Các phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử

Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Lời cảm ơn
Để hoàn thành được khoá luận tốt nghiệp này, ngoài sự nỗ lực
nghiên cứu của bản thân, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ
tận tình của tiến sĩ Lưu Thị Kim Thanh, của toàn thể các cán bộ,
giảng viên trong khoa vật lý.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này của các
thầy cô.
Ngày 02 tháng 5 năm 2007
Sinh viên
Dương Thị Thu Huyền

0


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Mục lục
Trang
Phần mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

2

2. Đối tượng nghiên cứu

2

3. Mục đích nghiên cứu

2

4. Nhiệm vụ nghiên cứu

3

5. Giả thuyết khoa học

3

6. Phạm vi nghiên cứu

3

7. Phương pháp nghiên cứu

3

Phần nội dung

Chương 1: Phương pháp các ô của Bômxơman

4

1.1. Nội dung phương pháp

4

1.2. áp dụng

4

Chương 2: Phương pháp Gibbs

13

2.1. Nội dung phương pháp

13

2.2. áp dụng

13

Chương 3: Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

20

3.1. Toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt

20

3.2. Giao hoán tử hay phản giao hoán tử

27

3.3. Thống kê Bôzơ - Anhstanh và thống kê Fécmi-Đirác

31

Phần kết luận

34

Phụ lục

36

Tài liệu tham khảo

40

1


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài:
Cùng với sự phát triển của lịch sử loài người, Vật lý học cũng đã trải qua
nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu quan trọng: Thế kỷ
XVIII cơ học cổ điển của Niutơn trở thành môn khoa học cơ bản, thế kỷ XIX lý
thuyết điện từ trường của Măcxuen và Faraday ra đời có nhiều ứng dụng trong

đời sống và khoa học, thế kỷ XX là thế kỷ của vật lý học hiện đại với khuynh
hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất. Khi thâm nhập sâu vào
cấu trúc vi mô của vật chất người ta thấy rằng các quy luật tìm thấy không còn
giống các quy luật tìm thấy trong Vật lý cổ điển mà ở đây có xuất hiện các quy
luật mới gọi là quy luật thống kê. Vật lý thống kê là một bộ phận của Vật lý
hiện đại, nó nghiên cứu các hệ nhiều hạt bằng phương pháp thống kê. Để tìm
các định luật phân bố thống kê lượng tử chúng ta có thể sử dụng ba phương
pháp đó là: Phương pháp các "ô" của Bônxơman, phương pháp Gibbs và phương
pháp lý thuyết trường lượng tử. Trong giáo trình "Nhiệt động lực học và vật lý
thống kê" của Vũ Thanh Khiết đã trình bày hai phương pháp là phương pháp
các "ô" của Bônxơman và phương pháp Gibbs, tuy nhiên một số phần trình bày
còn vắn tắt. Đồng thời phương pháp lý thuyết trường lượng tử là một phương
pháp mới không chỉ áp dụng cho hệ các hạt Bôzôn và Fermion mà còn áp dụng
được cho hệ nhiều hạt. Do đó, tôi chọn đề tài "Các phương pháp xây dựng các
phân bố thống kê lượng tử, nhằm giúp các bạn sinh viên có một cái nhìn toàn
diện, hệ thống hơn về các phương pháp xây dựng các thống kê lượng tử.
2. Đối tượng nghiên cứu.
Các phương pháp xây dựng các phân bố thống kê lượng tử.
3. Mục đích nghiên cứu.
Đi sâu nghiên cứu một vấn đề cơ bản của Vật lý thống kê lượng tử là
xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử.

2


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

4. Nhiệm vụ nghiên cứu.

Sử dụng các phương pháp: Phương pháp các ô của Bônxơman, phương
pháp Gibbs và phương pháp lý thuyết trường lượng tử để tìm ra các phân bố
thống kê lượng tử.
5. Giả thuyết khoa học.
Nếu nắm được các phân bố thống kê lượng tử và các phương pháp xây
dựng các phân bố thống kê lượng tử sinh viên sẽ thuận lợi hơn trong việc học
Vật lý thống kê vì đây là một trong những vấn đề cơ bản của Vật lý thống kê.
6. Phạm vi nghiên cứu.
Các phương pháp xây dựng các định luật phân bố thống kê lượng tử.
7. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các thao tác tư duy như tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái
quát hoá để nghiên cứu các tài liệu đã có.

3


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Phần nội dung
Chương 1: Phương pháp các ô của Bônxơman.

1.1. Nội dung phương pháp.
Chia không gian pha ra làm các "ô" tương ứng với các giá trị khác nhau
của năng lượng và xét các sự phân bố khác nhau của các hạt của hệ theo các ô
đó, từ đó tìm ra được số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ tương tích với
những điều kiện bên ngoài nhất định tức là tìm được xác suất nhiệt động của
hệ, sau đó dựa vào nguyên lý Bônxơman tìm được Entrôpi của hệ và dựa vào
điều kiện cực đại của Entrôpi khi có cân bằng nhiệt động ta tìm được phân bố

thống kê của hệ.
1.2. áp dụng.
1.2.1. Thống kê Mắc xuen - Bônxơman.
1.2.1.1. Đối tượng áp dụng:
áp dụng đối với hệ các hạt không tương tác, trong các hệ đó các hạt
được coi là khác nhau và năng lượng có thể có phổ liên tục cũng như rời rạc.
1.2.1.2. Hàm phân bố.
Xét hệ gồm N hạt đựng trong thể tích V có năng lượng toàn phần U.
Chia không gian pha ra làm m ô pha (m N) tương ứng với các năng lượng
khác nhau 1, 2 m (điều đó có nghĩa là các hạt của hệ trong khi chuyển
động có thể có năng lượng tương ứng với một trong các trị số 1, 2 m). Giả
sử các hạt được phân bố tuỳ ý theo các ô đó với các số chứa đầy nào đó n1,
n2 nm, trong đó ni là số hạt chứa trong ô thứ i có năng lượng i (có nghĩa là
trong một trạng thái nào đó của hệ n1 hạt có năng lượng 1, n2 hạt có năng
lượng 2).
Các sự phân bố tuỳ ý khác biệt nhau của N hạt theo m ô là tương ứng
với các trạng thái vi mô khác nhau của hệ. Số tổng cộng các trạng thái vi mô
khác nhau của hệ (hay xác suất nhiệt động) tức là số các phương pháp khác
nhau phân bố N hạt theo m ô được xác định bằng biểu thức:
4


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

W=

N!
n1 ! n 2 !...n m !

(1-1)
[Xem phụ lục 1]

Lấy lôba biểu thức (1-1):
m

lnW = lnN! -

ln (ni!)
i 1

áp dụng công thức Stirling [xem phụ lục 2], ta được:
m

lnW = N lnN -

n i . ln ni

(1-2)

i 1

Các số chứa đầy còn phải thoả mãn các điều kiện về sự bảo toàn số hạt
tổng cộng và năng lượng toàn phần của hệ:
m

N=

n

i

= const

(1-3).

i

. i = const

(1-4).

i 1
m

U=

n
i 1

Lấy biến phân các phương trình (1-2), (1-3), (1-4) theo các số chứa đầy,
coi rằng ni lớn, bỏ qua đơn vị so với lnni ta có:
m

lnW = (NlnN -

n

i

. lnn1).

i 1

m

=-

(ni . lnni)


i 1

m

= - (ln ni . ni + ni . ln ni).
i 1

m

=-

(ln ni + 1) ni.


i 1

m

=-

ln ni . ni.



(1-5)

i 1



m



N = ni =
i 1



m

n

i

=0

(1-6)

i 1

5


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp
m





m

U = ni . i =
i 1





i

.ni = 0

(1-7)

i 1

Nhân (1-6), (1-7) với các thừa số bất định , rồi cộng với (1-5)
ta được:
m

ln W = -



(ln ni + + i) ni.

i 1

Xác suất sẽ là cực đại với điều kiện:
m



(ln ni + + i) ni = 0

(1-8)

i 1

Bằng cách coi tất cả các ni là độc lập và giả sử tất cả chúng bằng
không trừ nk, khi đó (1-8) trở thành:
(ln nk + + k) nk = 0
ln nk + + k = 0
ln nk = - - . k

nk = exp {- - . k }.

(1-9)

Đẳng thức (1-9) cho ta số hạt nk có năng lược k và có thể xem như hàm
phân bố của số hạt nk theo năng lượng k.
* Tìm , :
Từ điều kiện (1-3) ta có:
m

N=

n

m
i

= exp (-) .

i 1



exp {-. i}: = const

(1-10)

i 1

m

Ký hiệu Z =



Tổng trạng thái.

i 1

Suy ra:
N = exp {-} . Z = ln

Z
N

(1-11)

Năng lượng của hệ:
6


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp
m

U=

m

i . ni = exp {-} .
i 1



i

. exp {- . l}

(1-12).

i 1

Theo nguyên lý Bônxơman ta có:
S
lnWmax
k

(1-13)

Thay trong (1-2) biểu thức của ni tìm được từ điều kiện cực trị của xác
suất, ta được:
n

ln Wmax N ln N exp . i . lnexp . i
i 1
m

N ln N ( . i ). exp . exp . i
i 1

m

m

i 1

i 1

N ln N . exp . exp . i . i . exp . exp . i
N ln N .N .U

(1-14)

Từ (1-13), (1-14) được:
dS
N .d U .d .dU
k

(1-15)

Lấy vi phân (1-10) với N và i không đổi và áp dụng (1-12) ta được:
d

U
.d
N

Thay vào (1-15) được:

dS

.dU
k

So sánh biểu thức này với biểu thức vi phân nhiệt động của entrôpi
trong trường hợp của quá trình cân bằng đẳng áp:
dS

dQ dU

T
T

Ta được:


1
kT

7


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Vậy số hạt có năng lượng i là bằng:
n i exp . exp . i


N

. exp i = exp i
z
kT
kT


(1-16)

Vì trong số tổng cộng N hạt của hệ có ni hạt có năng lượng i nên suy ra
xác suất Wi (i) tìm hạt có năng lượng i (xác suất để hạt nằm trên trạng thái
với năng lượng i) bằng:

Wi ( )
i


exp i
n
kT với Z =
i
N
Z

exp kTi
i 1

(1-17)

Công thức (1-17) chính là phân bố Mắcxuen - Bônxơman lượng tử
(công thức của thống kê Mắcxuen - Bônxơman).
1.2.2. Thống kê Bôzơ - Anhstanh:
1.2.2.1. Đối tượng áp dụng:
áp dụng cho các hạt Bôzôn. Các hạt Bôzôn có spin nguyên trạng thái
của hệ được diễn tả bằng hàm sóng đối xứng và không tuân theo nguyên lý
Paoli (số hạt trên các mức năng lượng có thể có trị số bất kỳ từ 0 đến vô cùng).
1.2.2.2. Hàm phân bố:
Xét hệ gồm N các hạt Bôzôn. Ta tách ra một miền không gian pha có zi
ô pha và tìm số các chuyển vị của ni hạt theo các ô đó phù hợp với tính chất
của hạt Bôzôn. Bài toán quy về sự phân bố ni yếu tố không phân biệt trong các
ô đồng thời trong mỗi ô số hạt là không hạn chế. Số phương pháp phân bố là:
Wi

(ni zi 1)!
ni !( zi 1)!

(1-18)

(Xem phụ lục 1)
Wi đặc trưng cho số các trạng thái có thể có đối với các ni và zi đã
cho trước.

8

Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Đối với các nk và zk khác, số lượng các trạng thái có thể có sẽ khác.
Toàn bộ các trạng thái vi mô có thể có (tức xác suất nhiệt động của hệ) là:
W Wi i
i

i

( n i z i 1)!
n i !(z i 1)!

(1-19)

Lấy lô ga (1-19):
( n z i 1)!

ln W ln( Wi ) ln i
i
i n i !(z i 1)!
ln[( n i z i 1)!] ln( n i !) ln( z i 1)!]
i

i

(1-20)

i

Dùng công thức Stirling (xem phụ lục 2) đối với các số lớn ni và zi ta được:
ln W (ni zi ) ln(ni zi ) ni . ln ni zi . ln zi
i

i

(1-21)

i

Lấy biến phân phương trình (1-21) theo các số chứa đầy được:
ln W [ln(ni zi ).ni (ni zi ). ln(ni zi )] (ln nini ni ln ni )
i

i

[ln(ni zi ) 1].ni (ln ni 1)ni
i

(1-22)

i

Nhân (1-6), (1-7) với các thừa số bất định -, rồi cộng với (1-22) ta được:
n zi
. i ].n i
ln W [ln i
i

ni

(1-23)

Xác suất sẽ là cực đại với điều kiện:
ni zi

i .n i 0
ni


ln
i

(1-24)

Bằng cách coi tất cả các biến phân là bằng 0 trừ ni nên điều kiện (1-24)
trở thành:
n zi
i 0
ln i
ni

(1-25)

9


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp



ni

zi
exp i 1

(1-26)

Từ đó suy ra hàm phân bố theo năng lượng (số hạt trung bình ứng với
một ô) là:
ni
1

z i exp . i 1

f( )
i

(1 - 27a)

Đó chính là hàm phân bố theo năng lượng trong thống kê Bôzơ - Anhstanh.
Tìm , .
Theo nguyên lý Bônxơman ta có:

exp i
S
ln Wmax n i ( i ) z i ln

k
exp i 1
i
exp i

.N .U z i . ln


exp




1
i


i

1
S
áp dụng hệ thức nhiệt động
ta được:
U T T
1
S

k
T
U T

Từ đó có:

1
kT

(1-28)

Hệ số được xác định từ điều kiện chuẩn hoá:
N ni
i

i

zi
exp i 1

Từ đó có hàm phân bố theo năng lượng trong thống kê bôzơ - anhstanh là:
fB ( )

1

(1-27b)



exp
1
kT

10


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

1.2.3. Thống kê Fécmi - Đirắc:
1.2.3.1. Đối tượng áp dụng:
áp dụng cho hệ các hạt Fermion. Các hạt này có spin bán nguyên, trạng
thái của hệ được diễn tả bằng hàm sóng phản đối xứng và tuân theo nguyên lý
Paoli (số hạt trên một mức năng lượng chỉ có thể bằng 0 hoặc 1).
1.2.3.2. Hàm phân bố:
Xét hệ gồm N các hạt Fermion. Ta xét một miền thứ i của không gian
pha có zi ô, ta sẽ phân phối ni hạt trong đó. Để nguyên lý Paoli không bị vi
phạm thì phải có zi ni. Bài toán được quy về việc tìm số các phương pháp mà
theo đó ta có thể phân phối ni đối tượng không phân biệt trong zi ô bằng cách
đặt vào mỗi ô một đối tượng hay bỏ trống ô đó. Số các phương pháp đó là:
Wi

z i!
n i ! ( z i n i )!

(1-30)

(Xem phụ lục 4)
Số toàn phần các phức hợp đối với toàn bộ không gian pha hay xác suất
nhiệt động (tổng các trạng thái khả hữu của hệ) bằng:
W Wi

i

i

z i!
n i !(z i n i )!

(1-31)

Lấy lô ga biểu thức (1-31):
ln W ln( zi !) ln(ni !) ln[( zi ni )!]
i

i

i

áp dụng công thức Stirling (xem phụ lục 2) ta được:
ln W zi . ln zi ni . ln ni ( zi ni ) ln( zi ni )
i

i

(1-32)

i

Lấy biến phân biểu thức (1-32)
ln W [ln( zi ni ) 1].ni ln ni .ni
i

i

11

(1-33)


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Nhân các biến phân (1-6), (1-7) với các hệ số bất định -, rồi cộng
với (1-33) ta được:
z ni

. i .n i
ln W ln i
ni
i


(1-34)

Khi có cân bằng, entrôpi = klnW là cực đại, ta tìm được điều kiện khi
(lnW) = 0, từ (1-34) điều kiện này trở thành:
zi ni

i .n i 0
ni

ln
i

(1-35)

Coi tất cả các biến phân bằng 0 trừ ni nên (1-35) trở thành:
z ni
i 0
ln i
ni

ni

zi
exp i 1

(1-36)

Từ đó suy ra hàm phân bố theo năng lượng (số hạt trung bình có năng
lượng i ) bằng:
f ( i )

ni
1

z i exp i 1

(1-37)

Đây chính là phân bố Fécmi - Đirắc.
Các hệ số và được tìm như trên: tìm từ điều kiện chuẩn hoá,


1
.
kT

12


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Chương 2

phương pháp gibbs

2.1. Nội dung phương pháp:
Ta tìm công thức giá trị trung bình của số chứa đầy, sử dụng công thức
này ta tìm được các thống kê lượng tử.
2.2. áp dụng.
2.2.1. Giá trị trung bình của số chứa đầy:
Nếu hệ gồm các hạt không tương tác thì ta có:


Ek nk . k

(2-1)

k 0

Trong đó: k là năng lượng của một hạt riêng lẻ của hệ.
nk là số chứa đầy (số hạt nằm trên cùng mức năng lượng k)


Ta có: N nl

(2-2)

l 0

Vì số hạt trong hệ không phải bất biến nên tương tự như trong trường
hợp thống kê cổ điển thay cho phân bố chính tắc lượng tử ta phải dùng phân
bố chính tắc lớn lượng tử:

W( n0 ,n1 ...)







N

nl . l

1


l 0

exp
.g k
N!






(2-3)

Trong đó là thế nhiệt động lớn.
là thế hoá học.
gk là trọng số thống kê (độ suy biến) của các trạng thái
lượng tử có năng lượng khác nhau.
13


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Ký hiệu G( n ,n ...)
0

1

gk
và thay (2-2) vào ta có thể viết biểu thức (2-3)
N!

dưới dạng:

W( n0 ,n1 ...)




nl .( l )
l 0
exp
.G( n0 ,n1 ...)






(2-4)

Từ (2-4) ta có nhận xét: Vì vế phải của (2-4) có thể coi là hàm của các
nl nên ta có thể đoán nhận công thức đó như là xác suất để cho có n0 hạt nằm
trên mức 0, n1 hạt nằm trên mức 1 nghĩa là đó là xác suất của các số chứa
đầy, do đó nhờ công thức này ta có thể tìm được các số hạt trung bình nằm

trên các mức năng lượng (trung bình số chứa đầy):
n k ...n k .W( n0 ,n1 ...)
n0

(2-5)

n1

Ta có điều kiện chuẩn hoá:

...W

( n0 , n1 ...)

n0

1

n1






nl ( l )



l 0

... exp
G( n0 ,n1 ...) 1

n0 n1









nl .( l )






exp . ... exp l 0
.G( n0 , n1 ...) 1


n0 n1

exp .Z 1


(2-6)



n l ( l )


Trong đó: Z ... exp l0
.G ( n ,n ...)

n n




0

0

1

14

1

(2-7)


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Từ đây suy ra được: = -lnZ

(2-8)

Ta có thể chứng minh được biểu thức trị trung bình của số chứa đầy:
nk


k

Để chứng minh ta sử dụng thuật toán sau: Gắn cho đại lượng trong
công thức (2-4) chỉ số l nghĩa là ta sẽ coi rằng hệ ta xét hình như không phải
chỉ có một thế hoá học mà có cả một tập hợp các thế hoá học l. Và cuối
phép tính toán ta sẽ đặt tất cả các l bằng nhau và bằng . Bằng cách đó ta
sẽ có:


nl ( l l )

Z ... exp l 0
.G( n0 ,n1 ...)

n0 n1





Mà = -.lnZ nên ta có:

Và từ = -.lnZ ta suy ra

Từ đó ta tính được


1 Z
. .
k
Z k
1

exp
Z



k

1 Z
Z
. .
. exp .
k
Z k
k


nl .( l l )


1



. exp . ... .n k . exp l 0
.G( n0 , n1 ...)

n0 n1









nl .( l l )

l 0
...n k . exp
.G( n0 ,n1 ...)

n0 n1





15


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp





nl .( l )



l 0
...n k . exp

.G( n0 ,n1 ...)

n0 n1





(2-10)

Từ biểu thức này của n k ở (2-9) và (2-10) ta suy ra được:
nk


k

(2-11)

k

áp dụng các công thức (2-7), (2-8) và (2-11) ta sẽ tìm được các công
thức của các thống kê lượng tử.
2.2.2. Thống kê Măcxuen - Bônxơman:
áp dụng cho hệ các hạt không tương tác. Đối với các hệ này các số
chứa đầy có thể có trị số bất kì từ 0 đến (nl = 0 , l = 0 ) và độ suy
biến g ( E )
k

N!
(xem phụ lục 5)

n0 !n1!...nk !

Từ đó có G( n ,n ...)
0

1

g ( Ek )
N!



1
n0 !n1!...

(2-12)

l l
1


Chú ý: exp

Tổng trạng thái:


nl ( l l )
1
Z ... exp l 0
.

n0 n1

n0 !n1!...



n 0 ( 0 0 )
n1 (1 1 )
exp




. n

...
n 0!
n 1!

exp


n0

1

l
exp l
.n

l 0
n!
n0




16


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

l

expexp( l
).
l 0




(2-13)

l
Từ đó có: ln Z . exp l

l 0


(2-14)

Theo (2-11) ta sẽ tìm được công thức của thống kê Măcxuen - Bônxơman:
nl


l
exp l

l


(2-15a)

Theo công thức này ta thấy số hạt trung bình trên một mức nào đó tỷ lệ
với xác suất tìm một hạt trên mức đó.
Vậy công thức của thống kê mắcxuen - Bônxơman:

fM () exp

kT

(2-15b)

2.2.3. Thống kê Bôzơ-Anhstanh:
áp dụng cho hệ các hạt Bôzôn. Đối với hệ hạt Bôzôn số hạt trên các
mức năng lượng có thể có trị số bất kì từ 0 đến (nl = 0 , l = 0 ).
l l
1


Chú ý: exp

G( no ,n1 ...)

g ( k )
N!



N!
1
N!

Ta có tổng trạng thái:


nl ( l l )
Z ... exp l 0


n0 n1

l
exp l
l0
n 0



n


17


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

1
l 0
l
1 exp l

l l





Từ đó: ln Z ln 1 exp
l 0



Từ (2-11) ta tìm được phân bố các số chứa đầy trung bình:

l
ln 1 exp l





nl
.
l
l

l
exp l

l
1 exp l


1

l
exp l
1


(2-16a)

Vậy ta có công thức của thống kê Bôzơ - Anhstanh:
f B ( )

1

exp
1
kT

(2-16b)

Thế hoá học được xác định từ điều kiện:

n

l

(2-17)

N

l 0

2.2.4. Thống kê Fécmi - Đirác:
áp dụng cho hệ các hạt Fermion. Đối với hệ hạt Fermion số hạt trên một
mức năng lượng chỉ có thể bằng 0 hoặc bằng 1 (nl = 0, 1) và G(n0, n1) = 1.
Tổng trạng thái:


nl ( l l )
Z ... exp l 0


n0 n1





18


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

n ( 0 )
n1 ( 1 1 )
exp 0 0
exp






n1
n0
1
l
exp l
.n
l 0 n 0



l
1 exp l

l 0

(2-18)
l l





Từ đó có: ln Z ln 1 exp
l 0



Dựa vào (2-11) ta tìm được công thức của thống kê Fécmi - Đirác.





1
1
l

nl
. exp l
.

l

exp l l 1








1
l
exp 1
1


(2-19a)

Trong đó thế hoá học được xác định từ điều kiện (2-17).
Vậy ta có hàm phân bố của thống kê Fécmi - Đirác
f F ( )

1

exp
1
kT

(2-19b)

Ta thấy rằng các hàm phân bố Mắcxuen - Bônxơman, Bôzơ - Anhstanh,
Fécmi - Đirác tìm bằng phương pháp Gibbs trùng với các hàm phân bố tìm
được bằng phương pháp các ô của bônxơman nếu đặt:

19


.
kT


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Chương 3

phương pháp lý thuyết trường lượng tử

3.1. Toán tử sinh hạt và toán tử huỷ hạt:
Dao động từ điều hoà một chiều là một chất điểm có khối lượng m
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi F = - kx dọc theo một
đường thẳng nào đó.
Biểu thức của Hamiltoniar là:


H

2 d 2 1 2
.

kx
2m dx 2 2

(3-1)




Thay cho các toán tử toạ độ x và toán tử xung lượng Px i

d
ta dùng
dx



các toán tử toạ độ chính tắc q và xung lượng chính tắc mới:




x q =


Px i

m.x


d

d
P i
.
dx
m dx



(3-2)



Hệ thức giao hoán giữa p và q vẫn có dạng như hệ thức giao hoán giữa




p x và x .




[ p , q ] = i

(3-3)




Hamiltonian biểu diễn qua p và q có dạng:

H

1 2
( p 2.q 2 )
2

(3-4)

Đặt:

20


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp


(a a )
2



P

(3-5)

qi
(a a )
2


Khi đó:


H

1
(â . â+ + â+. â)
2

(3-6)




Các toán tử â và â+ có thể được biểu diễn ngược lại qua p và q như sau:
â



1
(p i q)
2

â+

1
( p i q )
2

(3-7)

Dễ dàng chứng minh được các toán tử â, â+ thoả mãn hệ thức giao hoán:
[â, â+] = 1 hay â. â+- â+ .â = 1

(3-8)

Chứng minh:
[â, â+] = â. â+- â+. â








1
1
1
1
(p i. q).
( p i. q)
(p i. q ).

(p i. q)
2
2
2
2


1

( 2 i p . q 2 i q . p )
2
i
(p . q q . p)

i
.( i) 1




(đpcm)
Do đó Hamiltonian có dạng:


H (â+. â +

1
).
2

(3-9)

21


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp


Ta đưa vào một toán tử mới: N â+. â

(3-10)



Hệ thức giao hoán giữa toán tử N với các toán tử â, â+ là:






[ N , â] = N â - â N


[ N , â] = â+. â . â - â . â+.â


[ N ,â] = (â+.â - â. â+). â

[ N ,â] = -1. â


[ N ,â] = - â




Hay N . â = â( N -1)

(3-11)

Tương tự ta có:


[ N ,â+] = â+


(3-12)



Hay N â+ = â+ ( N +1)


Ký hiệu n là véc tơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng n, ta có
phương trình:

N n = n n

(3-13)

Từ phương trình (3-12) ta có:


nNn
n

n a .a n


nn

nn

0

2

Vì n n = n (r ) d r 0
n â+. â n = â.n (r ) 2 d r 0

22

(3-14)

Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp


* Kết luận 1: Các trị riêng của toán tử N là các số không âm. Xét
véctơ trạng thái thu được bằng cách tác dụng toán tử â lên n ta được véctơ


trạng thái â n . Tác dụng lên vectơ trạng thái này toán tử N và sử dụng công
thức (3-11) ta có:




N â n = â( N -1) n = â(n-1) n = (n - 1) â n

(3-15)

ý nghĩa: Hệ thức vừa thu được có ý nghĩa là véctơ trạng thái â n cũng là


một vectơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n - 1).
Tương tự như vậy ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng â2n, â3n


cũng là các vectơ trạng thái riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n - 2), (n - 3)
Tiếp theo ta xét vectơ trạng thái â+n tác dụng lên vectơ trạng thái này

toán tử N và sử dụng công thức (3-12) ta có:




N â+ n = â+( N +1) n = â+(n+1) n = (n + 1) â+n

(3-16)

ý nghĩa: Hệ thức trên chứng tỏ véctơ trạng thái â+ cũng là một vectơ riêng


của toán tử N ứng với trị riêng (n + 1).
Tương tự như vậy ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng â+2 n, â+3 n


cũng là các vectơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng (n + 2), (n +3)


* Kết luận 2: Nếu n là một véctơ riêng của toán tử N ứng với trị riêng


n thì với p = 1, 2, 3, âP n cũng là một vectơ riêng của toán tử N ứng với
trị riêng n + p nếu chúng khác nhau.
Kết hợp kết luận 1 và kết luận 2 ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của


toán tử N thì chuỗi các số không âm n - 1, n - 2, n - 3 cũng là các trị riêng

của toán tử N . Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ
nhất nmin.
23


Dương Thị Thu Huyền

Khoá luận tốt nghiệp

Xét vectơ trạng thái n min ứng với trị riêng nhỏ nhất n min, rõ ràng là
â n min = 0.

(3-17).

Vì nếu â nmin 0 thì đó là vectơ trạng thái ứng với trị riêng
nmin - 1 < nmin, trái với giả thiết nmin là trị riêng nhỏ nhất.
Từ (3-17) ta suy ra:


â+. â nmin = N

nmin = 0

(3-18)

Mặt khác theo định nghĩa của n min:


nmin = nmin nmin

N

(3-19)

So sánh hai phương trình trên ta đi đến kết luận sau:


* Kết luận 3: Trị riêng nhỏ nhất của toán tử N là nmin = 0. Vectơ trạng


thái ứng với trị riêng nhỏ nhất của N được ký hiệu là 0. Vectơ trạng thái
này thoả mãn điều kiện:
â 0 = 0

(3 -20)


Khi đó â+ 0 tỉ lệ với vectơ riêng 1 của N ứng với trị riêng n = 1;


â+2 0 tỉ lệ với vectơ riêng 2 của N ứng với trị riêng n = 2, â+n 0 tỉ lệ


với vectơ riêng n của N ứng với trị riêng n.


1
1
Vì H (a .a ) N nên:
2

2








1
0 là vectơ riêng của H ứng với trị riêng E 0
2


1
1 là vectơ riêng của H ứng với trị riêng E1 1
2


1

n là vectơ riêng của H ứng với trị riêng E n n
2


24