rằng phân hoạch P mịn hơn phân hoạch P nếu mỗi hình hộp của

P đều chứa trong một hình hộp nào đó của P .

Đỗ Thị Xoa - K33C - SP Toán

25