Những nội dung cơ bản của phép tính vi phân trong giải tích toán học

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Trong Toán học,
giải tích chiếm một vị trí vô cùng quan trọng. Các kết quả nghiên cứu được
trong giải tích không chỉ áp dụng trong các lĩnh vực của Toán học mà còn áp
dụng trong các ngành khoa học khác như vật lý, hoá học, thiên văn học…
Để có các kiến thức về giải tích một cách có hệ thống và khoa học thì
việc nắm vững và hiểu sâu sắc các kiến thức cơ bản ban đầu của giải tích:
“Phép tính vi phân” là điều cần thiết và quan trọng. Vì những lý do trên tôi
lựa chọn đề tài khóa luận: “Những nội dung cơ bản của phép tính vi phân
trong giải tích toán học”. Hi vọng đề tài nghiên cứu này sẽ góp một phần hữu
ích trong việc tìm hiểu khám phá các kiến thức về giải tích.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về giải tích, đặc biệt là những nội dung cơ bản của phép tính vi phân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu theo đề cương nghiên cứu đã đề ra nhằm đạt được mục
đích nghiên cứu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Đối tượng: Phép tính vi phân trong giải tích toán học.
Phạm vi nghiên cứu: Những kiến thức trong giải tích toán học.

Nguyễn Thị Hồng Thắm

1

Lớp K33C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

5. Phương pháp nghiên cứu.
Khoá luận được hoàn thành dựa trên sự kết hợp các phương pháp
nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp…
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Nghiên cứu sâu các nội dung cơ bản của phép tính vi phân sẽ tạo điều
kiện cho chúng ta nghiên cứu các chuyên đề khác của giải tích như phương
trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, lý thuyết không gian ToPo lý
thuyết giải tích hàm, và các ứng dụng thực tế của nó như tìm giới hạn, tìm cực
trị hàm số, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, phương trình tiếp xúc của
một mặt phẳng cong …
7. Bố cục của khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tư liệu tham khảo phần nội dung của
khóa luận được chia thành 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở.
Chương 2: Phép tính vi phân hàm một biến.
Chương 3: Phép tính vi phân trên R n .

Nguyễn Thị Hồng Thắm

2

Lớp K33C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng
NỘI DUNG

Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Một tập X được gọi là một không gian tuyến tính nếu:
a) Ứng với mỗi cặp phần tử x, y của X ta có theo một quy tắc nào đó
một phần tử của X , goị là tổng của x và y được kí hiệu là x y , ứng với
mỗi phần tử x của X và mỗi số thực ta có theo một quy tắc nào đó , mỗi
phần tử của X gọi là tích của x và và được kí hiệu x .
b) Các quy tắc nói trên thỏa mãn 8 điều kiện sau đây:

1) x y y x.
2) ( x y ) z x ( y z ).
3) 0 : x 0 0 x.
4) x X , ( x) X : x ( x) 0.
5) 1.x x.
6) ( x) ( ) x.
7) (
).x ( x) ( x).
8) ( x y )
x
y.
Định nghĩa 1.2. Ta gọi không gian định chuẩn là không gian tuyến tính
X trên trường K ( K R hoặc K C ) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số
thực R . Kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề sau đây:

i) ( x ( X ) x

x
ii) ( x

0
X )(

iii) ( x, y

x

0.
. KÝ hiÖu phÇn tö kh«ng lµ
K)

X) x

x

y

x.
x

y.

Số x được gọi là chuẩn của vector x . Không gian định chuẩn là X .
Định nghĩa 1.3. Dãy điểm ( xn ) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới
xn
điểm x X , nếu lim
n

Nguyễn Thị Hồng Thắm

x

0 . Ký hiệu

3

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

lim
xn
n

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

x hay xn

x(n

)

Định nghĩa 1.4. Dãy điểm ( xn ) của không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ
bản, nếu

lim xn

m ,n

xm

0.

Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X là không gian Ba-nach, nếu mọi
dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
1.2. Tôpô trong gian định chuẩn
Định nghĩa 1.6. Cho không gian định chuẩn X , . và a

X và số r 0 .

Ta gọi:
Tập hợp B a, r

x X: x a

r là hình cầu mở tâm a bán kính r

Tập hợp B' a, r

x X: x a

r là hình cầu đóng tâm a bán kính r

Định nghĩa 1.7. Cho không gian định chuẩn X , . . Mọi hình cầu mở tâm x
bán kính r 0 gọi là lân cận của điểm x X .
Định nghĩa 1.8. Cho không gian định chuẩn X , .

Tập A gọi là tập mở trong không gian X , .

x A

và tập hợp A
, nếu:

A .

B x, r

Tập A gọi là tập đóng trong không gian X , .

x A

B x, r

X.

A

, nếu:
.

Định lý 1.1. Trong không gian định chuẩn mọi hình cầu mở là tập mở, mọi
hình cầu đóng là tập đóng.
Định lý 1.2. Trong không gian định chuẩn X , . , tập A X và A
hợp A đóng trong không gian X khi và chỉ khi mọi dãy điểm xn
đến điểm x thì x

, tập

A hội tụ

A.

Nguyễn Thị Hồng Thắm

4

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Định lý 1.3. Trong không gian định chuẩn X , . ,
i) Giao của một họ tùy ý các tập đóng là tập đóng, hợp của một họ hữu hạn
tùy ý các tập đóng là tập đóng.
ii) Hợp của một họ tùy ý các tập mở là một tập mở, giao của một họ hữu hạn
các tập mở là một tập mở
Định nghĩa 1.9. Cho không gian định chuẩn X , . và tập A

X . Hợp của
0

tất cả các tập mở chứa trong A gọi là phần trong của A , ký hiệu là A hay

int A . Giao của tất cả các tập đóng chứa trong A gọi là bao đóng của A và kí

hiệu A hay A .
Định lý 1.4. Trong không gian định chuẩn X , .
i) Bao đóng của hình cầu mở là hình cầu đóng cùng tâm cùng bán kính.
ii) Phần trong của hình cầu đóng là hình cầu mở cùng tâm cùng bán kính.
Định lý 1.5. Trong không gian định chuẩn X , . , họ

tất cả các tập mở

trong X lập thành một tôpô trên X .
Định nghĩa 1.10. Cho không gian định chuẩn X , . . Tập K

X gọi là tập

compact trong không gian X , nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều
chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc K .
Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian X , nếu mọi dãy
vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc X .
1.3. Không gian Euclide R k
Định nghĩa 1.11. Cho không gian vector thực k chiều R k trong đó
Rk

x ( x1 , x2 ,..., xk ) : x j

R .

Với mỗi vector bất kỳ x ( x1 , x2 ,..., xk ) ¡ k , Ta xét ánh xạ:
. : Rk
x

xi

Nguyễn Thị Hồng Thắm

R
k

a
i 1

k

2

x

xi .
i 1

5

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Khi đó . là một chuẩn (gọi là chuẩn Euclide).
Không gian vector thực k chiều R k cùng với chuẩn Euclide được gọi là
không gian định chuẩn Rk , . ( không gian Euclide). Kí hiệu R k .

R k cùng với chuẩn Euclide là không gian Banach
Định lý 1.6. Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Eukleides R k tương
đương với sự hội tụ theo tọa độ.
Định lý 1.7. Trong không gian định chuẩn R k , tập A R k là compac khi và
chỉ khi A đóng và bị chặn.
1.4. Toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.12. Cho hai không gian tuyến tính X ,Y trên trường K
( K là trường số thực R hoặc số phức £ ).Ánh xạ A : X
xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu :
1) A( x1

x2 )

2) A( x)

Ax1

Ax2. ( x1 , x2

A( x) ( x

Y gọi là một ánh

X)

X )(

K)

Để cho gọn ta viết Ax thay cho A( x) để chỉ phần tử ứng với x trong ánh xạ A.
Định nghĩa 1.13. Cho X ,Y , Z là ba không gian tuyến tính định chuẩn, A là
một ánh xạ từ X Y vào Z ,biến mỗi cặp x X , y Y thành phần tử

z

A( x, y) Z .Ta nói A là một toán tử song tuyến tính nếu với mỗi y cố định

A( x, y ) là một toán tử tuyến tính từ X vào Z và với mỗi x cố định A( x, y ) là
một toán tử từ Y vào Z .
Định nghĩa 1.14. Cho một không gian tuyến tính X. Một hàm số f ( x) xác
định trên X và lấy trị là số (thực hay phức, tùy theo X là không gian thực hay
phức) gọi là một phiếm hàm trên X . Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:
1) f ( x1
2) f ( x)

x2 )

f ( x1 )
f ( x), x

f ( x2 ), x1 , x2
X,

X.

K.

Như vậy một phiếm hàm trên X chẳng qua là một toán tử tuyến tính từ
X vào R hay £ (tùy theo X là không gian thực hay phức ).

Nguyễn Thị Hồng Thắm

6

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
2.1. Đạo hàm và vi phân
Định nghĩa 2.1. Giả sử U là một tập hợp mở R, f : U
một số gia h khá bé sao cho x0

h U . Khi đó số f

R và x0 U .Cho x0

f x0 h

f x0

được gọi là số gia của hàm số ứng với số gia đối số h tại điểm x0 . Nếu tỷ số
f
h

f x0

h
h

f x0

có giới hạn hữu hạn khi h

0 thì giới hạn đó gọi

là đạo hàm của f đối với x tại x0 và được kí hiệu là f '( x) hoặc
f '( x0 ) lim
h 0

f ( x0

h)
h

f x0

df
( x0 ) :
dx
(2.1)

Hàm f được gọi là có đạo hàm trên U nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
thuộc U . Khi đó hàm số :
f ' :U
R

x a f '( x)

được gọi là đạo hàm của hàm số f trên U .
Định nghĩa 2.2. Cho tập hợp mở U

R và hàm số f : U

R . Hàm f được

gọi là khả vi tại x0 U nếu:

f ( x0

h)

f ( x0 )

Ah o(h).

(2.2)

Trong đó A R là đại lượng chỉ phụ thuộc x0 và hàm f mà không phụ thuộc
vào h , o(h) là vô cùng bé bậc cao hơn h .
Khi đó, hàm tuyến tính h a Ah, h R được gọi là vi phân của hàm f tại

x0 và ký hiệu là df ( x0 ) : df ( x0 )(h)

Ah

Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc U .

Nếu f ' liên tục trên U thì ta nói f khả vi liên tục trên U hay f thuộc
lớp C 1 (U )

Nguyễn Thị Hồng Thắm

7

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Định lý 2.1( Điều kiện cần để hàm khả vi). Hàm f khả vi tại điểm x0 thì liên
tục tại điểm đó.
Chứng minh:
Vì f khả vi tại điểm x0 nên f x0
f x0
Từ đây ta có lim
h 0

h

h

f x0

f x0

Ah o h

0

Kết luận: Hàm f khả vi tại điểm x0
Định lý 2.2. Hàm f : R

R khả vi tại điểm x0 khi và chỉ khi hàm f có đạo

hàm tại điểm x0 và df ( x0 )

f '( x0 ).h

Chứng minh:
Giả sử hàm f khả vi tại x0 . Ta có
f ( x0

h)

f ( x0

f ( x0 )

h)
h

Ah o(h)

f ( x0 )

A

(2.3)

o( h)
h

Vì o(h) là vô cùng bé bậc cao hơn so với h nên lim
h 0

o( h)
h

0 . Do đó, từ (2.3)

0 ta được

cho qua giới hạn khi h

lim
h 0

f ( x0

Vậy f có đạo hàm tại x0 và A

h)
h

f ( x0 )

A.

f '( x0 ) . Vi phân của f bằng

df ( x0 )

f '( x0 ).h

Ngược lại, giả sử tại x0 hàm f ( x) có đạo hàm hữu hạn f '( x0 ) . Khi đó
lim
h 0

Điều này có nghĩa
Trong đó

f ( x0

f ( x0

h)
h

h)
h

f ( x0 )

(h) là vô cùng bé khi h

f ( x0

Nguyễn Thị Hồng Thắm

h)

f ( x0 )

f ( x0 )

f '( x0 ).

f '( x0 )

(h).

0 . Từ đó:
f '( x0 )h

8

(h)h.

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Vì lim
h 0

(h).h
h

Vậy f ( x0

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

lim
(h) 0. nên
h 0

h)

f ( x0 )

(h).h là vô cùng bé bậc cao hơn h

Ah o(h)

Trong đó A là đại lượng chỉ phụ thuộc vào f và x 0 và không phụ thuộc gì
vào h . Vậy f khả vi tại x0 .
Nhận xét:

x vi phân của hàm khả vi y

Nếu h

f' x

dạng dy df x
dy

x thì f ' x

x . Nếu f x

x . Do đó df x

dx 1. x

f x tại x được viết lại dưới
1 khi đó:

f ' x dx

Xét hàm f x với x không là biến độc lập và là hàm của tham số khác

x

x t . Ta có:
df x

df x t

'

f x t

dt

f ' x .x ' t dt

f ' x dx

Vậy vi phân cấp một có tính bất biến.
Định lý 2.3(Hàm ngược). Giả sử rằng:

R liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng a, b .

1) Hàm số f : a, b

2) f có đạo hàm f ' x0
Khi đó hàm ngược g

g ' x0

0 tại x0
f

1

a, b

của hàm số f có đạo hàm tại điểm y0

f x0 và

1
.

f x0
'

Chứng minh:
Với mọi y
có x

g y
Khi đó

c, d

g y0

f

a, b , y

y0 do g cũng là đơn điệu thực sự ta

x0 .

g y g y0
y y0

Nguyễn Thị Hồng Thắm

x x0
f x f x0

9

1
f x f x0
x x0

.

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

y0 , do hàm ngược g cũng là hàm kiên tục, ta có x

Khi y
ta có:

g y g y0
y y0

lim
y y
0

hay

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

lim

x x
0

x0 . Từ đó

1
f x f x0
x x0

1
.
f x0

g ' y0

'

R . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
Định nghĩa 2.3. Cho hàm số f : x0 , b
f ( x0 h) f ( x0 )
lim
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của f tại
h 0
h
x0 , kí hiệu là f ( x0 ).
R. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
Tương tự, xét hàm số f : a, x0
f ( x0 h) f ( x0 )
lim
thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của f tại

h 0
h
x0 , kí hiệu là f ' ( x0 ).
Định lý 2.4. Hàm f : U

R khả vi tại điểm x0 khi và chỉ khi đạo hàm bên
'
'
'
'
trái f ( x0 ) và đạo hàm bên phải f ( x0 ) tồn tại và f ( x0 ) f ( x0 )

Chứng minh:
Ta xét hàm
Hàm

:x

f ( x0

h)
h

f ( x0 )

, x U \ x0

có giới hạn tại điểm x0 U khi và chỉ khi tại x0 tồn tại các giới hạn

một phía

x0 ,

x0 và bằng nhau. Vì ( x0 )

f ' ( x0 ),

( x0 )

f ' ( x0 )

nên giới hạn
lim
( x) lim
x x
x x
0

0

f ( x0

h)
h

f ( x0 )

f '( x0 )

Tồn tại hữu hạn khi và chỉ khi

Nguyễn Thị Hồng Thắm

10

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

lim ( x)

f ' ( x0 ), f ' ( x0 ) R,

lim ( x)

f ' ( x0 ), f ' ( x0 ) R,

x

x0

x

x0

và f ' ( x0 )

f ' ( x0 ).

Vậy ta được điều phải chứng minh.
2.2. Đạo hàm và vi phân cấp cao
Định nghĩa 2.4. Cho hàm f : U

R trong đó U là tập mở trong R , f khả

vi trên U . Khi đó có xác định hàm f ' :U

R . Nếu tại x0 U hàm khả vi

thì ta gọi đạo hàm của f ' tại x0 là đạo hàm cấp hai của hàm f tại x0 và kí hiệu
là f '' x0

d2 f
hay
.
dx 2

Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp n – 1 của f trên U . Khi
đó có xác định hàm f

n 1

:U

x0 U thì ta gọi đạo hàm của f
hiệu là f

n

x0

R, x
n 1

f

n 1

x . Nếu hàm f

n 1

khả vi tại

tại x0 là của f tại đạo hàm cấp n x0 và kí

dn f
hay
.
dxn

Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f . Ta
quy ước đạo hàm cấp không của hàm f chính là f
Định nghĩa 2.5. Cho tập hợp mở U
i) Hàm f : U

R, f : U

R

R được gọi là khả vi cấp n ( n lần khả vi) trên U nếu nó

có đạo hàm cấp n tại mỗi điểm x U .
ii) Hàm f được gọi là khả vi liên tục cấp n (hay hàm thuộc lớp C n U ),
ký hiệu f

C n U nếu nó có đạo hàm liên tục đến cấp n.

Nguyễn Thị Hồng Thắm

11

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

iii) Hàm f được gọi là khả vi vô hạn trên U hay thuộc lớp C trên U ,
ký hiệu f

C U nếu với mọi n hàm f thuộc lớp C trên U .

Định lí 2.5. Giả sử các hàm f và g khả vi cấp n trên khoảng a, b
đó f

g và f .g cũng khả vi cấp n trên đó và
f

fg

R khi

(n)

n

Cnk f

( x)

(n)

g
k

x

f

n

gn x

x

( x) g n k ( x)

f 0 ( x) g ( n ) ( x) nf 1 ( x) g n 1 ( x)

k 0

n n 1
f
2!

2

(2.4)

( x) g

n 2

( x) ... nf

n 1

1

( x) g ( x)

n

o

g ( x) g ( x).

Công thức (2.4) gọi là công thức Leibniz
Từ định nghĩa và các phép toán về đạo hàm cấp cao ta có đạo hàm cấp
cao một số hàm số sơ cấp cơ bản sau:

1) (a x )( n )

a x ln n a(a 0, a 1).

2) (e x )( n )

ex .

1
3)
x

(n)

4) ( x m )( n )

( 1)( n ) n!
, x 0.
x ( n 1)
m(m 1)...(m n 1) x m n .
m(m 1)...(m n 1) x m n , m ¢ , n m

m n

(x )

5) (ln x)

0 khi m ¢ , n m
(n)

6) (s in x)( n )

7) (cos x)( n )

( 1) n 1 (n 1)!
, x 0.
xn
n
sin x
2

cos x

Nguyễn Thị Hồng Thắm

n
.
2

12

Lớp K33C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Định nghĩa 2.6. Cho tập hợp U

f

R và hàm f :U

R . Giả sử

C n U . Ta gọi biểu thức d (df ) là vi phân cấp hai của hàm f , kí hiệu là

d2 f :d2 f

d (df ) .

Ta có: df

f ' x dx, trong đó dx là hằng số nên
d2 f

f ' x dx ' dx

Kí hiệu : dxdx dx 2 ta có d 2 f

f '' x dxdx

f '' x dx 2 .

Tổng quát vi phân cấp n của hàm f là biểu thức d d n 1 f , kí hiệu là d n f :

dn f
Và d n f

f

n

d dn 1 f

x dx n .

(2.5)

Công thức (2.5) biểu mối quan hệ giữa đạo hàm và vi phân. Cụ thể đạo
hàm của f ( x) biểu thị qua vi phân như sau

f

(n)

( x)

dn( f )
,
dx n

n N

Từ định nghĩa vi phân cấp cao và công thức Leibniz về đạo hàm cấp cao
ta có các kết quả sau:
i) d n x 0, n 1 và x là biến độc lập
ii) d n

f

dn f

g

d ng

n

iii) d n f .g

Cnk d k fd n k g
k 0

Ở đây f , g là những hàm khả vi cấp n trên U . Công thức xác định bởi
(iii) được gọi là công Leibniz về vi phân cấp cao.

Nguyễn Thị Hồng Thắm

13

Lớp K33C - Toán

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Nhận xét: Hàm f ( x) với x không là biến độc lập mà là hàm của tham số
khác x

x(t ) . Ta có vi phân cấp một luôn có dạng: df

f '( x)dx .

Xét vi phân cấp hai của f ta có:

d2 f

d df

d f ' x dx

d f ' x dx
f '' x dx 2

Vì x không là biến độc lập nên dx
d (dx) d 2 x

0 . Vì vậy d 2 f

f ' x d dx

f ' x d 2 x.

x '(t )dt không là hằng số nên:

f '' x dx 2

f ' x d 2x .

(2.6)

Rõ ràng so với (2.5) dạng vi phân cấp hai (2.6) có thêm số hạng f '( x)d 2 x .
Kết luận: Vi phân cấp hai không có tính bất biến như vi phân cấp một.
2.3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân
Định nghĩa 2.7. Cho tập hợp mở U

R và hàm số f : U

R . Ta nói hàm

f đạt cực đại địa phương tại điểm x0 U nếu tồn tại một số

f x

f x0

, x ( x0

, x0

)

, x0

)

0 sao cho

Hàm f đạt cực tiểu địa phương tại x0 U nếu :

f x

f x0

, x ( x0

Điểm mà tại đó hàm f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa phương
gọi chung là điểm cực trị
Định lý 2.6(Fermat). Cho tập hợp mở U

R và hàm f : U

R . Nếu điểm

x0 U là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại f '( x0 ) thì f '( x0 ) 0 .
Chứng minh:

Nguyễn Thị Hồng Thắm

14

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Giả sử f đạt cực đại địa phương tại x0 U ( trường hợp cực tiểu địa
phương tại x0 chứng minh tương tự ). Theo định nghĩa

0: ( x0

, x0

) U và f x0 h

f ( x0 ) 0 với mọi h có h

Hàm f khả vi tại x0 nên ta có : f '( x0 ) lim
h

Do đó nếu h 0 thì

Nếu h 0 thì

f x0

f x0

h

h

h
h

f x0

f x0

0

f x0

0

0

h
h

.

f x0

f '( x0 ) 0

(2.7)

f '( x0 ) 0

(2.8)

Từ (2.7) và (2.8) ta có f '( x0 ) 0
Chú ý : Điểm x0 tại đó f '( x0 ) 0 được gọi là điểm dừng của hàm f . Vì vậy ,
nếu f : U

R khả vi trên U ( U mở) thì những điểm cực trị của f phải nằm

trong số các điểm dừng của f .
Định lý 2.7( Rolle). Giả sử hàm f : a, b

R có các tính chất :

i) f liên tục trên a, b
ii) f khả vi trong khoảng a, b
iii) f (a)

f (b)

Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c

a, b sao cho f '(c) 0

Chứng minh:
Vì f liên tục trên a, b nên nó nhận giá trị lớn nhất và bé nhất tại những
điểm nào đó của đoạn a, b . Giả sử M
Khi đó : m

f x

M

Nguyễn Thị Hồng Thắm

x

max f ( x); m min f ( x) .

a, b

15

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Nếu m M thì f là hằng số và do đó f '( x0 ) 0,

x

a, b và c là

điểm bất kỳ trên a, b .
Nếu m M từ điều kiện f (a)

f (b) suy rằng hai điểm mà tại đó hàm

f đạt max và min không thể là các đầu mút của a, b .
Thật vậy, nếu chúng là các đầu mút của a, b thì

max f ( x) min f ( x)
a ,b

Và do đó f

f ( a)

f (b)

a ,b

const , mâu thuẫn . Do đó một trong hai điểm phải thuộc a, b

Giả sử c

a, b : f (c) M .Như vậy tại c hàm đạt nhận giá trị lớn nhất

trên a, b . Nhưng khi đó hàm f đạt cực đại địa phương tại c . Vì hàm f
khả vi tại nên theo định lý Fermat f '(c) 0 .
Chú ý :
1.Giả thiết f ( x) liên tục trên a, b là một giả thiết không bỏ qua được .
x khi 0 x 1
1 khi x 0

Ví dụ: Xét hàm số f ( x)
Dù f (0)

f (1) nhưng hàm số gián đoạn tại điểm x 0 .

2. Định lý Rolle không đúng nữa nếu c
x víi 0 x

Chẳng hạn hàm f x
1 x víi

Nguyễn Thị Hồng Thắm

1
2

a, b mà f '(c) 0 không tồn tại

1
2
x 1

16

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Hàm số này liên tục trên đoạn 0,1 , f (0)
tại x

f (1) nhưng f không có đạo hàm

1
, do đó cũng không áp dụng định lý Rolle được
2

Định lý 2.8( Lagrange). Giả sử hàm số f : a, b

R có các tính chất :

i) f liên tục trên a, b
ii) f khả vi trong a, b
Khi đó tồn tại ít nhất một điểm c
f (b)

f (a)

a, b sao cho:
f '(c)(b a)

(2.9)

Chứng minh:
Xét hàm F : a, b
F ( x)

R xác định bởi
f ( x)

f (a)

f (b) f (a)
( x a)
b a

Hiển nhiên F ( x ) liên tục trên a, b vì nó là hiệu của hàm liên tục f ( x)
và hàm tuyến tính . Trong khoảng a, b hàm đó có đạo hàm hữu hạn bằng
F '( x)

Mặt khác ta có F (a)

c

f '( x)

f (b) f (a)
b a

F (b) 0 . Theo định lý Rolle tồn tại một điểm

a,b sao cho F '(c) 0 . Như vậy
f '(c)

Do đó f '(c)

f (b) f (a )
b a

f (b) f (a)

. Từ đó suy ra f (b)
b a

Nguyễn Thị Hồng Thắm

17

0
f (a)

f '(c)(b a)

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Nhận xét:
1) Ta thu được định lý Lagrange như là một hệ quả của định lý Rolle.
Thế nhưng chính định lý Rolle là một trường hợp riêng của định lý Lagrange.
2) Công thức (2.9) có thể viết dưới dạng f (a)

f (b)

f '(c)(a b) ,

trong đó a b . Vì vậy (2.9) đúng trong cả hai trường hợp a b và a b .
3) Công thức (2.9) được gọi là công thức số gia hữu hạn Lagrange .

Công thức này viết như sau:
Lấy, a

x0 và x0

x0 , b

x0

x . Khi đó b a

x nên c có thể viết dưới dạng c

x . Vì c
x0

a, b nên f ở giữa

x , trong đó 0

1

Công thức (2.9) có thể viết dưới dạng

f ( x0

x)

f ( x0 )

Hệ quả 1: Giả sử hàm số f : a, b

f '( x0

x) x

R liên tục trên đoạn a, b và khả vi

trong khoảng a, b . Khi đó:
1) Nếu f '( x) 0 với mọi x

a, b thì f là một hằng số trên a, b

2) Nếu f '( x) 0 ( f '( x) 0) với mọi x

a, b thì f tăng ( giảm ) thực

sự trên a, b
Hệ quả 2 : Nếu hai hàm f ( x) và g ( x ) có đạo hàm đồng nhất bằng nhau thì
chúng chỉ sai khác nhau bởi hằng số cộng.
Định lý 2.7( Cauchy). Giả sử các hàm f , g có các tính chất:
i) Liên tục trên a, b ;
ii) Khả vi tại mọi điểm của a, b ;
iii) Đạo hàm g '( x) 0, x

Nguyễn Thị Hồng Thắm

a, b

18

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Khi đó tồn tại

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

a, b sao cho
f (b) f (a )
g (b) g (a )

f '( )
g '( )

(2.10)

Chứng minh:
Trước khi chứng minh (2.10) ta nhận xét rằng công thức (2.10) luôn có
nghĩa, tức g (b) g (a) 0 . Thật vậy nếu g (b) g ( a) 0 thì hàm g thỏa mãn
các điều kiện của định lý Rolle, do đó

0 .Điều này

a, b sao cho g '

trái với giả thiết (iii).
Xét hàm phụ

F ( x)

f ( x)

f (b) f (a )
g ( x)
g (b) g (a )

(2.11)

Hàm F ( x ) thỏa mãn điều kiện cuả định lý Rolle. Do đó

a, b và

F '( ) 0 . Mặt khác từ (2.11) ta có

và do đó
Từ đó suy ra rằng

f (b) f (a )
g '( x)
g (b) g (a )

F '( x)

f '( x)

f '( )

f (b) f (a)

g '( ) 0
g (b) g (a)

f (b) f (a )
g (b) g (a )

f '( )
.
g '( )

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Công thức (2.10) gọi là công thức số gia hữu hạn Cauchy.
Nhận xét:
1) Công thức số gia hữu hạn Lagrange la trường hợp riêng của công thức
số gia hữu hạn Cauchy tương ứng với hàm g ( x)

x.

2) Công thức Cauchy (2.10) đúng cả trong trường hợp a b lẫn trong
trường hợp a b .

Nguyễn Thị Hồng Thắm

19

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Một trong những ứng dụng quan trọng của công thức Lagrange và
Cauchy là dùng để “khử các dạng vô định” . Thực chất của vấn đề này là sử
dụng các phương pháp của phép tính vi phân để tìm giới hạn của tỉ số vô các
vô cùng bé hay các vô cùng lớn.
Định lí 2.9.(L’Hospital). Giả sử
i) f , g khả vi trong một lân cận của x0
ii) f x0

g x0

iii) Tồn tại giới hạn lim
x

Khi đó tồn tại lim
x

0 trong lân cận đó (có thể trừ điểm x0 ).

0 và g ' x

x0

x0

f' x
g' x

A

f x
f x
và lim
x x
g x
g x

lim
x x

0

0

f' x
g' x

Chứng minh:
Ta có g x

0 nếu x

x0 và x khá gần x0 vì nếu g ( x)

g ( x0 ) 0 thì

theo định lí Rolle tồn tại c ở giữa x và x0 sao cho g '( x0 ) 0 trái với giả thiết

g' x

0 khi x khá gần x0 . Vì f ( x0 ) g ( x0 ) 0 nên với x khá gần x0 ta có
f x
g x

f x
g x

f x0
.
g x0

Áp dụng định lí Cauchy ta suy ra tồn tại c ở giữa x và x0 sao cho

f x
g x
Khi x

x0 ta có c

f x0
g x0

f' c
.
g' c

x0 , từ đó

f x

lim
x x
g x
0

Nguyễn Thị Hồng Thắm

f' c
lim
c x
g' c

A

0

20

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học
Để khử dạng vô định

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

ta cũng có quy tắc tương tự như định lý trên

Định lí 2.10 (L’Hospital). Giả sử f , g là hai hàm xác định trên một lân cận

U của c sao cho
f x
i) lim
x c

lim
g x
x c

ii) f và g khả vi trên U và g ' x
iii) lim
x

c

f' x
g' x

Khi đó lim
x

c

0 với mọi x U \ c

l

f x
g x

l

Một trong những công thức quan trọng nhất của giải tích toán học đó là công
thức Taylor. Nó có nhiều ứng dụng trong giải tích toán học cũng như trong
nhiều lĩnh vực khác của toán học. Ta có kết quả sau đây:
Định lý 2.11. Giả sử Pn ( x) là một đa thức đại số bậc n :
n

Pn ( x) bo

b1 x ... bn x n

bk x k

(2.12)

k 0

Khi đó với mọi a R đa thức Pn ( x) có thể viết lại dưới dạng
n

Pn ( x)
k

P k (a)
( x a)k
k!
0

(2.13)

Khai triển (2.13) là duy nhất.

Nguyễn Thị Hồng Thắm

f

k

(a)
( x a) k được gọi là đa thức
k!
k 0
Taylor bậc n của tâm a của hàm f , khả vi cấp n tại điểm a . Đặt

Định nghĩa 2.8. Đa thức Tn ( f ; x)

n

21

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

f ( x) Tn ( f ; x) Rn ( f ; x)
f (a)

1 n
f (a)( x a) n
n!

f '(a)( x a) ...

Rn ( f ; x).

(2.14)

Công thức (2.14) là công thức Taylor của hàm f ( x)
Nếu a 0 thì (2.14) gọi là công thức Maclorin. Biểu thức Rn ( f ; x) được
gọi là phần dư của công thức Taylor.
Với những điều kiện khác nhau của hàm f ,phần dư sẽ được biểu diễn
bởi những công thức khác nhau.
Bổ đề 2.1. Nếu hàm

có đạo hàm đến cấp n tại điểm a và
(a)

'(a) ...

(a) o(( x a) n ) khi x

Thì

Định lý 2.12( Taylor). Giả sử

a , tức là

f : a, b

n

( a) 0

( x)
( x a)n

0( x

a) .

R

i) Khả vi cấp n trên khoảng a, b
ii) có đạo hàm cấp n 1 tại mỗi điểm của khoảng a, b có thể trừ ra
điểm x0

a, b .

Khi đó giữa điểm x0 và điểm x
n

f ( x)
k 0

f

a, b bất kỳ tồn tại điểm c sao cho

k

( x0 )
x x0
k!

k

Rn 1 ( f ; x)

(2.15)

Trong đó

Rn 1 ( f ; x)

1 x x0
n! p x c

p

x c

n 1

f ( n 1) (c) , p R , p

0

(2.16)

Công thức (2.15) được gọi là công thức Taylor đối với hàm f với phần
dư Rn 1 dưới dạng Schlomilch-Roche
Chứng minh:
Để cho xác định ta cho rằng x

Nguyễn Thị Hồng Thắm

x0 . Ta xét hàm

22

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học
n

h(t )

f

f ( x)
k 0

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

k

(x t) p
n! p

(t )
( x t )k
k!

Trong đó p R , p 0,

, x0

t

x

(2.17)

là tham số

Hàm h(t ) liên tục trên đoạn x0 , x , h( x) 0 và đạo hàm h '(t ) tồn tại

t

x 0 ,x . Ta chọn số

sao cho
n

h( x0 )

f ( x)

f

k

k 0

x x0
n! p

( x0 )
( x x0 ) k
k!

p

0

(2.18)

Với cách chọn đó hàm h(t ) thỏa mãn mọi điều kiện của định lý Rolle
trên đoạn x0, x . Do đó tồn tại c

x0 , x sao cho

f ( n 1) (c)
( x c) n
n!

h '(c)

x c
n!

p 1

0

(2.19)

Thật vậy từ hệ thức (2.17) ta có
h '(t )

f '(t )

f '(t )
1!

f n (t )
n( x t ) n
n!

1

f ''(t )
f ''(t )
(x t)
2( x t ) .....

1!
2!
f ( n 1) (t )
(x t) p 1
n
(x t)
.
n!
n!

(2.20)

Ta thấy rằng mọi số hạng ở vế phải của (2.20) trừ hai số hạng cuối cùng
đều khử nhau hết . Từ đó thay t c ta thu được (2.19) . Từ (2.19) ta có

f ( n 1) (c)( x c)n
Thay

p 1

(2.21)

từ (2.21) vào (2.20) thu được (2.15) và (2.16)

Bằng cách chọn các giá trị p

0 hoàn toàn xác định ta thu được những

trường hợp riêng đối với phần dư Rn 1 ( f ; x)
Xét những trường hợp quan trọng nhất khi p n 1 và p 1

1) Khi p n 1 ta thu được phần dư của công thức Taylor dưới dạng
Lagrange

Rn 1 ( f ; x)

f ( n 1) (c)( x x0 )n 1
;c
(n 1)!

Nguyễn Thị Hồng Thắm

23

x0

( x x0 ) ;0

1

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

Đối với công thức Mac-Laurin phần dư này có dạng tương ứng là

f ( n 1) ( x)( x)n 1
;0

(n 1)!

Rn 1 ( f ; x)

1

(dạng Lagrange)

2) Khi p 1 từ (2.16) thu được phần dư của công thức Taylor dưới dạng
Cauchy:
f ( n 1) ( x0

Rn 1 ( f ; x)

Trong đó c

( x x0 ))
n!

x0

( x x0 ) n 1 (1

) n ;0

1

( x x0 )

Đối với công thức Maclorin phần dư này có dạng tương ứng

f ( n 1) ( x)
(1
n!

Rn 1 ( f ; x)

) n x n 1 ;0

1 (dạng Cauchy)

Đôi khi ta không quan tâm đến biểu thức cụ thể của số dư mà chỉ cần
biết bậc của số dư so với các VCB x x0 khi x x0 . Khi đó điều kiện của
định lý được giảm nhẹ
Định lý 2.13. Cho tập hợp mở U

R . Giả sử hàm f : U

R khả vi đến cấp

n trong lân cận nào đó của x0 U và f ( n ) ( x) liên tục tại x0 . Khi đó với x ở

trong lân cận nói trên của x0 ta có
f ( x)

f ( x0 )

f '( x0 )
( x x 0 ) .....
1!

f ( n ) ( x0 )
( x x0 ) n
n!

o( x x0 ) n

Công thức trên gọi là công thức khai triển Tay lor của hàm f trong lân
cận của điểm x0
Số dư Rn ( x)

( x x0 )n của khai triển Tay lor gọi là số dư dạng Peano.

Khai triển Maclorin của một số hàm sơ cấp cơ bản theo số dư dạng Peano
1) Hàm f ( x) e x .Hàm này khả vi vô hạn và f ( n) ( x) e x
Tại x 0

0 ta có f ( n) (0) 1,
e

x

x
1
1!

Nguyễn Thị Hồng Thắm

n N

n ¥ . Do đó

x2
2!

x3
............
3!

24

xn
o( x ) n
n!

Lớp K33C - Toán


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng

2) Xét hàm số f ( x) sin x với x R . Hàm này khả vi vô hạn với mọi
k
n
) ; k R . Do đó tại x0 0 ta có:
cấp và f ( x) sin( x
2
f (0) 0; f (2n) (0) 0; f (2n 1) (0) ( 1)n 1 n N .
Do đó: sinx

x3

x
3!

x5
5!

x7
7!

x9
x 2n 1
n 1
......... ( 1)
o(x)2n
9!
(2n 1)!

3) Tương tự ta có
2n
x2
n x
cosx 1
........... ( 1)
o( x2n 1 )
2!
(2n)!

4) Hàm f ( x) ln(1 x) khả vi mọi cấp với x
Tại x0

1 . Và
f ( n) ( x) ( 1)n 1 (n 1)!(1 x) n
0 ta có f ( n) (0) ( 1)n 1 (n 1)! . Do đó
ln(1 x)

x

5) Hàm f (x) (1 x) ,
f k x
(
Tại x0 = 0 ta có f ( k ) ( x)
(1 x)

1

(

x

x2
2

x3
3

......... ( 1) n

R,(x
1) ta có
1)(

2)...........(
(

1)....(

1)

x 2 .......

2!

1

xn
n

o( x n )

k 1)(1 x)

k

k 1) . Do đó

(

1)....(
n!

n 1)

xn

o(x n )

Nếu f ( x) Pn ( x) là một hàm đa thức bậc n của x thì f ( n 1) ( x) 0 , x
Khi đó
Pn ( x)

Pn (a )

P 'n (a )
( x a)
1!

P ''n (a )
P ( n ) n (a )
2
( x a) .............
( x a)n
2!
n!

2.4. Không gian định chuẩn C ( k ) a, b
Không gian C ( k ) a, b gồm tất cả các hàm x (t ) xác định trên a, b và có đạo
hàm liên tục đến cấp k là không gian tuyến tính với các phép toán:

x

x(t ) và y

Nguyễn Thị Hồng Thắm

y(t ) C ( k ) a, b ,

25

R

Lớp K33C - Toán