Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ DUYỀN

TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT
BIỂU DIỄN NHĨM

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ DUYỀN

TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT
BIỂU DIỄN NHĨM

Chun ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí Tốn
KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI, 2012


Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý- trường
Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong tổ Vật Lý lý thuyết , đặc biệt là
thầy hướng dẫn ThS. Nguyễn Huy Thảo người đã tận tình hướng dẫn, chỉ
bảo, tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian thực hiện luận văn này.
Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động
viên em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Duyền


Lời cam đoan
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập
và nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của thầy giáo Th.S Nguyễn Huy
Thảo.
Trong khi nghiên cứu hồn thành bản khóa luận, em có tham khảo
một số tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài: “ Tổng hợp một số bài tập
về lý thuyết biểu diễn nhóm” là trung thực và không trùng lặp với kết
quả của các đề tài khác.
Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Duyền


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn
Lời cam đoan

PHẦN 1: MỞ ĐẦU ......................................................................................... 1
1.

Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1

2.

Mục đích nghiên cứu............................................................................... 1

3.

Đối tượng nghiên cứu ............................................................................. 1

4.

Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 1

5.

Phương pháp nghiên cứu......................................................................... 1

6.

Cấu trúc khóa luận ................................................................................. 1

PHẦN 2: NỘI DUNG ..................................................................................... 3
Chương 1: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm............................... 3
Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm ............................................................. 9
2.1. Định nghĩa phép biểu diễn nhóm ........................................................... 9
2.2. Đặc biểu ................................................................................................. 11

2.3. Biểu diễn khả quy và bất khả quy ........................................................... 12
2.4. Biểu diễn Unita ...................................................................................... 16
2.5. Biểu diễn chính quy ............................................................................... 17
2.6. Biểu diễn tích trực tiếp ........................................................................... 18
2.7. Các định lý thường dùng trong Vật Lý ................................................... 19
2.8. Bổ đề Schur ............................................................................................ 22
Chương 3: Một số bài tập ................................................................................ 23
PHẦN 3: KẾT LUẬN ..................................................................................... 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết biểu diễn nhóm là một nội dung quan trong thường được sử
dụng trong vật lý học nói chung, của vật lý hạt cơ bản nói riêng và việc giải
bài tập biểu diễn nhóm nhằm củng cố lý thuyết và trau dồi kĩ năng thực hành.
Đồng thời qua đó giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn nội dung kiến thức đã học.
Trước thực tế đó, tơi chọn đề tài “Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết
biểu diễn nhóm” nhằm đưa ra phương pháp giải của một số bài tập về biểu
diễn nhóm, giúp các bạn sinh viên rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo trong quá trình
giải bài tập, nắm vững các cơng cụ tốn cũng như cách tư duy nhạy bén,
khơng cịn lúng túng khi gặp các bài tốn biểu diễn và hiểu rõ hơn về lý
thuyết biểu diễn nhóm.
Tơi hi vọng rằng luận văn này sẽ một tài liệu tham khảo cho các bạn
sinh viên bước đầu làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm.
Giải một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm.
3. Đối tượng nghiên cứu
Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đưa ra cơ sở lý thuyết của biểu diễn nhóm.
Giới thiệu một số bài tập về biểu diễn nhóm cùng cách giải các bài
tập đó.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc, dịch tài liệu và tra cứu.
Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán.
6. Cấu trúc khóa luận
1


Khóa luận gồm 3 chương:
Chương 1: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm.
Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm.
Chương 3: Một số bài tập.

2


PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm
 Định nghĩa về nhóm
Một tập G : a, b, c,... được gọi là một nhóm nếu có một tốn tử “  ”
gọi là phép nhân nhóm thỏa mãn 4 tính chất sau:
Tính kín: Nếu a, b  G thì a.b  G .
Tính kết hợp: a.b.c   a.b.c với a, b, c  G .
Phần tử đơn vị: Trong G luôn tồn tại một phần tử e được gọi là phần tử
đơn vị thỏa mãn tính chất a.e  a với a  G .
Phần tử nghịch đảo: Với mỗi phần tử a  G luôn tồn tại một phần tử

a 1  G gọi là phần tử nghịch đảo thỏa mãn tính chất a.a-1 = e.
Ví dụ: Tập hợp các số thực với phép cộng tạo thành một nhóm hoặc tập
hợp các ma trận có det  0 cũng tạo thành một nhóm.
Nhưng như vậy khơng phải bất kỳ phép nhân nào xác định trên một tập
hợp cho trước đều tạo thành nhóm, vì nói chung tất cả bốn tính chất trên
khơng đồng thời được thỏa mãn.
Ví dụ: tập hợp các vector trong không gian ba chiều thông thường với
phép nhân vô hướng,…


Nhóm con
Mọi tập con H của nhóm G cũng làm thành một nhóm với phép nhân

nhóm của G gọi là nhóm con của G.
Mỗi nhóm G đều có phần tử trung hòa e và các phần tử của G đều là
nhóm con của G.
Các phần tử của một nhóm G có thể phân chia thành các lớp liên hợp.

3


Phần tử liên hợp: phần tử b  G được gọi là liên hợp với phần tử a  G
nếu tồn tại một phần tử khác p  G sao cho b = pap-1. Chúng ta sẽ biểu thị mối
liên hệ liên hợp bằng kí hiệu ~.
Lớp liên hợp: phần tử của một nhóm là liên hợp với mỗi phần tử khác
thì hình thành một lớp liên hợp.
Mỗi phần tử của một nhóm thuộc về một và chỉ một lớp. Phần tử đơn vị
hình thành riêng một lớp. Đối với các nhóm ma trận, tất cả các phần tử trong
cùng một lớp có mối liên hệ với mỗi một phần tử khác bằng một vài biến đổi
tương tự.

Các lớp kề: Cho H là một nhóm con nào đó của G và a  G. Thế thì tập
hợp aH gọi là lớp kề trái của nhóm G theo nhóm con H, xác định bởi phần tử
a. Tương tự như vậy, tập hợp Ha gọi là lớp kề phải của nhóm G.
Tất nhiên, vì e  H, nên a  aH.
Mặt khác, nếu b  aH, tức là b = ah1, h1  H, thì
bH = ah1H = aH
do h1H = H. Như thế, mọi phần tử tùy ý của lớp kề trái đều có thể đại diện cho
cả lớp kề đó, và hai lớp kề trái hoặc hoàn toàn trùng nhau hoặc khơng có phần
tử chung.
Số các phần tử của mỗi lớp kề chính là bậc của nhóm con H. Mọi phần
tử của G chỉ thuộc duy nhất một lớp kề.


Nhóm Abelian
Nhóm Abelian là nhóm mà phép nhân nhóm địi hỏi có tính chất giao

hốn:

a  b  b  a với a, b  G .


Bậc của nhóm
Số phần tử của một nhóm gọi là bậc của nhóm (nếu là nhóm hữu hạn).
4


Nhóm mà số phần tử của nhóm là hữu hạn được gọi là nhóm hữu hạn,
ngược lại là nhóm vơ hạn.


Bảng nhân nhóm
Bảng nhân nhóm là một bảng thể hiện luật nhân nhóm của các phần tử

trong nhóm.
Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm.
e

a

b

………

e

e

a

b

………

a

a

a.a

a.b

………

b

b

b.a

b.b

………

…..

…..

…..

…..

………

Ví dụ:
Bảng 1.2: Bảng nhân của nhóm D3.
e

(12)

(23)

(31)

(123) (321)

e

e

(12)

(23)

(31)

(123) (321)

(12)

(12)

e

(23)

(23)

(321)

(31)

(31)

(123) (321)

(123) (321)
e

(23)

(31)

(123)

(31)

(12)

e

(12)

(23)

(123) (123)

(31)

(12)

(23)

(321)

e

(321) (321)

(23)

(31)

(12)

e

(123)

5




Nhóm con bất biến
Mỗi nhóm con H của một nhóm G gọi là bất biến, nếu aHa-1 = G với

mọi a  G.
Đẳng thức trên có thể viết dưới dạng sau:
aH = Ha,
tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bất biến là như nhau.

Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bất biến khi đã chứa phần
tử nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói cách khác, nếu
đã chứa một phần tử của lớp [a] thì phải chứa cả tồn thể lớp [a].
Nhóm con bất biến tầm thường: e và bản thân G.
Tất cả các nhóm con của nhóm giao hốn đều bất biến. Tính bất biến
của nhóm con khơng phải là một tính chất bắc cầu: nhóm con bất biến H1 của
một nhóm bất biến H của G khơng nhất thiết là một nhóm con bất biến của G.


Đồng cấu và đẳng cấu
Sự tồn tại của một nghịch đảo cho mọi phần tử là một tính chất quan

trọng của một nhóm. Một hệ quả quan trọng của tính chất này là bổ đề sắp
xếp, nó sẽ được sử dụng nhiều lần trong phép lấy đạo hàm của các kết quả
quan trọng.
Bổ đề sắp xếp: Nếu p, b, c  G và pb = pc thì b = c.
Thật vậy, nếu ta nhân cả hai vế của phương trình pb = pc với p-1 thì ta
sẽ thu được kết quả b = c.
Kết quả này có nghĩa: nếu b và c là các phần tử khác nhau của G, thì pb
và pc cũng khác nhau. Do đó, nếu tất cả các phần tử của G được sắp xếp trong
một chuỗi và được nhân vào bên trái bởi một phần tử p thì chuỗi kết quả là
một sự sắp xếp lại của chuỗi ban đầu. Tất nhiên là sẽ áp dụng được phép nhân
vào vế phải.

6


Một phép ánh xạ từ nhóm G đến nhóm G’ trong đó phép nhân nhóm
được bảo tồn gọi là phép đồng cấu từ G đến G’. Hay nói cách khác, nếu
gi  G 

 g i'  G ' và g1 g 2  g 3 thì g1' g 2'  g 3' .

Hai nhóm G và G’ được gọi là đẳng cấu nếu tồn tại một sự tương ứng
1- 1 giữa các phần tử của chúng và bảo toàn phép nhân nhóm. Hay nói cách
 g i'  G ' và g1 g 2  g 3 trong G thì g1' g 2'  g 3' trong G '
khác, nếu g i  G 

và ngược lại. Ký hiệu là G ~ G '

.

Định lý Cayley: Mọi nhóm G có bậc n là đẳng cấu với một nhóm con
của Sn.
Bổ đề sắp xếp đã cung cấp cho ta một sự tương ứng từ G đến Sn:

1
a  G  p a  
 a1

2  n
  Sn ,
a 2  a n 

(1.3)

trong đó chỉ số {ai} được thiết lập từ định nghĩa đơn vị.

g ai  ag i ,

i  1,2,...,n

(1.4)

Cho ab = c trong G. Chúng ta có sự tương ứng:

2 ... n  1
2 ... n 
1
pa pb  
.


 a1 a2 ... an   b1 b2 ... bn 
2 ... n 
 b1 b2 ... bn  1

 .

 ab ab ... ab   b1 b2 ... bn 
1

1

 ab

1

2

n

2
ab

2

... n 
... ab 
n

Nhưng theo phương trình (1.4) thì ta có:

g abi  ag bi  abg i   (ab) g i  cg i  g ci ,
Ta kết luận rằng vế phải của phương trình trên chính là
7

(1.5)


1
pc  
 c1

2 ... n 
.
c2 ... cn 

a  G hình thành một nhóm con của Sn mà đẳng cấu đến G.


Nhóm tích trực tiếp
Cho H1 và H2 là hai nhóm con của nhóm G có các tính chất sau:
* Mọi phần tử của H1 giao hoán với bất kỳ phần tử nào của H2. Ví dụ:

h1h2  h2h1 với h1  H1, h2  H 2 .
** Mọi phần tử g  G có thể được viết như sau: g  h1h2 với

h1  H1 , h2  H 2 . Trong trường hợp này G được gọi là tích trực tiếp của H1 và
H2, tượng trưng bởi G  H1  H 2 .
Ví dụ: nhóm C6 có các phần tử : C6  e  a6 , a, a2 , a3 , a4 , a5 và có hai
nhóm con H1  e, a3  và H 2  e, a2 , a4 .
Các nhóm con H1 và H2 đều là các nhóm Abelian nên tính chất thứ
nhất được thỏa mãn.
Tính chất thứ hai có thể xác minh bằng sự ghi nhận:

e  e.e, a  a 3.a 4 , a 2  e.a 2 , a 3  a 3 .e, a 4  e.a 4 , a  a 3 .a 2 . Trong mỗi
trường hợp trên, thừa số đầu tiên của tích thuộc H1, thừa số thứ hai của tích
thuộc H2. Từ H1 ~ C2 và H 2 ~ C3 ta thu được C6 ~ C2  C3.

8


Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm
2.1. Định nghĩa phép biểu diễn nhóm
Cho một khơng gian tuyến tính n chiều Vn và một nhóm D các phép
biến đổi nào đó trong khơng gian đó. Lại cho một nhóm G nào đó. Phép đồng
cấu:

GD
gọi là một phép biểu diễn của nhóm G trong không gian Vn. Ta gọi Vn là

không gian biểu diễn, n là chiều biểu diễn; gọi là phép biểu diễn tuyến tính,
nếu D là nhóm biến đổi tuyến tính (hay nhóm ma trận). Trái lại, biểu diễn gọi
là phi tuyến.
Theo định nghĩa, ta có:
D(gh) = D(g) D(h), g , h  G, D(g), D(h)  D ,
D(e) = 1,
D(g-1) = [D(g)]-1.


(2.1-1)
(2.1-2)
(2.1-3)

Phép biểu diễn đơn vị
Phép biểu diễn đơn vị là phép biểu diễn đặc biệt khi:
D(g)  1, với mọi g  G .

(2.1-4)

-Ví dụ:
Cho G là một nhóm của phép quay tiếp theo trong một mặt phẳng xung
quanh điểm O ban đầu, G  R , 0    2 . Cho V2 cũng là một không
gian hai chiều Euclide.

9


eˆ2
R eˆ2

R eˆ1


eˆ1

Hình 2.1

Từ hình 2.1 ta có:

eˆ1 '  U   eˆ1  eˆ1.cos  eˆ2 .sin 
eˆ2 '  U ( )eˆ2  eˆ1.( sin  )  eˆ2 .cos

(2.1-5)

Chúng ta thu được:

 cos  sin  
D( )  

 sin  cos 

(2.1-6)

i
Chú ý rằng: nếu x là một vector tùy ý trong V2, x  eˆi x thì

x '  U ( ) x  eˆ j x ' j
x ' j  D( )ij xi

(2.1-7)

hoặc

 x '1   cos  sin    x1 
 2
 2 
sin

cos

x
'

 x 
 

(2.1-8)

Áp dụng hai phép quay bằng các góc  và  trong phần tiếp theo,
chúng ta có thể xác minh được rằng tích ma trận D( ) D( ) cũng như là của
chỉ một phép quay bằng (   ), D(   ) . Do đó, {D( )} cung cấp một biểu
10


diễn hai chiều của nhóm quay R    R  2  . Tương ứng, {D( )} là ma trận
hiện thực của {U( )} có liên quan đến tập hợp quy định cụ thể của cơ sở {eˆi }.
2.2. Đặc biểu


Biểu diễn tương đương

Nếu thay đổi cơ sở trong khơng gian Vn thì các ma trận D(g) thực hiện

biểu diễn D của nhóm G biến thành các ma trận đồng dạng:
D’(g) = SD(g)S-1

(2.2-1)

với S là ma trận thực hiện phép biến đổi (khả nghịch) của cơ sở. Dễ thấy rằng
các ma trận D’(g) cũng làm thành một biểu diễn của nhóm G, gọi là biểu diễn
tương đương.
Vì quan hệ đồng dạng là một quan hệ tương đương nên các biểu diễn
tương đương làm thành một lớp và tất cả các thành viên thuộc lớp đều xem
như nhau. Vì vậy, về phương diện biểu diễn, tất cả các biểu diễn tương đương
với nhau đều xem là như nhau.


Đặc biểu của biểu diễn
Các biểu diễn thuộc cùng một lớp được xem như nhau, nên cần nêu lên

các đặc trưng nội tại cho tồn lớp biểu diễn, nghĩa là tìm các đại lượng liên
quan đến biểu diễn, nhưng bất biến đối với các biến đổi (khả nghịch) cơ sở
của không gian biểu diễn.
Một trong những đặc trưng nêu lên ở trên chính là vết:
n

TrD( g )   Dii ( g ) ,

(2.2-2)

i 1

Thật vậy, vì giá trị của vết khơng thay đổi khi hốn vị vịng quanh các
nhân tử có mặt trong biểu thức của vết, nên ta có:

TrD '( g )  Tr[ SD( g ) S 1 ]  Tr[ S 1SD( g )]  TrD( g )
Đó là điều phải chứng minh.
11


Vết của biểu diễn gọi là đặc biểu của biểu diễn và ký hiệu là X ( g ) .

X ( g )  TrD( g ) .

(2.2-3)

Bây giờ cho hai phần tử h và g của nhóm, liên hợp với nhau h = x-1gx;
x, h, g  G. Theo (2.2-1) ta có:
TrD(h) = TrD(x-1gx) = Tr{D(x-1)D(g)D(x)} =
= Tr{D(x)-1D(g)D(x)} = Tr{D(x)D(x)-1D(g)} = TrD(g).
Từ đó ta có:

X ( x 1 gx)  X ( g ) ,
tức là các phần tử thuộc cùng một lớp của nhóm G cho cùng một giá trị của
đặc biểu. Ta nói đặc biểu là một hàm của lớp. Vì vậy, nếu nhóm có s lớp

K1 , K2 ,..., Ks , thì đặc biểu là một tập hợp của s lượng:
X i  X  Ki  ,  i  1, 2, ..., s  .

Như thế, đặc biểu của mỗi biểu diễn có thể xem như một vector trong
một không gian s chiều nào đó.

Tất nhiên với biểu diễn đơn vị ta ln có:

X i  1, (i  1, 2,..., s)
Lưu ý rằng: vì D(e) = In, nên: X (e)  n .
2.3. Biểu diễn khả quy và bất khả quy
Cho một không gian tuyến tính Vn và một ma trận (phép biến đổi tuyến
tính) A. Hệ A gọi là khả quy trong khơng gian Vn nếu có một khơng gian con
V < Vn, V  0 , sao cho:
AV < V với mọi A  A ,
tức là Ax  V với mọi x  V , A  A.
Không gian con V gọi là bất biến đối với hệ A.

12


Trái lại, nếu mọi không gian con bất biến của Vn hoặc bằng 0 hoặc
trùng với Vn, thì hệ A gọi là bất khả quy và không gian Vn cũng gọi là bất khả
quy đối với hệ A.
Nếu không gian con bất biến V có r chiều và nếu ta chọn r vector cơ sở
của V làm các vector cơ sở đầu tiên của khơng gian Vn, thì mọi vector
x  V đều có biểu diễn:

Các  ở ma trận cột chỉ những phần tử nói chung khác khơng. Từ đó,
theo giả thiết V bất biến đối với hệ A, ta có:

Như thế, theo các biểu diễn của x và x’, tất cả các ma trận A  A đều
có dạng:
13

 A1 K 
A= 
 , A  A,
0
A

2
trong đó A1 là ma trận con vuông cấp r, A2 là ma trận vuông cấp n – r, K là
ma trận con chữ nhật r  (n - r).


Hệ phân giải được
Một trường hợp quan trọng là ngồi V, khơng gian Vn có một khơng

gian con thứ hai bất biến  sao cho Vn  V   . Thế thì chọn (n – r) vector cơ
sở của  làm các vector cơ sở còn lại của Vn, ta thấy rằng tất cả các A phải có
dạng:

0
A
A 1
  A1  A 2 , A  A.
 0 A2 
Trong trường hợp này, hệ A gọi là phân giải thành hai hệ con khác:

A1  A1 ,
A2  A 2  ,
và ta viết A  A1  A2 .


Hệ hoàn toàn khả quy
Một hệ A gọi là hoàn toàn khả quy nếu hoặc A là bất khả quy, hoặc A

có thể phân giải thành nhiều hệ con bất khả quy. Tương ứng, không gian Vn
phân thành tổng trực tiếp nhiều không gian con bất khả quy.


Biểu diễn khả quy, bất khả quy và hoàn toàn khả quy
Nếu biểu diễn D là một hệ khả quy, bất khả quy hay hoàn tồn khả quy

thì biểu diễn đó tương ứng gọi là khả quy, bất khả quy hay hoàn toàn khả quy.
Theo nghĩa trên, các biểu diễn bất khả quy là những biểu diễn đơn giản
nhất.


Định lý về tiêu chuẩn bất khả quy
Điều kiện cần và đủ để một biểu diễn có đặc biểu X là bất khả quy là
14


1 s
g P X p X p  1

G p1

(2.3-1)

trong đó: G là bậc của nhóm.
gp là số phần tử của lớp thứ p của nhóm đó.


Khơng gian đồng nhất
Cho một nhóm G các phép biến đổi tuyến tính trong một khơng gian V

nào đó. Nếu với một cặp điểm x và y của khơng gian V, ta ln tìm được một
phần tử g của nhóm sao cho gx = y, thì nhóm G gọi là nhóm bắc cầu của
khơng gian V và không gian V được gọi là không gian đồng nhất của nhóm G.


Biểu diễn Tg
Cho một khơng gian đồng nhất nào đó V của nhóm G, và gọi L là tập

hợp tất cả các hàm  (x) có đối số x  V . Thế thì khơng gian L gọi là bất biến
đối với nhóm G nếu, khi đã chứa  (x), nó sẽ chứa mọi hàm  (gx), g  G .
Bây giờ, giả sử không gian L là bất biến đối với nhóm G và đặt
Tg (x)   (g-1x), g  G , x  V .

(2.3-2)

Theo định nghĩa này, ta có:
1
Tg Tg   x  =Tg   g 2 1x     g 2 1g11x     g1g 2  x  ,
1

2

1

tức là, theo (2.3-2),

Tg Tg =Tg g
1

1 2'

2

điều này chứng tỏ rằng các toán tử Tg làm thành một biểu diễn của nhóm G
trong khơng gian L các hàm  , và ký hiệu là Tg.
Theo định nghĩa chung của ma trận toán tử, nếu  là cơ sở của khơng
i

gian L, ta có:
Tg = Dji(g) ,
i

i

trong đó Dji(g) là ma trận của tốn tử Tg.
15

(2.3-3)


2.4. Biểu diễn Unita
Định lý 1
Mỗi biểu diễn của các nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu
diễn unita nào đó.
Một biểu diễn D gọi là unita, nếu tất cả các ma trận D(g) đều unita.
Như thế, với các nhóm hữu hạn, ở đó có sự tồn tại trung bình bất biến,

mọi biểu diễn đều tương đương với một biểu diễn unita. Chính biểu diễn unita
này là biểu diễn chúng ta cần phải chọn trong lớp tất cả các biểu diễn tương
đương với nhau, do các ma trận unita có những đặc tính riêng của nó. Đối với
những nhóm vơ hạn, có những biểu diễn khơng tương đương với biểu diễn
unita.
Từ nay về sau, khi nói đến biểu diễn các nhóm hữu hạn, ta thường hiểu
là biểu diễn unita. Trong trường hợp này, từ tính chất unita và tính chất
(2.1-3), ta có:
D+(h) = D-1(h) = D(h-1),
Từ đó ta được đẳng thức sau cho đặc biểu các biểu diễn unita:
X  h1   X   h  ,

(2.4-1)

Bây giờ, giả sử lớp Ki của nhóm G có tính chất là: đồng thời với phần
tử g, nó chứa cả phần tử g-1. Một lớp như thế được gọi là tương nghịch.
Vì đặc biểu là một hàm của lớp nên theo định nghĩa của lớp tương
nghịch và do (2.4-1), ta được:

X P  g   X P  g 1   X P  g  .
Định lý 2
Giá trị của đặc biểu tại mỗi lớp tương nghịch là thực.

16

(2.4-2)


2.5. Biểu diễn chính quy
Khơng gian biểu diễn của nhóm G là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến

tính:

a

g

g

với ag  C, g  G .

(2.5-1)

Không gian này gọi là khơng gian đại số nhóm của nhóm G. Như thế,
không gian biểu diễn là một không gian G chiều, G là bậc của nhóm G. Cơ sở
của khơng gian này là G phần tử của nhóm. Khi tác dụng mỗi phần tử của
nhóm lên các phần tử khác bằng cách nhân nhóm, ta có một hốn vị của G
vật. Vì là những phép biến đổi tuyến tính trong khơng gian G chiều, các hốn
vị này có thể biểu diễn bởi những ma trận G  G .
Biểu diễn này gọi là biểu diễn chính quy của G và ký hiệu là D R  .


Đặc biểu
Theo định nghĩa trên, ma trận của biểu diễn chính quy có thể viết dưới

dạng:
hg   D f R' g  h  f ,

(2.5-2)

f G

Từ đó, đồng nhất hai vế, ta thấy rằng Df ' g  h   1 khi f = g và bằng
R

không khi f  hg , tức là:
Df R' g  h    f ' hg ,

(2.5-3)

Vì vậy, các phần tử chéo của ma trận D R (h) có dạng:
Dg R' g  h    g ' hg ,

(2.5-4)

tức là chỉ bằng 1 khi h = e và bằng không khi h  e . Từ đó ta được tính chất
đặc trưng của đặc biểu của biểu diễn chính quy:

X  R   e   G, X

R

 g   0, g  e .

17

(2.5-5)


Nếu ký hiệu K1 là lớp chứa e thì từ phương trình (2.5-5), ta được đẳng
thức:

X P R  G  P ' .

(2.5-6)

1



Định lý 1
Tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm đều chứa trong biểu biễn

chính quy với một số lần bằng số chiều biểu diễn của mình:
D  R    n  D    .

(2.5-7)



trong đó: n  là chiều của biểu diễn bất khả quy D    .


Định lý Burnside

 n   G .
2



(2.5-8)

Định lý 2
Số biểu diễn bất khả quy của các nhóm hữu hạn bằng số lớp của nhóm.

2.6. Biểu diễn tích trực tiếp


Hệ thống các biểu diễn bất khả quy của tích trực tiếp
Cho một tích trực tiếp G của hai nhóm G1 và G2:

G  G1  G2 ,
g = g1g2, g1g2 = g2g1, g1  G1 , g2  G2 .
Giả sử: i  i  1,..., n  và k  k  1,..., n  là các hệ cơ sở của các biểu
diễn bất khả quy D

1 

và

D 2  tương ứng của các nhóm con G1 và G2.

Tập hợp n n hàm  i  k làm thành cơ sở của một biểu diễn nào đó
của nhóm G, lý hiệu là D

  

. Thực vậy, theo (2.3-2) ta có:

Tg  i  Dki1   g1   k ,
1

Tg  j  Dlj 2   g 2   l ,
2

18


Từ đó ta được biểu diễn cần tìm:

Tg g i  j  Tg i Tg  j  Dki1   g1  Dlj 2   g 2   k l ,
1 2

1

2

Với ma trận thực hiện biểu diễn có dạng:
   
Dkl;ij
 g1g2   Dki1   g1  Dlj2   g2 

(2.6-1)

hay là

D    g1g 2   D1   g1   D  2   g 2 .

(2.6-2)

Như thế các ma trận biểu diễn tích trực tiếp hai nhóm bằng tích trực
tiếp các ma trận biểu diễn các nhân tử.



Đặc biểu
Trong (2.6-1) cho k = i và l = j rồi lấy tổng theo i và j, ta được đặc biểu

của biểu diễn D

  

:
X     g1g 2   X 1   g1  X  2   g 2  .



(2.6-3).

Cách trình bày các bảng đặc biểu
Các đặc biểu được trình bày dưới dạng một bảng vng mà các hàng

chỉ các biểu diễn khác nhau (hàng đầu dành cho biểu diễn đơn vị), còn các cột
chỉ các lớp khác nhau. Trong bảng: gs là ký hiệu số phần tử của lớp Ks, ns ký
hiệu giá trị của đặc biểu của lớp thứ s.
Bảng 2.1: Bảng đặc biểu của nhóm.
e
D(1)
D(2)

1
X1(2) = n1

g2K2

...

gsKs

1

...

1

X2(2)

...

Xs(2)

.

.

.

...

.

.

.

.

...

.

.

.

.

...

.

X2(s)

...

Xs(s)

D(s)

X1(s) = ns

19

2.7. Các định lý thường dùng trong Vật Lý
Định lý 1
Mọi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu
diễn Unita nào đó.
Bởi vì theo giả thiết D (g ) là một biểu diễn của một nhóm hữu hạn G .
Xây dựng một tốn tử

S

 D( g )



D( g )

gG

(2.7-1)

S là hermitian và dương trên một nửa nhóm.Vì vậy nó có thể chéo hóa và có
giá trị riêng là không âm.
S  U 1dU ,

(2.7-2)

Ở đây d là ma trận chéo
 d1 0  
d   0 d 2   .
   




Ở đây d j  0 j. Bởi vì do tính chất của nhóm là mọi dj là thực sự
dương. Bằng cách giả thiết có một djs = 0. Khi đó có một vector  sao cho

S  0 . Nhưng khi đó:

  S   0   D ( g ) .
2

gG

(2.7-3)

Vì vậy D( g ) phải bị triệt tiêu với mọi g, đó là điều khơng thể tin
được. Từ D(e) = 1 ta có thể đặt một căn bậc hai của S, nó là một hermitian và
thuận nghịch.

X S

1

2

 d1

1
U  0
 




0
d2


20



 U .
 


(2.7-4)