Vấn đề cơ sở của không gian vectơ

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Đại số tuyến tính là một môn học rất quan trọng đối với sinh viên khoa
toán nói riêng và sinh viên học toán nói chung vì nó là nền tảng, cơ sở của rất
nhiều môn toán khác như: hình học afin, hình học Euclide, hình học xạ ảnh…
Trong đó, không gian vectơ là một nội dung rất quan trọng vì nó cung
cấp cho các bạn sinh viên những khái niệm, những kiến thức mở đầu về Đại
số tuyến tính. Chính vì lý do đó,em đã chọn đề tài: “Vấn đề cơ sở của không
gian vectơ” để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu:
Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về không gian vectơ.
Đưa ra một số dạng toán thường gặp về không gian vectơ và hệ thống
các ví dụ minh hoạ cho mỗi dạng toán.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: Kiến thức về không gian vectơ.
Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết và một số dạng toán thường gặp về
không gian vectơ.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trình bày cơ sở lý thuyết về không gian vectơ.
Đề xuất một số dạng toán thường gặp về không gian vectơ và ví dụ
minh họa.
5. Các phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu sử dụng các lý luận, các công cụ toán học.
Nghiên cứu các tài liệu liên quan.

1


PHẦN A: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
§1: KHÔNG GIAN VECTƠ

1.1 Định nghĩa không gian vectơ
ur ur

r

Cho V là một tập hợp mà các phần tử được kí hiệu là  ,  ,  , ... và K
là một trường mà các phần tử được kí hiệu là a, b, c, x, y, z ,…. Trên V ta có
hai phép toán:
a) Phép cộng (+): V x V  V
uur uur
ur ur
( ,  ) a   

b) Phép nhân (.): K x V  V
ur
ur
( x,  ) a x.

Thỏa mãn các điều kiện (hoặc tiên đề) sau:
ur ur

r

ur

ur

r

ur ur r

+ (V1): (   )      (   );  ,  ,  V
r

r ur

ur r

ur

+ (V2): 0  V : 0      0  
ur

ur

ur

ur

ur

ur

r

+ (V3):    V :   '  V :  +  ' =  ' +  = 0
ur

ur

ur

ur

ur ur

+ (V4):  +  =  +  ;   ,  V
ur

ur

ur

ur

ur ur

ur

ur

+ (V5): x (  +  )= x. + x. ;  x K;   ,  V
ur

ur

+ (V6): ( x  y). = x. + y. ;  x, y K;   V
+ (V7):  x. y   = x.  y.  ;  x, y K;   V
ur

ur

ur

ur

ur

ur

ur

+ (V8): 1.  =  ;     .
Trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K
Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho lập thành một không gian
vectơ trên trường K hay K – không gian vectơ

2


* Chú ý:
r

- Các phần tử của V được gọi là các vectơ, vectơ 0 được gọi là vectơ
uur

ur

ur

không. Vectơ  ' được gọi là phần tử đối của vectơ  và được kí hiệu là  .
- Các phần tử của K được gọi là các vô hướng
Phép cộng (+) gọi là phép cộng vectơ
Phép nhân (.) gọi là phép nhân vectơ với vô hướng
- Khi K = ¡ (tương ứng K= £ ) ta nói là không gian vectơ thực (tương
ứng không gian vectơ phức).
- Các tiên đề (V1), (V2), (V3), (V4) nói lên rằng với phép cộng vectơ, V
là một nhóm giao hoán. Các tiên đề (V5), (V6), (V7) nói lên rằng phép nhân
vectơ với vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng các vô hướng,
phân phối đối với phép cộng vectơ và có tính chất kết hợp. Tiên đề (V8) nói
lên rằng phép nhân với vô hướng được chuẩn hóa.
1.2 Ví dụ
a) Tập các vectơ tự do vùng hai phép toán cộng hai vectơ và nhân số
thực với một vectơ lập thành không gian vectơ trên ¡ .
b) Tập các đa thức K[ x ] cũng lập thành một không gian vectơ trên
trường K cùng với 2 phép toán cộng hai đa thức và nhân một đa thức với một
vô hướng như sau:
f ( x)  an xn  an1xn1  ...  a0
g ( x)  bn xn  bn1 xn1  ...  b0

Phép cộng (+): f ( x)  g ( x)  (an  bn ) xn  (an1  bn1 ) xn1  ...  (a0  b0 )
Phép nhân (.):  f ( x)  an xn  an1xn1  ...  a0
c) Xét C[a, b] là tập hợp tất cả các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b] .
Tổng của hai hàm số f  C[a, b] và g  C[a, b] là hàm số f  g  C[a, b] được

3


định nghĩa bởi ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x) và tích của một số thực r ¡ với hàm số
f  C[a, b] là hàm số r. f  C[a, b] được xác định bởi (r. f )( x)  r. f ( x)

Khi đó, C[a, b] là một không gian vectơ trên ¡ đối với phép cộng và
phép nhân được định nghĩa ở trên.
1.3 Một số tính chất của không gian vectơ
Giả sử V là không gian vectơ trên trường K. Ta có các tính chất sau:
r

a) Tính chất 1: Vectơ 0 là duy nhất, đó là phần tử trung lập của phép cộng.
r

Chứng minh: Thật vậy, giả sử tồn tại vectơ 0 V là phần tử trung lập của
ur ur

ur ur

ur

ur
 V

phép cộng thỏa mãn điều kiện 0'      0'   ;
r

ur

r

ur

Ta có: 0  0'  0 (nếu 0 ' là phần tử trung lập)

r ur ur
r
0  0'  0' (nếu 0 là phần tử trung lập)
r ur
Vậy 0  0' hay phần tử trung lập của phép cộng là duy nhất
ur
uur
b) Tính chất 2: Với mỗi   V, phần tử  ' được nói trong tiên đề (V3) là duy

nhất.
uur

Chứng minh: Giả sử, tồn tại vectơ  '' thỏa mãn tiên đề (V3)
Xét:

. ur  uur'  uur''  (ur  uur')  uur'' = 0r  uur''  uur''
. ur  uur'  uur''  (ur  uur'')  uur'  0r  uur'  uur'
ur uur
    '' hay phần tử đối của phép cộng là duy nhất

c) Tính chất 3:
ur

r

ur

r

ur

uur

ur ur r

- Nếu        thì    ;  ,  ,  V (luật giản ước)
uur

r

Chứng minh: Giả sử  ' là phần tử đối của 
ur

r

uur

ur

r

uur

ur

r

uur

ur

r

uur

Xét:      '       '    (   ')    (   ')
ur r ur r
uur
r
   0    0 (vì  ' là phần tử đối của  )
ur ur
  

4


ur

ur

ur

r

r

uur

ur ur r
 ,  ,   V (Quy tắc chuyển vế)

ur

- Nếu      (1) thì      ;
ur

Chứng minh: Gọi (  ) là phần tử đối của 
ur

Cộng hai vế của (1) với (  ) ta được
ur ur

ur

r

ur

ur

ur ur

r

ur

    (  )    (  )    (    )    
ur r r ur
  0    

ur r ur

    

d) Tính chất 4:
ur

ur

r

-  V ta có 0.  0
ur

ur

ur

ur

Chứng minh: Ta có 0.  (0  0)  0.  0.
ur

Cộng (0. ) vào cả 2 vế của đẳng thức trên ta được
ur
ur
ur
ur
ur
0.  (0. )  (0.  0. )  (0. )
ur
ur

ur
ur
ur
 0.  0.  0.  (0.  (0. ))
r
ur
ur
ur
 0  0.  (0.  0. )
r
ur
 0  0.
r r
-  x K ta có x.0  0
r
r r
r
r
Chứng minh: Ta có x.0  x.(0  0)  x.0  x.0
r
Cộng ( x.0) vào 2 vế của đẳng thức trên ta được
r
r
ur
r
r
x.0  ( x.0)  ( x.  x.0)  ( x.0)
r
r
r

r
r
 ( x.0  x.0)  ( x.0)  ( x.0  ( x.0))
r
r
r
r
 0  x.0  ( x.0  x.0)
r
r r
r
 0  x.0  0  x.0
ur
ur r
ur r
e) Tính chất 5: x  K;    V nếu x.  0 thì x  0 hoặc   0
ur r
ur r
Chứng minh: Theo tính chất 4 ta có: Nếu x  0 hoặc   0 thì x.  0
ur r
Ngược lại, giả sử x.  0 . Nếu x  0 thì:
ur

ur

1
x

ur

1
x

ur

1r
x

r

  1.  ( .x).  .( x. )  .0  0

5


ur

r

ur

r

Vậy, nếu x.  0 thì x  0 hoặc   0
ur

ur

ur

f) Tính chất 6: x  V ta có: ( x).  x.( )  ( x. )
Chứng minh: Ta có 0=0. =  x    x   .  x.     x  . 
r

ur

ur

ur

ur

ur

Cộng [( x). ] vào biểu thức đầu tiên và cuối cùng của đằng thức trên ta
được

   



 

r
ur
ur
ur
ur
0    x.   x.    x  .    x. 





ur
ur
ur
ur
 ( x. )  ( x.  x. )  ( x).
ur r
ur
 ( x. )  0  ( x).
ur
ur
 ( x. )  ( x). (1)
r
r
ur
ur
ur
ur
Mặt khác 0  x.0  x.[  ( )]=x.  x.( )
ur
Cộng [-(x. )] vào 2 vế của đẳng thức trên ta được
ur
ur
(2)
( x. )  x.( )
ur
ur
ur

Từ (1) và (2) suy ra: ( x).  ( x. )  x.( ) (đpcm)

6


§2: KHÔNG GIAN VECTƠ CON
2.1. Định nghĩa không gian vectơ con
2.1.1. Định nghĩa 2.1
Giả sử V là một không gian vectơ trên trường K. Tập con W khác rỗng
của V được gọi là không gian vectơ con (hay không gian vectơ con) của
không gian vectơ V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
ur ur

1)  ,   W:
ur

2)   W:

ur ur

   W
ur
x.  W

(x  K)

* Nhận xét:
ur

ur

r

1) Vì W   nên   W . Theo điều kiện 2 ta có: 0.  0  W
r

Vậy mọi không gian con đều chứa vectơ 0
2) Giả sử W là không gian con của V
Dễ thấy tám điều kiện trong định nghĩa một không gian vectơ được
thỏa mãn.
Do đó W là một K – không gian vectơ.
Ngược lại, nếu W là một tập con của V và W là một K – không gian
vectơ đối với hai phép toán xác định trên V thì W là một không gian vectơ
con của V.
2.1.2. Mệnh đề 2.1:
Tập W   của V là không gian con của K – không gian vectơ V khi và
ur ur

ur

ur

chỉ khi với mọi  ,  W, với mọi x, y  K ta có : x.  y. W
2.2. Ví dụ:
a) Không gian vectơ V bất kỳ đều có hai không gian con là V và tập



r
0 gồm chỉ 1 phần tử là vectơ không.

7


b) Tập Pn  x    an x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 | ai  K  là một không gian vectơ
con của K – không gian vectơ K  x 
2.2.1. Mệnh đề 2.2
Giả sử W1, W2, …,Wm là những không gian vectơ con của không gian
vectơ V trên trường K. Khi đó W=

m

I

Wi là một không gian con của V

i1

2.2.2. Mệnh đề 2.3
Giả sử W1, W2 là hai không gian con của không gian vectơ V trên
ur

uur uur

uur

trường K ta định nghĩa: W={  1   2 | 1  W1 ,  2  W2 }
Khi đó, W là một không gian con của V được gọi là tổng của hai không gian
con W1, W2
2.3. Định nghĩa 2.2

Không gian vectơ W1+ W2+ …+Wm được gọi là tổng của các không
gian vectơ và được kí hiệu là

m

W i
i=1

2.4. Định nghĩa 2.3
ur

Nếu mọi vectơ  W1+ W2 + …+Wm đều được viết duy nhất dưới
ur

uur uur

uur

uur

dạng   1   2  ...   m với  i  Wi ; i=1, m thì tổng W1+W2+…+Wm được gọi
là tổng trực tiếp của các không gian W1,W2,…,Wm và được kí hiệu
W1  W2  …  Wm .
2.5. Tổ hợp tuyến tính
2.5.1. Định nghĩa 2.4: Cho V là một không gian vectơ trên trường K.
uur uur

uur

1) Giả sử 1 ,  2 ,...,  m là m vectơ thuộc V ( m ≥ 1)

ur

uur

uur

ur

uur

Nếu   x1.1  x2 . 2  ...  xm . m ; xi  K; i  1, m thì ta nói  là tổ hợp
ur

tuyến tính của m vectơ đã cho hay  biểu diễn tuyến tính qua hệ m vectơ đã
cho.

8


2) Giả sử S là tập con của V (số phần tử của S có thể hữu hạn hoặc vô
ur

ur

hạn) ta nói  biểu diễn tuyến tính qua tập S nếu  biểu diễn tuyến tính qua
một hữu hạn vectơ thuộc S.
* Ví dụ: Trong không gian vectơ V= ¡ 2 , xét các vectơ
ur

  (2,3);

uur

1  (0,1);
uur

Ta thấy: 2.  2  (2, 2) ;

ur

 2  (1,1);
uur

uur

ur

1  2. 2  (0  2,1  2)  (2,3)  
ur uur
uur
   1  2. 2

ur

uur

uur

Vậy  là tổ hợp tuyến tính của 2 vectơ  1 và  2
2.5.2. Định nghĩa 2.5

uur

uur

uur

Cho hệ gồm m vectơ  1 ,  2 ,…,  m của không gian vectơ V trên
trường K
uur

uur

uur

Ta định nghĩa: W={ x1.1  x2 . 2  ...  xm . m ; xi  K; i  1, m }
Khi đó, W được gọi là không gian con sinh bởi hệ m vectơ
uur uur
uur
uur uur
uur
uur uuur uuur
 1 ,  2 ,…,  m và được kí hiệu là 1 , 2 ,...,  m hoặc L(  1 ,  2 ,…,  m ).
uur uur

uur

Hệ {  1 ,  2 ,…,  m } được gọi là hệ sinh của W.

9

§3: ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH VÀ PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH.
HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN VECTƠ
3.1. Hệ vectơ độc lập tuyến tính và hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính
3.1.1. Định nghĩa 3.1
uur uur

uur

Cho m vectơ  1 ,  2 ,…,  m của không gian vectơ V trên trường K, m≥1
uur uur

uur

1) Hệ vectơ  1 ,  2 ,…,  m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại
m phần tử x1 , x2 ,..., xm K không đồng thời bằng 0 sao cho:
uur
uur
uur r
x1.1  x2 . 2  ...  xm . m  0
uur uur
uur
2) Hệ vectơ  1 ,  2 ,…,  m được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không
uur
uur
uur r
phụ thuộc tuyến tính hay một cách tương đương x1.1  x2 . 2  ...  xm . m  0 kéo

theo x1  x2  ...  xm  0
3) Tập S  V được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn

của S đều độc lập tuyến tính
3.1.2. Ví dụ
1) Trong không gian hình học E3:
- Hai vectơ cùng phương là phụ thuộc tuyến tính, hai vectơ không cùng
phương là độc lập tuyến tính.
- Ba vectơ đồng phẳng là phụ thuộc tuyến tính, ba vectơ không đồng
phẳng là độc lập tuyến tính.
2) Trong không gian vectơ ¡
ur

3

uur

ur

- Hệ vectơ {  1  (1, 2,0);  2  (0,1, 2);  3  (1, 4, 4); } là phụ thuộc tuyến
tính
uur

uur

uur

r

Vì ( x1 , x2 , x3 )  (1, 2,1)  (0, 0, 0) thỏa mãn : x1.1  x2 . 2  x3 . 3  0 (*)

10

11, 2,0    2  0,1,2   1 1,4,4    0,0,0 

Thật vậy, từ (*) ta có:  1, 2,0    0, 2, 4    1,4,4    0,0,0 
 1  0  1, 2  2  4,0  4  4 

  0,0,0 

 (0,0,0) =(0,0,0) (thỏa mãn)
uur
uur
uur
- Hệ vectơ { 1  (1,0,0) ;  2  (1,1,0) ; 3  (1,1,1) } là độc lập tuyến tính
uur
uur
uur r
Thật vậy, nếu x1.1  x2 . 2  x3 .3  0 thì

x1 (1,0,0)  x2 (1,1,0) x3 (1,1,1)  (0,0,0)
 ( x1  x2  x3 , x2  x3 , x3 )  (0,0,0)
 x1  x2  x3  0


x2  x3  0

x3  0


 x1  x2  x3  0

3.1.3. Một số tính chất
uur

a) Tính chất 1: Hệ gồm một vectơ {  } phụ thuộc tuyến tính khi và
ur

r

chỉ khi  = 0 .
uur uur

uur

b) Tính chất 2: Hệ {  1 ,  2 ,…,  m } (m>1) là phụ thuộc tuyến tính khi
và chỉ khi có một vectơ nào đó của hệ biểu thị tuyến tính được qua các vectơ
của hệ.
c) Tính chất 3:
Mỗi hệ con của hệ vectơ độc lập tuyến tính cũng là một hệ vectơ độc
lập tuyến tính.
d) Tính chất 4: Mỗi hệ vectơ chứa một hệ con phụ thuộc tuyến tính
cũng là một hệ phụ thuộc tuyến tính.
r

e) Tính chất 5: Mỗi hệ có chứa vectơ 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
uur uur

uur

f) Tính chất 6: Giả sử hệ {  1 ,  2 ,…,  m }độc lập tuyến tính.

11


uur uur

uur ur

Lúc đó, hệ {  1 ,  2 ,…,  m ,  } phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vectơ
uur uur

ur

uur

 biểu diễn tuyến tính được qua hệ {  1 ,  2 ,…,  m }. Trong trường hợp đó

biểu thị tuyến tính này là duy nhất.
3.1.4. Mệnh đề 3.1
uur uur

uur

ur

Nếu hệ gồm các vectơ  1 ,  2 ,…,  m độc lập tuyến tính và  là một
vectơ không biểu thị tuyến tính được qua hệ vectơ đã cho thì hệ vectơ
uur uur

uur ur

{  1 ,  2 ,…,  m ,  } cũng độc lập tuyến tính.
Chứng minh
uur

uur

uur

ur

r

Giả sử x1.1  x2 . 2  ...  xm . m  x.  0
ur

x

uur

x

x

uur

uur

Nếu x  0 thì    1  .1   2  . 2  ...   m  . m
 x 
 x 

 x 
ur

Điều này trái với giả thiết  không biểu thị tuyến tính qua các vectơ
uur uur
uur
 1 ,  2 ,…,  m
uur

uur

uur

r

Do đó x  0 suy ra x1.1  x2 . 2  ...  xm . m  0
uur uur

uur

Vì hệ {  1 ,  2 ,…,  m } độc lập tuyến tính nên x1  x2  ...  xm  0
Mặc khác, x  0
uur uur

uur ur

Suy ra hệ {  1 ,  2 ,…,  m ,  } độc lập tuyến tính.
3.1.5. Mệnh đề 3.2
1) Nếu ta thêm một số vectơ bất kì vào một hệ vectơ phụ thuộc tuyến
tính thì được một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

2) Nếu bớt đi một số vectơ bất kì của một hệ vectơ độc lập tuyến tính
thì được một hệ độc lập tuyến tính.

12


3.2. Hạng của một hệ vectơ
3.2.1. Định nghĩa 3.2
uur

uur

1) Cho hệ vectơ {  i } ; iI của không gian vectơ V, hệ vectơ con {  j };
jJ; J  I được gọi là một hệ vectơ con độc lập tuyến tính tối đại nếu:
uur

+ {  j } là hệ độc lập tuyến tính
uur

+ Nếu thêm bất kì một vectơ  k nào (k  ( I \ J )) vào hệ đó thì hệ đã cho
là một hệ phụ thuộc tuyến tính
2) Hai hệ hữu hạn của không gian vectơ V được gọi là tương đương với
nhau nếu mỗi vectơ của hệ này đều biểu thị tuyến tính được qua hệ kia
Hai hệ vectơ cùng tương đương với hệ vectơ thứ ba thì chúng tương
đương với nhau
3.2.2. Định nghĩa 3.3
Cho một hệ gồm một số hữu hạn vectơ của không gian vectơ V. Ta gọi
số vectơ của hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ là hạng của hệ vectơ đã
cho.
uur uur

uur

uur uur

uur

Kí hiệu hạng của hệ vectơ {  1 ,  2 ,…,  m } là rank(  1 ,  2 ,…,  r )
uur uur

uur

uur uur

uur

Hệ {  1 ,  2 ,…,  m } độc lập tuyến tính  rank(  1 ,  2 ,…,  r )=m
3.2.3. Ví dụ:
Tìm hạng của hệ vectơ
uur

uur

uur

uur

1  (1,3, 4);  2  (0, 2,5);  3  (2, 4,3);  4  (1, 1,1)

trong không gian vectơ ¡

3

Lời giải
uur uur

Ta thấy hệ {  1 ,  2 } độc lập tuyến tính
uur

uur

r

Thật vậy, giả sử x1.1  x2 . 2  0
 x1 (1,3, 4)  x2 (0, 2,5)  (0, 0, 0)

13


  x1  0

  3x 1 2 x2  0  x1  x2  0
4 x  5 x  0
2
 1
uur
uur uur uur
uur uur
Mặt khác  3  21   2 ;  4  1   2
uur uur

uur uur
Nên hệ {  1 ,  2 } là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {  1 ,  2 ,
uur uur
3 ,  4 }

uur uur

uur

uur

Do đó hạng của hệ {  1 ,  2 ,  3 ,  4 } là
uur

uur

uur

uur

uur

uur

rank(  1 ,  2 ,  3 ,  4 ) = rank(  1 ,  2 ) = 2
3.2.4 Mệnh đề 3.3
uur

uur

r

uur

Giả sử hệ {  1 ,  2 ,…,  m } là hệ gồm m vectơ không đồng thời bằng 0
của không gian vectơ V và H là một hệ vectơ độc lập tuyến tính với hệ này.
Khi đó, tồn tại một hệ vectơ tối đại của hệ vectơ đã cho chứa H.
3.2.5 Mệnh đề 3.4
a) Nếu thêm vào một hệ hữu hạn vectơ một tổ hợp tuyến tính của hệ thì
hạng của hệ mới bằng hạng của hệ đã cho
b) Hai hệ hữu hạn vectơ tương đương thì có hạng bằng nhau
Chứng minh
uur uur

uur

a) Giả sử đã cho hệ vectơ {  1 ,  2 , …,  m } (1) và
ur

uur

uur

uur

  x11  x2  2  ...  xm  m
uur uur

uur ur

Nếu hạng của hệ {  1 ,  2 , …,  m ,  } cũng bằng 0 thì
uur uur
uur r
uur uur
uur ur
ur r
1   2  ...   m  0 . Do đó   0 và hạng của hệ {  1 ,  2 , …,  m ,  } cũng bằng 0.
uur

uuur

uur

Nếu hạng của hệ (1) bằng r  0 và {  i1 ,  i 2 , …,  ir } là một hệ con độc
ur

lập tuyến tính tối đại của nó thì  biểu thị tuyến tính được qua (1) nên cũng
uur

uuur

uur

biểu thị tuyến tính qua hệ này. Vì thế {  i1 ,  i 2 , …,  ir } cũng là hệ con độc lập
uur uur

uur ur

tuyến tính tối đại của hệ {  1 ,  2 , …,  m ,  }.

14


uur uur

uur ur

Suy ra rank(  1 ,  2 , …,  m ,  )  r
uur

uur

uur

uur

uur

uur

b) Giả sử {  1 ,  2 , …,  m } (2) và { 1 ,  2 , …,  n } (3) là hai hệ vectơ
ur

tương đương. Vì mỗi vectơ  i đều biểu thị tuyến tính được qua hệ (2) nên
uur

uur

uur

theo chứng minh trên hạng của hệ {  1 ,  2 , …,  m } bằng hạng của hệ vectơ
uur uur

uur ur

ur

{  1 ,  2 , …,  m ,  1 ,…,  n } (4)
Tương tự hạng của hệ (3) cùng bằng hạng của hệ (4)
uur uur

uur

uur

uur

uur

Vì vậy, rank(  1 ,  2 , …,  m )= rank( 1 ,  2 , …,  n ).

15


§ 4: CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU
4.1. Khái niệm cơ sở của một không gian vectơ
4.1.1. Định nghĩa 4.1
Giả sử V là K – không gian vectơ. Một hệ vectơ trong V được gọi là
một hệ sinh của V nếu mọi vectơ của V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó. Nếu
V có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì V được gọi là K – không gian

vectơ hữu hạn sinh.
4.1.2. Định nghĩa 4.2
Một hệ sinh độc lập tuyến tính trong không gian vectơ V được gọi là
một cơ sở của V.
Ví dụ:
1) Trong K – không gian vectơ ¡ n , hệ gồm các vectơ
ur

uur

uur

1  1,0,...,0  ;  2   0,1...,0 ; … ;  n   0,0,...,1 là một cơ sở
ur

Thật vậy, mỗi vectơ   ( 1 ,  2 ,...,  n )  ¡

n

đều viết được dưới dạng:

ur

  1 ,0,...,0   0,  2 ,...,0   0,0,..., n 
ur

uur

uur

= 1.1   2  2  ...   n  n
Suy ra hệ 1 ,  2 ,...,  n  là hệ sinh.
ur uur

uur

Hơn nữa, hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  n  độc lập tuyến tính vì
ur uur

uur

ur
uur
uur r
x1.1  x2 . 2  ...  xn . n  0

thì ( x1 , x2 ,..., xn )  (0, 0,.., 0) hay x1  x2  ...  xn  0
ur uur

uur

Cơ sở 1 ,  2 ,...,  n được gọi là cơ sở chính tắc của ¡ n .
uur

uur

uur

uur

2) Trong ¡ 3 hệ 4 vectơ 1  (1, 0, 0) ;  2  (0,1,0) ; 3  (0, 0,1) ;  4  (1,1,1)
uur

uur uur

uur

là hệ sinh nhưng không độc lập tuyến tính vì  4  1   2  3
Suy ra, hệ 1 ,  2 ,  3 ,  4  không là cơ sở của ¡ 3 .
uur uur uur uur

16


4.2. Sự tồn tại cơ sở
4.2.1. Định lý 4.1
Cho V là K – không gian vectơ. Giả sử C là một hệ vectơ độc lập tuyến
tính trong V, S là một hệ sinh của V và C  S
Khi đó tồn tại cơ sở B của V sao cho C  B  S.
Hệ quả 4.1
Cho C là một hệ vectơ của không gian vectơ V
1) Nếu C là một hệ độc lập tuyến tính thì có thể bổ sung thêm một số
vectơ vào hệ C để được một cơ sở của V.
2) Nếu C là hệ sinh của V thì có thể bớt đi một số vectơ của hệ C để được
một cơ sở của V.
Hệ quả 4.2
Mọi không gian vectơ V khác 0 đều có cơ sở.
r

4.2.2. Định lý 4.2

Cho hệ hữu hạn vectơ 1 ,  2 ,...,  n  , các khẳng định sau là tương đương
uur uur

uur

a) 1 ,...,  n  là một cơ sở của V.
uur

uur

b) 1 ,  2 ,...,  n  là một hệ sinh độc lập tuyến tính của V.
uur uuur

uur

c) 1 ,  2 ,...,  n  là một hệ vectơ độc lập tuyến tuyến tối đại của V.
uur uur

uur

Chứng minh
a  b: Vì hệ 1 ,  2 ,...,  n  là cơ sở của V nên nó là một hệ sinh, mặt
uur uur

uur

khác vectơ 0 được biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ 1 ,  2 ,...,  n  tức là :
r

uur uur



uur



r
uur
uur
uur
uur uur
uur
0  0.1  0. 2  ...  0. n  hệ 1 ,  2 ,...,  n độc lập tuyến tính

b  c: Với mọi   V biểu thị tuyến tính qua hệ 1 ,  2 ,...,  n  .
uur uur

ur

Suy ra hệ 1 ,  2 ,...,  n  là hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.
uur uur

uur

17

uur

Vậy hệ 1 ,  2 ,...,  n  là hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại của V.
uur uur

uur

c  a: Vì hệ 1 ,  2 ,...,  n  là hệ vectơ độc lập tuyến tính tối đại nên mỗi
uur uur

uur

vectơ   V đều biểu thị tuyến tuyến được qua hệ 1 ,  2 ,...,  n  và biểu thị đó
uur uur

ur

uur

là duy nhất  1 ,  2 ,...,  n  là cơ sở của không gian vectơ V.
uur uur

uur

4.2.3. Định lý 4.3
Giả sử V là không gian vectơ hữu hạn sinh, V  0 . Khi đó, V có một
r

cơ sở gồm hữu hạn vectơ. Hơn nữa mọi cơ sở của V đều có cùng số vectơ.
Chứng minh
Giả sử i 
uur

( I - hữu hạn ) là một hệ sinh của V. Vì V  0 nên trong
r

iI

r

hệ sinh trên phải có vectơ khác 0
Giả sử 1  0 nên hệ 1 độc lập tuyến tính.
uur

r

uur

Khi đó có một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ i 
uur

iI

uur

chứa  1 .

Giả sử hệ đó là 1 ,  2 ,...,  n  . Khi đó, hệ 1 ,  2 ,...,  n  cũng là một hệ
uur uur

uur

uur uur

uur

sinh của V.
Hệ này lại độc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của V.
Vì I hữu hạn nên cơ sở 1 ,  2 ,...,  n  gồm hữu hạn vectơ.
uur uur

Giả sử

 ,  ,...,   cũng
uur uur
1

uur

2

m

uur

là một cơ sở của V. Khi đó hai cơ sở

 , ,...,  và  ,  ,...,   là tương đương  chúng có hạng bằng nhau.
uur uur
1

2

uur

n

uur uur
1

uur

2

m

Mặt khác, chúng lại độc lập tuyến tính nên
n = rank 1 ,  2 ,...,  n  = rank  1 ,  2 ,...,  m  = m.
uur uur

uur

uur uur

18

uur


4.3. Khái niệm số chiều của không gian vectơ hữu hạn sinh
4.3.1. Định nghĩa 4.3
a) Số vectơ trong mỗi cơ sở của ¡ – không gian vectơ hữu hạn sinh

V  0 được gọi là số chiều của V trên trường K và ký hiệu là: dimV hay
r

dimKV.
Nếu V  0 thì ta quy ước dimV=0.
r

b) Nếu V không có cơ sở gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là
không gian vectơ vô hạn chiều.
Nếu dimV = n thì V được gọi là không gian vectơ n chiều.
Ví dụ
1) dimKn =n vì Kn có một cơ sở là:
ur

uur

uur

1  1,0,...,0  ;  2   0,1...,0  ; ... ;  n   0,0,...,1 .
r

r

2) dimE2 = 2 vì E2 có một cơ sở là i  (1,0) ; j  (0,1) .
r

r

r

3) dimE3 = 3 vì có một cơ sở là i  (1,0,0) ; j  (0,1,0) ; k  (0,0,1) .
4.4. Cơ sở trong không gian vectơ n chiều
4.4.1. Mệnh đề 4.1
Giả sử V là một không gian vectơ n chiều (n≥1). Khi đó:
a) Mọi hệ có nhiều hơn n vectơ trong V đều phụ thuộc tuyến tính.
b) Mọi hệ độc lập tuyến tính trong V đều có thể bổ sung để trở thành
một cơ sở của V.
c) Mọi hệ độc lập tuyến tính gồm n vectơ của V đều là cơ sở.
4.4.2. Mệnh đề 4.2
Cho V là một không gian vectơ n chiều và 1 ,  2 ,...,  n  là hệ gồm n vectơ
uur uur

uur

trong V.
uur uur

uur

1) Nếu 1 ,  2 ,...,  r là hệ vectơ độc lập tuyến tính thì r  n.

19


uur uur

uur

2) Nếu 1 ,  2 ,...,  r là hệ sinh của V thì r ≥ n.
* Ví dụ:

uur

uur

uur

Hệ vectơ sau là cơ sở của ¡ 3 : 1  (1, 2,1) ;  2  (0,1, 2) ; 3  (1, 2, 0)
Thật vậy, do dim ¡ 3 =3 nên ta chỉ cần chứng minh 1 ,  2 ,  3  độc lập
uur uur uur

tuyến tính.
uur

uur

uur

r

Giả sử, x1.1  x2 .2  ...  x3.  0
3

Ta có: x1 (1, 2,1) + x2 (0,1, 2) + x3 (1, 2, 0)   0, 0, 0 
 x1
 2 x1 +x 2
 x 2 x
2
 1

 x3  0

+2x 3  0
0

 x1  x2  x3  0

Suy ra hệ 1 ,  2 ,  3  là độc lập tuyến tính
uur uur uur

Vậy 1 ,  2 ,  3  là một cơ sở của ¡ 3 .
uur uur uur

4.5. Tọa độ của một vectơ
4.5.1. Mệnh đề 4.3
Giả sử hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  n  độc lập tuyến tính.
uur uur

uur

uur

uur

uur

uur

Nếu  =x1.1  x2 . 2  x3 .3
ur

thì cách biểu thị tuyến tính này của  qua hệ vectơ đã cho là duy nhất.

Chứng minh
uur

ur

uur

uur

uur

Giả sử  còn có cách biểu diễn  = y1.1  y2 . 2  ...  yn . n
uur

uur

uur

r

Khi đó:  y1  x1  .1   y2  x 2  .2  ...   yn  xn  . n  0
Vì hệ gồm các vectơ 1 ,  2 ,...,  n  độc lập tuyến tính nên:
uur uur

uur

 y1  x1    y2  x 2   ...   yn  xn   0
Hay y1  x1; y2  x2;...; yn  xn
ur

Vậy cách biểu thị tuyến tính của  là duy nhất.

20


4.5.2. Định nghĩa 4.4
Cho cơ sở  e   e1 , e2 ,..., en  của không gian vectơ V. Khi đó mỗi   V
r

ur uur

ur

uur

có cách biểu diễn duy nhất dưới dạng:
ur

ur

uur

uur

  a1.e1  a2 .e2  ...  an .en ; ai  K ; i  1, n
ur

Khi đó, bộ n số  a1 , a2 ,..., an  được gọi là tọa độ của  đối với cơ sở

 e   e1 , e2 ,..., en  và

ur uur

uur

ur
ai được gọi là tọa độ thứ i của  đối với cơ sở đó.

4.5.3. Công thức đổi cơ sở
ur

ur

Giả sử  và  có tọa độ trong cơ sở (e) là  a1 , a2 ,..., an  và  b1 , b2 ,..., bn  .
ur

ur

Từ tính độc lập tuyến tính của cơ sở (e) suy ra  =   ai  bi ; i  1, n
ur

ur ur

ur

r

n

ur

n

ur

r

Thật vậy,  =    -  = 0   ai ei   bi ei  0
i 1

ur

n

i 1

r

  (ai  bi ).ei  0
i 1

 ai  bi  0 , i  1, n
 ai  bi ; i  1, n
ur
ur ur
Ta có:  +  có tọa độ là  a1  b1 , a2  b2 ,..., an  bn  trong cơ sở (e), x. có

tọa độ là  x.a1 , x.a2 ,..., x.an  trong cơ sở (e).
Giả sử V có một cơ sở nữa là    1 ,  2 ,...,  n  thì ta có:
r

uur

ur

n

 j   Cij .ei ; j  1, n

ur uur

uur

(1)

j 1

ur

uur

Giả sử  có tọa độ  a1 , a2 ,..., an  trong cơ sở (e) và  ' có tọa độ

 a '1 , a '2 ,..., a 'n  trong cơ sở ( ) thì ta có:
n
n
n
ur ur n
uur n
ur
ur

 ai .ei     a ' j . j  a ' j .( Cij .ei )   (Cij .a ' j ).ei
n

i 1

j 1

j 1

i 1

i 1 j 1

ur

Vì biểu thị của  qua cơ sở (e) là duy nhất nên ta phải có

21


n

ai   Cij .a ' j (2)
j 1

Công thức (2) gọi là công thức đổi tọa độ tương ứng từ cơ sở (e) sang
cơ sở ().
Công thức (1) gọi là công thức đổi cơ sở từ cơ sở (e) sang cơ sở ().
*Ví dụ:
a) Chứng minh rằng 1 ,  2 ,  3  là một cơ sở của . ¡

ur uur uur

3

ur

b) Tìm tọa độ của vectơ  trong cơ sở  i  ; i=1,2,3.
c) Tìm công thức đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc của ¡

3

sang cơ sở  i  ;

i=1,2,3 và công thức đổi tọa độ tương ứng.
ur

uur

uur

ur

Trong đó 1  (1,1, 0) ;  2  (0,3, 2) ;  3  (1, 0,1) ;   (0,3, 2)
Lời giải
ur

uur

uur

r

a) Xét: a1.1  a2 . 2  a3 . 3  0
a3  0
a1 

 (a1 , a1 , 0)  (0,3a2 , 2a2 )  (a3 , 0, a3 )  (0, 0, 0)  a1  3a2
 0  a1  a2  a3  0

2a2  a3  0

ur uur uur
Suy ra hệ 1 ,  2 ,  3 độc lập tuyến tính trong ¡ 3 .





Mặt khác dim ¡ 3 =3.
Vậy 1 ,  2 ,  3  là một cơ sở của ¡ 3 .
ur uur uur

ur

uur

uur

ur

b) Xét: a1.1  a2 . 2  a3 . 3  
 (a1 , a1 , 0)  (0,3a2 , 2a2 )  (a3 , 0, a3 )  (0,3, 2)
a3  0
a1 

 a1  3a2
3 

2a2  a3  2


 a3
a1

 3a2  a3  3 
 2a  a  2
2
3


 a1

a2
a
 3

0
1
0

Vậy tọa độ của  trong cơ sở  i i 1,3 là    0,1,0  .
ur

ur

22

ur


c) Cơ sở chính tắc của ¡

3

là :

ur
uur
ur
{ e1  1,0,0  ; e2   0,1, 0 ; e3   0,0,1 }
ur
ur
uur
ur
 1 =C11 e1 + C21 e2 + C31 e3
ur
uur
ur
 uur
Ta có:   2 =C12 e1 + C22 e2 + C32 e3

ur
uur
ur
 uur

=C
e
+
C
e
+
C
e
23 2
33 3
 3 13 1
 (1,1, 0)  (C11 , 0, 0)  (0, C21 , 0)  (0, 0, C31 )

 (0,3, 2)  (C12 , 0, 0)  (0, C22 , 0)  (0, 0, C32 )
 (1, 0,1)  (C , 0, 0)  (0, C , 0)  (0, 0, C )
13
23
33

 (1,1, 0)  (C11 , C21 , C31 )

 (0,3, 2)  (C12 , C22 , C32 )
 (1, 0,1)  (C , C , C )
13
23

33


 C11  1; C21  1; C31  0

 C12  0; C22  3; C32  2
 C  1; C  0; C  1
23
33
 13

Vậy công thức đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc của ¡ 3 sang cơ sở  i i 1,3 là:
ur

ur ur uur
1  e1  e2
 uur
uur
ur


3
e

2
e
 2
2
3
ur

 uur ur
 e3
 3  e1

 x1  x1'  x2'

Công thức đổi tọa độ:  x2  3x2'  3x3'

'
 x3'
 x3  x1
ur
ur
ur
Với   ( x1 , x2 , x3 ) trong cơ sở (e);  '  ( x1' , x2' , x3' ) trong cơ sở  i

 

i 1,3

.

4.6. Số chiều của không gian con.
4.6.1. Định lí 4.4
Giả sử W và U là 2 không gian con của không gian vectơ hữu hạn chiều V.
Khi đó, dim(U+W) = dimU + dimW – dim(U  V).
Chứng minh
r

r

Nếu một trong 2 không gian con bằng { 0 }. Giả sử U={ 0 }thì dim U=0.
r

Ta có: U + W = W; (U  V) = { 0 }
Do đó, dim(U+W) = dimV = dimU + dimV – dim(U  V).
r

Nếu cả 2 không gian con đều khác { 0 }.

23


Gọi 1 ,  2 ,...,  r  là một cơ sở của U  W.
uur uur

uur

Vì 1 ,  2 ,...,  r  độc lập tuyến tính nên có thể bổ sung để được cơ sở
uur uur

uur

 , ,..., ,  ,  ,...,   của U và cơ sở  , ,..., ,  ,  ,....  của W.
uur uur
uur uur uur uuur ur uur uur
Ta chứng minh:  ,  ,...,  ,  ,  ,...  ,  ,....  là cơ sở của W + U.
uur uur
1

uur uur uur

2

r

1

uur

2

uur uur

m

1

1

r

ur

2

ur

ur

uur

uur

n

1

2

uur ur uur

2

n

m, 1

2

1

uur

2

k

k

ur

Xét:      với  U;  W
ur

uur

uur

uur

Ta có:   a1.1  a2 . 2  ...  ar . r  b1.1  ...  bm . m
ur

uur

uur

uur

ur

uur

  a '1 .1  a '2 . 2  ...  a 'r . r  c1. 1  ...  ck . k

Do đó:
r

ur

ur

uur

uur

uur

uur

ur

uur

      (a1  a '1 ).1  ...  (ar  a 'r ). r  b1.1  ...  bm . m  c1. 1  ...  ck . k
uur

uur uur

uur ur

uur

Có nghĩa là { 1 ,...,  r , 1 ,...,  m ,  1 ,...,  k } là một hệ sinh của U+W. (1)
uur

uur

uur

uur

ur

uur

r

Giả sử x1.1  ...  xr . r  y1.1  ...  ym . m  z1. 1  ...  zk . k  0

(2)

uur
uur
uur
uur
ur
uur
 x1.1  ...  xr . r  y1.1  ...  ym . m   z1. 1  ...  zk . k

Vế trái là 1 vectơ thuộc U; Vế phải là 1 vectơ thuộc W nên chúng thuộc
vào U  W. Do đó
ur
uur
uur
uur
 z1. 1  ...  zk . k  t1.1  ...  tr . r
uur
uur

ur
uur
uur r
 t1.1  ...  tr . r  z1. 1  z2 . 2  ...  zk . k  0
uur uur
uur ur uur
uur
Vì hệ vectơ 1 ,  2 ,...,  r ,  1 ,  2 ,...,  k độc lập tuyến tính nên:





t1  ...  tr  z1  ...  zk  0

uur

uur

uur

uur

uur

uur

r

Thay vào (2) ta được x1.1  x 2 . 2  ...  xr . r  y1.1  y2 . 2  ...  ym . m  0

uur uur

uur uur uur

uur

Mặt khác, hệ vectơ { 1 ,  2 ,...,  r , 1 ,  2 ,...,  m }độc lập tuyến tính suy ra:
x1  x2  ...  xr  y1  y2  ...  ym  0 (3)
uur uur
uur uur uur
uur ur uur
uur
Từ (1) và (3) suy ra { 1 ,  2 ,...,  r , 1 ,  2 ,...,  m ,  1 ,  2 ,...,  k } là 1 cơ sở của

U+W.
Suy ra dim(U+W) = r+m+k = (r+m)+(r+k)-r
Vậy dim(U+W) = dimU + dimW – dim(U  W). (đpcm)

24


CHƢƠNG 2: MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP VỀ KHÔNG
GIAN VECTƠ
1. Dạng 1: Chứng minh một tập hợp với 2 phép toán cộng và phép toán
nhân lập thành một K – không gian vectơ. Một số bài toán về không gian
vectơ con.
* Để chứng minh một tập hợp với 2 phép toán cộng và nhân lập thành
một K – không gian vectơ ta kiểm tra 8 điều kiện của định nghĩa không gian
vectơ.
Ví dụ 1.1:

Cho ¡ là một trường số thực.
Xét tích đề các ¡ n {(a1 , a2 ,..., an ); ai  ¡ ; i  1, n}
ur

ur

Với   (a1 , a2 ,..., an ) ;   (b1 , b2 ,..., bn ) là hai phần tử tùy ý thuộc ¡

n

và x

là một phần tử tùy ý thuộc ¡ . Ta định nghĩa 2 phép toán cộng và phép toán
nhân như sau:
ur

ur

Phép cộng (+) :     (a1 , a2 ,..., an )  (b1 , b2 ,..., bn )  (a1  b1, a2  b2 ,..., an  bn )
ur
x.  x.(a1 , a2 ,..., an )  ( xa1 , xa2 ,..., xan )

Phép nhân (.):

Chứng minh rằng, ¡

n

cùng với 2 phép toán trên lập thành một ¡ –

không gian vectơ.
Lời giải:
Ta kiểm tra 8 điều kiện của định nghĩa không gian vectơ.
ur

ur

r

Với mọi   (a1 , a2 ,..., an );   (b1 , b2 ,..., bn );   (c1 , c2 ,..., cn )  ¡ n , x, y  ¡ .Ta
có:
ur

ur

r

+ (V1): (   )    (a1 , a2 ,..., an )  (b1 , b2 ,..., bn )  (c1, c2 ,..., cn )

25