Báo cáo nghiên cứu khoa học: " XẤP XỈ ƯỚC LƯỢNG BAYES CHO THAM ẨN HỖN HỢP TRONG MÔ HÌNH PHI TUYẾN 2-CHIỀU" doc

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 5

XẤP XỈ ƯỚC LƯỢNG BAYES CHO THAM ẨN HỖN HỢP TRONG MÔ HÌNH
PHI TUYẾN 2-CHIỀU

Ung Ngọc Quang
Trường Đại học khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM
(Bài nhận ngày 02 tháng 07 năm 2007, hoàn chỉnh sửa chữa ngày 05 tháng 05 năm 2008)
TÓM TẮT: Trong bài này, tác giả tìm xấp xỉ cho ước lựơng Bayes của tham ẩn định vị
và tham ẩn phương sai trong mô hình phi tuyến 2-chiều. Dựa trên các kết quả đó, tác giả đưa
ra xấp xỉ ước lượng Bayes cho tham ẩn hỗn hợp bằng hàm đa thức.
Từ khóa: Ước lượng Bayes, tham ẩn hỗn hợp, mô hình phi tuyến 2 – chiều, hàm đa
thức.
1. MỞ ĐẦU
Ước lượng Bayes là vấn đề c
ập nhật và thời sự hiện nay trong thống kê và đã được tiếp
cận theo nhiều hướng khác nhau (xem [1], [2], [3]).
Tác giả bài này tiếp cận bài toán ước lượng Bayes bằng công cụ và phương pháp giải tích
hàm ( xem [4] – [10]). Trong đó, vấn đề tồn tại ước lượng Bayes đối với các mô hình phi tuyến
khác nhau đã được khảo sát ở các bài [4] – [7]. Còn vấn đề xấp xỉ ước lượng Bayes đối với các
tham ẩn định vị, phương sai và hỗn h
ợp trong mô hình 1-chiều đã được khảo sát ở các bài [8] –
[10].
Liên tục theo hướng trên, bài này sẽ khảo sát xấp xỉ ước lượng Bayes cho tham ẩn hỗn hợp
đối với lớp các ước lượng bị chặn trong mô hình phi tuyến 2-chiều.
Trước hết tác giả trình bày xấp xỉ ước lượng cho tham ẩn định vị và tham ẩn phương sai.
Sau đó ứng dụng các kết quả ấy cho tham ẩn hỗn hợp.
2. XẤP X
Ỉ ƯỚC LƯỢNG BAYES CHO THAM ẨN ĐỊNH VỊ TRONG MÔ HÌNH PHI

TUYẾN 2-CHIỀU.
Xét mô hình hồi qui phi tuyến 2-chiều có dạng
:
(
)
X
ϕ
θε
=
+

Trong đó:
X : vectơ quan trắc ngẫu nhiên 2-chiều có trị trong không gian

2
R

ε
: vectơ sai ngẫu nhiên 2-chiều có trị trong không gian
2
R

θ
: tham ẩn định vị và
θ
∈Θ

Θ
: tập hợp compắc trong không gian
r

R

ϕ
: hàm phi tuyến cho trước,
2
:
R
ϕ
Θ→
Ánh xạ Borel đo được
2
:
r
hR R→
gọi là ước lượng của tham ẩn định vị
Tập hợp tất cả các ứơc lượng bị chặn của tham ẩn định vị
θ
tạo thành một không gian
Banach và kí hiệu là
2
(;)
r
B
RR .Tương tự như trong bài [2 ] , phiếm hàm
(
)
2
:;
r
BR R R

+
Ψ→

Science & Technology Development, Vol 11, No.10 - 2008

Trang 6 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
được xác định bởi hệ thức
(
)
(
)
(
)
2
,()()()
R
hLhxfxdxd
θ
θ
μτθ
Θ
Ψ=
∫∫
gọi là hàm mạo
hiểm Bayes với phân phối xác suất tiên nghiệm
τ
trên không gian tham
Θ
. Nhắc lại rằng
()

()
,Lhx
θ
được gọi là hàm tổn thất ,
(
)
f
x
θ
gọi là hàm mật độ có điều kiện chính qui và ø
μ
là độ đo Lebesgue trên
2
R
( xem [2])
Ước lượng
(
)
2
ˆ
;
r
hBRR∈ gọi là ước lượng Bayes của tham ẩn định vị
θ
∈Θ
với phân phối tiên nghiệm
τ
nếu
()
()

ˆ
infhhΨ=Ψ

(
)
2
;
r
hBRR∈
Tương tự như trong bài [5 ] ta có định lí về sự tồn tại ước lượng Bayes cho tham ẩn định
vị
Định lí 1.1: Cho K là tập các ước lượng của tham ẩn định vị
θ
∈
Θ
và thoả các điều kiện:
i.
(
)
2
,hR h K⊂Θ∀ ∈
ii.
0,
ε
∀> ∃ phân hoạch
{
}
2
1
m

i
i
ER
=
⊂ và các điểm ,1,
ii
x
Ei m∈=
sao cho:
(
)
(
)
sup , , 1,
i
i
hx hx h K i m
xE
ε
−<∀∈∀=
∈

iii.Tồn tại C > 0 sao cho:

(
)
(
)
,, ,,,
r

r
R
Ly Ly Cy y yy R
θθ θ
′′′ ′′′′′′
−≤−∀∈∀∈Θ

Khi ấy K là tập compăc tương đối trong
(
)
2
,
r
BR R và trong lớp ước lượng
K
tồn tại ước
lượng Bayes.
Tiếp theo, để xét bài toán xấp xỉ ước lượng Bayes cho tham ẩn định vị, ta đưa thêm một số
giả thiết và kí hiệu. Giảsử tập trị của véctơ quan trắc ngẫu nhiên 2-chiều X là tập compắc
2
IR⊂ . Không gian tất cả các hàm bị chặn, xác định trên I, có trị trong
r
R
, ký hiệu là B(I) .
Không gian các hàm liên tục, xác định trên I, có trị trong
r
R
, kí hiệu là C(I). Hiển nhiên B(I),
C(I) là các không gian Banach và
(

)
(
)
CI BI⊂ .
Định lí 1.2: Giả sử tập K các ước lượng của tham ẩn định vị
θ
∈
Θ thoả các điều kiện của
định lí 1.1. Giả sử hàm
()
f
x
θ
bị chặn đều. Khi ấy có thể xây dựng được một đa thức 2 biến
xấp xỉ ước lượng Bayes .
Chứng minh : Trước hết, theo định lí 1.1, tồn tại ước lượng Bayes
ˆ
hK
∈
.
Theo giả thuyết
(
)
:,,Cfx CxI
θ
θ
′′
∃≤∀∈∀∈Θ

Tiếp theo lấy ước lượng Bayes

ˆ
hK
∈
. Khi ấy 0C
′
′
∃
> sao cho:
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 7
() () () () () ()
()
12
1
ˆˆˆˆˆˆ
, , ,
r
r
jr
R
j
hx h x C hx h xh x h x
=
′′
=≤=
∑

Trong đó các hàm
ˆ

,1,
j
hj r= là đo được bị chặn , xác định trên I , có trị trong
R
.
Theo định lí Lusin, với
0
ε
>
cho trước, tồn tại các hàm
,1,
j
g
jr=
liên tục, xác định
trên I sao cho:
() ()
{
}
ˆ
:
4. . . .
jj
xIhx gx
rCC C
ε
μ
∈≠<
′
′′

với
μ
là độ đo Lebesgue trên
2
R

Đặt
(
)
12
, , ,
r
g
gg g= . Ta thấy
(
)
(
)
ˆ
hx gx≠
khi và chỉ khi tồn tại ít nhất một j sao cho:
() ()
ˆ
jj
hx gx≠ .
Hơn nữa
(
)
r

R
g
xC
′′
≤
Vậy nên, nếu đặt
() ()
{
}
() ()
{
}
ˆˆ
,,1,
jj j
A
hx gx A h x g x j r=≠ = ≠ =

ta sẽ có:
1
r
j
j
A
UA
=
=
Suy ra :
()
()

1
4. . .
r
j
j
AA
CC C
ε
μμ
=
≤<
′
′′
∑

Với A như trên, theo định nghĩa của hàm mạo hiểm Bayes, ta có :

(
)
() ()
()
()
()
() ( )( )
ˆ
,,
I
hgLhxLgxfxdxd
θ
θ

θμτθ
Θ
Ψ−Ψ ≤ −
∫∫

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ˆˆ
AIA
Chx g x f x dx d Chx g x f x dx d
θσ
μ

τθ μ τθ
ΘΘ−
≤− + −
∫∫ ∫ ∫

() () () ( )( )
ˆ
2
A
Chx g x f x dx d
θ
ε
μτθ
Θ
=− <
∫∫

Mặt khác, với
0
ε
> và với các hàm liên tục ,1,
j
g
jr= như trên, theo định lí xấp xỉ
Weierstrass cho hàm nhiều biến, sẽ tồn tại các đa thức 2 biến
(
)
12
12
ˆ

,
,
j
nna
P
xx
+
sao cho
()
12
ˆ
,
,1,
2. .
j
j
nna
CI
g
Pjr
rC
ε
+
−<∀=

Trong đó, các đa thức 2 biến
12
ˆ
,
j

nna
P
+
có bậc
()
(
)
12 12
ˆ
,nn nnh
ε
+= +
và có hệ số :
(
)
(
)
(
)
(
)
12
ˆˆ
11,
jj
ks
aaMn n=∈ + +
với
(
)

(
)
(
)
12
11Mn n+× + là không gian các ma trận cấp
(
)
(
)
12
11nn+× +
và
Science & Technology Development, Vol 11, No.10 - 2008

Trang 8 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
2
1
0, ; 0,knsn==
.
Ký hiệu họ đa thức :
(
)
12
12
12 12 12
ˆ
,
ˆˆ ˆ
,, ,

, , ,
r
nna
nna nna nna
PP P P
+
++ +
=
,
ta thấy :
() () () ()
12
12
ˆ
,
ˆ
,
1
j
r
r
nna j
nna
R
j
g
xP x gxP x
+
+
=

−=−
∑

Do đó :
()
(
)
() () () ( )( )
12 12
ˆˆ
,,
r
nna nna
I
R
g
PCgxPxfxdxd
θ
μ
τθ
++
Θ
Ψ−Ψ ≤ −
∫∫

() () ()( )( )
12
ˆ
,
1

j
r
j
nna
j
I
Cg x P x f x dx d
θ
μ
τθ
+
=
Θ
=−
∑
∫∫

()
() ( )( )
12
ˆ
,
1
2
j
r
j
nna
j
I

CI
Cg P f x dx d
θ
ε
μτθ
+
=
Θ
≤− <
∑
∫∫

Suy ra:
(
)
()
12
ˆ
,
ˆ
22
nna
hP
ε
ε
ε
+
Ψ−Ψ <+= và định lý 2.1 chứng minh xong ª
Thuật toán: Tiếp theo ta đưa ra một thuật toán xây dựng đa thức xấp xỉ
12

,nna
P
+
.
Trước hết , theo cách xây dựng trên , với bất kỳ
hK
∈
, ta được họ đa thức hai biến :
12
12
12 12 12
,
,, ,
( , , , )
r
nna
nna nna nna
PPP P
+
++ +
= có bậc
(
)
(
)
12 12
,nn nnh
ε
+= + và có hệ số
(

)
12
, , ,
r
aaa a= , trong đó
(
)
(
)
(
)
12
() 1 1, 1,
jj
ks
aaMn n jr=∈ +×+∀=.
Vì
K
là tập compact nên ta có thể tìm được số
12
nn
+
chung cho tất cả các
hK∈
.Như
vậy bậc (
12
nn+ ) chỉ còn phụ thuộc
ε
, nên ta ký hiệu :

(
)
(
)
12 12
ε
+= +nn nn

Bước tiếp theo , ta sẽ cố định số nguyên :
(
)
(
)
12 12
nn nn
ε
+= + .
Từ đây , do định nghĩa của phiếm hàm
Ψ
, ta thấy
(
)
12
,nna
P
+
Ψ
chỉ phụ thuộc vào hệ số :
(
)

()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)( )
(
)
12
12 12 12
,, , 11 11 11
r
a aa a Mn n Mn n Mn n= ∈ +× +× +× +×× +× +
()()
()
12
11
r
Mn n
⎡⎤
=+×+
⎣⎦

Tức là với mỗi
()()
()
12
11
r
aMn n
⎡⎤
∈+×+
⎣⎦
, tồn tại duy nhất một giá trị
(
)
12
.
,nna
P
R
+
+
Ψ∈.
Điều này có nghĩa tồn tại một hàm số
()()
12
:( 1 1)
r
FMn n R
+
⎡⎤
+× + →

⎣⎦
, sao cho
(
)
(
)
12
,nna
Fa P
+
=Ψ

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 9
Tiếp theo, đặt :
()()
()
() ()
{
}
,12
11:
r
h
AaMn n hFa
ε
ε
⎡⎤
=∈ +× + Ψ − <

⎣⎦

,h
hK
A
A
U
ε
ε
∈
=
Hàm F được xác định như trên có thể đạt hoặc không đạt cực tiểu trên
A
ε
. Trong thuật
toán này, ta chỉ xét trường hợp F đạt cực tiểu trên
A
ε
. Hàm F như vậy thường gặp trong một số
phân phối xác suất thông dụng . Có thể xem thí dụ trong [9], trang 61.
Ta gọi
*
aA
ε
∈ là giá trị cực tiểu của F trên
A
ε
, tức là :
(
)

(
)
*
inf
aA
Fa Fa
ε
∈
=

Gọi
ˆ
h là ước lượng Bayes thuộc
K
, tức là
()
()
ˆ
inf
hhΨ=Ψ, hK∈
Với ước lượng Bayes
ˆ
h này , theo cách xây dựng trên, sẽ tồn tại họ đa thức 2 biến
12
ˆ
,nna
P
+
có hệ số
()()

()
12
ˆ
11
r
aMn n
⎡⎤
∈+×+
⎣⎦
, sao cho
()
(
)
ˆ
ˆ
Fa h
ε
−
Ψ<
Vì vậy , theo định nghĩa của
A
ε
, ta có
ˆ
aA
ε
∈
.
Bằng cách lập luận tương tự như trong [8], ta thấy
(

)
(
)
*
ˆ
4hFa
ε
Ψ− <.
Từ các hệ số
(
)
()()
()
*12
12
, , , 1 1
r
r
aaaa Mn n
⎡
⎤
=∈+×+
⎣
⎦
, ta sẽ xây dựng được đa
thức cực tiểu 2 biến
*
12
,nna
P

+
.
Với đa thức này , ta có :
(
)
(
)
*
12
,
ˆ
4
nna
hP
ε
+
Ψ−Ψ <

Như vậy ta có thể lấy đa thức cực tiểu
*
12
,nna
P
+
để xấp xỉ ước lượng Bayes
ˆ
hK∈ và thuật
toán xây dựng đa thức xấp xỉ ước lượng Bayes cho tham ẩn định vị giải quyết xong .
3. XẤP XỈ ƯỚC LƯỢNG BAYES CỦA THAM ẨN PHƯƠNG SAI
Định nghĩa 2.1: Xét mô hình hồi qui phi tuyến:

(
)
X
ϕ
θε
=
+ . Ta gọi ma trận hiệp
phương sai
(
)
(
)
cov , cov ,XX
ε
ε
= là tham ẩn phương sai của mô hình nói trên và kí hiệu:
(
)
2
cov ,
ε
εσ
=
Như biết trong bài
[
]
6 ,
(
)
(

)
2
22 22
σ
+
∈×⊂×MM, trong đó
(
)
22M
×
là không gian
các ma trận cấp 2 và
()
22
+
×M
là không gian các ma trận xác định không âm cấp 2 .
Kí hiệu
(
)
22×
B
và
(
)
22
+
×
B
là các

σ
- đại số Borel trên
(
)
22M
×
và
(
)
22
+
×M
.
Science & Technology Development, Vol 11, No.10 - 2008

Trang 10 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Định nghĩa 2.2 : Ánh xạ Borel đo được
(
)
(
)
(
)
2
2
:, (22,22)hR M→× ×BB
gọi là ước
lượng của tham ẩn phương sai
(
)

2
22M
σ
+
∈
×
(xem [6])
Kí hiệu
(
)
(
)
2
,22BR M × là tập hợp tất cả các ước lượng bị chặn xác định trên
2
R
và có
trị trong M ( 2
×
2) . Ta gọi độ đo xác suất
υ
là phân phối xác suất tiên nghiệm của tham ẩn
2
σ
trên không gian tham
(
)
(22
+
×

M
,
(
)
22)
+
×B
. Tương tự như trong bài [3] , ta có thể
định nghĩa hàm mạo hiểm Bayes và ước lượng Bayes cho tham ẩn phương
sai
(
)
2
σ
+
∈×
M
ss với phân phối xác suất tiên nghiệm
ν
.
Định lí 2.1 : Cho
(
)
(
)
2
,22KBRM⊂×là 1 lớp các ước lượng của tham ẩn phương sai
(
)
2

22
σ
+
∈×M thoả các điều kiện:
(i)
(
)
(
)
2
22,
+
⊂×∀∈hR M h K

(ii)
0,
ε
∀> ∃ phân hoạch
{
}
2
1
m
i
i
ER
=
⊂
và các điểm ,1,
ii

x
Ei m∈= sao cho:
(
)
(
)
()
22
sup , , 1,
i
M
i
hx hx h K i m
xE
ε
×
−<∀∈∀=
∈

(iii) Tồn tại
0C > sao cho:
(
)
(
)
()
(
)
(
)

22 2
22
,, , 22,,22
σσ σ
+
×
′′′ ′′′ ′′′
−≤−∀∈×∀∈×
M
Ly Ly Cy y M yy M
.
Khi ấy K là tập compắc tương đối trong
(
)
2
(, 22)BR M × và trong lớp ước lượng
K
tồn
tại ước lượng Bayes .
Chứng minh định lí này tương tự như chứng minh định lí 3.1 trong bài [5] .
Định lí 2.2: Giả sử K là lớp các ước lượng của tham ẩn phương sai
(
)
2
22
σ
+
∈
×M thoả
các điều kiện như trong định lí 2.1. Giả sử hàm mật độ có điều kiện chính qui

(
)
2
f
x
σ
bị chặn
đều. Khi ấy có thể xây dựng được một đa thức 2 biến xấp xỉ ước lượng Bayes của tham ẩn
phương sai .
Chứng minh: Chứng minh tương tự định lí 1.2.
Nhận xét: Có thể coi ma trận hiệp phương sai
σ
2
như là phần tử thuộc
4
R
. Lúc đó cách
chứng minh định lý 2.2 được suy ra trực tiếp từ chứng minh của định lý 1.2.
Thuật toán: Để đưa ra thuật toán xây dựng đa thức xấp xỉ ước lượng Bayes
ˆ
hK∈ cho
tham ẩn phương sai ,ta cũng xét hàm nhiều biến
(
)
(
)
12
,nna
Fa P
ψ

+
= .
Bằng cách tương tự như thuật toán cho ước lượng Bayes
ˆ
h
của tham ẩn định vị, ta cũng
xây dựng được đa thức cực tiểu
*
12
,nna
P
+
sao cho
(
)
(
)
*
12
,
ˆ
4
nna
hP
ψ
ψε
+
−<
.

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 11
4. XẤP XỈ ƯỚC LƯỢNG BAYES CHO THAM ẨN HỖN HỢP
Xét mô hình phi tuyến 2-chiều có dạng sau :
()
X
ϕ
θε
=+

Trong đó :
X : vectơ quan trắc ngẫu nhiên có trị trong không gian
2
R

ε
: vectơ sai ngẫu nhiên có trị trong không gian
2
R

θ
: tham ẩn định vị,
θ
∈Θ với
Θ
là tập compact trong không gian
r
R

ϕ
: Hàm phi tuyến cho trước ,
2
:
R
ϕ
Θ→ .
Trong mục này, ta khảo sát ước lượng Bayes đồng thời cho tham ẩn định vị
r
R
θ
∈Θ⊂ và tham ẩn phương sai
2
(2 2) (2 2)MM
σ
+
∈
×⊂ ×.
Trước hết, dễ thấy
(2 2)
r
MRM=× ×
là không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn
chiều với chuẩn :
(2 2)
,(,) (22)
r
r
MR M

yy y yyyMRM
×
′′′ ′′′
=+ = ∈=××
.
Ký hiệu
r
(M)= ×
BBB
(2 × 2) là
_
σ
đại số tích của các
_
σ
đại số
r
B
và (2 2)×
B
.
Xét không gian tham
(2 2) (2 2)
r
MRM
+
Θ× × ⊂ × × . Ký hiệu
+
Θ×
BB

() (2×2) là
vết của
σ
_ đại số
r
(M)= ×
BBB
(2 × 2) trên (2 2)M
+
Θ
××.
Định nghĩa 3.1: Cho tham ẩn định vị
θ
∈
Θ
và tham ẩn phương sai
2
(2 2)M
σ
+
∈×.
Tham ẩn
λ
θσ
=
2
(, ) được gọi là tham ẩn hổn hợp.
Hàm Borel đo được h :
2
2

(,) (,())
R
MM→
BB
gọi là ước lượng của tham hỗn hợp
λ
θσ
=
2
(, ). Hàm Borel h được gọi là hàm bị chặn nếu
2
sup ( )
BM
xR
hhx
∈
=
<+∞
. Tập hợp
tất cả các hàm Borel bị chặn ký hiệu
2
(,)
B
RM .
Định nghĩa 3.2: Cho tham ẩn định vị
θ
có phân phối tiên nghiệm
τ
và tham ẩn phương
sai

2
σ
có phân phối tiên nghiệm
ν
. Người ta gọi độ đo tích
η
τν
=
× là phân phối tiên
nghiệm của tham ẩn hỗn hợp
λ
θσ
=
2
(, ).
Như đã biết, với vectơ ngẫu nhiên X, tồn tại phân phối xác suất có điều kiện chính quy
|
X
P
λ
, ký hiệu
,(22)QM
λ
λ
+
∈Θ× ×
. Cho
μ
là độ đo
_

σ
hữu hạn trên
2
2
(,)R
B
và giả sử
Q
λ
μ

,(22)M
λ
+
∈Θ× × . Khi ấy tồn tại hàm mật độ xác suất có điều kiện chính quy
()fx
λ
:
()
()
()
Qdx
fx
dx
λ
λ
μ
=
Định nghĩa 3.3 :Cho hàm H:
22

( (22)) ( (22))( (22))RM RM M
++
×
Θ× × → × × × Θ× ×
được xác định bởi:
(, ) ((),)
H
xhx
λ
λ
=
và cho hàm không âm L:
2
( (22))( (22))
R
MMR
+
+
×××Θ× ×→
Science & Technology Development, Vol 11, No.10 - 2008

Trang 12 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Người ta gọi hàm hợp
2
((.),.): : ( (2 2))
L
hLHRM R
+
+
=×Θ××→o là hàm tổn thất

của ước lượng
2
(,)hBRM∈ .
Mệnh đề 3.1: Giả sử L là hàm
(2 × 2)) ( ( ) (2 × 2), ( ))
r
R
++
××Θ×
(B B B B B
_ đo được.
Khi ấy
((.),.)
L
h là hàm (() (2×2),( ))
r
R
++
×Θ×
(B B B B
_ đo được .
Do mệnh đề này, ta có định nghĩa sau .
Định nghĩa 3.4: Phiến hàm
2
:( , )
B
RM R
ψ
+
→ được xác định bởi

2
(2 2)
() ((), ) () ( )( )
MR
hLhxfxdxdx
θ
ψ
λμη
+
Θ× ×
=
∫∫
gọi là hàm mạo hiểm của ước lượng h với
phân phối tiên nghiệm
η
.
Ước lượng
2
ˆ
(,)hBRM
∈ thoả điều kiện:
2
ˆ
(,)
ˆ
() inf ()
hBR M
hh
ψ
ψ

∈
= gọi là ước lượng Bayes với phân phối tiên nghiệm
η
.
Mệnh đề 3.2: Cho hàm
(, )hhh
′
′′
=
trong đó
2
:
r
hR R
′
→
và
2
:(22)hR M
′′
→×
. Khi
ấy h là hàm
2
(2 × 2))
r
×
(B , B B
đo được h
′

⇔
là hàm
2
)
r
(
B,B
_đo được và h
′′
là hàm
2
(2 × 2))
(B , B
_ đo được.
Theo mệnh đề này thì
2
(, (22))
r
hBRR M∈××
2
(,)
r
hBRR
′
⇔∈
và
2
(,(22))hBRM
′′
∈×

.
Từ các định nghĩa và mệnh đề trên ta có các kết quả sau
Định lý 3.1: Cho
2
(,)KBRM⊂ là một lớp các ước lượng của tham ẩn hỗn hợp
2
(, ) (22) (22)
r
MRM
λθσ
+
=∈Θ××⊂×× thoả các điều kiện:
(i)
2
() (22),hR M h K
+
⊂Θ× × ∀ ∈
(ii)
{
}
2
1
0,
m
i
i
E
R
ε
=

∀> ∃ ⊂ và các điểm
ii
x
E
∈
sao cho
sup ( ) ( ) , , 1, .
i
i
xE
hx hx h Ki m
ε
∈
−<∀∈=
(iii)
0:C∃>
(,) ( ,) , , , (22)
M
Ly Ly Cy y y y M M
λλ λ
+
′′′ ′′′′′′
−≤−∀∈∀∈Θ××
.
Khi ấy K là tập compact tương đối trong
2
(,)
B
RM và trong lớp ước lượng K tồn tại ước
lượng Bayes.

Tiếp theo, ta tìm xấp xỉ cho ước lượng Bayes
ˆ
hK
∈
. Để làm điều này ta đưa ra thêm một
số giả thiết và ký hiệu. Cho X là vectơ ngẫu nhiên có trị trong
2
R
. Giả sử tập trị I của X là tập
compact trong
2
R
.
Ký hiệu :
(): (, )
B
IBIM= với (2 2)
r
MRM
=
××

(): (, )CI CIM=

(): (, )
r
CI CIR
′
=

TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 13
(): (, (2 2))CI CIM
′′
=×


1
1
(): (, )CI CIR=
Hiển nhiên các tập hợp này là các không gian Banach với các chuẩn sup tương ứng .
Định lý 3.2: Giả sử K là lớp các ước lượng của tham ẩn hỗn hợp
λ
θσ
=
2
(, )
thoả các
điều kiện trong định lý 3.1. Giả sử hàm mật độ xác suất có điều kiện chính quy
()fx
λ
bị chặn
đều. Khi ấy có thể xây dựng một đa thức 2 biến xấp xỉ ước lượng Bayes của tham ẩn hỗn hợp
λ
θσ
=
2
(, )
.

Chứng minh: Vì K thoả các điều kiện của định lý 3.1, nên tồn tại ước lượng Bayes
ˆ
hK
∈
của tham ẩn hỗn hợp
λ
θσ
=
2
(, ).
Trước hết, theo giả thiết ,
0C
′
∃>
sao cho:
() , , (2 2)fx C xI M
λ
λ
+
′
≤
∀∈ ∀∈Θ× ×
.
Tiếp theo, với ước lượng Bayes
ˆ
hK
∈
, 0C
′
′

∃
> sao cho

(2 2)
ˆˆ ˆ
() () ()
r
MR M
hx h x h x C
×
′′′ ′′
=+ ≤

với
ˆˆ
,hh
′′′
là các ước lượng bị chặn của tham ẩn định vị
θ
∈Θ⊂
r
R
và tham ẩn phương
sai
2
(2 2) (2 2)MM
σ
+
∈×⊂×. Khi ấy với
0

ε
>
cho trước, theo định lý Lusin, tồn tại các
hàm liên tục
,gg
′′′
xác định trên
2
I
R⊂ sao cho
{}
ε
μ
′′
∈≠< ∀=
′′′
ˆ
:() () 1.
8. . . .
jj
x
Ihx gx j r
rCC C

với
12
ˆˆˆ ˆ
( , , , )
r
hhh h

′′′ ′
=
và
12
( , , , )
r
ggg g
′′′ ′
=

{
}
ˆ
:() () ,, 1,2
32. . .
ij ij
xIhx gx ij
CC C
ε
μ
′′ ′′
∈≠< ∀=
′′′

với
11 12 11 12
21 22
21 22
ˆˆ
ˆ

,
ˆˆ
hh gg
hg
gg
hh
⎛⎞
′′ ′′ ′′ ′′
⎛⎞
′′ ′′
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
′
′′′
′′ ′′
⎝⎠
⎝⎠

Trong đó
μ
là độ đo Lebesgue trên R
2
và C được xác định như trong định lý 1.1 và 1.2.
Tiếp theo, xét độ đo tích
η
τν
=× với
,

τ
ν
là các phân phối tiên nghiệm trên các không
gian tham
Θ và (2 2)M
+
× . Khi ấy, ta có:
(2 2)
ˆˆ
() () ((), ) ((), ) ()( )( )
I
M
h g L h x L g x f x dx dx
λ
ψψ λ λ μη
+
Θ× ×
−≤ −
∫∫

(2 2)
ˆ
() () ()( )( )
M
I
M
Chx gx f x dx dx
λ
μη
+

Θ× ×
≤−
∫∫

(2 2)
(2 2)
ˆˆ
(() () () () )()()()
2
r
RM
I
M
Chxgx hxgx fx dxdx
λ
ε
μη
+
×
Θ× ×
′′ ′′′′
=−+− <
∫∫



Science & Technology Development, Vol 11, No.10 - 2008

Trang 14 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Tương tự như định lý 1.2 và 2.2 với hàm liên tục

(, )ggg
′
′′
=
và
0
ε
>
, theo định lý xấp
xỉ Weierstrass tồn tại các đa thức
12
ˆ
,
+nna
P và
12
ˆ
,
+nnb
P với hệ số
[
]
12
12
ˆˆˆ ˆ
( , , , ) (( 1) ( 1))
r
r
aaa a Mn n=∈+×+ và
11 12 1 2 1 2

12 12
21 22
ˆˆ
(( 1) ( 1)) (( 1) ( 1))
ˆ
ˆˆ
(( 1) ( 1)) (( 1) ( 1))
bb Mn n Mn n
bM
Mn n Mn n
bb
⎛⎞
+× + +× +
⎛⎞
=∈=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+× + +× +
⎝⎠
⎝⎠
%

sao cho
12
1
ˆ
,
()
2. .

j
j
nna
CI
gP
rC
ε
+
′
−<
với
12
( , , , )
r
ggg g
′
′′ ′
=

12
1
ˆ
,
()
16.
ij
ij
nnb
CI
gP

C
ε
+
′′
−<
với
11 12
21 22
gg
g
gg
′
′′′
⎛⎞
′′
=
⎜⎟
′
′′′
⎝⎠

Ký hiệu
12
12 12
ˆˆ
ˆ
,
ˆ
,( . ) ,
(,)

+
++
=
nna
nn ab nnb
PPP
. Khi ấy, ta có :

12 12
ˆˆ
ˆˆ
,( . ) ,( , )
(2 2)
() ( ) ((),) ( (),)()()()
nn ab nnab
MI
g P L g x L P x f x dx dx
λ
ψψ λ λ μη
++
Θ× ×
−≤ −
∫∫

12
ˆ
ˆ
,( , )
()
(2 2)

()( )( )
nn ab
CI
MI
Cg P f x dx dx
λ
μη
+
Θ× ×
≤−
∫∫

12
12
ˆ
ˆ
,
,
()
()
(2 2)
( )()()()
nna
nnb
CI
CI
MI
Cg P g P f x dx dx
λ
μη

+
+
′
′′
Θ× ×
′′′
≤−+−
∫∫

λ
ε
μη
+
+
===
Θ× ×
′′′
≤−+− <
∑∑∑
∫∫
12
12
1
1
22
ˆ
ˆ
,
,
()

()
111
(2 2)
( )()()()
2
r
nna
nnb
CI
CI
jij
MI
CgP gP fxdxdx
Suy ra
12
ˆ
ˆ
,( . )
ˆ
() ( )
nn ab
hP
ψ
ψε
+
−< và định lý 3.2 chứng minh xong .
Thuật toán: Tiếp theo ta đưa ra thuật toán xây dựng đa thức 2 biến xấp xỉ ước lượng
Bayes của tham ẩn định vị
λ
θσ

=
2
(, ).
Bằng lập luận tương tự như thuật toán của tham ẩn định vị, ta xây dựng các tập hợp:
[]
{
}
,12
(,) (( 1) ( 1)) : () (,)
r
h
AabMn n MhFab
ε
ψ
ε
=∈ +×+× − <
%

,h
hK
AA
ε
ε
∈
=
U

Lập luận tương tự như trong mục 1 , ta xây dựng được đa thức 2 biến
**
12

,( , )+nn ab
P sao cho:
**
12
,( . )
ˆ
() ( ) 4
nn ab
hP
ψ
ψε
+
−<.
Đa thức 2 biến
**
12
,( , )+nn ab
P chính là đa thức cực tiểu phải tìm của ước lượng Bayes
ˆ
hK∈

cho tham ẩn hỗn hợp
λ
θσ
=
2
(, ).
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 11, SỐ 10 - 2008

Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM Trang 15

PHỤ LỤC
Ta xét thí dụ về ước lượng Bayes cho tham ẩn định vị
θ
trong trường hợp 1_chiều (xem
[9]).
Giả sử
X
là đại lượng ngẫu nhiên có tập trị [0,2]
I
R
=
⊂ . Giả sử không gian tham
Θ
là
tập compact
[1, 2]
R
⊂ và tham ẩn định vị [1, 2]
θ
∈
Θ= .
Giả sử phân phối xác suất điều kiện chính quy
,Q
θ
θ
∈
Θ
là phân phối đều với hàm mật
độ xác suất điều kiện chính quy có dạng :
(0 )

1
() .1
x
fx
θ
θ
θ
≤≤
=
trong đó
(0 )
1[0,]
1
0[0,]
x
x
x
θ
θ
θ
≤≤
∈
⎧
⎪
=
⎨
∉
⎪
⎩

Giả sử phân phối tiên nghiệm
τ
cũng là phân phối đều với hàm mật độ xác suất có dạng:
() 1;1 2t
θ
θ
=≤≤
Giả sử hàm tổn thất
(.,.)
L
có dạng sau :
2
((), ) (() )Lhx hx
θ
θ
=−.
Khi ấy hàm mạo hiểm Bayes của đa thức
,
()
na
P
x với phân phối tiên nghiệm
τ
có dạng:
,,
() (,).()()()
na na
I
PLPfxdxd
θ

ψ
θμτθ
Θ
=
∫∫

22
2
,
10
2
2
00 0
10
12
2
00 0
(()).()()
1
2 . ( )
21 217
.2
(1) (1)(2)3
na
nn n
ij i
ij i
ij i
ij i
nn n

ij i
ij i
Px fxdxd
aa x x ax dxd
aa a
ij i i
θ
θ
θτθ
θ
θθ
θ
== =
++ +
== =
=−
⎛⎞
=−+
⎜⎟
⎝⎠
−−
=−+
++ + +
∫∫
∑∑ ∑
∫∫
∑∑ ∑

Điều này chứng tỏ từ phiếm hàm
,

()
na
P
ψ
ta được hàm số nhiều biến ()Fa sau đây :
012
( ) ( , , , , )
n
Fa Fa a a a=

12
,
2
00 0
21 217
() . 2
(1) (1)(2)3
ij i
nn n
na i j i
ij i
Paa a
ij i i
ψ
++ +
== =
−−
== − +
++ + +
∑∑ ∑

Khi
1n = , ta có
==++−−+
22
01 0 01 1 0 1
37 77
() ( , ) . 3
29 33
Fa Fa a a a a a a a

Cực tiểu hoá hàm số 2 biến này, ta được :
**
01
42 6
;
31 31
aa==

Science & Technology Development, Vol 11, No.10 - 2008

Trang 16 Bản quyền thuộc ĐHQG-HCM
Vì vậy đa thức cực tiểu xấp xỉ ước lượng Bayes có dạng:
*
42 6
()
31 31
a
Px x=+

ON THE APPROXIMATION OF THE BAYESIAN ESTIMATORS FOR
COMPOUND PARAMETER IN THE 2_ DIMENSIONAL NONLINEAR
STATISTICAL MODELS
Ung Ngoc Quang
University of Natural Sciences, VNU-HCM
ABSTRACT: The paper describes the approximation of Bayesian estimator for the
location parameter, variance parameter and compound parameter in the 2 – dimensional
nonlinear models.
Keywords: Bayesian estimators, compound parameter, two - dimensional nonlinear
models, polynomial functions.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. P.Muller, F.A.Quintana, Nonparameter Bayesian Data Analysis, Statistical Sciences,
Vol.19, No.1 (2004), 95 – 110.
[2]. [P.M.Lee, Bayesian Statistics, Oxford University Press Inc, (2004).
[3]. P.Congdon, Bayesian Statistical Modelling, John Wiley, 2005.
[4]. Ung Ngọc Quang (1990), Về sự tồn tại ước lượng Bayes trong mô hình thống kê với
không gian tham compắc , Tạp chí Toán học , Tập 18 , Số 1, 1-8 .
[5]. Ung Ngọc Quang (1994), On the existence of Bayesian estimates in nonlinear
statistical models with compact parameter space, Acta Mathematica Vietnamica, Vol
19 .No.2 , 149 – 160 .
[6]. Ung Ngọc Quang (1995), On the existence of Bayesian estimators in
multidimensional nonlinear statistical models with compact parameter space ,
Vietnam Journal of Mathematics , Vol.23 , No .2 , 229-240 .
[7]. Ung Ngọc Quang (2002), Về sự tồn tại ướ
c lượng Bayes trong mô hình thống kê vô
hạn chiều với không gian tham compắc , Tạp chí Phát triển Khoa học và Công nghệ ,
Tập 5 , Số 11 , 5-11 .
[8]. Ung Ngọc Quang(1994) , Về một xấp xỉ ước lượng Bayes trong mô hình thống kê phi

tuyến , Tạp chí Tin học và Điều khiển học , Tập 10 , số 4 , 35_40
[9]. Ung Ngọc Quang(1995) , Về ước lượng Bayes của phương sai trong mô hình thống
kê phi tuyến 1- chiều , Tạp chí Tin học và Điều khiể
n học , Tập 11 , Số 4 , 53_63
[10]. Ung Ngọc Quang(1998), Về ước lượng Bayes của tham ẩn hỗn hợp trong mô hình
hồi qui phi tuyến , Tạp chí Tin học và Điều khiển học , Tập 14 , Số 2 , 19_29.
[11]. Ung Ngọc Quang(2007), Về ước lượng Bayes trong không gian Banach , Tạp chí
Phát triển Khoa học và Công nghệ , Tập 10 , Số 12.