Chuyển pha chiral trong mô hình sigma tuyến tính trong gần đúng ivanov hatree fock

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
----------

HOÀNG PHƢƠNG ANH

CHUYỂN PHA CHIRAL TRONG MÔ HÌNH SIGMA
TUYẾN TÍNH TRONG GẦN ĐÚNG IVANOVHATREE-FOCK

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

HÀ NỘI – 2012


TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
----------

HOÀNG PHƢƠNG ANH

CHUYỂN PHA CHIRAL TRONG MÔ HÌNH SIGMA TUYẾN
TÍNH TRONG GẦN ĐÚNG IVANOV- HATREE-FOCK

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Thạc sĩ: NGUYỄN VĂN THỤ

HÀ NỘI – 2012


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, em xin chân thành cảm ơn Ban chủ
nhiệm Khoa Vật lý Trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2; các thầy, cô giáo
trong khoa đã tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa
luận tốt nghiệp.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn
Thụ ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trình
thực hiện đề tài nghiên cứu.

Em xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Phƣơng Anh


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp: “Chuyển pha Chiral trong mô hình Sigma
tuyến tính trong gần đúng Ivanov – Hatree – Fock” đƣợc hoàn thành dƣới
sự hƣớng dẫn tận tình, nghiêm khắc của thầy giáo Nguyễn Văn Thụ.
Tôi xin cam đoan đề tài này là kết quả nghiên cứu của tôi và không
trùng với bất kỳ kết quả nghiên cứu của tác giả nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Phƣơng Anh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 8
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT CHUNG VỀ CHUYỂN PHA ............................ 9
1.1. Pha và sự chuyển pha vật chất .............................................................. 9
1.1.1. Pha vật chất .................................................................................... 9
1.1.2. Khái niệm về chuyển pha vật chất ............................................... 10
1.2. Các loại chuyển pha............................................................................ 11
1.2.1. Chuyển pha loại 1 ......................................................................... 12
1.2.2. Chuyển pha loại 2 ........................................................................ 12
1.3. Chuyển pha lƣợng tử ........................................................................... 13
CHƢƠNG 2: CHUYỂN PHA CHIRAL TRONG MÔ HÌNH SIGMA
TUYẾN TÍNH TRONG GẦN ĐÚNG IVANOV – HATREE – FOCK ........ 18
2.1. Mô hình sigma tuyến tính ..................................................................... 18
2.2. Thế hiệu dụng trong gần đúng 2 loop ................................................... 19
2.2.1. Giới hạn chiral

....................................................... 20

2.2.2.Thế giới vật lý .................................................................................. 27
2.3. Tái chuẩn hóa ........................................................................................ 28
2.3.1. Tái chuẩn hóa thế hiệu dụng ........................................................... 28
2.3.2. Các tích phân mô men xung lƣợng ................................................. 31
2.3.2.1. Đối với hàm truyền

............................................................... 31

2.3.2.2. Đối với hàm truyền

............................................................... 32


2.3.2.3. Thành phần nhiệt độ không ...................................................... 32
2.3.2.4. Khai triển nhiệt độ cao.............................................................. 33
2.4. Kết quả tính số ...................................................................................... 33
2.4.1. Trong giới hạn chiral

............................................................ 33

2.4.2. Trong thế giới vật lý

............................................................. 36

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 39



MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha xuất hiện từ những năm 50 của
thế kỷ trƣớc. Từ đó tới nay các hiện tƣợng chuyển pha luôn là vấn đề có tính thời sự
của vật lý cả về mặt lý thuyết lẫn thực nghiệm, nó bao trùm toàn bộ các lĩnh vực của
vật lý từ hạt nhân cơ bản cho đến vật lý thiên văn. Nghiên cứu chuyển pha chiral
trong lý thuyết trƣờng và hạt cơ bản là một trong những vấn đề đang đƣợc quan tâm
hiện nay.

Ngƣng tụ chiral trong vật chất dày đặc và các sao lùn từ lâu đã là đề tài thú vị.
Trạng thái ngƣng tụ Bose đƣợc dự đoán tìm thấy trong cấu trúc của các sao lùn với
mật độ khoảng 3 , ở đó

là mật độ hạt nhân thông thƣờng. Trong những năm gần

đây những nghiên cứu đã đƣợc thực hiện thông qua việc quan sát các kết quả va
chạm của ion nặng ở mức năng lƣợng trung gian, đặc biệt là các phản ứng hạt nhân
gây ra bởi các chùm tia phóng xạ đã cung cấp cho chúng ta một cơ hội mới để xem
xét độ lớn của spin đồng vị. Thế hóa spin đồng vị đã chứng minh rằng có thể xuất
hiện ngƣng tụ Bose–Einstein. Theo đó, các mô hình nghiên cứu đƣợc đơn giản hóa,
nhƣ mô hình Nambu–Jona–Lassinio, mô hình sigma tuyến tính, lý thuyết nhiễu loạn
chiral. Các mô hình này rất quan trọng đối với việc tìm hiểu về pha vật chất trong các
điều kiện khác nhau. Tuy nhiên việc sử dụng mô hình sigma tuyến tính dựa trên thế
hiệu dụng Cornwall–Jackiw–Tomboulis (CJT) có hiệu quả hơn hẳn.
Khi giải bài toán bằng mô hình sigma tuyến tính sẽ gặp nhiều khó khăn, khi đó
phƣơng pháp gần đúng là một trong số các phƣơng pháp để giải quyết những khó
khăn này.
Vì lý do trên mà tôi chọn đề tài “Chuyển pha chiral trong mô hình sigma
tuyến tính trong gần đúng Ivanov - Hatree - Fock” làm đề tài nghiên cứu của
mình.
2. Mục đích nghiên cứu


- Nghiên cứu chuyển pha chiral trong mô hình sigma tuyến tính bằng phƣơng
pháp tác dụng hiệu dụng CJT.
- Khảo sát sự phá vỡ và phục hồi đối xứng chiral dƣới ảnh hƣởng của nhiệt độ.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
- Tƣơng tác giữa các meson.
- Ngƣng tụ chiral của hạt sigma.

4. Phạm vi nghiên cứu
- Bỏ qua thế hóa spin đồng vị.
- Xét trong gần đúng 2 loop của thế hiệu dụng CJT.
- Sử dụng gần đúngIvanov –Hatree – Fock.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu liên quan.
- Giải bài toán trong mô hình sigma tuyến tính bằng phƣơng pháp gần đúng
Ivanov – Hatree – Fock.
- Tính số bằng phần mềm Mathematica.

CHƢƠNG 1
LÝ THUYẾT CHUNG VỀ CHUYỂN PHA

1.1.

Pha và sự chuyển pha vật chất

1.1.1. Pha vật chất


Những trạng thái (cân bằng) của một vật đồng chất đƣợc xác bằng hai đại
lƣợng nhiệt động cho trƣớc nào đó, chẳng hạn nhƣ thể tích V và năng lƣợng E. Tuy
nhiên, ta không có một cơ sở nào để khẳng định khi cho trƣớc một cặp bất kỳ những
giá trị của V và E thì chính trạng thái đồng chất của vật sẽ tƣơng ứng với một trạng
thái cân bằng nhiệt. Mà có thể trong trạng thái cân bằng nhiệt với E và V đã cho một
vật không đồng chất mà tách ra thành hai phần đồng chất tiếp giáp nhau và ở những
trạng thái khác nhau.
Những trạng thái khác nhau của vật chất có thể đồng thời tồn tại nằm cân bằng
với nhau và tiếp nhau gọi là những pha khác nhau của vật chất. Hay nói cách khác tập
hợp các “phần” có các tính chất vật lý và hóa học nhƣ nhau của một hệ nhiệt động gọi

là pha. Các “phần” đƣợc hiểu theo nghĩa rộng vì trong nhiều trƣờng hợp chúng không
phân cách nhau về không gian. Hai pha có thể đồng thời tồn tại trong cùng một không
gian của hệ. Ví dụ: một bình kín đựng nƣớc, ở trên nƣớc là hỗn hợp của không khí và
hơi nƣớc trộn lẫn đều với nhau. Các pha của vật chất không phải chỉ là những trạng
thái vật chất khác nhau (rắn, lỏng, hơi hoặc khí) mà còn là những biến tinh thể khác
nhau của một chất rắn nào đó. Ví dụ: kim cƣơng và than chì là những pha rắn khác
nhau của cacbon.
Cần chú ý ở đây khi nói đến pha rắn thì phải hiểu đó là một pha vật chất khác
hẳn với pha lỏng, nghĩa là phải hiểu đó là trạng thái rắn kết tinh. Vật rắn vô định hình
khi nung nóng chuyển sang trạng thái lỏng một cách liên tục, nghĩa là khi nhiệt độ
tăng thì mềm dần và không có bƣớc nhảy vọt (tức biến chuyển đột ngột) sang trạng
thái rắn. Vì vậy vật rắn vô định hình không đƣợcgọi là pha rắn của vật chất. Chẳng
hạn thủy tinh ở trạng thái rắn và trạng thái lỏng không đƣợc gọi là những pha khác
nhau.
1.1.2. Khái niệm về chuyển pha vật chất
Trƣớc hết chúng ta biết điều kiện để hai pha cân bằng với nhau
(1.1)


hay

trong đó:

(i=1,2) lần lƣợt là nhiệt độ, áp suất và thế hóa học của pha thứ i.

Nếu đặt áp suất và nhiệt độ trên các trục tọa độ thì những điểm ở đó có sự cân
bằng pha sẽ nằm trên một đƣờng cong nào đó (đƣờng cong cân bằng pha) khi đó
những điểm nằm hai bên đƣờng cong sẽ là những trạng thái đồng chất của vật. Khi
trạng thái của vật biến đổi dọc theo một đƣờng cắt đƣờng cong cân bằng pha ta sẽ gặp
sự phân lớp các pha và sau đó vật sẽ chuyển sang một pha khác đó là sự chuyển pha.

Trên hình 1.1 là đồ thị minh họa đƣờng cong cân bằng pha và sự chuyển pha giữa hai
pha 1, 2.
P

1
2

T

0

1.2.

Các loại chuyển pha

Hình 1.1. Đồ thị pha

Nghiên cứu chuyển pha có từ khi có nhiệt động lực học nhƣng lý thuyết đầu
tiên là của Gibbs. Năm 1933 Erhenfist, định nghĩa chuyển pha: chuyển pha là bậc n
nếu các thế nhiệt động là liên tục ở nhiệt độ chuyển pha Tc và đạo hàm hạng n của nó
theo nhiệt độ liên tục tại điểm này còn đạo hàmn+1gián đoạn. Thực tế chỉ có chuyển
pha bậc 1 và bậc 2.
Năm 1937 Landao đƣa ra phân loại khác. Chuyển pha thƣờng gắn với sự thay
đổi tính chất đối xứng của hệ biến đổi. Nhƣ vậy chuyển pha gắn với tính chất đối
xứng và Landao đƣa ra tham số trật tự. Tham số trật tự phải đặc trƣng cho hệ vật lý,
khi pha đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha đối xứng khác thì tham số trật
tự thay đổi.


Tham số trật tự cho các hệ vật lý phụ thuộc vào hệ mà chúng ta khảo sát. Cụ

thể nhƣ trong bảng 1.1
Bảng 1.1. Tham số trật tự cho các hệ vật lý

Hệ vật lý

Tham số trật tự

Vật liệu từ

Độ từ hóa

Siêu dẫn

Khe năng lƣợng

Siêu lỏng

Mật độ siêu lỏng

1.2.1. Chuyển pha loại 1
Sự chuyển pha từ pha này sang pha khác có kèm theo sự giải phóng hay hấp
thụ một lƣợng nhiệt nào đó gọi là chuyển pha loại 1. Lƣợng nhiệt đó đƣợc gọi là ẩn
nhiệt chuyển pha hay nhiệt chuyển pha. Theo các điều kiện cân bằng thì chuyển pha
loại 1 xảy ra ở nhiệt độ và áp suất không đổi. Do đó ta tính đƣợc nhiệt chuyển pha q
ứng với một phần tử là
(1.2a)
hoặc
(1.2b)
trong đó:
q là nhiệt chuyển pha.

là các hàm nhiệt của hai pha tính cho một phân tử.
S1, S2: là entrôpi của hai pha ứng với một phần tử.
q > 0 : chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ hai nhiệt bị hấp thụ.
q < 0 : chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ hai nhiệt đƣợc giải phóng.
1.2.2. Chuyển pha loại 2


Đây là sự chuyển pha có liên quan đến sự thay đổi đối xứng, sự chuyển một
dạng biến thể kết tinh này sang dạng khác thực hiện một cách liên tục mà không có
sự thay đổi nhảy bậc của các trạng thái vật gọi là sự chuyển pha loại 2. Cùng với
những trƣờng hợp mà trong đó sự thay đổi đối xứng của vật thực hiện bằng cách di
chuyển các nguyên tử, sự thay đổi đối xứng khi có chuyển pha loại hai còn liên quan
tới sự thay đổi trật tự của tinh thể. Và ta đi đến kết luận nhƣ sau: nếu khi nhiệt độ
tăng mà tham số Φ dần đến 0 một cách liên tục không nhảy bậc ta sẽ có chuyển pha
loại 2.
Từ những khái niệm chuyển pha loại 2 ở trên ta thấy rằng:
Với ý nghĩa là trạng thái của vật thay đổi một cách liên tục sự chuyển pha loại
2 là quá trình chuyển liên tục. Đối xứng tại điểm chuyển pha sẽ thay đổi nhảy bậc và
tại từng điểm có thể chỉ rõ vật thuộc pha nào nhƣng tại điểm chuyển pha loại 2 thì
trạng thái của hai pha trùng nhau.
Do trạng thái của hai pha tại điểm chuyển pha loại 2 trùng nhau nên đối
xứng của vật tại chính điểm chuyển pha trong mọi trƣờng hợp phải chứa các yếu tố
đối xứng của cả 2 pha.
Từ điều kiện không có nhảy bậc trạng thái tại điểm chuyển pha loại 2 dẫn đến kết
quả: các hàm trạng thái nhiệt động của vật (S, E, V...) vẫnliên tục khi đi qua điểm chuyển
pha nên chuyển pha loại 2 không kèm theo việc tỏa nhiệt hay hấp thụ nhiệt. Nhƣng đạo
hàm của các đại lƣợng nhiệt động đósẽ thay đổi nhảy bậc tại điểm chuyển pha loại 2.
1.3.

Chuyển pha lƣợng tử

Tất cả chúng ta đều quan sát thấy sự chuyển pha trong cuộc sống hàng ngày.

Thông thƣờng chúng đƣợc phân loại là chuyển pha loại 1 và chuyển pha loại 2. Tham
số thƣờng dùng cho quá trình chuyển pha đƣợc dựa trên nănglƣợng tự do. Chuyển
pha xảy ra khi trạng thái cơ bản của năng lƣợng tự do khác nhau đối với các nhiệt độ
khác nhau.
Dƣới đây chúng ta đề cập đến một loại mới của chuyển pha – chuyển pha
lượng tử, xảy ra ở nhiệt độ tuyệt đối không. Theo lý thuyết nhiệt động chúng ta biết


rằng hệ phải ở trạng thái năng lƣợng thấp nhất (còn đƣợc gọi là trạng thái cơ bản).
Với một hệ cho trƣớc, khi nhiệt độ bằng không, tất cả các nguyên tử (hay phân tử)
nằm ở tại vị trí nút mạng tinh thể. Tức là chúng không chuyển động, và nhƣ vậy liệu
có xảy ra chuyển pha hay không? Điều này không phù hợp với các định luật của cơ
học lƣợng tử, những định luật chi phối toàn bộ các hệ vi mô. Cụ thể, nguyên lý bất
định của Heisenberg cho biết không thể xác định đồng thời vị trí và xung lƣợng của
một hạt vi mô.
Để nói về vấn đề này, chúng ta sử dụng Hamiltonian của hệvà so sánh chuyển
pha lƣợng tử với chuyển pha cổ điển.
Chúng ta bắt đầu bằng cách viết Hamiltonian của hệ dƣới dạng
(1.3)
trong đó

là hai thành phần đã đƣợcxác định của Hamiltonian, và g là thamsố

không có thứ nguyên, vai trò của nó ởđây sẽ tƣơng đƣơng nhƣ T đối với chuyển pha
nhiệt.

và

giao hoán với nhau, điều này có nghĩa là

và

có thể đồng thời

đƣợc chéo hóa, và vì vậy các hàm riêng độc lập với g ngaycả khi các trị riêng tƣơng ứng
phụ thuộc vào g. Vì vậy hệ có một mức kích thích có thể trở thành mức cơ bản tại một
điểm nào đó, nhƣ khi

(hình 1.2). Tại điểm

chúng ta có thể thấy một sự

chuyển pha xuất hiện. Loại chuyển pha này đƣợc gọi là chuyển pha lượng tử.

gc
Hình 1.2.Mức vƣợt qua

g


Ở nhiệt độ hữu hạnT, mọi thông tin của hệ đƣợc xác định qua hàm tổng thống
kê
(1.4)
trong đó

là Hamiltonian. Khi đó giá trị trung bình của đại lƣợng vật

lý bất kỳ đƣợc mô tả bởi toán tử O đƣợc tính theo công thức

(1.5)
Bằng cách sử dụng biểu diễn tích phân đƣờng Feynman, chúng ta có thể viết
(1.6)
ở đây để cho đơn giản chúng ta sử dụng hệ đơn vị tự nhiên với
hạng khử phân kỳ tử ngoại,
cho

và

,

là số

là tập hợp các số nguyên đã chọn sao

.
Khi nhiệt độ

hệ có có thể xem là đƣợc bổ xung thêm 1 chiều. Bằng cách

này, chúng ta có thể biểu diễn mối tƣơng quan một hệ lƣợng tử có d chiều thành một
hệ cổ điển có d+1 chiều nhƣ bảng 1.2
Bảng 1.2. Mối tƣơng quan giữa hệ lƣợng tử và hệ cổ điển.

Lƣợng tử
chiều không gian, 1 chiều thời gian

Cổ điển
chiều không gian

Hằng số liên kết g

Nhiệt độ T

Nhiệt độ nghịch đảo

Chiều “thời gian” có kích thƣớc hữu
hạn

Độ dài tƣơng quan

Độ dài tƣơng quan

Một ví dụ điển hình cho chuyển pha lƣợng tử là mô hình Ising 1 chiều với
Hamiltonian


(1.7)
trong đó J và

là hằng số,

trạng thái riêng của

là các toán tử Pauli tại nút mạng i. Gọi

và

là

tƣơng ứng với trị riêng

(1.8)
Có hai trạng thái riêng của  ix với trị riêng
(1.9)

(1.10)
Trong trƣờng hợp của tƣơng tác mạnh ( g >>1) trạng thái cơ bản chỉ đơn giản là
trạng thái sắt từ
(1.11)
và trạng thái kích thích đầu tiên là
(1.12)
Đối với trƣờng hợp tƣơng tác yếu (g << 1), số hạng thứ 2 trong (1.7) có thể bỏ qua.
Trong trƣờng hợp g = 0 trạng thái cơ bản bị suy biến

Trạng thái kích thích là tổ hợp tuyến tính của hai trạng thái này. Nó đƣợc gọi là trạng
thái thuận từ lƣợng tử. Ví dụ

Trong trƣờng hợp tổng quát, năng lƣợng của trạng thái kích thích đầu tiên là


(1.13)
Vì thế, chúng ta thấy hệ bây giờ đã xuất hiện một khe năng lƣợng 
(1.14)
Rõ ràng là có sự chuyển pha lƣợng tử. Từ (1.14) chúng ta có thể tìm thấy những giá
trị tới hạn
T
D

C

A
0

B
g

1
Hình 1.3. Sơ đồ pha chuỗi Ising

A: là vùng nhiệt độthấp, đó là vùng trật tự từ
B: là vùng nhiệt độ thấp, đó là vùng thuận từ lƣợng tử
C: là vùng nhiệt độ cao biến thiên liên tục,
D: Vùng nhiệt độ cao,

Trên cơ sở của các phân tích trên, chúng ta có

thể vẽ giản đồ pha nhƣ hình 1.3. Trong giản đồ này chúng ta có hai thang năng lƣợng,
đó là

và T (trong đó chúng ta đặt

). Chúng ta có thể xem chúng nhƣ thang

lƣợng tử và thang nhiệt động lực học. Trong các vùng A và B,

cả hai hệ đều

có thể xem nhƣ hệ cổ điển mặc dù trong từng vùng có cấu trúc khác nhau. Chúng có
các chuẩn hạt khác nhau. Tuy nhiên trong khu vực C, nhiệt độ cao, có sự khác biệt về
độ dài tƣơng quan và thời gian tƣơng quan.

CHƢƠNG 2
CHUYỂN PHA CHIRAL TRONG MÔ HÌNH SIGMA TUYẾN TÍNH TRONG
GẦN ĐÚNG IVANOV – HATREE – FOCK

2.1. Mô hình sigma tuyến tính
Cùng với các mô hình hiệu dụng nhƣ mô hình Nambu – Jona – Lassinio(NJL)
và lý thuyết nhiễu loạn chiral, mô hình sigma tuyến tính đã thu hút đƣợc nhiều sự chú
ý trong những năm gần đây. Nó có tác dụng trong việc nghiên cứu lý thuyết sắc động
lực học lƣợng tử (QCD). Mô hình sigma tuyến tính đƣợc Gell – Mannvà Levy đƣa
ra đầu tiên vào năm 1960 và có rất nhiều tài liệu nghiên cứu sâu thêm về mô hình
này. Mô hình sigma tuyến tính tƣơng đối đơn giản, nó đƣợc ứng dụng để nghiên
cứu phá vỡ đối xứng tự phát và nghiên cứu chuyển pha. Vì lý do này, mô hình
sigma tuyến tính đƣợc dùng trong việc nghiên cứu ngƣng tụ pion và phá vỡ đối xứng
chiral cũng nhƣ ngƣng tụ kaon. Sau này hai ngƣng tụ pion và kaon liên quan đến việc
nghiên cứu pha có màu và hƣơng bị khóa ở mật độ barion cao. Trong đó ngƣng tụ
pion có tác dụng trong việc nghiên cứu chuyển pha của hạt quark thông thƣờng cũng
nhƣ phá vỡ đối xứng chiral ở mật độ baryon thấp. Trên thực tế, việc phá vỡ đối xứng
chiral gặp trở ngại lớn trong việc nghiên cứu chuyển pha chiral ở mật độ baryon hữu
hạn (đƣợc gây ra ở mật độ baryon khác không), tích phân đƣờng Euclid không xác
định dƣơng trong tài liệu [9], [10]. Điều này làm cho việc nghiên cứu của sắc động
lực học lƣợng tử ở mật độ baryon hữu hạn gặp khó khăn bởi lý thuyết mạng gauge.
Tuy nhiên sự xuất hiện của thế hóa spin đồng vị không ảnh hƣởng đến tính chất
dƣơng nói trên và do đó có thể khảo sát đồng thời mạng tinh thể QCD và các lý
thuyết trƣờng hiệu dụng khác nhau. Theo cách này, QCD ở thế hóa baryon không và
thế hóa spin đồng vị hữu hạn cho chúng ta một phƣơng pháp để nghiên cứu tính phù
hợp của phép phân tích gần đúng.
Mô hình sigma tuyến tính là mô hình của bốn trƣờng vô hƣớng tƣơng tác
vớinhau (meson) và fermion. Chúng ta có thể viết Lagrangian dƣới dạng

(2.1)
trong đó

là thế hóa spin đồng vị. Có hai dạng

khác nhau của các số hạng phá vỡ đối xứng
(2.2)
với

và
(2.3)
Nếu số hạng phá vỡ đối xứng có dạng (2.2) ta gọi đây là trƣờng hợp chính

tắc (standard). Trong trƣờng hợp này
(2.4)
trong đó

,

là khối lƣợng của các hạt pion và hạt sigma,

là hằng số phân rã

pion.
Trƣờng hợp số hạng phá vỡ đối xứng có dạng (2.3) ta gọi đây là trƣờng hợp
không chính tắc (non – standard). Khi đó các hệ số trong biểu thức thế năng tƣơng
tác có dạng
(2.5)

2.2. Thế hiệu dụng trong gần đúng 2 loop
Khi số hạng phá vỡ đối xứng có dạng chính tắc Lagrangian của hệ có dạng
(2.6)
với các hệ số tƣơng tác đƣợc xác định nhƣ ở (2.4). Ta sẽkhảo sát cấu trúc pha
trong trƣờng hợp thế hóa spin đồng vị bằng không.


Khi thế hóa spin đồng vị bằng không lại có thể xảy ra hai khả năng khác
nhau. Bây giờ ta sẽ lần lƣợt xét hai trƣờng hợp này.
2.2.1. Giới hạn chiral
Trong giới hạn chiral chúng ta đã biết trạng thái cơ bản của hệ là

Trong gần đúng cây (tree - level),

đƣợc tìm từ điều kiện cực tiểu của thế tƣơng

tác
(2.7)
và do đó

khi

.
Chúng ta đƣa vào các trƣờng mới

,

liên hệ với các trƣờng meson bởi

biểu thức

(2.8)
thì sẽ thu đƣợc Lagrangian tổng quát (2.29).
Tiến hành phép dịch chuyển
(2.9)
thì
(2.10)
Khi đó từng thành phầncủa (2.29) dịch chuyển nhƣ sau


(2.11)
Từ (2.11) và thực hiện một vài phép biến đổi ta sẽ thu đƣợc Lagrangian tƣơng tác

(2.12)
và các hàm truyền nghịch đảo

(2.13)
Từ (2.7) và (2.12) ta thấy rõ ràng các pion là các Goldstone.
Dựa vào (2.12) và (2.13) chúng ta có thể tính đƣợc thế hiệu dụng CJT trong
gần đúng hai vòng (double - bubble). Gần đúng này đƣợc gọi là phép gần đúng
Hatree – Fock (HF). Kết quả cho ta


(2.14)
trong đó

hay

(2.15)
với

Từ (2.15) ta rút ra đƣợc phƣơng trình khe,phƣơng trình Schwinger – Dyson và các
hàm truyền nghịch đảo.
-

Phƣơng trình khe


Từ điều kiện

ta thu đƣợc
(2.16)
Phƣơng trình Schwinger – Dyson đƣợc xác

định từ điều kiện

(2.17)
Thay (2.15) vào (2.17) ta đƣợc các hàm truyền nghịch đảo

(2.18)
trong đó


(2.19)
Khối lƣợng hiệu dụng của các meson đƣợc định nghĩa là

(2.20)
Các phƣơng trình (2.16) - (2.20) cho thấy trong gần đúng HF không xuất hiện
boson Goldstone nào.
Để khôi phục lại các boson Goldstone nhƣ tronggần đúng cây, theo các tác giả [6],
chúng ta thêm số hạng

(2.21)
vào thế hiệu dụng. Khi đó ta đƣợc


(2.22)
Từ (2.22) ta thu đƣợc

-

Phƣơng trình khe
(2.23)

Khối lƣợng hiệu dụng của các meson
(2.24a)
(2.24b)
(2.24c)
(2.24d)
Để khôi phục lại các boson Goldstone theo (2.24a) – (2.24d) phải có

Lúc này ta đƣợc khối lƣợng hiệu dụng của hạt sigma
(2.25)
với
(2.26a)
(2.26b)
(2.26c)