Chuyển pha chiral trong mô hình sigma tuyến tính trong gần đúng hatree fock

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
----------

ĐÀO THỊ LAN

CHUYỂN PHA CHIRAL TRONG MÔ HÌNH
SIGMA TUYẾN TÍNH TRONG GẦN ĐÚNG
HATREE-FOCK

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI – 2012


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm
khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2; các thầy cô, giáo trong khoa
đã tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn
Thụ người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá
trình thực hiện đề tài nghiên cứu.

Em xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Đào Thị Lan


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp: “Chuyển pha chiral trong mô hình sigma tuyến
tính trong gần đúng Hatree - Fock” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận
tình, nghiêm khắc của thầy giáo Nguyễn Văn Thụ.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không trùng
với bất kỳ kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Đào Thị Lan


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ CHUYỂN PHA ...................... 3
1.1. Pha và sự chuyển pha vật chất........................................................... 3
1.1.1. Pha vật chất ................................................................................. 3
1.1.2. Khái niệm về chuyển pha vật chất .............................................. 4
1.2. Các loại chuyển pha .......................................................................... 5
1.2.1. Chuyển pha loại 1 ....................................................................... 5
1.2.2. Chuyển pha loại 2 ...................................................................... 6
1.3. Chuyển pha lượng tử.......................................................................... 7
CHƢƠNG 2: CHUYỂN PHA CHIRAL TRONG MÔ HÌNH SIGMA

TUYẾN TÍNH TRONG GẦN ĐÚNG HATREE – FOCK .................... 12
2.1. Mô hình sigma tuyến tính .................................................................. 12
2.2. Thế hiệu dụng trong gần đúng 2 loop ................................................ 14
2.2.1 Giới hạn chiral

................................................................... 14

2.2.2 Thế giới vật lý

..................................................................... 19

2.3. Tái chuẩn hóa ..................................................................................... 20
2.3.1 Tái chuẩn hóa thế hiệu dụng ......................................................... 20
2.3.2 Các tích phân mômen xung lượng ................................................ 23
2.3.2.1. Đối với hàm truyền

............................................................ 24


2.3.2.2. Đối với hàm truyền

............................................................ 25

2.3.2.3. Thành phần nhiệt độ không ................................................... 25
2.3.2.4. Khai triển nhiệt độ cao .......................................................... 26
2.4. Kết quả tính số ................................................................................... 26
2.4.1. Trong giới hạn chiral ................................................................... 26
2.4.2. Trong thế giới vật lý

.......................................................... 29

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 32
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 33


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha xuất hiện từ những năm
50 của thế kỷ trước. Từ đó tới nay các hiện tượng chuyển pha luôn là vấn đề
có tính thời sự của vật lý cả về mặt lý thuyết lẫn thực nghiệm, nó bao trùm
toàn bộ các lĩnh vực của vật lý từ hạt nhân cơ bản cho đến vật lý thiên văn.
Nghiên cứu chuyển pha chiral trong lý thuyết trường và hạt cơ bản là một
trong những vấn đề đang được quan tâm hiện nay.
Ngưng tụ chiral trong vật chất dày đặc và các sao lùn từ lâu đã là đề tài
thú vị. Trạng thái ngưng tụ Bose được dự đoán tìm thấy trong cấu trúc của các
sao lùn với mật độ khoảng 3

, ở đó

là mật độ hạt nhân thông thường.

Trong những năm gần đây những nghiên cứu đã được thực hiện thông qua
việc quan sát các kết quả va chạm của ion nặng ở mức năng lượng trung gian,
đặc biệt là các phản ứng hạt nhân gây ra bởi các chùm tia phóng xạ đã cung
cấp cho chúng ta một cơ hội mới để xem xét độ lớn của spin đồng vị. Thế hóa
spin đồng vị đã chứng minh rằng có thể xuất hiện ngưng tụ Bose-Einstein.
Theo đó, các mô hình nghiên cứu được đơn giản hóa, như mô hình Nambu –
Jona - Lasinio, mô hình sigma tuyến tính, lý thuyết nhiễu loạn chiral. Các mô
hình này rất quan trọng đối với việc tìm hiểu về pha vật chất trong các điều
kiện khác nhau. Tuy nhiên việc sử dụng mô hình sigma tuyến tính dựa trên

thế hiệu dụng Cornwall – Jackiw – Tomboulis (CJT) có hiệu quả hơn hẳn.
Khi giải bài toán bằng mô hình sigma tuyến tính sẽ gặp nhiều khó khăn,
khi đó phương pháp gần đúng là một trong số các phương pháp để giải quyết
những khó khăn này.
Vì lý do trên mà tôi chọn đề tài “Chuyển pha chiral trong mô hình
sigma tuyến tính trong gần đúng Hatree - Fock” làm đề tài nghiên cứu.
1


2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu chuyển pha chiral trong mô hình sigma tuyến tính bằng
phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT.
- Khảo sát sự phá vỡ và phục hồi đối xứng chiral dưới ảnh hưởng của
nhiệt độ.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
- Tương tác giữa các meson.
- Ngưng tụ chiral của hạt sigma.
4. Phạm vi nghiên cứu
- Bỏ qua thế hóa spin đồng vị.
- Xét trong gần đúng 2 loop của thế hiệu dụng CJT.
- Sử dụng gần đúng Hatree – Fock (HF).
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu liên quan.
- Giải bài toán trong mô hình sigma tuyến tính bằng phương pháp gần
đúng HF.
- Tính số bằng phần mềm Mathematica.

2

CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ CHUYỂN PHA

1.1.

Pha và sự chuyển pha vật chất

1.1.1. Pha vật chất
Những trạng thái (cân bằng) của một vật đồng chất được xác bằng hai
đại lượng nhiệt động cho trước nào đó, chẳng hạn như thể tích V và năng
lượng E. Tuy nhiên, ta không có một cơ sở nào để khẳng định khi cho trước
một cặp bất kỳ những giá trị của V và E thì chính trạng thái đồng chất của vật
sẽ tương ứng với một trạng thái cân bằng nhiệt. Mà có thể trong trạng thái cân
bằng nhiệt với E và V đã cho một vật không đồng chất mà tách ra thành hai
phần đồng chất tiếp giáp nhau và ở những trạng thái khác nhau.
Những trạng thái khác nhau của vật chất có thể đồng thời tồn tại nằm
cân bằng với nhau và tiếp nhau gọi là những pha khác nhau của vật chất. Hay
nói cách khác tập hợp các “phần” có các tính chất vật lý và hóa học như nhau
của một hệ nhiệt động gọi là pha. Các “phần” được hiểu theo nghĩa rộng vì
trong nhiều trường hợp chúng không phân cách nhau về không gian. Hai pha
có thể đồng thời tồn tại trong cùng một không gian của hệ. Ví dụ: một bình
kín đựng nước, ở trên nước là hỗn hợp của không khí và hơi nước trộn lẫn
đều với nhau. Các pha của vật chất không phải chỉ là những trạng thái vật chất
khác nhau (rắn, lỏng, hơi hoặc khí) mà còn là những biến tinh thể khác nhau
của một chất rắn nào đó. Ví dụ: kim cương và than chì là những pha rắn khác
nhau của cacbon.
Cần chú ý ở đây khi nói đến pha rắn thì phải hiểu đó là một pha vật
chất khác hẳn với pha lỏng, nghĩa là phải hiểu đó là trạng thái rắn kết tinh.
Vật rắn vô định hình khi nung nóng chuyển sang trạng thái lỏng một cách liên
tục, nghĩa là khi nhiệt độ tăng thì mềm dần và không có bước nhảy vọt (tức
biến chuyển đột ngột) sang trạng thái rắn. Vì vậy vật rắn vô định hình không

3


được gọi là pha rắn của vật chất. Chẳng hạn thủy tinh ở trạng thái rắn và trạng
thái lỏng không được gọi là những pha khác nhau.
1.1.2. Khái niệm về chuyển pha vật chất
Trước hết chúng ta biết điều kiện để hai pha cân bằng với nhau
(1.1)

hay

trong đó:

(i = 1, 2) lần lượt là nhiệt độ, áp suất và thế hóa học của

pha thứ i.
Nếu đặt áp suất và nhiệt độ trên các trục tọa độ thì những điểm ở đó có
sự cân bằng pha sẽ nằm trên một đường cong nào đó (đường cong cân bằng
pha) khi đó những điểm nằm hai bên đường cong sẽ là những trạng thái đồng
chất của vật. Khi trạng thái của vật biến đổi dọc theo một đường cắt đường
cong cân bằng pha ta sẽ gặp sự phân lớp các pha và sau đó vật sẽ chuyển sang
một pha khác đó là sự chuyển pha. Trên hình 1.1 là đồ thị minh họa đường
cong cân bằng pha và sự chuyển pha giữa hai pha 1, 2.
P
1
2
T

0

Hình 1.1. Đồ thị pha

4


1.2.

Các loại chuyển pha
Nghiên cứu chuyển pha có từ khi có nhiệt động lực học nhưng lý thuyết

đầu tiên là của Gibbs. Năm 1933 Erhenfist, định nghĩa chuyển pha: chuyển
pha là bậc n nếu các thế nhiệt động là liên tục ở nhiệt độ chuyển pha Tc và đạo
hàm hạng n của nó theo nhiệt độ liên tục tại điểm này còn đạo hàm n+1 gián
đoạn. Thực tế chỉ có chuyển pha bậc 1 và bậc 2.
Năm 1937 Landao đưa ra phân loại khác. Chuyển pha thường gắn với
sự thay đổi tính chất đối xứng của hệ biến đổi. Như vậy chuyển pha gắn với
tính chất đối xứng và Landao đưa ra tham số trật tự. Tham số trật tự phải đặc
trưng cho hệ vật lý, khi pha đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha
đối xứng khác thì tham số trật tự thay đổi.
Tham số trật tự cho các hệ vật lý phụ thuộc vào hệ mà chúng ta khảo
sát. Cụ thể như trong bảng 1.1
Bảng 1.1. Tham số trật tự cho các hệ vật lý

Hệ vật lý

Tham số trật tự

Vật liệu từ

Độ từ hóa

Siêu dẫn

Khe năng lượng

Siêu lỏng

Mật độ siêu lỏng

1.2.1. Chuyển pha loại 1
Sự chuyển pha từ pha này sang pha khác có kèm theo sự giải phóng hay
hấp thụ một lượng nhiệt nào đó gọi là chuyển pha loại 1. Lượng nhiệt đó được
gọi là ẩn nhiệt chuyển pha hay nhiệt chuyển pha. Theo các điều kiện cân bằng
thì chuyển pha loại 1 xảy ra ở nhiệt độ và áp suất không đổi. Do đó ta tính
được nhiệt chuyển pha q ứng với một phần tử là

5


hoặc
(1.2)
trong đó:
q là nhiệt chuyển pha.
là các hàm nhiệt của hai pha tính cho một phân tử.
S1, S2 : là entrôpi của hai pha ứng với một phần tử.
q > 0 : chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ hai nhiệt bị hấp thụ.
q < 0 : chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ hai nhiệt được giải phóng.
1.2.2. Chuyển pha loại 2
Đây là sự chuyển pha có liên quan đến sự thay đổi đối xứng, sự chuyển
một dạng biến thể kết tinh này sang dạng khác thực hiện một cách liên tục mà

không có sự thay đổi nhảy bậc của các trạng thái vật gọi là sự chuyển pha loại
2. Cùng với những trường hợp mà trong đó sự thay đổi đối xứng của vật thực
hiện bằng cách di chuyển các nguyên tử, sự thay đổi đối xứng khi có chuyển
pha loại hai còn liên quan tới sự thay đổi trật tự của tinh thể. Và ta đi đến kết
luận như sau: nếu khi nhiệt độ tăng mà tham số Φ dần đến 0 một cách liên tục
không nhảy bậc ta sẽ có chuyển pha loại 2.
Từ những khái niệm chuyển pha loại 2 ở trên ta thấy rằng:
Với ý nghĩa là trạng thái của vật thay đổi một cách liên tục sự chuyển
pha loại 2 là quá trình chuyển liên tục. Đối xứng tại điểm chuyển pha sẽ thay
đổi nhảy bậc và tại từng điểm có thể chỉ rõ vật thuộc pha nào nhưng tại điểm
chuyển pha loại 2 thì trạng thái của hai pha trùng nhau.

6


Do trạng thái của hai pha tại điểm chuyển pha loại 2 trùng nhau nên đối
xứng của vật tại chính điểm chuyển pha trong mọi trường hợp phải chứa các
yếu
tố đối xứng của cả 2 pha.
Từ điều kiện không có nhảy bậc trạng thái tại điểm chuyển pha loại 2 dẫn
đến kết quả: các hàm trạng thái nhiệt động của vật (S, E, V...) vẫn liên tục khi đi
qua điểm chuyển pha nên chuyển pha loại 2 không kèm theo việc tỏa nhiệt hay
hấp thụ nhiệt. Nhưng đạo hàm của các đại lượng nhiệt động đó sẽ thay đổi nhảy
bậc tại điểm chuyển pha loại 2.
1.3.

Chuyển pha lƣợng tử
Tất cả chúng ta đều quan sát thấy sự chuyển pha trong cuộc sống hàng

ngày. Thông thường chúng được phân loại là chuyển pha loại 1 và chuyển pha

loại 2. Tham số thường dùng cho quá trình chuyển pha được dựa trên năng
lượng tự do. Chuyển pha xảy ra khi trạng thái cơ bản của năng lượng tự do
khác nhau đối với các nhiệt độ khác nhau.
Dưới đây chúng ta đề cập đến một loại mới của chuyển pha – chuyển
pha lượng tử, xảy ra ở nhiệt độ tuyệt đối không. Theo lý thuyết nhiệt động
chúng ta biết rằng hệ phải ở trạng thái năng lượng thấp nhất (còn được gọi là
trạng thái cơ bản). Với một hệ cho trước, khi nhiệt độ bằng không, tất cả các
nguyên tử (hay phân tử) nằm ở tại vị trí nút mạng tinh thể. Tức là chúng
không chuyển động, và như vậy liệu có xảy ra chuyển pha hay không? Điều
này không phù hợp với các định luật của cơ học lượng tử, những định luật
chi phối toàn bộ các hệ vi mô. Cụ thể, nguyên lý bất định của Heisenberg
cho biết không thể xác định đồng thời vị trí và xung lượng của một hạt vi
mô.
Để nói về vấn đề này, chúng ta sử dụng Hamiltonian của hệ đã được

7


dùng trong tài liệu [2] và so sánh chuyển pha lượng tử với chuyển pha cổ điển
trong tài liệu [3,4,5].
Chúng ta bắt đầu bằng cách viết Hamiltonian của hệ dưới dạng
(1.3)
trong đó

là hai thành phần đã được xác định của Hamiltonian, và g là tham

số không có thứ nguyên, vai trò của nó ở đây sẽ tương đương như T đối với
giao hoán với nhau, điều này có nghĩa là

và

có thể đồng thời được chéo hóa, và vì vậy các hàm riêng độc lập với

ngay

chuyển pha nhiệt.

và

cả khi các trị riêng tương ứng phụ thuộc vào . Vì vậy hệ có một mức kích thích
có thể trở thành mức cơ bản tại một điểm nào đó, như khi
điểm

(hình 1.2). Tại

chúng ta có thể thấy một sự chuyển pha xuất hiện. Loại chuyển

pha này được gọi là chuyển pha lượng tử.

gc

g

Hình 1.2. Mức vượt qua

Ở nhiệt độ hữu hạn

, mọi thông tin của hệ được xác định qua hàm

tổng thống kê

(1.4)
trong đó

là Hamiltonian. Khi đó giá trị trung bình của đại

8


lượng vật lý bất kỳ được mô tả bởi toán tử O được tính theo công thức
(1.5)
Bằng cách sử dụng biểu diễn tích phân đường Feynman, chúng ta có
thể viết

(1.6)
ở đây để cho đơn giản chúng ta sử dụng hệ đơn vị tự nhiên với
số hạng khử phân kỳ tử ngoại,
đã chọn sao cho
Khi nhiệt độ

và

,

là

là tập hợp các số nguyên

.
hệ có có thể xem là được bổ xung thêm 1 chiều.

Bằng cách này, chúng ta có thể biểu diễn mối tương quan một hệ lượng tử có
d chiều thành một hệ cổ điển có d+1 chiều như bảng 1.2
Bảng 1.2. Mối tương quan giữa hệ lượng tử và hệ cổ điển.

Lƣợng tử

Cổ điển

chiều không gian, 1 chiều thời gian

chiều không gian

Hằng số liên kết g

Nhiệt độ T

Nhiệt độ nghịch đảo

Chiều “thời gian” có kích thước hữu
hạn

Độ dài tương quan

Độ dài tương quan

Một ví dụ điển hình cho chuyển pha lượng tử là mô hình Ising 1 chiều
với Hamiltonian
(1.7)
9

trong đó
và

và

là hằng số,

là trạng thái riêng của

là các toán tử Pauli tại nút mạng i. Gọi
tương ứng với trị riêng

(1.8)
Có hai trạng thái riêng của

với trị riêng
(1.9)
(1.10)

Trong trường hợp của tương tác mạnh (g >> 1) trạng thái cơ bản chỉ
đơn giản là trạng thái sắt từ
(1.11)
và trạng thái kích thích đầu tiên là
(1.12)
Đối với trường hợp tương tác yếu (g << 1), số hạng thứ 2 trong (1.7) có
thể bỏ qua. Trong trường hợp g = 0 trạng thái cơ bản bị suy biến

Trạng thái kích thích là tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái này. Nó được
gọi là trạng thái thuận từ lượng tử. Ví dụ

Trong trường hợp tổng quát, năng lượng của trạng thái kích thích đầu
tiên là

10


(1.13)
Vì thế, chúng ta thấy hệ bây giờ đã xuất hiện một khe năng lượng 
(1.14)
Rõ ràng là có sự chuyển pha lượng tử. Từ (1.14) chúng ta có thể tìm thấy
những giá trị tới hạn

T
D

C
A
0

B
g

1
Hình 1.3. Sơ đồ pha chuỗi Ising

A: là vùng nhiệt độ thấp, đó là vùng trật tự từ   0, T   .
B: là vùng nhiệt độ thấp, đó là vùng thuận từ lượng tử   0, T   .
C: là vùng nhiệt độ cao biến thiên liên tục,
D: Vùng nhiệt độ cao,

.

…

Trên cơ sở của các phân tích trên, chúng ta có thể vẽ giản đồ pha như
hình 1.3. Trong giản đồ này chúng ta có hai thang năng lượng, đó là
(trong đó chúng ta đặt

và T

). Chúng ta có thể xem chúng như thang lượng

tử và thang nhiệt động lực học. Trong các vùng A và B, T<< , cả hai hệ đều
có thể xem như hệ cổ điển mặc dù trong từng vùng có cấu trúc khác nhau.
Chúng có các chuẩn hạt khác nhau. Tuy nhiên trong khu vực C, nhiệt độ cao,
có sự khác biệt về độ dài tương quan và thời gian tương quan.

11


CHƢƠNG 2
CHUYỂN PHA CHIRAL TRONG MÔ HÌNH SIGMA TUYẾN TÍNH
TRONG GẦN ĐÚNG HATREE – FOCK
2.1. Mô hình sigma tuyến tính
Cùng với các mô hình hiệu dụng như mô hình Nambu-Jona-Lassinio
(NJL) và lý thuyết nhiễu loạn chiral, mô hình sigma tuyến tính đã thu hút
được nhiều sự chú ý trong những năm gần đây. Nó có tác dụng trong việc
nghiên cứu lý thuyết sắc động lực học lượng tử (QCD). Mô hình sigma
tuyến tính được Gell – Mann và Levy đưa ra đầu tiên vào năm 1960 và có

rất nhiều tài liệu nghiên cứu sâu thêm về mô hình này. Mô hình sigma
tuyến tính tương đối đơn giản, nó được ứng dụng để nghiên cứu phá vỡ đối
xứng tự phát và nghiên cứu chuyển pha. Vì lý do này, mô hình sigma tuyến
tính được dùng trong việc nghiên cứu ngưng tụ pion và phá vỡ đối xứng
chiral cũng như ngưng tụ kaon. Sau này hai ngưng tụ pion và kaon liên quan
đến việc nghiên cứu pha có màu và hương bị khóa ở mật độ baryon cao.
Trong đó ngưng tụ pion có tác dụng trong việc nghiên cứu chuyển pha của hạt
quark thông thường cũng như phá vỡ đối xứng chiral ở mật độ baryon thấp.
Trên thực tế, việc phá vỡ đối xứng chiral gặp trở ngại lớn trong việc nghiên
cứu chuyển pha chiral ở mật độ baryon hữu hạn (được gây ra ở mật độ baryon
khác không), tích phân đường Euclid không xác định dương trong tài liệu
[9,10]. Điều này làm cho việc nghiên cứu của sắc động lực học lượng tử QCD
ở mật độ baryon hữu hạn gặp khó khăn bởi lý thuyết mạng gauge. Tuy nhiên
sự xuất hiện của thế hóa spin đồng vị

không ảnh hưởng đến tính chất dương

nói trên và do đó có thể khảo sát đồng thời mạng tinh thể QCD và các lý
thuyết trường hiệu dụng khác nhau.Theo cách này, QCD ở thế hóa baryon
12


không và thế hóa spin đồng vị hữu hạn cho chúng ta một phương pháp để
nghiên cứu tính phù hợp của phép phân tích gần đúng.
Mô hình sigma tuyến tính là mô hình của bốn trường vô hướng tương
tác với nhau (meson) và fermion. Chúng ta có thể viết Lagrangian dưới
dạng

(2.1)
trong đó

là thế hóa spin đồng vị. Có

hai dạng khác nhau của số hạng phá vỡ đối xứng
(2.2)
với

và
(2.3)
Nếu số hạng phá vỡ đối xứng có dạng (2.2) ta gọi đây là trường hợp

chính tắc (standark). Trong trường hợp này
(2.4)
trong đó

và

là khối lượng của các hạt pion và hạt sigma,

là hằng

số phân rã pion.
Trường hợp số hạng phá vỡ đối xứng có dạng (2.3) ta gọi đây là
trường hợp không chính tắc (non – standark). Khi đó các hệ số trong biểu
thức thế năng tương tác có dạng

13


(2.5)

2.2. Thế hiệu dụng trong gần đúng 2 loop
Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc Lagrangian của hệ có
dạng
(2.6)
các hệ số tương tác được xác định như ở (2.4). Ta sẽ khảo sát cấu trúc pha
trong trường hợp thế hóa spin đồng vị bằng không.
Khi thế hóa spin đồng vị bằng không lại có thể xảy ra hai khả năng
khác nhau. Bây giờ ta sẽ lần lượt xét hai trường hợp này.
2.2.1 Giới hạn chiral
Trong trường hợp này chúng ta đã biết trạng thái cơ bản của hệ là

trong gần đúng cây (tree – level),

được tìm từ điều kiện cực tiểu của thế

tương tác
(2.7)
và do đó

khi

.
Chúng ta đưa vào các trường mới

,

liên hệ với các trường

meson bởi biểu thức
(2.8)

14


thì sẽ thu được Lagrangian tổng quát (2.26).
Tiến hành phép dịch chuyển
(2.9)
thì
(2.10)
Khi đó từng thành phần của (2.26) dịch chuyển như sau

(2.11)
Từ (2.11) và thực hiện một vài phép biến đổi ta sẽ thu được Lagrangian
tương tác

(2.12)
và các hàm truyền nghịch đảo
15


(2.13)
Từ (2.7) và (2.13) ta thấy rõ ràng các pion là các boson Goldstone.
Dựa vào (2.12) và (2.13) chúng ta có thể tính được thế hiệu dụng CJT
trong gần đúng hai vòng (double – bubble). Gần đúng này được gọi là phép
gần đúng HF. Kết quả cho ta

(2.14)
trong đó

16

hay

(2.15)
với

Từ (2.15) ta rút ra được phương trình khe và các hàm truyền nghịch đảo
-

Phương trình khe

Từ điều kiện

ta thu được
(2.16)
Phương trình Schwinger – Dyson

được xác định từ điều kiện

17


(2.17)
Thay (2.15) vào (2.17) ta được các hàm truyền nghịch đảo

(2.18)
trong đó

(2.19)

Khối lượng hiệu dụng của các meson được định nghĩa là

18


(2.20)
Các phương trình (2.16) - (2.20) cho thấy trong gần đúng HF không xuất
hiện boson Goldstone nào.
Thay (2.16) và (2.20) vào (2.15) ta thu được dạng của thế hiệu dụng (dạng
thông thường)

(2.21)
với

2.2.2 Thế giới vật lý
Để kết thúc phần chuyển pha khi thế hóa spin đồng vị bằng không,
chúng ta khảo sát trường hợp cuối cùng với

, ta gọi trường hợp này là

thế giới vật lý. Tương tự như trên thế hiệu dụng CJT có dạng

19


(2.22)
Từ (2.22) ta có thể tìm được ngay phương trình khe
(2.23)
các phương trình Schwinger-Dyson

(2.24)
2.3. Tái chuẩn hóa
2.3.1 Tái chuẩn hóa thế hiệu dụng
Dựa trên phương pháp tái chuẩn hóa chúng tôi sẽ trình bày chi tiết việc tái
chuẩn hóa thế hiệu dụng ứng với Lagrangian (2.1). Trong mục 2.2.1 ta có
biểu thức
(2.25)
Thay (2.23) vào (2.1) ta sẽ đưa Lagrangian này về dạng tổng quát hơn

(2.26)

20