Lượng tử hoá các trường

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận đƣợc
nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên. Em xin chân
thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý – trƣờng Đại học Sƣ phạm
Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong suốt bốn năm học và qua đó đã giúp
em hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lƣu Thị Kim
Thanh, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận này.
Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn
nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc sự giúp đỡ, góp ý, nhận xét của các
thầy cô và của các bạn để khóa luận này đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Đinh Thị Trang

1


LỜI CAM ĐOAN
Sau một thời gian nghiên cứu, đƣợc sự chỉ bảo, hƣớng dẫn tận tình của
PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh, em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp
đúng thời hạn. Đề tài có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trƣớc đó. Em
xin cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình, không trùng với các
kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Đinh Thị Trang

2

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................. 4
2. Đối tƣợng nghiên cƣ́u ....................................................................... 4
3. Mục đích nghiên cứu ........................................................................ 5
4. Phạm vi nghiên cƣ́u .......................................................................... 5
5. Phƣơng pháp nghiên cƣ́u .................................................................. 5
NỘI DUNG
CHƢƠNG I: Phƣơng pháp lƣợng tƣ̉ hóa .............................................. 6
1.1 Phép biểu diễn các số lấp đầy cho dao động tử điều hòa................ 6
1.2 Sƣ̣ lƣợng tƣ̉ hóa chí nh tắc ............................................................... 10
CHƢƠNG II: Lƣợng hóa trƣờng điện tƣ̀ .............................................. 12
2.1 Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa ....................................................................... 12
2.2 Toán tử sinh và hủy photon ............................................................ 18
2.3 Véctơ trạng thái nhiều photon ........................................................ 20
2.4 Spin của photon .............................................................................. 22
2.5 Giao hoán tƣ̉ của các toán tƣ̉ trƣờng điện từ .................................. 24
CHƢƠNG III: Lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng vô hƣớng .................................... 26
3.1 Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa ....................................................................... 26
3.2 Giao hoán tƣ̉ của các toán tƣ̉ trƣờng vô hƣớng .............................. 32
CHƢƠNG IV: Lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng spinor ......................................... 34
4.1 Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa ....................................................................... 34
4.2 Giao hoán tƣ̉ của các toán tƣ̉ trƣờng spinor.................................... 37
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

3

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lý học là một môn khoa học thƣ̣c nghiệm chuyên nghiên cƣ́u các
qui luật tƣ̣ nhiên
, cấu trúc của vật chất thông qua hệ thống các đị nh, đị
luânh
̣ t ly.́
Bằng công cụ toán học đã giúp vật lý học đã thu đƣợc nhiều kết quả
mong muốn . Tuy nhiên với qui luật hạt vi mô , vĩ mô dƣới tác dụng của các
trƣờng khác nhau thì việc giải quyết trở nên rất khó khăn . Tƣ̀ đó ngƣờ i ta xây
dƣ̣ng lên chuyên nghành Vật lý lý thuyết , nó đã nâng cao và khái quát hóa
nhƣ̃ng đị nh luật thành qui luật tạo ra 1 „ Bƣ́c tranh‟ tổng quát về vật lý học.
Để mô tả thế giới vi mô với nhƣ̃ng hạt chuyển động có vận tố c nhỏ thì
cơ học lƣợng tƣ̉ đã ra đời đ em lại nhiều thành công rƣ̣c rỡ . Vậy một câu hỏi
đặt ra rằng khi hạt chuyể n động với vận tốc lớn thì cơ học lƣợng tƣ̉ còn áp
dụng đƣợc nữa hay không ? Và để khắc phục điều này mộ t lí thuyết mới ra
đời. Đó là Lý thuyết trƣờng lƣợng tƣ̉ . Có thể nói rằng Lý thuyết trƣờng lƣợng
tƣ̉ là lý thuyết hạt cơ bản. Nó là sự tổng hợp của Cơ học lƣợng tử và lý thuyết
tƣơng đối.
Kiến thƣ́c của nhân loại vốn rấ t bao la. Với mong muốn tì m tòi và mở
rộng kiến thức của bản thân về trƣờng lƣợng tƣ̉ cho hệ nhiều hạt , vì vậy tôi
lƣ̣a chọn Lý thuyết trƣờng làm đề tài khóa lu

ận của mình . Với nội dung

“Lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờ ng” tôi muố n đi sâu vào nghiên cƣ́u phƣơng pháp
hiểu công cụ sƣ̉ dụng trong lƣợng tƣ̉ hóa . Tôi hy vọng thông qua đề tài này
bạn đọc sẽ có thêm nhiều kiến thƣ́c cho riêng mì nh.
2. Đối tƣợng nghiên cứu

Công cụ sƣ̉ dụng trong lý thuyết trƣờng lƣợng tƣ̉.
Lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng

4


3. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cƣ́u lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng thông qua phép biểu diễn số lấp
đầy nhằm đƣa tới cặp toán tƣ̉ : sinh hạt aˆ  , hủy hạt aˆ
4. Phạm vi nghiên cứu
Lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng
5. Phƣơng pháp nghiên cƣ́u
Phƣơng pháp vật lý lý thuyết

5


NỘI DUNG
CHƢƠNG I: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HOÁ
Phƣơng pháp lƣợng tƣ̉ hóa các sóng về thƣ̣c chất tƣơng tƣ̣ nhƣ phƣơng
pháp lƣợng tƣ̉ hóa trong cơ học lƣợng tƣ̉ phi tƣơng đối tí nh và có thể khảo sát
trƣờng sóng với vô hạn bậc tƣ̣ do N khi N đủ lớn, mà các hệ với số N đã đƣợc
nghiên cứu trong cơ học lƣợng tử . Trƣờng hợp riêng của các hệ này là hệ N
dao động tƣ̉ điều hòa.
Công cụ đƣợc sƣ̉ dụng trong phƣơng pháp lƣợng tƣ̉ hóa các trƣờng là
phép biểu diễn số lấp đầy còn gọi là phép biểu diễn lƣợng tử hóa lần thứ hai
hay phép biểu diễn Fock.
Chúng ta xét phép biểu diễn này ở ví dụ của dao động tƣ̉ điều hòa và
mở rộng cho hệ các dao động tƣ̉ điều hòa.
1.1 Phép biểu diễn các số lấp đầy cho dao động tử điều hòa

Dao động tƣ̉ điều hòa một chiều với toán tƣ̉ Hamilton có dạng:
pˆ 2 m 2 2
ˆ
H

qˆ
2m
2

Trong đó:

pˆ  i


q

(1.1)

là toán tử xung lƣợng và qˆ là toán tử tọa độ.

Phƣơng trì nh Schrodinger cho trạng thái dƣ̀ng:

Hˆ n (q)  En n (q)

(1.2)

Giải phƣơng trình (1.2) ta thu đƣợc:

n (q)   n e  / 2 H n ( )
2

1
Với: En   (n  )
2

6

(1.3)
(1.4)


H n ( )  ( 1) e
n

2

 n e 
 n

2

m
q




Trị riêng E n còn nhận đƣợc bằng việc đƣa vào toán tử aˆ và aˆ  liên hợp
với nhau và đƣợc xác đị nh bởi hệ thƣ́c:

1

 m   ˆ pˆ 
aˆ 
(  )  
  q  i 
  2  
m
2

(1.5)

1

pˆ 
 m   ˆ
aˆ 
(  )  
  q  i 

m
2
 2  

(1.6)

1/ 2

1/ 2




Các toán tử aˆ và aˆ thỏa mãn các hệ thức giao hoán và phản giao

hoán sau :

aˆ, aˆ   1


aˆaˆ   aˆ  aˆ   2 

(1.7)

2
 2

(1.8)


Tƣ̀ (1.8) ta biểu diễn Hˆ qua các toán tƣ̉ aˆ và aˆ nhƣ sau:

 2  2 m 2 2   2  2  
1
ˆ
H 

q     2   (aˆaˆ   aˆ  aˆ )   (aˆaˆ   )
2
2m q

2
2
  2
2

(1.9)

Tác động lên các hàm aˆ  n , aˆ   n và chú ý tới các hệ thƣ́c giao hoán sau:

[ Hˆ , aˆ ]  aˆ

(1.10)

[ Hˆ , aˆ  ]  aˆ 

(1.11)

Hˆ (aˆn )  ( E n   )(aˆn )

(1.12)

Hˆ (aˆ  n )  ( En   )(aˆ  n )

(1.13)

Ta thu đƣợc:

7

ˆ n ) là hàm riêng Hˆ ứng với trị riêng năng lƣợng : En   và
Vậy (a
năng lƣợng của dao động tƣ̉ đã bị giảm đi một lƣợ ng  .Do đó toán tƣ̉ aˆ gọi
là toán tử hủy. Tƣơng tƣ̣, toán tử aˆ  gọi là toán tử sinh.
Giả thiết giữa các trạng thái

En   và E n không có mức năng lƣợng

trung gian nào khác . Khi đó ta có đƣơc:
En1  En  

(1.14)

aˆn  Cn 1

(1.15)

aˆ  n  Cn 1

(1.16)

Hˆ là toán tử dƣơng nghĩa là:

, Hˆ   2 (, aˆaˆ )  2 (, aˆ aˆ)  2 (aˆ , aˆ )  2 (aˆ, aˆ)  0








Ta thấy các trị riêng của Hˆ là dƣơng và tồn tại giá trị nhỏ nhất E 0 .
ˆ  E 
H
0
0
0

(1.17)

Mà E0 là giá trị nhỏ nhất vì vậy từ (1.12) ta suy ra:

ˆ 0  0
a


Ta có aˆaˆ  aˆ aˆ  1, kết hợp (1.7), (1.9) ta tí nh đƣợc E0 nhƣ sau:



Hˆ 0  (2aˆ  aˆ  1)0  0
2
2

(1.18)

1
 En  n  E0   (n  )
2

(1.19)


Tƣ̀ biểu thƣ́c (1.9) và (1.19) ta thấy toán tƣ̉ Nˆ  aˆ aˆ có trị riêng bằng n

tƣơng ƣ́ng với hàm riêng n :
Nˆ n  nn

(1.20)

8


Trạng thái dừng của dao động tử đƣợc đặc trƣng bởi số lƣợng tử nói
trên. Trong trạng thái  n (n  1) dao động tử là tập hợp của n lƣợng tƣ̉ kí ch
thích dao động, mỗi lƣợng tƣ̉ có năng lƣợng  .
Toán tử Nˆ đƣợc trở thành số lƣợng tƣ̉ (toán tử số hạt)
Bây giờ ta sẽ đi tì m cá c hệ số C ở biểu thƣ́c (1.15) dƣ̣a vào (1.20) với
điều kiện chuẩn hóa nhƣ sau:

n  n , Nˆ n  n , aˆ  aˆn  aˆn , aˆn  C 2 n 1 , n 1  C 2
Ta có C  n
Hay C  n .Hoàn toàn tƣơng tự ta có C   n  1 .Ta có biểu thƣ́c sau:
aˆn 

n n 1

(1.21)

aˆ  n  n  1n 1

(1.22)

Tƣ̀ (1.22) thấy rằng trạng thái n chƣ́a n lƣợng tƣ̉ xác đị nh bởi:

(aˆ  ) n 0
n 
n!

(1.23)

Phép biểu diễn số lấp đầy (số lƣợng tƣ̉) đã diễn tả dao động tƣ̉ điều hòa
qua các công thƣ́c (1.7), (1.9), (1.20), (1.21), (1.22). Hàm sóng trong biểu
diễn số lấp đầy chỉ phụ thuộc vào một biến số : số lƣợng tƣ̉ và kí hiệu là n
hay n .
Trƣờng hợp hệ N dao động tƣ̉ điều hòa với các tần số

 n khác nhau

(k=1, 2,…N). Hamilton đƣợc biểu diễn dƣới dạng :

1
Hˆ   Hˆ k   k (aˆk aˆk  )
2
k
k





ˆ k , aˆ l : aˆk , aˆl   kl
Hệ thƣ́c liên hệ giƣ̃a các toán tƣ̉ a

(1.24)
(1.25)

Các toán tử aˆk , aˆl giao hoán với nhau khi k  l và phản giao hoán khi
k l.
9


1.2. Sƣ̣ lƣợng tƣ̉ hóa chí nh tắc
Trong hì nh thƣ́c luận chí nh tắc , các biến tọa độ q và các xung lƣợng
liên hợp với chúng :

p

L
q

(1.26)

Hamiltonian của dao động tƣ̉ điều hòa có dạng:

pˆ 2 m 2 2
ˆ
H


qˆ
2m
2
Phƣơng trì nh chuyển độn g cho biến động lƣ̣c A là hàm

của q, p và

không phụ thuộc vào thời gian, có dạng:

d(q, p)
 , H 
dt
Móc Poisson đƣợc kí hiệu: {a, b} 
Suy ra

a b a b

q p p q

{q, p}  1

Và

(1.27)
(1.28)
(1.29)

q  {q, H }  p
p  { p, H }   2 q

(1.30)

Khai triển n ghiệm của phƣơng trì nh (1.30) có dạng các thành phần tần
số dƣơng và âm:
a  (t )  a(t )
q(t ) 
2


p(t )  i a  (t )  a(t )
2

(1.31)

Các phƣơng trình chuyển động là:

a (t )  i a(t )
a  (t )  i a  (t )

(1.32)

Giải các phƣơng trình (1.30) ta thu đƣợc:

a (t )  ae  it
a  (t )  a  eit
10

(1.33)






Tƣ̀ (1.29) và (1.31) ta có: a(t ), a (t )  i

(1.34)

Thay (1.31) vào biểu thức Hamilton ta có:

H

 


a (t )a(t )  a(t )a  (t )  (a  a  aa  )
2
2

(1.35)

Nhờ giả thiết lƣợng tƣ̉ hóa chí nh tắc mà phƣơng pháp lƣợng tƣ̉ hóa thu
đƣợc nhƣ sau:
Ta sẽ c oi các biến đợng lƣ̣c dạng

q, p (hay a, a  ) hay các hàm của

chúng có bản chất tốn tử tác dụng lên hàm trạng thái  .
Qui tắc giao hoán của các toán tƣ̉ này đƣợc thiết lập theo qui tắc tƣơng

ứng. Móc Poisson lƣợng tử đƣợc xác định bởi:

a, b

1
1

[
a
,
b
]

(ab  ba)
lượngtử
i
i

 

1
 a, b

cổđiể
n
i 

Nghĩa là: a, b

Xét trong trƣờng hợp lƣợng tử

(1.36)

phƣơng trì nh chủn đợng (1.27) trở

thành:
i

d
 , H 
dt

(1.37)

q, p  i

(1.38)

a, a   1

(1.39)



Tƣ̀ (1.35) và (1.39) Hamilton có thể viết dƣới dạng (1.9).
KẾT LUẬN: Trong chƣơng I ta đã đi xét phép biểu diễn số lấp đầy đối
với bài tốn dao động tử điều hồ, mở rộng cho cả hệ các dao động tử điều
hồ và sự lƣợng tử hố chính tắc. Việc đƣa vào tốn tử sinh (huỷ) hạt đã giúp
ta biểu diễn đƣợc tốn tử Hamilton qua các tốn tử đó.

11


CHƢƠNG II: LƢỢNG TỬ HOÁ TRƢỜNG ĐIỆN TỪ
2.1. Qui tắc lƣợng tƣ̉ hóa
I. Lý thuyết cổ điển của trƣờng điện từ
Trƣờng điện tƣ̀ đƣợc mô tả bởi điện trƣờng



E và từ trƣờng H thỏa

mãn hệ phƣơng trình Maxwell ( sƣ̉ dụng vận tốc ánh sáng c=1):


div H  0

(2.1)


 H
rot E 
0
(2.2)
t

div E  
(2.3)

 E 

rot H 
j
(2.4)
t


Mối liên hệ giƣ̃a điện trƣờng E và từ trƣờng H với thế vô hƣớng  và



thế véctơ  nhƣ sau:




E   grad 
t


H  rot

(2.5)
(2.6)


Vì divrot  0 , rotgrad  0 và kết hợp với hai hệ thức (2.5), (2.6)

nên hai phƣơng trì nh (1.1) và (1.2) đƣợc thỏa mãn.
Việc đƣa thế véctơ và thế vô hƣớng theo công thức

(2.5) và (2.6) là

không cho phép xác đị nh thế véctơ và thế vô hƣớ ng một cách đơn giá . Các
 
véctơ E , H bất biến đối với phép biến đổi gradient của thế véctơ:

     


t


 
      grad
12

(2.7)
(2.8)


Các phép biến đổi (2.7) và (2.8) đƣợc gọi là các phép biến đổi đị nh cỡ
.Đối với sóng điện tƣ̀ ngƣời ta chọn điều kiện đị nh cỡ Lorenxo:

 
div 
0
t

(2.9)

Nếu thế véctơ và thế vô hƣớng chƣa thỏa mãn điều kiện này thì ta đặt:

 
  
   2 

div 
 f  div 
 div 
 2  divgrad
t
t
t
t
Nếu chọn  là nghiệm của phƣơng trình

2

(  2 )   f thì  , 
t



thỏa mãn điều kiện Lorentz và chọn làm  , 
Tƣ̀ điều kiện Lorentz phƣơng trì nh (2.3) trở thành:

 divgrad 


div  

t

 2
 divgrad  2  
t
Hay

 2
   
t 2

(2.10)

Tƣơng tƣ̣ phƣơng trì nh (2.4) trở thành:


 


rotrot  ( grad 
) j
t
t


 2 
    graddiv 
 j
t 2

  


2






 graddiv  2   graddiv  2  j
t
Hay


 
2



 j
t 2

(2.11)

13


Trong môi trƣờng chân không các phƣơng trì(2.10),
nh (2.11) trở thành:

 2
   0
t 2


2
   0
t 2

(2.12)

(2.13)

Các phƣơng trình (2.12), (2.13) và điều kiện Lorentz (2.9) còn bất biến
với phép biến đổi gradient:

 0
t




      grad 0

     

(2.14)
(2.15)

Với  0 là hàm tùy ý thỏa mãn phƣơng trình D‟Alambert:

□
Chọn hàm

2
 0  (  2 )  0  0
t

 0 sao cho trong môi trƣờng chân không có   0 . Khi đó điều

div  0

kiện Lorent đƣợc viết thành:

(2.16)
3

Giả sử trƣờng ở trong một hình lập phƣơng có thể tích V = L . Tƣ̀ điều
kiện tuần hoàn của trƣờng theo mỗi chiều không gia n với chu kì L ta có thể

biểu diễn  dƣới dạng chồng chất các sóng phẳng:



(t , x ) 
Với

1
2V

 i (t  kx )  * i (t  kx )
  k e
)
 (  k e

(2.17)

k



 k


k
Thay (2.17) vào (2.16) ta đƣợc: k  0

(2.18)

Tƣ̀ (2.18) nói lên tính ngang của trƣ ờng điện từ . Nếu chọn véctơ sóng

k song song với trục Oz thì  3 =0. Nhƣ vậy trƣờng điện tƣ̀ đƣợc mô tả bởi
14


 

thế vô hƣớng  và thế véctơ  nhƣng chỉ có hai thành phần 1 ,  2 là độc
lập và trƣ̣c giao với véctơ sóng k .

Đƣa vào hệ đầy đủ ba véctơ đơn vị phân cƣ̣c trong không gian vuông
góc với nhau từng đôi một:

 
e  e    , (  ,  =1, 2, 3)


k
e  
k


e   

(2.19)

3


Ta đƣợc  k   a k e

(2.20)

 1



Khi 3 =0 thì a3k =0. Nhƣ vậy (2.20) đƣợc viết thành:

k 

 a

1, 2


e
k

(2.21)

Thay (2.21) vào (2.17) ta đƣợc:


(r , t ) 

1
2V




i (t  k r )

i (t  k r )
 a k e
)
 e ( a k e

k ; 1, 2

(2.22)

Tƣ̀ công thƣ́c (2.5), (2.6), và (2.22) ta suy ra:


E  i

k ;  1, 2


H  i 

k ; 1, 2

 
2V

e ( a k e


 i (t  k r )



 a k e


i (t  k r )

)




1
[k e  ](a k e i (t kr )  a k ei (t kr ) )
2V

(2.23)

(2.24)

Năng lƣợng toàn phần của trƣờng điện tƣ̀ đƣợc viết bằng bì nh phƣơng


cƣờng độ của các trƣờng E và H .


1 2  2 
( E  H )dr
2
15

(2.25)


Ta chú ý rằng:

e

  
i ( k  k ) r


dr  V kk

  
i ( k  k ) r


dr  0

V

e

V

 
[k e  ][k e   ]  k 2  
Thay (2.23) và (2.24) vào (2.25) ta có đƣợc:



1
 2 (ak ak  ak ak )
k ;  1, 2

(2.26)

Ta thấy rằng năng lƣợng toàn phần của trƣờng điện tƣ̀ đƣợc viết dƣới
dạng tổng vô hạn các phần đóng góp độc lập , mỗi phần này biểu diễn năng
lƣợng của một dao động tƣ̉ điều hòa tƣơng ƣ́ng với sóng phẳn

g có độ phân

cƣ̣c  và véctơ sóng k .
Hoàn toàn tƣơng tự ta tính đƣợc xung lƣợngntoà
phần của trƣờng điện :tƣ̀

 
   [ EH ]dr 

1   
 2k (ak ak  ak ak )
k ;  1, 2

(2.27)

Nhƣ vậy trong lí thuyết cổ điển, trƣờng điện từ mang tính chất sóng. Để
diễn tả tí nh chất hạt của ánh sáng tiến hành lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng điện tƣ̀.
II. Lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng điện tƣ̀
Giống với phép chuyển tƣ̀ cơ cổ điển sang cơ lƣợng tƣ̉
hóa trƣờng điện tƣ̀ ta thay các tọa độ suy rộng

, khi lƣợng tƣ̉

q k và xung lƣợng suy rộng

p k bằng các toán tƣ̉ qˆ  k và pˆ thỏa mãn hệ thức giao hoán sau:
k

[qˆ k , qˆ  k ]  0
[ pˆ k , pˆ  k ]  0
[qˆ k , pˆ  k  ]  i   kk 


Và ak  aˆk ; ak  aˆ k

(2.28)
(2.29)

16



Trong đó toán tử hủy aˆk và sinh aˆ k liên hệ với toán tƣ̉ qˆk và pˆ k

bởi biểu thƣ́c:


ˆ 
ip
 k qˆ   k
k

k


aˆk 

1
2

aˆk 

ˆ k 
ip
1 


ˆ
k qk 

2
k 





(2.30)

aˆk và aˆ k tuân theo hệ thƣ́c

Tƣ̀ (2.28), (2.30) thấy rằng các toán tƣ̉
giao hoán sau:

[aˆ k , aˆ  k ]  [aˆ k , aˆ k ]  0

[aˆ k , aˆ k ]     kk

(2.31)

Tƣ̀ (2.26) và (2.27) ta thu đƣợc Hamiltoninan

1 
ˆ k aˆ k  aˆ k aˆ k )

(
a
k

k ;  1, 2 2



ˆ 


ˆ 





k ; 1, 2


k

(aˆk aˆk 

1
)
2

(2.32)

Toán tử xung lƣợng toàn phần:

ˆ 

1   
ˆ k aˆ k  aˆ k aˆ k )
k
(
a


k ; 1, 2 2

ˆ


 
1
a
 
ˆ

ˆ
k
(
a
)
k k

2
k ; 1, 2



Nhƣ vậy ƣ́ng với mỗi véctơ k có các véctơ - k nên ta có:

ˆ   k aˆ  aˆ 

k k

k ;

Tƣ̀ (2.22) ta có toán tƣ̉ thế véctơ:

17



k

0

(2.33)


ˆ 
(r , t ) 

1
2V




 i (t  k r )

i (t  k r )
e
e
ˆ
ˆ
e
(
a

a
)
k
k


k ;  1, 2

(2.34)

Vậy quá trình chuyển từ các đại lƣợng cổ điển mô tả trƣờng điện tƣ̀ nhƣ
   
, E , ,  sang các toán tƣ̉ tƣ ơng ƣ́ng nhờ phép thay thế (2.29) gọi là sự
lƣợng tƣ̉ hóa trƣờng điện tƣ̀.
2.2. Toán tử sinh và hủy photon

Các toán tử aˆ k và aˆk là các toán tƣ̉ hủy và sinh của lƣợng tử trƣờng

điện tƣ̀ – các photon. Tƣ̀ (2.31), 2.32), (2.33) ta có:

ˆ , aˆ  ]  aˆ 
[
k
k

(2.35)

ˆ , aˆ  ]  kaˆ 
[
k
k

(2.36)

ˆ , aˆ  ]  aˆ 
[
k

k

(2.37)

ˆ , aˆ  ]  kaˆ 
[
k
k

(2.38)

ˆ , ˆ đều giao hoán với toán tử
Các toán tử 

Nˆ  k  aˆk aˆ k vì vậy nế u

trạng thái  của trƣờng điện từ là véctơ riêng của Nˆ  k thì nó cũng là véctơ
riêng của ˆ , ˆ nghĩa là:

ˆ   E


ˆ   P


(2.39)
(2.40)

Tƣ̀ (2.35) và (2.37) ta có đƣợc:

ˆ aˆ   ( E   )aˆ 

k
k

(2.41)

ˆ aˆk   ( E   )aˆk 

(2.42)

Hoàn toàn tƣơng tự từ (2.36) và (2.38) ta có:
 
ˆ aˆ k   ( P  k )aˆ k 

18

(2.43)


 
ˆ aˆk   ( P  k )aˆ k 

(2.44)

Vậy: Nếu  mô tả trạng thái có năng lƣợng E và xung lƣợng P thì mô
tả trạng thái có năng lƣợng


E   và xung lƣợng P  k , còn aˆ k  mô tả

E   và xung lƣợng

trạng thái có năng lƣợng

P  k . Có thể nói rằng

aˆ k (aˆk ) là toán tử hủy(sinh) photon với năng lƣợng  , xung lƣợng k và ở
trạng thái phân cực  .
Tiếp theo xét trị riêng n của toán tử Nˆ  k ứng với hàm riêng  n :
Nˆ  k  n  n n

(2.45)

Ta có:
2

n   n , Nˆ  k  n   n , aˆk aˆ k  n  aˆ k  n , aˆ k  n  aˆ k  n  0 ; n là số
thƣ̣c không âm.
Tƣ̀ (2.31) ta có đƣợc:

Do đó :

[ Nˆ  k , aˆk ]    kkaˆ k

(2.46)

[ Nˆ  k , aˆk  ]     kk  aˆk

(2.47)

Nˆ  k aˆ k  n  (n  1)aˆ k  n

(2.48)

Nˆ  k aˆ   n  (n  1)aˆk  n
k

 nếu  n là hàm riêng của

(2.49)

Nˆ  k ứng với trị riê ng n thì aˆ  k  n và

aˆk  n cũng là các hàm riêng của Nˆ  k ứng với các trị riêng n  1 và n  1 với

điều kiện n  1  0 .
Gọi n0 là trị riêng nhỏ nhất của Nˆ  k ta có:

19

Nˆ  k  n0  n0 n0

(2.50)


Nˆ  k aˆ k  n0  (n0  1)aˆ k  n0

(2.51)

Vì n0 là trị riêng nhỏ nhất nên n0  1 không thể là trị riêng. Do đó (2.51)
chỉ tồn tại khi aˆ k  n0  0 . Khi đó:
Nˆ  k  n  aˆk (aˆ k  n )  0
0

0

(2.52)

Nhƣ vậy trị riêng nhỏ nhất n0 =0 tƣ́c là n =0,1,2,3,…Vậy Nˆ  k đƣợc gọi
là toán tử số photon với năng lƣợng  , xung lƣợng k và ở trạng thái phân
cƣ̣c  .
2.3. Véctơ trạng thái nhiều photon
Trạng thái  0 (ứng với n0  0 ) đƣợc gọi là trạng thái chân không . Đối
với trạng thái chân không ta có:

aˆ k  0  0

(2.53)

0  1

(2.54)

Chuẩn hóa véctơ  0 :

Véctơ aˆ k  0 mô tả trạng thái một photon có xung lƣợng k 1 và ở trạng
1 1

thái phân cực 1 . Véctơ aˆ k  0 đã đƣợc chuẩn hóa vì :

1 1

2

aˆ k 0  aˆ k 0 , aˆ k 0
1 1

1 1

1 1

2

aˆ k 0  0 , aˆ k aˆ k 0
1 1

1 1

1 1

2

aˆ k 0  0 ,(aˆ k aˆ k  1)0  1
1 1

1 1

(2.55)

1 1

Chọn aˆ k  0 làm véctơ trạng thái một photon đã chuẩn hóa.
1 1

 k  aˆ k 0
1 1

(2.56)

1 1

Tƣơng tƣ̣ ta có đƣợc véctơ trạng thái r photon đã chuẩn hóa với số



lƣợng tƣ̉ khác nhau (1k1 ),(2 k2 ),...,(r kr ) mỗi loại hạt là:

 k  k ... k  aˆ k aˆ k ...aˆ k 0
1 1 2 2

r r

1 1

20

2 2

r r

(2.57)



1 k1 )
Xét trạng thái nhiều photon đã chuẩn hóa với số lƣợng tử nhƣ (nhau

Trƣớc hết ta xét trạng

thái hai photon đồng nhất với số lƣợng tử là


( 1 k1 ) đƣợc mô tả bởi véctơ trạng thái (chƣa chuẩn hóa) aˆ k aˆ k 0 . Chú ý tới
1 1

1 1

(2.31) và (2.53), ta sẽ tí nh bì nh phƣơng chuẩn của véctơ này:
2

aˆ k aˆ k 0  aˆ k aˆ k 0 , aˆ k aˆ k 0
1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

aˆ k aˆ k 0  0 , aˆ k (aˆ k aˆ k )aˆ k 0
1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

aˆ k aˆ k 0  0 , aˆ k (aˆ k aˆ k  1)aˆ k 0
1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

aˆ k aˆ k 0  0 ,(aˆ k aˆ k  2)(aˆ k aˆ k  1) 0
1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

2

aˆ k aˆ k 0  0 ,20  2
1 1

(2.58)

1 1

Suy ra véctơ trạng thái chuẩn hóa tƣơng ƣ́ng với (2.58) là:

1  2

(aˆ  )  0
2 k

  k 
1 1

(2.59)

1 1

Tƣơng tƣ̣ ta thu đƣợc véctơ trạng thái chuẩn hóa mô tả n photon đồng

nhất với số lƣợng tƣ̉ ( 1k1 ) là:
 (  k  k ) 
n

1 1 1 1

1
(aˆ k ) n  0
n!

(2.60)

1 1

Ta có thể tì m đƣợc véctơ trạng thái mô tả n1 photon với số lƣợng tƣ̉




(1k1 ) , n2 photon với số lƣợng tƣ̉ (2 k2 ) ,…, nr với số lƣợng tƣ̉ (r kr )

 ( n k )





n1
( 2 k2 )n2 ...( r kr )nr
1 1



1
(aˆ k ) n (aˆ k ) n ...(aˆ k ) n  0
n1 !n2 !...nr !
1

1 1

21

2

2 2

r

r r

(2.61)


2.4. Spin của photon
Trong lý thuyết lƣợng tƣ̉ trƣờng điện tƣ̀ , sóng phẳng đơn sắc với véctơ



sóng k và véctơ phân cƣ̣c  k đƣợc coi là hàm sóng của hạt photon với xung


lƣợng k , năng lƣợng  và trạng thái spin đƣợc xác định bởi phân cực   k .
Toán tử momen xung lƣợng là vi tử của hàm sóng của hạt trong phép
quay vô cùng bé của không gian:



r  r   [  r ]
(2.62)
 
Ứng với phép quay này , hàm sóng (r ) của photon cũng là véctơ nên

biến đổi giống nhƣ bán kí nh véctơ r :
 
 
 
  
(2.63)
(r )  (r )  (r )  [  (r )]

 
 
 
 
 


(
r
)


(
r

[



r
])


(r   [  r ])
Mà
(2.64)
Tƣ̀ (2.63) ta thu đƣợc:
 
 
 

  
(r )  (r   [  r ])  [  (r )]
Do đó:

 
 
 
  
(r )  (r  [  r ])  [  (r )]

 
 
   
  
(r )  (r )  [  r ]  (r )  [  (r )]
r
 
 
   
  
(r )  (r )  [r   ](r )  [  (r )]
r

(2.65)

Đƣa vào ba ma trận S x  S1 , S y  S2 , S z  S3 mà các yếu tố ma trận đƣợc
xác định bởi : (Si ) jk  i ijk với

 ijk là tenxo Levi-Civita hạng ba hoàn

phản xứng theo i, j, k.
Dạng tƣờng minh của các ma trận nay là:

22

toàn


0 0 0 
S1  i 0 0 1
0 1 0 

 0 0 1
0 1 0 




, S 2  i  0 0 0  , S3  i  1 0 0 
 1 0 0 
0 0 0

Theo đị nh nghĩ a tí ch hƣ̃u hƣớng của hai véctơ ta có:
  
[  (r )] j   jik i  k
  
[  (r )] j  i ijk i  k
  
[  (r )] j  ii (Si ) jk  k
  


[  (r )] j  i ( S ) jk  k

(2.66)

(2.67)

Biểu thƣ́c đị nh nghĩ a của toán tƣ̉ momen xung lƣợng quỹ đạo:

 
L  i[r   ]
r
Tƣ̀ (2.65) và biểu thức định nghĩa toán tử momen xung lƣợng quỹ đạo
suy ra:







j (r )   j (r )  i(.L) j (r )  i(.S ) jk k (r )

Bởi vậy:
 








 j (r )  j (r )   j (r )  ii ( jk L  S jk )k (r )  i J jkk (r )
với

(2.68)


 
J jk   jk .L  S jk là toán tử momen xung lƣợng toàn phần của

photon.
Moment xung lƣợng toàn phần của photon gồm moment xung lƣợng

quỹ đạo và spin của nó nên S là véctơ ma trận spin của photon . Tƣ̀ (2.66) ta
thấy rằng:
2

S  S12  S22  S32  2

(2.69)

Mặt khác nếu S là spin của photon thì ta có:

S 2  S (S  1)
So sánh (6.68) và (2.69) suy ra S =1, tƣ́c là photon có spin bằng 1.

23

2.5. Giao hoán tƣ̉ của trƣờng
Trong mục này ta xác đị nh hệ thƣ́c giao hoán

giƣ̃a các toán tƣ̉ tại các

điểm không gian khác nhau và ở các thời điểm khác nhau . Ta sẽ đi tí nh giao
ˆ 
ˆ 
hoán tử giữa các toán tử thế là (r , t ) và (r , t ) . Sƣ̉ dụng (2.19) và (2.31)
cho khai triển (2.34) ta thu đƣợc:
ˆ 
ˆ  

(r , t ), 
(r , t ) 



1
2V



 
k ,  , k ,  

1
= V



1          i[ (t t )  ( kr  k r )]     i[ (t t )  ( k r  k r )]
e e [a k , a k  ]e
 [a k , a k  ]e




 
1 i[ ( t t )  k ( r  r )]
i [ ( t  t  )  k ( r  r  )]
e

e
 2
k





 
 iD(r  r , t  t )

(2.70)

Trong đó:

i
D(r , t ) 

V






1  i (t  kr )
1
i (t  k r )
e

e

 2
V
k

Trog trƣờng hợp V   ta có



 e i kr
k

sin( t )



(2.71)

1
1
f (k ) 
f (k )d k và lấy tổng

V k
(2 )3 

theo k (2.71) trở thành tí ch phân sau:


D(r , t ) 


1
i kr sin( t )
e
dk
(2 )3 


 

(2.72)

ˆ
Vì toán tử thế véctơ (r , t ) thỏa mãn phƣơng trình sóng nhƣ (2.13):

 2

 
 2    (r , t )  0
 t

Nên giao hoán tƣ̉ (2.70) cũng thỏa mãn phƣơng trình:

24


 2
 
 2    D ( r , t )  0
 t


(2.73)

Tƣ̀ (2.73) suy ra các điều kiện ban đầu sau đây:


D( r , t )  0


D(r , t )
t 0   (r )
t

(2.74)
(2.75)


Hàm D(r , t ) có thể phân tích thành :



D( r , t )  D (  ) ( r , t )  D (  ) ( r , t )

Với


i
D (  ) (r , t )  
V



 e i[t kr ]

(2.76)

k

Khi V   ta có:


D (  ) (r , t )  

i
(2 )



ei[t kr ]d k
3 

(2.77)



Hai hàm D (  ) ( r , t ) đều là hàm chẵn của r và thỏa mãn phƣơng trì nh


vi phân (2.73) nhƣ D(r , t ) và liên hệ với nhau qua hệ thức:



D(  ) (r , t )   D(  ) (r ,t )

(2.78)

KẾT LUẬN: Trong chƣơng II chúng ta đã xét lƣợng tử hóa trƣờng điện
tƣ̀ dƣ̣a vào quan điểm cổ điển và quan điểm lƣợng tƣ̉ . Theo quan điểm lƣợng
tƣ̉ đƣa Hamilton cổ điển về Hamilton lƣợng tƣ̉ bằng cách đƣa vào các toán tƣ̉




hủy hạt aˆ k có véctơ sóng k , xung lƣợng, năng lƣợng còn aˆ k là toán tử sinh

hạt có véctơ sóng, năng lƣợng, xung lƣợng. Các hạt photon này có khối lƣợng

0, spin 1 tuân theo hệ thƣ́c giao hoán (2.31) nên gọi là hạt Bose.

25