Một số hàm đặc biệt trong vật lý hàm delta hàm gamma hàm bessel

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Phần một: mở

đầu

Như chúng ta đã biết, cho đến thế kỉ XIX thì một chuyên ngành vật lí
mới đã ra đời, đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học, đó
chính là Vật lý lí thuyết. Chuyên ngành vật lý lí thuyết ra đời đã nâng cao
và khái quát những định luật Vật lý thành những quy luật, những học thuyết
hết sức tổng quát và có ý nghĩa to lớn trong khoa học, đời sống và kỹ thuật
.Bằng những phương pháp toán học hiện đại, phát triển cao, Vật lý lí thuyết
còn tìm ra những quy luật mới chưa hề được tìm ra bằng thực nghiệm và tiên
đoán trứơc được mối quan hệ giữa các hiện tượng vật lý.
Trong suốt quá trình phát triển, Vật lý lí thuyết đã khẳng định rõ được
chức năng, nhiệm vụ của mình. Đó là:
Thứ nhất, diễn tả các quy luật Vật lý dưới dạng các hình thức định
lượng và thành lập mối quan hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong
thực nghiệm; xây dựng những thuyết bao gồm và giải thích được một phạm vi
rộng rãi nhiều hiện tượng vật lý.
Thứ hai, dùng phương pháp tổng hợp để tìm ra những quy luật mới,
những qui luật có tính khái quát hơn.
Như đã đề cập, vật lý lí thuyết, dùng các dụng cụ toán học để nghiên
cứu và khái quát các hiện tượng, qui luật. Những phương pháp toán học dùng
trong vật lý lí thuyết nói chung, trong vật lý học hiện đại nói riêng rất phong
phú, đa dạng; bao gồm một khối lượng lớn các kiến thức thuộc các lĩnh vực
khác như: hàm thực, hàm biến phức, các phương trình vi phận, các phép biến
đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong quá trình tìm nghiệm của các phương

trình vi phân đạo hàm riêng bằng phương pháp tách biến, sẽ gặp các phương
trình vi phân thông thường mà nghiệm của chúng là các hàm đặc biệt như hàm
Delta, hàm Gamma, hàm Bessel, hàm cầu,
Tuy nhiên, trong quá trình học tập và nghiên cứu của bản thân cũng như
của rất nhiều các bạn sinh viên cùng khóa, để hiểu được một cách đầy đủ và
SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

3

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

sâu sắc về các hàm đặc biệt không phải là việc làm đơn giản, dễ dàng. Hơn
nữa, các hàm đặc biệt còn có tầm quan trọng đặc biệt khi nghiên cứu một số
các môn học khác như: Cơ học lượng tử, điện động lực học, lí thuyết trường,
vật lí thống kê, vật lí chất rắn, Do đó, để rèn luyện kĩ năng giải các bài tập,
hiểu và nắm được các công thức phức tạp cũng như phần lí thuyết trình bày
trong giáo trình Cơ học lượng tử, điện động lực học, lí thuyết trường, một
cách kĩ càng và chắc chắn hơn thì trước hết phải hiểu sâu sắc và nắm chắc
được các hàm đặc biệt. Từ đó mà vấn đề đặt ra là phải tìm hiểu và nắm vững
nội dung các hàm đặc biệt. Để giải quyết được vấn đề này một cách triệt để,
chúng ta không chỉ đơn thuần là nắm được những khái niệm, những tính chất
cơ bản của các hàm này mà phải kết hợp một cách phù hợp và nhuần nhuyễn

với các công cụ toán học, biết vận dụng chúng vào các bài tập liên quan một
cách linh hoạt.
Từ những suy nghĩ trên, em đặt ra mục đích là phải nghiên cứu về một
số hàm đặc biệt trong vật lí để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn tốt nghiệp
của mình. Luận văn này sẽ tổng hợp được nhiều kiến thức từ nhiều tài liệu
khác nhau, đồng thời nó cũng sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn
sinh viên khi học tập và nghiên cứu.
Sau khi thực hiện đề tài nghiên cứu Một số hàm đặc biệt trong vật lí,
bản thân em đã hiểu sâu sắc và chi tiết hơn về các hàm đặc biệt thường dùng
trong vật lí và cách vận dụng chúng để giải quyết và biểu diễn kết quả của các
bài tập về vật lí thống kê, điện động lực học, cơ học lượng tử, lí thuyết trường,
vật lí chất rắn,
Nội dung của luận văn gồm ba chương:
Chương 1: Hàm Delta
Chương 2: Hàm Gamma
Chương3: Hàm Bessel.

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

4

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Phần hai:
Chương 1:

Nội dung

Hàm DELTA

1. Hàm Delta:
1.1. Định nghĩa:
Trong vật lý học cổ điển và lượng tử hiện đại, ta thường gặp các chất
điểm có khối lượng các điện tích, các lưỡng cực
Vì vậy để vẫn giữ nguyên các khái niệm về mật độ của chúng, năm
1926 P. Đirac đã đưa ra hàm Delta , sau đó S.L. Xobolev và L. Schwartz xây
dựng về mặt toán học. Hàm Delta được Đirac đưa ra để miêu tả khái niệm
vật lý trừu tượng như: mật độ vật chất điểm, mật độ điện tích điểm
Các giá trị của hàm Delta không phải được xác định theo các giá trị của
đối số như các hàm thông thường mà bằng biểu thức định nghĩa ( cho hàm
Delta một biến) như sau:
0, x 0

(x)

, x 0

Với


xdx 1.

(I.1)

Hàm Delta (x x ) bằng 0 ở tất cả các điểm trừ điểm x= x0, tại đó nó
0
tiến đến vô cùng sao cho tích phân hàm này theo toàn miền là hữu hạn và
bằng đơn vị:

(x x 0 )dx 1


(I.2)

Khi đó hàm Delta sẽ liên hệ chẳng hạn với mật độ điện tích của
một nguồn điểm đặt tại gốc tọa độ bằng hệ thức đơn giản: (x) e (x)
Đối với đoạn [a, b], thay cho (I.2) ta có.
1;a x b
b

0
(x x 0 )dx
a
0; x 0 a, x 0 b

(I.3)

Đối với một hàm f(x) liên tục trong miền đang xét, ta có hệ thức:
SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

5

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

f (x );a x b
b

0
0
f
(x)

(x

x
)dx



0
0;x

a,

x
b
a

0
0

(I.4)

Thật vậy, áp dụng định lí trung bình tích phân ta có:
x
b
0
f
(x)

(x

x
)dx

f
(x


)

(x x 0 )dx trong đó 1, 0.
0
0

a
x
0
Sử dụng (I.3) và cho 0 , ta được ( I.4)
Từ định nghĩa trên ta thấy: đồ thị của hàm Delta không được xác định,
tuy vậy có thể biểu diễn nó bằng một đường cong bất kỳ có chiều cao vô cùng
lớn và chiều rộng vô cùng hẹp, sao cho diện tích giới hạn bởi đường cong và
trục hoành bằng đơn vị.
1.2. Tính chất cơ bản:
Từ định nghĩa, ta dễ dàng rút ra các tính chất sau của hàm Delta:
(2.1)

(x) ( x)

(2.2)

x (x) 0

(2.3)

( x)

(2.4)


f (x) (x a)dx f (a)


(2.5)

' ( x) ' (x) ( Đạo hàm của hàm Delta là một hàm lẻ)

(2.6)

(x)

1



( Hàm Delta là hàm chẵn)

(x)

(x x )
i
d



i


dx x x

i

Với xi là các nghiệm của phương trình (x) 0
(2.7)

(x)

1
exp(iqx)dq ( Khai triển Furie của hàm Delta)
2

(Đây là một trong nhiều cách biểu diễn tường minh của hàm Delta)

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

6

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

2. Các bài toán liên quan:
2.1. Dùng hàm Delta để biểu diễn ý nghĩa vật lí của nghiệm cơ bản của
phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn.
Bằng phương pháp Fourier ta đã tìm được nghiệm của phương trình
truyền nhiệt một chiều trong thanh dài vô hạn.
2
( x)

1
2
u(x, t) f ( )U(x, t, )d
f ( )e 4a t d
2a t


Với U(x, t, )

1
2a t

2
( x)
2
e 4a t d

(I.5)

(I.6)

Để tìm ý nghĩa của nghiệm cơ bản, ta giả sử nhiệt độ trên thanh đang
bằng 0 và đúng lúc t = 0 ta truyền cho thanh một nhiệt lượng Q, làm cho nhiệt
độ của khoảng (x h , x h ) tăng lên đến u0, còn nhiệt độ ở ngoài khaỏng
0
0
đó vẫn bằng 0. Vậy nhiệt độ trong thanh lúc t=0 được cho bởi :
u ; x (x h, x h)
0

0
0
u
f (x)
t 0
0; x(x 0 h, x 0 h)

được mô tả như hình H.1.
f(x)

u0

O

x0 -h

x0 +h

x

Hình 1:

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

7

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Ta có: Q 2hc u , trong đó c là nhiệt dung , là mật độ. Theo công
0
thức (I.5), nhiệt độ trong thanh lúc t > 0 được cho bởi :
2
x h
x h ( x)2
( x)
0
1
Q
1 0
2
2
u(x, t)
u e 4a t d
.
e 4a t d

0
c 2a t 2h x h
x h 2a t
0
0

áp dụng định lí về giá trị trung bình vào tích phân ở vế phải, ta được:

u(x, t)

Q
1
.
c 2a t

2
( x)
2
e 4a t

Trong đó x h x h . Bây giờ Q không đổi, cho h dần tới 0, tức
0
0
là ta truyền nhiệt lượng không đổi Q vào khoảng (x0 -h, x0+h) ngày càng thu
hẹp đến điểm x0 . Ta nói rằng có một nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ Q
đặt tại điểm x = x0 ở thời điểm t = 0. Dưới tác dụng của nguồn nhiệt điểm tức
thời đó, phân bố nhiệt độ trong thanh lúc t > 0 được cho bởi:
2
( x)
Q
1
Q
2
u(x, t) .
exp 4a t V(x, t; x )
0

c 2a t
c

Vì lúc h 0 thì x . Vậy nghiệm cơ bản (I.6) cho ta thấy phân bố
0
nhiệt trong thanh lúc t > 0 nếu lúc t = 0 có một nguồn nhiệt điểm tức thời
cường độ Q c đặt tại điểm x .
Người ta gọi hàm biểu diễn phân bố nhiệt độ nhiệt độ lúc đầu t = 0
trong thanh nếu lúc đó có một nguồn nhiệt điểm tức thời cường độ Q c đặt
tại điểm x = x0 là hàm Delta của Đirac và kí hiệu nó là (x x ) . Có thể định
0
nghĩa nó một cách hình thức như sau:
0; x x
0
1) (x x )
0 ; x x


0

( Điều này là do u khi h 0 )
0
SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

8

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp


(x x0 )dx 1


( điều này là do f (x)dx 2hu 1 )
0


2)

Thực ra hàm Delta không phải là một hàm theo nghĩa thông thường của
giải tích mà nó là một hàm đặc biệt của vật lý.
Đồ thị của nghiệm cơ bản (I.6) với cố định ở các thời điểm khác nhau
được vẽ ở hình H.2 . Các đồ thị này đều nhận đường x = làm trục đỗi xứng
1
đạt các cực đại tại x = và cực đại đó bằng
. Diện tích giới hạn bởi
1
2a t

trục Ox và đồ thị của nghiệm cơ bản y v(x, t, ) bằng:
2
(x )
1

x
1 S2
2
S
e 4a t d
dS 1 với

e
2a t

2a t

v
(1)
(2)
(3)
(4)
x
O


Hình. 2

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

9

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Điều đó có nghĩa là nhiệt lượng Q c truyền cho thanh do nguồn
nhiệt điểm tức thời lúc t = 0 là không đổi theo thời gian. Trên Hình.2 , các
đường cong (1) , (2) , (3) , (4) tương ứng với các thời điểm 0 < t1 < t2 < t3 Trong phương trình truyền nhiệt, hệ số a chính là vận tốc truyền nhiệt
a

k
, nhiệt độ trong thanh cân bằng càng nhanh nếu hệ số truyền nhiệt
c

trong thanh càng lớn và nhiệt dung c càng nhỏ.
Cuối cùng ta xét ý nghĩa vật lí của nghiệm (I.5). Muốn cho điểm
x của thanh có nhiệt độ f ( ) lúc t = 0 ta phải phân bố trên đoạn nhỏ d

quanh điểm một nhiệt lượng dQ c f ( )d , hay đặt tại điểm x = một
nguồn nhiệt điểm tức thời có cường độ dQ. Phân bố nhiệt độ lúc t > 0 trong
thanh dưới tác dụng của nguồn nhiệt điểm tức thời ấy được cho bởi:
dQ
1
v(x, t, ) f ( )d
c
2a t

2
( x)
2
e 4a t

Do đó nếu nhiệt độ trong thanh lúc t = 0 được cho bởi hàm f ( ) thì
nhiệt độ trong thanh lúc t > 0 được cho bởi hàm:
2
( x)
1
2
u(x, t)
f ( )e 4a t d
2a t

2.2. Vận dụng trong lí thuyết trường để nghiên cứu trường vô hướng tự
do.

Bài toán: Chứng minh biểu thức của năng xung lượng qua ảnh Fourie
ur
ur
a(k) và a*(k) là:
ur

ur
ur
dk
P dxT k a*(k)a(k)
0
2

ur

Lời giải.

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

10

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

ur

ur

dk ikx ur
1
dk ikx * ur
Ta có: (x)
e
a(k)

e a (k)

3 2
3 2
(2 ) 2
(2 ) 2
1

Để tìm được biểu thức P trước hết ta tính T mà
00
1
m2 2
T p

00 2
2

Ta lần lượt tính:
1



ur
ur
ur
ur
dk
dk
(ik )eikx a(k)
(ik )eikx a*(k)

3 2

2


(2 ) 2

uur
uur
uur
uur

'
1 dk
dk ' ' ikx * '
'

ikx
'

(ik )e
a(k )
(ik )e a (k )

3 2 '
'
2



2
(2 )

uur
uur
ur
u
r
1 dk ikx
dk ' ikx * '

e
a(k)
e a (k )

3 2
'
2




2

(2 )



uur
uur
uur
uur

'
1 dk ikx '
dk ' ikx * '
e
a(k )
e a (k )
3 2 '
'
2


2

(2 )

Vậy:

+

ur uur
uur

')x ur
1 dkdk '

i(k

k
'
T

(k k )e
a(k)a(k' ) +
00 2(2 )3 4 '

ur uur
ur uur
uur
'
u
r
'
dkdk
dkdk'
i(k k )x
i(k k')x

4 '

(k k ' )e

ur uur

a(k)a*(k' ) +

4 '

(k k' )e

uur

ur
a*(k)a(k ' )

uur

ur
'
dkdk'
+
(k k ' )ei(k k )x a*(k)a*(k' ) +
4 '

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

11

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

ur uur
ur uur
uur
uur

'
u
r
dkdk ' i(k k')x ur * '
m dkdk i(kk')x
'
+
e
a(k)a (k )
e
a(k)a(k ) +

4 '
2(2 )3 4 '
ur uur
ur uur
uur
uur
'
u
r
'
dkdk i(k k )x *
dkdk' i(k k')x * ur * '
'
+
e
a (k)a(k ) +
e

a (k)a (k )
'
'
4
4

uur
ur
uur
ur
1
dk dk ' 2
'
' )ei(k k')x +
=
(m

k
k
)a(k)a(k




2(2 )3 2 2 '
uur

ur
'
+ ( m2 k k ' )a(k)a*(k ' )ei(kk )x +

uur

ur
'
+ ( m2 k k ' )a*(k)a(k' )ei(k k )x +

uur

ur
'
+ ( m2 k k ' )a*(k)a*(k ' )ei(k k )x


Thay vào biểu thức của P0 ta có:
ur

uur

dk dk'
P0 = T dx =

00
2(2 )3 2 2 '
ur

1

uur
ur
2

'
' ) ei(k k')x dxur +
(m

k
k
)a(k)a(k





uur
ur
' ur
2
'
*

+ (m k k )a(k)a (k ' ) ei(k k )x dx +

uur
ur
' ur
2
'
*

+ (m k k )a (k)a(k' ) ei(k k )x dx
+

uur
ur
' ur
2
'
*
*

+ (m k k )a (k)a (k ' ) ei(k k )x dx


ur uur

Mặt khác có: k k ' k k ' kk ' nên ta có:
0 0

'
'
i(k k')x dxur ei(k0 k0 )x ei(k k')x dxur ei(k0 k0 )x (2 )3 (k k ' )
e



Vì theo một trong các cách biểu diễn tường minh của hàm Delta:
1 ikx
(k)
e dx . Do vậy ta có:
2
SV Thực hiện

Phạm Thị Hương

12

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý
ur

uur

1 dk dk '
P
0 2 2 2 '

Khóa luận tốt nghiệp

uur i(k k ')x
ur
(m2 k k ' )a(k)a(k ' )e
0 0 (k k ' ) +



uur i(k k ')x
ur
2

'
*
0 0 (k k' ) +
+ (m k k )a(k)a (k ' )e
uur i(k k ')x
ur
2
'
*
+ (m k k )a (k)a(k ' )e 0 0 (k k ' ) +
uur i(k k ')x

ur
2
'
*
*
'
'
0
0
+ (m k k )a (k)a (k )e
(k k )



Biểu thức này chỉ hữu hạn khi k k ' 0 k k' và k k ' 0 k k ' .
uur

uur

ur
Khi k k ' k k ' k k ' kk ' k 2 k 2
0 0
0
uur

m2 k k ' m2 k 2 k 2 2k 2
0
0
uur

uur

ur
k k ' m2 k k ' m2 k k ' kk ' m2 k 2 k 2 0
0 0
0
uur

Vì k k 2 m2 . và có k k ', '
0
0
0
Thay vào biểu thức của P0 ta có:
ur

ur

ur

ur
ur
ur
1 dk
dk
P
(4k 2a(k)a* (k) = k a(k)a*(k)
0 2 4 2
0
2 0
ur

Xét trường hợp i , ta có P T dx
i
oi
Mà ta biết T , ta lần lượt tính:
0 i
oi
ur

uur

ur

dk
ikx a(k)


ik
e

ik eikx a*(k' )


0
0
0
3 2

2
(2 )

1





uur



uur

uur


'
'
dk '

ik ' eik x a(k ' ) ik ' eik x a*(k' )


i
i
i
3 2 '

2
(2 )

1



SV Thực hiện
Phạm Thị Hương



13

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Tr­êng §HSP Hµ Néi 2
Khoa VËt Lý

Khãa luËn tèt nghiÖp

VËy ta cã:
ur uur

uur

uur

uur
uur
dkdk' 
' )ei(k k')x a(k)a(k
' )  (k k ' )ei(k k')x a(k)a
*(k ' )
T 
(

k
k
0 i
oi (2 )3  4 '  0 i

1

uur

uur

uur
uur

'
'

+ (k k ' )ei(k k )x a*(k)a(k ' )  (k k ' )ei(k k )x a*(k)a*(k ' ) 
0 i
0 i


Suy ra:
uur

ur
'
'
uur uur
dkdk
'
' ) e i(kk )x dxur +
Pi =  T dx 

(

k
k
)a(k)a(k


oi
(2 )3 4 '  0 i

ur

1

uur
uur
uur uur
i(kk')x ur
i(kk')x ur
'
*
'
'
*
+ (k k )a(k)a (k )  e
dx + (k k )a (k)a(k ' )  e
dx +
0 i
0 i
uur
uur
i(kk')x ur 
+ (k k ' )a*(k)a*(k ' )  e
dx 
0 i



ur uur

uur
'
 uur
dkdk '
' )(2 )3 ei(k0 k0 )x (k  k ' ) +
=
(

k
k
)
a(k)a(k

0 i 
(2 )3 4 '

1

uur
i(k k ')
*
'
3
0 0  (k  k ' ) +
+ a(k)a (k )(2 ) e
uur

uur
uur
i(k k ')

*
*
+ a (k)a (k ' )(2 )3 e 0 0  (k  k ' ) +
uur

uur
i(k k ')
*
*
'
3
'
0
0
+ a (k)a (k )(2 ) e
 (k  k ) 



ur uur

uur i(k k ' )x
 uur
dkdk '
0 0  (k  k ' ) +
= 
(k k ) a(k)a(k ' )e
0
i
'


4
uur i(k k ')
uur i(k k ')
uur
*
'
'
*
*
0
0
+ a(k)a (k )e
 (k  k ) + a (k)a (k ' )e 0 0  (k  k ' ) +
uur

uur i(k k ')

uur
*
*
+ a (k)a (k ' )e 0 0  (k  k ' ) 



SV Thùc hiÖn
Ph¹m ThÞ H­¬ng

14

Gi¶ng viªn h­íng dÉn
TS. L­u ThÞ Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Biểu thức của pi chỉ có nghĩa khi k = - k ' , k = k ' vì theo tính chất của


k k '; (k k ' )dk 1
khi

'
hàm Delta : (k k )

0 khi
k k '

'
(k k )
0



khi k k '; (k k' )dk 1

khi

'
kk

Do k = k ' nên
ur

uur

ur

uur

uur
dk
P
2k k a(k)a*(k ' ) = k a(k)a*(k ' )
i
2 i
4 ' 0 i
uur

dk

Từ biểu thức của P0 và P ta có biểu thứuc của năng xung lượng qua ảnh
i
ur
ur
Founer a(k) và a*(k) như sau:
ur

ur
ur
dk
P dxTo k a*(k)a(k)
2
ur

2.3. Bài toán trong cơ học lượng tử:
3.1 Bài toán chuẩn hóa các hàm số ( dùng cho các hàm ứng với phổ liên tục)
* Bài toán : Chuẩn hóa hàm số sau:
i
h



p A exp Px , ( p ) về - hàm , với p R và trong trường


i ur r
hợp tổng quát puur A exp Pr .
h

* Lời giải:
Do p là thực và p (, ) nên p ứng với phổ liên tục. Và do đó ta
chuẩn hóa về - hàm , tức là:
*
'
'pdx (p p )
p

Xét tích phân :
SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

15

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

*
2
i

'
2
' x x
'pdx A exp h (p p ) dx A h exp i(p p ) h d( h ) =


p

=

A 2 2 h (p p' )
Từ điều kiện chuẩn hóa (1) ta có:
A 2 2 h (p p' ) (p p' ) A

1
2 h

Vậy hàm p sau khi được chuẩn hóa về - hàm có dạng.

p

1
1

exp Px , p (, )
h

2 h

Trong trường hợp tổng quát:
i ur r
Chuẩn hóa hàm puur A exp pr ,p (, ) về - hàm
h

Ta có thể viết lại:
r

i
h

r

ur

r

ur

ur



puur A exp (Px i Py j Pz k)(xi yy zk) =


r
i

= A exp (xPx yPy zPz ) với r (x, y,z)
h


Do p là thực và p (, ) nên puur tương ứng với phổ liên tục, vì vậy
chuẩn hóa về - hàm có dạng:
ur

* uur drr (pur p' )

p
p'
uuuuur

Xét tích phân:
ur r r
*
r 2
i ur
' )r dr
uur dr


A
exp
(p

p




p
p'

h

uuuuur

i

i

i

A 2 exp (Px P'x )x dx exp (Py P'y )y dy exp (Pz P'z )z dz

h

h

h

ur
u
r
= A 2 (2 h )3 (p p' )

Kết hợp với (2) suy ra:
SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

16

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh

Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

ur

ur

ur
ur
A 2 (2 h )3 (p p' ) = (p p' ) A

1
(2 h )3

3.2 Chứng minh các hệ hàm là trực giao:
* Bài toán : Chứng minh rằng hệ các hàm
i

A exp Px , P(, ) là các hệ trực giao
h


Lời giải:
i

Đặt p = A exp Px , P(, ) và
h

i



= A exp P'x , P' (, ) Chú ý rằng P P'
'
h

p

Xét:






i

i

( , ) A exp P'x A exp Px dx =
P
'
P

h

h



x x
i

= A 2 exp (P P' )x dx A 2h exp i(P P' ) d( )
h h



h


Mặt khác ta có hệ thức:

(P P' ) =

1
x x
exp i(P P' ) d( )

2
h h


Do đó ta có:
( , ) A 2 2 h (P P' )
P' P

Vì P P' nên (P P' ) 0 hay ( , ) 0
P' P
i

Vậy hệ các hàm p = A exp Px là hệ các hàm trực giao.
h


3.3. Tìm hàm sóng của hạt.
* Bài toán: Tìm hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn đối với hạt ở
trạng thái trong tọa độ biểu diễn dạng

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

17

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

iP x
1
(x)

e h 0
2 h

Lời giải:
Tóan tử xung lượng trong tọa độ biểu diễn là: P ih
Hệ hàm riêng của toán tử Pà:
p

1
i

p Px
2 h h

Khi đó hám sóng trong xung lượng biểu diễn là:

P *

(x)dx

P(x)

Khi (x)

1
i

exp Px ta có:
2 h
h

i
2 i (PP )x
1
1
1 h (PP0 )x
0
h
p
dx
2
e
dx =
e
2 h 2
2 h

=

PP
1
0 ) (P P )
2 (
0
h
2 h

Vậy hàm sóng của hạt trong xung lượng biểu diễn là:

P (P P )
0

Chương 2: Hàm GAMAMA

1. Hàm gamma:
1.1. Định nghĩa:
Hàm Gamma là tích phân EUler loại 2, được kí hiệu ( ) và xác định
( đối với những đại lượng dương của biến độc lập ) bằng tích phân suy rộng:

( Với 0 )
(II.1)
( ) e x x 1dx
0
1.2. Các tính chất cơ bản:
SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

18

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

2.1. Dễ thấy rằng tích phân (II.1) hội tụ với mọi 0 .

1
Thật vậy: Với 0 x 1 ta có x 1e x x 1 mà tích phân x 1dx
0

1
hội tụ nếu 1 1 hay 0 . Vậy tích phân x 1e x dx hội tụ khi 0 .
0
1
Vậy tích phân x 1e x dx hội tụ khi 0 .
0

Nếu lấy 1 , ta có: x 1ex : x x 1 e x 0 khi x .
Vậy với x dương, khá lớn, ta có x 1e x Cx , trong đó C là một hằng số

nào đó. Nhưng tích phân x dx hội tụ với mọi 1 , vậy tích phân
1
1 x
e dx hội tụ với mọi . Nói tóm lại tích phân (II.1) hội tụ với mọi
x
1

0.
Hơn nữa tích phân ( II.1) hội tụ đền đối với a, A , trong đó ,
a 1;0 x 1

x
a 0,a , vì ta có x 1ex

xA 1ex ;1 x

1
mà các tích phân xa 1dx , x A1e x dx đều hội tụ.
1
0

2.2. Vì tích phân (II.1) hội tụ đều đối với a, A , a 0,A nên hàm
T( ) liên tục với mọi 0 .

2.3. Cũng có thể chứng minh được rằng hàm ( ) có đạo hàm mọi cấp.
2.4. Công thức truy hồi toàn đối với hàm Gamma ( công thức cơ bản thứ
nhất):

( ) ( 1)!

(II.2)

Thật vậy, bằng tích phân từng phần ta có:

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

19

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

T( ) x 1ex

Khóa luận tốt nghiệp



( 1)x 2exdx ( 1) x 2ex dx
0
0
0

Hay ( ) ( 1)( 1)

(II.3)

áp dụng lần lượt lần công thức (II.3), ta được:
( ) ( 1)( 1) = ( 1)( 2)( 2) .... ( 1)( 2)....2.1(1) .


Nhưng (1) ex dx 1 . Vậy ta có:
0

( ) ( 1)( 2)....2.1 ( 1)!

(n 1)
n!
áp dụng: e xx n dx

n1 n1
0

2.5 Công thức truy hồi toàn cơ bản thứ hai của hàm Gamma:
1 (2n 1)!!

Đối với các bản nguyên: (n )
2
2n

Thật vậy: Thay x = t2 vào (II.1) ta có:

2
( ) e k x 1dx 2 et t 2 1dt
0
0
1
Với t 2 1 1
2
2
1
1
Suy ra: ( ) 2 et dt 2. ( Theo tích phân Poisson).
2
2
0

Từ đó với một số bán nguyên bất kỳ ta có:
1)
(n 1 ) (n 1 )(n 3 )... 1 ( 1 ) 1.3.5...(2n
2
2

2 2 2
2n

=

(2n 1)!!
( Với n = 1, 2, , )
2n

2.6. Hàm Gamma ( ) đã được định nghĩa bởi tích phân (II.1) với 0 .
Nếu 0 , ta định nghĩa nó bởi công thức (II.3), cụ thể là ( ) =

( 1)



Chẳng hạn:

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

20

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

(3, 2)


Khóa luận tốt nghiệp

(2,2)
1 (1,2)


3,2
3,2 2,2

1 (0,2)
1
(0,8)

0,6891
3,2.2,2 1,2
3,2.2,2.1,2 0,2

2.7. Khi dần tới 0 hoặc tới một số nguyên âm thì ( ) dần tới vô cùng.
Thật vậy, với mọi ta có:
( ) =

( 1)



Khi 0, ( 1) (1) 1 . Vậy ( ) , ta viết (0)
Ta lại có với n nguyên dương

(n)

(n 1)
1
(1)n
(0)
(0)
...
n
(n)(n 1)...(1)
n!

2. Các bài toán liên quan:
ứng dụng hàm Gamma vào việc giải bài tóan của vật lý thống kê.
Bài tóan:
Tính lượng hiệu chỉnh vào phương trình trạng thái của chất khí loãng
mà các phân tử của nó tương tác với nhau theo đinh luật.
a
(r) n với a > 0 .
r

Lời giải:
Phương trình trạng thái của khí loãng, một cách gần đúng có thể coi là
phương trình trạng thái của khí lý tưởng:
P

kNT
N
kT
V

V

(1)

Tuy nhiên, do các phân tử của khí loãng có tương tác với nhau theo định
luật
a
(r) n với a > 0 nên biểu thứuc của áp suất khí lúc nâng có dạng chính
r

xác là:

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

21

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

P

Khóa luận tốt nghiệp

N N2

kT
V
V 2V2


(2)



Với xác định theo biểu thức:

4 f(r)r2dr trong đó:

(r)
1
kT

f(r) exp

Từ (1) và (2) ta suy ra lượng hiểu chỉnh của phương trình trạng thái của
chất khí loãng là:
Ptt kT

N2
N2
2
kT
4 f(r)r dr
2

2
2V
2V 0

(3)

(r)
a
1 với (r) n vào (3) ta có
r
kT

Thay f(r) exp

2
(r) 2
N
Ptt 2 kT xep
n 1r dr =
V 0
kTr
2
2 a n
N 2
= 2 kT r dr r e kTr dr =
V 0

0

2
a n kT (n1) r3 a n
N r3
= 2 kT 1 e kTr
r
e kTr dr

3
0 na 0
V 3




Nếu như các lực tương tác là các lực tác dụng đủ ngắn ( có bán kính tác
dụng nhỏ) , thành thử n > 3 thì thành phần

an
r3
1 e kTr
3
0


sẽ bị triệt



tiêu và khi đó biểu thức của Ptt sẽ chỉ còn lại là:
a

N 2 na 1 kTrn
Ptt 2 kT( )
e
dr
V 3kT 0 r n2

Đến đây ta đặt x

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

a
na
kT n1
dx
dr dr
r dx
n
na
kTr
kTr n1

22

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

1

a n
r

xkT

N na x 1 kT n1
Ta có: Ptt 2 kT( )2
e
r dx =
n

2
V 3kT 0
na
r
3
2
N 2 x 3
2
N 2 x a n
= kT( ) e r dx kT( ) e
dx
3
V 0
3

V 0
xkT
3
3
2 N 2
a n x n
= ( ) kT
e x dx
3 V
kT 0

1 n3 N 2 x (1 n3 )1
2 n3
=
a (kT)
dx
V e x
3
0


Dựa vào hàm Gamma ( hàm ): ( ) exx 1dx ( 0 )ta có thể
0

viết kết quả dưới dạng đơn giản hơn:
1 3 N 2
2 n3
3
Ptt
a (kT) n (1 )

3
n
V

Vậy lượng hiệu chỉnh vào áp suất của khí lí tưởng do có tương tác ở khí
thực là:
1 3 N 2
2 n3
3
Ptt
a (1 )(kT) n
3
n
V

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

23

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Chương 3: Hàm Bessel

1. Phương trình Bessel:
Giả sử có một đĩa tròn bán kính R khá mạnh, truyền nhiệt, có mặt xung
quanh cách nhiệt. Giả sử nhiệt độ u tại mỗi điểm của đĩa ở thời điểm t chỉ phụ
thuộc vào khoảng cách r từ điểm đó tới tâm và vào t : u = u ( r, t). Phương
trình truyền nhiệt trong đĩa là:
2 u 2 u 1 u


0
x2 y2 a2 t

Chọn tâm của đĩa làm gốc tọa độ, chuyển từ hệ tọa độ Đêcac (x, y) sang
hệ tọa độ cực (r, ) với chú ý u không thuộc , tức là

u
= 0, có thể viết


phương trình trên thành:
2u 1 u 1 u


0
2
2
r

r

t
r
a

(3.1)

Giả sử điều kiện ban đầu và điều kiện biên là:
u

t 0

f(r)

(3.2)

u r R 0

(3.3)

Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình (3.1) thỏa mãn điều kiện (3.3) dưới
dạng u(r, t) = V(r) T(t). Thế biểu thức này vào phương trình (3.1) ta có:
V'' (r) 1 V' (r) 1 T' (t)


V(r) r V(r) a2 T(t)

Hai vế chỉ bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số, chẳng hạn
hằng số đó là . Do đó ta được:

SV Thực hiện

Phạm Thị Hương

T' a2T 0

(3.4)

1
V'' V' V 0
r

(3.5)

24

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Từ điều kiện biên (3.3) suy ra:

V(R) 0

(3.6)

Ngoài ra ta đặt một điều kiện hiển nhiên là:

V(0)

(3.7)

Như vậy ta đi đến bài tóan giá trị riêng của phương trình (3.5) thỏa mãn
các điều kiện (3.6) và (3.7). Ta đã biết rằng phải dương, nếu không T(t) sẽ
lớn nên vô cùng khi t . Nếu 2 , ta đặt S r . Phương trình (3.5)
trở thành.

S2

d2V
dV 2
S
S V 0
dS
dS 2

(3.8)

Phương trình này gọi là phương trình Bessel cấp không. Nó là trường
d 2V
dV
hợp riêng của phương trình sau: S 2
S
(S 2 2 )V 0
dS
dS 2

(3.9)

trong đó là một số dương nào đó. Phương trình (3.9) gọi là phương trình
Bessel cấp . Điểm kỳ dị ( điểm tại đó hệ số có đạo hàm cấp cao nhất có mặt
trong một phương trình vi phân bằng không) của nó là S = 0

2. Giải phương trình Bessel. Hàm Bessel.
Ta hãy tìm một nghiệm riêng của phương trình Bessel
x2 y'' xy' (x2 2 )y 0

(3.10)


dưới dạng y x a x k . Thế biểu thức này vào (3.10) ta có:
k 0 k


k
2
2

( 2 2 )a x p 1 2 a x 1 k 2 a
x
0
0
k 2

1

k 0

Do đó các hệ số của x ,x 1...,x k ,.... ở vế trái bằng 0:

SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

25

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

( 2 2 )a 0

0

2
1 2 a 0

1

........

2
k 2 a

0


k 2


.......



(3.11)

Ta luôn có thể giả thiết rằng a 0 , vì vậy từ phương trình đầu của
0
(3.11) ta suy ra 2 2 0 hay
Nếu ta lấy thì từ các phương trình sau của (3.11) ta có:
a
a 0,a k 2 với k = 2, 3, 4, ..
1
k k(2 k)

Do đó tất cả các hệ số với chỉ số lẻ đều bằng 0, còn các hệ số với chỉ số
chẵn được cho bởi :
a
0
,
a
2
2
2 ( 1)1!

a

2k

(1)k

a
a
2
0
a

,.....
2
2
4
2 ( 2)2! 2 ( 1)( 2)2!
a

0
,
2k
2 ( 1)( 2)...( k)k!

(k = 1, 2, 3, )

1
Nếu chọn a
ta có:
0

2 ( 1)

a

2k

(1)k

a

1
0
(1)k
22k ( 1)( 2)...( k)T( k)k!
22k T( k 1)k!

Vậy một nghiệm riêng của phương trình Bessel (3.10) là:

1
x
J (x) (1)k
( )2k
k!T( k 1) 2
k o

(3.12)

Nghiệm này gọi là hàm Bessel loại một cấp

SV Thực hiện

Phạm Thị Hương

26

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh


Trường ĐHSP Hà Nội 2
Khoa Vật Lý

Khóa luận tốt nghiệp

Nếu ta lấy , ta được một nghiệm riêng thứ hai của phương trình
(3.10), nó suy ra từ nghiệm (3.12) bằng cách thay bởi - , vì phương trình
(3.10) không đổi khi ta thay bởi - . Đó là nghiệm:
2k

1
x
k
J (x) (1)
k!T( k 1) 2
k 0

(3.13)

Dễ thử lại rằng cả hai chuỗi hàm (3.12) và (3.13) đều hội tụ với mọi x.
Nếu không phải là số nguyên thì các nghiệm riêng J (x),J (x) là
độc lập tuyến tính, vì khi x 0 thì J (x) 0 như x còn J (x) như

x . Trong trường hợp này nghiệm tổng quát của phương trình (3.10) là :
C J (x) C J (x) , trong đó C1 , C2 là những hằng số tùy ý. Còn nếu
1
2

bằng số nguyên n thì các hàm J n (x),J n (x) là phụ thuộc tuyến tính.
Thật vậy, nếu n thì với k = 0, 1, 2, , n-1, biểu thức k 1 lấy
các giá trị âm hoặc bằng 0, do đó T( k 1 ) = với k = 0, 1, 2, n-1. Vì
vậy n số hạng của khai triển (3.10) bằng 0. Do đó:
2k n

1
x
k
J n (x) (1)
k!(n k 1) 2
k n

Đặt k = n+l , ta có:
2ln

1
x
n
l
J n (x) (1) (1)
(1)n J n (x)

(n

l)!T(l

1)
2

l0

(3.14)

Một nghiệm riêng độc lập tuyến tính với J n (x) của phương trình (3.10)
là: N n (x) lim N (x) , trong đó: N n (x)
n

cos J (x) J (x)
sin

Hàm N (x) gọi là hàm Bessel loại hai hàm Neumann. Điều đáng chú ý
là N n (x) khi x 0 .

3. Vài công thức truy hồi:
Từ công thức (3.12) có thể dễ dàng chứng minh các công thức sau:
SV Thực hiện
Phạm Thị Hương

27

Giảng viên hướng dẫn
TS. Lưu Thị Kim Thanh